Område med komplekse geometriske former. Hvordan finne arealet til et rektangel

Arealet til en geometrisk figur - numerisk karakteristikk en geometrisk figur som viser størrelsen på denne figuren (en del av overflaten begrenset av den lukkede konturen til denne figuren). Størrelsen på området er uttrykt ved antall inneholdt i det kvadratiske enheter.

Trekantarealformler

Formel for arealet av en trekant ved side og høyde
Arealet av en trekant lik halvparten av produktet av lengden av en side av en trekant og lengden av høyden trukket til denne siden
Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den omskrevne sirkelen
Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den innskrevne sirkelen
Arealet av en trekant er lik produktet av halvperimeteren til trekanten og radiusen til den innskrevne sirkelen.

Kvadratarealformler

Formel for arealet av et kvadrat ved sidelengde
Firkantet område lik kvadratet på lengden på siden.
Formel for arealet av en firkant langs diagonallengden
Firkantet område lik halve kvadratet av lengden på diagonalen.
S= 1 2
2

Formel for rektangelareal

Arealet av et rektangel

Parallelogramarealformler

Formel for arealet av et parallellogram basert på sidelengde og høyde
Arealet av et parallellogram
Formel for arealet til et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem
Arealet av et parallellogram er lik produktet av lengdene på sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem.
a b sin α

Formler for området til en rombe

Formel for området til en rombe basert på sidelengde og høyde
Området til en rombe er lik produktet av lengden på siden og lengden på høyden senket til denne siden.
Formel for arealet til en rombe basert på sidelengde og vinkel
Området til en rombe er lik produktet av kvadratet av lengden på siden og sinusen til vinkelen mellom sidene av romben.
Formel for området til en rombe basert på lengdene på diagonalene
Området til en rombe lik halvparten av produktet av lengdene til diagonalene.

Trapesformler

Herons formel for trapes
Hvor S er arealet av trapeset,
- lengder på basene til trapesen,
- lengder på sidene av trapesen,

I denne artikkelen vil vi finne ut hvordan vi skal beregne torget tall.

Du kan sammenligne arealene til forskjellige figurer ved å bruke overleggsmetoden. Se på bildet. Vi ser to figurer: en trekant og et rektangel. For å sammenligne dem kan vi legge den mindre figuren over på den større. Trekanten passer helt inne i rektangelet, noe som betyr at trekanten er mindre enn rektangelet.

Men det er ikke alltid mulig å sammenligne figurenes områder på denne måten. Deretter kan du dele opp figuren i like firkanter og tell antall ruter inkludert i denne figuren.

Bildet viser to figurer. Det er umulig å sammenligne disse tallene ved superposisjon. Vi delte disse figurene inn i firkanter med samme areal. Nå kan du telle antall ruter som er inkludert i disse figurene. Den første figuren passer til 6 ruter, og den andre 8. Dette betyr arealet til den første figuren mindre areal sekund.

En figur er lik antall enhetskvadrater som utgjør denne figuren.

Hvis en firkant har en side på 1 cm, er arealet av en slik firkant 1 kvadratcentimeter (cm 2).

Arealet til en firkant hvis side er 1 desimeter er 1 kvadratdesimeter (dm 2) eller 100 kvadratcentimeter (cm 2).

Arealet til en figur er indikert med en kapital latinsk bokstav S.

La oss si at vi må finne arealet til et rektangel hvis sider er 6 og 4 cm lange. Del rektangelet i kvadratcentimeter og beregn arealet.

Så, multipliser lengden på rektangelet med bredden og få området:

S = 6 × 4 = 24 cm 2

For å beregne må du måle lengden og bredden i de samme måleenhetene og finne produktet deres.

Hvis arealet av rektangelet og bredden er kjent, er det enkelt å finne lengden å dele området med den kjente lengden.

D = S ÷ W

eller

W = S ÷ D

For eksempel er arealet av et rektangel 15 cm 2. Lengden på rektangelet er 5 cm Finn bredden:

B = 15 ÷ 5 = 3 cm

Hvis figuren er kompleks, for eksempel som i figuren, kan du beregne arealet ved å dele figuren i rektangler, beregne arealet deres og deretter legge sammen de resulterende arealene.

Så vi kan dele figuren vår i to rektangler: den første med et areal på 2 cm 2, og den andre med et areal på 8 cm 2:

S = 2 × 1 + 4 × 2 = 10 cm 2

Hvordan finne det? For å gjøre dette, må du fullføre trekanten til et rektangel, som vist på figuren.

La oss nå finne arealet til det resulterende rektangelet og dele det i to:

S = (3 × 6) ÷ 2 = 9 cm 2

Alt virker enkelt når trekanten er rettvinklet. Hvis trekanten ikke har rett vinkel, så kan arealet beregnes som følger:

I den følgende figuren ser vi en trekant, arealet vi trenger å beregne, det er uthevet gul. La oss passe den inn i et rektangel, som vist på figuren. Lengden på det resulterende rektangelet er 5 cm. Bredden er 4 cm. Toppen av trekanten deler lengden på rektangelet i deler på 3 og 2 cm.

Nå, for å finne arealet av trekanten vår, må vi beregne arealene til de to oppnådde rette trekanter og legg dem sammen:

S1 = (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm 2

S2 = (2 × 4) ÷ 2 = 4 cm 2

S = S1 + S2 = 6 + 4 = 10 cm 2

Bruksanvisning

Det er praktisk å handle hvis figuren din er en polygon. Du kan alltid bryte det ned til et endelig tall, og du trenger bare å huske én formel - arealet av en trekant. Så en trekant er halvparten av produktet av lengden på siden og lengden av høyden trukket til denne siden. Ved å oppsummere områdene av individuelle trekanter som en mer kompleks trekant har blitt transformert til av din vilje, vil du finne ut ønsket resultat.

Det er vanskeligere å løse problemet med å bestemme området til en vilkårlig figur. En slik figur kan ha ikke bare, men også buede grenser. Det finnes måter å gjøre en omtrentlig beregning på. Enkel.

Først kan du bruke en palett. Dette er et instrument laget av gjennomsiktig materiale med et rutenett av firkanter eller trekanter påført overflaten. kjent område. Ved å plassere paletten på toppen av formen du leter etter området for, beregner du på nytt antall måleenheter som overlapper bildet. Kombiner ufullstendig lukkede måleenheter med hverandre, fullfør dem i tankene dine for å fullføre dem. Deretter, ved å multiplisere arealet til en palettform med tallet du beregnet, vil du finne ut det omtrentlige arealet av din vilkårlige form. Det er klart at jo tettere rutenettet brukes på paletten din, desto mer nøyaktig blir resultatet.

For det andre kan du, innenfor grensene til en vilkårlig figur som du bestemmer området for, skissere maksimalt antall trekanter. Bestem arealet til hver og legg til områdene deres. Dette blir et veldig grovt resultat. Hvis du ønsker det, kan du også bestemme området for segmentene som er avgrenset av buene separat. For å gjøre dette, se for deg at segmentet er en del av . Konstruer denne sirkelen, og tegn deretter radier fra midten til kantene av buen. Segmentene danner en vinkel α mellom seg. Arealet av alt bestemmes av π*R^2*α/360. For hver mindre del av figuren din bestemmer du arealet og får totalresultat, og legger til de resulterende verdiene.

Den tredje metoden er vanskeligere, men mer nøyaktig og for noen enklere. Arealet til enhver figur kan bestemmes ved hjelp av integralet. Spesifikke funksjoner viser arealet fra grafen til funksjonen til abscissen. Arealet innelukket mellom to grafer kan bestemmes ved å trekke et visst integral, med en mindre verdi, fra integralet innenfor de samme grensene, men med stor verdi. For å bruke denne metoden er det praktisk å overføre din vilkårlige figur til et koordinatsystem og deretter bestemme funksjonene deres og handle ved å bruke metodene for høyere matematikk, som vi ikke vil fordype oss i her og nå.

Kunnskap om hvordan man måler jorden dukket opp i antikken og tok gradvis form i geometrivitenskapen. MED gresk språk Dette ordet er oversatt som "landmåling".

Mål på utstrekningen av en flat del av jorden i lengde og bredde er areal. I matematikk er det vanligvis betegnet med den latinske bokstaven S (fra engelsk "kvadrat" - "område", "kvadrat") eller Gresk bokstavσ (sigma). S betegner arealet til en figur på et plan eller overflatearealet til en kropp, og σ er arealet tverrsnitt ledninger i fysikk. Dette er hovedsymbolene, selv om det kan være andre, for eksempel innen materialers styrke, er A profilens tverrsnittsareal.

Beregningsformler

Kjenner området enkle figurer, kan du finne parametere for mer komplekse. Gamle matematikere utviklet formler som kan brukes til å enkelt beregne dem. Slike figurer er trekant, firkant, polygon, sirkel.

For å finne området for komplekset flat figur, er det brutt ned i mange enkle former som trekanter, trapeser eller rektangler. Deretter matematiske metoder utlede en formel for arealet til denne figuren. En lignende metode brukes ikke bare i geometri, men også i matematisk analyseå beregne arealene til figurer avgrenset av kurver.

Triangel

La oss starte med den enkleste figuren - en trekant. De er rektangulære, likebenede og likesidede. La oss ta noen trekant ABC med sidene AB=a, BC=b og AC=c (∆ ABC). For å finne området, husk det velkjente skolekurs matematiske teoremer for sinus og cosinus. Å gi slipp på alle beregninger, kommer vi til følgende formler:

S=√ - Herons formel, kjent for alle, der p=(a+b+c)/2 er halvomkretsen av trekanten;
S=a h/2, hvor h er høyden senket til side a;
S=a b (sin γ)/2, hvor γ er vinkelen mellom sidene a og b;
S=a b/2, hvis ∆ ABC er rektangulær (her er a og b ben);
S=b² (sin (2 β))/2, hvis ∆ ABC er likebenet (her er b en av "hoftene", er β vinkelen mellom "hoftene" i trekanten);
S=a² √¾, hvis ∆ ABC er likesidet (her er a en side av trekanten).

Firkant

La det være en firkant ABCD med AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. For å finne arealet S av en vilkårlig 4-gon, må du dele den diagonalt i to trekanter, hvis arealer er S1 og S2 i generell sak ikke lik.

Bruk deretter formlene til å beregne dem og legge dem til, dvs. S=S1+S2. Imidlertid, hvis en 4-gon tilhører en viss klasse, kan området bli funnet ved å bruke tidligere kjente formler:

S=(a+c) h/2=e h, hvis tetragonet er en trapes (her er a og c basene, e er midtlinje trapes, h - høyde senket til en av basene til trapes;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, hvis ABCD er et parallellogram (her er φ vinkelen mellom sidene a og b, h er høyden falt til side a, d1 og d2 er diagonaler);
S=a b=d²/2, hvis ABCD er et rektangel (d er en diagonal);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, hvis ABCD er en rombe (a er siden av romben, φ er en av vinklene, P er omkretsen);
S=a²=P²/16=d²/2, hvis ABCD er et kvadrat.

Polygon

For å finne arealet til en n-gon, deler matematikere det ned i det enkleste like tall-trekanter, finn arealet av hver av dem og legg dem til. Men hvis polygonet tilhører klassen regulære, bruk formelen:

S=a n h/2=a² n/=P²/, hvor n er antall toppunkter (eller sider) av polygonen, a er siden til n-gonen, P er dens omkrets, h er apotem, dvs. a segment tegnet fra midten av polygonet til en av sidene i en vinkel på 90°.

Sirkel

En sirkel er en perfekt polygon med uendelig antall fester. Vi må beregne grensen for uttrykket til høyre i formelen for arealet til en polygon med antall sider n som har en tendens til uendelig. I dette tilfellet vil omkretsen av polygonet bli til lengden av en sirkel med radius R, som vil være grensen til sirkelen vår, og vil bli lik P=2 π R. Bytt ut dette uttrykket med formelen ovenfor. Vi vil få:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

La oss finne grensen for dette uttrykket som n→∞. For å gjøre dette tar vi i betraktning at lim (cos (180°/n)) for n→∞ lik cos 0°=1 (lim er grensetegnet), og lim = lim for n→∞ er lik 1/π (vi oversatte gradsmål til en radian ved å bruke relasjonen π rad=180°, og brukte den første bemerkelsesverdige grense lim(sin x)/x=1 ved x→∞). Bytter inn siste uttrykk for S de oppnådde verdiene, kommer vi til den velkjente formelen:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Enheter

Systemiske og ikke-systemiske måleenheter brukes. Systemenheter tilhører SI (System International). Dette er en kvadratmeter (kvadratmeter, m²) og enheter avledet fra den: mm², cm², km².

I kvadratmillimeter (mm²), for eksempel, måles tverrsnittsarealet til ledninger i elektroteknikk, i kvadratcentimeter(cm²) - bjelkeseksjoner i konstruksjonsmekanikk, i kvadratmeter(m²) - leiligheter eller hus, i kvadratkilometer(km²) - territorier i geografi.

Noen ganger brukes imidlertid ikke-systemiske måleenheter, for eksempel: vev, ar (a), hektar (ha) og acre (as). La oss presentere følgende forhold:

1 hundre kvadratmeter=1 a=100 m²=0,01 hektar;
1 ha=100 a=100 acres=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 dekar = 0,405 hektar.

Sikker integral. Hvordan beregne arealet til en figur

La oss gå videre til søknader integralregning. I denne leksjonen vil vi analysere den typiske og vanligste oppgaven – hvordan bruke et bestemt integral for å beregne arealet til en plan figur. Endelig leter etter mening V høyere matematikk- Måtte de finne ham. Du vet aldri. Vi må bringe det nærmere i livet hytteområde på landet elementære funksjoner og finne arealet ved hjelp av et bestemt integral.

For å lykkes med å mestre materialet, må du:

1) Forstå ubestemt integral i hvert fall på et gjennomsnittlig nivå. Derfor bør dummies først lese leksjonen Ikke.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz-formelen og beregne det bestemte integralet. Sett opp varmt vennlige forhold med bestemte integraler finnes på siden Sikker integral. Eksempler på løsninger.

Faktisk, for å finne arealet til en figur, trenger du ikke så mye kunnskap om det ubestemte og bestemte integralet. Oppgaven "beregn arealet ved hjelp av en bestemt integral" innebærer alltid å konstruere en tegning, så mye mer aktuell problemstilling vil være dine kunnskaper og ferdigheter i tegning. I denne forbindelse er det nyttig å oppdatere minnet om hovedgrafene elementære funksjoner, og som et minimum kunne konstruere en rett linje, parabel og hyperbel. Dette kan gjøres (for mange er det nødvendig) ved hjelp av metodisk materiale og artikler om geometriske transformasjoner av grafer.

Egentlig er alle kjent med oppgaven med å finne området ved hjelp av en bestemt integral siden skolen, og vi kommer ikke mye lenger fra skolepensum. Denne artikkelen har kanskje ikke eksistert i det hele tatt, men faktum er at problemet oppstår i 99 tilfeller av 100, når en elev lider av en forhat skole og entusiastisk mestrer et kurs i høyere matematikk.

Materialene til denne workshopen presenteres enkelt, detaljert og med et minimum av teori.

La oss begynne med buet trapes.

Krumlinjeformet trapes er en flat figur avgrenset av en akse, rette linjer og grafen til en funksjon kontinuerlig på et intervall som ikke endrer fortegn på dette intervallet. La denne figuren være lokalisert ikke mindre x-akse:

Deretter arealet til en krumlinjet trapes er numerisk lik en bestemt integral. Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning. På timen Sikker integral. Eksempler på løsninger Jeg sa at et bestemt integral er et tall. Og nå er det på tide å si en til nyttig faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det definitive integralet AREA.

Det er, det bestemte integralet (hvis det eksisterer) tilsvarer geometrisk arealet til en viss figur. Tenk for eksempel på den bestemte integralen. Integranden definerer en kurve på planet som ligger over aksen (de som ønsker det kan lage en tegning), og selve det bestemte integralet er numerisk lik areal tilsvarende buet trapes.

Eksempel 1

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Først og det viktigste øyeblikket løsninger - tegning. Dessuten må tegningen være konstruert IKKE SANT.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først det er bedre å konstruere alle rette linjer (hvis de finnes) og bare Deretter– parabler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Det er mer lønnsomt å bygge grafer over funksjoner punkt for punkt, punkt-for-punkt-konstruksjonsteknikken finnes i referansemateriale Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Der kan du også finne svært nyttig materiale til leksjonen vår – hvordan bygge en parabel raskt.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.
La oss tegne tegningen (merk at ligningen definerer aksen):

Jeg skal ikke klekke ut en buet trapes, det er åpenbart her hva området er vi snakker om. Løsningen fortsetter slik:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, Derfor:

Svar:

Som har problemer med å beregne det bestemte integralet og bruke Newton-Leibniz-formelen , se foredraget Sikker integral. Eksempler på løsninger.

Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I i dette tilfellet"etter øye" teller vi antall celler i tegningen - vel, det vil være omtrent 9, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel fikk svaret: 20 kvadratenheter, så er det åpenbart at det ble gjort en feil et sted - 20 celler passer tydeligvis ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret er negativt, så ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 2

Beregn arealet av figuren, begrenset av linjer, , og akse

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse. Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen.

Hva skal jeg gjøre hvis den buede trapesen er plassert under akselen?

Eksempel 3

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis en buet trapes er lokalisert under akselen(i det minste ikke høyere gitt akse), kan området bli funnet ved å bruke formelen:
I dette tilfellet:

Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:

1) Hvis du blir bedt om å løse ganske enkelt en bestemt integral uten noen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble diskutert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi fra de enkleste skoleoppgavene videre til mer meningsfylte eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en plan figur avgrenset av linjene, .

Løsning: Først må du fullføre tegningen. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene mellom linjer. La oss finne skjæringspunktene til parabelen og den rette linjen. Dette kan gjøres på to måter. Den første metoden er analytisk. Vi løser ligningen:

Dette betyr at den nedre grensen for integrering er øvre grense integrering
Hvis mulig, er det bedre å ikke bruke denne metoden..

Det er mye mer lønnsomt og raskere å konstruere linjer punkt for punkt, og grensene for integrasjon blir tydelige «av seg selv». Punkt-for-punkt-konstruksjonsteknikken for ulike grafer er omtalt i detalj i hjelpen Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Likevel, analytisk metode Finnegrenser må fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er ganske stor, eller den detaljerte konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Og vi vil også vurdere et slikt eksempel.

La oss gå tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage tegningen:

Jeg gjentar at når man konstruerer punktvis, blir grensene for integrasjon oftest funnet ut "automatisk".

Og nå arbeidsformelen: Hvis det er en eller annen kontinuerlig funksjon på segmentet større enn eller lik noen kontinuerlig funksjon, deretter arealet av figuren, begrenset av tidsplaner gitte funksjoner og rette linjer , , kan bli funnet ved hjelp av formelen:

Her trenger du ikke lenger tenke på hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, og grovt sett, det spiller noen rolle hvilken graf som er HØYERE(i forhold til en annen graf), og hvilken er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra

Den ferdige løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel over og en rett linje under.
På segmentet, i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Faktisk skoleformel for arealet av en krumlinjet trapes i det nedre halvplanet (se enkelt eksempel nr. 3) – spesielt tilfelle formler . Siden aksen er spesifisert av ligningen, og grafen til funksjonen er lokalisert ikke høyereøkser altså

Og nå et par eksempler for din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Finn arealet av figuren avgrenset av linjene, .

Når du løser problemer som involverer beregning av areal ved hjelp av en bestemt integral, skjer det noen ganger en morsom hendelse. Tegningen var riktig utført, beregningene var riktige, men på grunn av slurv... området til feil figur ble funnet, det er akkurat slik din ydmyke tjener skrudd sammen flere ganger. Her ekte tilfelle fra livet:

Eksempel 7

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , , .

Løsning: Først, la oss lage en tegning:

...Eh, tegningen ble dritt, men alt ser ut til å være lesbart.

Figuren hvis område vi må finne er skyggelagt med blått(se nøye på tilstanden - hvordan tallet er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, oppstår det ofte en "feil" som du trenger for å finne området til en figur som er skyggelagt grønn!

Dette eksemplet er også nyttig ved at det beregner arealet til en figur ved å bruke to bestemte integraler. Egentlig:

1) På segmentet over aksen er det en graf av en rett linje;

2) På segmentet over aksen er det en graf av en hyperbel.

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Svar:

La oss gå videre til en annen meningsfull oppgave.

Eksempel 8

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer,
La oss presentere ligningene i "skole"-form og lage en punkt-for-punkt-tegning:

Fra tegningen er det klart at vår øvre grense er "god": .
Men hva er nedre grense?! Det er klart at dette ikke er et heltall, men hva er det? Kan være ? Men hvor er garantien for at tegningen er laget med perfekt nøyaktighet, det kan godt vise seg at... Eller roten. Hva om vi bygde grafen feil?

I slike tilfeller må du bruke Ekstra tid og klargjøre grensene for integrasjon analytisk.

La oss finne skjæringspunktene til en rett linje og en parabel.
For å gjøre dette løser vi ligningen:

,

Egentlig, .

Den videre løsningen er triviell, det viktigste er å ikke bli forvirret i erstatninger og tegn, beregningene her er ikke de enkleste.

På segmentet , i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Vel, for å avslutte leksjonen, la oss se på to vanskeligere oppgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , ,

Løsning: La oss skildre denne figuren på tegningen.

Jammen, jeg glemte å signere timeplanen, og beklager, jeg ville ikke gjøre om bildet. Ikke en tegnedag, kort sagt, i dag er dagen =)

For punkt-for-punkt-konstruksjon må du vite utseende sinusoider (og generelt nyttig å vite grafer for alle elementære funksjoner), samt noen sinusverdier, kan de finnes i trigonometrisk tabell. I noen tilfeller (som i dette tilfellet) er det mulig å konstruere en skjematisk tegning, der grafene og grensene for integrasjon skal vises grunnleggende korrekt.

Det er ingen problemer med grensene for integrasjon her, de følger direkte av betingelsen: "x" endres fra null til "pi". La oss ta en ytterligere avgjørelse:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor: