Pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil ialah konsep aritmetik utama yang menjadikan kerja dengan pecahan menjadi mudah. LCM dan paling kerap digunakan untuk mencari penyebut sepunya beberapa pecahan.

Konsep Asas

Pembahagi bagi integer X ialah satu lagi integer Y yang mana X dibahagikan tanpa meninggalkan baki. Sebagai contoh, pembahagi bagi 4 ialah 2, dan 36 ialah 4, 6, 9. Gandaan bagi integer X ialah nombor Y yang boleh dibahagi dengan X tanpa baki. Sebagai contoh, 3 ialah gandaan 15, dan 6 ialah gandaan 12.

Untuk mana-mana pasangan nombor, kita boleh mencari pembahagi dan gandaan sepunya mereka. Sebagai contoh, untuk 6 dan 9, gandaan sepunya ialah 18, dan pembahagi sepunya ialah 3. Jelas sekali, pasangan boleh mempunyai beberapa pembahagi dan gandaan, jadi pengiraan menggunakan GCD pembahagi terbesar dan LCM berbilang terkecil.

Pembahagi terkecil tidak bermakna, kerana untuk sebarang nombor ia sentiasa satu. Gandaan terbesar juga tidak bermakna, kerana urutan gandaan pergi ke infiniti.

Mencari gcd

Terdapat banyak kaedah untuk mencari pembahagi sepunya terbesar, yang paling terkenal ialah:

• carian pembahagi berurutan, pemilihan pembahagi biasa untuk sepasang dan cari pembahagi terbesar;
• penguraian nombor kepada faktor yang tidak boleh dibahagikan;
• Algoritma Euclidean;
• algoritma binari.

Hari ini di institusi pendidikan kaedah yang paling popular ialah penguraian kepada faktor utama dan algoritma Euclidean. Yang terakhir, seterusnya, digunakan apabila menyelesaikan persamaan Diophantine: mencari GCD diperlukan untuk menyemak persamaan untuk kemungkinan resolusi dalam integer.

Mencari NOC

Gandaan sepunya terkecil juga ditentukan oleh penghitungan berurutan atau pemfaktoran kepada faktor tidak boleh dibahagikan. Di samping itu, adalah mudah untuk mencari LCM jika pembahagi terbesar telah ditentukan. Untuk nombor X dan Y, LCM dan GCD dikaitkan dengan hubungan berikut:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Sebagai contoh, jika GCM(15,18) = 3, maka LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Contoh paling jelas penggunaan LCM ialah mencari penyebut sepunya, iaitu gandaan sepunya terkecil bagi pecahan yang diberi.

Nombor koprima

Jika sepasang nombor tidak mempunyai pembahagi sepunya, maka pasangan sedemikian dipanggil coprime. Gcd untuk pasangan sedemikian sentiasa sama dengan satu, dan berdasarkan hubungan antara pembahagi dan gandaan, gcd untuk pasangan coprime adalah sama dengan hasil darabnya. Sebagai contoh, nombor 25 dan 28 adalah relatif perdana, kerana mereka tidak mempunyai pembahagi sepunya, dan LCM(25, 28) = 700, yang sepadan dengan hasil darabnya. Mana-mana dua nombor tidak boleh dibahagikan akan sentiasa menjadi perdana secara relatif.

Pembahagi biasa dan kalkulator berbilang

Menggunakan kalkulator kami, anda boleh mengira GCD dan LCM untuk nombor sewenang-wenangnya untuk dipilih. Tugas untuk mengira pembahagi dan gandaan sepunya terdapat dalam aritmetik gred 5 dan 6, tetapi GCD dan LCM ialah konsep utama dalam matematik dan digunakan dalam teori nombor, planimetri dan algebra komunikatif.

Contoh kehidupan sebenar

Penyebut sepunya bagi pecahan

Gandaan sepunya terkecil digunakan apabila mencari penyebut sepunya beberapa pecahan. Katakan dalam masalah aritmetik anda perlu menjumlahkan 5 pecahan:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Untuk menambah pecahan, ungkapan mesti dikurangkan kepada penyebut biasa, yang mengurangkan kepada masalah mencari LCM. Untuk melakukan ini, pilih 5 nombor dalam kalkulator dan masukkan nilai penyebut dalam sel yang sesuai. Program ini akan mengira LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sekarang anda perlu mengira faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang ditakrifkan sebagai nisbah LCM kepada penyebut. Jadi pengganda tambahan akan kelihatan seperti:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Selepas ini, kita darabkan semua pecahan dengan faktor tambahan yang sepadan dan dapatkan:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Kita boleh menjumlahkan pecahan tersebut dengan mudah dan mendapatkan hasilnya sebagai 159/360. Kami mengurangkan pecahan sebanyak 3 dan melihat jawapan akhir - 53/120.

Menyelesaikan persamaan Diophantine linear

Persamaan Diophantine Linear ialah ungkapan bentuk ax + by = d. Jika nisbah d / gcd(a, b) ialah integer, maka persamaan itu boleh diselesaikan dalam integer. Mari kita semak beberapa persamaan untuk melihat sama ada ia mempunyai penyelesaian integer. Mula-mula, mari kita semak persamaan 150x + 8y = 37. Dengan menggunakan kalkulator, kita dapati GCD (150.8) = 2. Bahagi 37/2 = 18.5. Nombor itu bukan integer, oleh itu persamaan tidak mempunyai punca integer.

Mari kita semak persamaan 1320x + 1760y = 10120. Gunakan kalkulator untuk mencari GCD(1320, 1760) = 440. Bahagikan 10120/440 = 23. Akibatnya, kita mendapat integer, oleh itu, persamaan kosolvensi Diophantine dalam ialah .

Kesimpulan

GCD dan LCM memainkan peranan yang besar dalam teori nombor, dan konsep itu sendiri digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang matematik. Gunakan kalkulator kami untuk mengira pembahagi terbesar dan gandaan terkecil bagi sebarang nombor.

Untuk memahami cara mengira LCM, anda mesti terlebih dahulu menentukan maksud istilah "berbilang".

Gandaan A ialah nombor asli yang boleh dibahagi dengan A tanpa baki Oleh itu, nombor gandaan 5 boleh dianggap 15, 20, 25, dan seterusnya.

Terdapat bilangan pembahagi yang terhad bagi nombor tertentu, tetapi terdapat bilangan gandaan yang tidak terhingga.

Gandaan sepunya bagi nombor asli ialah nombor yang boleh dibahagi dengannya tanpa meninggalkan baki.

Bagaimana untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor

Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi nombor (dua, tiga atau lebih) ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan semua nombor ini.

Untuk mencari LOC, anda boleh menggunakan beberapa kaedah.

Untuk nombor kecil, adalah mudah untuk menulis semua gandaan nombor ini pada satu baris sehingga anda menemui sesuatu yang biasa di kalangan mereka. Gandaan dilambangkan dengan huruf besar K.

Sebagai contoh, gandaan 4 boleh ditulis seperti ini:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Oleh itu, anda boleh melihat bahawa gandaan sepunya terkecil bagi nombor 4 dan 6 ialah nombor 24. Tatatanda ini dilakukan seperti berikut:

LCM(4, 6) = 24

Jika nombornya besar, cari gandaan sepunya bagi tiga atau lebih nombor, maka lebih baik menggunakan kaedah pengiraan LCM yang lain.

Untuk menyelesaikan tugasan, anda perlu memfaktorkan nombor yang diberikan ke dalam faktor perdana.

Mula-mula anda perlu menuliskan penguraian nombor terbesar pada baris, dan di bawahnya - selebihnya.

Penguraian setiap nombor mungkin mengandungi bilangan faktor yang berbeza.

Sebagai contoh, mari kita memfaktorkan nombor 50 dan 20 ke dalam faktor perdana.

Dalam pengembangan nombor yang lebih kecil, anda harus menyerlahkan faktor yang tiada dalam pengembangan nombor terbesar pertama, dan kemudian menambahnya padanya. Dalam contoh yang dibentangkan, dua hilang.

Kini anda boleh mengira gandaan sepunya terkecil bagi 20 dan 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Oleh itu, hasil darab faktor perdana bagi nombor yang lebih besar dan faktor nombor kedua yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor yang lebih besar akan menjadi gandaan sepunya terkecil.

Untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, anda harus memfaktorkan kesemuanya ke dalam faktor perdana, seperti dalam kes sebelumnya.

Sebagai contoh, anda boleh mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Oleh itu, hanya dua dua daripada pengembangan enam belas tidak termasuk dalam pemfaktoran nombor yang lebih besar (satu adalah dalam pengembangan dua puluh empat).

Oleh itu, mereka perlu ditambah kepada pengembangan bilangan yang lebih besar.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Terdapat kes khas untuk menentukan gandaan sepunya terkecil. Jadi, jika salah satu nombor boleh dibahagikan tanpa baki dengan yang lain, maka yang lebih besar daripada nombor ini akan menjadi gandaan sepunya terkecil.

Sebagai contoh, LCM bagi dua belas dan dua puluh empat ialah dua puluh empat.

Jika perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima yang tidak mempunyai pembahagi yang sama, maka LCM mereka akan sama dengan hasil darabnya.

Contohnya, LCM (10, 11) = 110.

Gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor berkaitan secara langsung dengan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor tersebut. ini sambungan antara GCD dan NOC ditentukan oleh teorem berikut.

Teorem.

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer positif a dan b adalah sama dengan hasil darab a dan b dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar a dan b, iaitu, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Bukti.

biarlah M ialah beberapa gandaan nombor a dan b. Iaitu, M boleh dibahagikan dengan a, dan mengikut takrif kebolehbahagi, terdapat beberapa integer k supaya kesamaan M=a·k adalah benar. Tetapi M juga boleh dibahagi dengan b, maka a·k boleh dibahagi dengan b.

Mari kita nyatakan gcd(a, b) sebagai d. Kemudian kita boleh menulis kesamaan a=a 1 ·d dan b=b 1 ·d, dan a 1 =a:d dan b 1 =b:d akan menjadi nombor perdana secara relatif. Akibatnya, syarat yang diperolehi dalam perenggan sebelumnya bahawa a · k boleh dibahagikan dengan b boleh dirumuskan semula seperti berikut: a 1 · d · k dibahagikan dengan b 1 · d , dan ini, disebabkan sifat boleh bahagi, adalah bersamaan dengan syarat bahawa a 1 · k boleh dibahagi dengan b 1.

Anda juga perlu menulis dua akibat penting daripada teorem yang dipertimbangkan.

Gandaan sepunya dua nombor adalah sama dengan gandaan gandaan sepunya terkecilnya.

Ini memang berlaku, kerana sebarang gandaan sepunya M bagi nombor a dan b ditentukan oleh kesamaan M=LMK(a, b)·t untuk beberapa nilai integer t.

Gandaan sepunya terkecil bagi nombor positif saling perdana a dan b adalah sama dengan hasil darabnya.

Rasional fakta ini agak jelas. Oleh kerana a dan b adalah relatif perdana, maka gcd(a, b)=1, oleh itu, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor

Mencari gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor boleh dikurangkan untuk mencari KPK dua nombor secara berurutan. Cara ini dilakukan ditunjukkan dalam teorem berikut a 1 , a 2 , …, a k bertepatan dengan gandaan sepunya bagi nombor m k-1 dan a k , oleh itu, bertepatan dengan gandaan sepunya bagi nombor m k . Dan oleh kerana gandaan positif terkecil bagi nombor m k ialah nombor m k itu sendiri, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1, a 2, ..., a k ialah m k.

Rujukan.

• Vilenkin N.Ya. dan lain-lain. Darjah 6: buku teks untuk institusi pendidikan am.
• Vinogradov I.M. Asas teori nombor.
• Mikhelovich Sh.H. Teori nombor.
• Kulikov L.Ya. dan lain-lain Koleksi masalah dalam algebra dan teori nombor: Buku teks untuk pelajar fizik dan matematik. keistimewaan institut pedagogi.

Cara mencari LCM (bilangan sepunya paling kurang)

Gandaan sepunya bagi dua integer ialah integer yang boleh dibahagi dengan kedua-dua nombor yang diberi tanpa meninggalkan baki.

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer ialah yang terkecil daripada semua integer yang boleh dibahagi dengan kedua-dua nombor yang diberikan tanpa meninggalkan baki.

Kaedah 1. Anda boleh mencari LCM, seterusnya, untuk setiap nombor yang diberikan, menulis dalam tertib menaik semua nombor yang diperoleh dengan mendarabnya dengan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Contoh untuk nombor 6 dan 9.
Kami mendarabkan nombor 6, secara berurutan, dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapat: 6, 12, 18 , 24, 30
Kami mendarabkan nombor 9, secara berurutan, dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapat: 9, 18 , 27, 36, 45
Seperti yang anda lihat, LCM untuk nombor 6 dan 9 akan bersamaan dengan 18.

Kaedah ini mudah apabila kedua-dua nombor adalah kecil dan mudah untuk mendarabnya dengan urutan integer. Walau bagaimanapun, terdapat kes apabila anda perlu mencari LCM untuk nombor dua digit atau tiga digit, dan juga apabila terdapat tiga atau lebih nombor awal.

Kaedah 2. Anda boleh mencari LCM dengan memfaktorkan nombor asal ke dalam faktor perdana.
Selepas penguraian, adalah perlu untuk memotong nombor yang sama daripada siri faktor perdana yang terhasil. Baki nombor nombor pertama akan menjadi pengganda untuk yang kedua, dan baki nombor kedua akan menjadi pengganda untuk yang pertama.

Contoh untuk nombor 75 dan 60.
Gandaan sepunya terkecil bagi nombor 75 dan 60 boleh didapati tanpa menuliskan gandaan nombor ini berturut-turut. Untuk melakukan ini, mari faktorkan 75 dan 60 kepada faktor mudah:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Seperti yang anda lihat, faktor 3 dan 5 muncul dalam kedua-dua baris. Kami secara mental "memotong" mereka.
Mari kita tuliskan baki faktor yang termasuk dalam pengembangan setiap nombor ini. Apabila menguraikan nombor 75, kita ditinggalkan dengan nombor 5, dan apabila menguraikan nombor 60, kita ditinggalkan dengan 2 * 2
Ini bermakna bahawa untuk menentukan LCM untuk nombor 75 dan 60, kita perlu mendarabkan nombor yang tinggal daripada pengembangan 75 (ini ialah 5) dengan 60, dan mendarabkan nombor yang tinggal daripada pengembangan 60 (ini ialah 2 * 2) dengan 75. Iaitu, untuk memudahkan pemahaman , kita katakan bahawa kita sedang mendarab "silang".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Beginilah cara kami menemui LCM untuk nombor 60 dan 75. Ini ialah nombor 300.

Contoh. Tentukan KPK untuk nombor 12, 16, 24
Dalam kes ini, tindakan kita akan menjadi lebih rumit. Tetapi pertama, seperti biasa, mari kita memfaktorkan semua nombor
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Untuk menentukan LCM dengan betul, kami memilih nombor terkecil daripada semua nombor (ini ialah nombor 12) dan meneliti faktornya secara berurutan, memotongnya jika dalam sekurang-kurangnya satu daripada baris nombor lain kami menghadapi faktor yang sama yang belum telah dicoret.

Langkah 1. Kami melihat bahawa 2 * 2 berlaku dalam semua siri nombor. Mari kita pangkah mereka.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Langkah 2. Dalam faktor perdana nombor 12, hanya nombor 3 yang kekal Tetapi ia terdapat dalam faktor perdana nombor 24. Kami memotong nombor 3 dari kedua-dua baris, sementara tiada tindakan dijangka untuk nombor 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Seperti yang anda lihat, apabila menguraikan nombor 12, kami "memotong" semua nombor. Ini bermakna penemuan LOC telah selesai. Yang tinggal hanyalah mengira nilainya.
Untuk nombor 12, ambil baki faktor nombor 16 (seterusnya dalam tertib menaik)
12 * 2 * 2 = 48
Ini adalah NOC

Seperti yang anda lihat, dalam kes ini, mencari LCM agak sukar, tetapi apabila anda perlu mencarinya untuk tiga atau lebih nombor, kaedah ini membolehkan anda melakukannya dengan lebih pantas. Walau bagaimanapun, kedua-dua kaedah mencari LCM adalah betul.

Tetapi banyak nombor asli juga boleh dibahagikan dengan nombor asli yang lain.

Contohnya:

Nombor 12 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12;

Nombor 36 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12, dengan 18, dengan 36.

Nombor yang nombor itu boleh dibahagikan dengan keseluruhan (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) dipanggil pembahagi nombor. Pembahagi nombor asli a- ialah nombor asli yang membahagi nombor tertentu a tanpa jejak. Nombor asli yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi dipanggil komposit .

Sila ambil perhatian bahawa nombor 12 dan 36 mempunyai faktor sepunya. Nombor-nombor ini ialah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembahagi terbesar bagi nombor ini ialah 12. Pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor ini a Dan b- ini ialah nombor di mana kedua-dua nombor yang diberi dibahagikan tanpa baki a Dan b.

Gandaan sepunya beberapa nombor ialah nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini. Contohnya, nombor 9, 18 dan 45 mempunyai gandaan sepunya 180. Tetapi 90 dan 360 juga adalah gandaan sepunya mereka. Di antara semua gandaan sepunya sentiasa ada yang terkecil, dalam kes ini ialah 90. Nombor ini dipanggil yang terkecilberbilang sepunya (CMM).

LCM sentiasa nombor asli yang mesti lebih besar daripada nombor terbesar yang ditakrifkan.

Gandaan sepunya terkecil (LCM). Hartanah.

Komutatif:

pergaulan:

Khususnya, jika dan ialah nombor koprima, maka:

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer m Dan n ialah pembahagi semua gandaan sepunya yang lain m Dan n. Selain itu, set gandaan sepunya m, n bertepatan dengan set gandaan untuk LCM( m, n).

Asimtotik untuk boleh dinyatakan dalam beberapa fungsi teori nombor.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan juga:

Ini berikutan daripada definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Apakah yang berikut daripada hukum taburan nombor perdana.

Mencari gandaan sepunya terkecil (LCM).

NOC( a, b) boleh dikira dalam beberapa cara:

1. Jika pembahagi sepunya terbesar diketahui, anda boleh menggunakan sambungannya dengan LCM:

2. Biarkan penguraian kanonik kedua-dua nombor menjadi faktor perdana diketahui:

di mana p 1 ,...,p k- pelbagai nombor perdana, dan d 1 ,...,d k Dan e 1 ,...,e k— integer bukan negatif (ia boleh menjadi sifar jika perdana sepadan tiada dalam pengembangan).

Kemudian NOC ( a,b) dikira dengan formula:

Dengan kata lain, penguraian LCM mengandungi semua faktor perdana yang termasuk dalam sekurang-kurangnya satu daripada penguraian nombor. a, b, dan yang terbesar daripada dua eksponen pengganda ini diambil.

Contoh:

Mengira gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor boleh dikurangkan kepada beberapa pengiraan berurutan bagi LCM bagi dua nombor:

peraturan. Untuk mencari LCM bagi satu siri nombor, anda memerlukan:

- menguraikan nombor kepada faktor perdana;

- pindahkan penguraian terbesar (hasil daripada faktor bilangan terbesar yang diberikan) kepada faktor produk yang diingini, dan kemudian tambah faktor daripada penguraian nombor lain yang tidak muncul dalam nombor pertama atau muncul di dalamnya lebih sedikit kali;

— hasil darab faktor perdana akan menjadi LCM nombor yang diberikan.

Mana-mana dua atau lebih nombor asli mempunyai LCM mereka sendiri. Jika nombor bukan gandaan antara satu sama lain atau tidak mempunyai faktor yang sama dalam pengembangan, maka LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor ini.

Faktor perdana bagi nombor 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (nombor 21), hasil darab (84) akan menjadi nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan 21 dan 28.

Faktor perdana bagi nombor terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 daripada nombor 25, hasil darab 150 yang terhasil adalah lebih besar daripada nombor terbesar 30 dan boleh dibahagikan dengan semua nombor yang diberi tanpa baki. Ini adalah hasil terkecil yang mungkin (150, 250, 300...) yang merupakan gandaan semua nombor yang diberikan.

Nombor 2,3,11,37 ialah nombor perdana, jadi LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor yang diberikan.

peraturan. Untuk mengira LCM nombor perdana, anda perlu mendarab semua nombor ini bersama-sama.

Pilihan lain:

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM) beberapa nombor yang anda perlukan:

1) mewakili setiap nombor sebagai hasil darab faktor perdananya, contohnya:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan kuasa semua faktor utama:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembahagi utama (pendarab) bagi setiap nombor ini;

4) pilih tahap terbesar setiap daripada mereka, yang terdapat dalam semua pengembangan nombor ini;

5) gandakan kuasa ini.

Contoh. Cari LCM nombor: 168, 180 dan 3024.

Penyelesaian. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kami menulis kuasa terbesar dari semua pembahagi utama dan memperbanyakkannya:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.