Првата книга на елементите се отвора со бројни дефиниции, проследени со пет познати постулати. Понатаму, пред да почне да ги докажува теоремите, тој дава список општи концепти. Првите неколку дефиниции се како што следува:
Дефиниција 1.1.Точка е нешто од кое ништо не е дел.
Дефиниција 1.2.Линијата е должина без ширина.
Дефиниција 1.3.Краевите на линиите се точки.
Дефиниција 1.4.Правата линија лежи подеднакво во однос на точките на неа.
Постулатите се конструкции од следниот тип:
Можете да нацртате права линија што поврзува една точка со која било друга.
Општите концепти се аксиоми, како што се:
Објектите еднакви на истиот објект се еднакви еден на друг.
Треба да се забележат одредени точки.
1. Се чини дека Евклид ги дефинира точките двапати (дефиниции 1 и 3) и права двапати (дефиниции 2 и 4). Тоа е прилично чудно.
2. Евклид никогаш не користи дефиниции и никогаш не се повикува на нив во остатокот од текстот.
3. Никаде не дефинира некои концепти. На пример, не постои дефиниција за редоследот на точките на правата. Затоа, тоа што една точка се наоѓа меѓу две други исто така не е дефинирано, но секако се користи.
4. Петтата книга на елементи се занимава со количините и нивната пропорционалност. Сепак, Евклид не го дефинира концептот на големината, а на современиот читател му се чини дека Евклид не успеал да воведе количества со строгоста по која е познат.
5. Кога Евклид воведува количини и броеви, тој дава неколку дефиниции, но не постулати или општи концепти. На пример, може да се очекува Евклид да го постулира тоа итн., но тој не го прави тоа.
Кога Евклид ги воведува броевите во седмата книга, тој дава дефиниција многу слична на основните дефиниции на почетокот на првата книга:
Единицата е онаа со која секое од нештата што постојат се нарекува едно.
Испратете ја вашата добра работа во базата на знаење е едноставна. Користете ја формата подолу
Студентите, дипломираните студенти, младите научници кои ја користат базата на знаење во нивните студии и работа ќе ви бидат многу благодарни.
Објавено на http://www.allbest.ru
Министерство за образование и наука на Руската Федерација
Федерална автономна држава образовна институцијаповисоко стручно образование„Федерален универзитет Казан (Регион Волга)
Институт за математика и механика по име. Н.И. Лобачевски
Катедра за теорија и технологија на наставата по математика и компјутерски науки
Насока: (математика и англиски)
„Значењето на Евклидовите елементи во историјата на математиката“
Ученичка: Немкова А.И.
група 05-106
Наставник: Шакирова Л.Р.
Евклидска античка грчка математика
Казан 2014 година
„Единицата е онаа преку која секоја од постоечките се смета за една.
Бројот е множество составено од единици“.
БИОГРАФИЈА
EUCLID (Euclid c.356-300 VS)
Евклид е антички грчки математичар, автор на првите теоретски трактати за математиката што стигнале до нас. Биографски информацииинформациите за животот и делото на Евклид се крајно ограничени. Се знае дека бил од Атина и бил ученик на Платон. Научна дејностсе одржа во Александрија, каде што твори математичко училиште.
ПОСТИГАЊА ВО МАТЕМАТИКАТА
Главните дела на Евклид „Елементи“ (латинизиран наслов - „Елементи“) содржат презентација на планиметријата, стереометријата и голем број прашања во теоријата на броеви, алгебрата, општата теорија на односите и методот на одредување области и волумени, вклучувајќи елементи на граници. (Метод на исцрпеност). Во Елементите, Евклид ги сумираше сите претходни достигнувања на грчката математика и ја создаде основата за нејзината понатамошно развивање. Историско значење„Принципите“ на Евклид лежи во фактот дека тие биле првите кои се обиделе да ја логичката конструкција на геометријата врз основа на аксиоматика. Главниот недостаток на Евклидовата аксиоматика треба да се смета за нејзината нецелосност; не постојат аксиоми за континуитет, движење и ред, па Евклид честопати морал да се повикува на интуицијата и да му верува на окото. Книгите XIV и XV се подоцнежни додатоци, но дали првите тринаесет книги се дело на еден човек или на училиште предводено од Евклид не е познато. Од 1482 г Евклидовите елементи поминаа низ повеќе од 500 изданија. на сите јазици во светот.
Првите четири книги од Елементите се посветени на геометријата на рамнината и ги проучуваат основните својства на праволиниските фигури и кругови.
На книгата I и претходат дефиниции за концепти користени подоцна. Тие се интуитивни бидејќи се дефинирани во термини физичка реалност: „Точка е нешто што нема делови“. „Линија е должина без ширина“. „Права линија е онаа која е подеднакво лоцирана во однос на точките на неа. „Површината е онаа што има само должина и ширина“, итн.
Овие дефиниции се проследени со пет постулати: „Да претпоставиме:
1) дека права линија може да се повлече од која било точка до која било точка;
2) и дека ограничена линија може постојано да се протега по права линија;
3) и дека кругот може да се опише од кој било центар и со кое било решение;
4) и дека сите прави агли се еднакви еден со друг;
5) и ако права линија што паѓа на две прави формира внатрешни агли на едната страна кои се помали од два прави агли, тогаш продолжени на неодредено време овие две прави ќе се сретнат на страната каде што аглите се помали од два прави агли“.
Првите три постулати обезбедуваат постоење на права линија и круг. Петтиот, таканаречениот паралелен постулат, е најпознат. Отсекогаш ги заинтригирала математичарите, кои се обидувале да го извлечат од четирите претходни или целосно да го отфрлат, сè до 19 век. Откриено е дека може да се конструираат други, неевклидови геометрии и дека петтиот постулат има право да постои. Потоа Евклид формулираше аксиоми кои, за разлика од постулатите кои важат само за геометријата, генерално се применливи за сите науки. Евклид дополнително докажува во книга I елементарни својстватриаголници, меѓу кои се условите на еднаквост. Потоа некои геометриски конструкции, како што е конструирање симетрала на агол, средна точка на отсечка и нормална на права. Книгата I ја вклучува и теоријата на паралели и пресметката на плоштините на некои рамни фигури(триаголници, паралелограми и квадрати). Втората книга ги поставува основите на т.н геометриска алгебра, датира од училиштето на Питагора. Сите величини во него се претставени геометриски, а операциите на броеви се вршат геометриски. Броевите се заменуваат со отсечки. Книгата III е целосно посветена на геометријата на кругот, а книгата IV ја проучува правилни многуаголници, впишан во круг, како и опкружен околу него.
Теоријата на пропорции, развиена во Книгата V, подеднакво добро се применуваше и на пропорционалните и на неспоредливите величини. Евклид ги вклучил во концептот на „големина“ должини, области, волумени, тежини, агли, временски интервали итн. Одбивајќи да користи геометриски докази, но исто така избегнувајќи прибегнување кон аритметика, тој не припишувал количини нумерички вредности. Првите дефиниции на Книгата V од Евклидовите елементи: 1. Дел е величина (на) величина што е помала (од) поголема ако ја мери поголемата. 2. Повеќекратно е поголемото (од) помалото, ако се мери со помалото. 3. Однос е одредена зависност на две хомогени количества. 4. За количините се вели дека имаат врска една со друга ако тие, земени како множители, можат да се надминат една со друга. 5. Велат дека количините се во ист сооднос: првата со втората и третата со четвртата, ако еднакви множители на првата и третата се истовремено поголеми, или истовремено еднакви, или истовремено помали од еднакви множители на вториот и четвртиот секој, за која било мноштво, ако ги земете по соодветен редослед. 6. Нека величините со ист однос се нарекуваат пропорционални. Од осумнаесетте дефиниции поставени на почетокот на целата книга и општите концепти формулирани во книга I, со восхитувачка благодат и речиси без логички недостатоци, Евклид заклучил (без прибегнување кон постулати, чија содржина беше геометриска) дваесет теореми во кои својствата на количините и нивните односи.
Во книга VI, теоријата на пропорции на книгата V се применува на праволиниски фигури, на геометријата на рамнината, а особено на слични бројки, а „слични праволиниски фигури се оние кои имаат агли еднакви по редослед и страни еднакви аглипропорционален." Книгите VII, VIII и IX сочинуваат трактат за теоријата на броеви; теоријата на пропорции во нив се применува на броевите. Книгата VII ја дефинира еднаквоста на односите на цели броеви или, со модерна точкавизија, се гради теоријата на рационални броеви. Од многуте својства на броевите што ги проучувал Евклид (паритет, деливост итн.), го наведуваме, на пример, предлогот 20 од Книга IX, со кој се утврдува постоењето бесконечен број„прв“, т.е. примарни броеви: „Има повеќе први броеви од кој било предложен број на први броеви“. Неговиот доказ со контрадикторност сè уште може да се најде во учебниците за алгебра.
Книгата Х е тешка за читање; содржи класификација на квадратни ирационални величини, кои таму се претставени со геометриски линии и правоаголници. Еве како е формулиран предлогот 1 во Книгата X од Евклидовите елементи: „Ако се дадени две нееднакви величини и се одземе дел од поголемата, повеќе од половина, а од остатокот - повторно дел поголем од половина, и тоа постојано се повторува, тогаш некогаш останува вредност што е помала од помалата од дадените вредности." модерен јазик: Ако a и b се позитивни реални броеви и a >b, тогаш секогаш постои такви природен број m таков што mb > a. Евклид ја докажал валидноста на геометриските трансформации.
Книгата XI е посветена на стереометријата. Во книгата XII, која исто така веројатно датира од Евдокс, областите на криволинеарните фигури се споредуваат со областите на многуаголниците користејќи го Методот на исцрпување. Предмет на книга XIII е изградбата на правилни полиедри. Изградбата на платонските цврсти материи, кои очигледно ги комплетираат Елементите, дала причина да се класифицира Евклид како следбеник на Платоновата филозофија.
ОБЛАСТИ НА ИНТЕРЕС
Покрај Елементите, до нас стигнале и следните дела на Евклид: книга под Латинско име„Податоци“ (опишувајќи ги условите под кои било математичка сликаможе да се смета за „податок“); книга за оптика (која ја содржи доктрината за перспектива), за катоптрика (ја прикажува теоријата на изобличувања во огледалата), книга „Поделба на фигури“. Не е зачувано педагошка работаЕвклид „За лажни заклучоци“ (во математиката). Евклид, исто така, напиша дела за астрономија („Феномени“) и музика.
ЗАСЛУГА НА ЕВКЛИД
ЕВКЛИДОВА ТЕОРЕМА за простите броеви: множеството прости броеви е бесконечно (Евклидови елементи, Книга IX, Теорема 20). Попрецизни квантитативни информации за множеството прости броеви во природната серија се содржани во теоремата на Чебишев за прости броеви и асимптотичната формула. закон за распределба на прости броеви.
ЕВКЛИДОНСКА ГЕОМЕТРИЈА - геометријата на просторот опишана со систем на аксиоми, првата систематска (но не доволно ригорозна) презентација беше дадена во Евклидовите елементи. Обично просторот на електронскиот геометриски систем се опишува како збир на објекти од три вида, наречени „точки“, „прави линии“ и „рамнини“; односи меѓу нив: припадност, ред („да лежи меѓу“), конгруентност (или концепт на движење); континуитет. Посебно место во аксиоматиката на E. зазема аксиомата на паралели (петти постулат). Првата доволно строга аксиоматика на Ј.г. ја предложи Д. Хилберт (Д. Хилберт, види Хилбертовиот систем на аксиоми). Постојат модификации на системот за аксиома Хилберт и други варијанти на аксиоматиката на Е.Г.. На пример, во аксиоматиката на векторска точка концептот на вектор се зема како еден од основните концепти; Аксиоматиката на Е.г. може да се заснова на релацијата симетрија.
5) ИСТОРИСКО ЗНАЧЕЊЕ НА „Почетокот“
Историското значење на Евклидовите елементи лежи во фактот што тие први се обиделе да ја логичката конструкција на геометријата заснована на аксиоматика. Аксиоматски метод, доминантна во модерна математика, неговото потекло во во голема мераобврзани на Евклидовите елементи.
Главниот недостаток на Евклидовата аксиоматика треба да се смета за нејзината нецелосност; не постојат аксиоми на континуитет, движење и ред, па Евклид често мора да се повикува на интуицијата и да му верува на окото. Што се однесува до дефинициите за точка, права, права, површина и рамнина, нивното значење лежи во фактот што тие се одразуваат природен процесформирање на овие концепти.
Никој научна книгане уживаше толку голем и траен успех како Евклидовите Елементи. Од 1482 година помина низ повеќе од 500 изданија на сите јазици во светот. Покрај споменатите „Принципи“, до нас стигнаа и следните дела на Евклид: книга под латински наслов „Податоци“, чија содржина е да ги определи условите кога секоја математичка слика може да се смета за „податок“; книга за оптика (која ја содржи доктрината за перспектива) и книга за катоптрика (претставува теорија на изобличувања во огледалата), како и „Поделба на фигури“.
Математичарите од подоцнежното време - Папус и Д. Проколус - ги спомнуваат и упатуваат делата на Евклид кои не стигнале до нас: четири книги за стрип делови, чиј материјал бил вклучен во делата на Аполониј од Перга; две книги за места на површината; три книги „Поризми“, чија содржина сè уште не е целосно разбрана.
Не преживеа ниту педагошката работа „За лажни заклучоци“ (во математиката). Евклид, исто така, напиша дела за астрономија („Феномени“) и музика. Делата на Евклид што дојдоа до нас се собрани во критичкото издание на Хајберг и Менге (Лајпциг, 1883-1916), кое содржи грчки оригинали, Латински преводии коментари од подоцнежните автори.
Објавено на Allbest.ru
...Слични документи
Есеј за животот и делото на големиот антички грчки научник Евклид, оценка на неговите достигнувања во областа на математиката. Анализа на главните дела на Евклид, неговите фундаментални идеии изворите на нивното формирање. Геометрија на површина со негативна кривина.
апстракт, додаден на 13.12.2010
Карактеристики на периодот на математиката константни вредности. Создавање на аритметика, алгебра, геометрија и тригонометрија. општи карактеристики математичка култура Античка Грција. Питагорова школа. Откривање на неспоредливост, Питагорови табели. „Елементи“ на Евклид.
презентација, додадена 20.09.2015 г
Улогата на математиката во модерен свет. Главните фази на развојот на математиката. Аксиоматски метод на градба научна теорија. Почетоците на Евклид се пример за аксиоматска конструкција на научна теорија. Историја на создавањето на неевклидовата геометрија. Стилови на размислување.
апстракт, додаден 02/08/2009
Главните фази на развојот на математиката во Античка Грција. Проучување на броеви и геометрија во питагоровата школа. Придонесот на Зенон, Демокрит, Платон и Евдокс во развојот на античката наука. Големиот геометар на антиката Евклид и содржината на неговото главно дело „Елементи“.
презентација, додадена 03/10/2013
Потекло на терминот „математика“. Една од првите дефиниции за предметот математика од Декарт. Суштината на математиката од гледна точка на Колмогоров. Песимистичка проценка на можностите на математиката на G. Weyl. Формулација на Бурбаки за некои својства на математиката.
презентација, додадена на 17.05.2012 година
Грчката математика и нејзината филозофија. Врската и заедничкиот пат на филозофијата и математиката од почетокот на ренесансата до крајот на XVIIвек. Филозофијата и математиката во ерата на просветителството. Анализа на природата на математичкото знаење на германската класична филозофија.
теза, додадена на 07.09.2009 година
Анализа на улогата на математиката во оценувањето на квантитативните и просторните односи на предметите реалниот свет. Толкување и образложение математички теореми Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy и L'Hopital. Преглед на биографијата, активностите и делата на големите математичари.
се разбира работа, додаде 04/08/2013
Некои биографски информации и легенди од животот на Евклид. Основата на математичкото училиште и презентацијата на геометријата во делото „Принципи“, опис на метричките својства на просторот и неговата бесконечност. Делата „Оптика“ и „Катоптрикс“ и изумот на монокордата.
презентација, додадена на 21.12.2010
Предуслови за појава на математиката во Антички Египет. Проблеми за пресметување на „аха“. Наука на античките Египќани. Проблем од папирусот Rhind. Геометријата во антички Египет. Изјави на големи научници за важноста на математиката. Значењето на египетската математика во наше време.
апстракт, додаден на 24.05.2012 година
Значењето на поимот математика. Нејзината улога во науката. Математиката како наука заснована на различности математички модели, чија задача е да прикаже вистински настании феномени. Карактеристики на математичкиот јазик. Познати изрекиза математиката.
Завршено:
Мурзагалиева А. Кх.
Дел 1.Употреба историски материјална тема Евклидовиот почеток на часовите по математика.
Историски материјал за почетоците на Евклид
Слајд1
Каде што Нил се сретнува со морето,
Во античката топла земја на пирамидите,
Живееше грчки математичар - упатен,
мудриот Евклид.
Студирал геометрија.
Тој предаваше геометрија.
Напиша одлично дело.
Името на оваа книга е „Почеток“.
Слајд 2.Евклид - антички грчки математичар (3 век п.н.е.) работел во Александрија и напишал неколку дела кои станале основа за образование и биле користени околу 2200 години.
Две илјади години геометријата се учела или од Евклидовите елементи или од учебниците напишани врз основа на оваа книга. Класична геометријапочнал да се нарекува Евклид. Историјата зачувала толку малку информации за овој неверојатен човек што често се изразуваат сомнежи за самото негово постоење.
Слајд3(легенда за изучување на геометријата)Една од легендите вели дека кралот Птоломеј решил да студира геометрија. Но, се покажа дека тоа не е толку лесно да се направи. Потоа го повикал Евклид и го замолил да му покаже лесен начиндо математика. „Нема кралски пат до геометријата“, му одговори научникот. Вака ни дојде овој популарен израз во форма на легенда.
Слајд4.Евклидов учител - Платон
Слајд5.(Отворање на математичко училиште од Евклид) Во Александрија, Евклид основал математичко училиште и напишал многу работапо геометрија, обединети под заедничко име„Почетоци“ - главната работасопствениот живот. Се верува дека е напишано околу 325 п.н.е.
Претходниците на Евклид - Талес, Питагора, Аристотел и други - направија многу за развојот на геометријата. Но, сето тоа беа посебни фрагменти, а не единствена логичка шема.
Слајд6.(Ватикански ракопис)
Елементите имаа огромно влијание врз развојот на математиката до модерното време. Книгата е преведена на многу јазици во светот. Во однос на бројот на препечатени книги, „Принципи“ немаат еднакви меѓу секуларните книги.
Слајд7.(за структурата на „Inception“)
И современиците и следбениците на Евклид беа привлечени од систематската и логична природа на презентираните информации. Елементите се состојат од тринаесет книги, организирани според една сингл логичко коло. Секоја од тринаесетте книги започнува со дефиниција на поимите (точка, права, рамнина, фигура итн.) кои се употребени во неа, а потоа, врз основа на мал број основни одредби (5 аксиоми и 5 постулати), се прифаќа без доказ, целиот систем е изградена геометрија.
Слајд8.(што учи секоја книга)
Книга I - се изучуваат својствата на триаголниците и паралелограмите;
Книга II – посветена на „геометриската алгебра“;
Книги III-IV – ја прикажува геометријата на круговите;
Книга V - воведена општа теоријапропорции;
Книга VI – приложена кон теоријата на слични фигури;
Книгите VII-IX се посветени на теоријата на броеви;
Книга X - се конструира класификација на ирационалности;
Книга XI - ги содржи основите на стереометријата;
Книга XII - теоремите се докажани за односите меѓу плоштините на круговите, волумените на пирамидите и конусите;
Книгата XIII е посветена на изградбата на пет правилни полиедри.
Слајд9.(за првата книга на Евклид)
Првата книга на Евклид започнува со 23 дефиниции, меѓу кои:
Точка е нешто што нема делови;
Линијата е должина без ширина;
Линијата е ограничена со точки;
Права е права која е подеднакво лоцирана во однос на сите нејзини точки;
Две прави кои лежат во иста рамнина се нарекуваат паралелни ако не се сретнуваат, без разлика колку се продолжени.
Слајд10(за бесконечноста на просторот)
Бесконечноста на просторот се карактеризира со три постулати:
„Правата линија може да се повлече од која било точка до која било точка“.
„Ограничената права линија може постојано да се протега по права линија“.
„Круг може да се опише од кој било центар и со кое било решение“.
Слајд 11-12.(за петтиот постулат и неговиот доказ од Прокл)
Доктрината за паралели и познатиот петти постулат („Ако права линија што паѓа на две прави формира внатрешни агли на едната страна помали од два прави агли, тогаш неодредено продолжени овие две прави ќе се сретнат на страната каде што аглите се помали од два прави агли“) ги одредуваат својствата на Евклидовиот простор и неговата геометрија, различни од неевклидовските геометрии.
Проклус дава доказ за постулатот V, врз основа на претпоставката, која ја зема како очигледна, дека растојанието од точка што лежи на едната страна остар агол, на неговата друга страна, кога оваа точка се оддалечува од темето на аголот, може да се направи колку што сакате. Забележете дека овој предлог припаѓа на апсолутната геометрија.
Врз основа на оваа претпоставка, Проклус го докажува постулатот V на следниов начин.
Нека биде неопходно да се докаже дека правите g" и g" се сечат во одредена точка C.
Да повлечеме низ точката А права линија g""", паралелна на g". Земете ја точката Б на линијата g" и испуштете ја од неа
нормално на g""". Бидејќи кога точката B се оддалечува од A, нејзиното растојание од g""" се зголемува без ограничување,
а растојанието помеѓу паралелните прави g" и g""" е конечно, а потоа на g"" има точка C,
кои припаѓаат на g". Во оваа точка се сечат правите g" и g"". Што доведува до валидност на постулатот В.
Но, ова се постигнува само затоа што Проклус ја користи премисата дека растојанието помеѓу
паралелни линии се разбира. Сепак, ова е нов постулат, еквивалентен на постулат V
Слајд 13. (Геометриски проблеми и нивни решенија од Евклид)
Од првата книга „Почна“
1. Исечете го овој праволиниски агол на половина.
2. Оваа ограничена права линија (т.е. сегмент)
се сече на половина.
Од третата книга „Почна“
1. Најдете го центарот на овој круг.
2. Исечете го овој лак на половина.
Од 4-та книга „Почна“
1.Б даден кругвнесете акорд со дадена должина.
Од 6-та книга „Почна“
1.За дадени две отсечки, најдете
просечна пропорционална.
2.За три податоцинајдете сегменти
четврти просечен пропорционален.
1. За да го подели аголот BAC на половина, Евклид го зема AB произволна точка D и става AE = A D на AC. Следно, на DE тој гради рамностран триаголник DEF. Правата линија AF го преполовува аголот BAC.
2. За да ја подели отсечката AB на половина, Евклид гради рамностран триаголник ABC, го преполовува аголот ACB со права линија CD. Точката D е средината на сегментот AB.
3. Евклидовиот доказ (по контрадикторност) се сведува на фактот дека центарот на кругот лежи на нормалната обновена од средината на акордот.
4. Евклид го преполовува акордот AB што го подложува даден лак. Од точката C, средината на акордот, тој конструира нормална на AB, пресекувајќи го лакот на саканата точкаД.
Слајд14. (Евклидов алгоритам)
Евклидовиот алгоритам е метод за наоѓање на најголемиот заеднички делител на два цели броја, два полиноми, како и на најголемата заедничка мерка на два сразмерни отсечки.
Да се најде најголемиот заеднички делителдве цели позитивни бројки, прво треба поголем бројподели со помалиот број, потоа подели го вториот број со остатокот од првото делење, потоа првиот остаток со вториот итн. Последно не-нула позитивен остатокво овој процес ќе биде најголемиот заеднички делител на овие броеви.Да дадеме пример. Нека a=777, b=629. Тогаш 777=629*1+148, 629=148*4+37, 148=37*4. Последниот ненула остаток 37 е најголемиот заеднички делител на броевите 777 и 629.
За да ја пронајдете најголемата заедничка мерка на два сегменти, постапете на сличен начин. Операцијата на поделба со остаток се заменува со нејзиниот геометриски аналог: помал сегментодложено на поголемиот сегмент што е можно повеќе пати: преостанатиот дел од поголемиот сегмент (земен како остаток од раздвојувањето) се одложува на помалиот сегмент итн. ако отсечките a и b се споредливи, тогаш последниот не- нула остаток ќе ја даде најголемата заедничка мерка на овие сегменти. Во случај на неспоредливи отсечки, добиената низа од не-нула остатоци ќе биде бесконечна.Да разгледаме пример. Да ги земеме како почетни сегменти страните AB и AC на рамнокрак триаголник ABC, за кои A=C = 72°, B= 36°. Како прв остаток ќе ја добиеме отсечката AD (CD-симетрала на аголот C), и, како што е лесно да се види, низата од нула остатоци ќе биде бесконечна. Ова значи дека сегментите AB и AC не се споредливи.
Евклидовиот алгоритам е познат долго време. Веќе е стар повеќе од 2000 години. Овој алгоритам е формулиран во Euclid’s Elements, каде од него се изведени својствата на простите броеви, најмалиот заеднички множител итн. Како метод за наоѓање на најголемата заедничка мерка на два сегменти, Евклидовиот алгоритам (понекогаш наречен метод на наизменично одземање) им бил познат на Питагорејците. ДО средината на 16 векВ. Евклидовиот алгоритам беше проширен на полиноми; од една променлива, подоцна беше можно да се одреди Евклидовиот алгоритам за некои други алгебарски објекти.
Евклидовиот алгоритам има многу примени. Еднаквостите што го дефинираат овозможуваат да се замисли најголем делител гброеви а И бво форма d=ax+by (x;y се цели броеви), и тоа ви овозможува да најдете решение за диофантинските равенки од 1 степен со две непознати. Евклидов алгоритам е средство за претставување рационален бројво форма на продолжена дропка. Често се користи во компјутерски програми.
Слајд 15. („Почеток“ - антички споменик)
За Елементите обично се вели дека, по Библијата, тој е најпопуларниот пишан споменик на антиката. Книгата има своја, многу извонредна историја. Таа беше две илјади години референтна книгаученици, се користеше како почетен курсгеометрија. Елементите биле исклучително популарни и од нив биле направени многу копии од вредни писари во земјата различни градовии земји. Подоцна, „Принципите“ се префрлија од папирус на пергамент, а потоа на хартија. Во текот на четири века, Елементите беа објавени 2.500 пати: во просек годишно се објавуваа 6-7 изданија. До 20 век, книгата се сметаше за главен учебник по геометрија не само за училиштата, туку и за универзитетите.
Слајд 16. (други дела на Евклид)
„Податоците“ се проблеми решени со помош на геометриска алгебра.
„За поделбата на фигурите“ - градежни проблеми.
„Феномени“ е астрономски есеј.
"Оптика"
„Делови на Канонот“ е мала расправа која содржи десет проблеми на музички интервали.
Презентацијата во сите овие дела, како и во Принципија, подлежи на строга логика, а теоремите се изведени од прецизно формулирани физички хипотези и математички постулати.
Слајд 17. (Извонредни геометри по Евклид)
Евклид умрел помеѓу 275 и 270 п.н.е.. Голем придонес за понатамошни истражувања разни прашањагеометријата била воведена од Архимед и Аполониј од Перга.По Аполониј немало големи откритијаво областа на геометријата. Делата на Архимед и Аполониј се сметале за премногу сложени, не биле читани, а некои од нив биле изгубени со текот на времето.
Слајд 18. (парабола за тројцата научници)
Да стане негов ученик и да ја сфати мудроста на старецот,
заплови по морето, одеше оддалеку...
А прашањата не беа лесни.
Што е поента? -
праша Евклид,
гледајќи наоколу во своите гости.
Поентата е во тоа
кој нема делови, -
Архелај кадрава вели.
Одговорено е точно.
Добро сторено! -
Мудрецот љубезно се насмевна. -
Па, која е тајната на линијата?
Има должина
но во него нема ширина!
Повторно назад на поентата!
Би сакал да знам:
Зошто сакате да станете научник?
Впрочем, патиштата до знаење не се лесни?!
Сакам да станам богат
Како си! Слушнав:
науката е богатство!
Сигурен сум -
ти, Евклиде, си богат
Мудриот вади две монети -
ги зема збунета младина
Сите! Оди! -
вели научникот. -
Сега си побогат од Евклид...
Топлиот ветер наеднаш дувна посилно,
палми се нишаа на брегот.
Кој ќе го дели кругот
на пет дела?
Архилох стана:
Јас можам!
Сонцето го осветли темното лице.
Компасот е самоуверено стегнат во вашата рака,
тој вешто го дели кругот на песокот.
Старецот кимна со главата:
Тогаш Евклид прашал:
Што ве привлекува во науката?! -
го тапкал младичот по рамо.
Станете познат
како тебе, сакам. Секаде слушам:
„Колку е паметен Евклид!
Ова значи дека знаењето ветува слава!
Евклид ја зеде наострената трска,
Еден старец пишува на папирус:
„Луѓе! Тој е попаметен од мене
Евклид“.
- Еве, оди!
Сега си познат!
Па, третиот мисли...
Тој црта нешто
фасциниран од нешто...
Што црташ?
Јас цртам линии.
Сакам да докажам една теорема.
Но на поинаков начин
не како Евклид! -
тврдоглаво вели младиот човек.
Солзи на очите
од старецот:
се најде студент.
Кој си ти?
И тој слуша како одговор:
Јас сум од Сиракуза.
Јас сум Архимед.
Препорачливо е да се користи овој материјал во лекциите на следните теми:
Почетна геометриска информација
Аксиоми на геометријата
Целта на лекцијата:воведете ги формулациите на искази во времето на Евклид и споредете ги со современата формулација.
Цели на лекцијата:
- Развијте, когнитивен интересдо математика, логично размислување.
Активирајте ја когнитивната активност.
Проширете ги хоризонтите на учениците.
Чекори од лекцијата: ажурирање на знаењето или „откривање“ на ново знаење
студентска порака , презентација на проектот.
Видови едукативни активности:
- решава проблеми со анализа и разбирање на неговиот текст;
Планирани образовни резултати:
Способност да се најде различни извориинформации потребни за одлука математички проблеми, и да го претстави во разбирлива форма;
Развој на концептот број, совладување на симболичкиот јазик на математиката, точно и компетентно изразување на мислите вербално и пишување, користејќи математичка терминологија и симболика.
Дел 2. Употреба на историски материјал на тема „Почеток“ од Евклид во воннаставните часови.
Форма на организација на воннаставни активности –клупска лекција по математика.
Форми на презентирање историски материјал:студентска порака, прикажување на презентација.
Видови едукативни активности:
- решава проблеми со анализа и разбирање на текстот на проблемот;
Извлечете ги потребните математички информации, изградете логичен синџир на расудување.
Планирани образовни резултати:
Слика на математичка наукакако сфера човечка активност, за фазите на неговиот развој;
Способност да се најдат информации од различни извори неопходни за решавање на математички проблеми и да се презентираат во разбирлива форма;
Извори на информации:
1.http:// биографија. нето/ биографија. php? id=50
2.http:// www- историја. mcs. ул- Ендрјус. ак. Велика Британија/ PictDisplay/ Евклид. html
3.реферат. ru/ реферати/ поглед/13700
Екатерина Полјакова, ученик од 6б одделение
Кој е Евклид?
Делото раскажува за биографијатаСтарогрчки математичар Евклид (инаку Евклид), автор на првиот теоретски трактат за математика што стигна до нас. Историјата на книгата „Принципи“, нејзино резиме.
Преземи:
Преглед:
Општинска буџетска образовна институција
„Новоаганскаја сеопфатна едукативна средно школобр. 2"
Евклид и неговата книга „Елементи“
Работата ја изврши:
Екатерина Полјакова, ученик од 6б одделение
Супервизор:
Чекина Олга Александровна,
наставник по математика.
Смт. Новоаганск
2014
Планирајте
- Одржување.
- Цели и цели.
II. Главен дел.
- Кој е Евклид?
- Главното дело на Евклид е „Елементи“.
- За што е неговата книга?
- Што направил Евклид?
III. Заклучок.
IV. Референци.
Вовед
Целта на мојата работа:
Проширете го вашето знаење за избраната тема. Дознајте повеќе за животот на Евклид, неговата работа, позната книга"Почна."
Подгответе се да зборувате на студентска конференција.
Задачи:
1) Најдете информации за темата „Евклид и неговата книга „Елементи“.
2) Запознајте се со неговата книга „Почетоци“.
3) Подгответе извештај.
4) Направете презентација.
5) Зборувајте на конференција.
Кој е Евклид?
Евклид (инаку Евклид) е старогрчки математичар, автор на првиот теоретски трактат за математиката што стигна до нас. Биографските информации за Евклид се исклучително ретки. Познато е само дека учителите на Евклид во Атина биле студенти, а за време на владеењето на Птоломеј I (306-283 п.н.е.) предавал на Академијата во Александрија. Евклид е првиот математичар од александриската школа.
За животот на овој научник не се знае речиси ништо. До нас стигнаа само неколку легенди за него. Првиот коментатор на Елементите, Прокло (5 век н.е.), не можел да посочи каде и кога е роден и умрел Евклид. Според Проклус, „овој ученик“ живеел за време на владеењето на Птоломеј I. Некои биографски податоци се зачувани на страниците на арапски ракопис од 12 век: „Евклид, син на Наукат, познат под името „Геометри“, а научник од старите времиња, Грк по потекло, по живеалиште Сириец, по потекло од Тир“.
Евклид го поминал најголемиот дел од својот живот во Александрија - градот основан од Александар Македонски на брегот Средоземно Море, на устието на Нил. Кралот Птоломеј I ја направи Александрија главен град на Египет; со цел да ја воздигне својата држава, тој привлече научници и поети во земјата, создавајќи за нив Мусејон, храм на музите.
Негова работа?
Бидејќи знаењето во математиката требаше некако да се запише, Евклид напиша книга наречена „Елементи“, која содржеше сè што луѓето тогаш знаеја за геометријата и дури сега се користи ова знаење. Точно, тогаш античките книги беа безмилосно уништени затоа што не ги сакаа христијаните и муслиманите. Но, во некои преводи, книгата „Принципи“ преживеа.
Најважната математичка работа на брилијантниот Евклид, неговата книга
„Принципи“ има многу респектабилна возраст - над две илјади години.
Главното дело на Евклид содржи презентација на планиметријата, стереометријата и голем број прашања во теоријата на броеви (на пример,Евклидов алгоритам);
се состои од 13 книги, на кои се додадени две книги околу пет правилни полиедри, се уште не се знае кој е нивниот автор? Тие се припишуваат на Хипсикулите од Александрија.
Во Елементите, Евклид го сумираше претходниот развој на грчката математика и ја создаде основата за понатамошен развој на математиката.
Од другите математички дела на Евклид, треба да се забележи „За поделбата на фигурите“, зачувана во арапски превод, четири книги“ Конусни делови“, чиј материјал беше вклучен во дело со исто имеАполониј од Перга, како и „поризмите“, идеја за која може да се добие од „Математичката збирка“ на Папус од Александрија.
За што е неговата книга?
Евклидовата книга „Елементи“ е приказ на таа геометрија, која до ден денес е позната под името Евклидова. Ги опишува метричките својства на просторот, кои модерната наукаго нарекува Евклидов.Евклидов просторе арената физички феномени класична физика, чии темели ги поставиле Галилео и Њутн. Овој простор е празен, неограничен, изотропен, има три димензии. Евклид и дал математичка сигурност на атомистичката идеја за празен простор во кој се движат атомите. Наједноставниот геометриски објектЕвклид има точка, која ја дефинира како онаа што нема делови. Со други зборови, точката е неделив атом на просторот.
Делото на Евклид се состои од 15 книги.
Книга 1 формулира појдовни точкигеометрија, а ги содржи и основните теореми на планиметријата, вклучувајќи ја теоремата за збир на агли на триаголник и Питагоровата теорема.
Книгата 2 ги поставува основите на геометриската алгебра.
Третата книга е посветена на својствата на кругот, неговите тангенти и акорди.
Книгата 4 се занимава со правилни многуаголници.
Книгите 5 и 6 се посветени на теоријата на односите и нејзината примена за решавање на алгебарски проблеми.
Книгите 7, 8 и 9 се посветени на теоријата на цели броеви и рационални броеви.
Книгата 10 се занимава со квадратни ирационалности.
Книгата 11 ги опфаќа основите на стереометријата.
Во 12-тата книга се докажани теореми кои се однесуваат на плоштината на круг и волуменот на топката и се изведени соодносите на волумените на пирамидите, конусите, призмите и цилиндрите.
13-та книга се заснова на резултатите добиени од областа на правилните полиедри.
Книгите 14 и 15 не му припаѓаат на Евклид, тие се напишани подоцна: 14 - во 2 век. п.н.е д., а 15-ти - во 6 век.
Во Евклид, исто така, наоѓаме опис на монокорд - уред со една низа за одредување на висината на жицата и нејзините делови. Се верува дека монокордот бил измислен од Питагора, а Евклид само го опишал („Поделба на Канонот“, 3 век п.н.е.).
Пронајдокот на монокорд беше важен за развојот на музиката. Постепено, наместо една низа, почнаа да се користат две или три. Ова беше почеток на создавањето на клавијатурите, прво чембало, потоа пијано и основната причина за појавата на овие Музички Инструментистана математика.
Што направил Евклид?
Евклид е антички мислителкој ја открил науката за геометријата. Можеме да кажеме дека Евклид беше тој што воведе ред во математиката од тоа време.
Евклид е автор на голем број дела за астрономија, оптика, музика итн. Арапските автори му припишуваат на Евклид различни трактати за механиката, вклучително и дела заскали и определување на специфична тежина.
Поминаа векови, народите се менуваа, некои држави исчезнаа од лицето на земјата, а други се појавија, градовите се урнаа, книгите и библиотеките изгореа во пламенот на пожарите. А „Принципите“, напишани за прв пат на кревок папирус, поминаа низ времето.
Создаден во 3 век. п.н.е д. „Принципите“ не го изгубиле своето значење дури и сега. Тие заземаат посебно местово историјата на математиката.
Евклид, еден од најголемите геометри, решил да ги пронајде законите што ги регулираат сите линии и тела во природата и да ги подреди овие закони во строг систем...
Се разбира, сите карактеристики на Евклидовиот простор не беа откриени веднаш, туку како резултат на вековна работа научна мисла, но почетната точка на ова дело беа Евклидовите елементи.
Познавањето на основите на Евклидовата геометрија сега е неопходен елемент општо образованиеширум светот.
Заклучок
Како резултат на сработеното, се запознав со животната дејност на Евклид. Ја проучував историјата на книгата „Принципи“ и нејзината содржина.
Подготви извештај и направи презентација.
Презентацијата може да послужи дополнителен материјална часовите по математика.
Извори на информации