Formel for et ekstra (hjelpe)argument
Tenk på et uttrykk for formen
der tallene og ikke er lik null på samme tid. La oss multiplisere og dele hvert av begrepene med og ta den felles faktoren ut av parentes:
Det er lett å sjekke det
som betyr, ved setning 2, er det en reell vinkel slik at
Ved å bruke sinusen til sumformelen får vi altså
hvor vinkelen som og kalles hjelpeargumentformelen og brukes til å løse inhomogene lineære ligninger og ulikheter.
Inverse trigonometriske funksjoner
Definisjoner
Så langt har vi løst problemet med å bestemme trigonometriske funksjoner for gitte vinkler. Men hva om problemet er det motsatte: å vite hvilken som helst trigonometrisk funksjon, bestem den tilsvarende vinkelen.
arcsine
Tenk på uttrykket hvor er et kjent reelt tall. Per definisjon er sinus ordinaten til skjæringspunktet til strålen som danner en vinkel med abscisseaksen og den trigonometriske sirkelen. For å løse ligningen må du derfor finne skjæringspunktene til en rett linje og en trigonometrisk sirkel.
Åpenbart, ved , har den rette linjen og sirkelen ingen felles punkter, og derfor har ligningen ingen løsninger. Det vil si at det er umulig å finne en vinkel hvis sinus vil være større enn 1 i absolutt verdi.
Når, en rett linje og en sirkel har skjæringspunkter, for eksempel, og (se figur). Dermed vil alle vinkler som skiller seg fra dem med et helt antall hele omdreininger ha en gitt sinus, dvs. , - et uendelig antall vinkler. Hvordan velge én vinkel blant denne uendelige variasjonen?
For unikt å bestemme vinkelen som tilsvarer tallet, er det nødvendig å kreve oppfyllelse av en tilleggsbetingelse: denne vinkelen må tilhøre segmentet. Denne vinkelen kalles arcsinus av tallet. vinkel trigonometrisk funksjonsidentitet
arcsine reelt tall er et reelt tall hvis sinus er lik. Dette nummeret er angitt.
buekosinus
La oss nå vurdere en formlikning. For å løse det er det nødvendig å finne alle punkter på den trigonometriske sirkelen som har en abscisse, dvs. skjæringspunkter med en linje. Som i forrige tilfelle har ligningen under vurdering ingen løsninger. Og hvis det er skjæringspunkter mellom en rett linje og en sirkel, tilsvarende et uendelig antall vinkler, .
For å unikt bestemme vinkelen som tilsvarer en gitt cosinus, introduseres en tilleggsbetingelse: denne vinkelen må tilhøre segmentet; en slik vinkel kalles buekosinus til tallet.
buekosinus reelt tall er et reelt tall hvis cosinus er lik. Dette nummeret er angitt.
Arctangens og arccotangent
La oss se på uttrykket. For å løse det, må du på sirkelen finne alle skjæringspunktene med den rette linjen, hvis vinkelkoeffisient er lik tangenten til helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til abscisseaksen. En slik linje, for alle reelle verdier, skjærer den trigonometriske sirkelen i to punkter. Disse punktene er symmetriske om origo og tilsvarer vinklene, .
For entydig å bestemme en vinkel med en gitt tangent, velges den fra intervallet.
Arctangens Et vilkårlig reelt tall er et reelt tall hvis tangent er lik. Dette nummeret er angitt.
For å bestemme buetangensen til en vinkel brukes lignende resonnement, med den eneste forskjellen at skjæringen av en sirkel med en rett linje vurderes og vinkelen velges fra intervallet.
Arccotangens Et vilkårlig reelt tall er et reelt tall hvis cotangens er lik. Dette nummeret er angitt.
Egenskaper til inverse trigonometriske funksjoner
Domene og domene
Partall/oddetall
Konvertering av inverse trigonometriske funksjoner
For å transformere uttrykk som inneholder inverse trigonometriske funksjoner, brukes ofte egenskaper som følger av definisjonen av disse funksjonene:
For ethvert reelt tall det holder
og vice versa:
Tilsvarende for ethvert reelt tall det har
og vice versa:
Grafer over trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner
Grafer over trigonometriske funksjoner
La oss starte med å plotte en graf av en funksjon på et segment. For å gjøre dette vil vi bruke definisjonen av sinus på en trigonometrisk sirkel. La oss dele den trigonometriske sirkelen i (i dette tilfellet 16) like deler og plassere et koordinatsystem i nærheten, der segmentet på aksen også er delt inn i like deler. Ved å tegne rette linjer parallelt med aksen gjennom delepunktene til sirkelen, i skjæringspunktet mellom disse linjene med perpendikulære gjenopprettede fra de tilsvarende delepunktene på aksen, får vi punkter hvis koordinater per definisjon er lik sinusene til de tilsvarende vinklene. Ved å tegne en jevn kurve gjennom disse punktene får vi en graf over funksjonen for. For å få en graf av en funksjon på hele tallinjen, bruk periodisiteten til sinusen: , .
For å få grafen til funksjonen skal vi bruke reduksjonsformelen. Dermed hentes grafen til en funksjon fra grafen til en funksjon ved parallell translasjon til venstre med et lengdesegment.
Bruk av grafer over trigonometriske funksjoner gir en annen enkel måte å få reduksjonsformler på. La oss se på noen få eksempler.
La oss forenkle uttrykket. På aksen betegner vi vinkelen og betegner dens sinus og cosinus som henholdsvis og. La oss finne vinkelen på aksen og gjenopprette vinkelrett på skjæringspunktet med sinusgrafen. Det fremgår tydelig av figuren.
Oppgave: forenkle uttrykket.
La oss gå videre til å konstruere en graf av funksjonen. Husk først at for en vinkel er tangenten lengden på segmentet AB. Ved analogi med å konstruere en sinusgraf, dele den høyre halvsirkelen i like deler og plotte de resulterende tangentverdiene, får vi grafen vist i figuren. For andre verdier oppnås grafen ved å bruke egenskapen tangentperiodisitet, .
De stiplede linjene på grafen representerer asymptoter. Asymptote en kurve er en rett linje som kurven nærmer seg så nært som ønsket når den beveger seg til det uendelige, men som ikke skjærer den.
For en tangent er asymptotene rette linjer, hvis utseende er assosiert med konverteringen til null på disse punktene.
Ved å bruke lignende resonnement får man en graf over funksjonen. For det er asymptotene rette linjer, . Denne grafen kan også fås ved å bruke reduksjonsformelen, dvs. transformasjon av symmetri om aksen og forskyvning til høyre.
Egenskaper til trigonometriske funksjoner
Grafer over inverse trigonometriske funksjoner
Først introduserer vi begrepet en invers funksjon.
Hvis en funksjon monotont øker eller reduseres, så eksisterer det for den invers funksjon. For å konstruere en graf av den inverse funksjonen, bør grafen utsettes for en symmetritransformasjon i forhold til den rette linjen. Figurene viser et eksempel på å få en graf over den inverse funksjonen.
Siden arcsinus, arccosinus, arctangens og arccotangent-funksjonene er inversene til henholdsvis sinus-, cosinus-, tangens- og cotangensfunksjonene, oppnås grafene deres ved transformasjonen beskrevet ovenfor. Grafene til de opprinnelige funksjonene i figurene er skyggelagt.
Fra de ovennevnte figurene er en av hovedegenskapene til inverse trigonometriske funksjoner åpenbar: summen av kofunksjoner med samme tall gir.
Lemma. Hvis summen av kvadratene til to reelle tall er lik ett, kan ett av disse tallene betraktes som en cosinus, og det andre som sinus til en vinkel.
Med andre ord, hvis EN 2 + b 2 = 1 , så er det en vinkel φ , slik at
EN = cosφ; b= sinφ.
Før vi beviser dette lemmaet, la oss illustrere det med følgende eksempel:
$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$
Derfor er det en vinkel φ , slik at \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = synd φ .
Som φ i dette tilfellet kan du velge hvilken som helst av vinklene 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° osv.
Bevis på lemmaet:
Tenk på en vektor \(\vec(0A)\) med koordinater ( a, b ). Fordi det EN 2 + b 2 = 1 , lengden på denne vektoren er 1. Men i dette tilfellet må dens koordinater være like cos φ Og sinφ, Hvor φ - vinkelen som en gitt vektor danner med abscisseaksen.
Så, EN = cosφ; b=sinφ, som var det som måtte bevises.
Det velprøvde lemmaet lar oss transformere uttrykket en sin x + b fordi x til en form som er mer praktisk for studier.
Først av alt, la oss ta uttrykket \(\sqrt(a^2 + b^2)\) ut av parentes
$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a) ^2 + b^2))cosx) $$
Fordi det
$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ $
det første av tallene \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) og \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) kan betraktes som cosinus til en eller annen vinkel φ , og den andre - som sinus av samme vinkel φ :
$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = sin\phi $$
Men i så fall
en sin x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ )
en sin x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), hvor vinkelen φ bestemmes ut fra betingelsene
$$ sin\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$
Eksempler.
1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4) )sin x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))) \)
Den resulterende formelen synd x+cos x= \(\sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))\) nyttig å huske.
2) Hvis ett av tallene EN
Og b
positiv og den andre negative, så uttrykket
en sin x + b fordi x Det er mer praktisk å konvertere ikke til sinus av summen, men til sinus av forskjellen til to vinkler. Så,
$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$
hvor under φ vi kan mene enhver vinkel som tilfredsstiller følgende betingelser:
cos φ = 3/5, synd φ = 4 / 5
Spesielt kan man sette φ = arctan 4/3. Da får vi:
3 sin x - 4 cos x = 5 sin (x - arctan 4 / 3).
I algebratimer forteller lærere oss at det er en liten (faktisk veldig stor) klasse med trigonometriske ligninger som ikke kan løses med standardmetoder – verken gjennom faktorisering, eller gjennom endring av variabel, heller ikke gjennom homogene termer. I dette tilfellet spiller en fundamentalt annen tilnærming inn - hjelpevinkelmetoden.
Hva er denne metoden og hvordan bruke den? La oss først huske formlene for sinusen til summen/forskjellen og cosinus til summen/forskjellen:
\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]
Jeg tror disse formlene er godt kjent for deg - fra dem er de doble argumentformlene utledet, uten hvilke det absolutt ikke finnes noen steder i trigonometri. Men la oss nå se på en enkel ligning:
Del begge sider med 5:
Legg merke til at $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, som betyr at det er sikkert en vinkel $\alpha $ der disse tallene er henholdsvis cosinus og sinus. Derfor vil ligningen vår omskrives som følger:
\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]
Og dette kan allerede lett løses, hvoretter det bare gjenstår å finne ut hva vinkelen $\alpha $ er lik. Hvordan finne ut, samt hvordan velge riktig tall for å dele begge sider av ligningen (i dette enkle eksemplet delt vi på 5) - vi snakker om dette i dagens videoleksjon:
I dag skal vi analysere løsningen av trigonometriske ligninger, eller, mer presist, en enkelt teknikk kalt "hjelpevinkelmetoden." Hvorfor denne metoden? Rett og slett fordi i løpet av de siste to-tre dagene, da jeg underviste elever som jeg fortalte om å løse trigonometriske ligninger, og vi undersøkte blant annet hjelpevinkelmetoden, og alle elevene som én gjorde den samme feilen . Men metoden er generelt enkel, og dessuten er det en av hovedteknikkene innen trigonometri. Derfor kan mange trigonometriske problemer ikke løses i det hele tatt bortsett fra ved hjelp av hjelpevinkelmetoden.
Derfor skal vi nå først se på et par enkle oppgaver, og så går vi videre til mer seriøse oppgaver. Imidlertid vil alle disse på en eller annen måte kreve at vi bruker hjelpevinkelmetoden, essensen som jeg vil fortelle i det første designet.
Løse enkle trigonometriske problemer
Eksempel #1
\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]
La oss forvandle uttrykket vårt litt:
\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\venstre| \left(-1 \right) \right.\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]
Hvordan skal vi løse det? Standardtrikset er å løse $\sin 2x$ og $\cos 2x$ ved å bruke dobbelvinkelformlene, og deretter skrive om enheten som $((\sin )^(2))x((\cos )^(2) )x$, få en homogen ligning, reduser den til tangenter og løs. Dette er imidlertid en lang og kjedelig vei som krever en stor mengde beregninger.
Jeg foreslår at du tenker på dette. Vi har $\sin$ og $\cos$. La oss huske formelen for cosinus og sinus for sum og forskjell:
\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]
\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]
La oss gå tilbake til vårt eksempel. La oss redusere alt til forskjellens sinus. Men først må ligningen transformeres litt. La oss finne koeffisienten:
$\sqrt(l)$ er den samme koeffisienten som det er nødvendig å dele begge sider av ligningen med slik at det foran sinus og cosinus vises tall som i seg selv er sinus og cosinus. La oss dele:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
La oss se på hva vi har til venstre: finnes det en $\sin $ og $\cos $ slik at $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ og $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Det er åpenbart: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Derfor kan vi omskrive uttrykket vårt som følger:
\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]
\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(6))=\frac(1)(2)\]
Nå har vi formelen for forskjellens sinus. Vi kan skrive slik:
\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]
Her har vi den enkleste klassiske trigonometriske konstruksjonen. La meg minne deg på:
Vi vil skrive dette ned for vårt spesifikke uttrykk:
\[\venstre[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\tekst( ))(6)=2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )n \\& 2x-\frac(\tekst( )\!\ !\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(6))=\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-\frac(\tekst( )\!\! \pi\!\!\tekst( ))(\tekst(6))+2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )n \\\end(align) \right.\ ]
\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\tekst( )n \\& 2x=\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )+2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst ( )n \\\end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\tekst( )n \\& x=\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(2)+\tekst( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
Nyanser av løsningen
Så, hva bør du gjøre hvis du kommer over et lignende eksempel:
- Endre designet om nødvendig.
- Finn korreksjonsfaktoren, ta roten fra den og del begge sider av eksemplet med den.
- La oss se hvilke sinus- og cosinusverdier tallene får.
- Vi utvider ligningen ved å bruke sinus- eller cosinusdifferansen eller sumformlene.
- Vi løser den enkleste trigonometriske ligningen.
I denne forbindelse vil oppmerksomme studenter sannsynligvis ha to spørsmål.
Hva hindrer oss i å skrive ned $\sin $ og $\cos $ på stadiet for å finne korreksjonsfaktoren? – Den grunnleggende trigonometriske identiteten hindrer oss. Faktum er at de resulterende $\sin $ og $\cos $, som alle andre med det samme argumentet, bør gi nøyaktig "én" totalt når de er kvadratisk. Under beslutningsprosessen må du være veldig forsiktig og ikke miste "2" før "X".
Hjelpevinkelmetoden er et verktøy som bidrar til å redusere en "stygg" ligning til en helt adekvat og "vakker".
Eksempel nr. 2
\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]
Vi ser at vi har $((\sin )^(2))x$, så la oss bruke strømreduksjonsberegningene. Men før vi bruker dem, la oss ta dem ut. For å gjøre dette, husk hvordan du finner cosinus til en dobbel vinkel:
\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]
Hvis vi skriver $\cos 2x$ i det tredje alternativet, får vi:
\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]
Jeg skriver det ut separat:
\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]
Det samme kan gjøres for $((\cos )^(2))x$:
\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]
Vi trenger bare de første beregningene. La oss begynne å jobbe med oppgaven:
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]
\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]
La oss nå bruke beregningene av cosinus til forskjellen. Men først, la oss beregne $l$-korreksjonen:
La oss omskrive det med dette faktum i betraktning:
\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]
I dette tilfellet kan vi skrive at $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, og $\frac(1)(2)=\cos \frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(3)$. La oss skrive om:
\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]
\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]
La oss legge til et "minus" i braketten på en smart måte. For å gjøre dette, legg merke til følgende:
\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( +)\frac(\tekst( )\!\!\pi\! \!\tekst( ))(\tekst(3))+2x \høyre)=\]
\[=\cos \venstre(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-\frac(2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]
La oss gå tilbake til uttrykket vårt og husk at i rollen som $\varphi $ har vi uttrykket $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Derfor, la oss skrive:
\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos x\]
\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]
For å løse dette problemet må du huske dette:
\[\cos \alpha =\cos \beta \]
\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
La oss se på vårt eksempel:
\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\tekst( )n \\& 2x-\frac(2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(3)=-x+2\tekst ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]
La oss beregne hver av disse ligningene:
Og den andre:
La oss skrive ned det endelige svaret:
\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\tekst( )n \\& x=\frac(2\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(9)+\frac(2\tekst( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]
Nyanser av løsningen
Faktisk kan dette uttrykket løses på mange forskjellige måter, men det er hjelpevinkelmetoden som er optimal i dette tilfellet. I tillegg, ved å bruke dette designet som et eksempel, vil jeg gjerne trekke oppmerksomheten din til flere flere interessante teknikker og fakta:
- Formler for å redusere grader. Disse formlene trenger ikke å bli husket, men du må vite hvordan du skal utlede dem, det er det jeg fortalte deg om i dag.
- Løse ligninger av formen $\cos \alpha =\cos \beta $.
- Legger til en "null".
Men det er ikke alt. Til nå, $\sin $ og $\cos $, som vi utledet som et tilleggsargument, mente vi at de måtte være positive. Derfor skal vi nå løse mer komplekse problemer.
Analyse av mer komplekse problemer
Eksempel #1
\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]
La oss transformere det første leddet:
\[\sin 3x=\sin \venstre(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]
\[=2\venstre(1-\cos 2x \høyre)\cdot \sin x\]
La oss nå erstatte alt dette med vår opprinnelige konstruksjon:
\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin 2x\cos x-\operatørnavn(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]
\[\sin \venstre(2x-x \høyre)+2\sin x+4\cos x=5\]
La oss introdusere vår endring:
Vi skriver ned:
\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]
Det er ingen $\alpha $ som $\sin $ eller $\cos $ vil være lik $\frac(3)(5)$ og $\frac(4)(5)$ i den trigonometriske tabellen. Så la oss bare skrive det slik og redusere uttrykket til sinus av summen:
\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]
\[\sin \venstre(x+\varphi \right)=1\]
Dette er et spesielt tilfelle, den enkleste trigonometriske konstruksjonen:
Det gjenstår å finne hva $\varphi $ er lik. Det er her mange elever tar feil. Faktum er at $\varphi $ er underlagt to krav:
\[\venstre\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]
La oss tegne en radar og se hvor slike verdier forekommer:
For å gå tilbake til uttrykket vårt, skriver vi følgende:
Men denne oppføringen kan optimaliseres litt. Fordi vi vet følgende:
\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]
så i vårt tilfelle kan vi skrive det slik:
Eksempel nr. 2
Dette vil kreve en enda dypere forståelse av teknikker for å løse standardproblemer uten trigonometri. Men for å løse dette eksempelet bruker vi også hjelpevinkelmetoden.\[\]
Det første som fanger oppmerksomheten er at det ikke er noen grader høyere enn den første, og derfor kan ingenting utvides i henhold til formlene for dekomponering av grader. Bruk omvendte beregninger:
Hvorfor betalte jeg $5$. Se her:
Vi kan skrive enheten ved den grunnleggende trigonometriske identiteten som $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:
Hva gir en slik plate oss? Faktum er at den første parentesen inneholder en nøyaktig firkant. La oss kollapse det og få:
Jeg foreslår at du introduserer en ny variabel:
\[\sin x+\cos x=t\]
I dette tilfellet får vi uttrykket:
\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]
\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]
Totalt får vi:
\[\venstre[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]
Selvfølgelig vil kunnskapsrike elever nå si at slike konstruksjoner lett løses ved å redusere dem til en homogen struktur. Imidlertid vil vi løse hver ligning ved hjelp av hjelpevinkelmetoden. For å gjøre dette, beregner vi først korreksjonen $l$:
\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]
La oss dele alt med $\sqrt(2)$:
\[\venstre[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2) ) \\\end(align) \right.\]
La oss redusere alt til $\cos $:
\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(4))\]
\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \venstre(x-\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(4) \ høyre)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]
La oss se på hvert av disse uttrykkene.
Den første ligningen har ingen røtter, og for å bevise dette faktum vil irrasjonalitet i nevneren hjelpe oss. La oss merke oss følgende:
\[\sqrt(2)<1,5\]
\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]
Totalt har vi klart bevist at det kreves at $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ være lik tallet som er større enn "én", og derfor har denne konstruksjonen ingen røtter.
La oss ta for oss den andre:
La oss løse denne konstruksjonen:
I prinsippet kan du la svaret være slik, eller du kan skrive det ned:
Viktige poeng
Avslutningsvis vil jeg nok en gang gjøre deg oppmerksom på å jobbe med «stygge» argumenter, dvs. når $\sin $ og $\cos $ ikke er tabellverdier. Problemet er at hvis vi sier at i ligningen vår er $\frac(3)(5)$ $\cos $ og $\frac(4)(5)$ er $\sin $, så til slutt, etter at vi bestemmer design, må vi ta hensyn til begge disse kravene. Vi får et system med to ligninger. Hvis vi ikke tar hensyn til dette, får vi følgende situasjon. I dette tilfellet vil vi få to poeng og i stedet for $\varphi $ vil vi ha to tall: $\arcsin \frac(4)(5)$ og $-\arcsin \frac(4)(5)$, men sistnevnte er vi ikke fornøyd på noen måte. Det samme vil skje med punktet $\frac(3)(5)$.
Dette problemet oppstår bare når vi snakker om "stygge" argumenter. Når vi har tabellverdier, er det ingenting slikt.
Jeg håper dagens leksjon hjalp deg med å forstå hva hjelpevinkelmetoden er og hvordan du kan bruke den på eksempler på ulike nivåer av kompleksitet. Men dette er ikke den eneste leksjonen viet til å løse problemer ved hjelp av hjelpevinkelmetoden. Så følg med!
Leksjonsemne: Metode for å introdusere en hjelpevinkel ved løsning av trigonometriske ligninger.
Oppdaterer.
Lærer.
Folkens! Vi ble introdusert for forskjellige typer trigonometriske ligninger og lærte hvordan vi løser dem. I dag skal vi generalisere kunnskapen om metoder for å løse trigonometriske ligninger av ulike typer. For å gjøre dette ber jeg deg om å jobbe med klassifiseringen av ligningene som er foreslått for deg (se likning nr. 1-10 i vedlegg - på slutten av sammendraget i PDF-form)
Fyll ut tabellen: angi type ligning, metode for å løse den, og match tallene på ligningene til typen de tilhører.
Studenter. Fyll ut tabellen.
| Type ligning | Løsningsmetode | Ligninger |
| Protozoer | Rotformler | №1 |
| Reduserbar til firkantet | Variabel erstatningsmetode | №2,3 |
| Kompleks trigonometrisk visning | Forenkle til en kjent form ved å bruke trigonometriformler | №4,5 |
| Homogen første grad | Del en ligningsledd for ledd med cosinus til en variabel | №6 |
| Homogen andre grad | Del ligningen ledd for ledd med kvadratet av cosinus til variabelen | №7 |
Problematisering.
Mens de fyller ut tabellen, står elevene overfor et problem. De kan ikke bestemme type og metode for å løse tre ligninger: nr. 8,9,10.
Lærer. Klarte du å klassifisere alle ligningene etter deres form og løsningsmetode?
Elevens svar. Nei, tre ligninger kunne ikke plasseres i tabellen.
Lærer. Hvorfor?
Elevens svar. De ligner ikke kjente arter. Løsningsmetoden er uklar.
Målsetting.
Lærer. Hvordan formulerer vi da hensikten med leksjonen vår?
Svar elevene. Bestem den oppdagede nye typen ligninger og finn en metode for å løse dem.
Lærer. Er det mulig å formulere temaet for leksjonen hvis vi ikke vet hvilken type ligninger som er oppdaget og metoden for å løse dem?
Elevens svar. Nei, men vi kan gjøre dette senere, når vi finner ut hva vi har å gjøre med.
Aktivitetsplanlegging.
Lærer. La oss planlegge aktivitetene våre. Vi bestemmer vanligvis typen og ser deretter etter en metode for å løse trigonometriske ligninger. I vår nåværende situasjon, er det mulig å gi et spesifikt navn til typen ligninger som er oppdaget? Og generelt, tilhører de samme art?
Elevens svar. Det er vanskelig å gjøre.
Lærer. Tenk så, kanskje de har noe til felles, eller ligner de på en eller annen type?
Elevens svar. Venstre side av disse ligningene er den samme som homogene ligninger, men høyre side er ikke lik null. Dette betyr at å dele med cosinus bare vil komplisere løsningen.
Lærer. La oss kanskje starte med å finne en løsningsmetode, og så bestemme hvilken type ligning? Hvilken av de 3 ligningene synes du er enklest?
Elevene svarer, men det er ingen konsensus. Kanskje noen vil gjette at koeffisientene i ligning nr. 8 skal uttrykkes som sinus og cosinus til bordvinkelen. Og så skal klassen bestemme ligningen som kan løses først. Hvis ikke, foreslår læreren å vurdere en ekstra ligning (se ligning nr. 11 i vedlegg - til slutt i sammendraget i PDF-form). I den er koeffisientene lik sinus og cosinus for en kjent vinkel, og dette bør elevene legge merke til.
Læreren foreslår rekkefølgen av aktivitetspunkter. ( Se ligninger i vedlegg - i PDF-form, på slutten av sammendraget).
- Løs den første ligningen (№11), erstatte koeffisientene med verdiene til sinus og cosinus for en kjent vinkel og bruke sinus til sumformelen.
- Prøv å konvertere andre ligninger til formen til den første og bruk samme metode. ( se ligning nr. 8,9, 12)
- Generaliser og utvide metoden til alle koeffisienter og konstruer en generell handlingsalgoritme (se ligning #10).
- Bruk metoden til å løse andre ligninger av samme type. (se ligning nr. 12,13, 14).
Gjennomføring av planen.
Lærer. Vel, vi har lagt en plan. La oss begynne å implementere det.
Ved tavlen løser eleven likning nr. 11.
Den andre eleven løser følgende ligning nr. 8, etter først å ha delt den med et konstant tall og dermed redusere situasjonen til den allerede funnet løsningen.
Læreren foreslår å løse likning nr. 9 og 12 uavhengig. Kontrollerer riktigheten av transformasjoner og flere løsninger.
Lærer. Gutter, hva kan vi kalle vinkelen som vises i stedet for koeffisientene til ligningen og hjelper oss å finne en løsning?
Elevens svar. Ytterligere. (Alternativ: hjelpeutstyr).
Lærer. Det er ikke alltid lett å velge en slik hjelpevinkel. Er det mulig å finne det hvis koeffisientene ikke er sinus og cosinus til de kjente vinklene? Hvilken identitet må slike koeffisienter tilfredsstille hvis vi ønsker å representere dem som sinus og cosinus til hjelpevinkelen?
Svar. Grunnleggende trigonometrisk identitet.
Lærer. Bra gjort! Ikke sant! Dette betyr at vår oppgave er å få slike koeffisienter at summen av kvadratene deres er lik én! Prøv å komme opp med et tall å dele ligningen med slik at betingelsen vi spesifiserte er oppfylt.
Elevene tenker og foreslår kanskje å dele alt med kvadratroten av summen av kvadratene av koeffisientene til ligningen. Hvis ikke, så leder læreren dem til denne ideen.
Lærer. Vi må bare velge hvilken av de nye koeffisientene som skal betegnes med sinusen til hjelpevinkelen, og hvilke med cosinus. Det er to alternativer. Valget avhenger av overgangen til den enkleste ligningen med sinus eller cosinus.
Studenter De tilbyr en løsning, og læreren fullfører den, og tar hensyn til formen for å registrere resonnementet og svaret. Løs ligning nummer 10.
Lærer. Har vi oppdaget en metode for å løse en ny type ligning? Hva skal vi kalle denne typen?
Svar. Vi jobbet ved å søke etter en hjelpevinkel. Kanskje ligningene bør kalles ligninger som kan løses ved hjelp av hjelpevinkler?
Lærer. Selvfølgelig kan du. Kan du komme opp med en formel for deres type? Dette blir kortere.
Svar. Ja. Ligninger med koeffisientene A, B og C.
Lærer. La oss generalisere metoden for vilkårlige koeffisienter.
Læreren diskuterer og skriver på tavlen hjelpevinkelsinus- og cosinusformlene for generaliserte koeffisienter. Deretter, med deres hjelp, løser likning nr. 13 og 14.
Lærer. Har vi mestret metoden godt nok?
Svar. Nei. Det er nødvendig å løse slike ligninger og konsolidere evnen til å bruke hjelpevinkelmetoden.
Lærer. Hvordan skal vi forstå at vi har mestret metoden?
Svar. Hvis vi løser flere ligninger selv.
Lærer. La oss etablere en kvalitativ skala for å mestre metoden.
Bli kjent med egenskapene til nivåene og plasser dem på en skala som gjenspeiler ferdighetsnivået i denne ferdigheten. Match nivåkarakteristikken og poengsummen (fra 0 til 3)
- Jeg kan løse likninger med ulike koeffisienter
- Jeg kan ikke løse ligninger
- Jeg kan løse komplekse ligninger
- Jeg kan løse likninger med tabellkoeffisienter
Lærer.(Etter at elevene har svart) Så vår vurderingsskala er som følger:
Ved å bruke samme prinsipp vil vi evaluere selvstendig arbeid med temaet i neste leksjon.
Nå, vær så snill å løse ligning nr. 1148 g, 1149 g, 1150 g og bestem ditt nivå av mestring av emnet.
Ikke glem å fullføre oppføringene i tabellen og navngi emnet: "Introdusere en hjelpevinkel når du løser trigonometriske ligninger."
Refleksjon over veien for å nå målet.
Lærer. Gutter, har vi nådd målet med leksjonen?
Eleven svarer. Ja, vi har lært å gjenkjenne en ny type ligning.
Vi fant en metode for å løse dem ved hjelp av en hjelpevinkel.
Vi lærte å bruke metoden i praksis.
Lærer. Hvordan handlet vi? Hvordan kom vi til å forstå hva vi må gjøre?
Svar. Vi undersøkte flere spesielle tilfeller av ligninger med "gjenkjennelige" koeffisienter og utvidet denne logikken til alle verdier av A, B og C.
Lærer. Dette er en induktiv måte å tenke på: basert på flere tilfeller, utledet vi en metode og brukte den i lignende tilfeller.
Perspektiv. Hvor kan vi bruke denne typen tenkning? (elevenes svar)
Du gjorde en god jobb i klassen i dag. Hjemme, les beskrivelsen av hjelpevinkelmetoden i læreboken og løs nr. 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Jeg håper at i neste leksjon vil dere alle ha det flott med denne metoden for å løse trigonometriske ligninger.
Takk for arbeidet ditt i klassen!