Еден од класични дефиницииКонцептот на „функција“ се смета за дефиниција заснована на кореспонденција. Да претставиме неколку такви дефиниции.
Дефиниција 1
Се нарекува врска во која секоја вредност на независната променлива одговара на една вредност на зависната променлива функција.
Дефиниција 2
Нека се дадени две непразни множества $X$ и $Y$. Се нарекува кореспонденција $f$ што одговара на секој $x\in X$ со еден и само еден $y\in Y$ функција($f:X → Y$).
Дефиниција 3
Нека $M$ и $N$ се две произволни множества на броеви. Се вели дека функцијата $f$ е дефинирана на $M$, земајќи вредности од $N$, ако секој елемент $x\во X$ е поврзан со еден и само еден елемент од $N$.
Преку концептот е дадена следнава дефиниција променлива големина. Променлива количина е величина што е оваа студијадобива различни нумерички вредности.
Дефиниција 4
Нека $M$ е множеството вредности на променливата $x$. Потоа, ако секоја вредност $x\во M$ одговара на една специфична вредност на друга променлива $y$ е функција од вредноста $x$ дефинирана на множеството $M$.
Дефиниција 5
Нека $X$ и $Y$ се некои множества на броеви. Функцијата е збир $f$ од подредени парови на броеви $(x,\ y)$ така што $x\во X$, $y\во Y$ и секој $x$ е вклучен во еден и само еден пар на овој сет, и секој $y$ е во најмалку еден пар.
Дефиниција 6
Секое множество $f=\(\лево(x,\ y\десно)\)$ од подредени парови $\left(x,\ y\десно)$ така што за сите парови $\left(x",\ y" \right)\in f$ и $\left(x"",\ y""\right)\in f$ од условот $y"≠ y""$ следува дека $x"≠x""$ е наречена функција или дисплеј.
Дефиниција 7
Функција $f:X → Y$ е збир од $f$ подредени парови $\лево(x,\ y\десно)\во X\пати Y$ така што за кој било елемент $x\во X$ постои единствен елемент $y\во Y$ така што $\left(x,\ y\right)\in f$, односно функцијата е торка од објекти $\left(f,\ X,\ Y\десно) $.
Во овие дефиниции
$x$ е независна променлива.
$y$ е зависна променлива.
Сите можни вредностиПроменливата $x$ се нарекува домен на функцијата, а сите можни вредности на променливата $y$ се нарекуваат домен на функцијата.
Аналитички метод за одредување на функција
За овој метод ни треба концепт на аналитички израз.
Дефиниција 8
Аналитичкиот израз е производ на сите можни математички операциинад кои било броеви и променливи.
Аналитичкиот начин да се одреди функцијата е да се определи со помош на аналитички израз.
Пример 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Добрите страни:
- Користејќи формули, можеме да ја одредиме вредноста на функцијата за која било одредена вредностпроменлива $x$;
- Функциите дефинирани на овој начин може да се проучуваат со помош на апаратот математичка анализа.
Минуси:
- Ниска видливост.
- Понекогаш треба да направите многу незгодни пресметки.
Табеларен метод за одредување функција
Овој метод на доделување се состои од запишување на вредностите на зависната променлива за неколку вредности на независната променлива. Сето ова е внесено во табелата.
Пример 2
Слика 1.
Плус:За која било вредност на независната променлива $x$, која е внесена во табелата, веднаш се знае соодветната вредност на функцијата $y$.
Минуси:
- Најчесто, не комплетна задачафункции;
- Ниска видливост.
Функцијата е кореспонденција помеѓу елементи од две множества, воспоставена според правилото дека секој елемент од едно множество е поврзан со некој елемент од друго множество.
графикот на функцијата е локусточките на рамнината, чија апсциса (x) и ордината (y) се поврзани со одредената функција:
точка се наоѓа (или се наоѓа) на графикот на функција ако и само ако .
Така, функцијата може соодветно да се опише со нејзиниот график.
Табеларен метод. Прилично вообичаено е да се наведе табела индивидуални вредностиаргумент и нивните соодветни функционални вредности. Овој метод на дефинирање на функција се користи кога доменот на дефиниција на функцијата е дискретно конечно множество.
Со табеларниот метод за одредување на функцијата, можно е приближно да се пресметаат вредностите на функцијата што не се содржани во табелата, што одговараат на средните вредности на аргументот. За да го направите ова, користете го методот на интерполација.
Предностите на табеларниот метод за одредување на функцијата се тоа што овозможува да се одреди едно или друго специфични вредностиведнаш, без дополнителни мерења или пресметки. Меѓутоа, во некои случаи, табелата не ја дефинира целосно функцијата, туку само за некои вредности на аргументот и не дава визуелна претстава за природата на промената во функцијата во зависност од промената на аргументот.
Графички метод. Графикот на функцијата y = f(x) е множество од сите точки на рамнината чии координати ја задоволуваат дадената равенка.
Графичкиот метод за одредување на функцијата не секогаш овозможува точно да се одредат нумеричките вредности на аргументот. Сепак, има голема предност во однос на другите методи - видливост. Во инженерството и физиката, често се користи графички метод за одредување на функцијата, а графикот е единствениот достапен начин за ова.
До графичка задачафункцијата беше сосема точна од математичка гледна точка, неопходно е да се означи точната геометриска конструкција на графикот, која, најчесто, е дадена со равенка. Ова води до следниот начин на одредување на функцијата.
Аналитички метод. Најчесто, законот кој ја воспоставува врската помеѓу аргументот и функцијата се одредува преку формули. Овој метод за одредување функција се нарекува аналитички.
Овој метод овозможува секоја нумеричка вредност на аргументот x да ја најде нејзината соодветна нумеричка вредностфункционира y точно или со одредена точност.
Ако врската помеѓу x и y е дадена со формула решена во однос на y, т.е. има форма y = f(x), тогаш велиме дека функцијата на x е дадена експлицитно.
Ако вредностите x и y се поврзани со некоја равенка од формата F(x,y) = 0, т.е. формулата не е решена за y, што значи дека функцијата y = f(x) е дадена имплицитно.
Функцијата може да се дефинира различни формулина различни областиобласти на вашата задача.
Аналитичкиот метод е најчестиот начин за специфицирање на функциите. Компактност, концизност, способност за пресметување на вредноста на функцијата кога произволна вредностаргумент од доменот на дефиниција, можноста за примена на апаратот за математичка анализа на дадена функција се главните предности на аналитичкиот метод на специфицирање на функцијата. Недостатоците вклучуваат недостаток на видливост, што се компензира со способноста да се изгради графикон и потребата да се вршат понекогаш многу незгодни пресметки.
Вербален метод. Овој метод е тоа функционална зависностизразени со зборови.
Пример 1: функцијата E(x) е цел дел од x. Општо земено, E(x) = [x] го означува најголемиот цел број што не надминува x. Со други зборови, ако x = r + q, каде што r е цел број (може да биде негативен) и q припаѓа на интервалот = r. Функцијата E(x) = [x] е константна на интервалот = r.
Пример 2: функција y = (x) - дропкаброеви. Поточно, y =(x) = x - [x], каде што [x] е цел број од бројот x. Оваа функција е дефинирана за сите x. Ако x - произволен број, потоа прикажувајќи го во форма x = r + q (r = [x]), каде r е цел број, а q лежи во интервалот .
Гледаме дека додавањето n на аргументот x не ја менува вредноста на функцијата.
Најмалиот ненулти број во n е , така што периодот е sin 2x .
Се повикува вредноста на аргументот при која функцијата е еднаква на 0 нула (корен) функции.
Функцијата може да има повеќе нули.
На пример, функцијата y = x (x + 1) (x-3)има три нули: x = 0, x = - 1, x =3.
Геометриски, нулата на функцијата е апсциса на точката на пресек на функционалниот график со оската X .
Слика 7 покажува график на функција со нули: x = a, x = b и x = c.
Ако графикот на функцијата неодредено се приближува до одредена линија додека се оддалечува од потеклото, тогаш оваа линија се нарекува асимптота.
Инверзна функција
Нека е дадена функција y=ƒ(x) со домен на дефиниција D и множество вредности E. Ако секоја вредност yєE одговара на една вредност xєD, тогаш функцијата x=φ(y) се дефинира со домен на дефиниција E и збир на вредности D (види Сл. 102).
Таквата функција φ(y) се нарекува инверзна на функцијата ƒ(x) и се запишува во следната форма: x=j(y)=f -1 (y).Функциите y=ƒ(x) и x=φ(y) се вели дека се меѓусебно инверзни. За да се најде функцијата x=φ(y), инверзна на функцијата y=ƒ (x), доволно е да се реши равенката ƒ(x)=y за x (ако е можно).
1. За функцијата y=2x инверзна функција е функцијата x=y/2;
2. За функцијата y=x2 xє инверзната функција е x=√y; забележете дека за функцијата y=x 2 дефинирана на отсечката [-1; 1], инверзната не постои, бидејќи една вредност на y одговара на две вредности на x (така, ако y = 1/4, тогаш x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Од дефиницијата за инверзна функција произлегува дека функцијата y=ƒ(x) има инверзна ако и само ако функцијата ƒ(x) одредува кореспонденција еден на еден помеѓу множествата D и E. Следи дека било која строго монотона функцијаго има спротивното. Покрај тоа, ако функцијата се зголемува (намалува), тогаш инверзната функција исто така се зголемува (се намалува).
Забележете дека функцијата y=ƒ(x) и нејзината инверзна x=φ(y) се прикажани со иста крива, односно нивните графикони се совпаѓаат. Ако се согласиме дека, како и обично, независната променлива (т.е. аргумент) се означува со x, а зависната со y, тогаш инверзната функција на функцијата y=ƒ(x) ќе биде напишана во форма y=φ( x).
Тоа значи дека точката M 1 (x o;y o) од кривата y=ƒ(x) станува точка M 2 (y o;x o) од кривата y=φ(x). Но точките M 1 и M 2 се симетрични во однос на правата y=x (види Сл. 103). Затоа, графиконите се меѓусебно инверзни функции y=ƒ(x) и y=φ(x) се симетрични во однос на симетралата на првиот и третиот координатен агли.
Нека е дефинирана функцијата y=ƒ(u) на множеството D, а функцијата u= φ(x) на множеството D 1, а за x D 1 соодветната вредност u=φ(x) є D. Тогаш на множеството D 1 функција u=ƒ(φ(x)), која се нарекува сложена функција од x (или суперпозиција одредени функции, или функција на функција).
Променливата u=φ(x) се нарекува среден аргумент на сложена функција.
На пример, функцијата y=sin2x е суперпозиција на две функции y=sinu и u=2x. Комплексната функција може да има неколку посредни аргументи.
4. Основни елементарни функции и нивните графикони.
Следниве функции се нарекуваат главни елементарни функции.
1) Експоненцијална функција y=a x,a>0, a ≠ 1. На сл. Прикажани се 104 графикони експоненцијални функции, соодветните различни причинистепени.
2) Функција на моќност y=x α, αєR. Примери на графикони функции за напојување, соодветните различни индикатористепени дадени на сликите
3) Логаритамска функција y=log a x, a>0,a≠1;графи логаритамски функции, што одговара на различни основи, се прикажани на сл. 106.
4) Тригонометриски функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Графиконите на тригонометриските функции ја имаат формата прикажана на сл. 107.
5) Обратно тригонометриски функции y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. На сл. 108 прикажува графикони на инверзни тригонометриски функции.
Функција дефинирана со една формула составена од основни елементарни функциии константи со користење на конечен број аритметички операции(собирање, одземање, множење, делење) и операциите на земање функција од функција се нарекува елементарна функција.
Примери за елементарни функции се функциите
Примери за неелементарни функции се функциите
5. Поими за граница на низа и функција. Својства на лимитите.
Ограничување на функцијата (гранична вредност на функцијата) во дадена точка, ограничување на доменот на дефиниција на функцијата, е вредноста кон која тежи вредноста на функцијата што се разгледува додека нејзиниот аргумент се стреми кон дадена точка.
Во математиката граница на низатаелементи на метрички простор или тополошки простор е елемент од истиот простор кој има својство да „привлекува“ елементи дадена низа. Границата на низа елементи на тополошки простор е точка таква што секое негово соседство ги содржи сите елементи на низата, почнувајќи од одреден број. Во метрички простор, соседствата се дефинираат преку функцијата растојание, така што концептот на граница е формулиран на јазикот на растојанија. Историски, првиот беше концептот на лимит броена низа, што се јавува во математичката анализа, каде што служи како основа за систем на апроксимации и е широко користен во изградбата на диференцијални и интегрални пресметки.
Ознака:
(читаи: границата на x-n-тата низа додека en се стреми кон бесконечноста е a)
Се нарекува својството на низа што има граница конвергенција: ако низата има граница, тогаш се вели дека дадена низа конвергира; В во спротивно(ако низата нема граница) велат дека низата се разминува. Во просторот Хаусдорф и, особено, метричкиот простор, секоја последователна низа од конвергентна низа конвергира, а нејзината граница се совпаѓа со границата на оригиналната низа. Со други зборови, низа елементи на просторот Хаусдорф не може да има две различни граници. Меѓутоа, може да испадне дека низата нема ограничување, но има некоја потсеквенца (од дадената низа) која има граница. Ако од која било низа точки во просторот може да се идентификува конвергентна потследица, тогаш велиме дека даден просторима својство на секвенцијална компактност (или, едноставно, компактност, ако компактноста е дефинирана исклучиво во смисла на низи).
Концептот на граница на низа е директно поврзан со концептот на гранична точка (множество): ако множеството има гранична точка, тогаш постои низа на елементи од ова множество што се спојуваат до оваа точка.
Дефиниција
Нека се дадени тополошки простор и низа.Тогаш, ако има елемент таков што
каде што е отворено множество што содржи , тогаш тоа се нарекува граница на низата. Ако просторот е метрички, тогаш границата може да се дефинира со помош на метриката: ако има елемент таков што
каде е метриката, таа се нарекува граница.
· Ако просторот е опремен со антидискретна топологија, тогаш границата на која било низа ќе биде кој било елемент од просторот.
6. Граница на функција во точка. Еднострани граници.
Функција на една променлива. Определување на граница на функција во точка според Коши.Број бнаречена граница на функцијата на = ѓ(x) во X, стремејќи се кон А(или во точката А), ако за кој било позитивен број постои таков позитивен број дека за сите x ≠ a, така што | x – а | < , выполняется неравенство
| ѓ(x) – а | < .
Определување на граница на функција во точка според Хајне.Број бнаречена граница на функцијата на = ѓ(x) во X, стремејќи се кон А(или во точката А), ако за која било низа ( x n ), конвергирање на А(со цел за А, има лимитен број А), и по која било вредност n x n ≠ А, последователна ( y n= ѓ(xн)) конвергира во б.
Овие дефиниции претпоставуваат дека функцијата на = ѓ(x) се дефинира во некое соседство на точката А, освен, можеби, самата поента А.
Дефинициите на Коши и Хајн за граница на функција во точка се еквивалентни: ако бројот бслужи како граница за еден од нив, тогаш тоа важи и за вториот.
Наведеното ограничување е означено на следниов начин:
Геометриски, постоењето на граница на функција во точка на Коши значи дека за кој било број > 0 можеме да покажеме на координатна рамнинатаков правоаголник со основа 2 > 0, висина 2 и центар во точката ( А; б) дека сите точки од графикот на дадена функција на интервалот ( А– ; А+ ), со можен исклучок на точката М(А; ѓ(А)), легнете во овој правоаголник
Еднострана границаво математичката анализа, граница на нумеричка функција, што подразбира „приближување“ на граничната точка од едната страна. Ваквите граници се нарекуваат соодветно граница на левата страна(или ограничување налево) И граница на десната рака (ограничување надесно). Нека биде уште некое време нумерички сетдадена нумеричка функцијаа бројот е гранична точка на доменот на дефиниција. Постои различни дефиницииза еднострани граници на функцијата во точката, но сите тие се еквивалентни.
Дозволете ни да направиме голем број објаснувачки забелешки во врска со одредувањето на функцијата со аналитички израз или формула, која игра исклучително важна улога во математичката анализа.
1° Најпрво, кои аналитички операции или дејства можат да бидат вклучени во овие формули? На прво место тука се сите операции кои се проучуваат во елементарната алгебра и тригонометрија: аритметички операции, степенување (и екстракција на коренот), логаритам, премин од агли до нивните тригонометриски вредности и назад [види. под 48 - 51]. Сепак, и ова е важно да се нагласи, како што се развиваат нашите информации за анализа, на нивниот број ќе се додаваат и други операции, пред сè, преминот до границата, со која читателот веќе е запознаен од Поглавје I.
Така, целосна содржинаТерминот „аналитички израз“ или „формула“ ќе се открива само постепено.
2° Втората забелешка се однесува на опсегот на дефинирање на функција со аналитички израз или формула.
Секој аналитички израз кој содржи аргумент x има, така да се каже, природен опсег: ова е збир на сите оние вредности на x за кои го задржува значењето, односно има добро дефинирана, конечна, реална вредност. Ајде да го објасниме ова користејќи едноставни примери.
Значи, за изразот, таков регион ќе биде целото множество реални броеви. За изразување, оваа област ќе се сведе на затворен интервал над кој нејзината вредност престанува да биде реална. Напротив, изразот ќе мора да вклучи отворен интервал како природна област на примена бидејќи на краевите неговиот именител се претвора во 0. Понекогаш опсегот на вредности за кои изразот го задржува своето значење се состои од изолирани интервали: за ова ќе има интервали за - интервали итн.
Како последен примерразгледајте го збирот на бесконечна геометриска прогресија
Ако тогаш, како што знаеме, оваа граница постои и е важна. Кога границата е или еднаква или воопшто не постои. Така, за дадениот аналитички израз, природниот домен на примена би бил отворениот интервал
Во следната презентација ќе треба да ги разгледаме и посложените и поопштите аналитички изрази и повеќе од еднаш ќе ги проучуваме својствата на наведените функции сличен изразво целата област каде што го задржува значењето, односно со проучување на самиот аналитички апарат.
Сепак, можна е и друга состојба на нештата, на која сметаме дека е неопходно однапред да го привлечеме вниманието на читателот. Да замислиме дека некои конкретно прашање, во која променливата x е суштински ограничена со опсегот на варијација на X, доведе до разгледување на функцијата што прифаќа аналитички израз. Иако може да се случи овој израз да има значење надвор од регионот X, се разбира, сè уште е невозможно да се оди подалеку од него. Овде аналитичкиот израз игра подредена, помошна улога.
На пример, ако, истражува слободен падтешка точка од височина над површината на земјата, ќе прибегнеме кон формулата
Би било апсурдно да се земе предвид негативни вредности t или вредностите се поголеми отколку за, како што е лесно да се види, во точката веќе ќе паднедо земјата. И тоа и покрај тоа што самиот израз го задржува значењето за сите реални.
3° Може да се случи функцијата да не се определи со истата формула за сите вредности на аргументот, туку за некои - со една формула, а за други - со друга. Пример за таква функција во интервалот е функцијата дефинирана со следните три формули:
и конечно, ако.
Да ја споменеме и функцијата Дирихле (P. G. Lejeune-Dinchlet), која е дефинирана на следниов начин:
Конечно, заедно со Kronecker (L. Kroneckcf), ќе ја разгледаме функцијата, која тој ја нарече „signum“ и ја означи со
се дава, со други зборови, познато, ако за секоја вредност на можниот број на аргументи може да се дознае соодветната вредност на функцијата. Најчестите три начин за одредување на функција: табеларни, графички, аналитички, постојат и вербални и рекурзивни методи.
1. Табеларен метод најшироко користен (табели на логаритми, квадратни корени), неговата главна предност е можноста за добивање нумеричка вредностфункции, недостатоците се во тоа што табелата може да биде тешка за читање и понекогаш не содржи средни вредности на аргументот.
На пример:
|
x |
||||
|
y |
Аргумент Xги зема вредностите наведени во табелата и насе одредува според овој аргумент X.
2. Графички метод се состои од цртање линија (график) во која апсцисите ги претставуваат вредностите на аргументот, а ординатите ги претставуваат соодветните вредности на функцијата. Често, за јасност, вагите на оските се сметаат за различни.
На пример:да се најде на распоред на, што одговара на x = 2,5потребно е да се нацрта нормално на оската Xна ознаката 2,5 . Ознаката може да се направи сосема прецизно со помош на линијар. Потоа го наоѓаме тоа кај X = 2,5 наеднакви 7,5 , сепак, ако треба да ја најдеме вредноста нана Xеднакви 2,76 , Тоа графички методспецифицирањето на функцијата нема да биде доволно точно, бидејќи Линијарот не дозволува толку прецизни мерења.
Предностите на овој метод на спецификација на функции се леснотијата и интегритетот на перцепцијата, континуитетот на промените во аргументот; Недостаток е намалениот степен на точност и тешкотијата да се добијат точни вредности.
3. Аналитички метод се состои од одредување на функција со една или повеќе формули. Главната предност на овој метод е висока точностодредување на функција од аргументот од интерес, но недостаток е времето потребно за извршување на дополнителни математички операции.
На пример:
Функцијата може да се постави со користење математичка формула y=x2,тогаш ако Xеднакви 2 , Тоа наеднакви 4, градиме Xво квадрат.
4. Вербален метод се состои во специфицирање на функцијата на обичен јазик, т.е. зборови. Во овој случај, неопходно е да се дадат влезни, излезни вредности и кореспонденција меѓу нив.
На пример:
Можете вербално да наведете функција (задача) која е прифатена како природен аргумент Xсо соодветната вредност на збирот на цифрите што ја сочинуваат вредноста на. Да разјасниме: ако Xеднакви 4 , Тоа наеднакви 4 , и ако Xеднакви 358 , Тоа на еднаков на збирот 3 + 5 + 8 , т.е. 16 . Понатаму слично.
5. Рекурзивен начин се состои во специфицирање на функција преку себе, додека функционални вредностисе одредуваат преку неговите други вредности. Овој метод на одредување на функција се користи при одредување множества и серии.
На пример:
При распаѓање Ојлерови броевисе дава со функцијата:
Неговата кратенка е дадена подолу:
На директна пресметкасе јавува бесконечна рекурзија, но може да се докаже дека вредноста f(n)со зголемување nтежнее кон единство (затоа, и покрај бесконечноста на серијата, вредноста Ојлерови броевиСекако). За приближна пресметка на вредноста ддоволно е однапред вештачки да се ограничи до одреден степен длабочината на рекурзијата даден броји кога ќе го достигнете, користете го наместо тоа f(n)единица.
Различни начини на одредување функција Аналитички, графички, табеларни се наједноставните, а со тоа и најпопуларните начини за одредување на функцијата; за нашите потреби, овие методи се сосема доволни. Аналитички графички табеларни Всушност, во математиката има доста на различни начинифункционални задачи и една од нив е вербална, која се користи во многу уникатни ситуации.
Вербален начин на одредување на функција Функцијата може да се определи и вербално, т.е. описно. На пример, таканаречената функција Дирихле е дадена со на следниот начин: функцијата y е еднаква на 0 за сите рационални и 1 за сите ирационални вредностиаргумент x. Таквата функција не може да се одреди со табела, бидејќи е дефинирана на целата нумеричка оска и множеството вредности за неговиот аргумент е бесконечен. Графички оваа функцијаисто така не може да се прецизира. Пронајден е аналитички израз за оваа функција, но тој е толку сложен што нема практично значење. Вербалниот метод дава кратка и јасна дефиниција за тоа.
Пример 1 Функцијата y = f (x) е дефинирана на множеството од сите ненегативни броеви користејќи следното правило: секој број x 0 се доделува на првото децимално место во децимална нотацијаброеви x. Ако, да речеме, x = 2,534, тогаш f(x) = 5 (првото децимално место е бројот 5); ако x = 13,002, тогаш f(x) = 0; ако x = 2/3, тогаш, пишувајќи 2/3 како бесконечна децимална 0,6666..., наоѓаме f(x) = 6. Која е вредноста на f(15)? Тоа е еднакво на 0, бидејќи 15 = 15.000..., и гледаме дека првото децимално место по децималната точка е 0 (во глобала, еднаквоста 15 = 14.999... е вистина, но математичарите се согласиле да не земаат предвид бесконечни периодични децимални дропки со период од 9).
Било кој ненегативен број x може да се напише како децимална дропка (конечна или бесконечна), и затоа за секоја вредност на x можеме да најдеме одреден бројвредности на првото децимално место, така што можеме да зборуваме за функција, иако малку необична. D (ѓ) = . = 2 [" title=" Функција која е дефинирана со условите: f (x) е цел број; f (x) x;x; f + 1 > x,x, цел број од број се нарекува цел број на број D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество од цели броеви) За целобројниот дел од бројот x, користете ја ознаката [ x ] = 2 [" class="link_thumb"> 7 !}Функција која се определува со следните услови: f (x) – цел број; f(x)x;x; f + 1 > x,x, целиот дел од бројот се нарекува цел дел од бројот. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество од цели броеви) За целобројниот дел од бројот x, користете ја ознаката [x]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1 x,x, цел дел од број се нарекува цел дел од број. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество од цели броеви) За целобројниот дел од бројот x, користете ја ознаката [x]. = 2 ["> x,x, целиот дел од бројот се нарекува цел дел од бројот. од бројот x се користи ознаката [ x ] = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1"> x,x, целиот дел од бројот се нарекува цел дел од бројот. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество од цели броеви) За целобројниот дел од бројот x, користете ја ознаката [x]. = 2 [" title=" Функција која е дефинирана со условите: f (x) е цел број; f (x) x;x; f + 1 > x,x, цел број од број се нарекува цел број на број D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество од цели броеви) За целобројниот дел од бројот x, користете ја ознаката [ x ] = 2 ["> title="Функција која се определува со следните услови: f (x) – цел број; f(x)x;x; f + 1 > x,x, целиот дел од бројот се нарекува цел дел од бројот. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество од цели броеви) За целобројниот дел од бројот x, користете ја ознаката [x]. = 2 ["> !}
Од сите горенаведените методиспецифицирањето на функција дава најголеми можности за користење на апаратот за математичка анализа аналитички метод, а nn nn највизуелна е графичката gg. Затоа математичката анализа се заснова на длабока синтеза на аналитички и геометриски методи. Проучувањето на функциите дефинирани аналитички е многу полесно и станува појасно ако паралелно се испитуваат и графиците на овие функции.
X y=x
Одличен математичар- Дирихле Б професор во Берлин, од 1855 година на Универзитетот во Гетинген. Главни работи на теорија на броеви и математичка анализа. Во областа на математичката анализа, Дирихле е првиот кој прецизно го формулирал и истражувал концептот условна конвергенцијасерија, воспостави тест за конвергенција на серија (т.н. Дирихлев тест, 1862 година), даде (1829) ригорозен доказ за можноста за проширување на функцијата која има конечен бројиздигнувања и падови. Значајните дела на Дирихле се посветени на механиката и математичка физика(Принципот на Дирихле во теорија хармонична функција). Дирихле Петер Густав Лежене () германски математичар, странски дописен член. Петербуршката академија на науките (в), член на Лондон Кралско друштво(1855), Париска академија на науките (1854), Берлинска академија на науките. Дирихле бесконечно ја докажал теоремата за постоење голем број примарни броевиво која било аритметичка прогресија на цели броеви, чиј прв член и разлика се меѓусебно прости броеви и го проучувале (1837) законот за распределба на простите броеви во аритметички прогресии, и затоа воведена функционална серија посебен тип(т.н. серија Дирихле).
