Дефинирајте секвенца. Секвенци на броеви

Ако сите природен број n е доделен на некои реален број x n , тогаш велат дека е дадено броена низа

x 1 , x 2 , … x n , …

Број x 1 се нарекува член на низата со број 1 или првиот член од низата, број x 2 - член на низата со број 2 или вториот член на низата итн. Се повикува бројот x n член на низата со број n.

Постојат два начина за одредување низи на броеви - со и со рекурентна формула.

Секвенца со користење формули за општиот член на низата– ова е задача во низа

x 1 , x 2 , … x n , …

користејќи формула која ја изразува зависноста на поимот x n од неговиот број n.

Пример 1. Редоследот на броеви

1, 4, 9, … n 2 , …

дадени со користење на заедничкиот термин формула

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Одредување на низа со помош на формула која изразува член на низата x n преку членовите на низата со претходни броеви се нарекува одредување низа со користење рекурентна формула.

x 1 , x 2 , … x n , …

повикани во зголемена секвенца, повеќепретходен член.

Со други зборови, за сите n

x n + 1 >x n

Пример 3. Низа природни броеви

1, 2, 3, … n, …

е растечка низа.

Дефиниција 2. Низа на броеви

x 1 , x 2 , … x n , …

повикани опаѓачка низаако секој член од оваа низа помалкупретходен член.

Со други зборови, за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето

x n + 1 < x n

Пример 4. Последователија

дадена со формулата

е опаѓачка низа.

Пример 5. Редоследот на броеви

1, - 1, 1, - 1, …

дадена со формулата

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не е ниту се зголемува ниту се намалуваниза.

Дефиниција 3. Се нарекуваат низи со зголемување и намалување монотони секвенци.

Ограничени и неограничени секвенци

Дефиниција 4. Низа на броеви

x 1 , x 2 , … x n , …

повикани ограничени погоре, ако има број M таков што секој член од оваа низа помалкуброеви М.

Со други зборови, за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето

Дефиниција 5. Низа на броеви

x 1 , x 2 , … x n , …

повикани ограничени подолу,ако има број m таков што секој член од оваа низа повеќеброеви m.

Со други зборови, за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето

Дефиниција 6. Низа на броеви

x 1 , x 2 , … x n , …

се нарекува ограничен ако тоа ограничен и горе и долу.

Со други зборови, постојат броеви M и m такви што за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето

м< x n < M

Дефиниција 7. Нумерички низи кои не се ограничени, повикан неограничени секвенци.

Пример 6. Редоследот на броеви

1, 4, 9, … n 2 , …

дадена со формулата

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ограничени подолу, на пример, бројот 0. Меѓутоа, оваа низа неограничено одозгора.

Пример 7. Последователија

дадена со формулата

е ограничена низа , затоа што за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето

На нашата веб-страница можете да се запознаете и со едукативни материјали развиени од наставниците на центарот за обука Резолвента за подготовка за обединет државен испит и обединет државен испит по математика.

За ученици кои сакаат добро да се подготват и да положат Единствен државен испит по математика или руски јазикна висок резултат, Едукативниот центар„Резолвента“ спроведува

подготвителни курсеви за ученици од 10 и 11 одделение

Вида y= ѓ(x), xЗА Н, Каде Н– множество природни броеви (или функција од природен аргумент), означени y=ѓ(n) или y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Вредности y 1 ,y 2 ,y 3 ,… се нарекуваат соодветно први, втори, трети, ... членови на низата.

На пример, за функцијата y= n 2 може да се напише:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Методи за одредување секвенци.Може да се наведат низи различни начини, меѓу кои три се особено важни: аналитички, описен и повторлив.

1. Аналитички се дава низа ако е дадена нејзината формула nти член:

y n=ѓ(n).

Пример. y n= 2n - 1 – низа од непарни броеви: 1, 3, 5, 7, 9,…

2. Описен начин на поставување броена низае тоа што објаснува од кои елементи е изградена низата.

Пример 1. „Сите членови од низата се еднакви на 1“. Ова значи, зборуваме заза стационарната низа 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. „Секвенца се состои од сите примарни броевиво растечки редослед“. Така, дадената низа е 2, 3, 5, 7, 11, .... Со овој метод на одредување на низата во во овој примертешко е да се одговори на што е еднаков, да речеме, 1000-тиот елемент од низата.

3. Рекурентниот метод за одредување низа е да наведете правило кое ви овозможува да пресметате n-ти член на низа ако се познати нејзините претходни членови. Името рекурентен метод доаѓа од Латински збор повторливи- врати се. Најчесто, во такви случаи, се означува формула која овозможува изразување nти член од низата преку претходните, и наведете 1-2 почетни членови на низата.

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ако n = 2, 3, 4,….

Еве y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можете да видите дека секвенцата добиена во овој пример може да се специфицира и аналитички: y n= 4n - 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ако n = 3, 4,….

Еве: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Низата составена во овој пример е специјално изучувана во математиката, бидејќи има голем број на интересни својстваи апликации. Се нарекува низа Фибоначи, именувана по италијанскиот математичар од 13 век. Многу е лесно да се дефинира низата Фибоначи редовно, но многу тешко аналитички. nБројот на Фибоначи се изразува преку него сериски број следнава формула.

На прв поглед, формулата за nбројот на Фибоначи изгледа неверодостоен, бидејќи формулата што ја одредува низата на природни броеви содржи само квадратни корени, но можете „рачно“ да ја проверите валидноста на оваа формула за првите неколку n.

Својства на низите на броеви.

Редоследот на броеви - посебен случај нумеричка функција, затоа голем број на својства на функциите исто така се разгледуваат за секвенците.

Дефиниција . последователна ( y n} се нарекува зголемување ако секој негов член (освен првиот) е поголем од претходниот:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Дефиниција.Секвенца ( y n} се нарекува опаѓачки ако секој негов член (освен првиот) е помал од претходниот:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Зголемувачките и опаѓачките низи се комбинираат општ термин– монотони секвенци.

Пример 1. y 1 = 1; y n= n 2 – растечка низа.

Така, следнава теорема е вистинита (карактеристично својство на аритметичка прогресија). Бројната низа е аритметичка ако и само ако секој од неговите членови освен првиот (и последниот во случајот конечна низа), е еднаква на аритметичката средина од претходните и следните членови.

Пример. По која вредност xброеви 3 x + 2, 5x- 4 и 11 x+ 12 формираат конечна аритметичка прогресија?

Според карактеристично својство, дадените изрази мора да ја задоволуваат релацијата

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решавањето на оваа равенка дава x= –5,5. На оваа вредност xдадени изрази 3 x + 2, 5x- 4 и 11 x+ 12 земаат, соодветно, вредностите -14,5, –31,5, –48,5. Ова - аритметичка прогресија, неговата разлика е –17.

Геометриска прогресија.

Нумеричка низа, чии членови се не нула и секој член, почнувајќи од вториот, се добива од претходниот член со множење со ист број q, повикан геометриска прогресија, и бројот q- именителот на геометриска прогресија.

Така, геометриската прогресија е бројна низа ( b n), дефинирано рекурзивно со релациите

б 1 = б, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(бИ q -дадени бројки, б ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, ... – зголемување на геометриската прогресија б = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометриска прогресија б= 2,q= –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометриска прогресија б= 8, q= 1.

Геометриска прогресија е растечка низа ако б 1 > 0, q> 1, и се намалува ако б 1 > 0, 0 q

Едно од очигледните својства на геометриската прогресија е дека ако низата е геометриска прогресија, тогаш е и низата од квадрати, т.е.

б 1 2 , б 2 2 , б 3 2 , …, b n 2,... е геометриска прогресија чиј прв член е еднаков на б 1 2 , а именителот е q 2 .

Формула n-тиот член на геометриската прогресија има форма

b n= б 1 qn- 1 .

Може да се добие формула за збир на членови на конечна геометриска прогресија.

Нека е дадена конечна геометриска прогресија

б 1 ,б 2 ,б 3 , …, b n

нека S n -збирот на нејзините членови, т.е.

С н= б 1 + б 2 + б 3 + … +b n.

Прифатено е дека qброј 1. Да се утврди С нсе применува вештачки прием: некои се погубени геометриски трансформацииизрази S n q.

S n q = (б 1 + б 2 + б 3 + … + b n –1 + b n)q = б 2 + б 3 + б 4 + …+ b n+ b n q = С н+ b n q– б 1 .

Така, S n q= С н +b n q – b 1 и затоа

Ова е формулата со umma n услови на геометриска прогресијаза случајот кога q≠ 1.

На q= 1 формулата не треба да се изведува посебно; очигледно е дека во овој случај С н= а 1 n.

Прогресијата се нарекува геометриска затоа што секој член во него, освен првиот, е еднаков на геометриската средина на претходните и следните членови. Навистина, бидејќи

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

оттука, b n 2=bn- 1 bn+ 1 и следнава теорема е вистинита (карактеристично својство на геометриска прогресија):

бројната низа е геометриска прогресија ако и само ако квадратот на секој негов член, освен првиот (и последниот во случај на конечна низа), еднаков на производотпретходните и следните членови.

Граница на конзистентност.

Нека има низа ( c n} = {1/n}. Оваа низа се нарекува хармонична, бидејќи секој нејзин член, почнувајќи од вториот, е хармонична средина помеѓу претходните и следните членови. Просечна геометриски броеви аИ бима број

ВО во спротивнонизата се нарекува дивергентна.

Врз основа на оваа дефиниција, може, на пример, да се докаже постоењето на граница A=0за хармоничната низа ( c n} = {1/n). Нека ε биде произволно мал позитивен број. Разликата се разгледува

Дали постои такво нешто? Нтоа е за секого n ≥ Нважи неравенката 1 /N ? Ако го земеме како Нкој било природен број поголем од 1/ε , тогаш за сите n ≥ Nважи неравенката 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Докажувањето на присуство на граница за одредена низа понекогаш може да биде многу тешко. Најчестите секвенци се добро проучени и се наведени во референтни книги. Достапно важни теореми, овозможувајќи некој да донесе заклучок за присуството на граница за дадена низа (па дури и да ја пресмета), врз основа на веќе проучени секвенци.

Теорема 1. Ако низата има граница, тогаш таа е ограничена.

Теорема 2. Ако низата е монотона и ограничена, тогаш има граница.

Теорема 3. Ако низата ( a n} има граница А, потоа секвенците ( околу n}, {a n+ в) и (| a n|} имаат граници cA, А +в, |А| соодветно (тука в– произволен број).

Теорема 4. Ако низите ( a n} И ( b n) имаат граници еднакви на АИ Б pa n + qbn) има граница pA+ qB.

Теорема 5. Ако низите ( a n) И ( b n)имаат граници еднакви на АИ Бсоодветно, тогаш низата ( a n b n) има граница АБ.

Теорема 6. Ако низите ( a n} И ( b n) имаат граници еднакви на АИ Бсоодветно, и, дополнително, b n ≠ 0 и B≠ 0, потоа низата ( a n / b n) има граница A/B.

Ана Чугаинова

Дадена е дефиниција за нумеричка низа. Се разгледуваат примери на бесконечно растечки, конвергентни и дивергентни низи. Се разгледува низа што ги содржи сите рационални броеви.

Дефиниција .
Нумеричка низа (xn) е закон (правило) според кое, за секој природен број n = 1, 2, 3, . . . се доделува одреден број x n.
Се повикува елементот x n n-ти мандатили елемент од низа.

Низата е означена како n-ти член затворен во кадрави загради: . Можни се и следните ознаки: . Тие експлицитно укажуваат дека индексот n припаѓа на множеството природни броеви и самата низа има бесконечен број членови. Еве неколку примери на секвенци:
, , .

Со други зборови, бројна низа е функција чиј домен на дефиниција е множеството природни броеви. Бројот на елементи од низата е бесконечен. Меѓу елементите може да има и членови кои имаат исти вредности. Исто така, низата може да се смета како нумерирано збир на броеви што се состои од бесконечен број членови.

Ќе нè интересира главно прашањето како секвенците се однесуваат кога n се стреми кон бесконечност: . Овој материјал е претставен во делот Граница на низа - основни теореми и својства. Овде ќе разгледаме неколку примери на секвенци.

Примери за низа

Примери на бесконечно зголемени низи

Размислете за низата. Заеднички член на оваа низа е . Ајде да ги запишеме првите неколку поими:
.
Може да се види дека како што се зголемува бројот n, елементите неодредено се зголемуваат кон позитивни вредности. Можеме да кажеме дека оваа низа има тенденција на: за .

Сега разгледајте низа со заеднички термин. Еве ги неговите први членови:
.
Како што се зголемува бројот n, елементите на оваа низа се зголемуваат неодредено во абсолутна вредност, но немаат постојан знак. Односно, оваа низа тежнее кон: на .

Примери на низи кои конвергираат кон конечен број

Размислете за низата. Нејзин заеднички член. Првите термини ја имаат следната форма:
.
Може да се види дека како што се зголемува бројот n, елементите на оваа низа се приближуваат до нивната ограничувачка вредност a = 0 : во. Значи секој нареден член е поблиску до нула од претходниот. Во извесна смисла, можеме да сметаме дека има приближна вредност за бројот a = 0 со грешка. Јасно е дека како што се зголемува n, оваа грешка се стреми кон нула, односно со избирање на n, грешката може да се направи колку што сакате. Покрај тоа, за која било дадена грешка ε > 0 може да наведете број N така што за сите елементи со броеви поголеми од N:, отстапувањето на бројот од граничната вредност a нема да ја надмине грешката ε:.

Следно, разгледајте ја низата. Нејзин заеднички член. Еве некои од неговите први членови:
.
Во оваа низа, членовите со парни броеви се еднакви на нула. Условите со непарен n се еднакви. Затоа, како што се зголемува n, нивните вредности се приближуваат до ограничувачката вредност a = 0 . Ова произлегува и од фактот дека
.
Исто како и во претходниот пример, можеме да наведеме произволно мала грешка ε > 0 , за кој е можно да се најде број N таков што елементите со броеви поголеми од N ќе отстапуваат од граничната вредност a = 0 за износ што не ја надминува наведената грешка. Затоа оваа низа конвергира до вредноста a = 0 : во.

Примери на дивергентни низи

Размислете за низа со следниов заеднички термин:

Еве ги неговите први членови:

.
Може да се види дека термините со парни броеви:
,
конвергираат до вредноста a 1 = 0 . Членови со Непарни броеви:
,
конвергираат до вредноста a 2 = 2 . Самата низа, како што расте n, не конвергира до ниедна вредност.

Низа со термини распоредени во интервалот (0;1)

Сега да погледнеме поинтересна низа. Да земеме отсечка на бројната права. Ајде да го поделиме на половина. Добиваме два сегменти. Нека
.
Ајде повторно да го поделиме секој од сегментите на половина. Добиваме четири сегменти. Нека
.
Ајде повторно да го поделиме секој сегмент на половина. Ајде да земеме

.
И така натаму.

Како резултат на тоа, добиваме низа чии елементи се распределени во отворен интервал (0; 1) . Која и да ја земеме точката од затворениот интервал , секогаш можеме да најдеме членови на низата кои ќе бидат произволно блиску до оваа точка или ќе се совпаѓаат со неа.

Потоа од оригиналната секвенца може да се избере потсеквенца што ќе конвергира во произволна точкаод интервалот . Односно, како што се зголемува бројот n, така членовите на последователната низа ќе се приближуваат сè поблиску до однапред избраната точка.

На пример, за точка а = 0 можете да ја изберете следната последователна низа:
.
= 0 .

За точка а = 1 Да ја избереме следната последователна низа:
.
Условите на оваа последователна секвенца се спојуваат до вредноста a = 1 .

Со оглед на тоа што има последователни секвенци кои се приближуваат кон различни значења, тогаш самата оригинална низа не конвергира на ниту еден број.

Низа која ги содржи сите рационални броеви

Сега да конструираме низа што ги содржи сите рационални броеви. Покрај тоа, секој рационален број ќе се појави во таква низа бесконечен број пати.

Рационален број r може да биде претставен во следната форма:
,
каде е цел број; - природно.
Треба да го поврземе секој природен број n со пар броеви p и q така што секој пар p и q да биде вклучен во нашата низа.

За да го направите ова, нацртајте ги оските p и q на рамнината. Ние цртаме линии на мрежа преку целобројните вредности на p и q. Тогаш секој јазол од оваа мрежа со ќе одговара рационален број. Целиот сет на рационални броеви ќе биде претставен со множество јазли. Треба да најдеме начин да ги нумерираме сите јазли за да не пропуштиме никакви јазли. Ова е лесно да се направи ако ги нумерирате јазлите по квадрати, чии центри се наоѓаат на точката (0; 0) (види слика). Во овој случај, долните делови на квадратите со q < 1 не ни треба. Затоа тие не се прикажани на сликата.

Значи, за горната страна на првиот квадрат имаме:
.
Следна ние број горниот делследниот квадрат:

.
Го нумерираме горниот дел од следниот квадрат:

.
И така натаму.

На овој начин добиваме низа која ги содржи сите рационални броеви. Може да забележите дека секој рационален број се појавува во оваа низа бесконечен број пати. Навистина, заедно со јазолот, оваа низа ќе вклучува и јазли, каде што е природен број. Но, сите овие јазли одговараат на истиот рационален број.

Потоа, од низата што ја конструиравме, можеме да избереме потсеквенца (со бесконечен број елементи), чиишто елементи се еднакви на однапред одреден рационален број. Бидејќи низата што ја конструиравме има потсеквенци кои се спојуваат кон различни броеви, тогаш низата не конвергира на ниту еден број.

Заклучок

Овде дадовме прецизна дефиниција за низата на броеви. Го покренавме и прашањето за неговата конвергенција, врз основа на интуитивни идеи. Прецизна дефиницијаза конвергенција се дискутира на страницата Определување на граница на низа. Поврзани својства и теореми се наведени на страницата

Концептот на бројна низа.

Нека секој природен број n одговара на број a n , тогаш велиме дека е дадена функција a n =f(n), која се нарекува бројна низа. Се означува со n ,n=1,2,… или (a n ).

Броевите a 1 , a 2 , ... се нарекуваат членови на низата или нејзините елементи, a n е општиот член на низата, n е бројот на членот a n .

По дефиниција, која било низа содржи бесконечно множествоелементи.

Примери за низи од броеви.

Аритметикапрогресија – нумеричка прогресија на формата:

односно низа од броеви (поими на прогресијата), од кои секоја, почнувајќи од втората, се добива од претходната со додавање на константен број d (чекор или разлика на прогресијата):
.

Секој член на прогресијата може да се пресмета со користење на формулата за општи термини:

Секој член на аритметичка прогресија, почнувајќи од вториот, е аритметичка средина на претходните и следните членови на прогресијата:

Збирот на првите n членови на аритметичката прогресија може да се изрази со формулите:

Збирот од n последователни членови на аритметичка прогресија што започнува со член k:

Пример за збир на аритметичка прогресија е збирот на низа природни броеви до n вклучувајќи:

Геометрискипрогресија - низа од броеви
(членови на прогресија), во која секој следен број, почнувајќи од вториот, се добива од претходниот со множење со одреден број q (имениител на прогресијата), каде што
,
:

Секој член на геометриска прогресија може да се пресмета со формулата:

Ако b 1 > 0 и q > 1, прогресијата е растечка низа ако 0

Прогресијата го добила своето име од карактеристичното својство:
односно секој член е еднаков на геометриската средина на неговите соседи.

Производот од првите n членови на геометриска прогресија може да се пресмета со формулата:

Производот на членовите на геометриската прогресија почнувајќи од k-тиот член и завршувајќи со n-тиот член може да се пресмета со формулата:

Збир на првите n членови на геометриска прогресија:

Ако

, тогаш кога
, И

на
.

Граница на конзистентност.

Низата се нарекува зголемување ако секој член е поголем од претходниот. Низата се нарекува опаѓачка ако секој член е помал од претходниот.

Низата x n се нарекува ограничена ако има броеви m и M такви што за кој било природен број n условот е задоволен
.

Може да се случи сите членови на низата (a n ) со неограничен раст на бројот n да се приближат до некој број m.

Бројот a се нарекува граница на низата X n ако за секој Ε>0 има број (во зависност од Ε) n 0 =n o (Ε) таков што за
нееднаквоста важи
за сите (природни) n>n 0 .

Во овој случај тие пишуваат
или

Конвергенција на низи.

Секвенца чија граница е конечна се вели дека конвергира на:

Ако низата нема конечна (броива) граница, таа ќе се нарече дивергентна.

Геометриско значење.

Ако
, тогаш сите членови на оваа низа, со исклучок на последниот број, ќе паднат во произволно Ε соседство на точката a. Геометриски, ограниченоста на низата значи дека сите нејзини вредности лежат на одреден сегмент.