Како да се изгради дел од коцка користејќи три точки. Изградба на делници

Тема на часот: Задачи за изградба на делови.

Целта на лекцијата:

Развијте вештини за решавање на проблеми кои вклучуваат изградба на делови од тетраедар и паралелограм.

За време на часовите

I. Организациски момент.

II. Испитување домашна работа

Одговори на прашањата 14, 15.

14. Дали има тетраедар со пет прави агли на неговите лица?

(Одговор: не, бидејќи има само 4 лица, тие се триаголници, а триаголник со два прави агли не постои.)

15. Дали има паралелепипед што има: а) само едно лице - правоаголник;

б) само две соседни ромбни лица; в) сите агли на лицата се остри; г) сите агли на лицата се правилни; д) бројот на сите остри рабови не е еднаков на бројот на сите тапи агли на лицата?

(Одговор: а) не (спротивните страни се еднакви); б) не (од истата причина); в) не (такви паралелограми не постојат); г) да ( кубоид); д) не (секое лице има две остри и две тапи агли, или сите прави линии).

III. Учење нов материјал

Теоретски дел. Практичен дел. Теоретски дел.

Да реши многу геометриски проблемиповрзани со тетраедар и паралелепипед, корисно е да може да се нацртаат нивните делови во различни рамнини на цртеж. Под пресек подразбираме која било рамнина (да ја наречеме рамнина за сечење), на двете страни од кои има точки од дадена фигура (односно тетраедар или паралелепипед). Рамнината за сечење го пресекува тетраедарот (паралелепипед) по сегменти. Многуаголникот што ќе го формираат овие отсечки е пресекот на сликата. Бидејќи тетраедарот има четири лица, неговиот пресек може да биде триаголници и четириаголници. Паралелепипедот има шест лица. Неговиот пресек може да биде триаголници, четириаголници, петаголници, шестоаголници.

При конструирање на дел од паралелепипед, го земаме предвид фактот дека ако рамнината за сечење пресекува две спротивни лица по некои отсечки, тогаш овие отсечки се паралелни (својство 1, став 11: Ако две паралелни рамнини се сечат со трета, тогаш линиите на нивното вкрстување се паралелни).

За да се изгради пресек, доволно е да се конструираат точките на пресек на рамнината на сечењето со рабовите на тетраедарот (паралелепипед), а потоа да се нацртаат сегменти што ги поврзуваат двете конструирани точки што лежат на истото лице.

Може ли тетраедар да се пресече со рамнина во четириаголникот прикажан на сликата?

https://pandia.ru/text/78/630/images/image002_130.gif" width="626" height="287 src=">

2.2. Конструирај дел од коцка со рамнина што минува низ точките Е, Ф, Г, лежејќи на рабовите на коцката.

Е, Ф, Г,

ајде да направиме директен Е.Ф.и означуваат Пнејзината точка на вкрстување со АД.

Да означиме Пточка на пресек на линии PGИ АБ.

Ајде да ги поврземе точките ЕИ П, ФИ Г.

Добиениот трапез EFGQќе биде саканиот дел.

https://pandia.ru/text/78/630/images/image004_91.gif" width="624" height="287">

2.4. Конструирај дел од коцка со рамнина што минува низ точките Е, Ф, лежејќи на рабовите на коцката и темето Б.

Решение. Да се конструира дел од коцка што минува низ точки Е, Фи врвот Б,

Да ги поврземе точките со отсечки ЕИ Б, ФИ Б.

Преку точки ЕИ Фда повлечеме паралелни линии Б.Ф.И БИДИ, соодветно.

Добиениот паралелограм BFGEќе биде саканиот дел.

2.5. Конструирај дел од коцка со рамнина што минува низ точките Е, Ф, Г, лежејќи на рабовите на коцката.

Решение. Да се конструира дел од коцка што минува низ точки Е, Ф, Г,

ајде да направиме директен Е.Ф.и означуваат Пнејзината точка на вкрстување со АД.

Да означиме П,Рпресечни точки на линија PGСо АБИ DC.

Да означиме Спресечна точка FRв СС 1.

Ајде да ги поврземе точките ЕИ П, ГИ С.

Добиениот пентагон EFSGQќе биде саканиот дел.

2.6. Конструирај дел од коцка со рамнина што минува низ точките Е, Ф, Г, лежејќи на рабовите на коцката.

Решение. Да се конструира дел од коцка што минува низ точки Е, Ф, Г,

ајде да најдеме точка Ппресек на права линија Е.Ф.и лице авион А БЕ ЦЕ ДЕ.

Да означиме П, Рпресечни точки на линија PGСо АБИ ЦД.

Ајде да направиме директен RFи означуваат С, Тнеговите точки на вкрстување со CC 1 и ДД 1.

Ајде да направиме директен Т.Е.и означуваат Унејзината точка на вкрстување со А 1Д 1.

Ајде да ги поврземе точките ЕИ П, ГИ С, Ф и У.

Добиениот шестоаголник EUFSGQќе биде саканиот дел.

2.7. Конструирај пресек на тетраедар А БЕ ЦЕ ДЕ АДи минување низ точките Е, Ф.

Решение. Ајде да ги поврземе точките ЕИ F. Преку точкаF да повлечеме права линијаФГ, паралелноА.Д.

Ајде да ги поврземе точките ГИ Е.

Добиениот триаголник EFGќе биде саканиот дел.

2.8. Конструирај пресек на тетраедар А БЕ ЦЕ ДЕрамен, паралелно со работ ЦДи минување низ точките Е, Ф .

Решение. Преку точки ЕИ Фајде да нацртаме прави линии На пр.И FH, паралелно ЦД.

Ајде да ги поврземе точките ГИ Ф, ЕИ Х.

Добиениот триаголник EFGќе биде саканиот дел.

2.9. Конструирај пресек на тетраедар А БЕ ЦЕ ДЕрамнина што минува низ точките Е, Ф, Г.

Решение. Да се изгради дел од тетраедар кој минува низ точки Е, Ф, Г,

ајде да направиме директен Е.Ф.и означуваат Пнејзината точка на вкрстување со БД.

Да означиме Пточка на пресек на линии PGИ ЦД.

Ајде да ги поврземе точките ФИ П, ЕИ Г.

Добиениот четириаголник EFQGќе биде саканиот дел.

IV. Резиме на лекција.

V. Домашна работа стр.14, стр.27 бр.000 – опција 1, 2.

Цели на часот

Формирање на вештини на учениците за решавање на проблеми кои вклучуваат изградба на делови.
Формирање и развој на просторна имагинација кај учениците.
Развој на графичка култура и математички говор.
Развивање на способност за работа индивидуално и тимски.

Тип на лекција:лекција за формирање и усовршување на знаењата.

Форми на организирање едукативни активности:групна, индивидуална, колективна.

Техничка поддршка на лекцијата:компјутер, мултимедијален проектор, екран, комплет од геометриски тела (коцка, паралелепипед, тетраедар).

ЗА ВРЕМЕ НА ЧАСОТ

1. Организациски момент

Класот е поделен во 3 групи од 5-6 лица. На секоја табела има индивидуални и групни задачи за конструирање на пресек, збир на тела. Запознавање на учениците со темата и целите на часот.

2. Ажурирање позадинско знаење

Теорија на анкета:

– Аксиоми на стереометријата.
– Концептот на паралелни линии во просторот.
– Теорема на паралелни прави.
– Паралелизам на три прави.
– Релативната положба на права линија и рамнина во просторот.
– Знак за паралелизам помеѓу права и рамнина.
– Определување паралелизам на рамнините.
– Знак за паралелизам на две рамнини.
- Својства паралелни рамнини.
– Тетраедар. Паралелепипед. Својства на паралелепипед.

3. Учење нов материјал

Зборот на наставникот:При решавање на многу стереометриски проблеми, се користи дел од полиедар со рамнина. Да ја наречеме секантна рамнина на многуедар која било рамнина на која од двете страни има точки на дадениот многуедар.
Рамнината за сечење ги пресекува лицата долж сегментите. Многуаголникот чии страни се овие отсечки се нарекува пресек на полиедарот.
Користејќи ги сликите 38-39, да дознаеме: Колку страни може да има пресек на тетраедар и паралелепипед?

Студентианализирајте ги сликите и извлечете заклучоци. Наставникги поправа одговорите на учениците, посочувајќи го фактот дека ако рамнината за сечење пресекува две спротивни страни на паралелепипед по некои отсечки, тогаш овие отсечки се паралелни.

Анализарешавање задачи 1, 2, 3 дадени во учебникот (усна групна работа).

4. Консолидација на изучениот материјал(по групи)

1 група:објаснете како да конструирате пресек на тетраедар со рамнина што минува низ дадените точки M, N, K и во задачите 1-3 најдете го периметарот на пресекот ако M, N, K се средните точки на рабовите и секој раб на тетраедар е еднаков А.

Група 2:објасни како да се конструира дел од коцка со рамнина што минува низ три дадени точки, кои се или темињата на коцката или средните точки на нејзините рабови (трите дадени точки се истакнати на сликите 1-4 и). 6, најдете го периметарот на делот ако работ на коцката е еднаков на А.во задача 5 докажете дека AE = А/3

Група 3:конструирај пресек на паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1рамнина што минува низ точките:

Групата ги брани сите завршени задачи на таблата користејќи слајдови.

5. Самостојна работа № 85, № 105.

6. Сумирање на лекцијата

Оценување на работата на учениците на час.

7. Домашна задача:индивидуални картички.

Дефиниција

Дел е рамна фигура, кој се формира кога просторна фигура се вкрстува со рамнина и чија граница лежи на површината на просторната фигура.

Коментар

Да се конструираат делови од различни просторни фигурипотребно е да се запаметат основните дефиниции и теореми за паралелизмот и нормалноста на правите и рамнините, како и својствата на просторните фигури. Да се потсетиме на основните факти.
Повеќе детална студијаСе препорачува да се запознаете со темите „Вовед во стереометрија. Паралелизам“ и „Перпендикуларност. Агли и растојанија во вселената“.

Важни дефиниции

1. Две прави во просторот се паралелни ако лежат во иста рамнина и не се сечат.

2. Две прави во просторот се сечат ако не може да се повлече рамнина низ нив.

4. Две рамнини се паралелни ако немаат заеднички точки.

5. Две прави во просторот се нарекуваат нормални ако аголот меѓу нив е еднаков на \(90^\circ\) .

6. Правата се нарекува нормално на рамнината, ако е нормална на која било права што лежи во оваа рамнина.

7. Две рамнини се нарекуваат нормални ако аголот меѓу нив е \(90^\circ\) .

Важни аксиоми

1. Низ три точки кои не лежат на иста линија, поминува рамнина и тоа само една.

2. Авион, и тоа само еден, поминува низ права линија и точка што не лежи на неа.

3. Рамнина минува низ две линии кои се пресекуваат и тоа само една.

Важни теореми

1. Ако правата \(a\) што не лежи во рамнината \(\pi\) е паралелна со некоја права \(p\) што лежи во рамнината \(\pi\), тогаш таа е паралелна со оваа рамнина.

2. Правата \(p\) нека биде паралелна со рамнината \(\mu\) . Ако рамнината \(\pi\) поминува низ правата \(p\) и ја пресекува рамнината \(\mu\), тогаш линијата на пресек на рамнините \(\pi\) и \(\mu\) е правата \(m\) - паралелна на правата \(p\) .

3. Ако две права што се пресекуваат од една рамнина се паралелни со две права што се сечат од друга рамнина, тогаш таквите рамнини ќе бидат паралелни.

4. Ако две паралелни рамнини \(\алфа\) и \(\beta\) се сечат со трета рамнина \(\гама\), тогаш и линиите на пресек на рамнините се паралелни:

\[\алфа\паралелно \бета, \ \алфа\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Нека правата линија \(l\) лежи во рамнината \(\ламбда\) . Ако правата \(s\) ја пресекува рамнината \(\lambda\) во точка \(S\) што не лежи на правата \(l\), тогаш линиите \(l\) и \(s\) се вкрстуваат.

6. Ако правата е нормална на две права кои се пресекуваат што лежат во дадена рамнина, тогаш таа е нормална на оваа рамнина.

7. Теорема за три нормални.

Нека \(AH\) е нормално на рамнината \(\beta\) . Нека \(AB, BH\) е наклонетата рамнина и нејзината проекција на рамнината \(\beta\) . Тогаш правата \(x\) во рамнината \(\beta\) ќе биде нормална на наклонетата, ако и само ако е нормална на проекцијата.

8. Ако рамнина минува низ права нормална на друга рамнина, тогаш таа е нормална на оваа рамнина.

Коментар

Друга важен факт, често се користи за изградба на делови:

за да се најде точката на пресек на права и рамнина, доволно е да се најде точката на пресек на дадена права и нејзината проекција на оваа рамнина.

За ова од две произволни точки\(A\) и \(B\) правата \(a\) цртаат нормални на рамнината \(\mu\) – \(AA"\) и \(BB"\) (точки \(A", B " \) се нарекуваат проекции на точките \(A,B\) на рамнината). Тогаш линијата \(A"B"\) е проекција на линијата \(a\) на рамнината \(\mu\) . Точката \(M=a\cap A"B"\) е пресечна точка на правата линија \(a\) и рамнината \(\mu\) .

Покрај тоа, забележуваме дека сите точки \(A, B, A", B", M\) лежат во иста рамнина.

Пример 1.

Дадена е коцка \(ABCDA"B"C"D"\) . \(A"P=\dfrac 14AA", \KC=\dfrac15 CC"\). Најдете ја пресечната точка на правата линија \(PK\) и рамнината \(ABC\) .

Решение

1) Затоа што рабовите на коцката \(AA", CC"\) се нормални на \((ABC)\), тогаш точките \(A\) и \(C\) се проекции на точките \(P\) и \(К\). Тогаш линијата \(AC\) е проекција на линијата \(PK\) на рамнината \(ABC\) . Да ги прошириме сегментите \(PK\) и \(AC\) надвор од точките \(K\) и \(C\), соодветно, и да ја добиеме точката на пресек на линиите - точката \(E\) .

2) Најдете го односот \(AC:EC\) . \(\триаголник PAE\sim \триаголник KCE\)на два агли ( \(\агол A=\агол C=90^\circ, \агол Е\)- општо), значи \[\dfrac(PA)(KC)=\dfrac(EA)(EC)\]

Ако работ на коцката го означиме како \(a\) , тогаш \(PA=\dfrac34a, \KC=\dfrac15a, \AC=a\sqrt2\). Потоа:

\[\dfrac(\frac34a)(\frac15a)=\dfrac(a\sqrt2+EC)(EC) \Десна стрелка EC=\dfrac(4\sqrt2)(11)a \Десна стрелка AC:EC=4:11\ ]

Пример 2.

Дана е во право триаголна пирамида\(DABC\) со основа \(ABC\) чија висина е еднаква на страната на основата. Нека точката \(M\) се подели странично ребропирамида во сооднос \(1:4\), броејќи од врвот на пирамидата и \(N\) е висината на пирамидата во однос \(1:2\), броејќи од врвот на пирамидата . Најдете ја точката на пресек на правата линија \(MN\) со рамнината \(ABC\) .

Решение

1) Нека \(DM:MA=1:4, \DN:NO=1:2\) (види слика). Бидејќи пирамидата е правилна, тогаш висината паѓа во точката \(O\) на пресекот на медијаните на основата. Да ја најдеме проекцијата на правата линија \(MN\) на рамнината \(ABC\) . Бидејќи \(DO\perp (ABC)\) , потоа \(NO\perp (ABC)\) . Ова значи дека \(O\) е точка што припаѓа на оваа проекција. Ајде да ја најдеме втората точка. Да ја спуштиме нормалната \(MQ\) од точката \(M\) до рамнината \(ABC\) . Точката \(Q\) ќе лежи на медијаната \(AK\) .
Навистина, затоа што \(MQ\) и \(NO\) се нормални на \((ABC)\), тогаш тие се паралелни (што значи дека лежат во иста рамнина). Затоа, бидејќи точките \(M, N, O\) лежат во истата рамнина \(ADK\), тогаш точката \(Q\) ќе лежи во оваа рамнина. Но, исто така (по конструкција) точката \(Q\) мора да лежи во рамнината \(ABC\), затоа, таа лежи на линијата на пресек на овие рамнини, а ова е \(AK\) .

Ова значи дека линијата \(AK\) е проекција на линијата \(MN\) на рамнината \(ABC\) . \(L\) е точката на пресек на овие прави.

2) Забележете дека за правилно да се нацрта цртежот, неопходно е да се најде точната позиција на точката \(L\) (на пример, во нашиот цртеж точката \(L\) лежи надвор од сегментот \(OK\ ), иако може да лежи внатре во неа, како е точно?).

Бидејќи според условот, страната на основата е еднаква на висината на пирамидата, тогаш означуваме \(AB=DO=a\) . Тогаш медијаната е \(AK=\dfrac(\sqrt3)2a\) . Средства, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1(2\sqrt3)a\). Ајде да ја најдеме должината на отсечката \(OL\) (тогаш можеме да разбереме дали точката \(L\) е внатре или надвор од сегментот \(OK\): ако \(OL>OK\) тогаш е надвор, инаку е внатре).

А) \(\триаголник AMQ\sim \триаголник ADO\)на два агли ( \(\агол Q=\агол O=90^\circ, \\агол A\)- општо). Средства,

\[\dfrac(MQ)(DO)=\dfrac(AQ)(AO)=\dfrac(MA)(DA)=\dfrac 45 \Десна стрелка MQ=\dfrac 45a, \AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a\]

Средства, \(QK=\dfrac(\sqrt3)2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a=\dfrac7(10\sqrt3)a\).

б) Да означиме \(KL=x\) .
\(\триаголник LMQ\sim \триаголник LNO\)на два агли ( \(\агол Q=\агол О=90^\круг, \\агол L\)- општо). Средства,

\[\dfrac(MQ)(NO)=\dfrac(QL)(OL) \Rightarrow \dfrac(\frac45 a)(\frac 23a) =\dfrac(\frac(7)(10\sqrt3)a+x )(\frac1(2\sqrt3)a+x) \Десна стрелка x=\dfrac a(2\sqrt3) \Десна стрелка OL=\dfrac a(\sqrt3)\]

Затоа, \(OL>OK\) значи дека точката \(L\) навистина лежи надвор од сегментот \(AK\) .

Коментар

Не плашете се ако, кога одлучувате слична задачаќе откриете дека должината на отсечката е негативна. Ако во условите на претходната задача добивме дека \(x\) е негативен, тоа би значело дека погрешно сме ја избрале позицијата на точката \(L\) (односно дека се наоѓа во отсечката \(AK \)) .

Пример 3

Дана е во право четириаголна пирамида\(SABCD\) . Најдете го пресекот на пирамидата покрај рамнината \(\алфа\) што минува низ точката \(C\) и средината на работ \(SA\) и паралелно со правата \(BD\) .

Решение

1) Дозволете ни да ја означиме средината на работ \(SA\) со \(M\) . Бидејќи пирамидата е правилна, тогаш висината \(SH\) на пирамидата паѓа до точката на пресек на дијагоналите на основата. Размислете за авионот \(SAC\) . Отсечките \(CM\) и \(SH\) лежат во оваа рамнина, нека се сечат во точката \(O\) .

За да може рамнината \(\алфа\) да биде паралелна со правата \(BD\) , мора да содржи некоја права паралелна на \(BD\) . Точката \(O\) се наоѓа заедно со правата \(BD\) во иста рамнина - во рамнината \(BSD\) . Да ја нацртаме во оваа рамнина низ точката \(O\) правата линија \(KP\паралелно BD\) (\(K\in SB, P\in SD\) ). Потоа, со поврзување на точките \(C, P, M, K\) , добиваме дел од пирамидата со рамнината \(\alpha\) .

2) Да ја најдеме релацијата во која точките \(K\) и \(P\) се поделени со рабовите \(SB\) и \(SD\) . На овој начин целосно ќе го дефинираме конструираниот дел.

Забележете дека бидејќи \(KP\паралелно BD\) , тогаш според теоремата на Талес \(\dfrac(SB)(SK)=\dfrac(SD)(SP)\). Но, \(SB=SD\) значи \(SK=SP\) . Така, може да се најде само \(SP:PD\).

Размислете за \(\триаголник ASC\) . \(CM, SH\) се медијаните во овој триаголник, затоа, пресечната точка е поделена во односот \(2:1\), сметајќи од темето, односно \(SO:OH=2:1\ ) .

Сега според теоремата на Талес од \(\триаголникот BSD\): \(\dfrac(SP)(PD)=\dfrac(SO)(OH)=\dfrac21\).

3) Забележете дека според теоремата за три перпендикулари, \(CO\perp BD\) е како кос (\(OH\) е нормално на рамнината \(ABC\), \(CH\perp БД\) е проекција). Значи, \(CO\perp KP\) . Така, пресекот е четириаголник \(CPMK\) чии дијагонали се меѓусебно нормални.

Пример 4

Дана правоаголна пирамида\(DABC\) со раб \(DB\) нормално на рамнината \(ABC\) . Во основата лежи правоаголен триаголниксо \(\агол B=90^\circ\) и \(AB=DB=CB\) . Нацртајте рамнина низ правата линија \(AB\) нормална на лицето \(DAC\) и пронајдете го пресекот на пирамидата по оваа рамнина.

Решение

1) Рамнината \(\алфа\) ќе биде нормална на лицето \(DAC\) ако содржи права нормална на \(DAC\) . Да нацртаме нормална од точката \(B\) до рамнината \(DAC\) - \(BH\) , \(H\во DAC\) .

Дозволете ни да нацртаме помошен \(BK\) - медијана во \(\триаголник ABC\) и \(DK\) - медијана во \(\триаголник DAC\) .
Бидејќи \(AB=BC\) , тогаш \(\триаголникот ABC\) е рамнокрак, што значи \(BK\) е висината, односно \(BK\perp AC\) .
Бидејќи \(AB=DB=CB\) и \(\агол ABD=\агол CBD=90^\circ\), Тоа \(\триаголник ABD=\триаголник CBD\), затоа, \(AD=CD\) , затоа, \(\триаголникот DAC\) е исто така рамнокрак и \(DK\perp AC\) .

Да ја примениме теоремата за три нормални: \(BH\) – нормално на \(DAC\) ; коси \(BK\perp AC\) , што значи проекција \(HK\perp AC\) . Но, ние веќе утврдивме дека \(DK\perp AC\) . Така, точката \(H\) лежи на сегментот \(DK\) .

Со поврзување на точките \(A\) и \(H\) добиваме отсечка \(AN\) по која рамнината \(\alpha\) го пресекува лицето \(DAC\) . Тогаш \(\триаголник ABN\) е саканиот дел од пирамидата по рамнината \(\алфа\) .

2) Определете ја точната положба на точката \(N\) на работ \(DC\) .

Да означиме \(AB=CB=DB=x\) . Потоа \(BK\) како што медијаната падна од темето прав аголво \(\триаголникот ABC\) е еднаков на \(\frac12 AC\) , затоа \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .

Размислете за \(\триаголник BKD\) . Ајде да го најдеме односот \(DH:HK\) .

Забележете дека од \(BH\perp (DAC)\), тогаш \(BH\) е нормално на која било права линија од оваа рамнина, што значи дека \(BH\) е висината во \(\триаголникот DBK\) . Потоа \(\триаголник DBH\sim \триаголник DBK\), оттука

\[\dfrac(DH)(DB)=\dfrac(DB)(DK) \Rightarrow DH=\dfrac(\sqrt6)3x \Rightarrow HK=\dfrac(\sqrt6)6x \Rightarrow DH:HK=2:1 \]

Ајде сега да го разгледаме \(\триаголникот ADC\) . Средините на точниот пресек триаголник се поделени во односот \(2:1\), сметајќи од темето. Ова значи дека \(H\) е пресечната точка на медијаните во \(\триаголникот ADC\) (бидејќи \(DK\) е медијана). Односно, \(AN\) е исто така медијана, што значи \(DN=NC\) .

Општообразовно училиште І-ІІІ нивоа бр.2

Одделот за образование на градската управа Кировское

„Коцка дел со авион

и нивна практична примена во проблеми“.

Подготвено од наставник по математика

наставник-методолог

Чумакова Г.В.

2015 година

Вовед:

Проблемите за изградба на делови од полиедри заземаат значајно место и на курсевите по геометрија во средно училиште и на испитите различни нивоа. Решавањето на овој тип на проблеми придонесува за асимилација на аксиомите на стереометријата, систематизација на знаењата и вештините, развојот на просторното разбирање и конструктивните вештини. Тешкотиите што се јавуваат при решавање на проблемите кои вклучуваат изградба на делници се добро познати.

Главните дејства што го сочинуваат методот на конструирање пресеци се наоѓање на точката на пресек на права линија со рамнина, конструирање линии на пресек на две рамнини, конструирање права линија паралелна на рамнина и конструирање права линија нормална на рамнина.

Ќе ја илустрирам изградбата на дел користејќи еден проблем од училишен курсматематика:

№1. Конструирај најмалку два дела од коцкатаABCDA 1 Б 1 В 1 Д 1 авион AM 1 В, ако точката М 1 се движи по отсечката BB 1 од Б до Б 1 . Најдете ги границите за мерење на висината на пресекот извлечен од точката М 1 .

Решение: Ајде да конструираме два потребни делови, земајќи ја точката М 1 поблиску до точката Б и точката М 2 поблиску до Б 1 . Двата дела се прикажани на сликата На почетокот на движењето кога точката М 1 штотуку се оддалечи од точката Б 1 , пресекот е триаголник со основа AC и висина M 1 O, кој е малку поголем од сегментот BO, т.е.
Ако точката М 1 ќе заземе позиција М 2 се наоѓа многу блиску до точката Б 1 , Тоа AM 2 С речиси ќе се совпадне со АБ 1 C, а неговата висина е М 1 О – со отсечка Б 1 О, чија должина е
(ОБ 1 =
=
).

Од тука, од причини на континуитет, заклучуваме:

Особено треба да погледнете што се случува ако точката М 1 ја заземе позицијата на темето Б.

№2. Конструирај пресек од коцката со рамнина што минува низ три точки A 1, E и L кои лежат на рабовите на коцката.

Рамнините на лицата A 1 ADD 1 и DD 1 C 1 C се сечат по правата линија DD 1 , а рамнините на лицата A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C се сечат по правата линија D 1 C 1 . Со поврзување на точките А и Е, добиваме права линија на пресек на рамнината на сечењето со рамнината на лицето AA 1 D 1 D, и продолжувајќи ја ја наоѓаме точката N, која припаѓа на три рамнини: рамнината на сечење и рамнините на лицата AA 1 D 1 D u DD 1 C 1 C.

Слично, ја наоѓаме точката M заедничка за три рамнини: рамнината на пресекот и рамнините на лицата A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C . Така, точките N u M припаѓаат на рамнината на сечење и рамнината DD 1 C 1 C; права линија MN е линијата на пресек на рамнината на пресекот со рамнината на лицето DD 1 C 1 C, а F и K се точките на неговото пресекување со рабовите на коцката CD u CC 1. Постојано поврзувајќи ги точките A 1 , E , F , K u L со прави линии, го добиваме пентагонот A ! ЕФКЛ, кој ќе ни го даде посакуваниот дел.

Кога се конструира дел од коцка со помош на рамнина Xсо произволен распоред на точките во пресекот, резултатот е: триаголник, трапез, правоаголник, петаголник или шестоаголник. Секако, се појави прашањето како типот на делот зависи од типот на локацијата на точките што го дефинираат овој дел

Решив да спроведам студија за да дознаам.

Конструирај пресеци на коцка со рамнина кога се дадени три точки кои припаѓаат на рабови со едно теме.

Се земаат три точки A 1 , D , C 1 кои припаѓаат на темето D 1, а самите се темиња на коцката.

Во пресек се покажа рамностран триаголник, бидејќи A 1 C 1 , A 1 D u DC 1 се дијагоналите на лицата на оваа коцка.

Три точки: A 1 u C 1 се темињата на коцката, а точката F припаѓа на работ на коцката DD 1. Точките припаѓаат на правите линии што излегуваат од темето D 1 .

Напречниот пресек резултира со рамнокрак триаголник, бидејќи F е еднакво оддалечено од точките A 1 u C 1 .

Три точки: A 1 u C 1 се темињата на коцката, а точката F припаѓа на правата линија на работ на коцката DD 1. Точките припаѓаат на прави што излегуваат од едно теме D 1 .

Во пресек излегува рамнокрак трапез, бидејќи F е еднакво оддалечено од точките A 1 u C 1, односно LA 1 =KC 1.

Три точки кои припаѓаат на рабови со едно теме D 1. Точките F u M припаѓаат на продолжението на рабовите D 1 D u D 1 C, соодветно, а точката A 1 е темето на коцката.

Напречниот пресек резултира со пентагон A 1 KLNG.

Три точки F, M и Q се земени така што тие лежат на продолжението на рабовите D 1 D, D 1 C 1 и D 1 A 1, соодветно.

Напречниот пресек резултира со шестоаголник KLNGJH.

Три точки лежат на рабовите со едно теме D 1.

Напречниот пресек резултира со произволен триаголник, но ако точките се распоредени така што D 1 Q = D 1 M = D 1 F , односно ако тие се подеднакво оддалечени од темето D 1, тогаш пресекот би резултирал во рамностран триаголник.

Рамнината за сечење е дефинирана со точките H, Q и M. Напречниот пресек произведува паралелограм, бидејќи KC ││ MP и MK ││ PC според теоремата на пресекот на две паралелни рамнини со трета.

Ако поени H, Q и M, дефинирајте ја рамнината на сечење, оддалечена од D, на растојание од 2a, каде што a е за работ на коцката, а потоа во делот излегува правилен триаголник ACB 1.

Заклучок: трите точки што го дефинираат пресекот припаѓаат на три рабови на коцката со заедничко теме или се нивно продолжение, тогаш пресекот резултира со: триаголник, петаголник, шестоаголник, трапез, паралелограм.

Конструирање на дел од коцка со рамнина кога се дадени три точки, од кои две лежат на соседните рабови, а третата точка лежи на раб што не е во непосредна близина на нив.

Три точки M, K u F, се земени така што M u F припаѓаат на рабови со едно теме A 1, а точката K лежи на раб што не е во непосредна близина на нив.

Напречниот пресек резултира со правоаголник, бидејќи A 1 M = D 1 K и со помош на теоремата за три нормални може да се докаже дека MKLF е правоаголник, а ако A 1 M D 1 K, тогаш можете да добиете трапез или пентагон.

Се земаат три точки така што K u L припаѓаат на рабовите што излегуваат од едно теме A 1, а точката N припаѓа на работ CC 1, не во непосредна близина на нив. K, L u N на средните точки на рабовите A 1 A, A 1 B 1 u CC 1 – соодветно.

Во пресек излегува правилен шестоаголник KLGNHM

Се земаат три точки така што K u L припаѓа на рабовите што излегуваат од едно теме A 1, а точката T припаѓа на раб DC.

Напречниот пресек резултира со шестоаголник KLFRTZ.

Се земаат три точки така што K u L припаѓаат на рабовите на коцката од едно теме A 1, а точката M припаѓа на работ DD 1.

Напречниот пресек резултира со трапезоид LKQM.

Три точки K u L кои припаѓаат на рабови со едно теме A 1 и точка R која лежи на работ BC.

Пресекот резултира со пентагон KLFRT.

Заклучок: Ако рамнината за сечење е дефинирана со три точки, од кои две лежат на соседните рабови, а третата на раб што не е во непосредна близина до нив, тогаш пресекот може да резултира со правоаголник, петаголник, шестоаголник, трапез.

Во пресекот на коцката и нејзините посебни случаи има паралелограм.

Поени T, H, J дефинирање на делот се наоѓаат така што Т.Х. АД, Х.Ј. АД. Напречниот пресек резултира со квадрат HTKJ.

Делот е наведен со точките C, F, L, со DF = FD 1, BL = LB 1. Напречниот пресек произведува ромб AFCL.

Делот е дефиниран со точките C, G, H. B 1 H = DG. Во пресекот има паралелограм A 1 GCH.

Точките што го дефинираат пресекот се темињата на коцката A, D, C 1. Напречниот пресек резултира во правоаголник

Пресек на коцка правилни многуаголници

Триаголникот ABC 1 е рамностран, бидејќи неговите страни се дијагоналите на лицата на коцката.

Триаголникот KMT е рамностран, бидејќи KV = MV = ТВ.

KMTE е квадрат, бидејќи делот е дефиниран со точките M, K, E и MK АД, Е.К. АД.

Пресекот има правилен шестоаголник KMTNEO, бидејќи точките H, E, K што го дефинираат пресекот се средните точки на рабовите CC 1, DC, AA 1, соодветно.

Коцка и неколку проблеми за стереометрија од обединет државен испит.

Во прирачникот „Единствен државен испит 2005. Математика. Типично проблеми со тестот“ (Корникова Т. А. и др.) Содржи 10 проблеми (C4) во стереометријата, обединети со заедничка идеја: дадена е триаголна призма ABCA 1 ВО 1 СО 1 страните на основата AB и BC се меѓусебно нормални и нормални на работ BB 1 , AB=BC=BB 1 , темето А е врвот на конусот (или центарот на една од основите на цилиндерот, или центарот на сферата), основата на конусот (сферата или втората основа на цилиндерот) поминува низ средината на едниот раб на призмата, позната е неговата должина. Треба да го најдеме волуменот или површината на конусот (сфера, цилиндар).

Општ примеррешенија:

Додадете ја оваа призма во коцка. Шестоаголник DEFKLM - пресек на коцка по рамнината на основата на конус, чиј круг поминува низ средината A 1 B 1, A е темето на конусот или

DEFKLM е пресек на коцка со рамнината на основата на цилиндерот, чиј круг поминува низ средината на A 1 B 1, A е центарот на втората основа на цилиндерот, или ова е дел од коцка со авион голем кругсфери со центар А, чија сфера минува низ средината на A 1 B 1.

ШестоаголникДЕФКЛМ– пресек на коцка со рамнина што минува низ средината на рабовите А 1 ВО 1 , ББ 1 , VSZh при конструирање на точки се добиваатК, Л, М, кои се средните точки на соодветните рабови. Страните на овој шестоаголник се хипотенуси на триаголницитеД.Б. 1 Е, EBF, FCK, KQL, LRM, М.А. 1 Д, чии краци се еднакви на половина од работ на коцката. Тогаш центарот на овој шестоаголник е центарот на кругот опкружен околу него, кој ги пресекува рабовите на коцката во точкитеД, Е, Ф, К, Ли М, радиусот на овој круг
, каде што 1 ВО 1 = А .

А.О. Е.Л. Т. До. EAL - рамнокрак:АЛ = А.Е. .

( АБЕ u EAL- правоаголни,АБ= AQ= А, БИДИ = Л.К. = )

EO =OL како средна точка на дијагоналата EL на шестоаголникот DEFKLM, т.е. AO е медијана, и според неговите својства рамнокрак триаголники висина. АО се докажува на сличен начин DK. Бидејќи AO е нормална на две вкрстени права на шестоаголната рамнина, тогаш AO е нормална на целата рамнина.

Ако A е темето на конусот, тогаш AO е неговата висина, ако A е центарот на втората основа на цилиндерот, тогаш AO е висината на цилиндерот.

ABC: AC=
, П – пресечни точки на дијагоналите на основата на коцката, AP=
, РР 1 =АА 1 = А . ИЛИ=РР 1 = , потоа од правоаголникот РОА АД=
. И така АО=
.

Тогаш, ако зборуваме за конус:

(од
).

Одговор:

Ако зборуваме за цилиндар:

Одговор:

Ако зборуваме за сферата:

Одговор:

Корникова Т.А. и други типични тест задачи. Единствен државен испит - 2005 г

Опција 6.

Задача. Дадени се призма ABCA 1 B 1 C 1 и цилиндар. Страните AB и BC на основата на призмата се нормални на работ BB 1 и меѓусебно нормални. Центарот на основата на цилиндерот е точката A 1, кругот на втората основа минува низ средината на работ A 1 B 1.

Најдете ја областа целосна површинацилиндар, ако BB 1 =AB=BC=10. Најдете го неговиот волумен.

Решение:

.
.

Тип на лекција: Комбинирана лекција.

Цели и цели:

едукативни – формирање и развој на просторни концепти кај учениците; развивање вештини за решавање на проблеми кои вклучуваат изградба на делови од наједноставните полиедри;
едукативни - негувајте волја и упорност за постигнување конечни резултати при изградба на делови од наједноставните полиедри; Негувајте љубов и интерес за учење математика.
развивање – развој на ученикот логично размислување, просторни претстави, развој на вештини за самоконтрола.

Опрема: компјутери со специјално развиена програма, материјали во форма готови цртежисо задачи, цврсти полиедари, индивидуални карти со домашна задача.

Структура на лекцијата:

Наведете ја темата и целта на часот (2 мин).
Инструкции како да ги завршите задачите на компјутер (2 мин).
Ажурирање на основните знаења и вештини на учениците (4 мин).
Самотестирање (3 мин).
Решавање задачи со објаснување на решението од наставникот (15 мин).
Самостојна работа со самотестирање (10 мин).
Поставување домашна задача (2 мин).
Сумирајќи (2 мин).

За време на часовите

1. Комуницирање на темата и целта на часот

По проверка на подготвеноста на часот за часот, наставникот известува дека денес има лекција на тема „Конструкција на пресеци од полиедари“ ќе се разгледаат проблемите за конструирање на делови од некои едноставни полиедри со рамнини кои минуваат низ три точки кои припаѓаат на рабовите на; полиедарите. Лекцијата ќе се изучува со помош на компјутерска презентација направена во Power Point.

2. Инструкции за безбедност при работа во компјутерска лабораторија

Наставник. Ви го обрнувам вниманието на фактот дека почнувате да работите на час по компјутери и мора да ги следите правилата на однесување и да работите на компјутер. Обезбедете ги плочите што се извлекуваат и обезбедете соодветно вклопување.

3. Ажурирање на основните знаења и вештини на учениците

Наставник. За да се решат многу геометриски проблеми поврзани со полиедрите, корисно е да може да се конструираат нивните пресеци во цртеж користејќи различни рамнини, да се најде точката на пресек на дадена права со дадена рамнина и да се најде линијата на пресек на две дадени рамнини. . Во претходните лекции, ги разгледавме деловите на полиедрите по рамнини паралелни со рабовите и лицата на полиедарите. Во оваа лекција ќе ги разгледаме проблемите кои вклучуваат изградба на делови со рамнина што минува низ три точки лоцирани на рабовите на полиедарите. За да го направите ова, разгледајте ги наједноставните полиедри. Кои се овие полиедри? (Модели на коцка, тетраедар, правилна четириаголна пирамида, права триаголна призма).

Учениците мора да го одредат типот на полиедар.

Наставник. Ајде да видиме како тие изгледаат на екранот на мониторот. Се движиме од слика на слика со притискање на левото копче на глувчето.

Сликите на именуваните полиедри се појавуваат на екранот една по друга.

Наставник. Да се потсетиме што се нарекува дел од полиедар.

Студент. Многуаголник чии страни се отсечки кои припаѓаат на лицата на полиедарот, со краеви на рабовите на полиедарот, добиени со пресекување на многуедарот со произволна рамнина за сечење.

Наставник. Кои многуаголници можат да бидат делови од овие полиедри.

Студент. Пресеци на коцка: три - шестоаголници. Пресеци на тетраедар: триаголници, четириаголници. Пресеци на четириаголна пирамида и триаголна призма: три - петаголници.

4. Само-тестирање

Наставник. Во согласност со концептот на пресеци на полиедри, познавање на аксиомите на стереометријата и релативната положба на линиите и рамнините во просторот, од вас се бара да одговорите на прашањата од тестот. Компјутерот ќе ве цени. Максимален резултат 3 поени - за 3 точни одговори. На секој слајд мора да кликнете на копчето со бројот на точниот одговор. Работите во парови, така што секој од вас ќе го добие истиот компјутерски одреден број поени. Кликнете на следниот индикатор за слајд. Имате 3 минути да ја завршите задачата.

I. На која слика е прикажан пресек на коцка со рамнина ABC?

II. На која слика е прикажан пресек на пирамида со рамнина што минува низ дијагоналата на основата? БДпаралелно со работ С.А.?

III. На која слика е прикажан пресек на тетраедар кој минува низ точка Мпаралелно со авионот ABS?

5. Решавање задачи со објаснување на решението од страна на наставникот

Наставник. Ајде да продолжиме директно на решавање на проблемите. Кликнете на следниот индикатор за слајд.

Проблем 1 Оваа задачаАјде да го погледнеме усно со чекор-по-чекор демонстрација на конструкцијата на екранот на мониторот. Преминот се врши со кликнување на глувчето.

Дадена е коцка ABCDAA 1 Б 1 В 1 Д 1 . На неговиот раб ББ 1 дадена точка М. Најдете ја точката на пресек на права Ц 1 Мсо рамнината на лицето на коцката А БЕ ЦЕ ДЕ.

Размислете за сликата на коцка ABCDAA 1 Б 1 В 1 Д 1 со точка Мна работ ББ 1 поени МИ СО 1 припаѓаат на авионот ББ 1 СО 1 Што може да се каже за правата линија Ц 1 М ?

Студент. Директно Ц 1 Мприпаѓа на авионот ББ 1 СО 1

Наставник. Пребарана точка Xприпаѓа на линијата C 1 M,а со тоа и авиони ББ 1 СО 1 . Како е меѓусебно уредувањеавиони ББ 1 СО 1 и ABC?

Студент. Овие рамнини се сечат во права линија п.н.е..

Наставник. Тоа значи се заеднички точкиавиони ББ 1 СО 1 и ABCприпаѓаат на линијата п.н.е.. Пребарана точка Xмора истовремено да припаѓа на рамнините на две лица: А БЕ ЦЕ ДЕИ ББ 1 В 1 В; од ова произлегува дека точката X мора да лежи на линијата на нивниот пресек, т.е. на права линија Сонцето. Ова значи дека точката X мора да лежи на две прави истовремено: СО 1 МИ Сонцетои, според тоа, е нивната точка на вкрстување. Градба саканата точкапогледнете го на екранот на мониторот. Ќе ја видите конструктивната низа со притискање на левото копче на глувчето: продолжи СО 1 МИ Сонцетодо раскрсницата во точката X, што е саканата пресечна точка на линијата СО 1 Мсо лице авион А БЕ ЦЕ ДЕ.

Наставник. За да преминете на следната задача, користете го следниот индикатор за слајд. Ајде да го разгледаме овој проблем со краток опис на конструкцијата.

А)Конструирај дел од коцка со рамнина што минува низ точките А 1 , МД 1 В 1 и НДД 1 и б)Најдете ја линијата на пресек на рамнината за сечење со рамнината на долната основа на коцката.

Решение. I. Авионот за сечење има лице А 1 Б 1 В 1 Д 1 две заеднички точки А 1 и Ми затоа се вкрстува со него по права линија што минува низ овие точки. Поврзување на точките А 1 и Мправа линија, ја наоѓаме линијата на пресек на рамнината на идниот дел и рамнината горниот раб. Ќе го забележиме овој факт на следниот начин: А 1 М.Притиснете го левото копче на глувчето, со повторно притискање ќе се конструира оваа права линија.

Слично на тоа, ги наоѓаме линиите на пресек на рамнината за сечење со лицата АА 1 Д 1 ДИ ДД 1 СО 1 СО.Со кликнување на копчето на глувчето, ќе видите кратко снимање и напредок во изградбата.

Така, А 1 НМ? саканиот дел.

Да преминеме на вториот дел од проблемот. Ајде да ја најдеме линијата на пресек на рамнината на сечењето со рамнината на долната основа на коцката.

II. Рамнината за сечење се вкрстува со рамнината на основата на коцката во права линија. За да се прикаже оваа линија, доволно е да се најдат две точки кои припаѓаат на оваа линија, т.е. заеднички точки на рамнината за сечење и рамнината на лицето А БЕ ЦЕ ДЕ. Потпирајќи се на претходна задачатакви точки ќе бидат: точка X=. Притиснете го копчето, ќе видите кратка снимка и конструкција. И период Y, што мислите момци, како да го добиете?

Студент. Y =

Наставник. Да ја погледнеме неговата конструкција на екранот. Кликнете на копчето на глувчето. Поврзување на точките XИ Y(Снимајте X-Y), ја добиваме саканата права линија - линијата на пресек на рамнината за сечење со рамнината на долната основа на коцката. Притиснете го левото копче на глувчето - кратко снимање и конструкција.

Проблем 3Конструирај дел од коцката со рамнина што минува низ точките:

Исто така, со притискање на копчето на глувчето, ќе го видите напредокот во изградбата и кратка снимка на екранот на мониторот. Врз основа на концептот на пресек, доволно е да најдеме две точки во рамнината на секое лице за да ја конструираме линијата на пресек на рамнината на сечење и рамнината на секое лице на коцката. Поени МИ Нприпаѓаат на авионот А 1 ВО 1 СО 1 . Со нивно поврзување, ја добиваме линијата на пресек на рамнината за сечење и рамнината на горната страна на коцката (притиснете го копчето на глувчето). Ајде да продолжиме со прави линии МНИ Д 1 В 1 пред раскрсницата. Ајде да добиеме поен X, кои припаѓаат на двата авиони А 1 ВО 1 СО 1 и авион ДД 1 В 1 (клик на глувчето). Поени НИ ДОприпаѓаат на авионот ББ 1 СО 1 . Со нивно поврзување, ја добиваме линијата на пресек на рамнината за сечење и лицето ББ 1 СО 1 СО. (Кликнување на глувчето). Поврзување на точките XИ ДО, и продолжи право HCдо пресекот со линијата DC. Ајде да добиеме поен Ри сегмент КР -линија на пресек на рамнината за сечење и лицето ДД 1 В 1 В. (Кликнување на глувчето). Продолжувајќи директно КРИ ДД 1 пред пресекот, добиваме точка Y, кои припаѓаат на авионот АА 1 Д 1 . (Кликнување на глувчето). Во рамнината на ова лице ни треба уште една точка, која ја добиваме како резултат на пресекот на линиите МНИ А 1 Д 1 . Ова е поентата . (Кликнување на глувчето). Поврзување на точките YИ З, добиваме И . (Кликнување на глувчето). Поврзување ПИ Р, РИ М, ќе го добиеме? саканиот дел.

Краток опис на конструкцијата:

2) ;

6) ;

7) ;

13)? саканиот дел.