Et parallellepiped er et firkantet prisme med et parallellogram ved bunnen. Det finnes ferdige formler for beregning av lateral og fullt område overflater av en figur, for hvilke bare lengdene til tre dimensjoner av parallellepipedet er nødvendig.
Hvordan finne det laterale overflatearealet til et rektangulært parallellepiped
Det er nødvendig å skille mellom et rektangulært og et rett parallellepiped. Grunnlaget til en rett figur kan være et hvilket som helst parallellogram. Arealet til en slik figur må beregnes ved hjelp av andre formler.
Summen S av sideflatene til et rektangulært parallellepiped beregnes ved å bruke den enkle formelen P*h, hvor P er omkretsen og h er høyden. Figuren viser at de motsatte sidene av et rektangulært parallellepiped er like, og høyden h faller sammen med lengden på kantene vinkelrett på basen.
Overflateareal av en kuboid
Det totale arealet av figuren består av siden og arealet av 2 baser. Hvordan finne arealet til et rektangulært parallellepiped:
Hvor a, b og c er dimensjoner geometrisk kropp.
De beskrevne formlene er enkle å forstå og nyttige for å løse mange geometriproblemer. Eksempel typisk oppgave presentert i det følgende bildet.
Når du løser problemer av denne typen, bør det huskes at grunnlaget firkantet prisme velges tilfeldig. Hvis vi tar ansiktet med dimensjonene x og 3 som base, vil verdiene til Sside være forskjellige, og Stotal vil forbli 94 cm2.
Overflateareal av en kube
Cube er kuboid, der alle 3 dimensjonene er like med hverandre. I denne forbindelse skiller formlene for det totale og laterale arealet til en terning seg fra standard.
Omkretsen til kuben er 4a, derfor er Sside = 4*a*a = 4*a2. Disse uttrykkene er ikke nødvendige for memorering, men fremskynder løsningen av oppgaver betydelig.
- Dette mangefasettert figur, ved bunnen av det ligger en polygon, og de resterende flatene er representert av trekanter med et felles toppunkt.
Hvis basen er en firkant, kalles pyramiden firkantet, hvis en trekant – da trekantet. Høyden på pyramiden er trukket fra toppen vinkelrett på basen. Brukes også til å beregne areal apotem– høyden på sideflaten, senket fra toppen.
Formelen for arealet av sideoverflaten til en pyramide er summen av arealene til sideflatene, som er like med hverandre. Denne beregningsmetoden brukes imidlertid svært sjelden. I utgangspunktet beregnes arealet av pyramiden gjennom omkretsen av basen og apotemet:
La oss vurdere et eksempel på å beregne arealet av sideoverflaten til en pyramide.
La oss få en pyramide med base ABCDE og topp F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotem a = 5 cm Finn arealet av pyramidens sideflate.
La oss finne omkretsen. Siden alle kantene på basen er like, vil omkretsen av femkanten være lik:
Nå kan du finne sideområde pyramider: 
Område av en vanlig trekantet pyramide
En vanlig trekantet pyramide består av en base som ligger vanlig trekant og tre sideflater som er like i areal.
Formel for sideoverflate korrekt trekantet pyramide kan beregnes forskjellige måter. Du kan bruke den vanlige beregningsformelen ved å bruke omkretsen og apotem, eller du kan finne arealet av ett ansikt og multiplisere det med tre. Siden overflaten til en pyramide er en trekant, bruker vi formelen for arealet av en trekant. Det vil kreve en apotem og lengden på basen. La oss vurdere et eksempel på beregning av sideoverflatearealet til en vanlig trekantet pyramide.
Gitt en pyramide med apotem a = 4 cm og grunnflate b = 2 cm Finn arealet av pyramidens sideflate.
Finn først arealet til en av sideflatene. I i dette tilfellet Hun vil være:
Bytt inn verdiene i formelen: 
Siden i riktig pyramide Alle sider er de samme, vil arealet av sideoverflaten til pyramiden være lik summen av arealene til de tre flatene. Henholdsvis: 
Område av en avkortet pyramide
Avkortet En pyramide er et polyeder som er dannet av en pyramide og dens tverrsnitt parallelt med basen.
Formelen for det laterale overflatearealet til en avkortet pyramide er veldig enkel. Arealet er lik produktet av halvparten av summen av omkretsene til basene og apotemet: 
Når studentene forbereder seg til Unified State-eksamen i matematikk, må studentene systematisere sine kunnskaper om algebra og geometri. Jeg vil gjerne kombinere all kjent informasjon, for eksempel om hvordan man beregner arealet til en pyramide. Videre starter fra bunnen og sidekantene til hele overflaten. Hvis situasjonen med sideflatene er klar, siden de er trekanter, er basen alltid annerledes.
Hvordan finne arealet av bunnen av pyramiden?
Det kan være absolutt hvilken som helst figur: fra vilkårlig trekant til n-gon. Og denne basen, i tillegg til forskjellen i antall vinkler, kan være en vanlig figur eller en uregelmessig. I Unified State Exam-oppgavene som interesserer skoleelever, er det kun oppgaver med riktige tall på basen. Derfor vil vi bare snakke om dem.
Vanlig trekant
Det vil si likesidet. Den der alle sider er like og er betegnet med bokstaven "a". I dette tilfellet beregnes arealet av bunnen av pyramiden ved hjelp av formelen:
S = (a 2 * √3) / 4.
Torget
Formelen for å beregne arealet er den enkleste, her er "a" igjen siden:
Vilkårlig regulær n-gon
Siden av en polygon har samme notasjon. For antall vinkler som brukes latinsk bokstav n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Hva skal man gjøre når man beregner det laterale og totale overflatearealet?
Fordi ved basen ligger riktig figur, så viser alle flater av pyramiden seg å være like. Dessuten er hver av dem en likebenet trekant, siden laterale ribber er like. Deretter, for å beregne sidearealet til pyramiden, trenger du en formel som består av summen av identiske monomer. Antall ledd bestemmes av antall sider av basen.
Torget likebent trekant beregnes ved hjelp av en formel der halve produktet av basen multipliseres med høyden. Denne høyden i pyramiden kalles apotem. Betegnelsen er "A". Generell formel for sideoverflaten ser det slik ut:
S = ½ P*A, der P er omkretsen av bunnen av pyramiden.
Det er situasjoner når sidene av basen ikke er kjent, men sidekantene (c) og den flate vinkelen på toppen (α) er gitt. Deretter må du bruke følgende formel for å beregne sidearealet til pyramiden:
S = n/2 * i 2 sin α .
Oppgave nr. 1
Betingelse. Finne Totalt areal pyramide, hvis basen har en side på 4 cm, og apotem har en verdi på √3 cm.
Løsning. Du må begynne med å beregne omkretsen til basen. Siden dette er en vanlig trekant, er P = 3*4 = 12 cm Siden apotemet er kjent, kan vi umiddelbart beregne arealet av hele sideflaten: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
For trekanten ved bunnen får du følgende arealverdi: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
For å bestemme hele området, må du legge til de to resulterende verdiene: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Svar. 10√3 cm 2.
Oppgave nr. 2
Betingelse. Det er en vanlig firkantet pyramide. Lengden på grunnsiden er 7 mm, sidekanten er 16 mm. Det er nødvendig å finne ut overflaten.
Løsning. Siden polyederet er firkantet og regelmessig, er basen en firkant. Når du kjenner arealet til basen og sideflatene, vil du kunne beregne arealet av pyramiden. Formelen for kvadratet er gitt ovenfor. Og for sideflatene er alle sider av trekanten kjent. Derfor kan du bruke Herons formel for å beregne arealene deres.
De første beregningene er enkle og fører til følgende tall: 49 mm 2. For den andre verdien må du beregne semi-perimeteren: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Nå kan du beregne arealet av en likebenet trekant: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. Det er bare fire slike trekanter, så når du beregner det endelige tallet, må du gange det med 4.
Det viser seg: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.
Svar. Ønsket verdi er 267,576 mm 2.
Oppgave nr. 3
Betingelse. Den rette firkantet pyramide du må beregne arealet. Siden av firkanten er kjent for å være 6 cm og høyden er 4 cm.
Løsning. Den enkleste måten er å bruke formelen med produktet av omkrets og apotem. Den første verdien er lett å finne. Den andre er litt mer komplisert.
Vi må huske Pythagoras teorem og vurdere det dannes av høyden på pyramiden og apotem, som er hypotenusen. Andre etappe lik halvparten sidene av torget, siden høyden på polyederet faller på midten.
Det nødvendige apotemet (hypotenusen til en rettvinklet trekant) er lik √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Nå kan du beregne den nødvendige verdien: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Svar. 96 cm 2.
Oppgave nr. 4
Betingelse. Dana riktig side dens baser er 22 mm, sideribber er 61 mm. Hva er det laterale overflatearealet til dette polyederet?
Løsning. Begrunnelsen i den er den samme som beskrevet i oppgave nr. 2. Bare der ble gitt en pyramide med en firkant ved bunnen, og nå er den en sekskant.
Først og fremst beregnes basisarealet ved å bruke formelen ovenfor: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Nå må du finne ut halvperimeteren til en likebenet trekant, som er sideflaten. (22+61*2):2 = 72 cm Alt som gjenstår er å bruke Herons formel for å beregne arealet av hver slik trekant, og deretter multiplisere den med seks og legge den til den som er oppnådd for basen.
Beregninger med Herons formel: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Beregninger som vil gi sideoverflatearealet: 660 * 6 = 3960 cm 2. Det gjenstår å legge dem sammen for å finne ut hele overflaten: 5217.47≈5217 cm 2.
Svar. Basen er 726√3 cm 2, sideflaten er 3960 cm 2, hele arealet er 5217 cm 2.
Overflatearealet til pyramiden. I denne artikkelen skal vi se på problemer med vanlige pyramider. La meg minne deg på at en vanlig pyramide er en pyramide hvis base er vanlig polygon, er toppen av pyramiden projisert til midten av denne polygonen.
Sideflaten til en slik pyramide er en likebenet trekant.Høyden til denne trekanten trukket fra toppunktet til en vanlig pyramide kalles apotem, SF - apotem:
I den typen problem som presenteres nedenfor, må du finne overflatearealet til hele pyramiden eller arealet av dens sideoverflate. Bloggen har allerede diskutert flere problemer med vanlige pyramider, hvor spørsmålet handlet om å finne elementene (høyde, grunnkant, sidekant).
I Unified State Exam-oppgaver Som regel vurderes vanlige trekantede, firkantede og sekskantede pyramider. Jeg har ikke sett noen problemer med vanlige femkantede og sjukantede pyramider.
Formelen for arealet av hele overflaten er enkel - du må finne summen av arealet av bunnen av pyramiden og arealet av dens sideoverflate:
La oss vurdere oppgavene:
Sidene av bunnen av en vanlig firkantet pyramide er 72, sidekantene er 164. Finn overflaten til denne pyramiden.
Overflatearealet til pyramiden er lik summen av arealene til sideoverflaten og basen:
*Den sideflate består av fire trekanter med likt areal. Basen til pyramiden er en firkant.
Vi kan beregne arealet av siden av pyramiden ved å bruke:
Dermed er overflaten til pyramiden:
Svar: 28224
Sidene av basen er riktige sekskantet pyramide er 22, sidekantene er 61. Finn sideoverflaten til denne pyramiden.
Basen til en vanlig sekskantet pyramide er en vanlig sekskant.
Det laterale overflatearealet til denne pyramiden består av seks områder med like trekanter med sidene 61,61 og 22:
La oss finne arealet av trekanten ved å bruke Herons formel:
Dermed er det laterale overflatearealet:
Svar: 3240
*I oppgavene som er presentert ovenfor, kan området til sideflaten bli funnet ved å bruke en annen trekantformel, men for dette må du beregne apotemet.
27155. Finn overflatearealet til en vanlig firkantet pyramide hvis grunnsider er 6 og høyden er 4.
For å finne overflaten til pyramiden, må vi vite arealet av basen og arealet av sideoverflaten:
Arealet av basen er 36 siden det er en firkant med side 6.
Sideflaten består av fire flater, som er like trekanter. For å finne arealet til en slik trekant, må du kjenne dens base og høyde (apotem):
*Arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av basen og høyden trukket til denne basen.
Basen er kjent, den er lik seks. La oss finne høyden. La oss vurdere høyre trekant(det er uthevet i gult):
Ett ben er lik 4, siden dette er høyden på pyramiden, det andre er lik 3, siden det er lik halve kanten av basen. Vi kan finne hypotenusen ved å bruke Pythagoras teorem:
Dette betyr at arealet av sideoverflaten til pyramiden er:
Dermed er overflaten til hele pyramiden:
Svar: 96
27069. Sidene av bunnen av en vanlig firkantet pyramide er lik 10, sidekantene er lik 13. Finn overflatearealet til denne pyramiden.
27070. Sidene av bunnen av en vanlig sekskantet pyramide er lik 10, sidekantene er lik 13. Finn sideoverflatearealet til denne pyramiden.
Det er også formler for det laterale overflatearealet til en vanlig pyramide. I en vanlig pyramide er basen ortogonal projeksjon sideoverflate, derfor:
P- base omkrets, l- apotem av pyramiden
*Denne formelen er basert på formelen for arealet av en trekant.
Hvis du vil lære mer om hvordan disse formlene er utledet, ikke gå glipp av det, følg publiseringen av artikler.Det er alt. Lykke til!
Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.
P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.
En sylinder er en figur som består av sylindrisk overflate og to sirkler plassert parallelt. Å beregne arealet til en sylinder er et problem i den geometriske grenen av matematikk, som kan løses ganske enkelt. Det er flere metoder for å løse det, som til slutt alltid kommer ned til én formel.
Hvordan finne arealet til en sylinder - beregningsregler
- For å finne ut arealet av sylinderen, må du legge til de to områdene av basen med arealet av sideflaten: S = Sside + 2Sbase. I en mer utvidet versjon denne formelen ser slik ut: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
- Sideoverflatearealet til et gitt geometrisk legeme kan beregnes hvis høyden og radiusen til sirkelen som ligger ved basen er kjent. I dette tilfellet kan du uttrykke radius fra omkretsen, hvis gitt. Høyden kan finnes hvis verdien til generatoren er spesifisert i betingelsen. I dette tilfellet vil generatrisen være lik høyden. Formel for sideoverflate gitt kropp ser slik ut: S= 2 π rh.
- Arealet av basen beregnes ved å bruke formelen for å finne arealet av en sirkel: S osn= π r 2 . I noen problemer kan radius ikke være gitt, men omkretsen kan være gitt. Med denne formelen uttrykkes radius ganske enkelt. С=2π r, r= С/2π. Du må også huske at radien er halve diameteren.
- Når du utfører alle disse beregningene, blir tallet π vanligvis ikke oversatt til 3,14159... Det må bare legges til ved siden av numerisk verdi, som ble oppnådd som et resultat av beregninger.
- Deretter trenger du bare å multiplisere det funnet arealet av basen med 2 og legge til det resulterende tallet det beregnede arealet av den laterale overflaten av figuren.
- Hvis problemet indikerer at sylinderen inneholder aksialt snitt og dette er et rektangel, så blir løsningen litt annerledes. I dette tilfellet vil bredden på rektangelet være diameteren til sirkelen som ligger ved bunnen av kroppen. Lengden på figuren vil være lik generatrisen eller høyden på sylinderen. Trenger å beregne nødvendige verdier og erstatte allerede velkjent formel. I dette tilfellet må bredden på rektangelet deles med to for å finne arealet av basen. For å finne sideflaten multipliseres lengden med to radier og tallet π.
- Du kan beregne arealet til en gitt geometrisk kropp gjennom volumet. For å gjøre dette må du utlede den manglende verdien fra formelen V=π r 2 h.
- Det er ikke noe komplisert i å beregne arealet til en sylinder. Du trenger bare å kjenne formlene og kunne utlede de mengdene som er nødvendige for å utføre beregninger fra dem.