Како да најдете примери за јазли со броеви. Нод и нок на броеви - најголем заеднички делител и најмал заеднички множител на неколку броеви

Критериуми за деливост за природни броеви.

Се повикуваат броевите кои се деливи со 2 без остатокдури .

Се повикуваат броевите кои не се рамномерно деливи со 2чудно .

Тест за деливост со 2

Ако природен број завршува со парна цифра, тогаш овој број се дели со 2 без остаток, а ако некој број завршува со непарна цифра, тогаш овој број не е рамномерно делив со 2.

На пример, броевите 60 , 30 8 , 8 4 се делат со 2 без остаток, а броевите се 51 , 8 5 , 16 7 не се делат со 2 без остаток.

Тест за деливост со 3

Ако збирот на цифрите на некој број е делив со 3, тогаш бројот се дели со 3; Ако збирот на цифрите на некој број не се дели со 3, тогаш тој број не се дели со 3.

На пример, да откриеме дали бројот 2772825 е делив со 3. За да го направите ова, да го пресметаме збирот на цифрите на овој број: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - делив со 3. Ова значи дека бројот 2772825 се дели со 3.

Тест за деливост со 5

Ако записот на природен број завршува со цифрата 0 или 5, тогаш овој број се дели со 5 без остаток.

На пример, броевите 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 се делат со 5 без остаток, а броевите се 17 , 37 8 , 9 1 не споделувај.

Тест за деливост со 9

Ако збирот на цифрите на некој број е делив со 9, тогаш бројот се дели со 9; Ако збирот на цифрите на некој број не се дели со 9, тогаш тој број не се дели со 9.

На пример, да дознаеме дали бројот 5402070 е делив со 9. За да го направите ова, да го пресметаме збирот на цифрите на овој број: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не се дели со 9 Ова значи дека бројот 5402070 не се дели со 9.

Тест за деливост со 10

Ако природен број завршува со цифрата 0, тогаш овој број се дели со 10 без остаток.

На пример, броевите 40 , 17 0 , 1409 0 се делат со 10 без остаток, а броевите 17 , 9 3 , 1430 7 - не споделувај.

Правило за наоѓање на најголемиот заеднички делител (GCD).

За да го пронајдете најголемиот заеднички делител на неколку природни броеви, потребно е:

2) од факторите вклучени во проширувањето на еден од овие броеви, пречкртајте ги оние што не се вклучени во проширувањето на другите броеви;

3) најдете го производот од преостанатите фактори.

Пример. Ајде да најдеме GCD (48;36). Да го искористиме правилото.

1. Да ги множиме броевите 48 и 36 во прости множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Од факторите вклучени во проширувањето на бројот 48, ги бришеме оние што не се вклучени во проширувањето на бројот 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Останатите фактори се 2, 2 и 3.

3. Помножете ги преостанатите множители и добијте 12. Овој број е најголемиот заеднички делител на броевите 48 и 36.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Правилото за наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM).

За да го пронајдете најмалиот заеднички множител на неколку природни броеви, треба:

1) фактори ги во прости фактори;

2) запишете ги факторите вклучени во проширувањето на еден од броевите;

3) на нив додадете ги факторите што недостасуваат од проширувањата на преостанатите броеви;

4) најдете го производот од добиените фактори.

Пример.Ајде да го најдеме LOC (75;60). Да го искористиме правилото.

1. Да ги множиме броевите 75 и 60 во прости множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Да ги запишеме факторите вклучени во проширувањето на бројот 75: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Кон нив додадете ги факторите што недостасуваат од проширувањето на бројот 60, т.е. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Најдете го производот од добиените фактори

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Се вика најголемиот природен број со кој броевите a и b се делат без остаток најголемиот заеднички делителовие бројки. Означете GCD(a, b).

Ајде да размислиме да најдеме GCD користејќи го примерот на два природни броја 18 и 60:

  • 1 Ајде да ги факторизираме броевите во прости множители:
    18 = 2×3×3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
  • 2 Отстранете ги од проширувањето на првиот број сите фактори кои не се вклучени во проширувањето на вториот број, добиваме 2×3×3 .
  • 3 Ги множиме преостанатите прости множители по вкрстувањето и го добиваме најголемиот заеднички делител на броевите: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .
  • 4 Забележете дека не е важно дали ги прецртуваме факторите од првиот или вториот број, резултатот ќе биде ист:
    18 = 2×3×3
    60 = 2 × 2 × 3 × 5
    • 324 , 111 И 432

    Да ги факторизираме броевите во прости множители:

    324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

    111 = 3×37

    432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

    Преминувајќи од првиот број чии фактори не се во вториот и третиот број, добиваме:

    2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

    Како резултат на тоа, GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

    Наоѓање на GCD со помош на Евклидов алгоритам

    Вториот начин да се најде најголемиот заеднички делител е користењето Евклидов алгоритам. Евклидов алгоритам е најефикасен начин за наоѓање GCD, користејќи го треба постојано да го наоѓате остатокот од делењето броеви и да го применувате формула за повторување.

    Формула за повторувањеза GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), каде што mod b е остатокот од a поделен со b.

    Евклидовиот алгоритам
    Пример Најдете го најголемиот заеднички делител на броевите 7920 И 594

    Ајде да најдеме GCD( 7920 , 594 ) користејќи го Евклидов алгоритам, ќе го пресметаме остатокот од делењето со помош на калкулатор.

  • GCD( 7920 , 594 )
  • GCD( 594 , 7920 мод 594 ) = GCD ( 594 , 198 )
  • GCD( 198 , 594 мод 198 ) = GCD ( 198 , 0 )
  • GCD( 198 , 0 ) = 198
    • 7920 мод 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
    • 594 мод 198 = 594 - 3 × 198 = 0

      • Како резултат на тоа, добиваме GCD( 7920 , 594 ) = 198

      Најмалку заеднички множител

      За да најдете заеднички именител при собирање и одземање дропки со различни именители, треба да знаете и да можете да пресметате најмал заеднички множител(НОК).

      Повеќекратно од бројот „а“ е број кој сам по себе е делив со бројот „а“ без остаток.

      Броеви кои се множители на 8 (односно, овие броеви се деливи со 8 без остаток): тоа се броевите 16, 24, 32...

      Множества од 9: 18, 27, 36, 45…

      Има бесконечно многу множители на даден број a, за разлика од делителите на истиот број. Има конечен број на делители.

      Заедничкиот множител на два природни броја е број што е делив со двата од овие броеви..

      Најмалку заеднички множител(LCM) од два или повеќе природни броеви е најмалиот природен број кој сам по себе е делив со секој од овие броеви.

      Како да најдете NOC

      LCM може да се најде и напише на два начина.

      Првиот начин да се најде LOC

      Овој метод обично се користи за мал број.

    1. Ги запишуваме множители за секој број на линија додека не најдеме множител кој е ист за двата броја.
    2. Многукратното на бројот „а“ се означува со големата буква „К“.

    Пример. Најдете LCM 6 и 8.

    Вториот начин да се најде LOC

    Овој метод е погоден за користење за да се најде LCM за три или повеќе броеви.

    Бројот на идентични фактори при разложување на броеви може да биде различен.

  • Во проширувањето на помалите броеви, означете ги факторите што не се вклучени во проширувањето на поголемиот број (во нашиот пример, ова е 2) и додадете ги овие фактори на проширувањето на поголемиот број.
    LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
  • Запишете го добиениот производ како одговор.
    Одговор: LCM (24, 60) = 120

    • Можете исто така да го формализирате наоѓањето на најмалиот заеднички множител (LCM) на следниов начин. Ајде да го најдеме LOC (12, 16, 24).

    24 = 2 2 2 3

    Како што гледаме од разложувањето на броевите, сите множители од 12 се вклучени во разложувањето на 24 (најголемиот од броевите), па затоа додаваме само еден 2 од разложувањето на бројот 16 на LCM.

    LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

    Одговор: LCM (12, 16, 24) = 48

    Посебни случаи на наоѓање НПЛ

  • Ако еден од броевите е делив со другите, тогаш најмалиот заеднички множител од овие броеви е еднаков на тој број.

    • На пример, LCM (60, 15) = 60
    Бидејќи сопростите броеви немаат заеднички прости множители, нивниот најмал заеднички множител е еднаков на производот на овие броеви.

    На нашата веб-локација можете да користите и специјален калкулатор за да го пронајдете најреткото повеќекратно онлајн за да ги проверите вашите пресметки.

    Ако природен број е делив само со 1 и со самиот себе, тогаш тој се нарекува прост.

    Секој природен број е секогаш делив со 1 и со самиот себе.

    Бројот 2 е најмалиот прост број. Ова е единствениот парен прост број, останатите прости броеви се непарни.

    Има многу прости броеви, а првиот меѓу нив е бројот 2. Сепак, нема последен прост број. Во делот „За проучување“ можете да преземете табела со прости броеви до 997.

    Но, многу природни броеви се деливи и со други природни броеви.

    • бројот 12 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12;
    • Бројот 36 се дели со 1, со 2, со 3, со 4, со 6, со 12, со 18, со 36.

      • Броевите со кои бројот се дели со целина (за 12 тоа се 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се нарекуваат делители на бројот.

      Делител на природен број a е природен број што го дели дадениот број „а“ без остаток.

      Природниот број кој има повеќе од два делители се нарекува композитен.

      Ве молиме имајте предвид дека броевите 12 и 36 имаат заеднички фактори. Овие броеви се: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Најголем делител на овие броеви е 12.

      Заеднички делител на два дадени броја „а“ и „б“ е бројот со кој двата дадени броеви „а“ и „б“ се делат без остаток.

      Најголем заеднички делител(GCD) од два дадени броја „а“ и „б“ е најголемиот број со кој двата броја „а“ и „б“ се деливи без остаток.

      Накратко, најголемиот заеднички делител на броевите „а“ и „б“ е запишан на следниов начин::

      Пример: gcd (12; 36) = 12.

      Делителите на броевите во записот за решение се означуваат со големата буква „Д“.

      Броевите 7 и 9 имаат само еден заеднички делител - бројот 1. Таквите броеви се нарекуваат копрости броеви.

      Копрости броеви- ова се природни броеви кои имаат само еден заеднички делител - бројот 1. Нивниот gcd е 1.

      Како да се најде најголемиот заеднички делител

      За да го пронајдете gcd на два или повеќе природни броеви, ви треба:

    • разложува делители на броеви на прости множители;

      • Удобно е да се пишуваат пресметки користејќи вертикална лента. Лево од линијата прво ја запишуваме дивидендата, десно - делителот. Следно, во левата колона ги запишуваме вредностите на количниците.

      Ајде да објасниме веднаш со пример. Да ги вброиме броевите 28 и 64 во прости множители.

      Ги нагласуваме истите прости фактори и кај двата броја.
      28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2
    Најдете го производот на идентични прости множители и запишете го одговорот;
    GCD (28; 64) = 2 2 = 4

    Одговор: GCD (28; 64) = 4

    Можете да ја формализирате локацијата на GCD на два начина: во колона (како што е направено погоре) или „по ред“.

    Првиот начин да се напише gcd

    Најдете ги gcd 48 и 36.

    GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

    Вториот начин да се напише gcd

    Сега да го запишеме решението за пребарувањето на GCD во линија. Најдете gcd 10 и 15.

    На нашата информативна страница, можете да го користите и онлајн помошникот за Најголемиот заеднички делител за да ги проверите вашите пресметки.

    Наоѓање на најмал заеднички множител, методи, примери за наоѓање на LCM.

    Материјалот презентиран подолу е логично продолжение на теоријата од написот со наслов LCM - најмал заеднички множител, дефиниција, примери, врска помеѓу LCM и GCD. Тука ќе зборуваме за наоѓање на најмалиот заеднички множител (LCM), а посебно внимание ќе посветиме на решавање на примери. Прво, ќе покажеме како се пресметува LCM на два броја користејќи го GCD на овие броеви. Следно, ќе го разгледаме наоѓањето на најмалиот заеднички множител со факторингирање на броевите во прости множители. По ова, ќе се фокусираме на наоѓање на LCM на три или повеќе броеви, а исто така ќе обрнеме внимание и на пресметување на LCM на негативни броеви.

    Навигација на страница.

    Пресметување на најмалку заедничко повеќекратно (LCM) преку GCD

    Еден начин да се најде најмалиот заеднички множител се заснова на односот помеѓу LCM и GCD. Постоечката врска помеѓу LCM и GCD ни овозможува да го пресметаме најмалиот заеднички множител на два позитивни цели броеви преку познат најголем заеднички делител. Соодветната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Ајде да погледнеме примери за наоѓање на LCM користејќи ја дадената формула.

    Најдете го најмалиот заеднички множител на два броја 126 и 70.

    Во овој пример a=126 , b=70 . Да ја искористиме врската помеѓу LCM и GCD, изразена со формулата LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Односно, прво треба да го најдеме најголемиот заеднички делител на броевите 70 и 126, по што можеме да го пресметаме LCM на овие броеви користејќи ја напишаната формула.

    Да го најдеме GCD(126, 70) користејќи го Евклидов алгоритам: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, значи, GCD(126, 70)=14.

    Сега го наоѓаме бараниот најмал заеднички множител: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

    На што е еднакво LCM(68, 34)?

    Бидејќи 68 е делив со 34, тогаш GCD(68, 34)=34. Сега го пресметуваме најмалиот заеднички множител: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

    Забележете дека претходниот пример одговара на следново правило за наоѓање на LCM за позитивните цели броеви a и b: ако a е делив со b, тогаш најмалиот заеднички множител од овие броеви е a.

    Наоѓање на LCM со факторингирање на броеви во прости множители

    Друг начин да се најде најмалиот заеднички множител е врз основа на факторингирање на броеви во прости множители. Ако составите производ од сите прости множители на дадените броеви, а потоа од овој производ ги исклучите сите заеднички прости множители присутни во разградувањето на дадените броеви, тогаш добиениот производ ќе биде еднаков на најмалиот заеднички множител на дадените броеви .

    Наведеното правило за наоѓање на LCM произлегува од еднаквоста LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Навистина, производот на броевите a и b е еднаков на производот на сите фактори вклучени во проширувањето на броевите a и b. За возврат, GCD(a, b) е еднаков на производот на сите прости множители кои се истовремено присутни во проширувањата на броевите a и b (како што е опишано во делот за наоѓање GCD со користење на проширување на броевите во прости множители).

    Да дадеме пример. Дајте ни до знаење дека 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Да го составиме производот од сите фактори на овие проширувања: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега од овој производ ги исклучуваме сите фактори присутни и во проширувањето на бројот 75 и во проширувањето на бројот 210 (овие фактори се 3 и 5), тогаш производот ќе има форма 2·3·5·5·7 . Вредноста на овој производ е еднаква на најмалиот заеднички множител на броевите 75 и 210, односно LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

    Факторирајте ги броевите 441 и 700 во прости множители и пронајдете го најмалиот заеднички множител од овие броеви.

    Да ги факторизираме броевите 441 и 700 во прости множители:

    Добиваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.

    Сега да создадеме производ од сите фактори вклучени во проширувањето на овие броеви: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Да ги исклучиме од овој производ сите фактори кои се истовремено присутни во двете проширувања (има само еден таков фактор - ова е бројот 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Така, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

    NOC(441, 700)= 44 100 .

    Правилото за наоѓање на LCM со користење на раздвојување на броеви во прости множители може да се формулира малку поинаку. Ако факторите што недостасуваат од проширувањето на бројот b се додадат на факторите од проширувањето на бројот a, тогаш вредноста на добиениот производ ќе биде еднаква на најмалиот заеднички множител на броевите a и b.

    На пример, да ги земеме истите броеви 75 и 210, нивните разложувања на прости множители се следни: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. На факторите 3, 5 и 5 од проширувањето на бројот 75 ги додаваме факторите што недостасуваат 2 и 7 од проширувањето на бројот 210, го добиваме производот 2·3·5·5·7, чија вредност е еднакво на LCM(75, 210).

    Најдете го најмалиот заеднички множител од 84 и 648.

    Прво ги добиваме разложувањата на броевите 84 и 648 на прости множители. Тие изгледаат како 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. На факторите 2, 2, 3 и 7 од проширувањето на бројот 84 ги додаваме факторите што недостасуваат 2, 3, 3 и 3 од проширувањето на бројот 648, го добиваме производот 2 2 2 3 3 3 3 7, што е еднакво на 4 536 . Така, саканиот најмал заеднички множител на 84 и 648 е 4.536.

    Наоѓање на LCM на три или повеќе броеви

    Најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви може да се најде со секвенцијално наоѓање на LCM на два броја. Да се ​​потсетиме на соодветната теорема, која дава начин да се најде LCM на три или повеќе броеви.

    Нека се дадени позитивните цели броеви a 1 , a 2 , …, a k, најмалиот заеднички повеќекратен m k од овие броеви се наоѓа со секвенцијално пресметување m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

    Да ја разгледаме примената на оваа теорема користејќи го примерот за наоѓање на најмал заеднички множител од четири броеви.

    Најдете го LCM на четири броеви 140, 9, 54 и 250.

    Прво наоѓаме m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . За да го направите ова, користејќи го Евклидов алгоритам, одредуваме GCD(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, значи, GCD(140, 9)=1, од кои LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Тоа е, m 2 = 1 260.

    Сега наоѓаме m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54). Да го пресметаме преку GCD(1 260, 54), кој исто така го одредуваме со помош на Евклидов алгоритам: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогаш gcd(1,260, 54)=18, од кои gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоа е, m 3 = 3 780.

    Останува да се најде m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). За да го направите ова, наоѓаме GCD(3,780, 250) користејќи го Евклидов алгоритам: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Според тоа, GCD(3,780, 250)=10, од ​​кои GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Тоа е, m 4 = 94.500.

    Така, најмалиот заеднички множител на оригиналните четири броеви е 94.500.

    LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

    Во многу случаи, погодно е да се најде најмалиот заеднички множител на три или повеќе броеви со користење на прости факторизации на дадените броеви. Во овој случај, треба да се придржувате до следново правило. Најмалиот заеднички множител на неколку броеви е еднаков на производот, кој е составен на следниов начин: факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број се додаваат на сите фактори од проширувањето на првиот број, факторите што недостасуваат од проширувањето на третиот број се додаваат на добиените фактори итн.

    Ајде да погледнеме пример за наоѓање на најмалиот заеднички множител користејќи проста факторизација.

    Најдете го најмалиот заеднички множител од петте броеви 84, 6, 48, 7, 143.

    Прво, добиваме разложување на овие броеви на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е прост број, се совпаѓа со негово разложување на прости множители) и 143=11·13.

    За да го пронајдете LCM на овие броеви, на факторите од првиот број 84 (тие се 2, 2, 3 и 7), треба да ги додадете факторите што недостасуваат од проширувањето на вториот број 6. Распаѓањето на бројот 6 не содржи фактори што недостасуваат, бидејќи и 2 и 3 се веќе присутни во распаѓањето на првиот број 84. Следно, на факторите 2, 2, 3 и 7 ги додаваме факторите 2 и 2 што недостасуваат од проширувањето на третиот број 48, добиваме збир на фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Нема да има потреба да додавате множители на ова множество во следниот чекор, бидејќи 7 веќе е содржано во него. Конечно, на факторите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 ги додаваме факторите што недостасуваат 11 и 13 од проширувањето на бројот 143. Го добиваме производот 2·2·2·2·3·7·11·13, што е еднакво на 48.048.

    Затоа, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

    LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.

    Наоѓање на најмал заеднички множител на негативни броеви

    Понекогаш има задачи во кои треба да го пронајдете најмалиот заеднички множител на броеви, меѓу кои еден, неколку или сите броеви се негативни. Во овие случаи, сите негативни броеви мора да се заменат со нивните спротивни броеви, а потоа мора да се најде LCM на позитивни броеви. Ова е начин да се најде LCM на негативни броеви. На пример, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

    Можеме да го направиме тоа затоа што множеството множители на a е исто со множеството множители на -a (a и −a се спротивни броеви). Навистина, нека b е некој множител на a, тогаш b е делив со a, а концептот на деливост го наведува постоењето на цел број q така што b=a·q. Но, ќе биде точно и еднаквоста b=(−a)·(−q), што поради истиот концепт на деливост значи дека b е делив со −a, односно b е множител на −a. Обратно е исто така точно: ако b е множител на −a, тогаш b е исто така множител на a.

    Најдете го најмалиот заеднички множител на негативните броеви −145 и −45.

    Да ги замениме негативните броеви −145 и −45 со нивните спротивни броеви 145 и 45. Имаме LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Откако го утврдивме GCD(145, 45)=5 (на пример, користејќи го Евклидов алгоритам), го пресметуваме GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Така, најмалиот заеднички множител на негативните цели броеви −145 и −45 е 1.305.

    www.cleverstudents.ru

    Продолжуваме да ја проучуваме поделбата. Во оваа лекција ќе ги разгледаме концептите како што се GCDИ НОК.

    GCDе најголемиот заеднички делител.

    НОКе најмал заеднички множител.

    Темата е прилично досадна, но дефинитивно треба да ја разберете. Без разбирање на оваа тема, нема да можете ефективно да работите со дропки, кои се вистинска пречка во математиката.

    Најголем заеднички делител

    Дефиниција. Најголем заеднички делител на броеви аИ б аИ бподелени без остаток.

    За добро да ја разбереме оваа дефиниција, да ги замениме променливите аИ бкои било два броја, на пример, наместо променлива аДа го замениме бројот 12, и наместо променливата бброј 9. Сега да се обидеме да ја прочитаме оваа дефиниција:

    Најголем заеднички делител на броеви 12 И 9 се нарекува најголем број со кој 12 И 9 поделени без остаток.

    Од дефиницијата е јасно дека станува збор за заеднички делител на броевите 12 и 9, а овој делител е најголем од сите постоечки делители. Треба да се најде овој најголем заеднички делител (GCD).

    За да се најде најголемиот заеднички делител на два броја, се користат три методи. Првиот метод е доста трудоинтензивен, но ви овозможува јасно да ја разберете суштината на темата и да го почувствувате неговото целосно значење.

    Вториот и третиот метод се прилично едноставни и овозможуваат брзо наоѓање на GCD. Ќе ги разгледаме сите три методи. А кој да го користите во пракса зависи од вас да изберете.

    Првиот метод е да се најдат сите можни делители на два броја и да се избере најголемиот. Ајде да го разгледаме овој метод користејќи го следниов пример: Најдете го најголемиот заеднички делител на броевите 12 и 9.

    Прво, ќе ги најдеме сите можни делители на бројот 12. За да го направите ова, ќе поделиме 12 со сите делители во опсегот од 1 до 12. Ако делителот ни дозволува да делиме 12 без остаток, тогаш ќе го истакнеме во сино и во загради направи соодветно објаснување.

    12: 1 = 12
    (12 се дели со 1 без остаток, што значи дека 1 е делител на бројот 12)

    12: 2 = 6
    (12 се дели со 2 без остаток, што значи дека 2 е делител на бројот 12)

    12: 3 = 4
    (12 се дели со 3 без остаток, што значи дека 3 е делител на бројот 12)

    12: 4 = 3
    (12 се дели со 4 без остаток, што значи дека 4 е делител на бројот 12)

    12: 5 = 2 (преостанати 2)
    (12 не се дели со 5 без остаток, што значи дека 5 не е делител на бројот 12)

    12: 6 = 2
    (12 се дели со 6 без остаток, што значи 6 е делител на бројот 12)

    12: 7 = 1 (преостанати 5)
    (12 не се дели со 7 без остаток, што значи 7 не е делител на бројот 12)

    12: 8 = 1 (преостанати 4)
    (12 не се дели со 8 без остаток, што значи 8 не е делител на 12)

    12: 9 = 1 (3 преостанати)
    (12 не се дели со 9 без остаток, што значи дека 9 не е делител на бројот 12)

    12: 10 = 1 (2 преостанати)
    (12 не се дели со 10 без остаток, што значи дека 10 не е делител на бројот 12)

    12: 11 = 1 (1 преостанат)
    (12 не се дели со 11 без остаток, што значи 11 не е делител на 12)

    12: 12 = 1
    (12 се дели со 12 без остаток, што значи дека 12 е делител на бројот 12)

    Сега да ги најдеме делителите на бројот 9. За да го направите ова, проверете ги сите делители од 1 до 9

    9: 1 = 9
    (9 се дели со 1 без остаток, што значи дека 1 е делител на бројот 9)

    9: 2 = 4 (1 преостанат)
    (9 не се дели со 2 без остаток, што значи дека 2 не е делител на бројот 9)

    9: 3 = 3
    (9 се дели со 3 без остаток, што значи дека 3 е делител на бројот 9)

    9: 4 = 2 (1 преостанат)
    (9 не се дели со 4 без остаток, што значи дека 4 не е делител на бројот 9)

    9: 5 = 1 (4 преостанати)
    (9 не се дели со 5 без остаток, што значи дека 5 не е делител на бројот 9)

    9: 6 = 1 (3 преостанати)
    (9 не се дели со 6 без остаток, што значи дека 6 не е делител на бројот 9)

    9: 7 = 1 (преостанати 2)
    (9 не се дели со 7 без остаток, што значи дека 7 не е делител на бројот 9)

    9: 8 = 1 (1 преостанат)
    (9 не се дели со 8 без остаток, што значи дека 8 не е делител на бројот 9)

    9: 9 = 1
    (9 се дели со 9 без остаток, што значи дека 9 е делител на бројот 9)

    Сега да ги запишеме делителите на двата броја. Броевите означени со сино се делители. Ајде да ги запишеме:

    Откако ги напишавте делителите, можете веднаш да одредите кој е најголемиот и најчестиот.

    По дефиниција, најголемиот заеднички делител на броевите 12 и 9 е бројот што ги дели 12 и 9 без остаток. Најголем и заеднички делител на броевите 12 и 9 е бројот 3

    И бројот 12 и бројот 9 се делат со 3 без остаток:

    Значи gcd (12 и 9) = 3

    Вториот начин да се најде GCD

    Сега да го погледнеме вториот метод за наоѓање на најголемиот заеднички делител. Суштината на овој метод е да се разложат двата броја на прости множители и да се множат заедничките.

    Пример 1. Најдете го gcd од броевите 24 и 18

    Прво, да ги факторизираме двата броја во прости множители:

    Сега да ги умножиме нивните заеднички фактори. За да се избегне забуна, може да се нагласат заеднички фактори.

    Го гледаме проширувањето на бројот 24. Неговиот прв фактор е 2. Го бараме истиот фактор во проширувањето на бројот 18 и гледаме дека и тој е таму. Ги нагласуваме двете две:

    Повторно гледаме на проширувањето на бројот 24. Неговиот втор фактор е исто така 2. Го бараме истиот фактор во проширувањето на бројот 18 и гледаме дека по втор пат повеќе го нема. Тогаш не нагласуваме ништо.

    Следните две во проширувањето на бројот 24 отсуствуваат и во проширувањето на бројот 18.

    Да преминеме на последниот фактор во проширувањето на бројот 24. Ова е факторот 3. Го бараме истиот фактор во проширувањето на бројот 18 и гледаме дека и тој е таму. Ги нагласуваме двете тројки:

    Значи, заедничките фактори на броевите 24 и 18 се факторите 2 и 3. За да се добие GCD, овие фактори мора да се помножат:

    Значи gcd (24 и 18) = 6

    Третиот начин да се најде GCD

    Сега да го погледнеме третиот начин да го најдеме најголемиот заеднички делител. Суштината на овој метод е дека броевите што треба да се најдат за најголемиот заеднички делител се разложуваат на прости множители. Потоа, од проширувањето на првиот број, се прецртуваат фактори кои не се вклучени во проширувањето на вториот број. Останатите броеви во првото проширување се множат и се добиваат GCD.

    На пример, ајде да најдеме GCD за броевите 28 и 16 користејќи го овој метод. Пред сè, ги разложуваме овие броеви на прости фактори:

    Добивме две проширувања: и

    Сега од разложувањето на првиот број ќе ги избришеме факторите кои не се вклучени во разложувањето на вториот број. Проширувањето на вториот број не вклучува седум. Да го прецртаме од првото проширување:

    Сега ги множиме преостанатите фактори и добиваме GCD:

    Бројот 4 е најголемиот заеднички делител на броевите 28 и 16. И двата броја се деливи со 4 без остаток:

    Пример 2.Најдете го gcd од броевите 100 и 40

    Факторирање на бројот 100

    Факторирање на бројот 40

    Добивме две проширувања:

    Сега од разложувањето на првиот број ќе ги избришеме факторите кои не се вклучени во разложувањето на вториот број. Проширувањето на вториот број не вклучува една петка (има само една петка). Да го прецртаме од првото проширување

    Ајде да ги помножиме преостанатите броеви:

    Го добивме одговорот 20. Тоа значи дека бројот 20 е најголемиот заеднички делител на броевите 100 и 40. Овие два броја се деливи со 20 без остаток:

    GCD (100 и 40) = 20.

    Пример 3.Најдете го gcd од броевите 72 и 128

    Факторирање на бројот 72

    Факторирање на бројот 128

    2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

    Сега од разложувањето на првиот број ќе ги избришеме факторите кои не се вклучени во разложувањето на вториот број. Проширувањето на вториот број не вклучува две тројки (воопшто ги нема). Да ги прецртаме од првото проширување:

    Го добивме одговорот 8. Тоа значи дека бројот 8 е најголемиот заеднички делител на броевите 72 и 128. Овие два броја се деливи со 8 без остаток:

    GCD (72 и 128) = 8

    Наоѓање на GCD за неколку броеви

    Најголемиот заеднички делител може да се најде за неколку броеви, а не само за два. За да го направите ова, броевите што треба да се најдат за најголемиот заеднички делител се разложуваат на прости множители, а потоа се наоѓа производот од заедничките прости множители на овие броеви.

    На пример, да најдеме GCD за броевите 18, 24 и 36

    Ајде да го факторизираме бројот 18

    Ајде да го факторизираме бројот 24

    Ајде да го факторизираме бројот 36

    Добивме три проширувања:

    Сега да ги истакнеме и подвлечеме заедничките фактори во овие бројки. Заедничките фактори мора да се појават во сите три бројки:

    Гледаме дека заедничките фактори за броевите 18, 24 и 36 се факторите 2 и 3. Помножувајќи ги овие фактори, ја добиваме gcd што ја бараме:

    Го добивме одговорот 6. Тоа значи дека бројот 6 е ​​најголемиот заеднички делител на броевите 18, 24 и 36. Овие три броја се деливи со 6 без остаток:

    GCD (18, 24 и 36) = 6

    Пример 2.Најдете GCD за броевите 12, 24, 36 и 42

    Ајде да го факторизираме секој број во прости множители. Потоа го наоѓаме производот на заедничките фактори на овие броеви.

    Ајде да го факторизираме бројот 12

    Да го факторизираме бројот 42

    Добивме четири проширувања:

    Сега да ги истакнеме и подвлечеме заедничките фактори во овие бројки. Заедничките фактори мора да се појават во сите четири броеви:

    Гледаме дека заедничките фактори за броевите 12, 24, 36 и 42 се факторите од 2 и 3. Помножувајќи ги овие фактори заедно, ја добиваме gcd што ја бараме:

    Го добивме одговорот 6. Тоа значи дека бројот 6 е ​​најголемиот заеднички делител на броевите 12, 24, 36 и 42. Овие броеви се деливи со 6 без остаток:

    GCD (12, 24, 36 и 42) = 6

    Од претходната лекција знаеме дека ако некој број се подели со друг без остаток, тој се нарекува множител на овој број.

    Излегува дека неколку броеви можат да имаат заеднички множител. И сега ќе нè интересира множителот на два броја, и тој треба да биде што е можно помал.

    Дефиниција. Најмал заеднички множител (LCM) на броеви аИ б- аИ б аи број б.

    Дефиницијата содржи две променливи аИ б. Ајде да замениме кои било два броја наместо овие променливи. На пример, наместо променлива аДа го замениме бројот 9, и наместо променливата бАјде да го замениме бројот 12. Сега да се обидеме да ја прочитаме дефиницијата:

    Најмал заеднички множител (LCM) на броеви 9 И 12 - е најмалиот број кој е повеќекратен од 9 И 12 . Со други зборови, ова е толку мал број што е делив без остаток со бројот 9 и по број 12 .

    Од дефиницијата е јасно дека LCM е најмалиот број што е делив со 9 и 12 без остаток.Овој LCM треба да се најде.

    За да го пронајдете најмалиот заеднички множител (LCM), можете да користите два методи. Првиот начин е да можете да ги запишете првите множители на два броја, а потоа да изберете меѓу овие множители број што ќе биде заеднички за двата броја и мал. Ајде да го примениме овој метод.

    Прво, да ги најдеме првите множители на бројот 9. За да ги пронајдете множителите на 9, треба да ја помножите оваа деветка една по една со броеви од 1 до 9. Добиените одговори ќе бидат множители на бројот 9. Значи, да почнеме. Ќе истакнеме множители со црвено:

    Сега ги наоѓаме множителите на бројот 12. За да го направите ова, множиме 12 еден по еден со сите броеви од 1 до 12.

    Сега и во следново ќе претпоставиме дека барем еден од овие броеви не е нула. Ако сите дадени броеви се еднакви на нула, тогаш нивниот заеднички делител е кој било цел број, а бидејќи има бесконечно многу цели броеви, не можеме да зборуваме за најголемиот од нив. Затоа, не можеме да зборуваме за најголемиот заеднички делител на броеви, од кои секој е еднаков на нула.

    Сега можеме да дадеме одредување на најголемиот заеднички делителдва броја.

    Дефиниција.

    Најголем заеднички делителдва цели броеви е најголемиот цел број што дели два дадени цели броеви.

    За накратко да се напише најголемиот заеднички делител, често се користи кратенката GCD - Greatest Common Divisor. Исто така, најголемиот заеднички делител на два броја a и b често се означува како GCD(a, b) .

    Ајде да дадеме пример на најголем заеднички делител (GCD)два цели броеви. Најголемиот заеднички делител на броевите 6 и −15 е 3. Да го оправдаме ова. Да ги запишеме сите делители на бројот шест: ±6, ±3, ±1, а делители на бројот −15 се броевите ±15, ±5, ±3 и ±1. Сега можете да ги најдете сите заеднички делители на броевите 6 и −15, тоа се броевите −3, −1, 1 и 3. Од −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

    Одредувањето на најголемиот заеднички делител на три или повеќе цели броеви е слично на определувањето на gcd на два броја.

    Дефиниција.

    Најголем заеднички делителтри или повеќе цели броеви е најголемиот цел број што ги дели сите дадени броеви во исто време.

    Најголемиот заеднички делител на n цели броеви a 1 , a 2 , …, a n ќе го означиме како GCD(a 1 , a 2 , ..., a n) . Ако се најде вредноста b на најголемиот заеднички делител на овие броеви, тогаш можеме да запишеме GCD(a 1, a 2, …, a n)=b.

    Како пример, да го дадеме gcd на четири цели броеви −8, 52, 16 и −12, тој е еднаков на 4, односно gcd(−8, 52, 16, −12)=4. Тоа може да се провери со запишување на сите делители на дадените броеви, избирање заеднички од нив и одредување на најголемиот заеднички делител.

    Забележете дека најголемиот заеднички делител на цели броеви може да биде еднаков на еден од овие броеви. Ова тврдење е точно ако сите дадени броеви се деливи со еден од нив (доказот е даден во следниот став од овој член). На пример, GCD(15, 60, -45)=15. Ова е точно, бидејќи 15 ги дели и бројот 15 и бројот 60 и бројот -45, а не постои заеднички делител на броевите 15, 60 и −45 што надминува 15.

    Од особен интерес се таканаречените релативно прости броеви - оние цели броеви чиј најголем заеднички делител е еднаков на еден.

    Својства на најголемиот заеднички делител, Евклидов алгоритам

    Најголемиот заеднички делител има голем број на карактеристични резултати, со други зборови, голем број својства. Сега ќе ги наведеме главните својства на најголемиот заеднички делител (GCD), ќе ги формулираме во форма на теореми и веднаш ќе обезбедиме докази.

    Ќе ги формулираме сите својства на најголемиот заеднички делител за позитивни цели броеви, а ќе ги разгледаме само позитивните делители на овие броеви.

      Најголемиот заеднички делител на броевите a и b е еднаков на најголемиот заеднички делител на броевите b и a , односно gcd(a, b) = gcd(a, b) .

      Ова својство на GCD следи директно од дефиницијата за најголем заеднички делител.

      Ако a е делив со b, тогаш множеството заеднички делители на броевите a и b се совпаѓа со множеството делители на бројот b, особено gcd(a, b)=b.

      Доказ.

      Секој заеднички делител на броевите a и b е делител на секој од овие броеви, вклучувајќи го и бројот b. Од друга страна, бидејќи a е повеќекратно од b, тогаш секој делител на бројот b е делител на бројот a поради фактот што деливоста има својство на транзитивност, затоа, секој делител на бројот b е заеднички делител на броевите a и b. Ова докажува дека ако a е делив со b, тогаш множеството делители на броевите a и b се совпаѓа со множеството делители на еден број b. А бидејќи најголемиот делител на бројот b е самиот број b, тогаш и најголемиот заеднички делител на броевите a и b е еднаков на b, односно gcd(a, b)=b.

      Особено, ако броевите a и b се еднакви, тогаш gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. На пример, GCD(132, 132)=132.

      Докажаното својство на најголемиот делител ни овозможува да го најдеме gcd на два броја кога еден од нив се дели со другиот. Во овој случај, GCD е еднаков на еден од овие броеви, кој е поделен со друг број. На пример, GCD(8, 24)=8, бидејќи 24 е множител на осум.

      Ако a=b·q+c, каде a, b, c и q се цели броеви, тогаш множеството заеднички делители на броевите a и b се совпаѓа со множеството заеднички делители на броевите b и c, особено, gcd (a, b)=gcd (b, c) .

      Дозволете ни да го оправдаме ова својство на GCD.

      Бидејќи важи равенството a=b·q+c, тогаш секој заеднички делител на броевите a и b го дели и c (ова произлегува од својствата на деливост). Од истата причина, секој заеднички делител на b и c го дели a. Според тоа, множеството заеднички делители на броевите a и b се совпаѓа со множеството заеднички делители на броевите b и c. Особено, најголемиот од овие заеднички делители, исто така, мора да се совпаѓа, односно, следната еднаквост GCD(a, b) = GCD(b, c) мора да биде точно.

      Сега ќе ја формулираме и докажеме теоремата, која е Евклидов алгоритам. Евклидовиот алгоритам ви овозможува да го пронајдете GCD на два броја (види наоѓање на GCD користејќи го Евклидовиот алгоритам). Покрај тоа, Евклидовиот алгоритам ќе ни овозможи да ги докажеме следните својства на најголемиот заеднички делител.

      Пред да ја дадете формулацијата на теоремата, препорачуваме да ја освежите меморијата за теоремата од делот за теорија, во кој се вели дека дивидендата a може да се претстави како b q + r, каде што b е делител, q е некој цел број наречен нецелосен количник, и r е цел број кој го задоволува условот, наречен остаток.

      Значи, нека е точна серија еднаквости за два ненулта позитивни цели броеви a и b

      завршува кога r k+1 =0 (што е неизбежно, бидејќи b>r 1 >r 2 >r 3 , ... е серија од цели броеви кои се намалуваат, и оваа серија не може да содржи повеќе од конечен број позитивни броеви), тогаш r k – ова е најголемиот заеднички делител на броевите a и b, односно r k = gcd(a, b) .

      Доказ.

      Прво да докажеме дека r k е заеднички делител на броевите a и b, по што ќе покажеме дека r k не е само делител, туку најголемиот заеднички делител на броевите a и b.

      Ќе се движиме по напишаните еднаквости од дното кон врвот. Од последното равенство можеме да кажеме дека r k−1 е делив со r k . Земајќи го во предвид овој факт, како и претходното својство на GCD, претпоследната еднаквост r k−2 =r k−1 ·q k +r k ни овозможува да констатираме дека r k−2 е делив со r k, бидејќи r k−1 е делив со r k а r k е делив со r k. По аналогија, од третото равенство од долу заклучуваме дека r k−3 е делив со r k . И така натаму. Од второто равенство добиваме дека b е делив со r k, а од првото равенство добиваме дека a е делив со r k. Според тоа, r k е заеднички делител на броевите a и b.

      Останува да се докаже дека r k = GCD(a, b) . Зашто, доволно е да се покаже дека секој заеднички делител на броевите a и b (да го означиме r 0 ) го дели r k .

      Ќе се движиме по оригиналните еднаквости од врвот до дното. Поради претходното својство, од првото равенство произлегува дека r 1 е делив со r 0 . Тогаш од второто равенство добиваме дека r 2 е делив со r 0 . И така натаму. Од последното равенство добиваме дека r k е делив со r 0 . Така, r k = GCD(a, b) .

      Од разгледуваното својство на најголемиот заеднички делител произлегува дека множеството заеднички делители на броевите a и b се совпаѓа со множеството делители на најголемиот заеднички делител на овие броеви. Овој заклучок од Евклидовиот алгоритам ни овозможува да ги најдеме сите заеднички делители на два броја како делители на gcd на овие броеви.

      Нека a и b се цели броеви кои не се еднакви на нула во исто време, тогаш има цели броеви u 0 и v 0, тогаш е точно равенството GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0. Последната еднаквост е линеарна претстава на најголемиот заеднички делител на броевите a и b, оваа еднаквост се нарекува релација Bezout, а броевите u 0 и v 0 се нарекуваат коефициенти на Bezout.

      Доказ.

      Користејќи го Евклидов алгоритам можеме да ги напишеме следните еднаквости

      Од првото равенство имаме r 1 =a−b·q 1, и означувајќи 1=s 1 и −q 1 =t 1, оваа еднаквост добива форма r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b, и броевите s 1 и t 1 се цели броеви. Потоа од второто равенство добиваме r 2 =b−r 1 ·q 2 = b−(s 1 ·a+t 1 ·b)·q 2 =−s 1 ·q 2 ·a+(1−t 1 ·q 2)·b. Означувајќи −s 1 ·q 2 =s 2 и 1−t 1 ·q 2 =t 2, последното равенство може да се запише како r 2 =s 2 ·a+t 2 ·b, а s 2 и t 2 се цели броеви (бидејќи збирот, разликата и производот на цели броеви е цел број). Слично, од третото равенство добиваме r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, од четвртото равенство r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b итн. Конечно, r k =s k ·a+t k ·b, каде што s k и t k се цели броеви. Бидејќи r k =GCD(a, b) , и означувајќи s k =u 0 и t k =v 0, добиваме линеарна претстава на GCD со потребната форма: GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 .

      Ако m е кој било природен број, тогаш GCD(m a, m b)=m GCD(a, b).

      Образложението за ова својство на најголемиот заеднички делител е како што следува. Ако ги помножиме со m двете страни на секоја од еднаквостите на Евклидовиот алгоритам, ќе добиеме дека GCD(m·a, m·b)=m·r k , а r k е GCD(a, b) . Оттука, GCD(m a, m b)=m GCD(a, b).

      Методот за пронаоѓање на GCD со користење на проста факторизација се заснова на ова својство на најголемиот заеднички делител.

      Нека p е секој заеднички делител на броевите a и b, тогаш gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, особено, ако p=GCD(a, b) имаме gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, односно, броевите a:GCD(a, b) и b:GCD(a, b) се релативно прости.

      Бидејќи a=p·(a:p) и b=p·(b:p) , и поради претходното својство, можеме да напишеме синџир на еднаквости од формата GCD(a, b)=GCD(p (a:p), p (b:p))= p·GCD(a:p, b:p) , од што следи еднаквоста што се докажува.

      Својството на најголемиот заеднички делител што штотуку го докажавме е основата на .

      Сега да зборуваме за својството GCD, кое го намалува проблемот со наоѓање на најголемиот заеднички делител на три или повеќе броеви на секвенцијално наоѓање на GCD на два броја.

      Најголемиот заеднички делител на броевите a 1 , a 2 , ..., a k е еднаков на бројот d k , кој се наоѓа со секвенцијално пресметување на GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)= d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4, …, GCD(d k-1, a k)=d k.

      Доказот се заснова на последица на Евклидов алгоритам. Заедничките делители на броевите a 1 и a 2 се совпаѓаат со делителите на d 2. Тогаш заедничките делители на броевите a 1, a 2 и a 3 се совпаѓаат со заедничките делители на броевите d 2 и a 3, според тоа, тие се совпаѓаат со делителите на d 3. Заедничките делители на броевите a 1, a 2, a 3 и a 4 се совпаѓаат со заедничките делители на d 3 и a 4, според тоа, тие се совпаѓаат со делителите на d 4. И така натаму. Конечно, заедничките делители на броевите a 1, a 2, ..., a k се совпаѓаат со делителите d k. И бидејќи најголемиот делител на бројот d k е самиот број d k, тогаш GCD(a 1, a 2, …, a k)=d k.

    Ова го завршува нашиот преглед на основните својства на најголемиот заеднички делител.

    Библиографија.

    • Виленкин Н.Ја. и други.Математика. 6 одделение: учебник за општообразовни установи.
    • Виноградов И.М. Основи на теоријата на броеви.
    • Михелович Ш.Х. Теорија на броеви.
    • Куликов Л.Ја. и други.Збирка задачи по алгебра и теорија на броеви: Учебник за студенти по физика и математика. специјалитети на педагошките институти.

    За да научите како да го пронајдете најголемиот заеднички делител на два или повеќе броеви, треба да разберете што се природни, прости и сложени броеви.


    Природен број е секој број што се користи за броење цели предмети.


    Ако природен број може да се подели само на себе и еден, тогаш тој се нарекува прост.


    Сите природни броеви можат да се поделат сами со себе и еден, но единствениот парен прост број е 2, сите други може да се поделат со два. Според тоа, само непарните броеви можат да бидат прости.


    Има доста прости броеви, не постои комплетна листа на нив. За да се најде GCD, погодно е да се користат специјални табели со такви броеви.


    Повеќето природни броеви можат да се поделат не само со еден, самите нив, туку и со други броеви. Така, на пример, бројот 15 може да се подели со уште 3 и 5. Сите тие се нарекуваат делители на бројот 15.


    Така, делител на кое било А е бројот со кој може да се подели без остаток. Ако некој број има повеќе од два природни фактори, тој се нарекува композитен.


    Бројот 30 може да има делители како 1, 3, 5, 6, 15, 30.


    Ќе забележите дека 15 и 30 имаат исти делители 1, 3, 5, 15. Најголем заеднички делител на овие два броја е 15.


    Така, заедничкиот делител на броевите А и Б е бројот со кој тие можат целосно да се поделат. Најголем може да се смета за максимален вкупен број со кој може да се поделат.


    За да се решат проблемите, се користи следниов скратен натпис:


    GCD (A; B).


    На пример, gcd (15; 30) = 30.


    За да ги запишете сите делители на природен број, користете ја ознаката:


    D (15) = (1, 3, 5, 15)



    GCD (9; 15) = 1


    Во овој пример, природните броеви имаат само еден заеднички делител. Тие се нарекуваат релативно прости, така што единството е нивниот најголем заеднички делител.

    Како да се најде најголемиот заеднички делител на броеви

    За да го пронајдете gcd на неколку броеви, потребно е:


    Најди ги сите делители на секој природен број посебно, односно множи ги во множители (прости броеви);


    Изберете ги сите идентични фактори на дадените броеви;


    Помножете ги заедно.


    На пример, за да се пресмета најголемиот заеднички делител на броевите 30 и 56, би го напишале следново:




    За да се избегне забуна, погодно е да се пишуваат фактори користејќи вертикални колони. На левата страна на линијата треба да ја поставите дивидендата, а од десната страна - делителот. Под дивидендата треба да го наведете добиениот количник.


    Значи, во десната колона ќе ги има сите фактори потребни за решението.


    За погодност може да се подвлечат идентични делители (пронајдени фактори). Тие треба да се препишат и множат и да се запише најголемиот заеднички делител.





    GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10


    Вака навистина е лесно да се најде најголемиот заеднички делител на броевите. Ако вежбате малку, можете да го направите ова речиси автоматски.

    Најголем заеднички делител

    Дефиниција 2

    Ако природниот број a е делив со природен број $b$, тогаш $b$ се нарекува делител на $a$, а $a$ се нарекува множител на $b$.

    Нека $a$ и $b$ се природни броеви. Бројот $c$ се нарекува заеднички делител и на $a$ и на $b$.

    Множеството на заеднички делители на броевите $a$ и $b$ е конечно, бидејќи ниту еден од овие делители не може да биде поголем од $a$. Тоа значи дека меѓу овие делители има најголем, кој се нарекува најголем заеднички делител на броевите $a$ и $b$ и се означува со следните ознаки:

    $GCD \(a;b)\ или \D\(a;b)$

    За да го пронајдете најголемиот заеднички делител на два броја, потребно е:

    1. Најдете го производот на броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител.

    Пример 1

    Најдете го gcd од броевите $121$ и $132.$

      $242=2\cdot 11\cdot 11$

      $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

      Изберете ги броевите што се вклучени во проширувањето на овие броеви

      $242=2\cdot 11\cdot 11$

      $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

      Најдете го производот на броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител.

      $GCD=2\cdot 11=22$

    Пример 2

    Најдете го gcd на мономите $63$ и $81$.

    Ќе најдеме според презентираниот алгоритам. За ова:

      Да ги факторизираме броевите во прости множители

      $63=3\cdot 3\cdot 7$

      $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

      Ги избираме броевите што се вклучени во проширувањето на овие броеви

      $63=3\cdot 3\cdot 7$

      $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

      Да го најдеме производот од броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител.

      $GCD=3\cdot 3=9$

    Можете да го најдете gcd на два броја на друг начин, користејќи множество делители на броеви.

    Пример 3

    Најдете го gcd од броевите $48$ и $60$.

    Решение:

    Да го најдеме множеството делители на бројот $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\десно\)$

    Сега да го најдеме множеството делители на бројот $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\десно\) $

    Да го најдеме пресекот на овие множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ова множество ќе го одреди множеството на заеднички делители на броевите $48$ и $60 $. Најголемиот елемент во овој сет ќе биде бројот $12$. Ова значи дека најголемиот заеднички делител на броевите $48$ и $60$ е $12$.

    Дефиниција на NPL

    Дефиниција 3

    Заеднички множители на природни броеви$a$ и $b$ е природен број кој е множител и на $a$ и $b$.

    Заеднички множители на броеви се броеви кои се деливи со оригиналните броеви без остаток. На пример, за броевите $25$ и $50$, заедничките множители ќе бидат броевите $50,100,150,200$ итн.

    Најмалиот заеднички множител ќе се нарекува најмал заеднички множител и ќе биде означен LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$

    За да го пронајдете LCM на два броја, треба:

    1. Фактори броеви во прости фактори
    2. Запишете ги факторите што се дел од првиот број и додајте ги факторите што се дел од вториот, а не се дел од првиот

    Пример 4

    Најдете го LCM на броевите $99$ и $77$.

    Ќе најдеме според презентираниот алгоритам. За ова

      Фактори броеви во прости фактори

      $99=3\cdot 3\cdot 11$

      Запишете ги факторите вклучени во првиот

      додадете на нив множители кои се дел од вториот, а не дел од првиот

      Најдете го производот на броевите пронајдени во чекор 2. Добиениот број ќе биде посакуваниот најмал заеднички множител

      $NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

      Составувањето листи на делители на броеви често е многу трудоинтензивна задача. Постои начин да се најде GCD наречен Евклидов алгоритам.

      Изјави на кои се заснова Евклидов алгоритам:

      Ако $a$ и $b$ се природни броеви, и $a\vdots b$, тогаш $D(a;b)=b$

      Ако $a$ и $b$ се природни броеви такви што $b

    Користејќи $D(a;b)= D(a-b;b)$, можеме сукцесивно да ги намалиме разгледуваните броеви додека не достигнеме пар броеви така што еден од нив е делив со другиот. Тогаш помалиот од овие броеви ќе биде посакуваниот најголем заеднички делител за броевите $a$ и $b$.

    Својства на GCD и LCM

    1. Секој заеднички множител на $a$ и $b$ е делив со K$(a;b)$
    2. Ако $a\vdots b$ , тогаш К$(a;b)=a$

      3. Ако K$(a;b)=k$ и $m$ е природен број, тогаш K$(am;bm)=km$

      Ако $d$ е заеднички делител за $a$ и $b$, тогаш K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

      Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогаш $\frac(ab)(c)$ е заеднички множител на $a$ и $b$

      За сите природни броеви $a$ и $b$ важи еднаквоста

      $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

      Секој заеднички делител на броевите $a$ и $b$ е делител на бројот $D(a;b)$