Torget geometrisk figur - numerisk karakteristikk en geometrisk figur som viser størrelsen på denne figuren (en del av overflaten begrenset av den lukkede konturen til denne figuren). Størrelsen på området er uttrykt ved antall kvadratenheter som det inneholder.
Trekantarealformler
- Formel for arealet av en trekant ved side og høyde
Arealet av en trekant lik halvparten av produktet av lengden av en side av en trekant og lengden av høyden trukket til denne siden - Formel for arealet til en trekant basert på tre sider og radiusen til den omskrevne sirkelen
- Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den innskrevne sirkelen
Arealet av en trekant er lik produktet av halvperimeteren til trekanten og radiusen til den innskrevne sirkelen. hvor S er arealet av trekanten,
- lengder på sidene i trekanten,
- høyden på trekanten,
- vinkelen mellom sidene og,
- radius av den innskrevne sirkelen,
R - radius av den omskrevne sirkelen,
Kvadratarealformler
- Formel for arealet av en firkant basert på sidelengde
Firkantet område lik kvadratet på lengden på siden. - Formel for arealet av en firkant langs diagonallengden
Firkantet område lik halve kvadratet av lengden på diagonalen.S= 1 2 2 hvor S - Arealet av torget,
- lengden på siden av firkanten,
- lengden på kvadratets diagonal.
Formel for rektangelareal
- Arealet av et rektangel lik produktet av lengdene til de to tilstøtende sidene
hvor S er arealet av rektangelet,
- lengder på sidene av rektangelet.
Parallelogramarealformler
- Formel for arealet av et parallellogram basert på sidelengde og høyde
Arealet av et parallellogram - Formel for arealet til et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem
Arealet av et parallellogram er lik produktet av lengdene på sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem.a b sin α
hvor S er arealet av parallellogrammet,
- lengder på sidene av parallellogrammet,
- lengden på parallellogramhøyden,
- vinkelen mellom sidene av parallellogrammet.
Formler for området til en rombe
- Formel for området til en rombe basert på sidelengde og høyde
Området til en rombe er lik produktet av lengden på siden og lengden på høyden senket til denne siden. - Formel for arealet til en rombe basert på sidelengde og vinkel
Området til en rombe er lik produktet av kvadratet av lengden på siden og sinusen til vinkelen mellom sidene av romben. - Formel for området til en rombe basert på lengden på diagonalene
Området til en rombe lik halvparten av produktet av lengdene til diagonalene. hvor S er arealet av romben,
- lengden på siden av romben,
- lengden på høyden på romben,
- vinkelen mellom sidene av romben,
1, 2 - lengder av diagonaler.
Trapesformler
- Herons formel for trapes
Hvor S er arealet av trapeset,
- lengder på basene til trapesen,
- lengder på sidene av trapesen,
Alle formler for arealet av flyfigurer
Arealet av en likebenet trapes
1. Formel for arealet til en likebenet trapes ved hjelp av sider og vinkler
a - nedre base
b - øvre base
c - lik sider
α - vinkel ved den nedre basen
Formel for arealet av en likebenet trapes gjennom sidene, (S):
Formel for arealet til en likebenet trapes ved bruk av sider og vinkler, (S):
2. Formel for arealet av en likebenet trapes i form av radiusen til den innskrevne sirkelen
R - radius av den innskrevne sirkelen
D - diameteren til den innskrevne sirkelen
O - sentrum av innskrevet sirkel
H- trapeshøyde
α, β - trapesvinkler
Formel for arealet til en likebenet trapes i form av radiusen til den innskrevne sirkelen, (S):
FAIR, for en innskrevet sirkel i en likebenet trapes:
3. Formel for arealet av en likebenet trapes gjennom diagonalene og vinkelen mellom dem
d er diagonalen til trapesen
α,β- vinkler mellom diagonaler
Formel for arealet av en likebenet trapes gjennom diagonalene og vinkelen mellom dem, (S):
4. Formel for arealet av en likebenet trapes gjennom midtlinje, side og hjørne ved basen
c-siden
m - midtlinje av trapes
α, β - vinkler ved basen
Formel for arealet av en likebenet trapes ved hjelp av midtlinjen, sidesiden og grunnvinkelen,
(S): 
5. Formel for arealet til en likebenet trapes ved hjelp av baser og høyde
a - nedre base
b - øvre base
h - høyden på trapesen
Formel for arealet til en likebenet trapes ved bruk av baser og høyde, (S):
Arealet av en trekant basert på en side og to vinkler, formel.
a, b, c - sider av trekanten
α, β, γ - motsatte vinkler
Arealet av en trekant gjennom en side og to vinkler (S):
Formel for arealet til en vanlig polygon
a - side av polygonet
n - antall sider
Arealet av en vanlig polygon, (S):
Formel (Heron) for arealet av en trekant gjennom halvperimeteren (S):
Arealet til en likesidet trekant er:
Formler for å beregne arealet av en likesidet trekant.
a - side av trekanten
h – høyde
Hvordan beregne arealet av en likebenet trekant?
b - base av trekanten
a - like sider
h – høyde
3. Formel for arealet til en trapes med fire sider
a - nedre base
b - øvre base
c, d - sider
Radius av den omskrevne sirkelen til en trapes langs sidene og diagonalene
a - laterale sider av trapes
c - nedre base
b - øvre base
d - diagonal
h - høyde
Trapesformel circumradius, (R)
finn omkretsradiusen til en likebenet trekant ved hjelp av sidene
Når du kjenner sidene til en likebenet trekant, kan du bruke formelen til å finne radiusen til den omskrevne sirkelen rundt denne trekanten.
a, b - sider av trekanten
Circumradius av en likebenet trekant (R):
Radius av den innskrevne sirkelen i en sekskant
a - side av sekskanten
Radius av den innskrevne sirkelen i en sekskant, (r):
Radius av den innskrevne sirkelen i en rombe
r - radius av den innskrevne sirkelen
a - side av romben
D, d - diagonaler
h - høyde på rhombus
Radius av den innskrevne sirkelen i en likesidet trapes
c - nedre base
b - øvre base
a - sider
h - høyde
Radius av den innskrevne sirkelen i en rettvinklet trekant
a, b - trekantens ben
c - hypotenuse
Radius til den innskrevne sirkelen i en likebenet trekant
a, b - sider av trekanten
Bevis at arealet til en innskrevet firkant er
\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),
hvor p er halvperimeteren og a, b, c og d er sidene av firkanten.
Bevis at arealet til en firkant innskrevet i en sirkel er lik
1/2 (ab + cb) · sin α, der a, b, c og d er sidene til firkanten og α er vinkelen mellom sidene a og b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Les mer på FB.ru:
Torget vilkårlig firkant(Fig. 1.13) kan uttrykkes gjennom sidene a, b, c og summen av et par motstående vinkler:
hvor p er halvperimeteren til firkanten.
Arealet til en firkant innskrevet i en sirkel () (fig. 1.14, a) beregnes ved å bruke Brahmaguptas formel
og beskrevet (Fig. 1.14, b) () - i henhold til formelen
Hvis firkanten er innskrevet og beskrevet samtidig (fig. 1.14, c), blir formelen veldig enkel:
Picks formel
For å anslå arealet til en polygon på rutete papir, er det nok å telle hvor mange celler denne polygonen dekker (vi tar arealet til en celle som en). Mer presist, hvis S er arealet av polygonet, er antallet celler som ligger helt inne i polygonet, og er antallet celler som har minst ett felles punkt med det indre av polygonet.
Nedenfor vil vi kun vurdere slike polygoner, hvis toppunkter ligger ved nodene rutete papir– i de der rutenettlinjene krysser hverandre. Det viser seg at for slike polygoner kan man spesifisere følgende formel:
hvor er arealet, r er antall noder som ligger strengt inne i polygonet.
Denne formelen kalles "Pick-formelen" - etter matematikeren som oppdaget den i 1899.
For å løse geometriproblemer, må du kjenne formler - for eksempel arealet av en trekant eller arealet av et parallellogram - samt enkle teknikker, som vi skal snakke om.
La oss først lære formlene for figurenes områder. Vi har spesielt samlet dem i et praktisk bord. Skriv ut, lær og bruk!
Selvfølgelig er ikke alle geometriformler i tabellen vår. For eksempel å løse problemer innen geometri og stereometri i andre del profil Unified State Examination I matematikk brukes også andre formler for arealet av en trekant. Vi vil definitivt fortelle deg om dem.
Hva du skal gjøre hvis du ikke trenger å finne arealet til en trapes eller trekant, men arealet til noen kompleks figur? Spise universelle metoder! Vi vil vise dem ved hjelp av eksempler fra FIPI-oppgavebanken.
1. Hvordan finne arealet til en ikke-standard figur? For eksempel en vilkårlig firkant? En enkel teknikk - la oss dele denne figuren inn i de som vi vet alt om, og finne arealet - som summen av arealene til disse figurene.
La oss dele denne firkanten horisontal linje i to trekanter felles plattform, lik . Høydene til disse trekantene er lik og . Da er arealet av firkanten lik summen av arealene til de to trekantene: .
Svar: .
2. I noen tilfeller kan arealet til en figur representeres som forskjellen til noen områder.
Det er ikke så lett å regne ut hva basen og høyden til denne trekanten er lik! Men vi kan si at arealet er lik forskjellen mellom arealene til en firkant med side og tre rektangulære trekanter. Ser du dem på bildet? Vi får: .
Svar: .
3. Noen ganger i en oppgave må du finne arealet av ikke hele figuren, men en del av den. Vanligvis snakker vi om arealet av en sektor - en del av en sirkel Finn arealet av en sektor av en sirkel med radius hvis buelengde er lik .
På dette bildet ser vi en del av en sirkel. Arealet av hele sirkelen er lik . Det gjenstår å finne ut hvilken del av sirkelen som er avbildet. Siden lengden på hele sirkelen er lik (siden), og lengden på buen til en gitt sektor er lik, er derfor lengden på buen en faktor som er mindre enn lengden på hele sirkelen. Vinkelen som denne buen hviler i er også flere ganger mindre enn full sirkel(det vil si grader). Dette betyr at arealet av sektoren vil være flere ganger mindre enn arealet av hele sirkelen.