Metoder for rask kvadrering. Kvaddre et tall i Microsoft Excel

*kvadrater opptil hundrevis

For ikke å kvadre alle tallene ved hjelp av formelen, må du forenkle oppgaven din så mye som mulig med følgende regler.

Regel 1 (kutter av 10 tall)

For tall som slutter på 0.
Hvis et tall ender på 0, er det ikke vanskeligere å multiplisere det enn et ensifret tall. Du trenger bare å legge til et par nuller.
70 * 70 = 4900.
Merket med rødt i tabellen.

Regel 2 (kutter av 10 tall)

For tall som slutter på 5.
For å kvadrere et tosifret tall som slutter på 5, må du multiplisere det første sifferet (x) med (x+1) og legge til "25" til resultatet.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Merket med grønt i tabellen.

Regel 3 (kutter av 8 tall)

For tall fra 40 til 50.
XX * XX = 1500 + 100 * andre siffer + (10 - andre siffer)^2
Vanskelig nok, ikke sant? La oss se på et eksempel:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
I tabellen er de merket med lys oransje.

Regel 4 (kutter av 8 tall)

For tall fra 50 til 60.
XX * XX = 2500 + 100 * andre siffer + (andre siffer)^2
Det er også ganske vanskelig å forstå. La oss se på et eksempel:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
I tabellen er de merket med mørk oransje.

Regel 5 (kutter av 8 tall)

For tall fra 90 til 100.
XX * XX = 8000+ 200 * andre siffer + (10 - andre siffer)^2
Ligner på regel 3, men med andre odds. La oss se på et eksempel:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
I tabellen er de merket med mørk mørk oransje.

Regel nr. 6 (kutter av 32 tall)

Du må huske rutene med tall opp til 40. Det høres sprøtt og vanskelig ut, men faktisk kjenner de fleste rutene opp til 20. 25, 30, 35 og 40 er mottagelige for formler. Og bare 16 par med tall gjenstår. De kan allerede huskes ved hjelp av mnemonics (som jeg også vil snakke om senere) eller på andre måter. Som en multiplikasjonstabell :)
Merket med blått i tabellen.

Du kan huske alle reglene, eller du kan huske selektivt i alle fall, alle tall fra 1 til 100 følger to formler. Reglene vil hjelpe, uten å bruke disse formlene, raskt å beregne mer enn 70 % av alternativene. Her er de to formlene:

Formler (24 dager igjen)

For tall fra 25 til 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
For eksempel:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

For tall fra 50 til 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
For eksempel:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Selvfølgelig, ikke glem den vanlige formelen for utvidelse av kvadratet av en sum (et spesialtilfelle av Newtons binomiale):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

OPPDATER
Produkter med tall nær 100, og spesielt kvadratene deres, kan også beregnes ved å bruke prinsippet om "ulemper til 100":

Med ord: fra det første tallet trekker vi "ulempen" til det andre til hundre og tildeler et tosifret produkt av "ulemper".

For firkanter er det følgelig enda enklere.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(fra sielover)

Kvadring er kanskje ikke det mest nyttige på gården. Du vil ikke umiddelbart huske en sak når du kanskje trenger å kvadrat et tall. Men evnen til raskt å operere med tall og bruke passende regler for hvert tall, utvikler minnet og "beregningsevnene" til hjernen din perfekt.

Forresten, jeg tror alle lesere av Habra vet at 64^2 = 4096, og 32^2 = 1024.
Mange kvadrater med tall blir lagret på det assosiative nivået. For eksempel husket jeg lett 88^2 = 7744 på grunn av de samme tallene. Hver og en vil sannsynligvis ha sine egne egenskaper.

Jeg fant først to unike formler i boken «13 steg til mentalisme», som har lite med matematikk å gjøre. Faktum er at tidligere (kanskje til og med nå) unike databehandlingsevner var et av tallene i scenemagi: en tryllekunstner ville fortelle en historie om hvordan han mottok superkrefter og, som bevis på dette, øyeblikkelig kvadrater tall opp til hundre. Boken viser også metoder for kubkonstruksjon, metoder for å trekke røtter og kuberøtter.

Hvis temaet rask telling er interessant, vil jeg skrive mer.
Skriv gjerne kommentarer om feil og rettelser i PM, på forhånd takk.

Å kvadrere tresifrede tall er en imponerende bragd av mental magi. Akkurat som å kvadrere et tosifret tall innebærer å runde det opp eller ned for å få et multiplum av 10, krever kvadrering av et tresifret tall å runde det opp eller ned for å få et multiplum av 100. La oss kvadrere tallet 193.

Ved å runde 193 til 200 (den andre faktoren ble 186), ble 3 ganger 3-problemet enklere 3 ganger 1, siden 200 x 186 bare er 2 x 186 = 372 med to nuller på slutten . Nesten ferdig! Nå er det bare å legge til 7 2 = 49 og få svaret - 37 249.

La oss prøve å kvadrere 706.

Når du runder av tallet 706 til 700, må du også endre det samme tallet opp med 6 for å få 712.

Siden 712 x 7 = 4984 (en enkel 3 ganger 1 oppgave), gir 712 x 700 = 498 400 498 436.

De siste eksemplene er ikke så skumle fordi de ikke involverer addisjon som sådan. I tillegg vet du utenat hva 6 2 og 7 2 er lik. Det er mye vanskeligere å kvadrere et tall som er mer enn 10 enheter unna et multiplum av 100. Prøv deg på 314 2.

I dette eksemplet reduseres 314 med 14 for å runde av til 300 og økes med 14 til 328. Multipliser 328 x 3 = 984 og legg til to nuller på slutten for å få 98 400. Legg til kvadratet av 14. Hvis det umiddelbart kommer til tankene (takket være minne eller raske beregninger) at 14 2 = 196, så er du i god form. Deretter legger du bare til 98 400 + 196 for å få det endelige svaret på 98 596.

Hvis du trenger tid til å telle 14 2, gjenta "98 400" flere ganger før du fortsetter. Ellers kan du regne ut 14 2 = 196 og glemme hvilket tall du skal legge produktet til.

Hvis du har et publikum du vil imponere, kan du si "279 000" høyt før du finner 292. Men det vil ikke fungere for alle problemer du løser.

Prøv for eksempel å kvadrere 636.

Nå fungerer hjernen din virkelig, ikke sant?

Husk å gjenta "403.200" for deg selv flere ganger mens du ruter 36 på vanlig måte for å få 1296. Det vanskeligste er å legge til 1296 + 403.200. Gjør dette ett siffer om gangen, fra venstre til høyre, og du får svaret 404.496 Jeg lover at når du først blir mer kjent med å kvadrere tosifrede tall, vil problemer med tresifrede tall bli mye lettere.

Her er et enda mer komplekst eksempel: 863 2 .

Det første problemet er å bestemme hvilke tall som skal multipliseres. Uten tvil vil en av dem være 900, og den andre vil være mer enn 800. Men hvilken? Dette kan beregnes på to måter.

1. Den vanskelige måten: forskjellen mellom 863 og 900 er 37 (63s komplement), trekk 37 fra 863 og få 826.

2. Enkel måte: doble tallet 63, vi får 126, nå legger vi de to siste sifrene i dette tallet til tallet 800, som til slutt gir 826.

Her er hvordan den enkle måten fungerer. Siden begge tallene har samme forskjell med tallet 863, må summen deres være lik det dobbelte av tallet 863, det vil si 1726. Ett av tallene er 900, som betyr at det andre vil være lik 826.

Deretter utfører vi følgende beregninger.

Hvis du har problemer med å huske tallet 743 400 etter å ha satt tallet 37 i kvadrat, ikke bekymre deg. I de følgende kapitlene vil du lære mnemonsystemet og lære hvordan du husker slike tall.

Prøv deg frem på den vanskeligste oppgaven så langt - å kvadre tallet 359.

For å få 318 trekker du enten 41 (59s komplement) fra 359, eller multipliserer 2 x 59 = 118 og bruker de to siste sifrene. Deretter multipliserer du 400 x 318 = 127.200. Å legge til 412 = 1681 til dette tallet gir totalt 128.881. Hvis du gjorde alt riktig første gang, er du flott!

La oss avslutte denne delen med en stor, men enkel oppgave: å beregne 987 2 .

TRENING: KVADRERING AV TRESIRE TAL

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

Hva er bak dør nummer 1?

En matematisk floskler som stakk alle i 1991 var en artikkel av Marilyn Savant – kvinnen med verdens høyeste IQ (som registrert i Guinness rekordbok) – i magasinet Parade. Dette paradokset har blitt kjent som Monty Hall-problemet, og det går som følger.

Du er på Monty Halls show Let's Make a Deal. Verten gir deg muligheten til å velge en av tre dører, bak den ene er det en stor premie, bak de to andre er det geiter. La oss si at du velger dør nummer 2. Men før han viser hva som skjuler seg bak denne døren, åpner Monty dør nummer 3. Det er en geit. Nå, på sin ertende måte, spør Monty deg: vil du åpne dør #2 eller risikere å se hva som er bak dør #1? Hva burde du gjøre? Forutsatt at Monty kommer til å fortelle deg hvor hovedpremien ikke er, vil han alltid åpne en av "trøste"-dørene. Dette gir deg et valg: én dør med en stor premie, og den andre med en trøstepremie. Nå er sjansene dine 50/50, ikke sant?

Men nei! Sjansen for at du valgte riktig første gang er fortsatt 1 av 3. Sjansen for at den store premien ligger bak den andre døren øker til 2/3, fordi sannsynlighetene må summere seg til 1.

Dermed, ved å endre valget ditt, vil du doble vinnersjansene dine! (Problemet forutsetter at Monty alltid vil gi spilleren et nytt valg ved å vise en "ikke-vinnende" dør, og, når førstevalget ditt er riktig, vil åpne den "ikke-vinnende" døren tilfeldig.) Tenk på et spill med ti dører. Etter ditt førstevalg, la verten åpne åtte "ikke-vinnende" dører. Det er her instinktene dine mest sannsynlig vil være å bytte dør. Folk gjør vanligvis feilen å tro at hvis Monty Hall ikke vet hvor hovedpremien er og åpner dør nummer 3, som viser seg å være en geit (selv om det kan være en premie), så har dør nummer 1 50 prosent sjanse for å være den rette. Slike resonnementer trosser sunn fornuft, men Marilyn Savant mottok hauger med brev (mange fra forskere, til og med matematikere) som fortalte henne at hun ikke burde ha skrevet om matematikk. Selvfølgelig tok alle disse menneskene feil.

La oss nå vurdere kvadreringen av et binomial, og ved å bruke et aritmetisk synspunkt, vil vi snakke om kvadratet av summen, dvs. (a + b)², og kvadratet av forskjellen til to tall, dvs. (a – b)².

Siden (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

da finner vi: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², dvs.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Det er nyttig å huske dette resultatet både i form av den ovenfor beskrevne likheten og i ord: kvadratet av summen av to tall er lik kvadratet av det første tallet pluss produktet av to med det første tallet og det andre tall, pluss kvadratet av det andre tallet.

Når vi kjenner dette resultatet, kan vi umiddelbart skrive, for eksempel:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

La oss se på det andre av disse eksemplene. Vi må kvadrere summen av to tall: det første tallet er 3ab, det andre 1. Resultatet skal være: 1) kvadratet til det første tallet, dvs. (3ab)², som er lik 9a²b²; 2) produktet av to ved det første tallet og det andre, dvs. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) kvadratet av det andre tallet, dvs. 1² = 1 - alle disse tre leddene må legges sammen.

Vi får også en formel for å kvadrere forskjellen mellom to tall, dvs. for (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

dvs. kvadratet av forskjellen mellom to tall er lik kvadratet til det første tallet, minus produktet av to med det første tallet og det andre, pluss kvadratet av det andre tallet.

Når vi kjenner dette resultatet, kan vi umiddelbart utføre kvadreringen av binomialer, som fra et aritmetisk synspunkt representerer forskjellen mellom to tall.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, osv.

La oss forklare det andre eksemplet. Her har vi i parentes forskjellen på to tall: det første tallet er 5ab 3 og det andre tallet er 3a 2 b. Resultatet skal være: 1) kvadratet av det første tallet, dvs. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) produktet av to med 1. og 2. tall, dvs. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 og 3) kvadratet av det andre tallet, dvs. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Første og tredje ledd må tas med pluss, og det andre med minus får vi 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. For å forklare det 4. eksemplet, legger vi bare merke til at 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... eksponenten må multipliseres med 2 og 2) produktet av to med 1. tallet og med 2. = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Hvis vi tar synspunktet til algebra, så uttrykker begge likhetene: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² og 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² det samme, nemlig: kvadratet av binomialet er lik kvadratet til det første leddet, pluss produktet av tallet (+2) med det første leddet og det andre pluss kvadratet til det andre leddet. Dette er tydelig fordi likestillingene våre kan omskrives som:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

I noen tilfeller er det praktisk å tolke de resulterende likhetene på denne måten:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Her kvadrerer vi et binomial hvis første ledd = –4a og andre = –3b. Deretter får vi (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² og til slutt:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Det ville også være mulig å oppnå og huske formelen for å kvadrere et trinomium, et kvadrinomium eller et hvilket som helst polynom generelt. Vi vil imidlertid ikke gjøre dette, fordi vi sjelden trenger å bruke disse formlene, og hvis vi trenger å kvadrere et hvilket som helst polynom (unntatt et binomial), vil vi redusere saken til multiplikasjon. For eksempel:

31. La oss bruke de oppnådde 3 likhetene, nemlig:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

til aritmetikk.

La det være 41 ∙ 39. Da kan vi representere dette i formen (40 + 1) (40 – 1) og redusere saken til den første likheten - vi får 40² – 1 eller 1600 – 1 = 1599. Takket være dette, det er lett å utføre multiplikasjoner som 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69, osv.

La det være 41 ∙ 41; det er det samme som 41² eller (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Også 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Hvis du trenger 37 ∙ 37 da er dette lik (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Slike multiplikasjoner (eller kvadratiske tosifrede tall) er enkle å utføre, med en viss dyktighet, i hodet ditt.

*kvadrater opptil hundrevis

For ikke å kvadre alle tallene ved hjelp av formelen, må du forenkle oppgaven din så mye som mulig med følgende regler.

Regel 1 (kutter av 10 tall)

Regel 2 (kutter av 10 tall)

Regel 3 (kutter av 8 tall)

Regel 4 (kutter av 8 tall)

Regel 5 (kutter av 8 tall)

Regel nr. 6 (kutter av 32 tall)

Du må huske rutene med tall opp til 40. Det høres sprøtt og vanskelig ut, men faktisk kjenner de fleste rutene opp til 20. 25, 30, 35 og 40 er mottagelige for formler. Og bare 16 par med tall gjenstår. De kan allerede huskes ved å bruke mnemonics (som jeg også vil snakke om senere) eller på andre måter. Som en multiplikasjonstabell :)
Merket med blått i tabellen.

Formler (24 sifre igjen)

For tall fra 25 til 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
For eksempel:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

For tall fra 50 til 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

For eksempel:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Selvfølgelig, ikke glem den vanlige formelen for utvidelse av kvadratet av en sum (et spesialtilfelle av Newtons binomiale):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

Hvis temaet rask telling er interessant, vil jeg skrive mer.
Skriv gjerne kommentarer om feil og rettelser i PM, på forhånd takk.

I dag skal vi lære hvordan du raskt kvadrerer store uttrykk uten kalkulator. I det store og hele mener jeg tall fra ti til hundre. Store uttrykk er ekstremt sjeldne i virkelige problemer, og du vet allerede hvordan du teller verdier som er mindre enn ti, fordi dette er en vanlig multiplikasjonstabell. Materialet i dagens leksjon vil være nyttig for ganske erfarne studenter, fordi nybegynnere rett og slett ikke vil sette pris på hastigheten og effektiviteten til denne teknikken.

Først, la oss finne ut hva vi snakker om generelt. Som et eksempel foreslår jeg å konstruere et vilkårlig numerisk uttrykk, slik vi vanligvis gjør. La oss si 34. Vi hever den ved å multiplisere den med seg selv med en kolonne:

\[((34)^(2))=\ ganger \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 er kvadratet 34.

Problemet med denne metoden kan beskrives i to punkter:

1) det krever skriftlig dokumentasjon;

2) det er veldig lett å gjøre en feil under beregningsprosessen.

I dag vil vi lære hvordan du raskt multipliserer uten kalkulator, muntlig og praktisk talt uten feil.

Så la oss komme i gang. For å fungere trenger vi formelen for kvadratet av summen og differansen. La oss skrive dem ned:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2)))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Hva gir dette oss? Faktum er at enhver verdi i området fra 10 til 100 kan representeres som tallet $a$, som er delelig med 10, og tallet $b$, som er resten av divisjonen med 10.

For eksempel kan 28 representeres som følger:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]

Vi presenterer de resterende eksemplene på samme måte:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]

Hva forteller denne ideen oss? Faktum er at med en sum eller en forskjell kan vi bruke beregningene beskrevet ovenfor. For å forkorte beregningene bør du selvfølgelig velge uttrykket med det minste andre leddet for hvert element. For eksempel, fra alternativene $20+8$ og $30-2$, bør du velge alternativet $30-2$.

Vi velger på samme måte alternativer for de resterende eksemplene:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

Hvorfor skal vi strebe etter å redusere det andre leddet når vi multipliserer raskt? Det handler om de første beregningene av kvadratet av summen og differansen. Faktum er at begrepet $2ab$ med pluss eller minus er det vanskeligste å beregne når man løser reelle problemer. Og hvis faktoren $a$, et multiplum av 10, alltid multipliseres enkelt, så med faktoren $b$, som er et tall fra én til ti, har mange elever regelmessig problemer.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Så på tre minutter gjorde vi multiplikasjonen av åtte eksempler. Det er mindre enn 25 sekunder per uttrykk. I virkeligheten, etter litt trening, vil du telle enda raskere. Det vil ikke ta deg mer enn fem til seks sekunder å beregne et tosifret uttrykk.

Men det er ikke alt. For de som den viste teknikken ikke virker rask nok og kul nok, foreslår jeg en enda raskere multiplikasjonsmetode, som imidlertid ikke fungerer for alle oppgaver, men bare for de som skiller seg med én fra multipler av 10. I leksjonen vår er det fire slike verdier: 51, 21, 81 og 39.

Det virker mye raskere; vi teller dem allerede i bokstavelig talt et par linjer. Men faktisk er det mulig å øke hastigheten, og dette gjøres som følger. Vi skriver ned verdien som er et multiplum av ti, som er nærmest det vi trenger. La oss for eksempel ta 51. Derfor, til å begynne med, la oss bygge femti:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Multipler på ti er mye lettere å kvadre. Og nå legger vi bare femti og 51 til det opprinnelige uttrykket. Svaret vil være det samme:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Og så med alle tall som avviker med ett.

Hvis verdien vi ser etter er større enn den vi teller, legger vi til tall til den resulterende firkanten. Hvis det ønskede tallet er mindre, som i tilfellet med 39, må du trekke verdien fra kvadratet når du utfører handlingen. La oss øve uten å bruke kalkulator:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Som du kan se, er svarene de samme i alle tilfeller. Dessuten er denne teknikken anvendelig for alle tilstøtende verdier. For eksempel:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]

Samtidig trenger vi ikke å huske utregningene av kvadratene av sum og differanse og bruke en kalkulator. Arbeidshastigheten er hinsides ros. Husk derfor, øv og bruk i praksis.

Viktige punkter

Ved å bruke denne teknikken kan du enkelt multiplisere alle naturlige tall fra 10 til 100. Dessuten utføres alle beregninger muntlig, uten kalkulator og til og med uten papir!

Husk først kvadratene av verdier som er multipler av 10:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(align)\]

Hvordan telle enda raskere

Men det er ikke alt! Ved å bruke disse uttrykkene kan du umiddelbart kvadrattall "ved siden av" referansene. For eksempel vet vi 152 (referanseverdi), men vi må finne 142 (et tilstøtende tall som er én mindre enn referanseverdien). La oss skrive det ned:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(align)\]

Vennligst merk: ingen mystikk! Kvadrater av tall som avviker med 1, oppnås faktisk ved å multiplisere referansetallene med seg selv ved å subtrahere eller legge til to verdier:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(align)\]

Hvorfor skjer dette? La oss skrive ned formelen for kvadratet av summen (og differansen). La $n$ være vår referanseverdi. Deretter beregnes de slik:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- dette er formelen.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]

- en lignende formel for tall større enn 1.

Jeg håper denne teknikken vil spare deg for tid på alle dine matteprøver og eksamener med høy innsats. Og det er alt for meg. Ser deg!