Jeg synes du fortjener mer enn dette. Her er nøkkelen min til trigonometri:

• Tegn kuppelen, veggen og taket
• Trigonometriske funksjoner er ikke annet enn prosenter av disse tre formene.

Metafor for sinus og cosinus: kuppel

I stedet for bare å se på selve trekantene, se for deg dem i aksjon ved å finne noen spesielt eksempel fra livet.

Tenk deg at du er midt i en kuppel og ønsker å henge et filmlerret. Du peker fingeren mot kuppelen i en viss vinkel "x", og skjermen skal henge fra dette punktet.

Vinkelen du peker på avgjør:

• sinus(x) = sin(x) = skjermhøyde (fra gulv til kuppelmonteringspunkt)
• cosinus(x) = cos(x) = avstand fra deg til skjermen (etter etasje)
• hypotenusen, avstanden fra deg til toppen av skjermen, alltid den samme, lik radiusen til kuppelen

Vil du at skjermen skal være så stor som mulig? Heng den rett over deg.

Vil du at skjermen skal henge så langt unna deg som mulig? Heng den rett vinkelrett. Skjermen vil ha null høyde i denne posisjonen og vil henge lengst unna, slik du spurte.

Høyde og avstand fra skjermen er omvendt proporsjonale: Jo nærmere skjermen henger, jo større er høyden.

Sinus og cosinus er prosenter

Ingen i løpet av studieårene mine, dessverre, forklarte meg at de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus ikke er mer enn prosenter. Verdiene deres varierer fra +100% til 0 til -100%, eller fra et positivt maksimum til null til et negativt maksimum.

La oss si at jeg betalte en skatt på 14 rubler. Du vet ikke hvor mye det er. Men hvis du sier at jeg betalte 95% i skatt, vil du forstå at jeg rett og slett ble flådd.

Absolutt høyde betyr ingenting. Men hvis sinusverdien er 0,95, så forstår jeg at TV-en henger nesten på toppen av kuppelen din. Snart når han maksimal høyde i midten av kuppelen, og begynner deretter å avta igjen.

Hvordan kan vi beregne denne prosenten? Det er veldig enkelt: del gjeldende skjermhøyde med maksimalt mulig (radiusen til kuppelen, også kalt hypotenusen).

Derfor Vi blir fortalt at "cosinus = motsatt side / hypotenusa." Det handler om å få interesse! Det er best å definere sinus som "prosentandelen av gjeldende høyde fra maksimalt mulig." (Sinusen blir negativ hvis vinkelen din peker "under jorden." Cosinus blir negativ hvis vinkelen peker mot kuppelpunktet bak deg.)

La oss forenkle beregningene ved å anta at vi er i sentrum enhetssirkel(radius = 1). Vi kan hoppe over divisjonen og bare ta sinus lik høyden.

Hver sirkel er i hovedsak en enhet, forstørret eller redusert i skala til riktig størrelse. Så bestem enhetssirkelforbindelsene og bruk resultatene til din spesifikke sirkelstørrelse.

Eksperiment: ta hvilken som helst vinkel og se hva prosentdel høyde til bredde den viser:

Grafen for veksten av sinusverdien er ikke bare en rett linje. De første 45 gradene dekker 70% av høyden, men de siste 10 gradene (fra 80° til 90°) dekker bare 2%.

Dette vil gjøre det tydeligere for deg: hvis du går i en sirkel, ved 0° stiger du nesten vertikalt, men når du nærmer deg toppen av kuppelen, endres høyden mindre og mindre.

Tangent og sekant. vegg

En dag bygde en nabo en mur rett ved siden av hverandre til kuppelen din. Gråt din utsikt fra vinduet og en god pris for videresalg!

Men er det mulig å vinne på en eller annen måte i denne situasjonen?

Selvfølgelig ja. Hva om vi hang en filmlerret rett på naboens vegg? Du målretter vinkelen (x) og får:

• tan(x) = tan(x) = skjermhøyde på veggen
• avstand fra deg til veggen: 1 (dette er radiusen til kuppelen din, veggen beveger seg ikke noe sted fra deg, ikke sant?)
• secant(x) = sec(x) = "lengde på stigen" fra deg som står i midten av kuppelen til toppen av den opphengte skjermen

La oss avklare et par punkter angående tangenten, eller skjermhøyden.

• den starter på 0, og kan gå uendelig høyt. Du kan strekke skjermen høyere og høyere på veggen for å lage et endeløst lerret for å se favorittfilmen din! (For en så stor en må du selvfølgelig bruke mye penger).
• tangent er bare en større versjon av sinus! Og mens økningen i sinus avtar når du beveger deg mot toppen av kuppelen, fortsetter tangenten å vokse!

Sekansu har også noe å skryte av:

• Sekanten starter på 1 (stigen er på gulvet, fra deg til veggen) og begynner å stige derfra
• Sekanten er alltid lengre enn tangenten. Den skrå stigen du bruker til å henge opp skjermen bør være lengre enn selve skjermen, ikke sant? (Med urealistiske størrelser, når skjermen er såååå lang og stigen må plasseres nesten vertikalt, er størrelsene deres nesten de samme. Men selv da blir sekanten litt lengre).

Husk at verdiene er prosent. Hvis du bestemmer deg for å henge skjermen i en vinkel på 50 grader, tan(50)=1,19. Skjermen din er 19 % større enn avstanden til veggen (kuppelradius).

(Skriv inn x=0 og sjekk intuisjonen din - tan(0) = 0 og sek(0) = 1.)

Cotangens og cosecant. Tak

Utrolig nok har naboen din nå bestemt seg for å bygge et tak over kuppelen din. (Hva er galt med ham? Han vil tydeligvis ikke at du skal spionere på ham mens han går naken rundt på gården...)

Vel, det er på tide å bygge en utgang til taket og snakke med naboen. Du velger helningsvinkel og begynner konstruksjonen:

• den vertikale avstanden mellom takutløpet og gulvet er alltid 1 (kuppelens radius)
• cotangent(x) = cot(x) = avstand mellom toppen av kuppelen og utgangspunktet
• cosecant(x) = csc(x) = lengden på veien til taket

Tangent og sekant beskriver veggen, og COtangent og COsecant beskriver taket.

Våre intuitive konklusjoner denne gangen ligner på de forrige:

• Hvis du tar vinkelen lik 0°, vil utgangen til taket vare evig, siden den aldri når taket. Problem.
• Den korteste "stigen" til taket oppnås hvis du bygger den i en vinkel på 90 grader mot gulvet. Kotangensen vil være lik 0 (vi beveger oss ikke langs taket i det hele tatt, vi går ut strengt vinkelrett), og cosecanten vil være lik 1 ("lengden på stigen" vil være minimal).

Visualiser forbindelser

Hvis alle tre tilfellene er tegnet i en kuppel-vegg-tak-kombinasjon, vil resultatet bli følgende:

Vel, det er fortsatt den samme trekanten, økt i størrelse for å nå veggen og taket. Vi har vertikale sider (sinus, tangens), horisontale sider (cosinus, cotangens) og "hypotenuser" (secant, cosecant). (Ved pilene kan du se hvor hvert element når. Kosekanten er den totale avstanden fra deg til taket).

Litt magi. Alle trekanter deler de samme likhetene:

Fra Pythagoras teorem (a 2 + b 2 = c 2) ser vi hvordan sidene i hver trekant henger sammen. I tillegg bør "høyde til bredde"-forhold også være de samme for alle trekanter. (Bare gå tilbake fra selve stor trekant til mindre. Ja, størrelsen har endret seg, men sideforholdet forblir det samme).

Når vi vet hvilken side i hver trekant som er lik 1 (radiusen til kuppelen), kan vi enkelt beregne at "sin/cos = tan/1".

Jeg har alltid prøvd å huske disse faktaene gjennom enkel visualisering. På bildet ser du tydelig disse avhengighetene og forstår hvor de kommer fra. Denne teknikken er mye bedre enn memorering tørre formler.

Ikke glem andre vinkler

Psst... Ikke sett deg fast på én graf, og tenk at tangenten alltid er mindre enn 1. Hvis du øker vinkelen, kan du nå taket uten å nå veggen:

Pythagoras forbindelser fungerer alltid, men relative størrelser kan være annerledes.

(Du har kanskje lagt merke til at sinus- og cosinusforhold alltid er de minste fordi de er inneholdt i kuppelen).

For å oppsummere: hva må vi huske?

For de fleste av oss vil jeg si at dette vil være nok:

• trigonometri forklarer anatomien til matematiske objekter som sirkler og repeterende intervaller
• Kuppel/vegg/tak-analogien viser forholdet mellom ulike trigonometriske funksjoner
• resultat trigonometriske funksjoner er prosentene som vi bruker på manuset vårt.

Du trenger ikke å huske formler som 1 2 + cot 2 = csc 2 . De er kun egnet for dumme tester, der kunnskap om et faktum blir gitt videre til å forstå det. Bruk et minutt på å tegne en halvsirkel i form av en kuppel, en vegg og et tak, merk elementene, og alle formlene vil komme til deg på papir.

Anvendelse: Inverse funksjoner

Enhver trigonometrisk funksjon tar en vinkel som en inngangsparameter og returnerer resultatet som en prosentandel. sin(30) = 0,5. Det betyr at en vinkel på 30 grader tar opp 50 % av maksimal høyde.

Den inverse trigonometriske funksjonen skrives som sin -1 eller arcsin. Det er også ofte skrevet asin in ulike språk programmering.

Hvis høyden vår er 25 % av kuppelens høyde, hva er vinkelen vår?

I vår proporsjonstabell kan du finne et forhold der sekanten er delt på 1. For eksempel vil sekanten med 1 (hypotenusen til horisontalen) være lik 1 delt på cosinus:

La oss si at vår sekant er 3,5, dvs. 350 % av radiusen til en enhetssirkel. Hvilken helningsvinkel til veggen tilsvarer denne verdien?

Vedlegg: Noen eksempler

Eksempel: Finn sinusen til vinkelen x.

En kjedelig oppgave. La oss komplisere den banale "finn sinusen" til "Hva er høyden i prosent av maksimum (hypotenusen)?"

Legg først merke til at trekanten er rotert. Det er ikke noe galt med det. Trekanten har også en høyde, den er angitt med grønt på figuren.

Hva er hypotenusen lik? I følge Pythagoras teorem vet vi at:

3 2 + 4 2 = hypotenusen 2 25 = hypotenusen 2 5 = hypotenusen

Fint! Sinus er prosentandelen av høyden til trekantens lengste side, eller hypotenusen. I vårt eksempel er sinus 3/5 eller 0,60.

Selvfølgelig kan vi gå flere veier. Nå vet vi at sinus er 0,60, vi kan ganske enkelt finne bue:

Asin(0,6)=36,9

Her er en annen tilnærming. Legg merke til at trekanten "vendt mot veggen", så vi kan bruke tangenten i stedet for sinus. Høyden er 3, avstanden til veggen er 4, så tangenten er ¾ eller 75%. Vi kan bruke arctangensen til å gå fra en prosentverdi tilbake til en vinkel:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Eksempel: Vil du svømme til kysten?

Du er i en båt og har nok drivstoff til å reise 2 km. Du er nå 0,25 km fra kysten. I hvilken maksimal vinkel til land kan du svømme til den slik at du har nok drivstoff? Tillegg til problemformuleringen: vi har bare en tabell med buekosinusverdier.

Hva vi har? kystlinje kan representeres som en "vegg" i vår berømte trekant, og "lengden på en stige" festet til veggen er den maksimalt mulige avstanden som kan dekkes med båt til land (2 km). En sekant vises.

Først må du gå til prosenter. Vi har 2 / 0,25 = 8, det vil si at vi kan svømme en distanse som er 8 ganger den rette avstanden til land (eller til veggen).

Spørsmålet oppstår: "Hva er sekanten til 8?" Men vi kan ikke svare på det, siden vi bare har buekosinus.

Vi bruker våre tidligere avledede avhengigheter for å relatere sekanten til cosinus: "sek/1 = 1/cos"

Sekans 8 lik cosinus⅛. En vinkel hvis cosinus er ⅛ er lik acos(1/8) = 82,8. Og dette er den største vinkelen vi har råd til på en båt med den angitte mengden drivstoff.

Ikke verst, ikke sant? Uten kuppel-vegg-tak-analogien ville jeg ha gått meg vill i en haug med formler og beregninger. Å visualisere problemet forenkler søket etter en løsning i stor grad, og det er også interessant å se hvilken trigonometrisk funksjon som til slutt vil hjelpe.

Tenk når du løser alle problemer på følgende måte: Er jeg interessert i dome (sin/cos), vegg (tan/sec) eller tak (cot/csc)?

Og trigonometri vil bli mye morsommere. Enkel utregning for deg!

Leksjon om emnet «Sinus, cosinus og tangens spiss vinkel høyre trekant"

Leksjonens mål:

pedagogisk - introduser begrepet sinus, cosinus, tangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, utforske avhengighetene og forholdene mellom disse størrelsene;

utvikling - dannelsen av konseptet sinus, cosinus, tangent som funksjoner av en vinkel, domenet for definisjon av trigonometriske funksjoner, utvikling logisk tenkning, utvikling av korrekt matematisk tale;

pedagogisk – utvikling av ferdigheter til selvstendig arbeid, atferdskultur, nøyaktighet i journalføring.

Leksjonsfremgang:

1. Organisering av tid

«Utdanning er ikke antall leksjoner tatt, men antall forståtte. Så hvis du vil gå fremover, så skynd deg sakte og vær forsiktig."

2. Leksjonsmotivasjon.

En klok mann sa: " Supreme manifestasjonånd er sinnet. Den høyeste manifestasjonen av fornuft er geometri. Geometricellen er en trekant. Det er like uuttømmelig som universet. Sirkelen er geometriens sjel. Kjenn sirkelen, og du vil ikke bare kjenne geometriens sjel, men du vil heve din sjel.»

Vi skal prøve å gjøre litt research sammen med deg. La oss dele ideene dine som dukker opp, og ikke vær redd for å gjøre feil, enhver tanke kan gi oss en ny retning å søke. Våre prestasjoner virker kanskje ikke store for noen, men de vil være våre egne prestasjoner!

3. Oppdatering av grunnleggende kunnskap.

Hvilke vinkler kan det være?

Hva er trekanter?

Hva er hovedelementene som definerer en trekant?

Hvilke typer trekanter finnes avhengig av sidene?

Hvilke typer trekanter finnes avhengig av vinklene?

Hva er et ben?

Hva er en hypotenuse?

Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant?

Hvilke forhold mellom sidene og vinklene til denne trekanten kjenner du til?

Hvorfor trenger du å vite sammenhengen mellom sider og vinkler?

Hvilke oppgaver i livet kan føre til behovet for å beregne ukjente parter i en trekant?

Begrepet "hypotenus" kommer fra gresk ord"hypoinouse", som betyr "strekke seg over noe", "trekke seg sammen". Ordet stammer fra bildet av gamle greske harper, hvor strengene er strukket i endene av to innbyrdes vinkelrette stativer. Begrepet "cathetus" kommer fra det greske ordet "kathetos", som betyr begynnelsen på en "loddlinje", "vinkelrett".

Euklid sa: "Beina er sidene som omslutter en rett vinkel."

I Antikkens Hellas en metode for å konstruere en rettvinklet trekant på bakken var allerede kjent. For å gjøre dette brukte de et tau som ble bundet 13 knop på, i samme avstand fra hverandre. Under byggingen av pyramidene i Egypt ble det laget rette trekanter på denne måten. Det er nok derfor høyre trekant med sidene 3,4,5 og kalt egyptisk trekant.

4. Studere nytt materiale.

I gamle tider så folk på stjernene og, basert på disse observasjonene, førte de en kalender, beregnede sådatoer og tidspunktet for elveflom; skip til sjøs og campingvogner på land navigerte sin ferd etter stjernene. Alt dette førte til behovet for å lære å beregne sidene i en trekant, hvor to av hjørnene er på bakken, og den tredje er representert av et punkt på stjernehimmelen. Basert på dette behovet oppsto vitenskapen om trigonometri – en vitenskap som studerer sammenhengene mellom sidene i en trekant.

Tror du relasjonene vi allerede kjenner er nok til å løse slike problemer?

Hensikten med dagens leksjon er å utforske nye sammenhenger og avhengigheter, å utlede relasjoner, ved hjelp av hvilke du i neste geometritime vil kunne løse slike problemer.

La oss føle at vi er i rollen vitenskapelige arbeidere og etter antikkens genier Thales, Euklid, Pythagoras la oss gå veien søke etter sannhet.

For dette trenger vi teoretisk grunnlag.

Fremhev vinkel A og ben BC i rødt.

Fremheve grønn ben AC.

La oss beregne hvilken del som er motsatt side for en spiss vinkel A til hypotenusen, for dette lager vi forholdet motsatt side til hypotenusen:

Dette forholdet har et spesielt navn - slik at hver person på hvert punkt på planeten forstår det vi snakker om om et tall som representerer forholdet mellom motsatt side av en spiss vinkel og hypotenusen. Dette ordet er sinus. Skriv det ned. Siden ordet sinus uten navnet på vinkelen mister all betydning, er den matematiske notasjonen som følger:

Komponer nå forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen for spiss vinkel A:

Dette forholdet kalles cosinus. Dens matematiske notasjon:

La oss vurdere et annet forhold for en spiss vinkel A: forholdet mellom motsatt side og tilstøtende ben:

Dette forholdet kalles tangent. Dens matematiske notasjon:

5. Konsolidering av nytt materiale.

La oss konsolidere våre mellomoppdagelser.

Sine er...

Cosinus er...

Tangent er...

synd A =	synd OM =	synd A 1 =
fordi A =	cos OM =	fordi A 1 =
tan A =	tg OM =	tan A 1 =

Løs muntlig nr. 88, 889, 892 (arbeid i par).

Bruke den tilegnete kunnskapen til å løse praktisk problem:

«Fra fyrtårnet, 70 m høyt, er et skip synlig i en vinkel på 3° mot horisonten. Hvordan er det

avstand fra fyret til skipet?

Problemet er løst frontalt. Under diskusjonen lager vi en tegning og nødvendige notater på tavla og i notatbøker.

Ved løsning av problemet brukes Bradis-tabeller.

Vurder løsningen på problemet s.175.

Løs nr. 902(1).

6. Trening for øynene.

Uten å snu hodet, se deg rundt på klasseromsveggen rundt omkretsen med klokken, tavlen rundt omkretsen mot klokken, trekanten avbildet på stativet med klokken og den like trekanten mot klokken. Vri hodet til venstre og se på horisontlinjen, og nå på nesetippen. Lukk øynene, tell til 5, åpne øynene og...

Vi legger håndflatene mot øynene,
La oss spre våre sterke ben.
Svinger til høyre
La oss se oss majestetisk rundt.
Og du må gå til venstre også
Se fra under håndflatene dine.
Og - til høyre! Og videre
Over venstre skulder!
La oss nå fortsette å jobbe.

7. Selvstendig arbeid studenter.

Løs nei.

8. Leksjonssammendrag. Speilbilde. D/z.

Hvilke nye ting har du lært? På leksjonen:

Har du vurdert...

du analyserte...

Du mottok …

du har konkludert...

du har fylt på leksikon følgende vilkår...

Verdensvitenskapen begynte med geometri. En person kan ikke virkelig utvikle seg kulturelt og åndelig hvis han ikke har studert geometri på skolen. Geometri oppsto ikke bare fra det praktiske, men også fra menneskets åndelige behov.

Slik forklarte hun poetisk sin kjærlighet til geometri

Jeg elsker geometri...

Jeg underviser i geometri fordi jeg elsker det

Vi trenger geometri, uten den kommer vi ingen vei.

Sinus, cosinus, omkrets - alt er viktig her,

Her trengs alt

Du trenger bare å lære og forstå alt veldig tydelig,

Fullfør oppgaver og prøver i tide.

La det gis et rektangulært koordinatsystem og en rett linje . La Og - to forskjellige plan som krysser hverandre i en rett linje og gitt tilsvarende ved ligninger. Disse to ligningene definerer sammen den rette linjen hvis og bare hvis de ikke er parallelle og ikke sammenfaller med hverandre, dvs. normale vektorer
Og
disse planene er ikke kollineære.

Definisjon. Hvis koeffisientene til likningene

ikke er proporsjonale, kalles disse ligningene generelle ligninger rett linje, definert som skjæringslinjen mellom plan.

Definisjon. Enhver vektor som ikke er null parallelt med en linje kalles guidevektor denne rette linjen.

La oss utlede ligningen for den rette linjen passerer gjennom et gitt punkt
rom og har en gitt retningsvektor
.

La poenget
- vilkårlig punkt på en rett linje . Dette punktet ligger på en linje hvis og bare hvis vektoren
, med koordinater
, kollineært til retningsvektoren
rett. I følge (2.28), betingelsen for kollinearitet av vektorer
Og ser ut som

. (3.18)

Ligninger (3.18) kalles kanoniske ligninger rett linje som går gjennom et punkt
og har en retningsvektor
.

Hvis rett er gitt ved generelle ligninger (3.17), deretter retningsvektoren denne linjen er ortogonal til normalvektorene
Og
plan spesifisert av ligninger. Vektor
i henhold til vektorproduktegenskapen er den ortogonal til hver av vektorene Og . I følge definisjonen, som en retningsvektor rett du kan ta en vektor
, dvs.
.

For å finne et poeng
vurdere likningssystemet
. Siden planene definert av ligningene ikke er parallelle og ikke sammenfaller, så holder ikke minst en av likhetene
. Dette fører til at minst en av determinantene ,
,
forskjellig fra null. For ordens skyld vil vi anta det
. Deretter tar du en vilkårlig verdi , får vi et ligningssystem for de ukjente Og :

.

I følge Cramers teorem har dette systemet en unik løsning definert av formlene

,
. (3.19)

Hvis du tar
, så går den rette linjen gitt av ligningene (3.17) gjennom punktet
.

Altså for tilfellet når
, kanoniske ligninger rette linjer (3.17) har formen

.

De kanoniske ligningene til den rette linjen (3.17) er skrevet på samme måte for tilfellet når determinanten ikke er null
eller
.

Hvis en linje går gjennom to forskjellige punkter
Og
, så har dens kanoniske ligninger formen

. (3.20)

Dette følger av at den rette linjen går gjennom punktet
og har en retningsvektor.

La oss vurdere de kanoniske ligningene (3.18) til den rette linjen. La oss ta hver av relasjonene som en parameter , dvs.
. En av nevnerne til disse brøkene er ikke-null, og den tilsvarende telleren kan ta hvilken som helst verdi, så parameteren kan ta på seg alle reelle verdier. Tatt i betraktning at hvert av forholdstallene er like , vi får parametriske ligninger rett:

,
,
. (3.21)

La flyet er gitt av en generell ligning, og den rette linjen - parametriske ligninger
,
,
. Punktum
skjæringspunktet mellom en rett linje og fly må samtidig tilhøre et fly og en linje. Dette er bare mulig hvis parameteren tilfredsstiller ligningen, dvs.
. Dermed har skjæringspunktet mellom en rett linje og et plan koordinater

,

,

.

Eksempel 32. Skriv parametriske ligninger for en linje som går gjennom punktene
Og
.

Løsning. For retningsvektoren til den rette linjen tar vi vektoren

. En rett linje går gjennom et punkt , derfor, i henhold til formel (3.21), har de nødvendige rettlinjeligningene formen
,
,
.

Eksempel 33. Toppunktene i trekanten
har koordinater
,
Og
hhv. Komponer parametriske ligninger for medianen trukket fra toppunktet .

Løsning. La
- midt på siden
, Deretter
,
,
. Som guidevektoren til medianen tar vi vektoren
. Da har de parametriske ligningene til medianen formen
,
,
.

Eksempel 34. Komponer de kanoniske ligningene til en linje som går gjennom et punkt
parallelt med linjen
.

Løsning. Den rette linjen er definert som skjæringslinjen mellom plan med normalvektorer
Og
. Som en guidevektor ta vektoren til denne linjen
, dvs.
. I følge (3.18) har den nødvendige ligningen formen
eller
.

3.8. Vinkelen mellom rette linjer i rommet. Vinkel mellom en rett linje og et plan

La to rette linjer Og i rommet er gitt av deres kanoniske ligninger
Og
. Så et av hjørnene mellom disse linjene lik vinkel mellom retningsvektorene deres
Og
. Bruk formel (2.22), for å bestemme vinkelen vi får formelen

. (3.22)

Andre hjørne mellom disse linjene er lik
Og
.

Betingelse for parallelle linjer Og er ekvivalent med tilstanden for kollinearitet til vektorer
Og
og ligger i proporsjonaliteten til deres koordinater, dvs. betingelsen for parallelle linjer har formen

. (3.23)

Hvis rett Og er vinkelrett, så er retningsvektorene deres ortogonale, dvs. perpendikularitetsbetingelsen bestemmes av likheten

. (3.24)

Tenk på et fly , gitt av den generelle ligningen, og den rette linjen , gitt av de kanoniske ligningene
.

Hjørne mellom den rette linjen og fly er komplementær til vinkelen mellom retningsvektoren til den rette linjen og normalvektoren til planet, dvs.
Og
, eller

. (3.24)

Betingelse for parallellitet av en linje og fly er ekvivalent med betingelsen om at retningsvektoren til linjen og normalvektoren til planet er vinkelrett, det vil si at skalarproduktet til disse vektorene må være lik null:

Hvis linjen er vinkelrett på planet, må retningsvektoren til linjen og normalvektoren til planet være kollineær. I dette tilfellet er koordinatene til vektorene proporsjonale, dvs.

. (3.26)

Eksempel 35. Finne stump vinkel mellom rette linjer
,
,
Og
,
,
.

Løsning. Retningsvektorene til disse linjene har koordinater
Og
. Derfor ett hjørne mellom rette linjer bestemmes av forholdet, dvs.
. Derfor er tilstanden til problemet tilfredsstilt av den andre vinkelen mellom linjene, lik
.

3.9. Avstand fra et punkt til en linje i rommet

La
 punkt i rommet med koordinater
, rett linje gitt av kanoniske ligninger
. La oss finne avstanden fra punkt
til en rett linje .

La oss bruke en guidevektor
til punktet
. Avstand fra punkt
til en rett linje er høyden på et parallellogram bygget på vektorer Og
. La oss finne arealet til et parallellogram ved å bruke kryssproduktet:

På den andre siden, . Av likheten mellom høyresidene av de to siste relasjonene følger det at

. (3.27)

3.10. Ellipsoid

Definisjon. Ellipsoid er en annenordens overflate, som i et eller annet koordinatsystem er definert av ligningen

. (3.28)

Ligning (3.28) kalles den kanoniske ligningen til ellipsoiden.

Fra ligning (3.28) følger det at koordinatplanene er symmetriplan til ellipsoiden, og origo for koordinatene er symmetrisenteret. Tall
kalles halvakser av ellipsoiden og representerer lengdene av segmenter fra origo til skjæringspunktet mellom ellipsoiden og koordinataksene. En ellipsoide er en avgrenset overflate innelukket i et parallellepiped
,
,
.

La oss etablere den geometriske formen til ellipsoiden. For å gjøre dette, la oss finne ut formen på skjæringslinjene til planene parallelt med koordinataksene.

For å være spesifikk, vurder skjæringslinjene mellom ellipsoiden og planene
, parallelt med planet
. Ligning for projeksjonen av skjæringslinjen på et plan
er hentet fra (3.28) hvis vi legger inn det
. Ligningen for denne projeksjonen er

. (3.29)

Hvis
, da (3.29) er ligningen for en imaginær ellipse og skjæringspunktene mellom ellipsoiden og planet
Nei. Det følger at
. Hvis
, så degenererer linje (3.29) til punkter, dvs. plan
berøre ellipsoiden på punkter
Og
. Hvis
, Det
og du kan introdusere notasjonen

,
. (3.30)

Så tar ligning (3.29) formen

, (3.31)

dvs. projeksjon på et plan
skjæringslinjer mellom ellipsoiden og planet
er en ellipse med halvakser, som bestemmes av likheter (3.30). Siden skjæringslinjen av overflaten med plan parallelt med koordinatplanene er en projeksjon "hevet" til en høyde , så er selve skjæringslinjen en ellipse.

Når du reduserer verdien akselaksler Og øke og nå sin største verdi på
, dvs. i snittet av ellipsoiden ved koordinatplanet
den største ellipsen med halvakser oppnås
Og
.

Ideen om en ellipsoid kan oppnås på en annen måte. Tenk på flyet
familie av ellipser (3.31) med halvakser Og , definert av relasjoner (3.30) og avhengig av . Hver slik ellipse er en nivålinje, det vil si en linje ved hvert punkt som verdien det samme. "Heve" hver slik ellipse til en høyde , får vi en romlig visning av ellipsoiden.

Et lignende bilde oppnås når en gitt overflate krysses av plan parallelt med koordinatplanene
Og
.

Dermed er en ellipsoid en lukket elliptisk overflate. Når
Ellipsoiden er en kule.

Skjæringslinjen for en ellipsoide med et hvilket som helst plan er en ellipse, siden en slik linje er en begrenset linje av andre orden, og den eneste begrensede linjen av andre orden er en ellipse.

Videokurset "Få en A" inneholder alle emnene du trenger vellykket gjennomføring Unified State Examination i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

Alle nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling romlig fantasi. Trigonometri fra bunnen til oppgave 13. Forståelse i stedet for å stappe. Visuell forklaring komplekse konsepter. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for løsning komplekse oppgaver 2 deler av Unified State-eksamenen.