ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ: ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಗಣಿತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅಂತಹುದೇ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮೀರಿದ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್, ಸೆಟ್ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಆಧುನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಹಳ ಬಳಕೆಯಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳುಸಂಶೋಧನೆ. ಆಧುನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ.

ಆಧುನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:

1) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಈ ವಿಭಾಗವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ನೇರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿವಿಭಜನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಬೇಕು.

2) ಬೀಜಗಣಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ವಿಭಾಗವು ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿವಿಧ ವರ್ಗಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

3) ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜುಗಳು. ಈ ವಿಭಾಗವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜಿನ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ಆಲೋಚನೆಗಳ ಒಂದೇ ವಲಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜುಗಳು ವಿವಿಧ ವರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸ್ವಭಾವದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ.

4) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಈ ವಿಭಾಗವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅದರ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು:

1) ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಡಿವಿಸಿಬಿಲಿಟಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಭಜನೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ.

ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ಮತ್ತು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ b ಗಾಗಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ q ಇದ್ದರೆ bq = a , ಆಗ ನಾವು a ಸಂಖ್ಯೆಯು b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ b ಅನ್ನು a ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, a ನ ಲಾಭಾಂಶವು b ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು q ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು b ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2) ಸರಳ ಸಂಖ್ಯೆ? ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಭಾಜಕ: ಘಟಕ ಮತ್ತು ನೀವೇ. ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

3) ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ? (ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ἀριθμὸς τέλειος) - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಎಲ್ಲಾ ತನ್ನದೇ ಆದ ಭಾಜಕಗಳು (ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಜಕಗಳು, ತನ್ನಿಂದ ತಾನೇ ಬೇರೆ? ಸಂಖ್ಯೆಗಳು).

ಮೊದಲ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ 6 (1 + 2 + 3 = 6), ಮುಂದಿನದು 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗುತ್ತಿದೆ.

4) m ಮತ್ತು n ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ (GCD) ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ: 70 ಮತ್ತು 105 ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ 35 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು m ಅಥವಾ n ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5) m ಮತ್ತು n ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯು (LCM) m ಮತ್ತು n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

6) m ಮತ್ತು n ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾಪ್ರೈಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ GCD(m,n) = 1. ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, GCD(m,n) = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಾಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

7) ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ - ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಅಥವಾ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಹುಡುಕಾಟ ಎಂಜಿನ್ Otvety.Online ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೀವು ಕಾಣಬಹುದು. ಹುಡುಕಾಟ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ:

ವಿಷಯ ಸಂಖ್ಯೆ 17 ರಲ್ಲಿ ಇನ್ನಷ್ಟು. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು:

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ವಸ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಸಂಖ್ಯೆ ನೋಡಿ). ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅವರ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ ಭಾಗಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೊದಲ ಶ್ರೇಣಿಯೆಂದರೆ ಅಪವರ್ತನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ "ಬಿಲ್ಡಿಂಗ್ ಬ್ಲಾಕ್ಸ್" ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ. 1 ರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 - ಇವು ಮೊದಲ ಹತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು(ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಅದ್ಭುತ ಪ್ರಮೇಯ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ: ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳು, ಮತ್ತು ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗ(ಅವರ ಸ್ಥಳದ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ). ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಆದರೆ ಇದು ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇನ್ನೂ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಸರಳ, ಅಂದರೆ. ಅದು ಸ್ವತಃ ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದೇ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸರಣಿಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. φ(n) - ಯೂಲರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ - 1 ರಿಂದ n ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಾಪ್ರೈಮ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ n ನೊಂದಿಗೆ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳು, ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ); α(n) ಎಂಬುದು n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, t(n) ಎಂಬುದು n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಜಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, π(n) ಚೆಬಿಶೇವ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ - n ಅನ್ನು ಮೀರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ n ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ π(n)→∞. π(n) ಕಾರ್ಯವು ಎಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಇದು ಕಾರ್ಯದಂತೆಯೇ ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಬದಲಾಯಿತು

ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು P. L. ಚೆಬಿಶೇವ್ (1849) ರೂಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು 50 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಿಯಮವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ. 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಂತಹ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಸ್ತುವಿನ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಳವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತು.

ಅಪವರ್ತನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳುಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗೋಲ್ಡ್‌ಬ್ಯಾಕ್‌ನ ಸಮಸ್ಯೆ - ಏನನ್ನಾದರೂ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಇದನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮೇಯಫೆರ್ಮಾಟ್ (ಫೆರ್ಮಟ್ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ) - ಇದು ಸಾಧ್ಯವೇ n ನೇ ಶಕ್ತಿಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮೊತ್ತ n ನಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅನೇಕ ಸರಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಆದರೆ ಕಷ್ಟ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಈ ಬಹಳಷ್ಟು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸೊಗಸಾದ ಒಗಟುಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಅಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಅದ್ಭುತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಇತ್ತೀಚಿನ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಇದು ಹೊಸ ಜೀವಂತ ಪ್ರವಾಹವನ್ನು ಚುಚ್ಚಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾಗಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವು ಹೋಲಿಕೆಗಳ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಶೇಷಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧದ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ರಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಅಥವಾ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ 3), ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ 3x 2 + 4y 2 = 5z 2 ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅವರು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹೌದು, ಸೋವಿಯತ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞ I.M. ವಿನೋಗ್ರಾಡೋವ್ ಗೋಲ್ಡ್‌ಬ್ಯಾಕ್‌ನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು - ಮೂರು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ.

ಫೆರ್ಮಾಟ್‌ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ x n + y n = z n ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು z n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು x/z ಅನ್ನು m ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು y/z ಅನ್ನು v ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ u n + v n = 1. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (u, v) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕರ್ವ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಹೊಸ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು (u, v) ಈ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಬಹುದು. ಈಗ ನಾವು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳುಕರ್ವ್ u n + v n = 1 ಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೊಡ್ಡ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ (3 ನೇ ಶತಮಾನ) ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪಡೆದ ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಾಲ್ಕು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 7 = 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2);

4n + 1 ರೂಪದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 5 = 2 2 + 1 2, 41 = 4 2 + 5 2, ಇತ್ಯಾದಿ), ಆದರೆ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ ( ಕೇವಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲ) 4n + 3 ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ;

8n - 1 ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೂರು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಸರಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುರುತು

(a 2 + b 2) (x 2 + y 2) = (ax + by) 2 + (ay - bx) 2

ನಮಗೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳುವಿ ಇತ್ತೀಚೆಗೆಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಿಂದ ಇದನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು, ಅದರ ನೋಟವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಏಕೆ ತುಂಬಾ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗಿದೆ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ನೇರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅನೇಕ ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಜಿಜ್ಞಾಸೆಯ ಯುವಜನರು ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಏನು ವಿಷಯ? ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ತುಂಬಾ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಸುಂದರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ, ಜನರು ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತರಾದರು ಸರಳ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳುಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಈ ಉತ್ತರಗಳ ಹುಡುಕಾಟವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಆದರ್ಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಸಾಕು ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ XIX ಶತಮಾನ ಇ. ಕುಮ್ಮರ್, ಫರ್ಮಾಟ್‌ನ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಜನಿಸಿದರು.

ಹೆಸರು:ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ. 2008.

ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಕ್ಲಾಸಿಕ್‌ಗಳ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡಿವೆ - ಫೆರ್ಮಾಟ್, ಯೂಲರ್, ಗಾಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಹೋಲಿಕೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು, ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ಅಂಶಗಳು (ಪ್ರಾಥಮಿಕತೆ, ಅಪವರ್ತನಕ್ಕಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಅಂಶಗಳು, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್) ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು.
ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಸಾಧನವಾಗಿ ಅಥವಾ ಸಾಧನವಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿ
1,2,3,4, ...,9,10,11, ...,99,100,101, ...
- ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ - ಸಂಶೋಧನೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅತ್ಯಂತ ತಿಳಿವಳಿಕೆ, ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ.
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು ಪುರಾತನ ಗ್ರೀಸ್. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಮತ್ತು ಎರಾಟೋಸ್ತನೀಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅನಂತತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಗಳುಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ ಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಚೀನಾ, ಮಧ್ಯ ಏಷ್ಯಾದ ದೇಶಗಳು.

ಪರಿವಿಡಿ
ಪರಿಚಯ
ಅಧ್ಯಾಯ 1. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಮೇಲೆ
1.1. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಭಾಜ್ಯತೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
1.2. ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹು ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ
1.3. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
1.4 ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಅಧ್ಯಾಯ 2. ಪ್ರಧಾನ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
2.1. ಪ್ರಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಎರಾಟೋಸ್ತನೀಸ್ ಜರಡಿ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅನಂತತೆ
2.2 ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ
2.3 ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯಗಳು
2.4 ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಅಧ್ಯಾಯ 3. ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು
3.1. ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
3.2. ಮೊಬಿಯಸ್ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಸೂತ್ರಗಳು
3.3. ಯೂಲರ್ ಕಾರ್ಯ
3.4 ಭಾಜಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಭಾಜಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ
3.5 ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂದಾಜುಗಳು
ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಅಧ್ಯಾಯ 4: ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹೋಲಿಕೆಗಳು
4.1. ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
4.2. ಕಡಿತ ತರಗತಿಗಳು. ನೀಡಲಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗೆ ಶೇಷ ವರ್ಗಗಳ ಉಂಗುರ
4.3. ಕಡಿತಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು
4.4. ವಿಲ್ಸನ್ ಪ್ರಮೇಯ
4.5 ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಟ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು
4.6. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ದಶಮಾಂಶಗಳು
4.7. ಪ್ರಾಥಮಿಕತೆಗಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು
4.8. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಪವರ್ತನ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು
ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಅಧ್ಯಾಯ 5. ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಜೊತೆ ಹೋಲಿಕೆಗಳು
5.1.ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು
5.2. ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಹೋಲಿಕೆಗಳು
5.3.ಚೀನೀ ಉಳಿದ ಪ್ರಮೇಯ
5.4 ಮೂಲಕ ಬಹುಪದೀಯ ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಸರಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್
5.5 ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬಹುಪದೀಯ ಹೋಲಿಕೆಗಳು
ಅಧ್ಯಾಯ 6. ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಹೋಲಿಕೆಗಳು
6.1. ಎರಡನೇ ಡಿಗ್ರಿ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಪ್ರೈಮ್‌ನ ಹೋಲಿಕೆಗಳು
6.2 ದಂತಕಥೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
6.3. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಪರಸ್ಪರ ಕಾನೂನು
6.4. ಜಾಕೋಬಿ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
6.5. ಎರಡು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತ
6.6. ಶೂನ್ಯದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪಗಳುಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ
ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಅಧ್ಯಾಯ 7. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು
7.1. ನೀಡಿರುವ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೂಚಕ
7.2 ಆದಿಮ ಬೇರುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಪ್ರೈಮ್
7.3 ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು pk ಮತ್ತು 2pk ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ
7.4. 2, 4, pk ಮತ್ತು 2pk ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮಾಡುಲಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ
7.5 ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು
7.6. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್
7.7. ದ್ವಿಪದ ಹೋಲಿಕೆಗಳು
ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಅಧ್ಯಾಯ 8. ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು
8.1 ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂದಾಜಿನ ಕುರಿತು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ
8.2 ಸೀಮಿತ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗಗಳು
8.3 ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ
8.4 ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಳು
8.5 ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
8.6. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು
8.7. ಕೆಲವು ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು
8.8. ನಿರಂತರ ಭಾಗವಾಗಿ ಇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನೆ
ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಅಧ್ಯಾಯ 9. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
9.1.ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ
9.2 ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದವುಗಳಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳು. ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ
9.3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ er ಮತ್ತು n
9.4 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅತಿಕ್ರಮಣ ಇ
9.5 n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅತಿಕ್ರಮಣ
9.6. ವೃತ್ತವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆ
ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು
ಉತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶನಗಳು
ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

ಉಚಿತ ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಇ-ಪುಸ್ತಕಅನುಕೂಲಕರ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ವೀಕ್ಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಓದಿ:
ಪುಸ್ತಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ - ನೆಸ್ಟೆರೆಂಕೊ ಯು.ವಿ. - fileskachat.com, ವೇಗದ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಡೌನ್‌ಲೋಡ್.

djvu ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ
ಕೆಳಗೆ ನೀವು ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ರಷ್ಯಾದಾದ್ಯಂತ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ರಿಯಾಯಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಬೆಲೆಗೆ ಖರೀದಿಸಬಹುದು.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ 1

1. ವಿಭಜನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

Î ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸಂಖ್ಯೆ a = b · c ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕ c ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

ಹುದ್ದೆಗಳು:

1) a .b a ಅನ್ನು b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ;

2) ಬಿ | a b ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ a;

3) a ಎಂಬುದು b ನ ಬಹು (ಬಹು) , b ಭಾಜಕ a .

ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಗ

ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು a èb ,a Z ,b N ನೀಡೋಣ, Z ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು N ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. a =b · q +r ನೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ íàb , ãäår ಮಧ್ಯಂತರ 0≤ r ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ< b ,q неполное частное,r остаток. Например, 7 = 2· 3 + 1.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ b ಗೆ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ

a = b q+ r,0 ≤ r< b

ಮಾತ್ರ.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. ಅಸ್ತಿತ್ವ.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಅನಂತ ಸೆಟ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (a - tb), ãäåa ,b ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, t ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ, t Z . ಅದರಿಂದ ನಾವು ಚಿಕ್ಕ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆ r =a - q · b ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆರ್ ಒಳಗೆ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ

0 ≤ ಆರ್< b.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರದಿರಲಿ. ಆಗ ಅದು b ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ r ′ =r−b =a−q·b−b =a−b (q +1).

ಇದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು:

1) ಆರ್ ′ (a - tb);

2) ಆರ್ ′ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ;

1 S.V. ಫೆಡೋರೆಂಕೊ. ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 2012. ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋರ್ಸ್. ಉಚಿತವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಏವಿಯೇಷನ್ ಅಡ್ಮಿನಿಸ್ಟ್ರೇಷನ್ (1997 1999; 2008 2011) ಮತ್ತು ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಪೆಡಾಗೋಗಿಕಲ್ ಯುನಿವರ್ಸಿಟಿ (2002 2005) ನಲ್ಲಿ ಕಲಿಸಲಾಯಿತು.

3) ಆರ್ ′< r .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲ r , a r ′ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಸೆಟ್‌ನಿಂದ (a - tb) , ನಂತರ ಊಹೆ r ≥ b ತಪ್ಪು.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

2. ವಿಶಿಷ್ಟತೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ a =bq ′ +r ′ ಇರಲಿ , ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ 0≤r′< b ;a ,b фиксированные числа,q Z . Т.е., мы можем разделить числоa íàb двумя способами, тогдаbq +r =bq ′ +r ′ . ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ñq, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ сr, ನಾವು b (q - q ′) =r ′ - r ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ,

÷òî (r ′ - r) .b . ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಳಿದವುಗಳು b ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ

(ಆರ್′ - ಆರ್) . ಬಿ. |r′ − r|< b

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, r′ - r = 0, ಅಂದರೆ r′ =r èq =q ′. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಅನನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. a .b èb.c , tòa .c , ãäåb, c ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ.

a = b · q. b=c t

ಆದ್ದರಿಂದ, a =c · qt. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ a .c .

ಪ್ರಮೇಯ 3. ಸಮಾನತೆ a 1 +a 2 =b 1 +b 2 ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 1, a 2, b 1 .d ತೃಪ್ತಿಯಾಗಲಿ, ನಂತರ b 2 .d.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a 1 =d · t 1 ,a 2 =d · t 2 ,b 1 =d · t 3 . b 2 = a 1 +a 2 - b 1 =d (t 1 +t 2 - t 3) ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಾವು b 2 ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ. ವಿಭಜನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಬಿ 2 .ಡಿ .

2. ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕ

Î ಒಂದು ವೇಳೆ ಸಂಖ್ಯೆ c ಎಂಬುದು a èb ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ, ನಂತರ c ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು a èb ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: a èb ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು a èb ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ (GCD) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೇತ: (a, b) =d, ãäåa èb ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಜಾಹೀರಾತು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಜಕ.

12 ಮತ್ತು 9 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. 12 ರ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 9 ರ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. 12: 1, 2, 3, 4, 6 ಮತ್ತು 12; 9: 1, 3 ಮತ್ತು 9 ಗಾಗಿ; ಅವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ 1 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ 3. ಹೀಗಾಗಿ, (12, 9) = 3.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a ಮತ್ತು b ಅವುಗಳ gcd 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು coprime ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಏಕೆಂದರೆ (10,9)=1, ನಂತರ 10 ಮತ್ತು 9 ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. (a, b, c, . . . ) = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a, b, c, . . . ಪರಸ್ಪರ ಸರಳ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

Î ï ð å ä ë å í è å. (a 1 , a 2 , ...a n ) ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಯ gcd ಆಗಿದ್ದರೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಕಾಪ್ರೈಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ(a i , a j ) = 1,i ≠ j .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 12,17,11 ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಕಾಪ್ರೈಮ್ ಕೂಡ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. a .b , ಆಗ (a, b ) =b .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತನಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, b ಎಂಬುದು èb ನ GCD ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. a =bq +r (r ಶೇಷವು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ), ನಂತರ (a, b) = (b, r) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಿರಲಿ.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಎಇಬಿ ಸಿ. Åñëa .c èb .c , tî

ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ 1.3 r.c, t.å.c ಸಹ b èr ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ a èb ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ b èr ಆಗಿದೆ.

2. ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ b èr a ನ ಭಾಜಕ. ಇದರರ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳು a, b èb, r ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. GCD ಗೂ ಇದು ನಿಜ.

3. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ èb ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

a ,b N ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಇನ್‌ಪುಟ್ ಡೇಟಾ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು (a, b ) =d N ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಆಗಿರಲಿ.

		Bq 0	0 < r1 < b
		ಆರ್ 1 ಕ್ಯೂ 1	0 < r2 < r1
		ಆರ್ 2 ಕ್ಯೂ 2	0 < r3 < r2

	r i−2	R i−1 q i−1	0 < ri < ri− 1

	r n−2 = r n−1 q n−1 + r n		0 < rn < rn− 1
n+1	r n−1 = r nq n

ಹಂತ 1. ಒಂದು íàb ಅನ್ನು ಶೇಷ a =bq 0 +r 1 , ãäå 0 ನೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸಿ< r 1 < b . По теореме 2.2 (a, b ) = (b, r 1 ).

ಹಂತ 2. b íàr 1 ಅನ್ನು ಶೇಷ b =r 1 q 1 +r 2 , ãäå 0 ನೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸಿ< r 2 < r 1 . Ïî теореме 2.2 (b, r 1 ) = (r 1 , r 2 ).

ಮತ್ತು ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುವವರೆಗೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸರಪಳಿಯಿಂದ

(a, b) = (b, r 1) = (r 1, r 2) = (r 2, r 3) =... = (r n− 2, r n− 1) = (r n− 1, r n) =ಆರ್ ಎನ್

ಇದು ಕೊನೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಳಿದ r n ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮಹಾನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಇರುತ್ತದೆವಿಭಜನೆ = ಆರ್ ಎನ್ = (ಎ, ಬಿ ). ಏಕೆಂದರೆ ಉಳಿದವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆಹಂತಗಳು.

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜಿಸಿಡಿ ಇವುಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು

Åñëè (a, b) =d, òî (a c, c b) =d c, ãäåc ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ a èb.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Â ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ನಮೂದುಗಳು a, b и âñår ನಾನು ನಮ್ಮನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇನೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಇನ್ಪುಟ್ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ a b

ಹೆಸರು ಎ		ಸಿಇಸಿ ಅದರಿಂದ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ
ಹೆಸರು ಎ
	è ಸಿ	ಸಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ gcd ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (a d, d b) = 1 ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

ಪ್ರಮೇಯ 3. ವೇಳೆ

c ಬದಲಿಗೆ (ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ) ನಾವು d ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

(a, b) = 1, tòîc .b .ac . ಬಿ

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a èb, ಪ್ರಮೇಯ 7.1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ax +by = 1. ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು c ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ac ·x +byc =c,

íî ac =bq,bqx +byc =c,b (qx +yc) =c. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿ .ಬಿ .

ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ GCD

(a1 , a2 , ... , an ) = dn (a1 , a2 ) = d2

(d 2, a 3) =d 3

(d n− 1, a n) =d n

4. ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ

Î ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕ a èb ಈ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ a èb.

Î ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಚಿಕ್ಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಒಂದು èb ಅನ್ನು èb ನ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ (LCM) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

M .a èM .b ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ M ಎಂಬುದು èb ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ. ನಾವು èb ನ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅವರ ಕೃತಿಗಳು

=(a, ab b) .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ a èb ನಿಂದ M , ನಂತರ M .

ಎ ಎಂ .ಬಿ . ಜೊತೆಗೆ,d = (a, b),a =a ′ d,b =b ′ d, ಮತ್ತು (a ′, b ′) = 1. ವಿಭಜನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದM =a · k, ãäåk Z




					a′dk				a′ ಕೆ
					ಬಿ′ ಡಿ				ಬಿ′

a ′ b ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯ 3.3 ರಿಂದ k .b ′

k = b′ t =




M = a · k =
					(ಎ, ಬಿ)

èb ನ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರದ ರೂಪ. Ïðèt = 1M ಎಂಬುದು a èb ಸಂಖ್ಯೆಯ LCM ಆಗಿದೆ.

ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ LCM

[a1, a2, . . . , an ] = Mn [ a1 , a2 ] = M2

M 3 = M 4

Åñëè (a, b) = 1, tòî =ab. Pr (a i , a j ) = 1,i ≠ j ,M =a 1 a 2 · . . . · ಎ ಎನ್.

5. ಪ್ರಧಾನ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ. ಈ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಥವಾ ಸಂಯೋಜಿತವಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ a ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p

ತೃಪ್ತವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ (a, p ) = 1 èëèa .p .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಎರಡು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಧ್ಯ

ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳು: a .p èëèa ̸ .p . Åñëèa ̸ .p , ನಂತರ èp ನ GCD 1. ಆದ್ದರಿಂದ, (a, p ) = 1.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಚಿಕ್ಕ ಭಾಜಕ, ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Åñëè a ≠ 1, òîa =p·q , ãäåp ಎಂಬುದು ಚಿಕ್ಕ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. p ಒಂದು ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದೆ ಎಂದರ್ಥ

ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ s, ÷òîp .s, ಆದರೆ ನಂತರ a .s èp ಅಲ್ಲ ಕನಿಷ್ಠ ಭಾಜಕ, ಇದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. T.o.p ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3. ಚಿಕ್ಕದಾದ ನಾನ್ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಡಿವೈಸರ್ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a = q b, q ≤ b, q2 ≤ bq= a, q ≤ a.

ಎರಾಟೋಸ್ತನೀಸ್ ಜರಡಿ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬರೆಯೋಣ

1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ,16 ,17 ,18 , . . .

ಘಟಕವಾಗಿದೆ ವಿಶೇಷ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಾವು ಉಳಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಅದನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಘೋಷಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ದಾಟಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಾವು ಎರಡರ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ. ಮೂವರೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡೋಣ. ನೀವು 6, 9, 12, 15, 18, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ದಾಟಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ

(2, 3, 5, . . . , P) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು N = 2· 3· 5·. . .·P +1.N ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಶೇಷವು 1 ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ N, ಚಿಕ್ಕ ನಾನ್ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಡಿವೈಸರ್, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2(, 3, 5, . . . , P). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾದ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನಂತ ಒಂದಾಗಿದೆ.

6. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪ

ಪ್ರಮೇಯ 1 (ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ). 1 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. ಅಸ್ತಿತ್ವ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.2 ರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ n, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಿಭಾಜಕ p 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

n n 1 = p 1

ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು n 1 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ

n2 = n 1 ,p 2

ãäå p 2 ಪ್ರಧಾನ ಭಾಜಕಎನ್ 1. ಮತ್ತು ನಾವು n i = 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನಾವು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ.

2. ವಿಶಿಷ್ಟತೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ n ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ

n = p1 · p2 · . . . · pl = q1 · q2 · . . . · qs.

ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದೆ, ನಾವು l ≤ s ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಡಬದಿಸಮಾನತೆಯನ್ನು 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಸರಿಯಾದದನ್ನು 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಕೆಲವು q i =p 1 . ಅದು q 1 =p 1 ಆಗಿರಲಿ. ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ

ಹಾಗೆಯೇ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ q 2 = p 2 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ನಾವು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ

1 = ql +1 · . . . · qs.

Åñëè ಎಲ್< s , то произведение простых чисел не может быть равно 1. Следовательно, предположение о двух различных разложениях числаn невер-

íî. Åsëè s =l , tòp i =q i äëÿi ಮತ್ತು ಎರಡು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ತಾಳೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ n N ಅನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

n = p1 s 1 · . . . · pl s l,

L p i ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, s i N .

ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮತ್ತು GCD ಮತ್ತು LCM ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

n ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಜಕಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ

c = p1 i 1 · p2 i 2 . . . pl i l ,ãäå ij .

GCD ಮತ್ತು LCM ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ

a = p1 s 1 · p2 s 2 · . . . · pl s l b= p1 t 1 · p2 t 2 · . . . · ಪಿಎಲ್ ಟಿ ಎಲ್.

ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು s i и t i 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಮಹಾನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ a èb

(a, b) = p1 ನಿಮಿಷ (s 1 ,t 1 ) · p2 min (s 2 ,t 2 ) · . . . · pl ನಿಮಿಷ (s l, t l) ,

ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದರೆ:

[a, b] = p1 max (s 1 ,t 1 ) · p2 max (s 2 ,t 2 ) · . . . · pl ಗರಿಷ್ಠ (s l , t l ) .

ಇಲ್ಲಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ (a, b) ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ a èb ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

7. ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು

Î ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ

ax + by= c,

ಗುಣಾಂಕಗಳು a, b, c ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ x, y ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, aa ಮತ್ತು b ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 1 (GCD ಯ ರೇಖೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೇಲೆ). ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (a, b) ((a, b) ≠ (0, 0)) ಅಂತಹ x, y Z, ÷òîax +by =(a, b) ಇವೆ.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ax + by) ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ d =ax 0 +by 0 .

d ಎಂಬುದು b ಯ ಭಾಜಕ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

d ವಿಭಾಜಕವಾಗದಿರಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, b =d q +r, ãäå 0< r < d ,

r = b - dq = b - (ax0 + by0 ) q = a (-x0 q) + b (1 - y0 q). ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:

1) ಸಂಖ್ಯೆ r (ax +by) ;

2) ಆರ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ;

3) ಆರ್< d .

ಆದರೆ ಈ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ d ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಊಹೆ r< d неверно, значитd делительb .

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು a .d .

ಇದೆಲ್ಲದರಿಂದ d ಒಂದು èb ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಎ. (ಎ, ಬಿ)

ಕೋಸ್ಟಾಕ್, ಬಿ. (ಎ, ಬಿ) ಡಿ. (a, b), íîd ಒಂದು èb ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ, ಆದ್ದರಿಂದ, d ÍÎÄ a è b.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ax +by =c ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ifc ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ (a, b) ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. ಅವಕಾಶಸಿ. (a, b), ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ ಕೊಡಲಿ+ಮೂಲಕ= (a, b) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಸಿ

( a,b )

ಎ (a,xcಬಿ) + ಬಿ (a,ವೈಸಿಬಿ) = ಸಿ.

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ( X0 , ವೈ0 ) ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ

{ X0 = (a,bxc)ವೈ0 = (a,bವೈಸಿ).

2. ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಸಿ. (a, b).

ಎ. (a, b) , ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಿಇದರಿಂದಲೂ ಭಾಗಿಸಬೇಕು ( a, b).

ಬಿ . ( a, b )