Cari x0 jika tangen adalah selari. Kalkulator dalam talian

Arahan

Kami menentukan pekali sudut tangen kepada lengkung pada titik M.
Lengkung yang mewakili graf fungsi y = f(x) adalah selanjar dalam kejiranan tertentu titik M (termasuk titik M itu sendiri).

Jika nilai f‘(x0) tidak wujud, maka sama ada tiada tangen, atau ia berjalan secara menegak. Memandangkan perkara ini, kehadiran terbitan fungsi pada titik x0 adalah disebabkan oleh kewujudan tangen bukan menegak kepada graf fungsi pada titik (x0, f(x0)). Dalam kes ini, pekali sudut tangen akan sama dengan f "(x0). Oleh itu, ia menjadi jelas makna geometri terbitan – pengiraan kecerunan tangen.

Cari nilai absis bagi titik tangen, yang dilambangkan dengan huruf “a”. Jika ia bertepatan dengan titik tangen tertentu, maka "a" akan menjadi koordinat-xnya. Tentukan nilai fungsi f(a) dengan menggantikan ke dalam persamaan fungsi nilai absis.

Tentukan terbitan pertama bagi persamaan itu fungsi f’(x) dan gantikan nilai titik “a” ke dalamnya.

ambil persamaan am tangen, yang ditakrifkan sebagai y = f(a) = f (a)(x – a), dan gantikan nilai yang ditemui bagi a, f(a), f "(a) ke dalamnya. Akibatnya, penyelesaian kepada graf dan tangen akan ditemui.

Selesaikan masalah dengan cara yang berbeza jika titik tangen yang diberikan tidak bertepatan dengan titik tangen. Dalam kes ini, adalah perlu untuk menggantikan "a" dan bukannya nombor dalam persamaan tangen. Selepas itu, bukannya huruf "x" dan "y", gantikan nilai koordinat titik yang diberikan. Selesaikan persamaan yang terhasil di mana "a" adalah tidak diketahui. Palamkan nilai yang terhasil ke dalam persamaan tangen.

Tulis persamaan untuk tangen dengan huruf “a” jika penyataan masalah menyatakan persamaan itu fungsi dan persamaan garis selari berbanding tangen yang dikehendaki. Selepas ini kita memerlukan derivatif fungsi, kepada koordinat pada titik “a”. Gantikan nilai yang sesuai ke dalam persamaan tangen dan selesaikan fungsi tersebut.

Tahap pertama

Persamaan tangen kepada graf fungsi. Panduan yang komprehensif (2019)

Adakah anda sudah tahu apa itu derivatif? Jika tidak, baca topik dahulu. Jadi anda katakan anda tahu terbitan. Jom semak sekarang. Cari kenaikan fungsi apabila kenaikan argumen adalah sama dengan. Adakah anda berjaya? Ia sepatutnya berfungsi. Sekarang cari terbitan fungsi pada satu titik. Jawapan: . Terjadi? Jika anda menghadapi sebarang masalah dengan mana-mana contoh ini, saya amat mengesyorkan agar anda kembali kepada topik tersebut dan mengkaji semula. Saya tahu topik itu sangat besar, tetapi jika tidak, tidak ada gunanya pergi lebih jauh. Pertimbangkan graf beberapa fungsi:

Mari kita pilih titik tertentu pada garis graf. Biarkan absisnya, maka ordinatnya sama. Kemudian kita pilih titik dengan abscissa dekat dengan titik; koordinatnya ialah:

Mari kita lukis garis lurus melalui titik-titik ini. Ia dipanggil secant (sama seperti dalam geometri). Mari kita nyatakan sudut kecondongan garis lurus kepada paksi sebagai. Seperti dalam trigonometri, sudut ini diukur dari arah positif paksi-x melawan arah jam. Apakah nilai yang boleh diambil oleh sudut? Tidak kira bagaimana anda mencondongkan garis lurus ini, separuh akan tetap melekat. Oleh itu, sudut maksimum yang mungkin ialah , dan sudut minimum yang mungkin ialah . Bermaksud, . Sudut tidak termasuk, kerana kedudukan garis lurus dalam kes ini betul-betul bertepatan dengan, dan lebih logik untuk memilih sudut yang lebih kecil. Mari kita ambil satu titik dalam rajah supaya garis lurus selari dengan paksi absis dan a ialah paksi ordinat:

Daripada rajah tersebut dapat dilihat bahawa, a. Maka nisbah kenaikan adalah:

(kerana ia adalah segi empat tepat).

Jom kurangkan sekarang. Kemudian titik akan mendekati titik. Apabila ia menjadi sangat kecil, nisbah menjadi sama dengan terbitan fungsi pada titik. Apa yang akan berlaku kepada secant? Titik itu akan menjadi hampir tidak terhingga dengan titik, supaya mereka boleh dianggap sebagai titik yang sama. Tetapi garis lurus yang hanya mempunyai satu titik sepunya dengan lengkung tidak lebih daripada tangen(V dalam kes ini syarat ini dipenuhi hanya di kawasan kecil - berhampiran titik, tetapi ini sudah cukup). Mereka mengatakan bahawa dalam kes ini secant mengambil had kedudukan.

Mari kita panggil sudut kecondongan sekan kepada paksi. Kemudian ia ternyata bahawa terbitan

itu dia terbitan adalah sama dengan tangen sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu.

Oleh kerana tangen ialah garis, mari kita ingat persamaan garis:

Apakah pekali yang bertanggungjawab? Untuk kecerunan garis lurus. Inilah yang dipanggil: cerun. Apakah maksudnya? Dan hakikat bahawa ia adalah sama dengan tangen sudut antara garis lurus dan paksi! Jadi inilah yang berlaku:

Tetapi kami mendapat peraturan ini dengan mempertimbangkan fungsi yang semakin meningkat. Apakah yang akan berubah jika fungsi berkurangan? Mari lihat:
Sekarang sudutnya tumpul. Dan kenaikan fungsi adalah negatif. Mari kita pertimbangkan lagi: . Di sebelah sana, . Kami mendapat: , iaitu, semuanya sama seperti dalam kali terakhir. Mari kita sekali lagi mengarahkan titik ke titik, dan sekan akan mengambil kedudukan mengehadkan, iaitu, ia akan bertukar menjadi tangen kepada graf fungsi pada titik itu. Jadi, mari kita rumuskan peraturan terakhir:
Terbitan fungsi pada titik tertentu adalah sama dengan tangen sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi pada titik ini, atau (yang sama) kecerunan tangen ini:

Itulah yang berlaku makna geometri terbitan. Okay, semua ini menarik, tetapi mengapa kita memerlukannya? Di sini contoh:
Rajah menunjukkan graf bagi suatu fungsi dan tangen kepadanya pada titik absis. Cari nilai terbitan bagi fungsi pada titik itu.
Penyelesaian.
Seperti yang kita ketahui baru-baru ini, nilai terbitan pada titik tangen adalah sama dengan cerun tangen, yang seterusnya sama dengan tangen sudut kecondongan tangen ini kepada paksi absis: . Ini bermakna untuk mencari nilai terbitan kita perlu mencari tangen sudut tangen. Dalam rajah itu kita telah menandakan dua titik yang terletak pada tangen, koordinatnya diketahui oleh kita. Jadi mari kita selesaikannya segi tiga tepat, melalui titik-titik ini, dan cari tangen sudut tangen!

Sudut kecondongan tangen kepada paksi ialah. Mari cari tangen bagi sudut ini: . Oleh itu, terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan.
Jawapan:. Sekarang cuba sendiri:

Jawapan:

Mengetahui makna geometri terbitan, kita boleh menerangkan dengan ringkas peraturan bahawa terbitan pada titik maksimum atau minimum tempatan adalah sama dengan sifar. Sesungguhnya, tangen kepada graf pada titik ini adalah "mendatar", iaitu selari dengan paksi-x:

kenapa sudut adalah sama antara garis selari? Sudah tentu, sifar! Dan tangen sifar juga sama dengan sifar. Jadi derivatif adalah sama dengan sifar:

Baca lebih lanjut mengenai perkara ini dalam topik “Kemonotonan fungsi. Mata melampau."

Sekarang mari kita fokus pada tangen sewenang-wenangnya. Katakan kita mempunyai beberapa fungsi, sebagai contoh, . Kami telah melukis grafnya dan ingin melukis tangen padanya pada satu ketika. Sebagai contoh, pada satu titik. Kami mengambil pembaris, lampirkan pada graf dan lukis:

Apa yang kita tahu tentang baris ini? Apakah perkara yang paling penting untuk diketahui tentang direct to satah koordinat? Oleh kerana garis lurus adalah imej fungsi linear, adalah sangat mudah untuk mengetahui persamaannya. Iaitu, pekali dalam persamaan

Tetapi kita sudah tahu! Ini ialah cerun tangen, yang sama dengan terbitan fungsi pada titik itu:

Dalam contoh kami ia akan menjadi seperti ini:

Sekarang yang tinggal hanyalah mencarinya. Ia semudah membedil pear: selepas semua - nilai. Secara grafik, ini ialah koordinat persilangan garis dengan paksi ordinat (lagipun, di semua titik paksi):

Mari kita lukiskannya (jadi segi empat tepat). Kemudian (ke sudut yang sama antara tangen dan paksi-x). Apakah dan sama dengan? Rajah tersebut jelas menunjukkan bahawa, a. Kemudian kita dapat:

Kami menggabungkan semua formula yang diperoleh ke dalam persamaan garis lurus:

Sekarang tentukan sendiri:

Cari persamaan tangen kepada fungsi pada satu titik.
Tangen kepada parabola memotong paksi pada sudut. Cari persamaan tangen ini.
Garis itu selari dengan tangen kepada graf fungsi. Cari absis bagi titik tangen.
Garis itu selari dengan tangen kepada graf fungsi. Cari absis bagi titik tangen.

Penyelesaian dan jawapan:

PERSAMAAN TANGENT KEPADA GRAF FUNGSI. HURAIAN RINGKAS DAN FORMULA ASAS

Terbitan fungsi pada titik tertentu adalah sama dengan tangen tangen kepada graf fungsi pada titik ini, atau cerun tangen ini:

Persamaan tangen kepada graf fungsi pada suatu titik:

Algoritma untuk mencari persamaan tangen:

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, ini bermakna anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5% ini!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah memahami teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi...

Untuk apa?

Untuk berjaya disiapkan Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk kemasukan ke kolej mengikut bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak lagi yang terbuka di hadapan mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada yang lain dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dan akhirnya... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MENYELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Anda tidak akan diminta untuk teori semasa peperiksaan.

Anda perlu menyelesaikan masalah melawan masa.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak mempunyai masa.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulanginya berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu, semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (pilihan) dan kami, sudah tentu, mengesyorkannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

Buka kunci semua tugas tersembunyi dalam artikel ini - 299 gosok.
Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel buku teks - 999 gosok.

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks kami dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Dalam kes kedua kami akan memberi anda simulator "6000 masalah dengan penyelesaian dan jawapan, untuk setiap topik, pada semua peringkat kerumitan." Ia pasti akan mencukupi untuk menyelesaikan masalah pada mana-mana topik.

Malah, ia lebih daripada sekadar simulator - keseluruhan program persiapan. Jika perlu, anda juga boleh menggunakannya secara PERCUMA.

Akses kepada semua teks dan program disediakan untuk KESELURUHAN tempoh kewujudan tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti pada teori.

"Difahamkan" dan "Saya boleh selesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

ini program matematik mencari persamaan tangen kepada graf fungsi $f(x)$ pada titik yang ditentukan pengguna $a$.

Program ini bukan sahaja memaparkan persamaan tangen, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian masalah.

Kalkulator dalam talian ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah Menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyiapkan kerja rumah matematik atau algebra anda secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan anda sendiri. adik-adik lelaki atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.

Jika anda perlu mencari derivatif fungsi, maka untuk ini kita mempunyai tugas Cari derivatif.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasuki fungsi, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Masukkan ungkapan fungsi $f(x)$ dan nombor $a$ Cari persamaan tangen

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Cerun langsung

Ingat bahawa graf bagi fungsi linear $y=kx+b$ ialah garis lurus. Nombor $k=tg \alpha $ dipanggil kecerunan garis lurus, dan sudut $\alpha $ ialah sudut antara garis ini dan paksi Lembu

Jika $k>0$, maka \(0 Jika \(kPersamaan tangen kepada graf fungsi

Jika titik M(a; f(a)) tergolong dalam graf fungsi y = f(x) dan jika pada titik ini tangen boleh dilukis pada graf fungsi, bukan berserenjang dengan paksi abscissa, maka daripada makna geometri terbitan ia mengikuti bahawa pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(a). Seterusnya, kita akan membangunkan algoritma untuk menyusun persamaan tangen kepada graf mana-mana fungsi.

Biarkan fungsi y = f(x) dan titik M(a; f(a)) diberikan pada graf fungsi ini; hendaklah diketahui bahawa f"(a) wujud. Mari kita cipta persamaan untuk tangen kepada graf fungsi yang diberikan V titik yang diberikan. Persamaan ini, seperti persamaan mana-mana garis lurus, bukan paksi selari ordinat mempunyai bentuk y = kx + b, jadi tugasnya adalah untuk mencari nilai pekali k dan b.

Semuanya jelas dengan pekali sudut k: diketahui bahawa k = f"(a). Untuk mengira nilai b, kita menggunakan fakta bahawa garis lurus yang dikehendaki melalui titik M(a; f(a)) Ini bermakna jika kita menggantikan koordinat titik M ke dalam persamaan garis lurus, kita memperoleh kesamaan yang betul: $f(a)=ka+b$, iaitu $b = f(a) - ka$.

Ia kekal untuk menggantikan nilai yang ditemui bagi pekali k dan b ke dalam persamaan garis lurus:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a)$$

Kami telah menerima persamaan tangen kepada graf fungsi$y = f(x) $ pada titik $x=a $.

Algoritma untuk mencari persamaan tangen kepada graf fungsi $y=f(x)$
1. Tentukan absis titik tangen dengan huruf $a$
2. Kira $f(a)$
3. Cari $f"(x)$ dan hitung $f"(a)$
4. Gantikan nombor yang ditemui $a, f(a), f"(a) $ ke dalam formula $y=f(a)+ f"(a)(x-a) $

Buku (buku teks) Abstrak Peperiksaan Negeri Bersatu dan ujian Peperiksaan Negeri Bersatu dalam talian Permainan, teka-teki Mencatat graf fungsi Kamus ejaan bahasa Rusia Kamus slanga belia Katalog sekolah Rusia Katalog institusi pendidikan menengah Rusia Katalog universiti Rusia Senarai masalah Mencari GCD dan LCM Mempermudahkan polinomial (pendaraban polinomial)

Belakang ke hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat kerja ini, sila muat turun versi penuh.

Jenis pelajaran: mempelajari bahan baharu.

Kaedah pengajaran: visual, carian sebahagiannya.

Tujuan pelajaran:

Perkenalkan konsep tangen kepada graf fungsi pada satu titik, ketahui maksud geometri terbitan itu, terbitkan persamaan tangen dan ajar cara mencarinya untuk fungsi tertentu.
Pembangunan pemikiran logik, kemahiran penyelidikan, pemikiran berfungsi, ucapan matematik.
Membangunkan kemahiran komunikasi di tempat kerja, menggalakkan pembangunan aktiviti bebas pelajar.

peralatan: komputer, projektor multimedia, kertas edaran.

Pelan pembelajaran

sayamengatur masa.
<слайд 2, 3>Menyemak kesediaan murid untuk pelajaran. Nyatakan tema dan moto pelajaran.

IIMengemas kini bahan.
(Aktifkan perhatian, tunjukkan kekurangan pengetahuan tentang tangen, rumuskan matlamat dan objektif pelajaran.)<слайд 5>

Mari kita bincangkan apakah tangen kepada graf fungsi? Adakah anda bersetuju dengan pernyataan bahawa "Tangen ialah garis lurus yang mempunyai satu titik sepunya dengan lengkung tertentu"?
Ada perbincangan sedang berlangsung. Kenyataan kanak-kanak (ya dan mengapa, tidak dan mengapa). Semasa perbincangan kami sampai pada kesimpulan bahawa kenyataan ini tidak betul.

Contoh. <слайд 6>
1) Garis lurus x = 1 mempunyai satu titik sepunya M(1; 1) dengan parabola y = x2, tetapi tidak bertangen kepada parabola. Garis lurus y = 2x – 1 yang melalui titik yang sama adalah tangen kepada parabola ini<рисунок 1>.
2) Begitu juga, garis x = π tidak bertangen kepada graf y = cosx, walaupun ia mempunyai satu titik sepunya K(π; 1). Sebaliknya, garis y = - 1 yang melalui titik yang sama adalah tangen kepada graf, walaupun ia mempunyai banyak titik sepunya yang tak terhingga dalam bentuk

(π+2 πk; 1), dengan k ialah integer, di mana setiap satunya ia menyentuh graf<рисунок 2>.

Gambar 1

Rajah 2

Menetapkan matlamat dan objektif untuk kanak-kanak dalam pelajaran: <слайд 7>ketahui apakah tangen kepada graf fungsi pada satu titik, bagaimana untuk menulis persamaan untuk tangen itu?
Apa yang kita perlukan untuk ini?
Ingat kembali bentuk umum persamaan garis, syarat untuk garis selari, definisi terbitan, peraturan pembezaan.

III Kerja Persediaan untuk mempelajari bahan baru.
Menyoal bahan menggunakan kad: (tugasan diselesaikan di papan tulis)
1 pelajar: isikan jadual terbitan bagi fungsi asas

Pelajar 2: ingat peraturan pembezaan

Pelajar 3: tulis persamaan untuk garis lurus y =kx + 4 melalui titik A(3; -2).
(y = -2x+4)

Murid ke-4: tulis persamaan garis lurus y=3x+b, melalui titik C(4; 2).
(y = 3x – 2).

Dengan selebihnya, kerja depan.<слайд 8>

Nyatakan definisi terbitan.
Manakah antara garisan berikut selari? y = 0.5x; y = - 0.5x; y = - 0.5x + 2. Mengapa?

Teka nama saintis itu<слайд 9>:

Kunci jawapan

Siapa saintis ini dan apa yang berkaitan dengan karyanya, kita akan mengetahui dalam pelajaran seterusnya.
Menyemak jawapan murid menggunakan kad.<слайд 10>

IV Mempelajari bahan baharu.
Untuk menetapkan persamaan garis lurus pada satah, cukup untuk kita mengetahui sudutnya
pekali dan koordinat satu titik.

Mari kita mulakan dengan cerun <слайд 11>

Rajah 3

Pertimbangkan graf bagi fungsi tersebut y =f(x) boleh dibezakan pada titik A (x 0 ,f(x 0)) <рисунок 3>.
Mari kita pilih titik di atasnya M (x 0 + Δх,f(x 0 + Δх)) dan lukiskan secant A.M..
Soalan: apakah pekali sudut bagi sekan? (∆f/∆x=tgβ)

Kami akan mendekati titik di sepanjang lengkok M to the point A. Dalam kes ini garis lurus A.M. akan berputar mengelilingi satu titik A, menghampiri (untuk garisan licin) ke beberapa kedudukan mengehad - garis lurus AT. Dalam kata lain< TAM → 0 если длина АМ → 0. Прямую AT, yang mempunyai sifat ini dipanggil tangen kepada graf fungsi y =f(x) pada titik A(x 0 , f(x 0)). <слайд 12>

Faktor cerun sekan A.M. di A.M.→ 0 cenderung kepada cerun tangen AT Δf/Δx → f "(x 0). Nilai terbitan pada satu titik x 0 Mari kita ambil sudut tangen sebagai pekali sudut. Mereka berkata begitu tangen ialah kedudukan mengehadkan sekan pada ∆x → 0.

Kewujudan terbitan bagi suatu fungsi pada titik x 0 adalah bersamaan dengan kewujudan tangen (bukan menegak) pada titik (x 0 , f(x 0 )) grafik, manakala kecerunan tangen adalah sama dengan f "(x 0). Ini adalah makna geometri terbitan. <слайд 13>

Takrif Tangen: <слайд 14>Tangen kepada graf yang boleh dibezakan pada satu titik x 0 fungsi f ialah garis lurus yang melalui suatu titik (x 0 ,f(x 0)) dan mempunyai cerun f "(x 0).
Mari kita lukis tangen pada graf fungsi y = f(x) pada titik x 1, x 2, x 3,<рисунок 4>dan perhatikan sudut yang terbentuk dengan paksi-x. (Ini ialah sudut yang diukur dalam arah positif dari arah positif paksi ke garis lurus.)

Rajah 4

Kita melihat bahawa sudut α 1 adalah akut, sudut α 3 adalah tumpul, dan sudut α 2 adalah sama dengan sifar, kerana garis lurus l selari dengan paksi Oh. Tangen bagi sudut akut adalah positif, dan tangen bagi sudut tumpul adalah negatif. sebab tu f "(x 1)>0 , f "(x 2) = 0 , f "(x 3)< 0 . <слайд 15, 16>

Mari kita terbitkan persamaan tangen <слайд 17, 18>kepada graf fungsi f pada titik A( x 0 ,f(x 0)).

Pandangan umum persamaan garis y =kx +b.

Jom cari cerun k =f "(x 0), kita mendapatkan y =f "(x0)∙x+b,f(x) =f "(x 0)∙x+b
Jom cari b. b =f(x 0) -f "(x 0)∙x 0.
Mari kita gantikan nilai yang diperolehi k Dan b ke dalam persamaan garis lurus: y = f "(x 0 )∙ x+ f( x 0 ) - f "(x 0 )∙ x 0 atau y = f( x 0 ) + f "(x 0 )( x- x 0 )

Merumuskan bahan kuliah. <слайд 19>

Apakah tangen kepada graf fungsi pada satu titik?
- Apakah maksud geometri bagi terbitan?
- rumuskan algoritma untuk mencari persamaan tangen pada satu titik?

1. Nilai fungsi pada titik sentuhan
2. Terbitan am bagi suatu fungsi
3. Nilai terbitan pada titik tangen
4. Gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan tangen am.

V Penyatuan bahan yang dipelajari.

1. Kerja lisan:
1) <слайд 20>Pada titik manakah pada graf?<рисунок 5>tangen kepadanya
a) mendatar;
b) terbentuk dengan paksi absis sudut tajam;
c) terbentuk dengan paksi-x sudut cakah?
2) <слайд 21>Pada nilai hujah apakah terbitan fungsi, diberikan mengikut jadual <рисунок 6>
a) sama dengan 0;
b) lebih daripada 0;
c) kurang daripada 0?

Rajah 5

Rajah 6

3) <слайд 22>Rajah menunjukkan graf bagi fungsi tersebut f(x) dan tangen kepadanya pada titik absis x 0. Cari nilai terbitan bagi fungsi itu f"(x) pada titik x 0<рисунок 7>.

Rajah 7

2. Kerja bertulis.
No. 253 (a, b), No. 254 (a, b). (kerja lapangan, dengan ulasan)

3. Menyelesaikan masalah sokongan.<слайд 23>
Mari kita lihat empat jenis masalah. Kanak-kanak membaca syarat masalah, mencadangkan algoritma penyelesaian, salah seorang pelajar melukisnya di papan tulis, selebihnya menuliskannya dalam buku nota.
1. Jika titik sentuh ditentukan
Tulis satu persamaan untuk tangen kepada graf fungsi itu f(x) = x 3 – 3x – 1 pada titik M dengan absis –2.
Penyelesaian:

Mari kita hitung nilai fungsi: f(-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3 ;
mari cari terbitan fungsi: f "(x) = 3x 2 – 3;
Mari kita hitung nilai derivatif: f "(-2)= - 9.;
Mari kita gantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan tangen: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Jawapan: y = 9x + 15.

2. Sepanjang ordinat titik tangen.
Tulis persamaan untuk tangen pada satu titik pada graf dengan y-ordinat 0 = 1.
Penyelesaian:

Jawapan: y = –x + 2.

3. Arah yang diberikan.
Tulis persamaan tangen pada graf y = x 3 – 2x + 7, selari dengan garisan y = x.
Penyelesaian.
Tangen yang dikehendaki adalah selari dengan garis y = x. Ini bermakna mereka mempunyai cerun yang sama k = 1, y"(x) = 3x2 – 2. Abscissa x 0 titik tangen memenuhi persamaan 3x 2 – 2 = 1, di mana x 0 = ±1.
Sekarang kita boleh menulis persamaan tangen: y = x + 5 Dan y = x + 9.
Jawapan: y = x + 5, y = x + 9.

4. Syarat tangen antara graf dan garis lurus.
Tugasan. pada apa b lurus y = 0.5x + b adalah tangen kepada graf fungsi f(x) = ?
Penyelesaian.
Ingat bahawa kecerunan tangen ialah nilai terbitan pada titik tangen. Kecerunan garis ini ialah k = 0.5. Dari sini kita mendapat persamaan untuk menentukan absis x titik tangen: f "(x) == 0.5. Jelas sekali, punca satu-satunya ialah –x = 1. Nilai fungsi ini pada titik ini ialah y(1) = 1. Jadi, koordinat titik tangen ialah (1; 1). Sekarang tinggal memilih nilai parameter b di mana garis lurus melalui titik ini, iaitu, koordinat titik memenuhi persamaan garis lurus: 1 = 0.5 1 + b, dari mana b = 0.5.

5. Kerja bebas bersifat pendidikan. <слайд 24>

Kerja dalam pasangan.

Semak: keputusan penyelesaian dimasukkan ke dalam jadual di papan tulis (satu jawapan daripada setiap pasangan), perbincangan tentang jawapan.

6. Mencari sudut persilangan graf fungsi dan garis lurus. <слайд 25>
Sudut persilangan graf fungsi y = f(x) dan lurus l ialah sudut di mana tangen kepada graf fungsi memotong garis pada titik yang sama.
No. 259 (a, b), No. 260 (a) - buka pada papan.

7. Kerja bebas yang bersifat mengawal. <слайд 26>(kerja yang dibezakan, disemak oleh guru untuk pelajaran seterusnya)
Pilihan 1.

Pilihan 2.

Pada titik apakah tangen kepada graf fungsi itu f(x) = 3x 2 - 12x + 7 selari dengan paksi x?
Tulis satu persamaan untuk tangen kepada graf fungsi itu f(x)= x 2 - 4 di absis x 0= - 2. Lengkapkan lukisan.
Ketahui sama ada garisan itu lurus y = 12x – 10 tangen kepada graf fungsi y = 4x 3.

Pilihan 3.

VI Merumuskan pelajaran.<слайд 27>
1. Jawapan kepada soalan
- apakah yang dipanggil tangen kepada graf fungsi pada satu titik?
- Apakah maksud geometri bagi terbitan?
- rumuskan algoritma untuk mencari persamaan tangen pada satu titik?
2. Ingat matlamat dan objektif pelajaran, adakah kita telah mencapai matlamat ini?
3. Apakah kesukaran dalam pelajaran, apakah bahagian pelajaran yang paling anda sukai?
4. Memberi markah untuk pelajaran.
VII Ulasan kerja rumah: perenggan 19 (1, 2), No. 253 (c), No. 255 (d), No. 256 (d), No. 257 (d), No. 259 (d). Sediakan laporan mengenai Leibniz<слайд 28>.

kesusasteraan<слайд 29>

1. Algebra dan permulaan analisis: Buku teks. untuk gred 10-11. pendidikan umum institusi / A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov, Yu.P. Dudnitsyn dan lain-lain; Di bawah. ed. A.N. Kolmogorov. - M.: Pendidikan, 2004.
2. Bahan didaktik mengenai algebra dan prinsip analisis untuk gred 10 / B.M. Ivlev, S.M. Schwartzburd. - M.: Pendidikan, 2003.
3. Cakera multimedia syarikat "1C". 1C: Tutor. Matematik (Bahagian 1) + Pilihan Peperiksaan Negeri Bersatu. 2006.
4. Buka bank tugasan matematik/ http://mathege.ru/

f(x)=
a=