Y = f(x) dan jika pada ketika ini tangen boleh dilukis pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi absis, maka pekali sudut tangen adalah sama dengan f"(a). Kita telah pun digunakan ini beberapa kali Sebagai contoh, dalam § 33 telah ditetapkan bahawa graf bagi fungsi y = sin x (sinusoid) pada asalan membentuk sudut 45° dengan paksi-x (lebih tepat, tangen kepada tangen. graf pada asalan membuat sudut 45° dengan arah positif paksi-x), dan dalam contoh 5 § 33 mata didapati mengikut jadual yang diberikan fungsi, di mana tangen adalah selari dengan paksi-x. Dalam contoh 2 § 33, persamaan telah disediakan untuk tangen kepada graf fungsi y = x 2 pada titik x = 1 (lebih tepat lagi, pada titik (1; 1), tetapi lebih kerap hanya nilai absis adalah ditunjukkan, mempercayai bahawa jika nilai absis diketahui, maka nilai ordinat boleh didapati daripada persamaan y = f(x)). Dalam bahagian ini kita akan membangunkan algoritma untuk mengarang persamaan tangen kepada graf mana-mana fungsi.

Biarkan fungsi y = f(x) dan titik M (a; f(a)) diberikan, dan juga diketahui bahawa f"(a) wujud. Mari kita susun persamaan untuk tangen kepada graf a fungsi yang diberikan pada titik tertentu Persamaan ini adalah seperti persamaan mana-mana garis lurus yang tidak selari dengan paksi ordinat mempunyai bentuk y = kx+m, jadi tugasnya adalah untuk mencari nilai pekali k dan m.

Tiada masalah dengan pekali sudut k: kita tahu bahawa k = f "(a). Untuk mengira nilai m, kita menggunakan fakta bahawa garis lurus yang dikehendaki melalui titik M(a; f (a)) Ini bermakna jika kita menggantikan titik koordinat M ke dalam persamaan garis lurus, kita memperoleh kesamaan yang betul: f(a) = ka+m, dari mana kita dapati bahawa m = f(a) - ka.
Ia kekal untuk menggantikan nilai yang ditemui bagi pekali kit ke dalam persamaan lurus:

Kami telah memperoleh persamaan untuk tangen kepada graf fungsi y = f(x) pada titik x=a.
Jika, katakan,
Menggantikan nilai yang ditemui a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 ke dalam persamaan (1), kita perolehi: y = 1+2(x-f), iaitu y = 2x-1.
Bandingkan keputusan ini dengan yang diperoleh dalam contoh 2 daripada § 33. Sememangnya, perkara yang sama berlaku.
Mari kita buat persamaan untuk tangen kepada graf fungsi y = tan x pada asalan. Kami ada: ini bermakna cos x f"(0) = 1. Menggantikan nilai yang ditemui a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 ke dalam persamaan (1), kita perolehi: y = x.
Itulah sebabnya kita melukis tangentoid dalam § 15 (lihat Rajah 62) melalui asalan koordinat pada sudut 45° kepada paksi absis.
Apabila menyelesaikan contoh yang agak mudah ini, kami sebenarnya menggunakan algoritma tertentu, yang terkandung dalam formula (1). Mari jadikan algoritma ini jelas.

ALGORITMA UNTUK MEMBANGUNKAN PERSAMAAN UNTUK TANGENT KEPADA GRAF FUNGSI y = f(x)

1) Tentukan absis titik tangen dengan huruf a.
2) Kira 1 (a).
3) Cari f"(x) dan hitung f"(a).
4) Gantikan nombor a, f(a), (a) yang ditemui kepada formula (1).

Contoh 1. Tulis satu persamaan untuk tangen kepada graf fungsi pada titik x = 1.
Mari kita gunakan algoritma, dengan mengambil kira bahawa dalam contoh ini

Dalam Rajah. 126 hiperbola digambarkan, garis lurus y = 2 dibina.
Lukisan mengesahkan pengiraan di atas: sesungguhnya, garis y = 2 menyentuh hiperbola pada titik (1; 1).

Jawapan: y = 2- x.
Contoh 2. Lukiskan tangen pada graf fungsi supaya ia selari dengan garis y = 4x - 5.
Mari kita jelaskan rumusan masalah. Keperluan untuk "melukis tangen" biasanya bermaksud "untuk membentuk persamaan untuk tangen." Ini adalah logik, kerana jika seseorang dapat mencipta persamaan untuk tangen, maka dia tidak mungkin menghadapi kesukaran untuk membina garis lurus pada satah koordinat menggunakan persamaannya.
Mari kita gunakan algoritma untuk menyusun persamaan tangen, dengan mengambil kira bahawa dalam contoh ini Tetapi, tidak seperti contoh sebelumnya, terdapat kekaburan: absis titik tangen tidak ditunjukkan secara jelas.
Mari kita mula berfikir seperti ini. Tangen yang dikehendaki mestilah selari dengan garis lurus y = 4x-5. Dua garis adalah selari jika dan hanya jika kecerunannya sama. Ini bermakna pekali sudut tangen mestilah sama dengan pekali sudut garis lurus yang diberikan: Oleh itu, kita boleh mencari nilai a daripada persamaan f"(a) = 4.
Kami ada:
Daripada persamaan Ini bermakna terdapat dua tangen yang memenuhi syarat masalah: satu pada titik dengan absis 2, satu lagi pada titik dengan absis -2.
Sekarang anda boleh mengikuti algoritma.

Contoh 3. Dari titik (0; 1) lukis tangen kepada graf fungsi
Mari kita gunakan algoritma untuk mengarang persamaan tangen, dengan mengambil kira bahawa dalam contoh ini, Ambil perhatian bahawa di sini, seperti dalam contoh 2, absis titik tangen tidak ditunjukkan dengan jelas. Walau bagaimanapun, kami mengikuti algoritma.

Mengikut keadaan, tangen melalui titik (0; 1). Menggantikan nilai x = 0, y = 1 ke dalam persamaan (2), kita perolehi:
Seperti yang anda lihat, dalam contoh ini, hanya pada langkah keempat algoritma kami berjaya mencari absis titik tangen. Menggantikan nilai a =4 ke dalam persamaan (2), kita perolehi:

Dalam Rajah. 127 membentangkan ilustrasi geometri contoh yang dipertimbangkan: graf fungsi diplot

Dalam § 32 kita perhatikan bahawa untuk fungsi y = f(x) yang mempunyai terbitan pada titik tetap x, kesamaan anggaran adalah sah:

Untuk kemudahan penaakulan lanjut, marilah kita menukar tatatanda: bukannya x kita akan menulis a, bukannya kita akan menulis x dan, dengan itu, bukannya kita akan menulis x-a. Kemudian anggaran kesamaan yang ditulis di atas akan berbentuk:

Sekarang lihat rajah. 128. Satu tangen dilukis pada graf fungsi y = f(x) pada titik M (a; f (a)). Titik x ditanda pada paksi-x berhampiran dengan a. Jelaslah bahawa f(x) ialah ordinat bagi graf fungsi pada titik x yang ditentukan. Apakah f(a) + f"(a) (x-a)? Ini ialah ordinat bagi tangen yang sepadan dengan titik x yang sama - lihat formula (1). Apakah maksud kesamaan anggaran (3)? Fakta yang Untuk mengira nilai anggaran fungsi, ambil nilai ordinat tangen.

Contoh 4. Cari nilai anggaran ungkapan berangka 1.02 7.
Kita bercakap tentang mencari nilai fungsi y = x 7 pada titik x = 1.02. Mari kita gunakan formula (3), dengan mengambil kira bahawa dalam contoh ini
Hasilnya kami mendapat:

Jika kita menggunakan kalkulator, kita dapat: 1.02 7 = 1.148685667...
Seperti yang anda lihat, ketepatan anggaran agak boleh diterima.
Jawapan: 1,02 7 =1,14.

A.G. Algebra Mordkovich gred ke-10

Perancangan tematik kalendar dalam matematik, video dalam matematik dalam talian, muat turun Matematik di sekolah

Isi pelajaran nota pelajaran menyokong kaedah pecutan pembentangan pelajaran bingkai teknologi interaktif berlatih tugasan dan latihan bengkel ujian kendiri, latihan, kes, pencarian kerja rumah soalan perbincangan soalan retorik daripada pelajar Ilustrasi audio, klip video dan multimedia gambar, gambar, grafik, jadual, rajah, jenaka, anekdot, jenaka, komik, perumpamaan, pepatah, silang kata, petikan Alat tambah abstrak artikel helah untuk buaian ingin tahu buku teks asas dan kamus tambahan istilah lain Menambah baik buku teks dan pelajaranmembetulkan kesilapan dalam buku teks mengemas kini serpihan dalam buku teks, elemen inovasi dalam pelajaran, menggantikan pengetahuan lapuk dengan yang baharu Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rancangan kalendar untuk tahun cadangan metodologi; Pelajaran Bersepadu

Atur cara matematik ini mencari persamaan tangen kepada graf fungsi \(f(x)\) pada titik yang ditentukan pengguna \(a\).

Program ini bukan sahaja memaparkan persamaan tangen, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian masalah.

Kalkulator dalam talian ini boleh berguna untuk pelajar sekolah menengah di sekolah menengah semasa membuat persediaan untuk ujian dan peperiksaan, semasa menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyiapkan kerja rumah matematik atau algebra anda secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini, anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan adik-adik anda sendiri, manakala tahap pendidikan dalam bidang penyelesaian masalah meningkat.

Jika anda perlu mencari derivatif fungsi, maka untuk ini kami mempunyai tugas Cari derivatif.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasuki fungsi, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Masukkan ungkapan fungsi \(f(x)\) dan nombor \(a\)

f(x)=
a=

Cari persamaan tangen

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Cerun langsung

Ingat bahawa graf bagi fungsi linear \(y=kx+b\) ialah garis lurus. Nombor \(k=tg \alpha \) dipanggil kecerunan garis lurus, dan sudut \(\alpha \) ialah sudut antara garis ini dan paksi Lembu

Jika \(k>0\), maka \(0 Jika \(kPersamaan tangen kepada graf fungsi

Jika titik M(a; f(a)) tergolong dalam graf fungsi y = f(x) dan jika pada titik ini tangen boleh dilukis pada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi-x, maka daripada makna geometri terbitan ia mengikuti bahawa pekali sudut tangen adalah sama dengan f "(a). Seterusnya, kita akan membangunkan satu algoritma untuk menyusun persamaan bagi tangen kepada graf mana-mana fungsi.

Biarkan fungsi y = f(x) dan titik M(a; f(a)) diberikan pada graf fungsi ini; diketahui bahawa f"(a) wujud. Mari kita cipta satu persamaan untuk tangen kepada graf fungsi tertentu pada titik tertentu. Persamaan ini, seperti persamaan mana-mana garis lurus yang tidak selari dengan paksi ordinat, mempunyai bentuk y = kx + b, jadi tugasnya ialah mencari nilai pekali k dan b.

Semuanya jelas dengan pekali sudut k: diketahui bahawa k = f"(a). Untuk mengira nilai b, kita menggunakan fakta bahawa garis lurus yang dikehendaki melalui titik M(a; f(a)) Ini bermakna jika kita menggantikan koordinat titik M ke dalam persamaan garis lurus, kita memperoleh kesamaan yang betul: \(f(a)=ka+b\), iaitu \(b = f(a) - ka\).

Ia kekal untuk menggantikan nilai yang ditemui bagi pekali k dan b ke dalam persamaan garis lurus:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a) $$

Kami telah menerima persamaan tangen kepada graf fungsi\(y = f(x) \) pada titik \(x=a \).

Algoritma untuk mencari persamaan tangen kepada graf fungsi \(y=f(x)\)
1. Tentukan absis titik tangen dengan huruf \(a\)
2. Kira \(f(a)\)
3. Cari \(f"(x)\) dan hitung \(f"(a)\)
4. Gantikan nombor yang ditemui \(a, f(a), f"(a) \) ke dalam formula \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Buku (buku teks) Abstrak Peperiksaan Negeri Bersatu dan ujian Peperiksaan Negeri Bersatu dalam talian Permainan, teka-teki Mencatat graf fungsi Kamus ejaan bahasa Rusia Kamus slanga belia Katalog sekolah Rusia Katalog institusi pendidikan menengah Rusia Katalog universiti Rusia Senarai masalah Mencari GCD dan LCM Mempermudahkan polinomial (pendaraban polinomial)

Arahan

Kami menentukan pekali sudut tangen kepada lengkung pada titik M.
Lengkung yang mewakili graf fungsi y = f(x) adalah selanjar dalam kejiranan tertentu titik M (termasuk titik M itu sendiri).

Jika nilai f‘(x0) tidak wujud, maka sama ada tiada tangen, atau ia berjalan secara menegak. Memandangkan perkara ini, kehadiran terbitan fungsi pada titik x0 adalah disebabkan oleh kewujudan tangen bukan menegak kepada graf fungsi pada titik (x0, f(x0)). Dalam kes ini, pekali sudut tangen akan sama dengan f "(x0). Oleh itu, makna geometri terbitan menjadi jelas - pengiraan pekali sudut tangen.

Cari nilai absis bagi titik tangen, yang dilambangkan dengan huruf “a”. Jika ia bertepatan dengan titik tangen tertentu, maka "a" akan menjadi koordinat-xnya. Tentukan nilai fungsi f(a) dengan menggantikan ke dalam persamaan fungsi nilai absis.

Tentukan terbitan pertama bagi persamaan itu fungsi f’(x) dan gantikan nilai titik “a” ke dalamnya.

Ambil persamaan tangen am, yang ditakrifkan sebagai y = f(a) = f (a)(x – a), dan gantikan nilai yang ditemui a, f(a), f "(a) ke dalamnya. As hasilnya, penyelesaian kepada graf akan ditemui dan tangen.

Selesaikan masalah dengan cara yang berbeza jika titik tangen yang diberikan tidak bertepatan dengan titik tangen. Dalam kes ini, adalah perlu untuk menggantikan "a" dan bukannya nombor dalam persamaan tangen. Selepas itu, bukannya huruf "x" dan "y", gantikan nilai koordinat titik yang diberikan. Selesaikan persamaan yang terhasil di mana "a" adalah tidak diketahui. Palamkan nilai yang terhasil ke dalam persamaan tangen.

Tulis persamaan untuk tangen dengan huruf “a” jika penyataan masalah menyatakan persamaan itu fungsi dan persamaan garis selari berbanding tangen yang dikehendaki. Selepas ini kita memerlukan derivatif fungsi, kepada koordinat pada titik “a”. Gantikan nilai yang sesuai ke dalam persamaan tangen dan selesaikan fungsi tersebut.

Tangen ialah garis lurus , yang menyentuh graf fungsi pada satu titik dan semua titik berada pada jarak terpendek dari graf fungsi. Oleh itu, tangen melepasi tangen kepada graf fungsi pada sudut tertentu, dan beberapa tangen pada sudut yang berbeza tidak boleh melalui titik tangen. Persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi dibina menggunakan derivatif.

Persamaan tangen diperoleh daripada persamaan garis .

Mari kita terbitkan persamaan tangen, dan kemudian persamaan normal kepada graf fungsi.

y = kx + b .

Dalam dia k- pekali sudut.

Dari sini kami mendapat entri berikut:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Nilai terbitan f "(x 0 ) fungsi y = f(x) pada titik x0 sama dengan cerun k= tg φ tangen kepada graf fungsi yang dilukis melalui titik M0 (x 0 , y 0 ) , Di mana y0 = f(x 0 ) . Ini adalah makna geometri terbitan .

Oleh itu, kita boleh menggantikan k pada f "(x 0 ) dan dapatkan yang berikut persamaan tangen kepada graf fungsi :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Dalam masalah yang melibatkan penyusunan persamaan tangen kepada graf fungsi (dan kita akan meneruskannya tidak lama lagi), ia diperlukan untuk mengurangkan persamaan yang diperoleh daripada formula di atas kepada persamaan garis lurus dalam bentuk am. Untuk melakukan ini, anda perlu mengalihkan semua huruf dan nombor ke sebelah kiri persamaan, dan biarkan sifar di sebelah kanan.

Sekarang mengenai persamaan biasa. Biasalah - ini ialah garis lurus yang melalui titik tangen kepada graf fungsi yang berserenjang dengan tangen. Persamaan biasa :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Untuk memanaskan badan, anda diminta untuk menyelesaikan sendiri contoh pertama, dan kemudian melihat penyelesaiannya. Terdapat sebab untuk berharap bahawa tugas ini tidak akan menjadi "mandi sejuk" untuk pembaca kami.

Contoh 0. Buat persamaan tangen dan persamaan normal untuk graf fungsi pada satu titik M (1, 1) .

Contoh 1. Tulis persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi , jika absis adalah tangen.

Mari cari terbitan fungsi:

Sekarang kita mempunyai segala-galanya yang perlu digantikan ke dalam entri yang diberikan dalam bantuan teori untuk mendapatkan persamaan tangen. Kita mendapatkan

Dalam contoh ini, kami bernasib baik: cerun ternyata sifar, jadi tidak perlu mengurangkan persamaan secara berasingan kepada bentuk amnya. Sekarang kita boleh mencipta persamaan biasa:

Dalam rajah di bawah: graf fungsi adalah burgundy, tangen adalah hijau, normal ialah oren.

Contoh seterusnya juga tidak rumit: fungsi, seperti dalam yang sebelumnya, juga polinomial, tetapi cerun tidak akan sama dengan sifar, jadi satu langkah lagi akan ditambah - membawa persamaan ke bentuk umum.

Contoh 2.

Penyelesaian. Mari kita cari ordinat bagi titik tangen:

Mari cari terbitan fungsi:

.

Mari kita cari nilai terbitan pada titik tangen, iaitu, cerun tangen:

Kami menggantikan semua data yang diperolehi ke dalam "formula kosong" dan mendapatkan persamaan tangen:

Kami membawa persamaan ke bentuk amnya (kami mengumpul semua huruf dan nombor selain sifar di sebelah kiri, dan meninggalkan sifar di sebelah kanan):

Kami menyusun persamaan normal:

Contoh 3. Tuliskan persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis ialah titik tangen.

Penyelesaian. Mari kita cari ordinat bagi titik tangen:

Mari cari terbitan fungsi:

.

Mari kita cari nilai terbitan pada titik tangen, iaitu, cerun tangen:

.

Kami mencari persamaan tangen:

Sebelum membawa persamaan kepada bentuk amnya, anda perlu "menyikatnya" sedikit: darab sebutan dengan sebutan dengan 4. Kami melakukan ini dan membawa persamaan kepada bentuk amnya:

Kami menyusun persamaan normal:

Contoh 4. Tuliskan persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis ialah titik tangen.

Penyelesaian. Mari kita cari ordinat bagi titik tangen:

.

Mari cari terbitan fungsi:

Mari kita cari nilai terbitan pada titik tangen, iaitu, cerun tangen:

.

Kami mendapat persamaan tangen:

Kami membawa persamaan ke bentuk amnya:

Kami menyusun persamaan normal:

Kesilapan biasa semasa menulis persamaan tangen dan normal ialah tidak menyedari bahawa fungsi yang diberikan dalam contoh adalah kompleks dan mengira terbitannya sebagai terbitan fungsi mudah. Contoh berikut sudah pun dari fungsi kompleks(pelajaran yang sepadan akan dibuka dalam tetingkap baharu).

Contoh 5. Tuliskan persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis ialah titik tangen.

Penyelesaian. Mari kita cari ordinat bagi titik tangen:

Perhatian! Fungsi ini adalah kompleks, kerana hujah tangen (2 x) itu sendiri adalah fungsi. Oleh itu, kita dapati terbitan fungsi sebagai terbitan bagi fungsi kompleks.

Dalam artikel ini kami akan menganalisis semua jenis masalah untuk dicari

Mari kita ingat makna geometri terbitan: jika tangen dilukis pada graf fungsi pada satu titik, maka pekali cerun tangen (sama dengan tangen sudut antara tangen dan arah positif paksi) adalah sama dengan terbitan fungsi pada titik.

Mari kita ambil titik sewenang-wenangnya pada tangen dengan koordinat:

Dan pertimbangkan segi tiga tepat:

Dalam segi tiga ini

Dari sini

Ini ialah persamaan tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik itu.

Untuk menulis persamaan tangen, kita hanya perlu mengetahui persamaan fungsi dan titik di mana tangen itu dilukis. Kemudian kita boleh mencari dan .

Terdapat tiga jenis utama masalah persamaan tangen.

1. Diberi titik perhubungan

2. Pekali cerun tangen diberikan, iaitu nilai terbitan fungsi pada titik.

3. Diberi ialah koordinat titik yang melaluinya tangen dilukis, tetapi yang bukan titik tangen.

Mari kita lihat setiap jenis tugas.

1 . Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi tersebut pada titik .

.

b) Cari nilai terbitan pada titik . Mula-mula, mari kita cari terbitan bagi fungsi tersebut

Mari kita gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan tangen:

Mari kita buka kurungan di sebelah kanan persamaan. Kita mendapatkan:

Jawapan: .

2. Cari absis bagi titik-titik yang fungsinya adalah tangen kepada graf selari dengan paksi-x.

Jika tangen selari dengan paksi-x, maka sudut antara tangen dan arah positif paksi adalah sifar, oleh itu tangen sudut tangen ialah sifar. Ini bermakna bahawa nilai terbitan fungsi pada titik sentuhan adalah sifar.

a) Cari terbitan bagi fungsi itu .

b) Mari kita samakan terbitan kepada sifar dan cari nilai di mana tangen selari dengan paksi:

Menyamakan setiap faktor kepada sifar, kita dapat:

Jawapan: 0;3;5

3. Tulis persamaan untuk tangen kepada graf fungsi , selari lurus .

Tangen adalah selari dengan garis. Kecerunan garisan ini ialah -1. Oleh kerana tangen adalah selari dengan garis ini, oleh itu, kecerunan tangen juga adalah -1. Itu dia kita tahu kecerunan tangen, dan, dengan itu, nilai terbitan pada titik tangen.

Ini adalah jenis masalah kedua untuk mencari persamaan tangen.

Jadi, kita diberi fungsi dan nilai terbitan pada titik tangen.

a) Cari titik di mana terbitan fungsi itu bersamaan dengan -1.

Pertama, mari kita cari persamaan terbitan.

Mari samakan terbitan dengan nombor -1.

Mari cari nilai fungsi pada titik.

(dengan syarat)

.

b) Cari persamaan tangen kepada graf fungsi pada titik .

Mari cari nilai fungsi pada titik.

(dengan syarat).

Mari kita gantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan tangen:

.

Jawapan:

4 . Tulis persamaan tangen kepada lengkung , melalui satu titik

Mula-mula, mari kita semak sama ada titik itu ialah titik tangen. Jika titik ialah titik tangen, maka ia tergolong dalam graf fungsi, dan koordinatnya mesti memenuhi persamaan fungsi itu. Mari kita gantikan koordinat titik ke dalam persamaan fungsi.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} bukan titik perhubungan.

Ini adalah jenis masalah terakhir untuk mencari persamaan tangen. Perkara pertama kita perlu mencari absis titik tangen.

Mari cari nilainya.

Biar menjadi titik kenalan. Titik tergolong dalam tangen kepada graf fungsi. Jika kita menggantikan koordinat titik ini ke dalam persamaan tangen, kita mendapat kesamaan yang betul:

.

Nilai fungsi pada satu titik ialah .

Mari kita cari nilai terbitan fungsi pada titik itu.

Mula-mula, mari kita cari terbitan bagi fungsi tersebut. ini.

Derivatif pada satu titik adalah sama dengan .

Mari kita gantikan ungkapan untuk dan ke dalam persamaan tangen. Kami mendapat persamaan untuk:

Mari kita selesaikan persamaan ini.

Kurangkan pengangka dan penyebut pecahan dengan 2:

Mari kita bawa bahagian kanan persamaan kepada penyebut sepunya. Kita mendapatkan:

Mari kita permudahkan pengangka bagi pecahan dan darab kedua-dua belah dengan - ungkapan ini lebih besar daripada sifar.

Kami mendapat persamaan

Jom selesaikan. Untuk melakukan ini, mari kita segi empat sama kedua-dua bahagian dan teruskan ke sistem.

Title="delim(lbrace)(matriks(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Mari kita selesaikan persamaan pertama.

Mari kita selesaikan persamaan kuadratik, kita dapat

Punca kedua tidak memenuhi syarat title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Mari kita tulis persamaan tangen kepada lengkung pada titik itu. Untuk melakukan ini, gantikan nilai ke dalam persamaan - Kami sudah merakamnya.

Jawapan:
.