Transformasjoner av trigonometriske uttrykk. Leksjon "Forenkle trigonometriske uttrykk"

Leksjon 1

Emne: 11. klasse (forberedelse til Unified State Exam)

Forenkling trigonometriske uttrykk.

Løse enkle trigonometriske ligninger. (2 timer)

Mål:

• Systematisere, generalisere, utvide elevenes kunnskaper og ferdigheter knyttet til bruk av trigonometriformler og løse enkle trigonometriske ligninger.

Utstyr til timen:

Leksjonsstruktur:

1. Organisatorisk øyeblikk
2. Testing på bærbare datamaskiner. Diskusjonen om resultatene.
3. Forenkling av trigonometriske uttrykk
4. Løse enkle trigonometriske ligninger
5. Selvstendig arbeid.
6. Leksjonssammendrag. Forklaring av hjemmeoppgave.

1. Organisatorisk øyeblikk. (2 minutter.)

Læreren hilser publikum, kunngjør temaet for leksjonen, minner dem om at oppgaven tidligere ble gitt å gjenta trigonometriformler, og forbereder elevene til testing.

2. Testing. (15 min + 3 min diskusjon)

Målet er å teste kunnskap om trigonometriske formler og evnen til å anvende dem. Hver elev har en bærbar datamaskin på skrivebordet med en versjon av testen.

Det kan være et hvilket som helst antall alternativer, jeg vil gi et eksempel på en av dem:

jeg alternativ.

Forenkle uttrykk:

a) grunnleggende trigonometriske identiteter

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) addisjonsformler

3. sin5x - sin3x;

c) konvertere et produkt til en sum

6. 2sin8y cos3y;

d) doble vinkelformler

7. 2sin5x cos5x;

e) formler for halve vinkler

f) trippelvinkelformler

og) universell substitusjon

h) reduksjon i grad

16. cos 2 (3x/7);

Elevene ser svarene sine på den bærbare datamaskinen ved siden av hver formel.

Arbeidet blir umiddelbart sjekket av datamaskinen. Resultatene vises på en stor skjerm slik at alle kan se dem.

Etter endt arbeid vises også de riktige svarene på elevenes bærbare datamaskiner. Hver elev ser hvor feilen ble gjort og hvilke formler han må gjenta.

3. Forenkling av trigonometriske uttrykk. (25 min.)

Målet er å gjenta, øve og konsolidere bruken av grunnleggende trigonometriformler. Løse problemer B7 fra Unified State Exam.

På sånn som det er nå Det anbefales å dele klassen inn i grupper med sterke personer (de jobber selvstendig med påfølgende testing) og svake elever som jobber med læreren.

Oppgave for sterke elever (forberedt på forhånd for trykt grunnlag). Hovedvekten er lagt på reduksjonsformler og dobbel vinkel, ifølge Unified State Examination 2011.

Forenkle uttrykk (for sterke elever):

Samtidig jobber læreren med svake elever, diskuterer og løser oppgaver på skjermen under elevenes diktat.

Regne ut:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Forenkle:

Det var på tide å diskutere resultatene av arbeidet til den sterke gruppen.

Svarene vises på skjermen, og også, ved hjelp av et videokamera, vises arbeidet til 5 forskjellige elever (en oppgave for hver).

Den svake gruppen ser tilstanden og løsningsmetoden. Diskusjon pågår og analyse. Ved hjelp av tekniske midler det skjer raskt.

4. Løse enkle trigonometriske ligninger. (30 min.)

Målet er å gjenta, systematisere og generalisere løsningen av de enkleste trigonometriske ligningene og skrive ned røttene deres. Løsning av oppgave B3.

Enhver trigonometrisk ligning, uansett hvordan vi løser den, fører til den enkleste.

Når de fullfører oppgaven, bør elevene være oppmerksomme på å skrive ned røttene til ligninger av spesielle tilfeller og generelt syn og på valg av røtter i den siste ligningen.

Løs ligninger:

Skriv ned den minste positive roten som svar.

5. Selvstendig arbeid (10 min.)

Målet er å teste ferdighetene, identifisere problemer, feil og måter å eliminere dem på.

Arbeid på flere nivåer tilbys for studenten å velge mellom.

Alternativ "3"

1) Finn verdien av uttrykket

2) Forenkle uttrykket 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Løs ligningen

Alternativ for "4"

1) Finn verdien av uttrykket

2) Løs ligningen Skriv ned den minste positive roten i svaret ditt.

Alternativ for "5"

1) Finn tanα if

2) Finn roten til ligningen Skriv ned den minste positive roten som svar.

6. Leksjonssammendrag (5 min.)

Læreren oppsummerer det som ble gjentatt og forsterket i timen trigonometriske formler, løse enkle trigonometriske ligninger.

Lekser tildeles (utarbeidet på trykt basis på forhånd) med stikkprøve i neste leksjon.

Løs ligninger:

9)

10) I svaret ditt angir du den minste positive roten.

Leksjon 2

Emne: 11. klasse (forberedelse til Unified State Exam)

Metoder for å løse trigonometriske ligninger. Rotvalg. (2 timer)

Mål:

• Generalisere og systematisere kunnskap om løsning av trigonometriske ligninger av ulike typer.
• Fremme utvikling matematisk tenkning elever, evnen til å observere, sammenligne, generalisere, klassifisere.
• Oppmuntre elevene til å overvinne vanskeligheter i prosessen mental aktivitet, til selvkontroll, introspeksjon av ens aktiviteter.

Utstyr til timen: KRMu, bærbare datamaskiner for hver student.

Leksjonsstruktur:

1. Organisatorisk øyeblikk
2. Diskusjon av d/z og selv. arbeid fra forrige leksjon
3. Gjennomgang av metoder for å løse trigonometriske ligninger.
4. Løse trigonometriske ligninger
5. Utvalg av røtter i trigonometriske ligninger.
6. Selvstendig arbeid.
7. Leksjonssammendrag. Hjemmelekser.

1. Organisasjonsøyeblikk (2 min.)

Læreren hilser på publikum, annonserer emnet for timen og arbeidsplanen.

2. a) Analyse hjemmelekser(5 minutter.)

Målet er å sjekke utførelse. Ett arbeid vises på skjermen ved hjelp av et videokamera, resten samles selektivt inn for lærerkontroll.

b) Analyse selvstendig arbeid(3 min.)

Målet er å analysere feil og angi måter å overvinne dem på.

Svar og løsninger vises på skjermen. Analysen går raskt.

3. Gjennomgang av metoder for å løse trigonometriske ligninger (5 min.)

Målet er å huske metoder for å løse trigonometriske ligninger.

Spør elevene hvilke metoder for å løse trigonometriske ligninger de kjenner. Understrek at det finnes såkalte grunnleggende (ofte brukte) metoder:

• variabel utskifting,
• faktorisering,
• homogene ligninger,

og det er anvendte metoder:

• bruke formlene for å konvertere en sum til et produkt og et produkt til en sum,
• i henhold til formler reduksjon i grad,
• universell trigonometrisk substitusjon
• introduksjon hjelpevinkel,
• multiplikasjon med noen trigonometrisk funksjon.

Det bør også huskes at en ligning kan løses på forskjellige måter.

4. Løse trigonometriske ligninger (30 min.)

Målet er å generalisere og konsolidere kunnskap og ferdigheter om dette emnet, for å forberede C1-løsningen fra Unified State Exam.

Jeg anser det som tilrådelig å løse likninger for hver metode sammen med elever.

Eleven dikterer løsningen, læreren skriver den ned på nettbrettet, og hele prosessen vises på skjermen. Dette lar deg raskt og effektivt huske tidligere dekket materiale i minnet.

Løs ligninger:

1) erstatte variabelen 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisering 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene ligninger sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) konvertere summen til et produkt cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) konvertere produktet til summen 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) reduksjon av graden sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universell trigonometrisk substitusjon sinx + 5cosx + 5 = 0.

Når du løser denne ligningen, bør det bemerkes at ved å bruke denne metoden fører til en innsnevring av definisjonsområdet, siden sinus og cosinus erstattes med tg(x/2). Derfor, før du skriver ut svaret, må du sjekke om tallene fra settet π + 2πn, n Z er hester av denne ligningen.

8) introduksjon av en hjelpevinkel √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplikasjon med noen trigonometriske cosx funksjon cos2x cos4x = 1/8.

5. Valg av røtter til trigonometriske ligninger (20 min.)

Siden det under forhold med hard konkurranse når de går inn på universiteter, ikke er nok å løse den første delen av eksamen alene, bør de fleste studenter ta hensyn til oppgavene i den andre delen (C1, C2, C3).

Derfor er målet med denne fasen av leksjonen å huske tidligere studert materiale og forberede seg på å løse problem C1 fra Unified State Exam 2011.

Eksistere trigonometriske ligninger, der det er nødvendig å velge røtter når du skriver ut svaret. Dette skyldes noen begrensninger, for eksempel: nevneren til brøken er det ikke lik null, uttrykket under den jevne roten er ikke-negativt, uttrykket under logaritmetegnet er positivt, etc.

Slike ligninger regnes som ligninger økt kompleksitet og i versjon av Unified State Exam er i den andre delen, nemlig C1.

Løs ligningen:

En brøk er lik null hvis da ved bruk av enhetssirkel la oss velge røttene (se figur 1)

Bilde 1.

vi får x = π + 2πn, n Z

Svar: π + 2πn, n Z

På skjermen vises utvalget av røtter på en sirkel i et fargebilde.

Produktet er lik null når minst en av faktorene er lik null, og buen ikke mister sin betydning. Deretter

Ved hjelp av enhetssirkelen velger vi røttene (se figur 2)

Videoleksjonen «Forenkling av trigonometriske uttrykk» er ment å utvikle elevenes ferdigheter i å løse trigonometriske problemer ved å bruke grunnleggende trigonometriske identiteter. I løpet av videotimen diskuteres typer trigonometriske identiteter og eksempler på problemløsning ved bruk av dem. Søker visuelt materiale, er det lettere for læreren å oppnå leksjonens mål. Levende presentasjon av materiale fremmer memorering viktige poeng. Bruken av animasjonseffekter og voice-over lar deg erstatte læreren fullstendig når du forklarer materialet. Ved å bruke dette visuelle hjelpemiddelet i matematikktimene kan læreren dermed øke effektiviteten av undervisningen.

I begynnelsen av videoleksjonen kunngjøres emnet. Så husker vi de trigonometriske identitetene som ble studert tidligere. Skjermen viser likhetene sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, hvor t≠π/2+πk for kϵZ, ctg t=cos t/sin t, korrekt for t≠πk, hvor kϵZ, tg t· ctg t=1, for t≠πk/2, hvor kϵZ, kalt de grunnleggende trigonometriske identitetene. Det bemerkes at disse identitetene ofte brukes til å løse problemer der det er nødvendig å bevise likhet eller forenkle et uttrykk.

Nedenfor tar vi for oss eksempler på bruken av disse identitetene for å løse problemer. Først foreslås det å vurdere å løse problemer med å forenkle uttrykk. I eksempel 1 er det nødvendig å forenkle uttrykket cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. For å løse eksempelet, sett det først ut av parentes felles multiplikator koster 2 t. Som et resultat av denne transformasjonen i parentes oppnås uttrykket 1- cos 2 t, hvis verdi fra hovedidentiteten til trigonometri er lik sin 2 t. Etter å ha transformert uttrykket er det åpenbart at en mer vanlig faktor sin 2 t kan tas ut av parentes, hvoretter uttrykket tar formen sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Fra den samme grunnleggende identiteten utleder vi verdien av uttrykket i parentes lik 1. Som et resultat av forenkling får vi cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

I eksempel 2 må uttrykket kostnad/(1- sint)+ kostnad/(1+ sint) forenkles. Siden tellerne til begge brøkene inneholder uttrykket kostnad, kan det tas ut av parentes som en felles faktor. Brøkene i parentes reduseres deretter til fellesnevner multiplisere (1- sint)(1+ sint). Etter å ha tatt med lignende vilkår telleren forblir 2, og nevneren 1 - sin 2 t. På høyre side av skjermen er en påminnelse om grunnleggende trigonometri identitetssynd 2 t+cos 2 t=1. Ved å bruke den finner vi nevneren til brøken cos 2 t. Etter å ha redusert brøken får vi en forenklet form av uttrykket kostnad/(1- sint)+ kostnad/(1+ sint)=2/kostnad.

Deretter tar vi for oss eksempler på identitetsbevis som bruker den ervervede kunnskapen om trigonometriens grunnleggende identiteter. I eksempel 3 er det nødvendig å bevise identiteten (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Høyre side av skjermen viser tre identiteter som vil være nødvendig for beviset - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t og tg t=sin t/cos t med restriksjoner. For å bevise identiteten åpnes først parentesene, hvoretter det dannes et produkt som reflekterer uttrykket til den trigonometriske hovedidentiteten tg t·ctg t=1. Deretter, i henhold til identiteten fra definisjonen av cotangens, transformeres ctg 2 t. Som et resultat av transformasjonene oppnås uttrykket 1-cos 2 t. Ved hjelp av hovedidentiteten finner vi betydningen av uttrykket. Dermed er det bevist at (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

I eksempel 4 må du finne verdien av uttrykket tg 2 t+ctg 2 t hvis tg t+ctg t=6. For å beregne uttrykket, kvadrerer du først høyre og venstre side av likheten (tg t+ctg t) 2 =6 2. Den forkortede multiplikasjonsformelen hentes frem på høyre side av skjermen. Etter å ha åpnet parentesene på venstre side av uttrykket, dannes summen tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, for å transformere som du kan bruke en av de trigonometriske identitetene tg t·ctg t=1 , hvis form tilbakekalles på høyre side av skjermen. Etter transformasjonen oppnås likheten tg 2 t+ctg 2 t=34. Venstre side av likheten sammenfaller med problemets tilstand, så svaret er 34. Problemet er løst.

Videoleksjonen "Forenkling av trigonometriske uttrykk" anbefales for bruk i tradisjonelle skoletime matematikk. Materialet vil også være nyttig for læreren som skal implementere fjernundervisning. For å utvikle ferdigheter i å løse trigonometriske problemer.

TEKSTDEKODING:

"Forenkling av trigonometriske uttrykk."

Likheter

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te pluss cosinus kvadrat te er lik én)

2)tgt =, for t ≠ + πk, kϵZ (tangens te er lik forholdet mellom sinus te og cosinus te med te ikke lik pi med to pluss pi ka, ka tilhører zet)

3)ctgt = , for t ≠ πk, kϵZ (cotangens te er lik forholdet mellom cosinus te og sinus te med te ikke lik pi ka, ka tilhører zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 for t ≠ , kϵZ (produktet av tangent te ved cotangens te er lik én når te ikke er lik topp ka, delt på to, ka tilhører zet)

kalles grunnleggende trigonometriske identiteter.

De brukes ofte til å forenkle og bevise trigonometriske uttrykk.

La oss se på eksempler på bruk av disse formlene for å forenkle trigonometriske uttrykk.

EKSEMPEL 1. Forenkle uttrykket: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (uttrykk a cosinus kvadrert te minus cosinus av fjerde grad te pluss sinus av fjerde grad te).

Løsning. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(vi tar ut fellesfaktoren cosinus kvadrat te, i parentes får vi differansen mellom enhet og kvadratisk cosinus te, som er lik kvadratet sinus te ved første identitet. Vi får summen av fjerde potens sinus te av produkt cosinus kvadrat te og sinus kvadrat te Vi tar ut fellesfaktoren sinus kvadrat te utenfor parentesene, i parentes får vi summen av kvadratene av cosinus og sinus, som i utgangspunktet er. trigonometrisk identitet tilsvarer en. Som et resultat får vi kvadratet av sinus te).

EKSEMPEL 2. Forenkle uttrykket: + .

(uttrykk er summen av to brøker i telleren til den første cosinus te i nevneren en minus sinus te, i telleren til den andre cosinus te i nevneren til den andre pluss sinus te).

(La oss ta den felles faktoren cosinus te ut av parentes, og i parentes bringer vi den til en fellesnevner, som er produktet av én minus sinus te med én pluss sinus te.

I telleren får vi: én pluss sinus te pluss én minus sinus te, vi gir like, telleren er lik to etter å ha brakt like.

I nevneren kan du bruke den forkortede multiplikasjonsformelen (kvadraters forskjell) og få forskjellen mellom enhet og kvadratet av sinus teen, som i henhold til den grunnleggende trigonometriske identiteten

lik kvadratet av cosinus te. Etter å ha redusert med cosinus te får vi det endelige svaret: to delt på cosinus te).

La oss se på eksempler på bruk av disse formlene når du beviser trigonometriske uttrykk.

EKSEMPEL 3. Bevis identiteten (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (produktet av forskjellen mellom kvadratene av tangent te og sinus te med kvadratet av cotangens te er lik kvadratet av sine te).

Bevis.

La oss transformere venstre side likestilling:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(La oss åpne parentesene; fra den tidligere oppnådde relasjonen er det kjent at produktet av kvadratene av tangent te ved cotangens te er lik én. Husk at cotangens te lik forholdet cosinus te ved sinus te, som betyr at kvadratet av cotangens er forholdet mellom kvadratet av cosinus te og kvadratet av sinus te.

Etter reduksjon med sinus kvadrat te får vi forskjellen mellom enhet og cosinus kvadrat te, som er lik sinus kvadrat te). Q.E.D.

EKSEMPEL 4. Finn verdien av uttrykket tg 2 t + ctg 2 t hvis tgt + ctgt = 6.

(summen av kvadratene av tangent te og cotangens te, hvis summen av tangent og cotangens er seks).

Løsning. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

La oss kvadre begge sider av den opprinnelige likheten:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadraten av summen av tangent te og cotangens te er lik seks i andre). La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon: Kvadrat av summen av to størrelser lik kvadrat det første pluss to ganger produktet av det første og det andre pluss kvadratet av det andre. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Vi får tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangens kvadrert te pluss doble produktet av tangent te ved cotangens te pluss cotangens squared te lik trettiseks) .

Siden produktet av tangent te og cotangens te er lik én, så er tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (summen av kvadratene av tangent te og cotangens te og to er lik trettiseks),