Sistem persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui - ini adalah dua atau lebih persamaan linear yang perlu mencari kesemuanya penyelesaian umum. Kami akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui. Pandangan umum sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui ditunjukkan dalam rajah di bawah:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Di sini x dan y ialah pembolehubah yang tidak diketahui, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ialah beberapa nombor nyata. Penyelesaian kepada sistem dua persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui ialah sepasang nombor (x,y) supaya jika kita menggantikan nombor ini ke dalam persamaan sistem, maka setiap persamaan sistem bertukar menjadi kesamaan sebenar. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mari kita pertimbangkan salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, iaitu kaedah tambah.

Algoritma untuk penyelesaian dengan kaedah tambah

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui menggunakan kaedah penambahan.

1. Jika diperlukan, oleh transformasi yang setara samakan pekali salah satu pembolehubah yang tidak diketahui dalam kedua-dua persamaan.

2. Dengan menambah atau menolak persamaan yang terhasil, dapatkan persamaan linear dengan satu yang tidak diketahui

3. Selesaikan persamaan yang terhasil dengan satu yang tidak diketahui dan cari salah satu pembolehubah.

4. Gantikan ungkapan yang terhasil ke dalam mana-mana dua persamaan sistem dan selesaikan persamaan ini, dengan itu memperoleh pembolehubah kedua.

5. Semak penyelesaian.

Contoh penyelesaian menggunakan kaedah tambah

Untuk lebih jelas, mari kita selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan dua yang tidak diketahui menggunakan kaedah penambahan:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Oleh kerana tiada pembolehubah mempunyai pekali yang sama, kita menyamakan pekali pembolehubah y. Untuk melakukan ini, darabkan persamaan pertama dengan tiga, dan persamaan kedua dengan dua.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Kita mendapatkan sistem persamaan berikut:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Sekarang kita tolak yang pertama dari persamaan kedua. Kami mempersembahkan istilah yang serupa dan selesaikan persamaan linear yang terhasil.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Kami menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan pertama daripada sistem asal kami dan menyelesaikan persamaan yang terhasil.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Hasilnya ialah sepasang nombor x=6 dan y=14. Kami sedang menyemak. Mari buat penggantian.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Seperti yang anda lihat, kami mendapat dua kesamaan yang betul, oleh itu, kami menemui penyelesaian yang betul.

Arahan

Kaedah penambahan.
Anda perlu menulis dua betul-betul di bawah satu sama lain:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara sewenang-wenangnya (daripada sistem), masukkan nombor 11 dan bukannya "permainan" yang telah dijumpai dan hitung yang kedua tidak diketahui:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawapan kepada sistem persamaan ini ialah x=116, y=11.

Kaedah grafik.
Ia terdiri daripada mencari secara praktikal koordinat titik di mana garis ditulis secara matematik dalam sistem persamaan. Graf kedua-dua garisan hendaklah dilukis secara berasingan dalam sistem koordinat yang sama. Pandangan umum: – y=khx+b. Untuk membina garis lurus, cukup untuk mencari koordinat dua titik, dan x dipilih sewenang-wenangnya.
Biarkan sistem diberi: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Satu garis lurus dibina menggunakan yang pertama, untuk kemudahan ia hendaklah ditulis: y=2x-4. Dapatkan nilai (lebih mudah) untuk x, menggantikannya ke dalam persamaan, menyelesaikannya, dan mencari y. Kami mendapat dua titik di mana garis lurus dibina. (lihat gambar)
x 0 1

y -4 -2
Satu garis lurus dibina menggunakan persamaan kedua: y=-3x+1.
Juga bina garis lurus. (lihat gambar)

y 1 -5
Cari koordinat titik persilangan dua garis yang dibina pada graf (jika garis tidak bersilang, maka sistem persamaan tidak mempunyai - jadi).

Video mengenai topik

Nasihat yang berguna

Jika sistem persamaan yang sama diselesaikan dengan tiga cara yang berbeza, jawapannya akan sama (jika penyelesaiannya betul).

Sumber:

• algebra darjah 8
• menyelesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui dalam talian
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Sistem persamaan ialah koleksi rekod matematik, setiap satunya mengandungi beberapa pembolehubah. Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya.

Anda perlu

• -Pembaris dan pensel;
• -kalkulator.

Arahan

Mari kita pertimbangkan urutan penyelesaian sistem, yang terdiri daripada persamaan linear yang mempunyai bentuk: a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2. Di mana x dan y adalah pembolehubah tidak diketahui, dan b,c ialah sebutan bebas. Apabila menggunakan kaedah ini, setiap sistem mewakili koordinat titik yang sepadan dengan setiap persamaan. Untuk memulakan, dalam setiap kes, nyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain. Kemudian tetapkan pembolehubah x kepada sebarang bilangan nilai. Dua dah cukup. Gantikan ke dalam persamaan dan cari y. Bina sistem koordinat, tandakan titik yang terhasil di atasnya dan lukis garisan melaluinya. Pengiraan yang sama mesti dilakukan untuk bahagian lain sistem.

Sistem mempunyai keputusan sahaja, jika garisan yang dibina bersilang dan satu titik persamaan. Ia tidak serasi jika selari antara satu sama lain. Dan ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga apabila garisan bergabung antara satu sama lain.

Kaedah ini dianggap sangat visual. Kelemahan utama adalah bahawa tidak diketahui yang dikira mempunyai nilai anggaran. Keputusan yang lebih tepat diberikan oleh apa yang dipanggil kaedah algebra.

Sebarang penyelesaian kepada sistem persamaan patut diperiksa. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang terhasil untuk pembolehubah. Anda juga boleh mencari penyelesaiannya menggunakan beberapa kaedah. Jika penyelesaian sistem adalah betul, maka semua orang harus berubah menjadi sama.

Selalunya terdapat persamaan di mana salah satu istilah tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan, anda perlu mengingati dan melakukannya dengan nombor yang diberikan set tertentu tindakan.

Anda perlu

• - kertas;
• - pen atau pensel.

Arahan

Bayangkan bahawa terdapat 8 ekor arnab di hadapan anda, dan anda hanya mempunyai 5 lobak merah. Fikirkanlah, anda masih perlu membeli lebih banyak lobak merah supaya setiap arnab mendapat satu.

Mari kita kemukakan masalah ini dalam bentuk persamaan: 5 + x = 8. Mari kita gantikan nombor 3 di tempat x Sesungguhnya, 5 + 3 = 8.

Apabila anda menggantikan nombor untuk x, anda melakukan perkara yang sama seperti semasa anda menolak 5 daripada 8. Jadi, untuk mencari tidak diketahui sebutan, tolak sebutan yang diketahui daripada jumlahnya.

Katakan anda mempunyai 20 ekor arnab dan hanya 5 lobak merah. Mari kita buat. Persamaan ialah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai tertentu huruf yang disertakan di dalamnya. Huruf yang perlu dicari maknanya dipanggil . Tulis persamaan dengan satu yang tidak diketahui, panggilnya x. Apabila menyelesaikan masalah arnab kami, kami mendapat persamaan berikut: 5 + x = 20.

Mari cari beza antara 20 dan 5. Apabila menolak, nombor yang ditolak ialah nombor yang dikurangkan. Nombor yang ditolak dipanggil , dan keputusan akhir dipanggil perbezaan. Jadi, x = 20 – 5; x = 15. Anda perlu membeli 15 lobak merah untuk arnab.

Semak: 5 + 15 = 20. Persamaan diselesaikan dengan betul. Sudah tentu, apabila kita bercakap tentang Untuk yang semudah itu, tidak perlu melakukan pemeriksaan. Walau bagaimanapun, apabila anda mempunyai persamaan dengan nombor tiga digit, empat digit, dsb., anda pastinya perlu menyemak untuk benar-benar pasti hasil kerja anda.

Video mengenai topik

Nasihat yang berguna

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, anda perlu menambah subtrahend pada perbezaan.

Untuk mencari subtrahend tidak diketahui, anda perlu menolak perbezaan dari minuend.

Petua 4: Bagaimana untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui

Sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui mungkin tidak mempunyai penyelesaian, walaupun bilangan persamaan mencukupi. Anda boleh cuba menyelesaikannya menggunakan kaedah penggantian atau menggunakan kaedah Cramer. Kaedah Cramer, sebagai tambahan kepada menyelesaikan sistem, membolehkan anda menilai sama ada sistem itu boleh diselesaikan sebelum mencari nilai yang tidak diketahui.

Arahan

Kaedah penggantian terdiri daripada berjujukan satu yang tidak diketahui melalui dua yang lain dan menggantikan hasil yang terhasil ke dalam persamaan sistem. Biarkan sistem tiga persamaan diberikan dalam Pandangan umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Ungkapkan x daripada persamaan pertama: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dan gantikan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, kemudian nyatakan y daripada persamaan kedua dan gantikan kepada persamaan ketiga. Anda akan dapat ungkapan linear untuk z melalui pekali persamaan sistem. Sekarang pergi "ke belakang": gantikan z ke dalam persamaan kedua dan cari y, dan kemudian gantikan z dan y ke dalam yang pertama dan selesaikan untuk x. Proses ini biasanya ditunjukkan dalam rajah sebelum mencari z. Penulisan lanjut dalam bentuk umum akan menjadi terlalu rumit dalam amalan, dengan menggantikan , anda boleh mencari ketiga-tiga yang tidak diketahui dengan mudah.

Kaedah Cramer terdiri daripada membina matriks sistem dan mengira penentu matriks ini, serta tiga lagi matriks tambahan. Matriks sistem terdiri daripada pekali untuk sebutan persamaan yang tidak diketahui. Lajur yang mengandungi nombor di sebelah kanan persamaan, lajur sebelah kanan. Ia tidak digunakan dalam sistem, tetapi digunakan semasa menyelesaikan sistem.

Video mengenai topik

Nota

Semua persamaan dalam sistem mesti menyediakan maklumat tambahan bebas daripada persamaan lain. Jika tidak, sistem akan menjadi kurang jelas dan tidak akan dapat mencari penyelesaian yang tidak jelas.

Nasihat yang berguna

Selepas menyelesaikan sistem persamaan, gantikan nilai yang ditemui ke dalam sistem asal dan semak bahawa ia memenuhi semua persamaan.

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak diketahui mempunyai banyak penyelesaian, jadi selalunya ia ditambah dengan dua lagi persamaan atau syarat. Bergantung pada data awal, perjalanan keputusan akan bergantung pada sebahagian besarnya.

Anda perlu

• - sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Arahan

Jika dua daripada tiga sistem hanya mempunyai dua daripada tiga yang tidak diketahui, cuba nyatakan beberapa pembolehubah dari segi yang lain dan gantikannya ke dalam persamaan dengan tiga tidak diketahui. Matlamat anda dalam kes ini adalah untuk mengubahnya menjadi normal persamaan dengan orang yang tidak dikenali. Jika ini , penyelesaian selanjutnya agak mudah - gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan lain dan cari semua yang tidak diketahui lain.

Beberapa sistem persamaan boleh ditolak daripada satu persamaan dengan persamaan yang lain. Lihat jika mungkin untuk mendarab satu daripada atau pembolehubah supaya dua yang tidak diketahui dibatalkan sekaligus. Jika ada peluang sedemikian, ambil kesempatan daripadanya, kemungkinan besar, penyelesaian seterusnya tidak akan sukar. Jangan lupa bahawa apabila mendarab dengan nombor anda mesti mendarab sebagai sebelah kiri, dan yang betul. Begitu juga, apabila menolak persamaan, anda mesti ingat bahawa bahagian kanan juga mesti ditolak.

Jika kaedah sebelumnya tidak membantu, gunakan secara umum penyelesaian kepada sebarang persamaan dengan tiga tidak diketahui. Untuk melakukan ini, tulis semula persamaan dalam bentuk a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sekarang buat matriks pekali untuk x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks pembolehubah bebas (B). Sila ambil perhatian bahawa dengan mendarab matriks pekali dengan matriks tidak diketahui, anda akan mendapat matriks sebutan bebas, iaitu, A*X=B.

Cari matriks A kepada kuasa (-1) dengan mencari dahulu , ambil perhatian bahawa ia tidak sepatutnya sama dengan sifar. Selepas ini, darabkan matriks yang terhasil dengan matriks B, hasilnya anda akan menerima matriks X yang dikehendaki, menunjukkan semua nilai.

Anda juga boleh mencari penyelesaian kepada sistem tiga persamaan menggunakan kaedah Cramer. Untuk melakukan ini, cari penentu tertib ketiga ∆ sepadan dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut cari tiga lagi penentu ∆1, ∆2 dan ∆3, menggantikan nilai sebutan bebas dan bukannya nilai lajur yang sepadan. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

• penyelesaian kepada persamaan dalam tiga yang tidak diketahui

Apabila mula menyelesaikan sistem persamaan, tentukan jenis persamaannya. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan linear telah dikaji dengan cukup baik. Persamaan tak linear selalunya tidak dapat diselesaikan. Terdapat hanya satu kes khas, setiap satunya boleh dikatakan individu. Oleh itu, kajian teknik penyelesaian harus bermula dengan persamaan linear. Persamaan sedemikian bahkan boleh diselesaikan secara algoritma semata-mata.

penyebut bagi yang tidak diketahui yang ditemui adalah betul-betul sama. Ya, dan pengangka menunjukkan beberapa corak dalam pembinaannya. Jika dimensi sistem persamaan lebih besar daripada dua, maka kaedah penyingkiran akan membawa kepada pengiraan yang sangat rumit. Untuk mengelakkannya, ia direka semata-mata kaedah algoritma penyelesaian. Yang paling mudah ialah algoritma Cramer (formula Cramer). Kerana anda harus mengetahuinya sistem umum persamaan daripada n persamaan.

Sistem n linear persamaan algebra dengan n yang tidak diketahui mempunyai bentuk (lihat Rajah 1a). Di dalamnya, aij ialah pekali sistem,
xj – tidak diketahui, bi – sebutan bebas (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Sistem sedemikian boleh ditulis padat dalam bentuk matriks AX=B. Di sini A ialah matriks pekali sistem, X ialah matriks lajur yang tidak diketahui, B ialah matriks lajur bagi sebutan bebas (lihat Rajah 1b). Mengikut kaedah Cramer, setiap xi =∆i/∆ tidak diketahui (i=1,2…,n). Penentu ∆ matriks pekali dipanggil yang utama, dan ∆i matriks tambahan. Bagi setiap yang tidak diketahui, penentu tambahan ditemui dengan menggantikan lajur ke-i penentu utama dengan lajur sebutan bebas. Kaedah Cramer untuk kes sistem tertib kedua dan ketiga dibentangkan secara terperinci dalam Rajah. 2.

Sistem ini adalah gabungan dua atau lebih persamaan, setiap satunya mengandungi dua atau lebih yang tidak diketahui. Terdapat dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang digunakan di dalamnya kurikulum sekolah. Salah satu daripada mereka dipanggil kaedah, yang lain - kaedah penambahan.

Bentuk piawai sistem dua persamaan

Pada bentuk piawai persamaan pertama mempunyai bentuk a1*x+b1*y=c1, persamaan kedua mempunyai bentuk a2*x+b2*y=c2 dan seterusnya. Sebagai contoh, dalam kes dua bahagian sistem, kedua-duanya diberi a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah beberapa pekali berangka yang diwakili dalam persamaan tertentu. Sebaliknya, x dan y mewakili yang tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Nilai yang diperlukan mengubah kedua-dua persamaan secara serentak menjadi persamaan sebenar.

Menyelesaikan sistem menggunakan kaedah tambah

Untuk menyelesaikan sistem, iaitu, untuk mencari nilai x dan y yang akan mengubahnya menjadi kesamaan sebenar, anda perlu mengambil beberapa langkah mudah. Yang pertama adalah untuk mengubah sama ada persamaan supaya pekali berangka untuk pembolehubah x atau y dalam kedua-dua persamaan adalah sama dalam magnitud, tetapi berbeza dalam tanda.

Sebagai contoh, katakan satu sistem yang terdiri daripada dua persamaan diberikan. Yang pertama mempunyai bentuk 2x+4y=8, yang kedua mempunyai bentuk 6x+2y=6. Salah satu pilihan untuk menyelesaikan tugas adalah untuk mendarabkan persamaan kedua dengan pekali -2, yang akan membawanya ke bentuk -12x-4y=-12. Pilihan pekali yang betul adalah salah satu daripada tugas utama dalam proses menyelesaikan sistem dengan penambahan, kerana ia menentukan keseluruhan langkah selanjutnya prosedur untuk mencari yang tidak diketahui.

Sekarang adalah perlu untuk menambah dua persamaan sistem. Jelas sekali, pemusnahan bersama pembolehubah dengan nilai pekali yang sama tetapi tanda bertentangan akan membawa kepada bentuk -10x=-4. Selepas ini, adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan mudah ini, dari mana ia jelas mengikuti bahawa x = 0.4.

Langkah terakhir dalam proses penyelesaian adalah untuk menggantikan nilai yang ditemui bagi salah satu pembolehubah ke dalam mana-mana kesamaan asal yang terdapat dalam sistem. Sebagai contoh, menggantikan x=0.4 ke dalam persamaan pertama, anda boleh mendapatkan ungkapan 2*0.4+4y=8, dari mana y=1.8. Oleh itu, x=0.4 dan y=1.8 ialah punca-punca sistem contoh.

Untuk memastikan bahawa akar ditemui dengan betul, adalah berguna untuk menyemak dengan menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan kedua sistem. Contohnya, dalam dalam kes ini kita mendapat kesamaan bentuk 0.4*6+1.8*2=6, iaitu benar.

Video mengenai topik

Bahan dalam artikel ini bertujuan untuk kenalan pertama dengan sistem persamaan. Di sini kami akan memperkenalkan definisi sistem persamaan dan penyelesaiannya, dan juga mempertimbangkan jenis sistem persamaan yang paling biasa. Seperti biasa, kami akan memberikan contoh penjelasan.

Navigasi halaman.

Apakah sistem persamaan?

Kami akan mendekati definisi sistem persamaan secara beransur-ansur. Pertama, katakan sahaja bahawa ia adalah mudah untuk memberikannya, menunjukkan dua perkara: pertama, jenis rakaman, dan, kedua, makna yang tertanam dalam rakaman ini. Mari kita lihat pada gilirannya, dan kemudian umumkan penaakulan ke dalam definisi sistem persamaan.

Biarkan ada beberapa daripada mereka di hadapan kita. Sebagai contoh, mari kita ambil dua persamaan 2 x+y=−3 dan x=5. Mari kita tulis satu di bawah yang lain dan gabungkan di sebelah kiri dengan pendakap kerinting:

Rekod jenis ini, yang merupakan beberapa persamaan yang disusun dalam lajur dan disatukan di sebelah kiri oleh pendakap kerinting, ialah rekod sistem persamaan.

Apakah maksud entri sedemikian? Mereka mentakrifkan set semua penyelesaian sedemikian kepada persamaan sistem yang merupakan penyelesaian kepada setiap persamaan.

Tidak salah untuk menggambarkannya dengan kata lain. Katakan beberapa penyelesaian kepada persamaan pertama ialah penyelesaian kepada semua persamaan lain sistem. Jadi rekod sistem hanya bermaksud mereka.

Sekarang kita sudah bersedia untuk menerima dengan secukupnya takrifan sistem persamaan.

Definisi.

Sistem persamaan rekod panggilan yang merupakan persamaan yang terletak satu di bawah yang lain, disatukan di sebelah kiri oleh pendakap kerinting, yang menandakan set semua penyelesaian kepada persamaan yang juga merupakan penyelesaian kepada setiap persamaan sistem.

Definisi yang sama diberikan dalam buku teks, tetapi tidak diberikan di sana untuk kes am, dan untuk dua orang persamaan rasional dengan dua pembolehubah.

Jenis utama

Jelas bahawa terdapat bilangan tak terhingga bagi persamaan yang berbeza. Sememangnya, terdapat juga bilangan sistem persamaan yang tidak terhingga yang disusun menggunakannya. Oleh itu, untuk kemudahan mengkaji dan bekerja dengan sistem persamaan, masuk akal untuk membahagikannya kepada kumpulan mengikut ciri yang serupa, dan kemudian beralih kepada mempertimbangkan sistem persamaan jenis individu.

Bahagian pertama mencadangkan dirinya dengan bilangan persamaan yang disertakan dalam sistem. Jika terdapat dua persamaan, maka kita boleh mengatakan bahawa kita mempunyai sistem dua persamaan, jika terdapat tiga, maka sistem tiga persamaan, dsb. Adalah jelas bahawa tidak masuk akal untuk bercakap tentang sistem satu persamaan, kerana dalam kes ini, pada dasarnya, kita berurusan dengan persamaan itu sendiri, dan bukan dengan sistem.

Pembahagian seterusnya adalah berdasarkan bilangan pembolehubah yang terlibat dalam menulis persamaan sistem. Sekiranya terdapat satu pembolehubah, maka kita berurusan dengan sistem persamaan dengan satu pembolehubah (mereka juga mengatakan dengan satu tidak diketahui), jika terdapat dua, maka dengan sistem persamaan dengan dua pembolehubah (dengan dua tidak diketahui), dsb. Sebagai contoh, ialah sistem persamaan dengan dua pembolehubah x dan y.

Ini merujuk kepada bilangan semua pembolehubah berbeza yang terlibat dalam rakaman. Mereka tidak perlu semua dimasukkan ke dalam rekod setiap persamaan sekali gus kehadiran mereka dalam sekurang-kurangnya satu persamaan adalah mencukupi. Cth, ialah sistem persamaan dengan tiga pembolehubah x, y dan z. Dalam persamaan pertama, pembolehubah x hadir secara eksplisit, dan y dan z adalah tersirat (kita boleh mengandaikan bahawa pembolehubah ini mempunyai sifar), dan dalam persamaan kedua terdapat x dan z, tetapi pembolehubah y tidak dibentangkan secara eksplisit. Dengan kata lain, persamaan pertama boleh dilihat sebagai , dan yang kedua – sebagai x+0·y−3·z=0.

Titik ketiga di mana sistem persamaan berbeza ialah jenis persamaan itu sendiri.

Di sekolah, kajian sistem persamaan bermula dengan sistem dua persamaan linear dalam dua pembolehubah. Iaitu, sistem sedemikian membentuk dua persamaan linear. Berikut adalah beberapa contoh: Dan . Mereka mempelajari asas bekerja dengan sistem persamaan.

Apabila membuat keputusan lebih tugasan yang kompleks Anda juga boleh menemui sistem tiga persamaan linear dengan tiga yang tidak diketahui.

Selanjutnya dalam gred 9, persamaan tak linear ditambah kepada sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah, kebanyakannya keseluruhan persamaan darjah kedua, kurang kerap - lebih darjat tinggi. Sistem ini dipanggil sistem persamaan tak linear, jika perlu, jelaskan bilangan persamaan dan tidak diketahui. Mari kita tunjukkan contoh sistem persamaan tak linear tersebut: Dan .

Dan kemudian dalam sistem terdapat juga, sebagai contoh, . Mereka biasanya dipanggil hanya sistem persamaan, tanpa menyatakan persamaan mana. Perlu diperhatikan di sini bahawa selalunya sistem persamaan hanya dirujuk sebagai "sistem persamaan," dan penjelasan ditambah hanya jika perlu.

Di sekolah menengah, sebagai bahan yang dipelajari, tidak rasional, trigonometri, logaritma dan persamaan eksponen : , , .

Jika kita melihat lebih jauh ke dalam kurikulum universiti tahun pertama, penekanan utama adalah pada kajian dan penyelesaian sistem persamaan algebra linear (SLAE), iaitu persamaan di mana bahagian kiri mengandungi polinomial darjah pertama, dan bahagian sebelah kanan mengandungi nombor tertentu. Tetapi di sana, tidak seperti sekolah, mereka tidak lagi mengambil dua persamaan linear dengan dua pembolehubah, tetapi nombor arbitrari persamaan dengan sebarang nombor pembolehubah, selalunya tidak sepadan dengan bilangan persamaan.

Apakah penyelesaian kepada sistem persamaan?

Istilah "penyelesaian sistem persamaan" secara langsung merujuk kepada sistem persamaan. Di sekolah, definisi menyelesaikan sistem persamaan dengan dua pembolehubah diberikan :

Definisi.

Menyelesaikan sistem persamaan dengan dua pembolehubah dipanggil sepasang nilai pembolehubah ini yang menjadikan setiap persamaan sistem menjadi betul, dengan kata lain, adalah penyelesaian kepada setiap persamaan sistem.

Sebagai contoh, sepasang nilai pembolehubah x=5, y=2 (ia boleh ditulis sebagai (5, 2)) ialah penyelesaian kepada sistem persamaan mengikut takrifan, kerana persamaan sistem apabila menggantikan x= 5, y=2 menjadi betul kesamaan berangka 5+2=7 dan 5−2=3 masing-masing. Tetapi pasangan nilai x=3, y=0 bukanlah penyelesaian kepada sistem ini, kerana apabila menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan, yang pertama akan bertukar menjadi kesamaan yang salah 3+0=7.

Takrifan yang sama boleh dirumuskan untuk sistem dengan satu pembolehubah, serta untuk sistem dengan tiga, empat, dsb. pembolehubah.

Definisi.

Menyelesaikan sistem persamaan dengan satu pembolehubah akan ada nilai pembolehubah yang menjadi punca semua persamaan sistem, iaitu menukar semua persamaan kepada kesamaan berangka yang betul.

Mari kita beri contoh. Pertimbangkan sistem persamaan dengan satu pembolehubah t bentuk . Nombor −2 ialah penyelesaiannya, kerana kedua-dua (−2) 2 =4 dan 5·(−2+2)=0 ialah kesamaan berangka yang benar. Dan t=1 bukan penyelesaian kepada sistem, kerana menggantikan nilai ini akan memberikan dua kesamaan yang salah 1 2 =4 dan 5·(1+2)=0.

Definisi.

Menyelesaikan sistem dengan tiga, empat, dsb. pembolehubah dipanggil tiga, empat, dll. nilai pembolehubah, masing-masing, menjadikan semua persamaan sistem menjadi kesamaan sebenar.

Jadi, mengikut definisi, tiga kali ganda nilai pembolehubah x=1, y=2, z=0 ialah penyelesaian kepada sistem , kerana 2·1=2, 5·2=10 dan 1+2+0=3 ialah kesamaan berangka yang benar. Dan (1, 0, 5) bukanlah penyelesaian kepada sistem ini, kerana apabila menggantikan nilai pembolehubah ini ke dalam persamaan sistem, kedua daripadanya bertukar menjadi kesamaan yang salah 5·0=10, dan ketiga juga 1+0+5=3.

Perhatikan bahawa sistem persamaan mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mungkin ada nombor akhir penyelesaian, contohnya, satu, dua, ..., tetapi boleh mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Anda akan melihat ini apabila anda mendalami topik ini.

Dengan mengambil kira takrifan sistem persamaan dan penyelesaiannya, kita boleh membuat kesimpulan bahawa penyelesaian kepada sistem persamaan ialah persilangan bagi set penyelesaian semua persamaannya.

Untuk membuat kesimpulan, berikut adalah beberapa definisi yang berkaitan:

Definisi.

bukan sendi, jika ia tidak mempunyai penyelesaian, dalam sebaliknya sistem dipanggil sendi.

Definisi.

Sistem persamaan dipanggil tidak pasti, jika ia mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga, dan pasti, jika ia mempunyai bilangan penyelesaian yang terhad atau tidak mempunyainya sama sekali.

Istilah ini diperkenalkan, sebagai contoh, dalam buku teks, tetapi ia agak jarang digunakan di sekolah;

Bibliografi.

1. Algebra: buku teks untuk darjah 7 pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. darjah 7. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-17, tambah. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra. darjah 9. Dalam 2 jam Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-13, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A. G. Algebra dan permulaan analisis matematik. Darjah 11. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am ( tahap profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-2, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Kursus algebra yang lebih tinggi.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometri analitik: Buku teks: Untuk universiti. – ed ke-5. – M.: Sains. Fizmatlit, 1999. – 224 hlm. - (Nah matematik yang lebih tinggi dan tikar. fizik). – ISBN 5-02-015234 – X (Isu 3)

Mari kita pertimbangkan dahulu kes apabila bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan pembolehubah, i.e. m = n. Kemudian matriks sistem adalah segi empat sama, dan penentunya dipanggil penentu sistem.

Kaedah matriks songsang

Mari kita pertimbangkan secara umum sistem persamaan AX = B dengan tidak merosot matriks segi empat sama A. Dalam kes ini terdapat matriks songsang A -1. Mari kita darab kedua-dua belah dengan A -1 di sebelah kiri. Kami mendapat A -1 AX = A -1 B. Oleh itu EX = A -1 B dan

Kesamaan terakhir ialah formula matriks untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan tersebut. Penggunaan formula ini dipanggil kaedah matriks songsang

Sebagai contoh, mari kita gunakan kaedah ini untuk menyelesaikan sistem berikut:

;

Pada akhir menyelesaikan sistem, anda boleh menyemak dengan menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan sistem. Dengan berbuat demikian, mereka mesti bertukar menjadi persamaan sebenar.

Untuk contoh yang dipertimbangkan, mari kita semak:

Kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks segi empat sama menggunakan formula Cramer

Biarkan n= 2:

Jika kita mendarab kedua-dua belah persamaan pertama dengan 22, dan kedua-dua belah kedua dengan (-a 12), dan kemudian menambah persamaan yang terhasil, maka kita menghapuskan pembolehubah x 2 daripada sistem. Begitu juga, anda boleh menghapuskan pembolehubah x 1 (dengan mendarab kedua-dua belah persamaan pertama dengan (-a 21), dan kedua-dua belah kedua dengan 11). Akibatnya, kami mendapat sistem:

Ungkapan dalam kurungan adalah penentu sistem

Mari kita nyatakan

Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Daripada sistem yang terhasil, jika penentu sistem ialah 0, maka sistem itu akan konsisten dan pasti. Satu-satunya penyelesaiannya boleh dikira menggunakan formula:

Jika = 0, a 1 0 dan/atau  2 0, maka persamaan sistem akan mengambil bentuk 0*x 1 = 2 dan/atau 0*x 1 = 2. Dalam kes ini, sistem akan menjadi tidak konsisten.

Dalam kes apabila = 1 = 2 = 0, sistem akan konsisten dan tidak tentu (akan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga), kerana ia akan mengambil bentuk:

Teorem Cramer(kami akan meninggalkan bukti). Jika penentu matriks sistem persamaan  tidak sama dengan sifar, maka sistem itu mempunyai penyelesaian unik, ditentukan oleh formula:

,

di mana  j ialah penentu bagi matriks yang diperoleh daripada matriks A dengan menggantikan lajur ke-j dengan lajur sebutan bebas.

Rumus di atas dipanggil Formula Cramer.

Sebagai contoh, mari kita gunakan kaedah ini untuk menyelesaikan sistem yang sebelum ini diselesaikan menggunakan kaedah matriks songsang:

Kelemahan kaedah yang dipertimbangkan:

1) intensiti buruh yang ketara (mengira penentu dan mencari matriks songsang);

2) skop terhad (untuk sistem dengan matriks persegi).

Situasi ekonomi sebenar sering dimodelkan oleh sistem di mana bilangan persamaan dan pembolehubah adalah agak ketara, dan terdapat lebih banyak persamaan daripada pembolehubah Oleh itu, dalam amalan, kaedah berikut adalah lebih biasa.

Kaedah Gaussian (kaedah penghapusan berurutan pembolehubah)

Kaedah ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear m dengan n pembolehubah dalam bentuk umum. Intipatinya terletak pada penerapan sistem transformasi setara pada matriks lanjutan, dengan bantuan sistem persamaan diubah kepada bentuk di mana penyelesaiannya menjadi mudah dicari (jika ada).

Ini adalah jenis di mana kiri bahagian atas Matriks sistem akan menjadi matriks berperingkat. Ini dicapai menggunakan teknik yang sama yang digunakan untuk mendapatkan matriks langkah untuk menentukan pangkat. Dalam kes ini, transformasi asas digunakan pada matriks lanjutan, yang akan membolehkan seseorang memperoleh sistem persamaan yang setara. Selepas ini, matriks yang diperluaskan akan mengambil bentuk:

Mendapatkan matriks sedemikian dipanggil lurus ke hadapan Kaedah Gauss.

Mencari nilai pembolehubah daripada sistem persamaan yang sepadan dipanggil sebaliknya Kaedah Gauss. Mari kita pertimbangkan.

Perhatikan bahawa persamaan terakhir (m – r) akan mengambil bentuk:

Jika sekurang-kurangnya satu daripada nombor
tidak sama dengan sifar, maka kesamaan yang sepadan akan menjadi palsu, dan keseluruhan sistem akan menjadi tidak konsisten.

Oleh itu, untuk mana-mana sistem sendi
. Dalam kes ini, persamaan terakhir (m – r) untuk sebarang nilai pembolehubah akan menjadi identiti 0 = 0, dan ia boleh diabaikan semasa menyelesaikan sistem (cuma buang baris yang sepadan).

Selepas ini, sistem akan kelihatan seperti:

Mari kita pertimbangkan dahulu kes apabila r=n. Kemudian sistem akan mengambil bentuk:

Daripada persamaan terakhir sistem, x r boleh didapati secara unik.

Mengetahui x r, kita boleh menyatakan dengan jelas x r -1 daripadanya. Kemudian daripada persamaan sebelumnya, mengetahui x r dan x r -1, kita boleh menyatakan x r -2, dsb. sehingga x 1 .

Jadi, dalam kes ini sistem akan bersama dan ditentukan.

Sekarang pertimbangkan kes apabila r asas(utama), dan semua yang lain - bukan asas(bukan teras, percuma). Persamaan terakhir sistem ialah:

Daripada persamaan ini kita boleh menyatakan pembolehubah asas x r dalam sebutan bukan asas:

Persamaan terakhir akan kelihatan seperti:

Dengan menggantikan ungkapan yang terhasil dan bukannya x r, adalah mungkin untuk menyatakan pembolehubah asas x r -1 dalam sebutan bukan asas. Dan lain-lain. kepada pembolehubahx 1 . Untuk mendapatkan penyelesaian kepada sistem, anda boleh menyamakan pembolehubah bukan asas dengan nilai arbitrari dan kemudian mengira pembolehubah asas menggunakan formula yang terhasil. Oleh itu, dalam kes ini sistem akan konsisten dan tidak tentu (mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga).

Sebagai contoh, mari kita selesaikan sistem persamaan:

Kami akan memanggil set pembolehubah asas asas sistem. Kami juga akan memanggil set lajur pekali untuk mereka asas(lajur asas), atau bawah umur asas matriks sistem. Penyelesaian sistem di mana semua pembolehubah bukan asas adalah sama dengan sifar akan dipanggil penyelesaian asas.

Dalam contoh sebelumnya, penyelesaian asas ialah (4/5; -17/5; 0; 0) (pembolehubah x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) ditetapkan kepada sifar, dan pembolehubah asas x 1 dan x 2 dikira melalui mereka) . Untuk memberikan contoh penyelesaian bukan asas, kita perlu menyamakan x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) kepada nombor arbitrari yang tidak serentak sifar, dan mengira pembolehubah yang tinggal melaluinya. Sebagai contoh, dengan c 1 = 1 dan c 2 = 0, kita memperoleh penyelesaian bukan asas - (4/5; -12/5; 1; 0). Dengan penggantian adalah mudah untuk mengesahkan bahawa kedua-dua penyelesaian adalah betul.

Jelas sekali bahawa dalam sistem tak tentu boleh ada bilangan penyelesaian bukan asas yang tak terhingga. Berapa banyak penyelesaian asas yang boleh ada? Setiap baris matriks yang diubah mesti sepadan dengan satu pembolehubah asas. Terdapat n pembolehubah dalam masalah, dan r garis asas. Oleh itu, bilangan semua kemungkinan set pembolehubah asas tidak boleh melebihi bilangan kombinasi n sebanyak 2. Ia mungkin kurang daripada , kerana tidak selalu mungkin untuk mengubah sistem kepada bentuk sedemikian sehingga set pembolehubah tertentu ini menjadi asas.

Apakah jenis ini? Ini adalah jenis apabila matriks yang terbentuk daripada lajur pekali untuk pembolehubah ini akan dipijak, dan pada masa yang sama akan terdiri daripada baris r. Itu. pangkat matriks pekali bagi pembolehubah ini mestilah sama dengan r. Ia tidak boleh lebih besar, kerana bilangan lajur adalah sama. Jika ternyata kurang daripada r, maka ini menunjukkan pergantungan linear lajur pada pembolehubah. Lajur sedemikian tidak boleh menjadi asas.

Mari kita pertimbangkan apakah penyelesaian asas lain yang boleh didapati dalam contoh yang dibincangkan di atas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi empat pembolehubah, dua pembolehubah asas setiap satu. Akan ada kombinasi sedemikian
, dan salah satu daripadanya (x 1 dan x 2) telah pun dipertimbangkan.

Mari kita ambil pembolehubah x 1 dan x 3. Mari kita cari pangkat matriks pekali untuk mereka:

Oleh kerana ia sama dengan dua, ia boleh menjadi asas. Mari kita samakan pembolehubah bukan asas x 2 dan x 4 kepada sifar: x 2 = x 4 = 0. Kemudian daripada formula x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 ia mengikuti bahawa x 1 = 4 /5, dan daripada formula x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 ia mengikuti bahawa x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Oleh itu, kita mendapat penyelesaian asas (4/5; 0; 17/5; 0).

Begitu juga, anda boleh mendapatkan penyelesaian asas untuk pembolehubah asas x 1 dan x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 dan x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 dan x 4 – (0; 0; 9; 4).

Pembolehubah x 2 dan x 3 dalam contoh ini tidak boleh diambil sebagai yang asas, kerana pangkat matriks yang sepadan adalah sama dengan satu, i.e. kurang daripada dua:

.

Pendekatan lain untuk menentukan sama ada boleh atau tidak untuk membina asas daripada pembolehubah tertentu juga boleh dilakukan. Apabila menyelesaikan contoh, sebagai hasil daripada mengubah matriks sistem kepada bentuk langkah demi langkah, ia mengambil bentuk:

Dengan memilih pasangan pembolehubah, adalah mungkin untuk mengira minor yang sepadan bagi matriks ini. Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa untuk semua pasangan kecuali x 2 dan x 3 mereka tidak sama dengan sifar, i.e. lajur adalah bebas linear. Dan hanya untuk lajur dengan pembolehubah x 2 dan x 3
, yang menunjukkan pergantungan linear mereka.

Mari kita lihat contoh lain. Mari kita selesaikan sistem persamaan

Jadi, persamaan yang sepadan dengan baris ketiga matriks terakhir adalah bercanggah - ia mengakibatkan kesamaan yang salah 0 = -1, oleh itu, sistem ini tidak konsisten.

Kaedah Jordan-Gauss 3 adalah perkembangan kaedah Gaussian. Intipatinya ialah matriks lanjutan sistem diubah kepada bentuk di mana pekali pembolehubah membentuk matriks identiti sehingga pilih atur baris atau lajur 4 (di mana r ialah pangkat matriks sistem).

Mari selesaikan sistem menggunakan kaedah ini:

Mari kita pertimbangkan matriks lanjutan sistem:

Dalam matriks ini kita memilih elemen unit. Sebagai contoh, pekali untuk x 2 dalam kekangan ketiga ialah 5. Mari kita pastikan bahawa baki baris dalam lajur ini mengandungi sifar, i.e. Mari jadikan lajur tunggal. Semasa proses transformasi kita akan panggil ini kolumpermisif(memimpin, kunci). Batasan ketiga (ketiga barisan) kami juga akan hubungi permisif. saya sendiri unsur, yang terletak di persimpangan baris dan lajur penyelesaian (ini adalah satu), juga dipanggil permisif.

Baris pertama kini mengandungi pekali (-1). Untuk mendapatkan sifar di tempatnya, darabkan baris ketiga dengan (-1) dan tolak hasil daripada baris pertama (iaitu hanya tambah baris pertama dengan baris ketiga).

Baris kedua mengandungi pekali 2. Untuk mendapatkan sifar pada tempatnya, darab baris ketiga dengan 2 dan tolak hasil daripada baris pertama.

Hasil transformasi akan kelihatan seperti:

Daripada matriks ini jelas kelihatan bahawa salah satu daripada dua sekatan pertama boleh dipadamkan (baris yang sepadan adalah berkadar, iaitu persamaan ini mengikuti antara satu sama lain). Mari kita memotong, sebagai contoh, yang kedua:

Jadi, sistem baru mempunyai dua persamaan. Lajur unit (kedua) diperoleh, dan unit di sini muncul dalam baris kedua. Mari kita ingat bahawa persamaan kedua sistem baru akan sepadan dengan pembolehubah asas x 2.

Mari pilih pembolehubah asas untuk baris pertama. Ini boleh menjadi sebarang pembolehubah kecuali x 3 (kerana untuk x 3 kekangan pertama mempunyai pekali sifar, iaitu set pembolehubah x 2 dan x 3 tidak boleh menjadi asas di sini). Anda boleh mengambil pembolehubah pertama atau keempat.

Jom pilih x 1. Kemudian elemen penyelesaian akan menjadi 5, dan kedua-dua belah persamaan menyelesaikan perlu dibahagikan dengan lima untuk mendapatkan satu dalam lajur pertama baris pertama.

Mari pastikan bahawa baris yang tinggal (iaitu, baris kedua) mempunyai sifar dalam lajur pertama. Oleh kerana sekarang baris kedua tidak mengandungi sifar, tetapi 3, kita perlu menolak dari baris kedua unsur-unsur baris pertama yang diubah, didarab dengan 3:

Daripada matriks yang terhasil, seseorang boleh mengekstrak secara langsung satu penyelesaian asas, menyamakan pembolehubah bukan asas kepada sifar, dan yang asas kepada sebutan bebas dalam persamaan yang sepadan: (0.8; -3.4; 0; 0). Anda juga boleh memperoleh formula am yang menyatakan pembolehubah asas melalui bukan asas: x 1 = 0.8 – 1.2 x 4; x 2 = -3.4 + x 3 + 1.6x 4. Formula ini menerangkan keseluruhan set penyelesaian tak terhingga kepada sistem (menyamakan x 3 dan x 4 dengan nombor arbitrari, anda boleh mengira x 1 dan x 2).

Perhatikan bahawa intipati transformasi pada setiap peringkat kaedah Jordan-Gauss adalah seperti berikut:

1) garis resolusi dibahagikan dengan elemen resolusi untuk mendapatkan unit di tempatnya,

2) daripada semua baris lain, resolusi yang diubah telah ditolak, didarab dengan elemen yang berada dalam baris yang diberikan dalam lajur resolusi, untuk mendapatkan sifar sebagai ganti elemen ini.

Mari kita pertimbangkan semula matriks lanjutan yang diubahsuai bagi sistem:

Daripada rekod ini jelas bahawa pangkat matriks sistem A adalah sama dengan r.

Dalam proses penaakulan kami, kami menetapkan bahawa sistem itu akan bekerjasama jika dan hanya jika
. Ini bermakna bahawa matriks lanjutan sistem akan kelihatan seperti:

Dengan membuang baris sifar, kami memperoleh bahawa pangkat matriks lanjutan sistem juga sama dengan r.

Teorem Kronecker-Capelli. Sistem persamaan linear adalah konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem adalah sama dengan pangkat matriks lanjutan sistem ini.

Ingat bahawa pangkat matriks adalah sama dengan bilangan maksimum baris bebas linearnya. Oleh itu, jika kedudukan matriks lanjutan adalah kurang daripada bilangan persamaan, maka persamaan sistem adalah bergantung secara linear, dan satu atau lebih daripadanya boleh dikecualikan daripada sistem (kerana ia adalah linear). gabungan yang lain). Sistem persamaan akan bebas secara linear hanya jika pangkat matriks lanjutan adalah sama dengan bilangan persamaan.

Selain itu, untuk sistem persamaan linear serentak, boleh dikatakan bahawa jika pangkat matriks adalah sama dengan bilangan pembolehubah, maka sistem itu mempunyai penyelesaian yang unik, dan jika ia kurang daripada bilangan pembolehubah, maka sistem itu tidak tentu dan mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

1Sebagai contoh, biarkan terdapat lima baris dalam matriks (urutan baris asal ialah 12345). Kita perlu menukar baris kedua dan kelima. Agar baris kedua mengambil tempat kelima dan "bergerak" ke bawah, kami menukar baris bersebelahan tiga kali berturut-turut: kedua dan ketiga (13245), kedua dan keempat (13425) dan kedua dan kelima (13452). ). Kemudian, agar baris kelima mengambil tempat yang kedua dalam matriks asal, adalah perlu untuk "menganjak" baris kelima ke atas dengan hanya dua perubahan berturut-turut: baris kelima dan keempat (13542) dan baris kelima dan ketiga (15342).

2Bilangan gabungan dari n hingga r mereka memanggil nombor semua subset r-elemen yang berbeza bagi set elemen-n (yang mempunyai komposisi elemen yang berbeza dianggap set berbeza; susunan pemilihan tidak penting). Ia dikira menggunakan formula:
. Mari kita ingat kembali maksud tanda "!" (faktorial):
0!=1.)

3 Memandangkan kaedah ini lebih biasa daripada kaedah Gaussian yang telah dibincangkan sebelum ini, dan pada asasnya merupakan gabungan langkah ke hadapan dan ke belakang kaedah Gaussian, ia juga kadangkala dipanggil kaedah Gaussian, mengetepikan bahagian pertama nama.

4Sebagai contoh,
.

5Jika tiada unit dalam matriks sistem, maka mungkin, sebagai contoh, membahagikan kedua-dua belah persamaan pertama dengan dua, dan kemudian pekali pertama akan menjadi kesatuan; atau seumpamanya

Lebih dipercayai daripada kaedah grafik yang dibincangkan dalam perenggan sebelumnya.

Kaedah penggantian

Kami menggunakan kaedah ini dalam gred ke-7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Algoritma yang dibangunkan dalam gred ke-7 agak sesuai untuk menyelesaikan sistem mana-mana dua persamaan (tidak semestinya linear) dengan dua pembolehubah x dan y (sudah tentu, pembolehubah boleh ditetapkan oleh huruf lain, yang tidak penting). Sebenarnya, kami menggunakan algoritma ini dalam perenggan sebelumnya, apabila masalah nombor dua digit membawa kepada model matematik, iaitu sistem persamaan. Kami menyelesaikan sistem persamaan di atas menggunakan kaedah penggantian (lihat contoh 1 daripada § 4).

Algoritma untuk menggunakan kaedah penggantian apabila menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah x, y.

1. Ungkapkan y melalui x daripada satu persamaan sistem.
2. Gantikan ungkapan yang terhasil dan bukannya y ke dalam persamaan sistem yang lain.
3. Selesaikan persamaan yang terhasil bagi x.
4. Gantikan secara bergilir-gilir setiap punca persamaan yang terdapat dalam langkah ketiga dan bukannya x ke dalam ungkapan y melalui x yang diperoleh dalam langkah pertama.
5. Tulis jawapan dalam bentuk pasangan nilai (x; y), yang masing-masing terdapat pada langkah ketiga dan keempat.

4) Gantikan satu persatu setiap nilai y yang ditemui ke dalam formula x = 5 - 3. Jika kemudian
5) Pasangan (2; 1) dan penyelesaian kepada sistem persamaan tertentu.

Jawapan: (2; 1);

Kaedah penambahan algebra

Kaedah ini, seperti kaedah penggantian, sudah biasa kepada anda dari kursus algebra gred ke-7, di mana ia digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mari kita ingat intipati kaedah menggunakan contoh berikut.

Contoh 2. Menyelesaikan sistem persamaan

Mari kita darabkan semua sebutan bagi persamaan pertama sistem dengan 3, dan biarkan persamaan kedua tidak berubah:
Kurangkan persamaan kedua sistem daripada persamaan pertama:

Hasil daripada penambahan algebra dua persamaan sistem asal, satu persamaan telah diperolehi yang lebih mudah daripada persamaan pertama dan kedua sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih mudah ini kita mempunyai hak untuk menggantikan mana-mana persamaan sistem tertentu, contohnya yang kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan digantikan dengan sistem yang lebih mudah:

Sistem ini boleh diselesaikan menggunakan kaedah penggantian. Daripada persamaan kedua kita dapati Menggantikan ungkapan ini dan bukannya y ke dalam persamaan pertama sistem, kita dapat

Ia kekal untuk menggantikan nilai x yang ditemui ke dalam formula

Jika x = 2 maka

Oleh itu, kami menemui dua penyelesaian kepada sistem:

Kaedah untuk memperkenalkan pembolehubah baru

Anda telah diperkenalkan kepada kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu apabila menyelesaikan persamaan rasional dengan satu pembolehubah dalam kursus algebra gred 8. Intipati kaedah ini untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah sama, tetapi dari sudut pandangan teknikal terdapat beberapa ciri yang akan kita bincangkan dalam contoh berikut.

Contoh 3. Menyelesaikan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan pembolehubah baru Kemudian persamaan pertama sistem boleh ditulis semula dalam bentuk yang lebih mudah: Mari kita selesaikan persamaan ini berkenaan dengan pembolehubah t:

Kedua-dua nilai ini memenuhi syarat dan oleh itu adalah punca kepada persamaan rasional dengan pembolehubah t. Tetapi ini bermakna sama ada di mana kita dapati bahawa x = 2y, atau
Oleh itu, dengan menggunakan kaedah memperkenalkan pembolehubah baru, kami berjaya "menstratifikasi" persamaan pertama sistem, yang agak rumit dalam rupa, kepada dua persamaan yang lebih mudah:

x = 2 y; y - 2x.

Apa yang akan datang? Dan kemudian setiap satu daripada dua persamaan mudah yang diperoleh mesti dipertimbangkan secara bergilir-gilir dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 = 3, yang belum kita ingat. Dalam erti kata lain, masalah datang kepada menyelesaikan dua sistem persamaan:

Kita perlu mencari penyelesaian kepada sistem pertama, sistem kedua dan memasukkan semua pasangan nilai yang terhasil dalam jawapan. Mari kita selesaikan sistem persamaan pertama:

Mari kita gunakan kaedah penggantian, terutamanya kerana semuanya sudah sedia untuknya di sini: mari kita gantikan ungkapan 2y dan bukannya x ke dalam persamaan kedua sistem. Kita mendapatkan

Oleh kerana x = 2y, kita dapati, masing-masing, x 1 = 2, x 2 = 2. Oleh itu, dua penyelesaian sistem yang diberi diperolehi: (2; 1) dan (-2; -1). Mari kita selesaikan sistem persamaan kedua:

Mari kita gunakan kaedah penggantian sekali lagi: gantikan ungkapan 2x dan bukannya y ke dalam persamaan kedua sistem. Kita mendapatkan

Persamaan ini tidak mempunyai punca, yang bermaksud sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian. Oleh itu, hanya penyelesaian sistem pertama yang perlu disertakan dalam jawapan.

Jawapan: (2; 1); (-2;-1).

Kaedah memperkenalkan pembolehubah baru apabila menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah digunakan dalam dua versi. Pilihan pertama: satu pembolehubah baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang berlaku dalam contoh 3. Pilihan kedua: dua pembolehubah baharu diperkenalkan dan digunakan serentak dalam kedua-dua persamaan sistem. Ini akan berlaku dalam contoh 4.

Contoh 4. Menyelesaikan sistem persamaan

Mari perkenalkan dua pembolehubah baharu:

Mari kita ambil kira itu kemudian

Ini akan membolehkan anda menulis semula sistem yang diberikan dalam bentuk yang lebih mudah, tetapi berkenaan dengan pembolehubah baharu a dan b:

Oleh kerana a = 1, maka daripada persamaan a + 6 = 2 kita dapati: 1 + 6 = 2; 6=1. Oleh itu, mengenai pembolehubah a dan b, kami mendapat satu penyelesaian:

Kembali kepada pembolehubah x dan y, kita memperoleh sistem persamaan

Mari kita gunakan kaedah penambahan algebra untuk menyelesaikan sistem ini:

Sejak itu daripada persamaan 2x + y = 3 kita dapati:
Oleh itu, mengenai pembolehubah x dan y, kami mendapat satu penyelesaian:

Mari kita akhiri perenggan ini dengan perbincangan teori yang ringkas tetapi agak serius. Anda telah pun memperoleh beberapa pengalaman dalam menyelesaikan pelbagai persamaan: linear, kuadratik, rasional, tidak rasional. Anda tahu bahawa idea utama untuk menyelesaikan persamaan adalah untuk bergerak secara beransur-ansur dari satu persamaan ke persamaan yang lain, lebih mudah, tetapi bersamaan dengan yang diberikan. Dalam perenggan sebelumnya kami memperkenalkan konsep kesetaraan untuk persamaan dengan dua pembolehubah. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.

Definisi.

Dua sistem persamaan dengan pembolehubah x dan y dipanggil setara jika mereka mempunyai penyelesaian yang sama atau jika kedua-dua sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Ketiga-tiga kaedah (penggantian, penambahan algebra dan memperkenalkan pembolehubah baharu) yang kita bincangkan dalam bahagian ini adalah betul-betul betul dari sudut kesetaraan. Dalam erti kata lain, menggunakan kaedah ini, kita menggantikan satu sistem persamaan dengan yang lain, lebih mudah, tetapi setara dengan sistem asal.

Kaedah grafik untuk menyelesaikan sistem persamaan

Kita telah pun mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang biasa dan boleh dipercayai seperti kaedah penggantian, penambahan algebra dan pengenalan pembolehubah baru. Sekarang mari kita ingat kaedah yang telah anda pelajari dalam pelajaran lepas. Maksudnya, mari ulangi apa yang anda tahu tentang kaedah penyelesaian grafik.

Kaedah penyelesaian sistem persamaan secara grafik melibatkan pembinaan graf untuk setiap persamaan khusus yang termasuk dalam sistem tertentu dan terletak dalam satah koordinat yang sama, serta di mana ia perlu untuk mencari persilangan titik-titik ini. graf. Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini ialah koordinat titik ini (x; y).

Perlu diingat bahawa adalah perkara biasa bagi sistem persamaan grafik untuk mempunyai sama ada satu penyelesaian yang betul, atau bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, atau tidak mempunyai penyelesaian sama sekali.

Sekarang mari kita lihat setiap penyelesaian ini dengan lebih terperinci. Oleh itu, sistem persamaan boleh mempunyai penyelesaian yang unik jika garis-garis yang merupakan graf bagi persamaan sistem itu bersilang. Jika garis-garis ini selari, maka sistem persamaan tersebut sama sekali tidak mempunyai penyelesaian. Jika graf langsung persamaan sistem bertepatan, maka sistem sedemikian membolehkan seseorang mencari banyak penyelesaian.

Nah, sekarang mari kita lihat algoritma untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 tidak diketahui menggunakan kaedah grafik:

Pertama, mula-mula kita membina graf persamaan pertama;
Langkah kedua ialah membina graf yang berkaitan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu mencari titik persilangan graf.
Dan sebagai hasilnya, kita mendapat koordinat setiap titik persilangan, yang akan menjadi penyelesaian kepada sistem persamaan.

Mari kita lihat kaedah ini dengan lebih terperinci menggunakan contoh. Kami diberi sistem persamaan yang perlu diselesaikan:

Menyelesaikan persamaan

1. Pertama, kita akan membina graf bagi persamaan ini: x2+y2=9.

Tetapi perlu diperhatikan bahawa graf persamaan ini akan menjadi bulatan dengan pusat di titik asal, dan jejarinya akan sama dengan tiga.

2. Langkah seterusnya adalah untuk membuat graf persamaan seperti: y = x – 3.

Dalam kes ini, kita mesti membina garis lurus dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).

3. Mari lihat apa yang kita dapat. Kita melihat bahawa garis lurus memotong bulatan pada dua titik A dan B.

Sekarang kita sedang mencari koordinat titik-titik ini. Kami melihat bahawa koordinat (3;0) sepadan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) sepadan dengan titik B.

Dan apa yang kita dapat sebagai hasilnya?

Nombor (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh apabila garis bersilang dengan bulatan adalah tepat penyelesaian kepada kedua-dua persamaan sistem. Dan daripada ini ia mengikuti bahawa nombor-nombor ini juga merupakan penyelesaian kepada sistem persamaan ini.

Iaitu, jawapan kepada penyelesaian ini ialah nombor: (3;0) dan (0;−3).