Et polynom er summen av monomer, det vil si produkter av tall og variabler. Det er mer praktisk å jobbe med det, siden konvertering av et uttrykk til et polynom oftest lar deg forenkle det betydelig.
Bruksanvisning
Utvid alle parenteser til uttrykket. For å gjøre dette, bruk formler, for eksempel (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Hvis du ikke kjenner formlene, eller de er vanskelige å bruke på et gitt uttrykk, åpner du parentesene sekvensielt. For å gjøre dette, multipliser det første leddet i det første uttrykket med hvert ledd i det andre uttrykket, deretter det andre leddet i det første uttrykket med hvert ledd i det andre, osv. Som et resultat vil alle elementene i begge parenteser multipliseres sammen.
Hvis du har tre uttrykk i parentes, multipliser først de to første, og la det tredje uttrykket være urørt. Etter å ha forenklet resultatet oppnådd ved å transformere de første parentesene, multipliser det med det tredje uttrykket.
Følg nøye skiltene foran monomiale faktorer. Hvis du multipliserer to ledd med samme fortegn (for eksempel begge er positive eller begge er negative), vil monomialet ha et "+"-tegn. Hvis en term har en "-" foran seg, ikke glem å overføre den til produktet.
Reduser alle monomer til standardform. Det vil si, omorganisere faktorene inne og forenkle. For eksempel vil uttrykket 2x*(3,5x) være lik (2*3,5)*x*x=7x^2.
Når alle monomiene er standardisert, prøv å forenkle polynomet. For å gjøre dette, grupper termer som har samme del med variabler, for eksempel (2x+5x-6x)+(1-2). Hvis du forenkler uttrykket, får du x-1.
Vær oppmerksom på tilstedeværelsen av parametere i uttrykket. Noen ganger er det nødvendig å forenkle et polynom som om parameteren var et tall.
For å konvertere et uttrykk som inneholder en rot til et polynom, skriv ut under det uttrykket som skal kvadreres. Bruk for eksempel formelen a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2, og fjern deretter rottegnet sammen med partall. Hvis du ikke kan bli kvitt rottegnet, vil du ikke kunne konvertere uttrykket til et standard polynom.
"Forbedre numeriske ferdigheter" - Tallsammensetning. Gjentakelse av handlinger. Multiplikasjon. Addisjon. Regler for åpning av parenteser. Addisjon negative tall. Subtraksjon. Addisjon vanlige brøker. Addisjon av tall med ulike fortegn. Forbedre dataferdigheter. Subtraksjon enkeltsifret nummer. Referansediagram. Handling i en kolonne. Multiplisere et monom med et polynom.
"Forskjellen mellom kvadrater av tall" - Firkant. Forkortet multiplikasjonsformel. Forskjellen mellom kvadrater av to uttrykk. Arbeid med et bord. Forskjell på ruter. Geometrisk betydning formler. Hvordan kan du lese formelen? Gjør multiplikasjonen. Påvirker rekkefølgen parentesene skrives i resultatet? Formel (a+b)(a-b)=a2-b2. Produktet av forskjellen mellom to uttrykk og summen deres.
"Multipisere et polynom med et polynom" - Regelen for å multiplisere et polynom med et polynom. Spill "Åpne bildet". Åpne bildet. Hvert ledd i det første polynomet multipliseres etter tur med hvert ledd i det andre polynomet. La oss vurdere produktet av de enkleste polynomene, nemlig binomene. Det ene polynomet har m ledd, og det andre har n ledd. Timeplan.
"Faktorering av et polynom" - Foreløpig transformasjon. Klassifiser disse polynomene i henhold til metoden for faktorisering. Å ta den felles faktoren ut av parentes. Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler. Valgmetode full firkant. Testor. Svar: Leksjonsoversikt: Confucius. Forkortede multiplikasjonsformler. Grupperingsmetode.
«Konvertere et heltallsuttrykk til et polynom» - Hvilke av uttrykkene er heltall: Eksempler på heltallsuttrykk er følgende uttrykk: Leksjonsmål: Øve elevene i reduksjon lignende vilkår. Polynomer og spesielt monomialer er heltallsuttrykk. Utvikle elevenes dataferdigheter. Introduser begrepet et helt uttrykk. Konvertering av heltallsuttrykk.
"Leksjon om forkortede multiplikasjonsformler" - Hensikten med leksjonen: Å gjenta og oppsummere praktiske ferdigheter og evner om emnet "Forkortede multiplikasjonsformler." Leksjonsemne: FORMLER FOR REDUSERT MULTIPLIKASJON. Forbered deg på det som kommer prøvearbeid. Oppgave: Sidene på den første ruten er 1 cm flere sider det andre kvadratet, og arealet til det første kvadratet er 9 cm2 mer område andre rute.
Det er totalt 24 presentasjoner i temaet
Blant de ulike uttrykkene som vurderes i algebra, inntar summer av monomialer en viktig plass. Her er eksempler på slike uttrykk:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Summen av monomer kalles et polynom. Termene i et polynom kalles termer for polynomet. Monomialer er også klassifisert som polynomer, og vurderer et monomial for å være et polynom som består av ett medlem.
For eksempel et polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan forenkles.
La oss representere alle termer i form av monomialer av standardformen:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
La oss presentere lignende termer i det resulterende polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet er et polynom, der alle termer er monomer av standardformen, og blant dem er det ingen lignende. Slike polynomer kalles polynomer av standardform.
Bak grad av polynom av en standardform ta den høyeste av kreftene til medlemmene. Dermed har binomialet \(12a^2b - 7b\) tredje grad, og trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den andre.
Vanligvis er vilkårene for standardformpolynomer som inneholder én variabel ordnet i synkende rekkefølge av eksponenter. For eksempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Summen av flere polynomer kan transformeres (forenkles) til et polynom av standardform.
Noen ganger må termene til et polynom deles inn i grupper, og omslutter hver gruppe i parentes. Siden omsluttende parenteser er den omvendte transformasjonen av åpningsparenteser, er det lett å formulere regler for åpning av parentes:
Hvis et "+"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentes med de samme tegnene.
Hvis et "-"-tegn er plassert foran parentesene, skrives begrepene i parentes med motsatte tegn.
Transformasjon (forenkling) av produktet av et monomial og et polynom
Ved bruk av fordelingseiendom multiplikasjoner kan konverteres (forenkles) til et polynom, produktet av et monom og et polynom. For eksempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Produktet av et monomer og et polynom er identisk lik summen av produktene til dette monomet og hvert av leddene til polynomet.
Dette resultatet er vanligvis formulert som en regel.
For å multiplisere et monomer med et polynom, må du multiplisere det monomet med hver av termene i polynomet.
Vi har allerede brukt denne regelen flere ganger for å multiplisere med en sum.
Produkt av polynomer. Transformasjon (forenkling) av produktet av to polynomer
Generelt er produktet av to polynom identisk lik summen av produktet av hvert ledd i ett polynom og hvert ledd i det andre.
Vanligvis brukes følgende regel.
For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre og legge til de resulterende produktene.
Forkortede multiplikasjonsformler. Sum kvadrater, forskjeller og forskjell av kvadrater
Med noen uttrykk i algebraiske transformasjoner må forholde seg til oftere enn andre. De kanskje vanligste uttrykkene er \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) og \(a^2 - b^2 \), dvs. kvadratet av summen, kvadratet av forskjellen og forskjellen på kvadrater. Du la merke til at navnene på disse uttrykkene ser ut til å være ufullstendige, for eksempel er \((a + b)^2 \) selvfølgelig ikke bare kvadratet av summen, men kvadratet av summen av a og b . Kvadraten av summen av a og b forekommer imidlertid ikke så ofte, i stedet for bokstavene a og b, inneholder den forskjellige, noen ganger ganske komplekse, uttrykk.
Uttrykkene \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan enkelt konverteres (forenkles) til polynomer av standardformen, faktisk har du allerede møtt denne oppgaven når du multipliserer polynomer:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Det er nyttig å huske de resulterende identitetene og bruke dem uten mellomliggende beregninger. Korte verbale formuleringer hjelper dette.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadratet av summen er lik summen av kvadratene og dobbeltproduktet.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadratet av forskjellen er lik summen av kvadrater uten det doble produktet.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - forskjellen av kvadrater er lik produktet av forskjellen og summen.
Disse tre identitetene gjør at man kan erstatte de venstre delene med de høyre delene i transformasjoner og omvendt - høyre delene med de venstre. Det vanskeligste er å se de tilsvarende uttrykkene og forstå hvordan variablene a og b erstattes i dem. La oss se på flere eksempler på bruk av forkortede multiplikasjonsformler.
Et polynom er summen av monomer, det vil si produkter av tall og variabler. Det er mer behagelig å jobbe med det, for oftere enn ikke kan du forenkle det mye mer ved å reformere et uttrykk til et polynom.
Bruksanvisning
1. Utvid alle parenteser til uttrykket. For å gjøre dette, bruk formlene, for eksempel (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Hvis du ikke kjenner formlene, eller de er vanskelige å bruke på et gitt uttrykk, åpner du parentesene trinn for trinn. For å gjøre dette, multipliser det første leddet i det første uttrykket med hele leddet til det andre uttrykket, deretter det andre leddet i det første uttrykket med hele leddet til det andre, osv. Som et resultat vil alle elementene i begge parenteser multipliseres sammen.
2. Hvis du har tre uttrykk i parentes, multipliser først de to første, og la det tredje uttrykket være urørt. Etter å ha forenklet resultatet oppnådd som et resultat av å reformere de første parentesene, multipliser det med det tredje uttrykket.
3. Vær forsiktig med å observere skiltene foran monomiale faktorer. Hvis du multipliserer to ledd med samme tegn (si, begge er riktige eller begge er negative), vil monomialet ha et "+"-tegn. Hvis en term har en "-" foran seg, ikke glem å overføre den til verket.
4. Reduser alle monomer til standardform. Det vil si, omorganisere faktorene inne og forenkle. La oss si at uttrykket 2x*(3,5x) vil være lik (2*3,5)*x*x=7x^2.
5. Når alle monomiene er standardisert, prøv å forenkle polynomet. For å gjøre dette, gruppemedlemmer som har identiske deler med variabler, for eksempel (2x+5x-6x)+(1-2). Hvis du forenkler uttrykket, får du x-1.
6. Legg merke til tilstedeværelsen av parametere i uttrykket. Noen ganger må relieffet av et polynom gjøres som om parameteren var et tall.
7. For å konvertere et uttrykk som inneholder en rot til et polynom, skriv ut under det et uttrykk som skal kvadreres. La oss si at du bruker formelen a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2, og fjern deretter rottegnet sammen med partallsgraden. Hvis det er umulig å bli kvitt rottegnet, vil du ikke kunne konvertere uttrykket til et polynom av standardformen.
Kortfattethet, som de sier, er gavens søster. Alle vil vise seg for ingenting, men søsteren hans er en vanskelig ting. Av en eller annen grunn tar fenomenale tanker form av komplekse setninger med de fleste adverbiale sykluser. Det er imidlertid i din makt å forenkle forslagene dine og gjøre dem forståelige og tilgjengelige for alle.
Bruksanvisning
1. For å gjøre livet lettere for mottakeren (enten lytteren eller leseren), prøv å erstatte deltakende og deltakende sykluser med korte bisetninger, bare hvis det er for mange av de ovennevnte syklusene i én setning. "En katt som kom hjem, etter å ha spist en mus, surret høyt, kjærtegnet eieren sin, prøvde å se inn i øynene hans, i håp om å tigge om fisk hentet fra butikken" - dette vil ikke fungere. Bryt en lignende konstruksjon i flere deler, ikke skynd deg og ikke prøv å si alt i en setning, og du vil være i lykke.
2. Hvis du planla en talentfull uttalelse, men det viste seg å ha for mye underordnede ledd(spesielt med en konjunksjon), da er det bedre å dele utsagnet i flere separate setninger eller utelate et element. "Vi bestemte at han ville fortelle Marina Vasilyevna, at Katya ville fortelle Vita at..." - man kan fortsette i det uendelige. Stopp i tide og husk personen som skal lese eller lytte til dette.
3. Fallgruvene ligger imidlertid ikke bare i setningens struktur. Vær oppmerksom på ordforrådet. Fremmedord, lange sikter, ord hentet fra skjønnlitteratur 1800-tallet - alt dette vil bare komplisere persepsjonen. Du må avklare selv for hvilket publikum du komponerer teksten: Teknikere er selvfølgelig klar over både vanskelige termer og spesifikke ord; men hvis du tilbyr de samme ordene til en litteraturlærer, er det lite sannsynlig at hun forstår deg.
4. En gave er en stor ting. Hvis du er et geni (og det er ingen mennesker uten evner), åpner det seg mange veier for deg. Men gaven ligger ikke i vanskeligheter, men i enkelhet, uansett hvor uvanlig. Hold det enkelt, og gavene dine vil være klare og tilgjengelige for alle.
Video om emnet
Selv den vanskeligste ligningen slutter å se skremmende ut hvis du reduserer den til en form du allerede har møtt. Spesielt enkel metode, den som lagrer i enhver situasjon er reduksjonen av polynomer til en standardform. Dette er et utgangspunkt som du kan bevege deg mot en løsning fra.
Du vil trenge
- papir
- fargede penner
Bruksanvisning
1. Husk standardformen til et polynom slik at du vet hva du skal få til slutt. Selv rekkefølgen på skrivingen er viktig: medlemmer med i større grad. I tillegg er det vanlig å først skrive ned ukjente, angitt med bokstaver i begynnelsen av alfabetet.
2. Skriv ned det første polynomet og begynn å søke etter lignende termer. Dette er medlemmer av ligningen gitt til deg som har en identisk bokstavdel og/eller en digital del. For større klarhet, uthev de oppdagede parene. Vær oppmerksom på at likhet ikke betyr identitet - det viktigste er at ett medlem av paret inneholder den andre. Dermed vil begrepene xy, xy2z og xyz være like - de har en universell del i form av produktet av x og y. Det samme gjelder maktuttrykk.
3. Merk forskjellige lignende medlemmer forskjellig. For å oppnå dette, marker med enkle, doble og trippellinjer, farge og andre linjeformer.
4. Etter å ha funnet alle lignende medlemmer, begynn å kombinere dem. For å gjøre dette, i de oppdagede parene, fjern lignende termer fra parentes. Ikke glem det i standard skjema Et polynom har ingen lignende termer.
5. Sjekk om du har noen identiske elementer igjen i oppføringen. I noen tilfeller kan du igjen ha lignende medlemmer. Gjenta operasjonen ved å kombinere dem.
6. Sørg for å fullføre de andre dataene som kreves for å skrive et polynom i standardform: hele deltakeren må avbildes som et monomial i standardform: i første omgang er den numeriske faktoren, for det andre er variabelen eller variablene som følger i angitt rekkefølge. I dette tilfellet har bokstavsekvensen spesifisert av alfabetet prioritet. Fallende grader tas i betraktning sekundært. Så, standard visning Den monomiale notasjonen er 7xy2, mens y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 ikke oppfyller kravene.
Video om emnet
Matematisk vitenskap forstår ulike design, rekkefølger av tall, sammenhenger mellom dem, utarbeide likninger og løse dem. Dette formelt språk, som har lov til å tydelig beskrive de nesten perfekte egenskapene til virkelige objekter som forstås i andre vitenskapsfelt. En slik konstruksjon er et polynom.
Bruksanvisning
1. Polynom eller polynom (fra gresk "poly" - mange og det latinske "nomen" - navn) - klasse elementære funksjoner klassisk algebra og algebraisk geometri. Dette er en funksjon av én variabel, som har formen F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n, hvor c_i er faste indikatorer, x er en variabel.
2. Polynomer brukes i mange områder, inkludert null, negative og komplekse tall, gruppeteori, ringer, knuter, sett, etc. Bruken av polynomberegninger gjør det mye lettere å uttrykke egenskapene til ulike objekter.
3. Grunnleggende definisjoner av et polynom: Hvert ledd i et polynom kalles et monom eller monom. Et polynom som består av 2 monomer kalles et binomial eller binomial. Polynomkoeffisienter – reelle eller komplekse tall. Hvis den ledende eksponenten er 1, kalles polynomet enhetlig (redusert). Potensene til en variabel i enhver monomial er heltall ikke-negative tall, maksimal grad bestemmer graden av et polynom, og dens fulle grad kalles et heltall, lik summen alle grader. Monomial tilsvarende null grader, kalles et gratis medlem. Et polynom hvis monomer alle har identiske full grad, kalles homogen.
4. Noen ofte brukte polynomer er oppkalt etter navnet til forskeren som definerte dem og også beskrev funksjonene de definerer. La oss si at Newtons binomiale er en formel for å dekomponere et polynom med 2 variabler til individuelle termer for å beregne potenser. Dette er de kjente skolepensum skriv kvadratene av summen og differansen (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^ 2 og differansekvadrater (a^2 – b^2) = (a – b)*(a + b).
5. Hvis vi tillater negative grader i notasjonen til et polynom, får vi et polynom eller en Laurent-serie; Chebyshev-polynomet brukes i tilnærmingsteori; Hermite polynom - i sannsynlighetsteori; Lagrange - for numerisk integrasjon og interpolasjon; Taylor - når man tilnærmer en funksjon osv.
Merk!
Newtons binomial er ofte nevnt i bøker ("The Master and Margarita") og filmer ("Stalker"), når karakterene bestemmer matematiske problemer. Dette semesteret godt kjent, og derfor regnet som det mest kjente polynomet.
Uttrykk reformeres oftere enn ikke for å gjøre dem enklere. Til dette formål brukes spesielle forhold, samt regler for reduksjon og reduksjon av tilsvarende.
Du vil trenge
- – operasjoner med fraksjoner;
- – forkortede multiplikasjonsformler;
- - kalkulator.
Bruksanvisning
1. Den enkleste reformen er å ta med lignende. Hvis det er flere termer som er monomialer med identiske faktorer, kan eksponenten for dem legges til, under hensyntagen til tegnene som vises foran disse eksponentene. La oss si uttrykk 2 n-4n+6n-n=3 n.
2. Hvis identiske faktorer har ulike grader, er det ikke tillatt å bringe lignende sammen på lignende måte. Grupper kun de indikatorene som har faktorer med identiske grader. La oss si forenkle uttrykk 4 k-6 k+5 k-5 k-+k-2 k-=3 k-k-5 k.
3. Hvis dette er mulig, bruk forkortede multiplikasjonsformler. Spesielt kjente inkluderer kuben og kvadratet av summen eller differansen av 2 tall. De representerer spesielt tilfelle Newtons binomiale. Forkortede multiplikasjonsformler inkluderer også forskjellen mellom kvadratene av 2 tall. La oss si, for å oppdage verdiene til uttrykket 625-1150+529=(25-23)?=4. Eller 1296-576=(36+24) (36-24)=720.
4. Når du skal konvertere uttrykk, som er en naturlig brøk, skiller ut alle telleren og nevneren felles multiplikator og reduser telleren og nevneren med det. La oss si, reduser brøken 3 (a+b)/(12 (a?-b?)). For å gjøre dette, transformer den til formen 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)). Kutt den ned uttrykk med 3 (a+b), får du 1/(4 (a-b)).
5. Transformerer trigonometriske uttrykk, bruk kjente trigonometriske identiteter. Disse inkluderer hovedidentiteten sin?(x)+cos?(x)=1, samt tangentformler og dens forhold til cotangens sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tan(x) = ctg(x). Formler for summen av forskjellen av argumenter, samt flere argumenter. La oss si konvertere uttrykk(cos?(x)-sin?(x)) cos?(x) tan(x)= cos(2x) cos?(x) sin(x)/cos(x)= cos(2x) cos(x) sin(x)= cos(2x) cos(x) sin(x) 2/2= cos(2x) sin(2x)/2=cos(2x) sin(2x) 2/4= sin(4x)/4 . Dette uttrykk mye lettere å beregne.
Prosedyren for å reformere formler brukes i enhver vitenskap som bruker det formelle språket i matematikk. Formler består av spesielle symboler knyttet til hverandre i henhold til visse regler.
Du vil trenge
- Kunnskap om reglene for matematiske identitetsreformasjoner, tabell over matematiske identiteter.
Bruksanvisning
1. Undersøk uttrykket for tilstedeværelsen av fraksjoner. Telleren og nevneren til en brøk kan multipliseres eller divideres med det samme uttrykket, slik at nevneren blir kvitt. Når du reformaterer en ligning, sjekk for å se om det er noen variabler i nevnerne. Hvis ja, legg til en betingelse om at nevneruttrykket ikke er lik null. Velg data fra denne ugyldige verdier variabler, det vil si restriksjoner i definisjonsdomenet.
2. Anvend reglene for operasjoner med fullmakter for identiske baser. Som et resultat vil antall terminer reduseres.
3. Flytt leddene som inneholder variabelen til den ene siden av ligningen, og de som ikke gjør det - til den andre. Bruk matematiske identiteter på hver del av ligningen for å gjøre det enklere.
4. Grupper homogene termer. For å gjøre dette, ta den universelle variabelen ut av parentes, inni som skriv ned summen av indikatorene, under hensyntagen til tegnene. Graden av samme variabel behandles som en annen variabel.
5. Sjekk om formelen inneholder eksempler på identiske reformasjoner av polynomer. La oss si, er det på høyre eller venstre side av formelen forskjellen av kvadrater, summen av terninger, kvadratet av forskjellen, kvadratet av summen osv. Hvis det er det, bytt ut den oppdagede prøven med dens forenklede analog og igjen prøv å gruppere begrepene.
6. Ved reform trigonometriske ligninger, ulikheter eller enkle uttrykk, finn mønstre i dem trigonometriske identiteter og bruke metoden for å erstatte en del av et uttrykk med et identisk forenklet uttrykk. Denne reformen lar deg bli kvitt unødvendige sinus eller cosinus.
7. Å reformere vinkler til alle generelt syn eller i radianform, bruk reduksjonsformlene. Senere reformering beregne verdien dobbel vinkel eller halv vinkel avhengig av pi.
SEKSJON IV.
DEKOMPONERING AV UTTRYKK TIL ENKLE FAKTORER.
§ 1. Konvertering av polynomer til produkter uten bruk av forkortede multiplikasjons- og divisjonsformler.
Hvis alle ledd i et polynom inneholder en felles faktor, kan du dele hele polynomet med denne faktoren og angi multiplikasjonen av den samme faktoren med den resulterende polynomkvotienten. Fra dette dette uttrykket vil ikke endre hans måter kvantitativ verdi, men vil ha form av et produkt. For eksempel binomial ab+ac kan representeres i skjemaet EN (b+c ).
Denne formtransformasjonen kalles å ta den felles faktoren ut av parentes. Når du utfører denne handlingen, bør du passe på å sette ut av parentes alt som er mulig, slik at ingen felles faktor forblir i vilkårene for kvotienten i parentes.
Noen ganger, når den tas ut av parentes, gis et minustegn til den generelle termen. I dette tilfellet er medlemmene av kvotienten i parentes skrevet med tegn motsatt de som medlemmene hadde foran seg gitt polynom. Negativt tegn den felles faktoren gjelder for hele produktet. For eksempel binomial - ab+ac kan representeres som (- EN )(b-c ), og i stedet skriver de - EN (b-c ), og minus gjelder ikke lenger for én faktor EN , men til hele verket.
Når medlemmene av et polynom ikke har en felles faktor, noen ganger ved å lykkes med å gruppere medlemmene i flere grupper som inneholder flere medlemmer i hver gruppe, finner man en felles og dessuten polynomfaktor i disse dannede gruppene. Ofte for en slik gruppering er det tilstrekkelig å sette flere medlemmer i parentes med et +- eller et --tegn.
For eksempel å ha et treleddsuttrykk EN (b +Med )+b+c vi setter de to siste leddene i parentes med pluss og finner uttrykket EN (b +Med )+(b+c ), som kan betraktes som et binomial og som omdannes til produktet ( EN +1 )(b+c ).
Ligner på dette i uttrykket EN (b-c )-b+c vi setter de to siste leddene i parentes med et minus, som får uttrykket til å ta formen EN (b-c )-(b-c ), og deretter transformert til produktet ( EN - 1 )(b-c ).
I de fleste tilfeller man møter i praksis, for å oppdage en felles polynomfaktor, kreves det ikke bare å kombinere vilkårene til et gitt polynom i grupper, men også å utlede en felles monomial faktor i disse gruppene, forskjellig for hver. grupper. Med et vellykket valg av grupper og under den obligatoriske betingelsen å ta ut alt som er mulig, er fellesfaktoren til hele det gitte polynomet lett oppdaget.
For eksempel å ha et polynom EN 3 +a 2 b +2ab 2 +2b 3 , vi kobler de to første leddene til en gruppe og de to siste til en annen og setter dem i parentes i den første gruppen EN 2 og i den andre 2b 2 ; vi får EN 2 (a+b )+ 2b 2 (a+b ) eller ( a+b )(EN 2 +2b 2 ). Det samme resultatet kan oppnås ved å ta ut faktoren i første og tredje termin EN , og i den andre og fjerde multiplikatoren b .
På samme måte, ved å kombinere i et polynom 3EN 3 - 3EN 2 b-ab 2 +b 3 den første termen med den tredje og den andre med den fjerde og tar ut multiplikatoren i den første gruppen EN , og i den andre faktoren - b, motta EN (3EN 2 -b 2 )-b (3EN 2 -b 2 ) eller ( a-b )(3EN 2 -b 2 ). Det samme resultatet ville blitt oppnådd hvis de to første leddene ble tatt ut av parentes 3EN 2 , og fra de to siste -b 2 .
Det skal bemerkes at transformasjoner av denne typen er svært forskjellige, spesielt når de kombineres med andre algebraiske operasjoner. Derfor er det umulig å gi generelle og fullstendig definerte regler for disse transformasjonene; ferdigheter i dem erverves bare gjennom grundig og metodisk trening.
Noen ganger, før du grupperer begrepene til et polynom for å utlede en polynomfaktor i det, er det nødvendig å utvide noen av begrepene til algebraisk sum nye medlemmer som ligner på nedbrytbare. I dette tilfellet er deler av de utvidede termene gruppert som ulike grupper. La oss bruke ekspansjonsmetoden til transformasjon av tre-term uttrykk.
For å konvertere et trinomial X 2 +5X+6 , utvider vi begrepet 5 X til summen av medlemmer 2 X Og 3 X . Dermed får vi:
X 2 +5X+6 = X 2 +2x+ 3 X +6 = X (X +2 )+3 (X +2 )==(X +2 )(X +3 ).
For å konvertere et trinomial X 2 +2X -15 , utvider vi begrepet + 2X i summen av medlemmer + 5X Og - 3X La oss finne:
X 2 +2X -15 = X 2 +5X - 3X -15 = X (X +5 )-3 (X +5 )==(X -3 )(X +5 ).
Det er en generell regel som angir når det er mulig å transformere trinomialer av denne formen til et produkt, og hvordan en slik transformasjon skal utføres. For å utlede og forstå denne regelen trenger du bare å utvide de fire typene trinomial X 2 ± ( a+b )X +ab Og X 2 ± ( a-b )X -ab , tar hver av dem separat og starter transformasjonen ved å åpne parentesene. Så viser det seg at de trinomialene hvis første koeffisient kl X 2 det er en, den andre koeffisienten kl X hva du vil, men den tredje koeffisienten eller begrepet som ikke inneholder X er det algebraiske produktet av de samme mengdene hvis algebraiske sum den andre koeffisienten er dekomponert til. Altså i trinomialet X 2 +5X+6 koeffisient 5 er summen av tall 3 Og 2 , A 6 er produktet av de samme tallene i et trinomium X 2 +2X -15 koeffisient - 2 er summen av mengder - 5 og + 3 , A - 15 er produktet av samme mengder. For å transformere et trinomial når det er mulig, må du bruke tegnene og numeriske verdiene til den tredje og andre koeffisienten for å finne en måte å dekomponere den tredje koeffisienten til produktet av to mengder, og den andre til summen av samme mengder. La oss se på noen eksempler:
La for eksempel gis en tredobling X 2 -11X+24 . Siden koeffisienten 24 er positiv, så må de påkrevde produsentene av den ha samme tegn. Å dømme etter det faktum at den andre koeffisienten er 11 negativ, ser vi at disse koeffisientprodusentene 24 eller koeffisientvilkår - 11 begge er negative. Til slutt, nedbrytning 24 av to negativ multiplikator og sammenligne summen deres med - 11 , la oss sørge for at for å forvandle trinomialet til et produkt må vi utvide gjennomsnittlig medlem - 11 X på medlemmer - 3 X Og - 8 X.
La oss også anta at vi får et trinomium X 2 - 7X-30 . Her er koeffisienten 30 negativ; det er derfor produsentene har det forskjellige tegn. Koeffisient -7 negativ; Når man komponerer det ved addisjon, har følgelig det negative leddet, som dermed har en større tallverdi, forrang. Derfor er medlemmet 7X må deles inn i medlemmer - 10X Og +3X.
Trinomialer hvis første koeffisient ikke er enhet, blir også ofte omdannet til et produkt. For slike transformasjoner vil vi ikke nå indikere generell regel, hvis konklusjon krever mer kompleks resonnement.
Ved å utvikle den ovenfor betraktede metoden for å transformere trinomialer til et produkt, kan vi utvide polynomer høyere grader i de tilfellene når de representerer produkter av de enkleste binomialene av første grad. For å forenkle slike transformasjoner, er det nyttig å presisere følgende bemerkning: anta at et hvilket som helst polynom inneholder som en faktor et binomium x + a . Siden dette binomiale, når du erstatter X gjennom - EN , forsvinner, deretter polynomet som inneholder x+a multiplikator må også forsvinne med denne erstatningen. Tilsvarende, hvis et polynom inneholder et binomium som en faktor Ha , som forsvinner ved utskifting X gjennom EN, så forsvinner selve polynomet med samme erstatning. Det motsatte er også sant: hvis et polynom inneholder ulike grader X , forsvinner ved utskifting X gjennom - EN eller gjennom EN , så er det vel delt i det første tilfellet i x+a , og i den andre på Ha , fordi polynomet som forsvinner under en av de indikerte substitusjonene kun kan forklares ved at polynomet inneholder den tilsvarende binomiale faktoren. Ovennevnte merknader gir en enkel måte å oppdage binomialfaktoren i et polynom, og så kan denne faktoren settes i parentes ved å dekomponere polynomets midtledd til algebraiske summer.
Ta for eksempel polynomet X 3 +6X 2 +11X+6 . Den forsvinner når den skiftes ut X gjennom - 1 og er derfor delt inn i X +1. Når vi kjenner denne faktoren på forhånd, gjør vi det lettere for oss selv å dekomponere termene til summer ved å definitivt velge for hver term, og starter med den høyeste delen av neste term, slik at paret med grupperte termer inneholder faktoren X +1 . Derfor utføres transformasjonen som følger:
X
3
+6X 2 +11X+6
= X
3
+X
2
+5X
2
+5X+6X+6
= X
2
(X
+1
)+ 5X
(X
+1
)+ 6
(X
+1
)= (X
+1
)(X
2
+5X
+6
) =
= (X
+1
)(X
+2
)(X
+3
)
På samme måte legger vi merke til at polynomet X 3 -4X 2 -11X+30 går til null ved utskifting X gjennom 2 og er derfor delt inn i X- 2 . Derfor utfører vi transformasjonen slik:
X
3
-4X 2 -11X+30
= X
3
-2X 2 -2X
2
+4X-15X+30
= X
2
(X
-2
) -2X(X-2)-15
(X
-2
)=
=(X
-2
)(X
2
-2X
-15
)=(X
-2
)(X
+3
)(X
-5
).
Det første valget av multiplikatoren gjøres lettere av det faktum at det er nødvendig å erstatte bare disse mengdene i polynomet numerisk verdi som inngår som en faktor i siste ledd i polynomet. Dette avsløres når man vurderer polynomuttrykket generell form virker ( X +EN )(X +b )(X +c ). Det siste leddet i dette polynomet er abc.
