Timeplan.
1. Organisatorisk øyeblikk.
2. Presentasjon av stoffet.
3. Lekser.
4. Oppsummering av leksjonen.
I løpet av timene
I. Organisatorisk øyeblikk.
II. Presentasjon av materialet.
Motivasjon.
Utvidelsen av settet med reelle tall består i å legge til nye tall (imaginære) til de reelle tallene. Innføringen av disse tallene skyldes umuligheten av å trekke ut roten til et negativt tall i settet med reelle tall.
Introduksjon til begrepet et komplekst tall.
Imaginære tall, som vi utfyller reelle tall med, er skrevet i skjemaet bi, Hvor Jeg er en tenkt enhet, og i 2 = - 1.
Basert på dette får vi følgende definisjon av et komplekst tall.
Definisjon. Et komplekst tall er et uttrykk for formen a+bi, Hvor en Og b- reelle tall. I dette tilfellet er følgende betingelser oppfylt:
a) To komplekse tall a 1 + b 1 i Og a 2 + b 2 i lik hvis og bare hvis a 1 = a 2, b 1 =b 2.
b) Addisjonen av komplekse tall bestemmes av regelen:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Multiplikasjon av komplekse tall bestemmes av regelen:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Algebraisk form av et komplekst tall.
Skrive et komplekst tall i skjemaet a+bi kalles den algebraiske formen av et komplekst tall, hvor EN– ekte del, bi er den imaginære delen, og b- ekte nummer.
Komplekst tall a+bi regnes som lik null hvis dens reelle og imaginære deler er lik null: a = b = 0
Komplekst tall a+bi på b = 0 anses å være det samme som et reelt tall en: a + 0i = a.
Komplekst tall a+bi på a = 0 kalles rent imaginært og betegnes bi: 0 + bi = bi.
To komplekse tall z = a + bi Og = a – bi, som bare skiller seg i tegnet til den imaginære delen, kalles konjugat.
Operasjoner på komplekse tall i algebraisk form.
Du kan utføre følgende operasjoner på komplekse tall i algebraisk form.
1) Tillegg.
Definisjon. Summen av komplekse tall z 1 = a 1 + b 1 i Og z 2 = a 2 + b 2 i kalles et komplekst tall z, hvor den reelle delen er lik summen av de reelle delene z 1 Og z 2, og den imaginære delen er summen av de imaginære delene av tall z 1 Og z 2, det er z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Tall z 1 Og z 2 kalles termer.
Addisjon av komplekse tall har følgende egenskaper:
1º. Kommutativitet: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Assosiativitet: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Komplekst tall –a –bi kalt det motsatte av et komplekst tall z = a + bi. Kompleks tall, motsatt av komplekst tall z, betegnet -z. Summen av komplekse tall z Og -z lik null: z + (-z) = 0
Eksempel 1: Utfør tillegg (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Subtraksjon.
Definisjon. Trekk fra et komplekst tall z 1 komplekst tall z 2 z, Hva z + z 2 = z 1.
Teorem. Forskjellen mellom komplekse tall eksisterer og er unik.
Eksempel 2: Utfør en subtraksjon (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Multiplikasjon.
Definisjon. Produkt av komplekse tall z 1 =a 1 + b 1 i Og z 2 = a 2 + b 2 i kalles et komplekst tall z, definert av likheten: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Tall z 1 Og z 2 kalles faktorer.
Multiplikasjon av komplekse tall har følgende egenskaper:
1º. Kommutativitet: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Assosiativitet: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Fordeling av multiplikasjon i forhold til addisjon:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- ekte nummer.
I praksis utføres multiplikasjon av komplekse tall i henhold til regelen om å multiplisere en sum med en sum og skille de reelle og imaginære delene.
I det følgende eksempelet vil vi vurdere å multiplisere komplekse tall på to måter: med regel og ved å multiplisere sum med sum.
Eksempel 3: Gjør multiplikasjonen (2 + 3i) (5 – 7i).
1 vei. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
Metode 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Divisjon.
Definisjon. Del et komplekst tall z 1 til et komplekst tall z 2, betyr å finne et slikt komplekst tall z, Hva z · z 2 = z 1.
Teorem. Kvoten av komplekse tall eksisterer og er unik hvis z 2 ≠ 0 + 0i.
I praksis finner man kvotienten av komplekse tall ved å multiplisere telleren og nevneren med konjugatet av nevneren.
La z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Deretter
.
I det følgende eksempelet vil vi utføre divisjon ved å bruke formelen og multiplikasjonsregelen med tallet konjugert til nevneren.
Eksempel 4. Finn kvotienten 
.
5) Heve til en positiv helhet.
a) Potenser til den imaginære enheten.
Dra nytte av likestilling i 2 = -1, er det lett å definere enhver positiv heltallsstyrke til den imaginære enheten. Vi har:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 etc.
Dette viser at gradsverdiene i n, Hvor n– et positivt heltall, som gjentas med jevne mellomrom når indikatoren øker med 4 .
Derfor for å heve tallet Jeg til en positiv hele potens må vi dele eksponenten med 4 og bygge Jeg til en potens hvis eksponent er lik resten av divisjonen.
Eksempel 5: Regn ut: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) Å heve et komplekst tall til en positiv heltallspotens utføres i henhold til regelen for å heve et binomial til den tilsvarende potensen, siden det er et spesialtilfelle av å multiplisere identiske komplekse faktorer.
Eksempel 6: Regn ut: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Komplekse tall er en utvidelse av settet med reelle tall, vanligvis betegnet med . Ethvert komplekst tall kan representeres som en formell sum , hvor og er reelle tall og er den imaginære enheten.
Å skrive et komplekst tall på formen , , kalles den algebraiske formen til et komplekst tall.
Egenskaper til komplekse tall. Geometrisk tolkning av et komplekst tall.
Handlinger på komplekse tall gitt i algebraisk form:
La oss vurdere reglene for hvilke aritmetiske operasjoner utføres på komplekse tall.
Hvis to komplekse tall α = a + bi og β = c + di er gitt, da
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (elleve)
Dette følger av definisjonen av operasjonene for addisjon og subtraksjon av to ordnede par med reelle tall (se formlene (1) og (3)). Vi har mottatt reglene for å addere og subtrahere komplekse tall: For å legge til to komplekse tall, må vi separat addere deres reelle deler og følgelig deres imaginære deler; For å subtrahere en annen fra ett komplekst tall, er det nødvendig å trekke fra deres reelle og imaginære deler, henholdsvis.
Tallet – α = – a – bi kalles det motsatte av tallet α = a + bi. Summen av disse to tallene er null: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
For å få regelen for å multiplisere komplekse tall, bruker vi formel (6), dvs. det faktum at i2 = -1. Med denne relasjonen i betraktning finner vi (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, dvs.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. (12)
Denne formelen tilsvarer formel (2), som bestemte multiplikasjonen av ordnede par med reelle tall.
Legg merke til at summen og produktet av to komplekse konjugerte tall er reelle tall. Faktisk, hvis α = a + bi, = a – bi, så er α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, dvs.
α + = 2a, α = a2 + b2. (1. 3)
Når man deler to komplekse tall på algebraisk form, bør man forvente at kvotienten også uttrykkes med et tall av samme type, dvs. α/β = u + vi, hvor u, v R. La oss utlede regelen for å dele komplekse tall . La tallene α = a + bi, β = c + di gis, og β ≠ 0, dvs. c2 + d2 ≠ 0. Den siste ulikheten betyr at c og d ikke forsvinner samtidig (tilfellet er ekskludert når c = 0 d = 0). Ved å bruke formel (12) og den andre av likheter (13), finner vi:
Derfor bestemmes kvotienten av to komplekse tall av formelen:
tilsvarende formel (4).
Ved å bruke den resulterende formelen for tallet β = c + di, kan du finne det inverse tallet β-1 = 1/β. Forutsatt at a = 1, b = 0 i formel (14), får vi
Denne formelen bestemmer inversen av et gitt komplekst tall annet enn null; dette tallet er også komplekst.
For eksempel: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Operasjoner på komplekse tall i algebraisk form.
55. Argument for et komplekst tall. Trigonometrisk form for å skrive et komplekst tall (avledning).
Arg.com.numbers. – mellom den positive retningen til den reelle X-aksen og vektoren som representerer det gitte tallet.
Trigon formel. Tall: ,
Algebraisk form for å skrive et komplekst tall........................................... ................................ | |||
Planet av komplekse tall................................................ ............................................................ ............................ | |||
Komplekse konjugerte tall................................................... ................................................................... ................................ | |||
Operasjoner med komplekse tall i algebraisk form........................................... ......... .... | |||
Addisjon av komplekse tall......................................................... ........................................................... ................ | |||
Subtrahere komplekse tall........................................................... ................................................................... ..................... | |||
Multiplikasjon av komplekse tall ................................................... ........................................................ ................... | |||
Dividere komplekse tall................................................... ........................................................................ ................ ... | |||
Trigonometrisk form for å skrive et komplekst tall........................................... ......... .......... | |||
Operasjoner med komplekse tall i trigonometrisk form........................................... ......... | |||
Multiplisere komplekse tall i trigonometrisk form......................................... ........ | |||
Dele komplekse tall i trigonometrisk form......................................... ........... | |||
Heve et komplekst tall til en positiv heltallspotens.......................................... ........... | |||
Trekke ut roten til en positiv heltallsgrad fra et komplekst tall................................... | |||
Heve et komplekst tall til en rasjonell potens........................................... ..................... | |||
Komplekse serier ................................................... ................................................................... ......................................... | |||
Komplekse tallserier................................................... ................................................................... ................................ | |||
Kraftserier i det komplekse planet......................................................... ............................................ | |||
Tosidig potensserie i det komplekse planet......................................... ........... ... | |||
Funksjoner til en kompleks variabel................................................ ............................................................ ............ | |||
Grunnleggende elementære funksjoner......................................................... ........................................................................ . | |||
Eulers formler................................................ ................................................................... .......................................... | |||
Eksponentiell form for å representere et komplekst tall........................................... ...................... . | |||
Forholdet mellom trigonometriske og hyperbolske funksjoner................................... | |||
Logaritmisk funksjon ................................................... ................................................................... .......... | |||
Generelle eksponentielle og generelle potensfunksjoner.......................................... ............................ | |||
Differensiering av funksjoner til en kompleks variabel........................................... .......... | |||
Cauchy-Riemann forhold ................................................... ............................................................ ............................ | |||
Formler for beregning av den deriverte ................................................... ...................................................... | |||
Egenskaper for differensieringsoperasjonen.................................................. ............................................................ ... | |||
Egenskaper til de reelle og imaginære delene av en analytisk funksjon.................................. | |||
Rekonstruksjon av en funksjon av en kompleks variabel fra dens reelle eller imaginære |
|||
Metode nummer 1. Bruke en kurveintegral........................................................ .......... | |||
Metode nummer 2. Direkte anvendelse av Cauchy-Riemann-betingelsene................................... | |||
Metode nr. 3. Gjennom den deriverte av den søkede funksjonen........................................... .......... | |||
Integrasjon av funksjoner til en kompleks variabel........................................... ......... .......... | |||
Integrert Cauchy-formel........................................... ............................................................ ........... ... | |||
Utvidelse av funksjoner i Taylor- og Laurent-serien.......................................... .......... ................................... | |||
Nullpunkter og entallspunkter for en funksjon av en kompleks variabel......................................... ............ | |||
Nullpunkter av en funksjon av en kompleks variabel.......................................... .......... ................................ | |||
Isolerte entallspunkter av en funksjon av en kompleks variabel.................................. | |||
14.3 Et punkt ved uendelig som et enkeltpunkt for en funksjon av en kompleks variabel
Fradrag ................................................... ...................................................... ............................................................ ... | |||
Fradrag ved siste punkt................................................ ............................................................ ............................ | |||
Rest av en funksjon i et punkt på uendelig........................................... ............................ | |||
Beregning av integraler ved bruk av rester.......................................... ............................................ | |||
Selvtestspørsmål ........................................................................ ........................................................ ................................................... | |||
Litteratur................................................. ................................................................ ...................................... | |||
Fagregister................................................................ ................................................................ ............................ | |||
Forord
Riktig fordeling av tid og krefter når du forbereder deg til de teoretiske og praktiske delene av en eksamen eller modulsertifisering er ganske vanskelig, spesielt siden det alltid ikke er nok tid under økten. Og som praksis viser, kan ikke alle takle dette. Som et resultat, under eksamen, løser noen studenter problemer riktig, men synes det er vanskelig å svare på de enkleste teoretiske spørsmålene, mens andre kan formulere et teorem, men ikke kan bruke det.
Disse retningslinjene for forberedelse til eksamen i kurset «Teori om funksjoner til en kompleks variabel» (TFCP) er et forsøk på å løse denne motsetningen og sikre samtidig repetisjon av kursets teoretiske og praktiske materiale. Veiledet av prinsippet "Teori uten praksis er død, praksis uten teori er blind," inneholder de både teoretiske bestemmelser for kurset på definisjons- og formuleringsnivå, samt eksempler som illustrerer anvendelsen av hver gitt teoretisk posisjon, og dermed tilrettelegger dens memorering og forståelse.
Formålet med de foreslåtte metodiske anbefalingene er å hjelpe studenten med å forberede seg til eksamen på et grunnleggende nivå. Det er med andre ord laget en utvidet arbeidsveiledning som inneholder hovedpunktene som brukes i timene på TFKP-kurset og som er nødvendige ved lekser og forberedelse til prøver. I tillegg til selvstendig arbeid av studenter, kan denne elektroniske pedagogiske publikasjonen brukes ved gjennomføring av undervisning i interaktiv form ved hjelp av en elektronisk tavle eller for plassering i et fjernundervisningssystem.
Vær oppmerksom på at dette arbeidet ikke erstatter verken lærebøker eller forelesningsnotater. For en fordypning av materialet anbefales det å henvise til de relevante avsnittene publisert av MSTU. N.E. Bauman grunnleggende lærebok.
På slutten av manualen er det en liste over anbefalt litteratur og en emneregister, som inkluderer alt som er uthevet i teksten fet kursiv vilkår. Indeksen består av hyperlenker til seksjoner der disse begrepene er strengt definert eller beskrevet og hvor det er gitt eksempler for å illustrere bruken.
Manualen er beregnet på 2. års studenter ved alle fakulteter ved MSTU. N.E. Bauman.
1. Algebraisk form for å skrive et komplekst tall
Notasjon av formen z = x + iy, der x,y er reelle tall, i er en imaginær enhet (dvs. i 2 = − 1)
kalles den algebraiske formen for å skrive et komplekst tall z. I dette tilfellet kalles x den reelle delen av et komplekst tall og betegnes med Re z (x = Re z), y kalles den imaginære delen av et komplekst tall og betegnes med Im z (y = Im z).
Eksempel. Det komplekse tallet z = 4− 3i har en reell del Rez = 4 og en imaginær del Imz = − 3.
2. Kompleks tallplan
I teorier om funksjoner til en kompleks variabel vurdereskomplekst tallplan, som er angitt enten eller ved hjelp av bokstaver som angir komplekse tall z, w, etc.
Den horisontale aksen til det komplekse planet kalles ekte akse, reelle tall z = x + 0i = x er plassert på den.
Den vertikale aksen til det komplekse planet kalles den imaginære aksen;
3. Komplekse konjugerte tall
Tallene z = x + iy og z = x − iy kalles komplekst konjugat. På det komplekse planet tilsvarer de punkter som er symmetriske om den virkelige aksen.
4. Operasjoner med komplekse tall i algebraisk form
4.1 Addisjon av komplekse tall
Summen av to komplekse tall | z 1= x 1+ iy 1 | og z 2 = x 2 + iy 2 kalles et komplekst tall |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | operasjon | addisjon |
||||||||||
komplekse tall ligner på operasjonen for addisjon av algebraiske binomialer. | |||||||||||||
Eksempel. Summen av to komplekse tall z 1 = 3+ 7i og z 2 | = −1 +2 i | vil være et komplekst tall |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i) +(−1 +2 i) =(3 −1) +(7 +2) i =2 +9 i. | |||||||||||||
Åpenbart, | totale mengden | konjugerer | er | ekte | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Subtraksjon av komplekse tall | |||||||||||||
Forskjellen mellom to komplekse tall z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 + iy 2 | kalt | omfattende |
||||||||||
tall z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Eksempel. Forskjellen mellom to komplekse tall | z 1 =3 −4 i | og z 2 | = −1 +2 i | det vil være en omfattende |
|||||||||
tall z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Ved forskjell | komplekst konjugat | er | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Multiplikasjon av komplekse tall | |||||||||||||
Produkt av to komplekse tall | z 1= x 1+ iy 1 | og z 2= x 2+ iy 2 | kalt kompleks |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
Dermed er operasjonen med å multiplisere komplekse tall lik operasjonen med å multiplisere algebraiske binomialer, tatt i betraktning det faktum at i 2 = − 1.
Side 2 av 3
Algebraisk form av et komplekst tall.
Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av komplekse tall.
Vi har allerede blitt kjent med den algebraiske formen til et komplekst tall - dette er den algebraiske formen til et komplekst tall. Hvorfor snakker vi om form? Faktum er at det også er trigonometriske og eksponentielle former for komplekse tall, som vil bli diskutert i neste avsnitt.
Operasjoner med komplekse tall er ikke spesielt vanskelige og er ikke mye forskjellig fra vanlig algebra.
Addisjon av komplekse tall
Eksempel 1
Legg til to komplekse tall,
For å legge til to komplekse tall, må du legge til deres reelle og imaginære deler:
Enkelt, ikke sant? Handlingen er så åpenbar at den ikke krever ytterligere kommentarer.
På denne enkle måten kan du finne summen av et hvilket som helst antall ledd: summer de reelle delene og summer de imaginære delene.
For komplekse tall er førsteklasseregelen gyldig: 
– omorganisering av vilkårene endrer ikke summen.
Subtrahere komplekse tall
Eksempel 2
Finn forskjellene mellom komplekse tall og , hvis ,
Handlingen ligner på addisjon, det eneste særegne er at subtrahenden må settes i parentes, og deretter må parentesen åpnes på standard måte med et fortegnsskifte:
Resultatet skal ikke være forvirrende; det resulterende tallet har to, ikke tre deler. Den virkelige delen er sammensatt: . For klarhetens skyld kan svaret skrives om som følger: .
La oss beregne den andre forskjellen:
Her er den virkelige delen også sammensatt:
For å unngå underdrivelse vil jeg gi et kort eksempel med en "dårlig" imaginær del: . Her klarer du deg ikke lenger uten parentes.
Multiplisere komplekse tall
Tiden er inne for å introdusere deg til den berømte likestillingen:
Eksempel 3
Finn produktet av komplekse tall,
Selvsagt skal verket skrives slik:
Hva tyder dette på? Det ber om å åpne parentesene i henhold til regelen for multiplikasjon av polynomer. Det er det du må gjøre! Alle algebraiske operasjoner er kjent for deg, det viktigste er å huske det og vær forsiktig.
La oss gjenta, omg, skoleregelen for å multiplisere polynomer: For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i et annet polynom.
Jeg skal skrive det ned i detalj:
Jeg håper det var klart for alle
Oppmerksomhet, og igjen oppmerksomhet, oftest gjøres feil i tegn.
Som summen er produktet av komplekse tall kommuterbart, det vil si at likheten er sann: .
I pedagogisk litteratur og på Internett er det lett å finne en spesiell formel for å beregne produktet av komplekse tall. Bruk det hvis du vil, men det virker for meg som om tilnærmingen med å multiplisere polynomer er mer universell og klarere. Jeg vil ikke gi formelen; jeg tror at det i dette tilfellet fyller hodet ditt med sagflis.
Divisjon av komplekse tall
Eksempel 4
Gitt komplekse tall, . Finn kvotienten.
La oss lage en kvotient:
Delingen av tall utføres ved å multiplisere nevneren og telleren med det konjugerte uttrykket til nevneren.
La oss huske skjeggeformelen og se på nevneren vår: . Nevneren har allerede , så det konjugerte uttrykket i dette tilfellet er , altså
I følge regelen må nevneren multipliseres med , og slik at ingenting endres, må telleren multipliseres med samme tall:
Jeg skal skrive det ned i detalj:
Jeg valgte et "godt" eksempel: hvis du tar to tall "fra bunnen av", vil du som et resultat av divisjon nesten alltid få brøker, noe som .
I noen tilfeller, før du deler en brøk, er det tilrådelig å forenkle den, for eksempel vurdere kvotienten av tall: . Før vi deler, blir vi kvitt unødvendige minuser: i telleren og i nevneren tar vi minusene ut av parentes og reduserer disse minusene: 
. For de som liker å løse problemer, her er det riktige svaret:
Sjelden, men følgende oppgave skjer:
Eksempel 5
Et komplekst tall er gitt. Skriv dette tallet på algebraisk form (dvs. i formen).
Teknikken er den samme - vi multipliserer nevneren og telleren med uttrykket konjugert til nevneren. La oss se på formelen igjen. Nevneren inneholder allerede , så nevneren og telleren må multipliseres med det konjugerte uttrykket, det vil si med:
I praksis kan de enkelt tilby et sofistikert eksempel hvor du må utføre mange operasjoner med komplekse tall. Ingen panikk: vær forsiktig, følg reglene for algebra, den vanlige algebraiske prosedyren, og husk at .
Trigonometrisk og eksponentiell form av komplekst tall
I denne delen skal vi snakke mer om den trigonometriske formen til et komplekst tall. Den demonstrative formen er mye mindre vanlig i praktiske oppgaver. Jeg anbefaler å laste ned og om mulig skrive ut trigonometriske tabeller på siden Matematiske formler og tabeller. Du kommer ikke langt uten bord.
Ethvert komplekst tall (unntatt null) kan skrives i trigonometrisk form: 
, hvor er det modul til et komplekst tall, A - komplekst tallargument. La oss ikke stikke av, alt er enklere enn det ser ut til.
La oss representere tallet på det komplekse planet. For nøyaktighet og enkelhet av forklaring, vil vi plassere den i den første koordinatkvadranten, dvs. Vi tror at:
Modulus til et komplekst tall er avstanden fra origo til det tilsvarende punktet i det komplekse planet. For å si det enkelt, modul er lengden radiusvektor, som er angitt med rødt på tegningen.
Modulen til et komplekst tall er vanligvis betegnet med: eller
Ved å bruke Pythagoras teorem er det enkelt å utlede en formel for å finne modulen til et komplekst tall: . Denne formelen er riktig for noen betyr "a" og "være".
Merk: Modulen til et komplekst tall er en generalisering av begrepet modul til et reelt tall, som avstanden fra et punkt til origo.
Argument for et komplekst tall kalt hjørne mellom positiv halvakse den reelle aksen og radiusvektoren trukket fra origo til det tilsvarende punktet. Argumentet er ikke definert for entall: .
Prinsippet det er snakk om ligner faktisk på polare koordinater, der polarradius og polarvinkel definerer punktet unikt.
Argumentet til et komplekst tall er standard betegnet: eller
Fra geometriske betraktninger får vi følgende formel for å finne argumentet:
. Merk følgende! Denne formelen fungerer bare i det høyre halvplanet! Hvis det komplekse tallet ikke er plassert i 1. eller 4. koordinatkvadrant, vil formelen være litt annerledes. Vi vil også analysere disse sakene.
Men først, la oss se på de enkleste eksemplene når komplekse tall er plassert på koordinatakser.
Eksempel 7
La oss lage tegningen:
Faktisk er oppgaven muntlig. For klarhetens skyld vil jeg omskrive den trigonometriske formen til et komplekst tall: 
La oss huske bestemt, modulen – lengde(som alltid er ikke-negativ), er argumentet hjørne.
1) La oss representere tallet i trigonometrisk form. La oss finne dens modul og argument. Det er åpenbart at. Formell beregning ved hjelp av formelen: .
Det er åpenbart at (tallet ligger direkte på den reelle positive halvaksen). Så tallet i trigonometrisk form er: 
.
Den omvendte sjekkhandlingen er klar som dagen:
2) La oss representere tallet i trigonometrisk form. La oss finne dens modul og argument. Det er åpenbart at. Formell beregning ved hjelp av formelen: .
Tydeligvis (eller 90 grader). På tegningen er hjørnet angitt med rødt. Så tallet i trigonometrisk form er: 
.
Ved å bruke en verditabell for trigonometriske funksjoner er det enkelt å få tilbake den algebraiske formen til tallet (mens du også utfører en sjekk):
3) La oss representere tallet i trigonometrisk form. La oss finne dens modul og argument. Det er åpenbart at. Formell beregning ved hjelp av formelen: .
Tydeligvis (eller 180 grader). På tegningen er hjørnet angitt med blått. Så tallet i trigonometrisk form er: 
.
Undersøkelse:
4) Og den fjerde interessante saken. La oss representere tallet i trigonometrisk form. La oss finne dens modul og argument. Det er åpenbart at. Formell beregning ved hjelp av formelen: .
Argumentet kan skrives på to måter: Første vei: (270 grader), og følgelig: 
. Undersøkelse:
Imidlertid er følgende regel mer standard: Hvis vinkelen er større enn 180 grader, så skrives det med et minustegn og motsatt orientering ("rulling") av vinkelen: (minus 90 grader), på tegningen er vinkelen markert med grønt. Det er lett å se det og har samme vinkel.
Dermed har oppføringen formen: 
Merk følgende! Ikke i noe tilfelle bør du bruke pariteten til cosinus, oddeligheten til sinusen, og ytterligere "forenkle" notasjonen:
Forresten, det er nyttig å huske utseendet og egenskapene til trigonometriske og inverse trigonometriske referansematerialer i de siste avsnittene på siden Grafer og egenskaper til grunnleggende elementære funksjoner. Og komplekse tall vil læres mye lettere!
I utformingen av de enkleste eksemplene bør man skrive: «det er åpenbart at modulen er lik... det er åpenbart at argumentasjonen er lik...». Dette er veldig åpenbart og enkelt å løse verbalt.
La oss gå videre til å vurdere mer vanlige tilfeller. Som jeg allerede har nevnt, er det ingen problemer med modulen, du bør alltid bruke formelen. Men formlene for å finne argumentet vil være forskjellige, det avhenger av hvilket koordinatkvartal tallet ligger i. I dette tilfellet er tre alternativer mulige (det er nyttig å kopiere dem ned i notatboken):
1) Hvis (1. og 4. koordinatkvartal, eller høyre halvplan), må argumentet finnes ved å bruke formelen.
2) Hvis (2. koordinatkvartal), så må argumentet finnes ved å bruke formelen 
.
3) Hvis (3. koordinatkvartal), så må argumentet finnes ved hjelp av formelen 
.
Eksempel 8
Representer komplekse tall i trigonometrisk form: , , , .
Siden det er ferdige formler, er det ikke nødvendig å fullføre tegningen. Men det er ett poeng: når du blir bedt om å representere et tall i trigonometrisk form, da Det er bedre å tegne uansett. Faktum er at en løsning uten tegning ofte avvises av lærere, er fraværet av en tegning en alvorlig årsak til minus og fiasko.
Eh, jeg har ikke tegnet noe for hånd på hundre år, her er det:
Som alltid ble det litt skittent =)
Jeg vil presentere tallene og i kompleks form vil det første og tredje tallet være for uavhengig løsning.
La oss representere tallet i trigonometrisk form. La oss finne dens modul og argument.