2) Jika x+R=AO, maka masalah itu mempunyai satu penyelesaian;

3) Jika x+R>AO, maka masalah itu tiada penyelesaian.

Salah satu matlamat utama dalam pengajaran matematik adalah untuk mengajar pelajar menyelesaikan masalah dengan betul dan baik.

Seorang guru matematik mesti fasih dalam kaedah umum asas untuk menyelesaikan masalah matematik yang telah kita bincangkan dan secara beransur-ansur melengkapkan pelajarnya dengan mereka. Tanpa ini, kejayaan dalam pengajaran matematik adalah mustahil.

Ahli matematik Amerika terkenal J. Polya menumpukan kajian khusus kepada masalah mencari penyelesaian kepada masalah tersebut (J. Polya Bagaimana menyelesaikan masalah. Uchpedgiz, 1961). Dalam kerja ini, dia memberi perhatian khusus kepada analisis dan sintesis apabila mencari penyelesaian.

Di penghujung buku, dia menyediakan jadual yang harus diikuti apabila mencari penyelesaian kepada masalah tersebut. Mari kita berikan versi pendeknya.

1. Fahami tugas yang dicadangkan.

Apa yang dikatakan tugas? Apa yang diberi? Apa yang anda perlu cari? Adakah yang tidak diketahui ditentukan oleh data masalah? Adakah mereka sama ada tidak mencukupi atau berlebihan?

2. Cari laluan dari yang tidak diketahui kepada data, jika perlu, pertimbangkan tugas perantaraan ("analisis"). Buat rancangan penyelesaian.

Nyatakan hubungan antara yang tidak diketahui dan data. Ubah (atau perkenalkan yang baharu) yang tidak diketahui, mendekatkannya kepada data. Mengubah data, mendapatkan elemen baru yang lebih dekat dengan yang dikehendaki. Ingat penyelesaian kepada masalah yang sama. Adakah semua data telah digunakan? Adakah mungkin untuk merumuskan masalah secara berbeza? ringkaskan. Pertimbangkan kes khas.

3. Laksanakan idea penyelesaian yang ditemui (“sintesis”).

Wajarkan ketepatan setiap langkah.

4. Keputusan untuk menyemak dan menilai secara kritis.

Adakah keputusan itu munasabah? kenapa? Semak jika boleh. Adakah mungkin untuk menyelesaikannya secara berbeza, dengan cara yang lebih langsung?

Pada kajian dan persepsi tugas, setiap pelajar mesti tahu dan sentiasa mematuhi yang munasabah dan wajib peraturan: jangan mula menyelesaikan masalah atau mencari jalan untuk menyelesaikannya sehingga anda yakin bahawa teks masalah telah dikaji sepenuhnya dan difahami dengan jelas, bahawa semua data dan keperluan masalah telah difahami, dan sifat kebergantungan fungsi antara kuantiti yang termasuk dalam masalah, yang dicari dan yang diketahui, difahami. Peraturan metodologi sedemikian difahami oleh pelajar dalam proses aplikasi praktikal mereka. Adalah disyorkan untuk membaca masalah dengan teks kompleks dengan teliti beberapa kali. Apabila bekerja secara hadapan dengan kelas, guru menggunakan soalan untuk menyemak perincian dan ketepatan, kesempurnaan dan kesedaran setiap persepsi pelajar terhadap tugasan.

Peringkat utama proses penyelesaian masalah ialah mencari penyelesaian. Di sini, pelbagai kaedah dan teknik analisis adalah paling berkesan, yang mesti dikuasai oleh pelajar sekolah secara beransur-ansur. Untuk tujuan ini, perhatian dan usaha berterusan dari pihak guru akan diperlukan, kerana pelajar biasanya cenderung untuk segera menggunakan kaedah sintetik, yang tidak banyak digunakan untuk mencari cara yang tidak diketahui untuk menyelesaikan masalah. Jika kesukaran ditemui semasa carian analisis, maka pelajar boleh cuba menjalankan cariannya dalam arah yang bertentangan, sintetik untuk merapatkan kedua-dua hasil.

Menjadikannya lebih mudah untuk mencari jalan anda visual, gambaran sebenar keadaan masalah, proses yang diterangkan di dalamnya, pelbagai penggunaan cara grafik, gambar rajah dengan data yang disusun dengan mahir, penggunaan teknik heuristik tambahan dan persendirian.

Salah satu matlamat terpenting yang dihadapi dalam menyelesaikan masalah dalam kursus matematik ialah mengajar pelajar menyelesaikan masalah secara bebas. Untuk mencapai matlamat ini, adalah perlu untuk mengajar bagaimana untuk mencari jalan untuk menyelesaikan masalah. Seorang guru yang berpengalaman tidak tergesa-gesa untuk memberitahu pelajar penyelesaian kepada masalah, tetapi akan cuba, bersama-sama dengan pelajar, untuk mencari jalan untuk menyelesaikannya. Pada masa yang sama, pelajar akan mendapat sedikit pengalaman dalam menyelesaikan dan mencarinya.

Melukis angka geometri kepada masalah yang diselesaikan mestilah betul, selaras sepenuhnya dengan kedua-dua keadaan masalah dan akibat daripadanya. Kami boleh mengesyorkan peraturan berikut: buat lukisan selepas anda sudah mempunyai idea yang jelas tentang angka yang diberikan dan hubungan antara unsur-unsurnya yang timbul daripada keadaan masalah. Sudah tentu, tidak selalu mungkin untuk melukis lukisan yang betul dan tepat dengan segera, jadi anda perlu mengajar pelajar membuat lukisan yang baik, secara beransur-ansur menggunakan keadaan masalah, mencerminkannya dalam lukisan dan membuat semula lukisan jika tugas yang diberikan adalah tidak tercermin dengan tepat di dalamnya. Murid sekolah juga harus diajar untuk membuat semula lukisan jika, semasa proses penyelesaian, data baru ditemui yang tiada pada lukisan

Pelajar harus tahu bahawa untuk mengelakkan kesilapan, lukisan mesti betul, tetapi semua yang digunakan dalam penyelesaian, kecuali yang diketahui dari keadaan masalah, mesti dibuktikan secara logik menggunakan teori subjek.

Keperluan lain untuk seorang guru ialah pelajar perlu diajar cara mencari beberapa berbeza cara untuk menyelesaikan masalah (jika ada). Ini akan membolehkan pelajar mengembangkan logik pemikiran yang lebih besar, membolehkan pelajar melihat perkaitan antara cabang matematik yang berbeza, kesatuannya, dan mengajarnya mencari penyelesaian yang rasional.

Guru juga perlu sentiasa menambah baik dari segi penyelesaian masalah. Jangan berhenti pada masalah dari buku teks. Ia adalah perlu untuk sentiasa membaca kesusasteraan metodologi, artikel dalam jurnal metodologi yang dikhaskan untuk kaedah untuk menyelesaikan masalah. Guru juga perlu berusaha untuk mencipta "bank masalah" sendiri, di mana tugas-tugas yang menarik dari sudut pandangannya akan dikumpulkan, yang akan mempelbagaikan proses pembelajaran, mengembangkan minat dalam subjek, dan juga membantu melibatkan pelajar tersebut dalam pelajaran yang telah dipelajari untuk menyelesaikan masalah standard.

Kaedah sintesis algebra untuk ACS satu dimensi adalah berdasarkan penentuan jenis dan parameter fungsi pemindahan bahagian pembolehubah ACS dalam ungkapan

di mana x(p), y(p)- transformasi Laplace yang sepadan x(t) Dan y(t)(kami menganggap syarat awal adalah sifar); Wyx(p), W uy(p)- fungsi pemindahan bahagian ACS yang tidak boleh diubah (objek kawalan) dan bahagian pembolehubahnya, masing-masing; Dan- tindakan kawalan; y(p) - jenis penyelesaian sistem yang dikehendaki (ditentukan) untuk tindakan input yang diberikan x(p).

Kerana Wyx(p) menghubungkan pengaruh input x(p) dan tindak balas sistem y(r), kerana diberi x(p) Dan y(r) kita mendapat persamaan algebra

di mana P(p), Q(p) dikenali diberi polinomial dalam r,,- polinomial daripada p, yang perlu dibina.

Dalam kes umum, persamaan (1.11) ialah satu persamaan dengan dua persamaan Θ(р) dan П(р) yang tidak diketahui dan merujuk kepada persamaan Diophantine (Diophantus ialah seorang ahli matematik Yunani kuno). Untuk mencari penyelesaian kepada persamaan ini, keadaan kestabilan untuk sistem (1.10) dan kebolehrealisasian fizikal bahagian pembolehubah CAP ditambah. W uy(p). Dalam kes kedua, khususnya, adalah dikehendaki bahawa darjah polinomial Θ(p) lebih tinggi daripada darjah polinomial P(p). Sistem persamaan ini harus ditambah dengan keadaan kestabilan yang disusun mengikut kriteria Routh R k (a i)>0 , di mana a i ialah pekali bagi polinomial ciri dalam (1.10); R k (a i) - pekali bagi lajur pertama jadual Routh.

Daripada ketaksamaan, seseorang boleh mendapatkan persamaan untuk keadaan kestabilan. Dalam kes ini, adalah perlu untuk menetapkan tahap kestabilan sistem (1.10) .

Kemudian persamaan yang sepadan dengan Δ(р) ditukar kepada persamaan ciri yang dianjak

Selepas mengira semula pekali, persamaan ini akan mengambil bentuk

, (1.12)

di mana ; k - nombor pekali; -bilangan gabungan dalam k-i ​​daripada n-i.

Proses yang dikehendaki y(t) boleh dibentuk daripada imej operator bagi ciri peralihan, dinyatakan dalam bentuk umum

Dengan memberikan parameter a 1 , b 1 , b 2 , b 3 , c 1 nilai berangka dari sifar hingga mengehadkan nilai, adalah mungkin untuk mendapatkan bentuk proses sementara yang berayun, aperiodik dan lain-lain. Khususnya, untuk c 1 =0, imej Laplace bagi proses yang dikehendaki mempunyai bentuk

(1.13)

pada kutub nyata dan kutub kompleks, masing-masing. Dalam ungkapan ini C1, C2 menentukan magnitud ralat dinamik σ; , di manakah ayunan proses; margin kestabilan ditentukan oleh nilai n1 (n1

Memandangkan mod pengendalian ACS yang paling sukar - menguji kesan langkah demi langkah x(p) = 1/p, masalah sintesis boleh dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan algebra (1.11), (1.12) berkenaan dengan pekali polinomial yang tidak diketahui Θ( p), P(p). Secara umum, persamaan tersebut diselesaikan menggunakan algoritma Euclidean. Pelanjutan kaedah ini kepada sistem berbilang dimensi dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan algebra matriks untuk sistem kawalan automatik berbilang dimensi

di mana Y(p), X(p), W YX (p), W UY (p) ialah vektor dan matriks yang sepadan dengan pengaruh keluaran dan input. Jika jenis pengaruh yang mengganggu X(p), jenis proses output yang diingini CAY Y(p) dan bahagian yang tidak boleh diubah ACS W YX (p) diberikan, maka daripada persamaan matriks (1.14) matriks W UY ( p) boleh didapati hasil daripada penyelesaian sistem persamaan algebra (1.14). Dalam kes ini, seperti dalam kes skalar, syarat untuk kestabilan sistem (1.14) dan kebolehrealisasian fizikal bahagian pembolehubah ACS W UY (P) harus ditambah kepada persamaan (1.14).

Pendekatan yang dipertimbangkan dibangunkan dalam bentuk kaedah polinomial persamaan, yang boleh digunakan pada kedua-dua pengawal ACS berterusan dan digital. Dalam kes kedua, kaedah ini paling berkesan. Pada asasnya, ia adalah kaedah berangka untuk menyelesaikan pelbagai masalah variasi tertentu dan membolehkan, dengan cara yang seragam, dengan mengambil kira keadaan kebolehlaksanaan fizikal dan kestabilan ACS, untuk mendapatkan dalam bentuk eksplisit ungkapan untuk fungsi pemindahan optimum bagi pengawal Wuy. Kelebihan penting kaedah ini ialah keoptimuman di sini difahami bukan sahaja dalam erti kata kelajuan, tetapi juga dalam pengertian pampasan untuk sisihan yang tidak diingini ACS daripada pergerakan yang diberikan, yang membawa masalah sintesis lebih dekat kepada formulasi kejuruteraan dalam rasa kriteria (1.8)-(1.9).

Aplikasi kaedah persamaan polinomial memerlukan peralihan kepada "model diskret" bahagian berterusan sistem.

Untuk kemudahan pembentangan seterusnya, kami menganggap algoritma kaedah seperti yang digunakan pada sistem satu dimensi (1.10). Menjalankan transformasi fungsi (1.10), kami membentangkannya dalam bentuk

(1.15)

Wyx(z)=P(z)/Q(z) - fungsi z pemindahan ditentukan bagi bahagian sistem yang tidak boleh diubah; x*Wyx(z)=L(z)/R(z) - pindahkan fungsi z bahagian gelung kawalan antara titik penggunaan gangguan x(z) dan koordinat y(z); Wuy(z) ialah fungsi pengawal yang dikehendaki.

Untuk mengimbangi kutub dan sifar "tidak diingini" dalam fungsi pemindahan Wyx(z), operasi pemfaktoran digunakan. Operasi ini adalah seperti berikut. Mari kita mewakili fungsi Wyx(y) dalam bentuk

, (1.16)

di mana ialah fungsi pecahan-rasional yang mempunyai sifar dan kutub dalam kawasan kestabilan, dalam kes ini - di dalam bulatan jejari unit |z| = 1, tetapi mempunyai sifar dan kutub di luar kawasan kestabilan.

Mari kita mewakili fungsi yang dikehendaki Wuy(z) sebagai hasil darab tiga faktor:

(1.17)

di mana Θ,П ialah polinomial yang tidak diketahui.

Menggantikan (1.16), (1.17) kepada (1.15), kita dapati

(1.18)

Mari kita takrifkan polinomial yang tidak diketahui Θ dan П sebagai penyelesaian minimum (iaitu, penyelesaian yang darjah polinomial Θ dan П adalah yang terkecil) bagi persamaan polinomial

(1.19)

Kemudian y(t) akan menjadi satu proses tempoh minimum terhingga dengan kemungkinan serentak memastikan kestabilan dan ralat dinamik yang minimum. Menggantikan P dan Θ yang ditemui ke dalam (1.17), kita dapati fungsi yang dikehendaki Wuy(z).

Apabila digunakan bersama-sama dengan kriteria sintesis tambahan yang diterima, sebagai contoh, jumlah ralat kuasa dua minimum, kedua-dua ungkapan (1.17) dan persamaan polinomial (1.19) boleh menjadi lebih rumit dengan ketara, yang, bagaimanapun, bukan bersifat asas. Kaedah ini membolehkan anda mengambil kira sekatan pada bahagian sistem yang tidak boleh diubah dengan sangat tepat, dengan menggunakan radas pengaturcaraan linear. Masalah sintesis statistik juga datang kepada penyelesaian sistem persamaan polinomial. Berhubung dengan masalah sintesis pengawal ACS, kaedah persamaan polinomial mempunyai beberapa kelebihan: kesederhanaan orientasi mesin kaedah, ketiadaan praktikal kesukaran pengiraan dan keupayaan untuk mensintesis sistem yang mempunyai sifat memuaskan set pelbagai keperluan (ekstrem mutlak dicapai untuk salah satu kriteria dengan ekstrem relatif untuk selebihnya). Hasil sintesis ialah fungsi z pemindahan atau persamaan perbezaan setara, yang kemudiannya dilaksanakan pada mikropemproses ACS.

Penyepaduan kaedah algebra dan geometri dalam penyelesaian masalah

Salah satu masalah mendesak pendidikan matematik sekolah pada peringkat sekarang ialah masalah mengintegrasikan pengetahuan matematik, membentuk idea holistik pelajar tentang matematik sebagai sains. Penyelesaian kepada masalah ini amat penting untuk sekolah rendah, di mana dua disiplin matematik dipelajari: algebra dan geometri.

Konsep "integrasi" [lat. integrasi - pemulihan, penambahan; integer - keseluruhan] ditafsirkan sebagai pemulihan, penyatuan kepada keseluruhan mana-mana bahagian atau unsur; sebagai keadaan keterkaitan bahagian yang dibezakan individu menjadi satu keseluruhan, serta proses yang membawa kepada keadaan sedemikian. Dalam pengajaran, integrasi sering difahamkan sebagai pengaruh bersama, interpenetrasi dan saling kaitan kandungan pelbagai disiplin akademik.

Memandangkan dalam pengajaran matematik aktiviti utama pelajar ialah menyelesaikan masalah, adalah dinasihatkan untuk mengintegrasikan algebra dan geometri mengikut garis kaedah mereka. Kaedah algebra (berkaitan dengan matematik asas) ditafsirkan sebagai kaedah yang terdiri daripada penggunaan huruf dan ungkapan huruf, di mana transformasi dibuat mengikut peraturan tertentu. Ia juga dipanggil kaedah pengiraan huruf.

Kaedah geometri dicirikan sebagai kaedah yang datang daripada perwakilan visual. Ciri-ciri penting konsep ini ialah perwakilan geometri (visual) dan undang-undang geometri, yang mencerminkan sifat rajah geometri.

Jika kita mengambil sistem pengetahuan di mana kaedah itu berasaskan sebagai asas untuk pengelasan kaedah algebra dan geometri, kita memperoleh kaedah berikut.

1. Algebra: kaedah transformasi identiti; kaedah persamaan dan ketaksamaan; kaedah berfungsi; kaedah vektor; kaedah koordinat.

2. Geometrik(kami akan menghadkan diri kami kepada planimetri): kaedah panjang; kaedah segi tiga; kaedah garis selari; kaedah hubungan antara sisi dan sudut segitiga; kaedah segiempat; kaedah kawasan; kaedah persamaan segi tiga; kaedah trigonometri (kaedah berdasarkan hubungan antara sisi dan sudut segitiga, dinyatakan melalui fungsi trigonometri); kaedah transformasi geometri; kaedah grafik (walaupun kaedah ini dikaji dalam kursus algebra, ia adalah berdasarkan penggunaan perwakilan geometri fungsi dan undang-undang geometri yang berkaitan).

Kami akan menganggap bahawa setiap kaedah terdiri daripada teknik tertentu, dan setiap teknik terdiri daripada tindakan. Dengan penyepaduan kaedah algebra dan geometri kita akan memahami proses menggabungkan kaedah-kaedah ini atau menghubungkan teknik-tekniknya ke dalam satu kaedah.

Dalam bidang pengajaran penyelesaian masalah, integrasi kaedah melibatkan selari (dalam satu pelajaran) menyelesaikan masalah menggunakan kaedah yang berbeza (algebra dan geometri) atau menyelesaikan masalah algebra menggunakan kaedah geometri, dan masalah geometri menggunakan kaedah algebra. Blok masalah khas, yang merangkumi kedua-dua masalah algebra dan geometri, boleh berfungsi sebagai cara penyepaduan. Mari beri contoh.

darjah 7

Di sini anda boleh menggunakan masalah teks daripada kursus algebra dan masalah geometri yang diselesaikan dengan kaedah persamaan.

Masalah 1. Satu lif mempunyai bijirin dua kali lebih banyak daripada yang lain. 750 tan bijirin telah dibawa keluar dari lif pertama, 350 tan dibawa ke lif kedua, selepas itu terdapat jumlah bijirin yang sama di kedua-dua lif. Berapa banyak bijirin pada mulanya dalam setiap lif?

Untuk menyelesaikan masalah ini kita menggunakan kaedah persamaan dan ketaksamaan daripada algebra dan kaedah panjang daripada geometri, berdasarkan sifat-sifat panjang suatu segmen.

Kaedah algebra. Biarkan x tan bijirin pada mulanya berada di lif kedua, kemudian 2x tan bijirin pada mulanya berada di lif pertama; (2x – 750) tan bijirin kekal di lif pertama, dan (x + 350) tan bijirin kekal di lif kedua. Oleh kerana terdapat jumlah bijirin yang sama dalam kedua-dua lif, kita boleh mencipta persamaan

2x – 750 = x + 350, dari mana x = 1100, 2x = 2 1100 = 2200.

Jawapan: 2200 tan bijirin berada di lif pertama dan 1100 tan pada lif kedua.

Kaedah geometri. Kami menyelesaikan masalah ini menggunakan gambar rajah garis. Gambar rajah garis biasanya merupakan segmen atau beberapa segmen, yang panjangnya sepadan dengan nilai berangka kuantiti yang sedang dipertimbangkan. Kami menyelesaikan masalah secara berperingkat.

peringkat 1. Membina gambar rajah garis. Selepas membaca teks masalah, pelajar membincangkan soalan berikut (bantuan guru boleh).

1. Berapa banyak situasi yang dipertimbangkan dalam masalah?

[Dua: awal dan akhir.]

2. Dalam situasi apakah anda harus mula membina gambar rajah garis?

[Anda boleh mula membina dari situasi pertama dan beralih dari sana ke yang kedua, atau anda boleh
mula-mula bina gambarajah garisan situasi akhir dan beralih daripadanya ke
asal. Mari kita pertimbangkan pilihan pertama untuk membina gambar rajah linear.]

3. Apakah gambarajah garis bagi situasi awal?

[Dua segmen, satu daripadanya dua kali lebih besar daripada yang lain. Segmen pertama menggambarkan
jumlah bijirin dalam lif pertama, dan yang kedua - dalam lif kedua.]

Selepas ini, pelajar membina gambar rajah situasi asal. Perbincangan kemudian diteruskan.

4. Bagaimana untuk bergerak dari situasi pertama ke situasi kedua dalam rajah?

[Ia adalah perlu untuk menolak daripada segmen pertama segmen yang mewakili 750 tan secara konvensional, dan
tambah pada segmen kedua segmen yang mewakili 350 tan.]

5. Adakah segmen ini diambil sewenang-wenangnya?

[Tidak, perlu diambil kira bahawa segmen yang baru diperolehi mesti
sama, kerana terdapat jumlah bijirin yang sama di kedua-dua lif.]

Selepas melakukan operasi dengan segmen, pelajar menerima gambar rajah situasi akhir. Peringkat pertama kerja pada masalah itu berakhir dengan penetapan segmen dan penyediaan nota pada lukisan.

peringkat ke-2. Penyelesaian masalah geometri yang terhasil. Gambarajah linear yang dibina menukarkan masalah algebra kepada geometri, penyelesaiannya berdasarkan penggunaan sifat-sifat panjang segmen, iaitu:

1) segmen yang sama mempunyai panjang yang sama; segmen yang lebih kecil mempunyai panjang yang lebih pendek;
2) jika titik membahagikan segmen kepada dua segmen, maka panjang keseluruhan segmen adalah sama dengan jumlah panjang kedua-dua segmen ini.

Pelajar menulis penyelesaian dalam bahasa geometri menggunakan tatatanda segmen, dan hasilnya diterjemahkan ke dalam bahasa semula jadi. Dalam kes ini, terjemahan ini dijalankan secara automatik kerana pemindahan istilah (peringkat ke-3). Mula-mula, anda harus membuat rekod terperinci penyelesaian, menunjukkan perkara yang diwakili oleh setiap segmen. Secara beransur-ansur anda boleh beralih kepada nota ringkas, kerana beberapa fakta boleh dilihat dalam rajah.

Mari kita berikan rekod terperinci tentang penyelesaian kepada Masalah 1.

Penyelesaian. peringkat 1. Biarkan segmen AB menggambarkan jumlah bijirin dalam lif pertama (Rajah 1), maka segmen itu akan menggambarkan jumlah bijirin dalam lif kedua.

AB = 2CD - taburan awal bijirin antara lif. 750 tan bijirin telah dibawa keluar dari lif pertama, dan 350 tan dibawa ke lif kedua, jadi mari kita tolak segmen BK daripada segmen AB, secara konvensional mewakili 750 tan, dan tambah segmen DE, mewakili 350 tan, kepada segmen CD.

peringkat ke-2. Kaedah I. CD = AF = FB (secara pembinaan),

FB = FK + KB = 350 + 750 = 1100, yang bermaksud CD = 1100, AB = 1100 2 = 2200.

peringkat ke-3. Jawapan: dalam lif pertama terdapat 2200 tan bijirin, dalam 1100 tan kedua.

Pelajar boleh membuat rekod ringkas tentang penyelesaian masalah, contohnya boleh jadi begini.

Penyelesaian. AB = 2CD - pengagihan awal bijirin antara dua lif; BK = 750, DE = 350.

AK = CE - pengedaran akhir bijirin antara lif.

CD = AF = FB (secara pembinaan), FB = 350 + 750 = 1100, kemudian

CD = 1100, AB = 1100 2 = 2200.

Jawapan: 2200 t, 1100 t.

Gambar rajah garis membolehkan anda mencipta pelbagai persamaan untuk masalah yang pelajar tidak boleh tulis tanpa lukisan, iaitu, ia menjadi mungkin untuk menyelesaikan masalah secara algebra dengan cara yang berbeza. Mari kita senaraikan beberapa daripada mereka.

Kaedah II. Biarkan AK = CE = x, maka, kerana AB = 2CD, kita dapat x + 750 = 2(x – 350),

dari mana x = 1450, CD = 1450 – 350 = 1100, AB = 1100 2 = 2200.

Jawapan: 2200 t, 1100 t.

Kaedah III. Biarkan CD = x, kemudian AB = 2x. Oleh kerana AK = CE, kita mempunyai 2x – 750 = x + 350

(persamaan yang sama diperoleh apabila menyelesaikan masalah tanpa gambar rajah.)

Gambar rajah garis bukan sahaja membolehkan anda menyelesaikan masalah tanpa persamaan, tetapi selalunya jawapannya boleh "dilihat" betul-betul dalam lukisan.

Masalah 2. Satu plot taman mempunyai semak raspberi lima kali lebih banyak daripada yang lain. Selepas 22 belukar dipindahkan dari petak pertama ke petak kedua, terdapat bilangan semak raspberi yang sama dalam kedua-dua petak. Berapakah bilangan semak raspberi yang terdapat dalam setiap petak?

Penyelesaian. peringkat 1. Biarkan segmen AB mewakili bilangan semak raspberi dalam bahagian pertama, dan segmen CD mewakili bilangan semak raspberi dalam bahagian kedua (Rajah 2). AB dan 5CD - pengedaran awal semak raspberi antara plot.

Oleh kerana terdapat bilangan semak raspberi yang sama dalam kedua-dua bahagian, kami akan membahagikan segmen BE kepada separuh (BF = FE) dan menolak segmen BF daripada segmen AB, dan menambah segmen DK (DK = BF) kepada segmen CD. AF = CK - pengedaran akhir semak raspberi antara plot.

peringkat ke-2. Mengikut syarat, 22 semak telah dipindahkan dari plot pertama ke yang kedua, yang bermaksud BF = 22 = 2CD, kemudian CD = 11, AB = 5CD = 5 11 = 55.

Jawapan: pada plot pertama terdapat 55 semak raspberi, pada yang kedua terdapat 11 semak.

Salah satu kelebihan menggunakan kaedah geometri semasa menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan ialah kejelasannya. Membina gambar rajah garis dan bergerak dari satu keadaan ke keadaan lain membolehkan pelajar lebih memahami situasi yang diterangkan dalam masalah dan, oleh itu, membantu mencari cara untuk menyelesaikannya. Kadang-kadang jawapannya hampir jelas dalam lukisan, ini memungkinkan untuk menggunakan gambar rajah garis untuk menyemak penyelesaian kepada masalah, yang dilakukan secara algebra tanpa lukisan.

Pada peringkat motivasi membangunkan kaedah geometri, adalah dinasihatkan untuk mencadangkan penyelesaian masalah menggunakan dua kaedah: algebra dan geometri. Masalah harus dipilih sedemikian rupa sehingga penyelesaiannya menggunakan gambar rajah garis adalah lebih rasional berbanding dengan penyelesaian tanpa lukisan. Mari kita berikan contoh penyelesaian salah satu masalah ini.

Masalah 3. Tangki pertama mengandungi empat kali lebih banyak cecair daripada yang kedua. Apabila 10 liter cecair dituangkan dari tangki pertama ke dalam tangki kedua, ternyata tangki kedua mengandungi apa yang tinggal di tangki pertama. Berapa liter cecair dalam setiap tangki pada mulanya?

Penyelesaian. Kaedah algebra. Kami membawa kepada persamaan

di mana x l ialah jumlah awal cecair dalam tangki kedua.

Menyelesaikan persamaan ini, kita dapati x = 10, kemudian

4x = 4 10 = 40.

Jadi, tangki pertama mempunyai 40 liter, dan yang kedua 10 liter.

Kaedah geometri. Mari bina gambar rajah linear taburan awal cecair antara dua tangki. Biarkan segmen AB mewakili jumlah cecair (l) dalam tangki pertama (Rajah 3), kemudian segmen CD akan menggambarkan jumlah cecair (l) dalam tangki kedua (pembinaan boleh dimulakan dari CD segmen). AB = 4CD - pengagihan awal cecair antara dua tangki.

Kami mewakili proses menuang cecair dari satu tangki ke tangki yang lain sebagai menolak segmen tertentu daripada segmen AB dan menambahnya pada segmen CD. Untuk mengetahui panjang segmen yang harus dikurangkan daripada segmen AB, anda perlu perhatikan perkara berikut: dalam tangki pertama dan kedua terdapat 5 bahagian cecair, dan dalam tangki pertama terdapat 4 bahagian, dan dalam tangki pertama. kedua 1 bahagian.

Selepas pemindahan, jumlah cecair (5 bahagian) tidak berubah, tetapi dalam tangki kedua terdapat 2 bahagian, dan dalam 3 bahagian pertama. Ini bermakna daripada segmen AB kita mesti menolak segmen BE (BE = CD), dan menambah segmen DK (DK = BE) kepada segmen CD, kemudian , yang sepadan dengan pemindahan cecair. Oleh itu BE = 10, maka

AB = 40, CD = BE = 10.

Jadi, dalam tangki pertama terdapat 40 liter cecair, dan dalam 10 liter kedua.

Selepas menyelesaikan masalah, anda harus membandingkan kedua-dua kaedah penyelesaian dengan pelajar dan mengenal pasti kelebihan dan kekurangan setiap daripada mereka.

Perlu diingatkan bahawa dengan bantuan gambar rajah linear, masalah diselesaikan di mana nisbah nilai kuantiti diberikan (kurang, lebih, oleh, dalam, sama) dan satu atau lebih situasi dipertimbangkan.

Masalah perkataan di mana satu kuantiti adalah hasil darab dua yang lain membolehkan anda menyepadukan kaedah luas, berdasarkan sifat luas, dan kaedah persamaan dan ketaksamaan. Mari beri contoh.

Masalah 4. Pasukan pembalak setiap hari melebihi norma sebanyak 16 m 3, jadi ia menyelesaikan norma mingguan (enam hari bekerja) dalam empat hari. Berapa meter padu kayu yang dituai oleh pasukan itu setiap hari?

Penyelesaian. Kaedah algebra. Kami tiba di persamaan

di mana x m 3 ialah norma harian pasukan mengikut rancangan.

Kaedah geometri. Oleh kerana masalah itu menganggap hasil darab dua kuantiti (A = pn), untuk kejelasan kami membentangkannya dalam bentuk gambar rajah dua dimensi. Gambar rajah dua dimensi ialah luas satu atau lebih segi empat tepat, sisi yang menggambarkan nilai berangka kuantiti yang dipertimbangkan (p dan n), dan luas segi empat tepat menggambarkan hasil mereka (S). = A).

Penyelesaian kepada masalah, seperti dalam kes rajah linear (satu dimensi), berlaku dalam tiga peringkat:

1) pembinaan gambar rajah dua dimensi, iaitu terjemahan masalah ke dalam bahasa segmen dan kawasan angka;
2) menyelesaikan masalah geometri yang terhasil dengan membina persamaan berdasarkan penggunaan sifat luas bagi rajah poligon;
3) terjemahan jawapan yang diterima daripada bahasa geometri kepada bahasa semula jadi.

peringkat 1. Ia dilaksanakan semasa analisis teks tugasan. Pelajar menjawab soalan berikut.

1. Adakah mungkin untuk membina gambar rajah dua dimensi berdasarkan keadaan masalah?

[Ia mungkin, kerana salah satu kuantiti (norma mingguan briged) adalah sama dengan
hasil dua yang lain: kadar harian briged dan bilangan hari.]

2. Apakah carta 2D?

[Segi empat tepat, salah satu sisinya mentakrifkan
norma harian briged, dan satu lagi ialah bilangan hari.]

3. Berapakah bilangan segi empat tepat yang perlu dibina?

[Dua, kawasan mereka akan menentukan norma mingguan briged
mengikut perancangan dan sebenarnya menyelesaikan kerja dalam empat hari.]

4. Apakah yang anda boleh katakan tentang luas segi empat tepat ini?

[Mereka adalah sama, sejak selesai dalam empat
kerja seharian adalah sama dengan norma mingguan.]

Kemudian pelajar, dengan bantuan guru, menyiapkan pembinaan. Tapak dan ketinggian segi empat tepat pertama diambil secara sewenang-wenangnya, segi empat tepat kedua adalah sama saiznya dengan yang pertama, dan tapaknya ialah segmen yang terletak pada sinar yang sama dengan permulaan yang sama (Rajah 4). Peringkat pertama berakhir dengan penetapan segi empat tepat dan rakaman catatan dalam lukisan.

Pada permulaan pengajaran kaedah geometri, rekod terperinci disimpan tentang maksud panjang, lebar dan luas setiap segi empat tepat, iaitu masalah diterjemahkan ke dalam bahasa geometri.

peringkat ke-2. Peringkat bermula dengan mempertimbangkan kawasan segi empat tepat yang terhasil dan mewujudkan hubungan antara mereka (kesamaan, ketaksamaan). Pelajar ditanya soalan: namakan segi empat tepat dengan luas yang sama. Rekod berikut disimpan:

S ABCD = S AMNK = S, S 1 = S 2, kerana S 1 + S 3 = S 2 + S 3.

Di kalangan pelajar mungkin ada yang menyiapkan lukisan dengan sangat tidak tepat, iaitu dalam lukisan segi empat tepat BMNE dan KECD jelas tidak sama besarnya. Mereka harus menarik perhatian mereka kepada perkara ini dan ambil perhatian bahawa garis KB dan CN mestilah selari.

Dengan menggunakan keadaan S 1 = S 2, satu persamaan disediakan. Mari kita berikan anggaran rakaman penyelesaian kepada masalah 4 menggunakan kaedah geometri.

Penyelesaian. Biarkan S ABCD menentukan kuota mingguan sepasukan pembalak. AB ialah produktiviti (m 3) briged setiap hari mengikut rancangan; AD - bilangan hari; S AMNK - jumlah kerja yang disiapkan oleh pasukan dalam empat hari.

S AMNK = S ABCD = S;

S 1 = S 2, kerana S 1 + S 3 = S 2 + S 3.

S 1 = 2KE, S 2 = 16 4 = 64,

bermakna 2KE = 64, kemudian KE = 32.

AB = KE = 32, AM = AB + BM = 32 + 16 = 48.

Jawapan: briged menuai 48 m 3 kayu setiap hari.

Menggunakan gambar rajah dua dimensi dan hubungan geometri, khususnya luas sama segi empat tepat ABCD dan AMNK, anda boleh membuat persamaan lain. Jika AB = x, maka kita dapat

(persamaan yang sama diperoleh apabila menyelesaikan masalah tanpa lukisan).

Masalah 5. Kilang itu terpaksa memenuhi tempahan untuk pengeluaran kereta dalam masa 15 hari. Tetapi sudah dua hari sebelum tarikh akhir, kilang itu bukan sahaja memenuhi rancangan itu, tetapi juga menghasilkan enam lagi kereta di atas rancangan itu, kerana ia menghasilkan dua kereta melebihi rancangan itu setiap hari. Berapakah bilangan kereta yang sepatutnya dihasilkan oleh kilang itu mengikut rancangan?

Keistimewaan menyelesaikan masalah ini menggunakan kaedah geometri, berbanding dengan menyelesaikan masalah sebelumnya, ialah kawasan S 1 dan S 2 (lihat Rajah 4) tidak sama, kerana mengikut keadaan kilang itu bukan sahaja memenuhi rancangan itu. , tetapi juga mengeluarkan melebihi pelan enam kereta lagi. Pelajar harus mengingati perkara ini semasa membina lukisan dan semasa membuat persamaan.

Penyelesaian. Biarkan AB mewakili pengeluaran loji setiap hari seperti yang dirancang (Rajah 5). AD - tarikh akhir untuk menyiapkan pesanan mengikut rancangan. Kemudian S ABCD menentukan keseluruhan pesanan untuk pengeluaran kereta, AM mewakili bilangan kereta yang dihasilkan oleh kilang setiap hari, AP ialah masa utama pesanan, dan S AMNP sepadan dengan bilangan kereta yang dihasilkan oleh kilang dalam 13 hari.

Mengikut syarat, kilang itu mengeluarkan enam kereta melebihi rancangan, jadi kami ada

S 1 + S 3 + 6 = S 3 + S 2 atau S 1 + 6 = S 2,

tetapi S 2 = 2 13 = 26, oleh itu S 1 + 6 = 26, dari mana S 1 = 20. Sebaliknya, S 1 = 2AB, jadi 2AB = 20, kemudian AB = 10, S ABCD = AB 15 = 10 15 = 150.

Jawapan: kilang itu sepatutnya menghasilkan 150 kereta mengikut rancangan.

Masalah geometri juga boleh berfungsi sebagai cara untuk mengintegrasikan kaedah dalam gred ke-7. Mari beri contoh.

Masalah 6. Titik A membahagikan CD segmen kepada separuh, dan titik B membahagikannya kepada bahagian yang tidak sama rata. Buktikan bahawa luas segi empat tepat dengan dimensi CB dan BD adalah sama dengan beza antara luas segi empat sama dengan sisi AD dan AB

Penyelesaian. Biarkan CD = x, BD = y. Kemudian

Oleh itu, untuk menyelesaikan masalah adalah perlu untuk membuktikan identiti

Seperti yang kita dapat lihat, penyelesaian masalah ini melibatkan kaedah kawasan dan kaedah transformasi identiti.

Masalah 7. AP = PQ = QR = RB = BC, AB = AC (Rajah 7). Cari sudut A.

Penyelesaian. Biarkan P A = x, kemudian P 1 = P A = x. P 2 = 2x (sebagai sudut luar segi tiga APQ), P 4 = P 2 = 2x.

P 3 = 180° – (P 2 + P 4) = 180° – 4x,

P 5 = 180° – (P 1 + P 3) = 3x,

P 6 = P 5 = 3x. P 7 = P B – P 6, tetapi

sebab tu

Oleh kerana P 8 = P C, maka P C + P 8 + P 7 = 2P C + P 7 = 180°, atau

Menyelesaikan persamaan ini, kita dapati bahawa x = 20°.

Jawapan: P A = 20°.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kaedah segitiga dan kaedah persamaan dan ketaksamaan digunakan. Masalah yang sama terdapat dalam buku teks geometri.

1. Teguran am tentang penyelesaian masalah menggunakan kaedah algebra.

2. Tugasan pergerakan.

3. Tugas untuk kerja.

4. Masalah pada campuran dan peratusan.

Menggunakan kaedah algebra untuk mencari cara aritmetik untuk menyelesaikan masalah perkataan.

1. Apabila menyelesaikan masalah menggunakan kaedah algebra, kuantiti yang diperlukan atau kuantiti lain, mengetahui yang mana yang diperlukan boleh ditentukan, dilambangkan dengan huruf (biasanya x, y,z). Semua perhubungan yang saling bebas antara data dan kuantiti yang tidak diketahui, yang sama ada dirumus secara langsung dalam keadaan (dalam bentuk lisan), atau mengikut daripada maksud masalah (contohnya, undang-undang fizik yang tertakluk kepada kuantiti yang dipertimbangkan), atau mengikut. daripada syarat dan beberapa alasan, ditulis dalam bentuk kesamaan ketaksamaan. Dalam kes umum, hubungan ini membentuk beberapa sistem bercampur. Dalam kes tertentu, sistem ini mungkin tidak mengandungi ketaksamaan atau persamaan, atau ia mungkin terdiri daripada hanya satu persamaan atau ketaksamaan.

Menyelesaikan masalah menggunakan kaedah algebra tidak mematuhi mana-mana skema tunggal yang agak universal. Oleh itu, sebarang arahan yang berkaitan dengan semua tugas adalah bersifat umum. Tugas-tugas yang timbul apabila menyelesaikan isu-isu praktikal dan teori mempunyai ciri-ciri individu mereka sendiri. Oleh itu, penyelidikan dan penyelesaian mereka adalah sifat yang paling pelbagai.

Marilah kita memikirkan untuk menyelesaikan masalah yang model matematiknya diberikan oleh persamaan dengan satu yang tidak diketahui.

Mari kita ingat bahawa aktiviti menyelesaikan masalah terdiri daripada empat peringkat. Kerja pada peringkat pertama (analisis kandungan masalah) tidak bergantung pada kaedah penyelesaian yang dipilih dan tidak mempunyai perbezaan asas. Pada peringkat kedua (apabila mencari cara untuk menyelesaikan masalah dan merangka rancangan untuk penyelesaiannya), dalam hal menggunakan kaedah penyelesaian algebra, perkara berikut dijalankan: memilih hubungan utama untuk merangka persamaan; memilih yang tidak diketahui dan memperkenalkan sebutan untuknya; ungkapan kuantiti yang termasuk dalam hubungan asas melalui yang tidak diketahui dan data. Peringkat ketiga (pelaksanaan rancangan untuk menyelesaikan masalah) melibatkan merangka persamaan dan menyelesaikannya. Peringkat keempat (menyemak penyelesaian kepada masalah) dijalankan dengan cara yang standard.

Biasanya apabila mengarang persamaan dengan satu yang tidak diketahui X mematuhi dua peraturan berikut.

peraturan saya . Satu daripada kuantiti ini dinyatakan melalui yang tidak diketahui X dan data lain (iaitu, persamaan disediakan di mana satu bahagian mengandungi nilai tertentu, dan satu lagi mengandungi nilai yang sama, dinyatakan oleh X dan nilai data lain).

peraturan II . Untuk kuantiti yang sama, dua ungkapan algebra disusun, yang kemudiannya disamakan antara satu sama lain.

Secara luaran, nampaknya peraturan pertama lebih mudah daripada yang kedua.

Dalam kes pertama, anda sentiasa perlu mengarang satu ungkapan algebra, dan dalam yang kedua, dua. Walau bagaimanapun, selalunya terdapat masalah di mana ia adalah lebih mudah untuk mengarang dua ungkapan algebra untuk kuantiti yang sama daripada memilih yang sudah diketahui dan mengarang satu ungkapan untuknya.

Proses menyelesaikan masalah perkataan secara algebra dilakukan mengikut algoritma berikut:

1. Pertama, pilih hubungan berdasarkan persamaan yang akan disediakan. Jika masalah mengandungi lebih daripada dua hubungan, maka asas untuk membuat persamaan mesti diambil bahawa hubungan yang mewujudkan beberapa hubungan antara semua yang tidak diketahui.

Kemudian yang tidak diketahui dipilih, yang ditetapkan oleh huruf yang sepadan.

Semua kuantiti yang tidak diketahui termasuk dalam hubungan yang dipilih untuk menyusun persamaan mesti dinyatakan melalui yang tidak diketahui yang dipilih, bergantung pada hubungan yang tinggal termasuk dalam masalah kecuali yang utama.

4. Daripada ketiga-tiga operasi ini, komposisi persamaan mengikuti secara langsung sebagai reka bentuk tatatanda lisan menggunakan simbol matematik.

Tempat pusat di antara operasi yang disenaraikan diduduki oleh pilihan hubungan asas untuk mengarang persamaan. Contoh-contoh yang dipertimbangkan menunjukkan bahawa pilihan hubungan utama adalah penentu apabila mengarang persamaan, membawa susunan logik kepada teks lisan yang kadang-kadang samar-samar masalah, memberikan keyakinan dalam orientasi dan melindungi daripada tindakan tidak senonoh untuk menyatakan semua kuantiti yang termasuk dalam masalah melalui data dan yang dicari.

Kaedah algebra untuk menyelesaikan masalah adalah sangat penting. Dengan bantuannya, mereka menyelesaikan pelbagai masalah dalam bidang teknologi, pertanian, dan kehidupan seharian. Sudah di sekolah menengah, pelajar menggunakan persamaan apabila belajar fizik, kimia dan astronomi. Di mana aritmetik ternyata tidak berkuasa atau, paling baik, memerlukan penaakulan yang sangat rumit, di sana kaedah algebra dengan mudah dan cepat membawa kepada jawapan. Dan walaupun dalam apa yang dipanggil masalah aritmetik "standard", yang agak mudah untuk menyelesaikan aritmetik, penyelesaian algebra, sebagai peraturan, adalah lebih pendek dan lebih semula jadi.

Kaedah algebra untuk menyelesaikan masalah memudahkan untuk menunjukkan bahawa beberapa masalah, berbeza antara satu sama lain hanya dalam plot, bukan sahaja mempunyai hubungan yang sama antara data dan kuantiti yang diperlukan, tetapi juga membawa kepada penaakulan tipikal yang melaluinya hubungan ini diwujudkan. . Masalah sebegini hanya memberikan tafsiran khusus yang berbeza tentang penaakulan matematik yang sama, hubungan yang sama, iaitu, mereka mempunyai model matematik yang sama.

2. Kumpulan masalah gerakan termasuk masalah yang bercakap tentang tiga kuantiti: laluan (s), kelajuan ( v) dan masa ( t). Sebagai peraturan, mereka berurusan dengan gerakan rectilinear seragam, apabila kelajuan malar dalam magnitud dan arah. Dalam kes ini, ketiga-tiga kuantiti dikaitkan dengan hubungan berikut: S = vt. Sebagai contoh, jika kelajuan penunggang basikal ialah 12 km/j, maka dalam 1.5 jam dia akan bergerak 12 km/j  1.5 jam = 18 km. Terdapat masalah di mana gerakan rectilinear dipercepat secara seragam dipertimbangkan, iaitu, gerakan dengan pecutan malar (A). Jarak yang dilalui s dalam kes ini ia dikira dengan formula: S = v 0 t + di 2 /2, di mana v 0 – kelajuan awal pergerakan. Jadi, dalam 10 s jatuh dengan kelajuan awal 5 m/s dan pecutan jatuh bebas 9.8 m 2 / s, jasad akan terbang pada jarak yang sama dengan 5 m/s  10 s + 9.8 m 2 / s  10 2 s 2 /2 = 50 m + 490 m = 540 m.

Seperti yang telah dinyatakan, apabila menyelesaikan masalah perkataan dan, pertama sekali, dalam masalah yang berkaitan dengan pergerakan, sangat berguna untuk membuat lukisan ilustrasi (untuk membina model grafik tambahan masalah). Lukisan hendaklah dibuat sedemikian rupa sehingga ia menunjukkan dinamik pergerakan dengan semua pertemuan, perhentian dan pusingan. Lukisan yang dilukis dengan baik bukan sahaja membolehkan anda memahami dengan lebih baik kandungan masalah, tetapi juga memudahkan penyediaan persamaan dan ketidaksamaan. Contoh lukisan tersebut akan diberikan di bawah.

Biasanya, konvensyen berikut diterima pakai dalam masalah pergerakan.

Kecuali dinyatakan secara khusus dalam masalah, pergerakan di kawasan tertentu dianggap seragam (sama ada pergerakan dalam garis lurus atau dalam bulatan).

Putaran badan bergerak dianggap serta-merta, iaitu, ia berlaku tanpa membuang masa; kelajuan juga berubah serta-merta.

Kumpulan masalah ini, seterusnya, boleh dibahagikan kepada tugas yang mempertimbangkan pergerakan badan: 1) ke arah satu sama lain; 2) dalam satu arah ("selepas"); 3) dalam arah yang bertentangan; 4) sepanjang trajektori tertutup; 5) sepanjang sungai.

Jika jarak antara badan adalah sama S, dan kelajuan badan adalah sama v 1 Dan v 2 (Gamb. 16 A), maka apabila jasad bergerak ke arah satu sama lain, masa selepas itu mereka bertemu adalah sama dengan S/(v 1 + v 2).

2. Jika jarak antara jasad adalah sama S, dan kelajuan badan adalah sama v 1 dan v 2 (Gamb. 16 b), kemudian apabila jasad bergerak ke satu arah ( v 1 > v 2) masa selepas badan pertama akan mengejar yang kedua adalah sama dengan S/(v 1 – v 2).

3. Jika jarak antara jasad adalah sama S, dan kelajuan badan adalah sama v 1 dan v 2 (Gamb. 16 V), kemudian, setelah bertolak serentak dalam arah yang bertentangan, mayat akan berada selepas masa t berada pada jarak yang jauh S 1 = S + (v 1 + v 2 ) t.

nasi. 16

4. Jika jasad bergerak ke satu arah sepanjang laluan tertutup yang panjangnya s dengan kelajuan v 1 dan v 2, masa selepas mayat akan bertemu semula (satu badan akan mengejar yang lain), bermula serentak dari satu titik, ditemui oleh formula t = S/(v 1 – v 2) dengan syarat v 1 > v 2 .

Ini berikutan fakta bahawa apabila secara serentak bermula sepanjang trajektori tertutup dalam satu arah, badan yang kelajuannya lebih besar mula mengejar badan yang kelajuannya kurang. Kali pertama ia mengejarnya, setelah menempuh jarak sejauh S lebih besar daripada badan lain. Jika ia memintasnya kali kedua, ketiga dan seterusnya, ini bermakna ia meliputi jarak 2 S, oleh 3 S dan seterusnya lebih besar daripada badan lain.

Jika jasad bergerak ke arah yang berbeza di sepanjang laluan tertutup panjangnya S dengan kelajuan v 1 dan v 2, masa selepas itu mereka akan bertemu, berlepas serentak dari satu titik, ditemui oleh formula t = v(v 1 + v 2). Dalam kes ini, sejurus selepas permulaan pergerakan, situasi timbul apabila badan mula bergerak ke arah satu sama lain.

5. Jika jasad bergerak dengan aliran sungai, maka kelajuannya berbanding dengan pantai Dan terdiri daripada kelajuan jasad dalam air pegun v dan kelajuan aliran sungai w: dan =v + w. Jika jasad bergerak melawan aliran sungai, maka kelajuannya dan =v – w. Contohnya, jika kelajuan bot v= 12 km/j, dan kelajuan aliran sungai w = 3 km/j, kemudian dalam 3 jam bot akan belayar di sepanjang aliran sungai (12 km/j + 3 km/j)  3 jam = 45 km, dan melawan arus – ​​(12 km/j – 3 km/j)  3 jam = 27 km. Adalah dipercayai bahawa kelajuan objek yang mempunyai kelajuan sifar pergerakan dalam air pegun (rakit, balak, dll.) adalah sama dengan kelajuan aliran sungai.

Mari lihat beberapa contoh.

Contoh.Dari satu titik ke satu arah setiap 20 minit. kereta pergi. Kereta kedua bergerak pada kelajuan 60 km/j, dan kelajuan kereta pertama adalah 50% lebih besar daripada kelajuan kedua. Cari kelajuan kereta ketiga jika diketahui ia memotong kereta pertama 5.5 jam kemudian daripada kereta kedua.

Penyelesaian. Biarkan x km/j ialah kelajuan kereta ketiga. Kelajuan kereta pertama adalah 50% lebih besar daripada kelajuan kedua, yang bermaksud ia sama dengan

Apabila bergerak ke satu arah, masa pertemuan didapati sebagai nisbah jarak antara objek kepada perbezaan kelajuannya. Kereta pertama dalam 40 minit. (2/3 j) akan bergerak 90  (2/3) = 60 km. Oleh itu, yang ketiga akan mengejarnya (mereka akan bertemu) dalam 60/( X– 90) jam. Yang kedua dalam 20 minit. (1/3 jam) akan bergerak 60  (1/3) = 20 km. Ini bermakna yang ketiga akan mengejarnya (mereka akan bertemu) dalam 20/( X– 60) jam (Gamb. 17).

P
tentang keadaan masalah

nasi. 17

Selepas penjelmaan mudah, kita memperoleh persamaan kuadratik 11x 2 – 1730x + 63000 = 0, penyelesaian yang akan kita dapati

Semakan menunjukkan bahawa punca kedua tidak memenuhi syarat masalah, kerana dalam kes ini kereta ketiga tidak akan mengejar kereta lain. Jawapan: kelajuan kereta ketiga ialah 100 km/j.

Contoh Kapal bermotor itu bergerak di sepanjang sungai sejauh 96 km, kembali ke belakang dan berdiri selama beberapa waktu di bawah muatan, menghabiskan 32 jam kelajuan sungai adalah 2 km/j. Tentukan kelajuan kapal di dalam air tenang jika masa memuatkan ialah 37.5% daripada masa yang dihabiskan untuk keseluruhan perjalanan pergi dan balik.

Penyelesaian. Biarkan x km/j ialah kelajuan kapal di dalam air pegun. Kemudian ( X+ 2) km/j – kelajuannya sepanjang arus; (X - 2) km/j – melawan arus; 96/( X+ 2) h – masa pergerakan dengan arus; 96/( X– 2) h – masa pergerakan melawan arus. Oleh kerana 37.5% daripada jumlah masa kapal sedang dimuatkan, masa perjalanan bersih ialah 62.5%  32/100% = 20 (jam). Oleh itu, mengikut syarat masalah, kita mempunyai persamaan:

Mengubahnya, kita dapat: 24( X – 2 + X + 2) = 5(X + 2)(X – 2) => 5X 2 – 4X– 20 = 0. Setelah menyelesaikan persamaan kuadratik, kita dapati: X 1 = 10; X 2 = -0.4. Akar kedua tidak memenuhi syarat masalah.

Jawapan: 10 km/j ialah kelajuan kapal di dalam air yang tenang.

Contoh. Kereta itu dipandu keluar dari bandar A ke bandar C melalui bandar DALAM tanpa henti. Jarak AB, bersamaan dengan 120 km, dia bergerak dengan kelajuan tetap 1 jam lebih cepat daripada jarak matahari, sama dengan 90 km. Tentukan kelajuan purata kereta dari bandar A ke bandar C, jika diketahui bahawa kelajuan pada bahagian AB 30 km/j lebih laju pada bahagian tersebut Matahari.

Penyelesaian. biarlah X km/j – kelajuan kenderaan pada bahagian Matahari.

Kemudian ( X+ 30) km/j – kelajuan pada bahagian AB, 120/(X+ 30) j, 90/ X h – masa yang diambil oleh kereta untuk menempuh laluan tersebut AB Dan Matahari masing-masing.

Oleh itu, mengikut syarat masalah, kita mempunyai persamaan:

.

Mari kita mengubahnya:

120X+ 1(X + 30)X = 90(X + 30) => X 2 + 60X – 2700 = 0.

Setelah menyelesaikan persamaan kuadratik, kita dapati: X 1 = 30, X 2 = -90. Akar kedua tidak memenuhi syarat masalah. Ini bermakna bahawa kelajuan pada bahagian Matahari sama dengan 30 km/j, pada bahagian AB – 60 km/j. Ia berikutan bahawa jarak AB kereta itu bergerak dalam 2 jam (120 km: 60 km/j = 2 jam), dan jarak Matahari – dalam 3 jam (90 km: 30 km/j = 3 jam), jadi keseluruhan jarak AC dia memandu dalam 5 jam (3 jam + 2 jam = 5 jam). Kemudian kelajuan purata pada bahagian AC, yang panjangnya 210 km bersamaan dengan 210 km: 5 jam = 42 km/j.

Jawapan: 42 km/j - kelajuan purata kereta di tapak AC.

Kumpulan tugas kerja termasuk tugas yang bercakap tentang tiga kuantiti: kerja A, masa t, semasa kerja dijalankan, produktiviti R – kerja yang dilakukan setiap unit masa. Ketiga-tiga kuantiti ini dikaitkan dengan persamaan A = Rt.

Tugas kerja juga termasuk tugas yang berkaitan dengan mengisi dan mengosongkan bekas (kapal, tangki, kolam, dsb.) menggunakan paip, pam dan peranti lain. Dalam kes ini, isipadu air yang dipam dianggap sebagai kerja yang dilakukan.

Masalah kerja, secara amnya, boleh diklasifikasikan sebagai masalah pergerakan, kerana dalam masalah jenis ini kita boleh mengandaikan bahawa semua kerja atau isipadu penuh takungan memainkan peranan jarak, dan prestasi objek yang melakukan kerja adalah serupa dengan kelajuan pergerakan. . Walau bagaimanapun, dari segi plot, tugas-tugas ini secara semula jadi berbeza, dan beberapa tugas kerja mempunyai kaedah penyelesaian khusus mereka sendiri. Oleh itu, dalam tugas-tugas di mana jumlah kerja yang perlu dilakukan tidak dinyatakan, semua kerja diambil sebagai satu. Contoh.

Penyelesaian Dua pasukan terpaksa menyelesaikan pesanan dalam masa 12 hari. Selepas 8 hari bekerja bersama, pasukan pertama menerima satu lagi tugasan, jadi pasukan kedua menyiapkan tempahan untuk 7 hari lagi. Dalam berapa hari setiap pasukan boleh menyelesaikan pesanan, bekerja secara berasingan? X. Biarkan briged pertama menyelesaikan tugas itu hari, briged kedua - untuk y hari. Mari kita ambil semua kerja sebagai satu unit. Kemudian 1/ X - hari, briged kedua - untuk – produktiviti briged pertama, 1/ X + 1/kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/) = 1.

di

8/X+ 15/kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/= 1.

Dari syarat kedua ia mengikuti bahawa pasukan kedua bekerja selama 15 hari, dan yang pertama - hanya 8 hari. Jadi persamaan kedua kelihatan seperti:

Oleh itu, kami mempunyai sistem:

21/hari, briged kedua - untuk = 1 Menolak yang pertama daripada persamaan kedua, kita dapat: 21.

=> y = X + 12/21 = 1 => 12/Kemudian 12/ – = 3/7 => X 28.

x =

Contoh Jawapan: pasukan pertama akan menyelesaikan pesanan dalam 28 hari, dan yang kedua dalam 21 hari. A. Pekerja DALAM dan pekerja A boleh menyiapkan kerja dalam 12 hari, pekerja dan pekerja DENGAN DALAM– dalam masa 9 hari, bekerja

Penyelesaian dan pekerja C – 12 hari. Berapa hari yang mereka perlukan untuk menyelesaikan kerja, bekerja bersama-sama? A. Biarkan pekerja X boleh buat kerja untuk DALAM hari, bekerja kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/– untuk dan pekerja hari, bekerja z hari, bekerja hari. Mari kita ambil semua kerja sebagai satu unit. Kemudian 1/hari, briged kedua - untuk x, 1/ z – dan 1/ produktiviti pekerja Dan dan pekerja masing-masing. Dengan menggunakan keadaan masalah, kita sampai pada sistem persamaan berikut yang dibentangkan dalam jadual.

Jadual 1

Setelah mengubah persamaan, kita mempunyai sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

Menambah persamaan istilah sistem mengikut sebutan, kita dapat:

atau

Jumlahnya ialah produktiviti bersama pekerja, jadi masa mereka menyelesaikan semua kerja adalah sama dengan

Jawapan: 7.2 hari.

Contoh. Terdapat dua paip dipasang ke dalam kolam - bekalan dan pelepasan, dan melalui paip pertama kolam diisi 2 jam lebih lama daripada melalui paip kedua air dituangkan keluar dari kolam. Apabila kolam itu penuh satu pertiga, kedua-dua paip dibuka, dan kolam itu kosong selepas 8 jam Dalam berapa jam kolam boleh diisi melalui paip pertama, dan dalam berapa jam kolam penuh boleh dialirkan melalui paip. paip kedua?

Penyelesaian. biarlah V m 3 – isipadu kolam, X m 3 / j - kapasiti paip bekalan, kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/ m 3 / j - alur keluar. Kemudian V/ x h – masa yang diperlukan untuk paip bekalan mengisi kolam, V/ hari, briged kedua - untuk h – masa yang diperlukan untuk paip keluar mengalirkan kolam. Mengikut keadaan masalah V/ x – V/ hari, briged kedua - untuk = 2.

Oleh kerana kapasiti paip alur keluar lebih besar daripada kapasiti paip pengisian, apabila kedua-dua paip dihidupkan, kolam akan dikeringkan dan satu pertiga daripada kolam akan dikeringkan tepat pada masanya. (V/3)/(hari, briged kedua - untuk – x), yang, mengikut syarat masalah, adalah sama dengan 8 jam Jadi, keadaan masalah boleh ditulis sebagai sistem dua persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.

Dalam masalah yang anda perlu cari V/ x Dan V/ hari, briged kedua - untuk. Marilah kita memilih gabungan yang tidak diketahui dalam persamaan V/ x Dan V/ hari, briged kedua - untuk, menulis sistem dalam bentuk:

Memperkenalkan perkara baru yang tidak diketahui V/ x= a Dan V/ hari, briged kedua - untuk = b, kami mendapat sistem berikut:

Menggantikan ungkapan ke dalam persamaan kedua A= b + 2, kita mempunyai persamaan untuk b:

setelah memutuskan yang mana satu akan kami temui b 1 = 6, b 2 = -8. Syarat masalah dipenuhi oleh punca pertama 6, = 6 (h). Daripada persamaan pertama sistem terakhir kita dapati A= 8 (h), iaitu paip pertama mengisi kolam dalam masa 8 jam.

Jawapan: melalui paip pertama kolam akan diisi dalam masa 8 jam, melalui paip kedua kolam akan dialirkan dalam masa 6 jam.

Contoh. Satu pasukan traktor mesti membajak 240 hektar, dan satu lagi mesti membajak 35% lebih daripada yang pertama. Pasukan pertama, membajak 3 hektar kurang daripada yang kedua setiap hari, menyelesaikan kerja 2 hari lebih awal daripada pasukan kedua. Berapa hektar setiap pasukan membajak setiap hari?

Penyelesaian. Mari cari 35% daripada 240 hektar: 240 hektar  35% /100% = 84 hektar.

Oleh itu, briged kedua terpaksa membajak 240 hektar + 84 hektar = 324 hektar. Biarkan briged pertama membajak setiap hari X ha. Kemudian briged kedua membajak setiap hari ( X+ 3) ha; 240/ X– masa bekerja pasukan pertama; 324/( X+ 3) – masa kerja pasukan kedua. Mengikut syarat masalah, pasukan pertama menyelesaikan kerja 2 hari lebih awal daripada yang kedua, jadi kita mempunyai persamaan

yang selepas transformasi boleh ditulis seperti ini:

324X – 240hari. Mari kita ambil semua kerja sebagai satu unit. Kemudian 1/ 720 = 2x 2 + 6x=> 2x 2 – 78x + 720 = 0 => x 2 – 39x + 360 = 0.

Setelah menyelesaikan persamaan kuadratik, kita dapati x 1 = 24, x 2 = 15. Ini adalah norma briged pertama.

Akibatnya, pasukan kedua membajak 27 hektar dan 18 hektar setiap hari, masing-masing. Kedua-dua penyelesaian memenuhi syarat masalah.

Jawapan: 24 hektar sehari dibajak oleh briged pertama, 27 hektar oleh briged kedua;

Contoh 15 hektar sehari dibajak oleh pasukan pertama, 18 hektar oleh pasukan kedua.

Penyelesaian. biarlah X. Pada bulan Mei, dua bengkel menghasilkan 1,080 bahagian. Pada bulan Jun, bengkel pertama meningkatkan pengeluaran bahagian sebanyak 15%, dan bengkel kedua meningkatkan pengeluaran bahagian sebanyak 12%, jadi kedua-dua bengkel menghasilkan 1224 bahagian. Berapakah bahagian yang dihasilkan oleh setiap bengkel pada bulan Jun? kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/ Bengkel pertama menghasilkan bahagian pada bulan Mei, x + hari, briged kedua - untuk = 1080.

butiran - yang kedua. Oleh kerana 1080 bahagian telah dikeluarkan pada bulan Mei, mengikut syarat masalah kami mempunyai persamaan X:

Mari cari 15% daripada X Jadi, pada 0.15 bahagian, bengkel pertama meningkatkan pengeluaran pengeluarannya, oleh itu, pada bulan Jun ia dihasilkan 0,15 X = 1,15 x x + hari, briged kedua - untuk butiran. Begitu juga, kami dapati bengkel kedua pada bulan Jun menghasilkan 1.12 x + 1,12 kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/ butiran. Ini bermakna bahawa persamaan kedua akan kelihatan seperti: 1.15

= 1224. Oleh itu, kita mempunyai sistem: dari mana kita dapati 480, x = y =

600. Akibatnya, pada bulan Jun bengkel menghasilkan 552 bahagian dan 672 bahagian, masing-masing.

4. Jawapan: bengkel pertama menghasilkan 552 bahagian, yang kedua - 672 bahagian.

Kumpulan masalah pada campuran dan peratusan termasuk masalah yang melibatkan pencampuran pelbagai bahan dalam perkadaran tertentu, serta masalah pada peratusan.

Masalah kepekatan dan peratusan Mari kita jelaskan beberapa konsep. Biar ada campuran n A 1 pelbagai bahan (komponen) 2 , ..., A A n V 1 , V 2 , ..., V A . masing-masing, isipadunya adalah sama V 0 Isipadu campuran V 0 = V 1 + V 2 + ... + V A .

terdiri daripada isipadu komponen tulen: Kepekatan isipadu A bahan (bahan = 1, 2, ..., i p) bahan dalam campuran dipanggil kuantiti c

, dikira dengan formula: bahan (bahan = 1, 2, ..., i Peratusan isipadu bahan A dalam campuran dipanggil kuantiti bahan , hlm dikira dengan formula bahan = r bahan ,  Dengan r 1, 100%. Kepekatan 2 , Dengan A..., Dengan r 1 , yang merupakan kuantiti tanpa dimensi, dikaitkan dengan kesamaan 2 + s A + ... + s

= 1, dan hubungannya

tunjukkan bahagian jumlah isipadu campuran yang terdiri daripada isipadu komponen individu. bahan Jika peratusan diketahui

komponen ke, maka kepekatannya didapati dengan formula: iaitu – Pi bahan bahan ke dalam campuran, dinyatakan sebagai peratusan. Sebagai contoh, jika peratusan bahan ialah 70%, maka kepekatan yang sepadan ialah 0.7. Sebaliknya, jika kepekatannya ialah 0.33, maka peratusannya ialah 33%. Jadi jumlahnya dikira dengan formula 1 + hlm 2 + …+ hlm A = 100%. Jika kepekatan diketahui r 1 , 100%. Kepekatan 2 , ..., r A komponen yang membentuk campuran isipadu ini V 0 , maka isipadu komponen yang sepadan ditemui oleh formula:

Konsep diperkenalkan dengan cara yang sama berat (jisim) conpemusatan komponen campuran dan peratusan yang sepadan. Ia ditakrifkan sebagai nisbah berat (jisim) bahan tulen A bahan , dalam aloi kepada berat (jisim) keseluruhan aloi. Apakah kepekatan, isipadu atau berat, yang dibincangkan dalam masalah tertentu sentiasa jelas daripada keadaannya.

Terdapat masalah di mana adalah perlu untuk mengira semula kepekatan isipadu kepada kepekatan berat atau sebaliknya. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mengetahui ketumpatan (graviti spesifik) komponen yang membentuk larutan atau aloi. Mari kita pertimbangkan, sebagai contoh, campuran dua komponen dengan kepekatan isipadu komponen r 1 Dan r 2 (Dengan 1 , yang merupakan kuantiti tanpa dimensi, dikaitkan dengan kesamaan 2 = 1) dan graviti tentu komponen d 1 Dan d 2 . Jisim campuran boleh didapati menggunakan formula:

di mana V 1 Dan V 2 – isipadu komponen yang membentuk campuran. Kepekatan berat komponen didapati daripada kesamaan:

yang menentukan hubungan kuantiti ini dengan kepekatan isipadu.

Sebagai peraturan, dalam teks masalah sedemikian satu dan keadaan berulang yang sama berlaku: dari dua atau lebih campuran yang mengandungi komponen A 1 , A 2 , A 3 , ..., A A , campuran baru disediakan dengan mencampurkan campuran asal yang diambil dalam bahagian tertentu. Dalam kes ini, adalah perlu untuk mencari dalam hubungan apa komponen A 1, pelbagai bahan (komponen) 2 , A 3 , ..., A A akan dimasukkan ke dalam adunan yang dihasilkan. Untuk menyelesaikan masalah ini, adalah mudah untuk mengambil kira isipadu atau jumlah berat setiap campuran, serta kepekatan komponen konstituennya. A 1, pelbagai bahan (komponen) 2 , A 3 , ..., A A . Menggunakan kepekatan, anda perlu "memecahkan" setiap campuran kepada komponen individu, dan kemudian mencipta campuran baru menggunakan kaedah yang dinyatakan dalam pernyataan masalah. Dalam kes ini, mudah untuk mengira berapa banyak setiap komponen dimasukkan ke dalam campuran yang dihasilkan, serta jumlah keseluruhan campuran ini. Selepas ini, kepekatan komponen ditentukan A 1, pelbagai bahan (komponen) 2 , A 3 , ..., A A dalam campuran baru.

Contoh.Terdapat dua keping aloi kuprum dan zink dengan peratusan kuprum masing-masing 80% dan 30%. Dalam nisbah apakah aloi ini harus diambil untuk mencairkan kepingan yang diambil bersama-sama untuk mendapatkan aloi yang mengandungi 60% kuprum?

Penyelesaian. Biarkan aloi pertama diambil X kg, dan yang kedua - kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/ kg. Mengikut keadaan, kepekatan tembaga dalam aloi pertama ialah 80/100 = 0.8, pada kedua – 30/100 = 0.3 (jelas bahawa kita bercakap tentang kepekatan berat), yang bermaksud bahawa dalam aloi pertama 0.8 X kg kuprum dan (1 – 0.8) X = 0,2X kg zink, dalam kedua - 0.3 kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/ kg kuprum dan (1 – 0.3) hari, briged kedua - untuk = 0,7kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/ kg zink. Jumlah kuprum dalam aloi yang terhasil ialah (0.8  X + 0,3  y) kg, dan jisim aloi ini ialah (x + y) kg. Oleh itu, kepekatan baru kuprum dalam aloi, mengikut definisi, adalah sama dengan

Mengikut keadaan masalah, kepekatan ini harus sama dengan 0.6. Oleh itu, kita mendapat persamaan:

Persamaan ini mengandungi dua yang tidak diketahui X Dan u. Bagaimanapun, mengikut syarat masalah, bukan kuantiti itu sendiri yang perlu ditentukan X Dan y, tetapi hanya sikap mereka. Selepas transformasi mudah kita dapat

Jawapan: aloi perlu diambil dalam nisbah 3: 2.

Contoh Terdapat dua larutan asid sulfurik dalam air: yang pertama ialah 40%, yang kedua ialah 60%. Kedua-dua larutan ini dicampur, selepas itu 5 kg air tulen ditambah untuk mendapatkan larutan 20%. Jika bukannya 5 kg air tulen kita menambah 5 kg larutan 80%, kita akan mendapat penyelesaian 70%. Berapa banyak penyelesaian 40% dan 60% yang ada?

Penyelesaian. biarlah X kg – jisim larutan pertama, kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/ kg - kedua. Kemudian jisim larutan 20% ( X + kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/+ 5) kg. Sejak dalam X kg larutan 40% mengandungi 0.4 X kg asid, dalam kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/ kg larutan 60% mengandungi 0.6 hari, briged kedua - untuk kg asid, dan dalam (x + y + 5) kg larutan 20% mengandungi 0.2( X + y + 5) kg asid, maka dengan syarat kita mempunyai persamaan pertama 0.4 X + 0,6hari, briged kedua - untuk = 0,2(X +y + 5).

Jika bukannya 5 kg air anda menambah 5 kg larutan 80%, anda akan mendapat larutan yang menimbang (x + y+ 5) kg, yang akan mengandungi (0.4 X + 0,6kedua. Oleh kerana dua pasukan mesti melengkapkan pesanan dalam 12 hari, kita mendapat persamaan pertama 12(1/+ 0.8  5) kg asid, iaitu 70% daripada (x + y+ 5) kg.