ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. §1

n ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ m ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಒಂದು ijಮತ್ತು ಬಿ ಐ (i=1,…,ಮೀ; ಬಿ=1,…,ಎನ್) ಕೆಲವು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು x 1 ,…, x n- ಅಜ್ಞಾತ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪದನಾಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ijಮೊದಲ ಸೂಚ್ಯಂಕ iಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಜ- ಈ ಗುಣಾಂಕವು ನಿಂತಿರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಾವು ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ , ಅದನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಿ 1,..., ಬಿ ಎಂಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಉಚಿತ ಸದಸ್ಯರು.

ಒಟ್ಟು ಎನ್ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಿ 1,..., ಸಿ ಎನ್ಎಂದು ಕರೆದರು ನಿರ್ಧಾರಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಅದರೊಳಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದ ನಂತರ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಸಿ 1,..., ಸಿ ಎನ್ಅನುಗುಣವಾದ ಅಪರಿಚಿತರ ಬದಲಿಗೆ x 1 ,…, x n.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು:

ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ 3 ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು

ಕೆಲಸ ಹುಡುಕೋಣ

ಆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಎ∙X=B.

ಮಾತೃಕೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ Xಅಜ್ಞಾತ. ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ... ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ | ಎ| ≠ 0. ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ A-1, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿಲೋಮ ಎ: . ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ಎ -1 ಎ = ಇಮತ್ತು ಇ∙X = X, ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಕ್ಸ್ = ಎ -1 ಬಿ .

ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವು ಆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗದಿದ್ದಾಗ, ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಸಹ ಸಾಧ್ಯ ಎಚೌಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ಎಕ್ಸ್ = ಎ -1 ಬಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಕ್ರೇಮರ್ ನಿಯಮ

ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ 3 ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಧಾರಕ, ಅಂದರೆ. ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ,

ಎಂದು ಕರೆದರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ಣಾಯಕ.

ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇನ್ನೂ ಮೂರು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ D ನಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 1, 2 ಮತ್ತು 3 ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ

ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ (ಕ್ರೇಮರ್ ನಿಯಮ).ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ Δ ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದೇ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು

ಪುರಾವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ 3 ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪೂರಕದಿಂದ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ ಎ 11ಅಂಶ ಒಂದು 11, 2 ನೇ ಸಮೀಕರಣ - ಆನ್ ಎ 21ಮತ್ತು 3 ನೇ - ರಂದು ಎ 31:

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ:

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. 1 ನೇ ಕಾಲಮ್ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ

ಅಂತೆಯೇ, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು .

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .

ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ Δ ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ

ಹಿಂದೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಪರಿಚಿತರ ಸ್ಥಿರವಾದ ನಿರ್ಮೂಲನೆಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ:

.

ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಮತ್ತು 3 ನೇಯಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ x 1. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಎ 21 ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿ - ಎ 11, ತದನಂತರ ಅದನ್ನು 1 ನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿ. ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ 31 ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿ - ಎ 11, ತದನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೊದಲನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಈಗ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ x 2. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ x 3, ನಂತರ 2 ನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ x 2ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, 1 ರಿಂದ - x 1.

ಗೌಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಬದಲು, ಅವರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ತಮ್ಮನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ:

ತದನಂತರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಅಥವಾ ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು.

TO ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳುಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1. ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು;
2. ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು;
3. ಒಂದು ಸಾಲಿಗೆ ಇತರ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು:ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸ್ಥಿರತೆಗಾಗಿ ರೇಖೀಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAEs) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಎಂದರೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಸರಿ, ಪರಿಹಾರಗಳಿದ್ದರೆ, ಎಷ್ಟು ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

"ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಫಾರ್ಮ್ ಆಫ್ ಸಂಕೇತ" ವಿಷಯದಿಂದ ನಮಗೆ ಮಾಹಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು $A$ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು $\widetilde(A)$ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಜಂಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಇದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ: $\rang A=\rang\widetilde(A)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವಿದೆ; ಒಂದು ವೇಳೆ $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, ಆಗ ಈ SLAE ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಅಸಮಂಜಸ). ಈ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕುರಿತಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅನುಬಂಧದ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ, $n$ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು SLAE ಯ ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪೂರಕ

1. ಒಂದು ವೇಳೆ $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, ಆಗ SLAE ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ (ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ).
2. ಒಂದು ವೇಳೆ $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. ಒಂದು ವೇಳೆ $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, ಆಗ SLAE ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).

ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಬಂಧವು SLAE ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಈ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಷ್ಟು.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1

SLAE ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ಲೋರ್ ಮಾಡಿ $ \ಎಡ \(\ಆರಂಭ (ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned) )\ಬಲ.$ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ. SLAE ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

ನೀಡಿರುವ SLAE ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಮಗೆ $A$ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು $\widetilde(A)$ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(ಅರೇ) \ಬಲಕ್ಕೆ). $$

ನಾವು $\rang A$ ಮತ್ತು $\rang\widetilde(A)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಹಲವು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: "ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು" ಅಥವಾ "ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು".

ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಶ್ರೇಣಿಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಶ್ರೇಯಾಂಕವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಪ್ರಾಪ್ತ ವಯಸ್ಕರ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಧ್ಯಯನವು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಪ್ರಾಪ್ತರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಅಂಶಗಳು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ಕೇವಲ 3 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 3 ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. $\ಡೆಲ್ಟಾ A$. ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು "ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಆದೇಶಗಳ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳು" ಎಂಬ ವಿಷಯದಿಂದ ಸೂತ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ನ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಇದೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದಕ್ಕೆ 4 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 4 ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕೇವಲ 3 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು 3 ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ನ ಮೈನರ್‌ಗಳ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಕ್ರಮವು, ಅದರಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು 3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\rang A=3$.

ನಾವು $\rang\widetilde(A)$ ಅನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $\widetilde(A)$ ರಚನೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. $\widetilde(A)$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸಾಲಿನವರೆಗೆ $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳಿವೆ ಮತ್ತು $\Delta A\neq 0$ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $\widetilde(A)$ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು $\widetilde(A)$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೈನರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: $\rang\widetilde(A)=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ ರಿಂದ, ನಂತರ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು). ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ನಮ್ಮ SLAE 3 ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: $x_1$, $x_2$ ಮತ್ತು $x_3$. ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ $n=3$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನುಬಂಧದ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವ ಅನಾನುಕೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? ಮೊದಲಿಗೆ, ಅನುಕೂಲಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮೂರು ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮೊದಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಉದಾಹರಣೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಇರಲಿಲ್ಲ). ಆ. ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಪರಿಹಾರದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗವಾಗಿ ತೋರಿಸುವುದು. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ (ಅಂದರೆ $\Delta A$) ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯವು ನಂತರ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ನಾವು ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, $A$ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ, ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, $\Delta A=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಸಮಂಜಸ SLAE ಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬಹುಶಃ SLAE ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. $\Delta A=0$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೊಡಕಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಏನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೌಕವಾಗಿರುವ SLAE ಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, SLAE ಸ್ವತಃ ಮೂರು ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕು ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು $\widetilde(A)$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ $\widetilde(A)$ ಮತ್ತು $A$ ಅಲ್ಲ? ಸತ್ಯವೆಂದರೆ $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $\widetilde(A)$ನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $\widetilde(A)$ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \ end(array) \right) \rightarrow \left|\text(ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \ end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (ಅರೇ) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \ end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \ end(array) \ right) \end(aligned)

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $\widetilde(A)$ ಅನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( ವ್ಯೂಹ) \ ಬಲ)$ ಮೂರು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: -1, 3 ಮತ್ತು -7. ತೀರ್ಮಾನ: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $\widetilde(A)$ ಶ್ರೇಣಿಯು 3 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. $\rang\widetilde(A)=3$. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $\widetilde(A)$ನ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ, ನಾವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಾಲಿನವರೆಗೆ ಇರುವ $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ರೂಪಾಂತರಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ಅನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಹ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \ಬಲ )$. ತೀರ್ಮಾನ: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸಹ 3 ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. $\rang A=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ ರಿಂದ, ನಂತರ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ನಮ್ಮ SLAE 3 ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: $x_1$, $x_2$ ಮತ್ತು $x_3$. ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ $n=3$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನುಬಂಧದ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಎರಡನೇ ವಿಧಾನದ ಅನುಕೂಲಗಳು ಯಾವುವು? ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದರ ಬಹುಮುಖತೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೌಕವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಾವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿದ್ದೇವೆ. ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಹಂತಗಳು ಉಳಿದಿವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಈ SLAE ಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿಜ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ನಾನು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಆಯ್ಕೆಯು ರುಚಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ: ನೀಡಿರುವ SLAE ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

SLAE ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ಲೋರ್ ಮಾಡಿ $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ) \ಬಲಕ್ಕೆ.$ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \ end(array) \ right)$. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಎಚೆಲಾನ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\rang A=3$. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ (ಸಾಲಿನವರೆಗೆ) ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಯು 2, $\rang A=2$ ಆಗಿದೆ.

$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ರಿಂದ, ನಂತರ ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ).

ಉತ್ತರ: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3

SLAE ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ಲೋರ್ ಮಾಡಿ $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5= ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ end(array) \ right)$. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸ್ವ್ಯಾಪ್ ಮಾಡೋಣ ಇದರಿಂದ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಅಂಶವು ಒಂದಾಗುತ್ತದೆ: $\left(\begin(array) (cccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ end(array) \ right)$.

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜೋಡಲ್ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ $n=5$ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

ಉತ್ತರ: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಥವಾ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸ್ಥಿರತೆ ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು SLAE ಯ ಪರಿಹಾರವು ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಸಮೀಕರಣವು ಗುರುತಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 20.1

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ:

1. ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಯೇ?(ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿವಾದಾತ್ಮಕ.)

• ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

2. ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. (ಅಜ್ಞಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಇದು +1 ನ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ).

3. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ? (ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಿಸ್ಟಂನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾದವುಗಳಿಲ್ಲ)

ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಅಜ್ಞಾತಗಳು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ರೂಪ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. (ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು)

ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೂಲಭೂತ(), ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ - ಉಚಿತ ().

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅದು ಏನೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯ ಅಜ್ಞಾತ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ(ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ).

ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೂಲ ಪರಿಹಾರಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮುಕ್ತ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಅಪರಿಚಿತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ:

ಖಾಸಗಿ ನಿರ್ಧಾರಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂಲ ಪರಿಹಾರಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ಪಡೆದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

• ಮೂಲ ಪರಿಹಾರ (ವೆಕ್ಟರ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವನತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆ, ಅದರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ.
• ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅವನತಿಯಾಗದ, ಅದರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (1)

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹರಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ(ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ); ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ,(ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅನುಮತಿಸಲಾದವುಗಳನ್ನು ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ) ನಂತರ ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ(ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ); ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಉಚಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ(ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ, ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರ:

1. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅಧಿಕೃತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆಯೇ?

• ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಿಹರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ)

2. ನಾವು ಅನುಮತಿಸಿದ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ - ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದನ್ನು.

3. ನಾವು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

4. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಾವು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ(ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು)

5. ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಉಚಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಾನ ಪರಿಹಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (2)

ಏನಾದರು ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟಂನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಿ, ನಂತರ . (ಅಂದರೆ, ನೀವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ)

ಪ್ರಮೇಯ (3)

ಒಂದು ವೇಳೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಿ ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. (ಅಂದರೆ, ನೀವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ (ಅವುಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ) ನೀವು ಡೇಟಾಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ)

ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ (2 ಮತ್ತು 3)

ಒಂದು ವೇಳೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಿ, ನಂತರ ನಾವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳು

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಜೋರ್ಡಾನ್-ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಜೋರ್ಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ ಪಡೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. (ಉದಾಹರಣೆ 2).

ಜೋರ್ಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿ ಮಾಡಲು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಭಾಗಿಸಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊತ್ತವು .

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹೊರಗಿಡಲು, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಬೇಕು.

ಪ್ರಮೇಯ (4) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಕುರಿತು.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (5) ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸಾಮರಸ್ಯದ ಮೇಲೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ.

ಜೋರ್ಡಾನ್-ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಜೋರ್ಡಾನ್-ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ದಾಟಲಾಗುತ್ತದೆ.
3. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
4. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹರಿಸಿದ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
5. ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಜೋರ್ಡಾನ್-ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಹುಡುಕಿ: ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲ ಪರಿಹಾರಗಳು

ಪರಿಹಾರ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಕೋಷ್ಟಕದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿವೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬಾಣಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಟೇಬಲ್‌ನ ಮೊದಲ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪರಿಹಾರದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಜೋರ್ಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು 4, 5, 6 ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. (-1) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಜೋರ್ಡಾನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು 7, 8, 9 ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪರಿಗಣಿಸಿ ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ" ಮತ್ತು ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸ್ವಲ್ಪ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ರೇಖೀಯ" ಎಂಬ ಗಣಿತದ ಪದದ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಲ್ಲಾಅಸ್ಥಿರ ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು ಮೊದಲ ಪದವಿಯಲ್ಲಿ: ಯಾವುದೇ ಅಲಂಕಾರಿಕ ವಸ್ತುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಇತ್ಯಾದಿ, ಗಣಿತದ ಒಲಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಮಾತ್ರ ಸಂತೋಷಪಡುತ್ತಾರೆ.

ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಾಲ್ಯದಿಂದಲೂ ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಕಷ್ಟು ಜನಪ್ರಿಯ ಆಯ್ಕೆಯೆಂದರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಸ್ಥಿರ: .
ಅಥವಾ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಅಕ್ಷರಗಳು, ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದು:
ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಅಪರೂಪವಲ್ಲ: - ಅನೇಕರಿಗೆ "ಆಲ್ಫಾ, ಬೀಟಾ, ಗಾಮಾ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಹೇಳಿ, "ಮು" ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ:

ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಅಕ್ಷರಗಳ ಬಳಕೆಯು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಎದುರಾಗುವ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿದೆ

ಆದರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದರೂ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತತ್ವಗಳು, ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೀವು ಭಯಾನಕವಾದದ್ದನ್ನು ಕಂಡರೆ, ಭಯದಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಮುಚ್ಚಲು ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ, ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನೀವು ಬದಲಿಗೆ ಸೂರ್ಯನನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು, ಬದಲಿಗೆ ಪಕ್ಷಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಮುಖವನ್ನು (ಶಿಕ್ಷಕ) ಸೆಳೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು, ತಮಾಷೆಯಾಗಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ಲೇಖನವು ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಣ್ಣ ವಿಷಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಕ್ರಮ "ವಿವರಣೆ" ಈ ರೀತಿ ಇರುತ್ತದೆ:

- ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ("ಶಾಲಾ ವಿಧಾನ");
- ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆ (ವ್ಯವಕಲನ) ಮೂಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು;
- ಕ್ರಾಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರ;
- ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು;
- ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.

ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳಿಂದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು "ಶಾಲಾ ವಿಧಾನ" ಅಥವಾ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದನ್ನು "ಅಪೂರ್ಣ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ" ಎಂದೂ ಕರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉಚಿತ ಪದಗಳು (ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 5 ಮತ್ತು 7) ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವರು ಎಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ, ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಗೊಂದಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಾರದು; ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ "ಎಂದಿನಂತೆ" ಬರೆಯಬಹುದು: . ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದರ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪರಿಹಾರವು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಗಿರಬಹುದು ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ (ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ).ನಾಚಿಕೆಪಡಬೇಡ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ =) ನಾವು ಕೇವಲ ಒಂದು "x" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದು "y" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು c-we ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವಿದೆ, ಅದನ್ನು ನೀವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಬಹುದು. ಒಂದು ಸಾಲಿನೊಂದಿಗಿನ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಅಲ್ಲಿ ನಾನು ಮಾತನಾಡಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಆದರೆ ಈಗ ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಯುಗ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು-ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಕ್ರಿಯೆಗಳು-ಕ್ರಿಯೆಗಳು.

ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ: ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಮುಂದೆ, ನಾವು ನೃತ್ಯ ಮಾಡಿದ್ದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಹುಡುಕಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:

ಉತ್ತರ:

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಬಲವಾಗಿ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಮೌಖಿಕವಾಗಿ, ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ). ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮತ್ತು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

1) ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ತರವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

- ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

2) ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ತರವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:

- ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ಎಲ್ಲವೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬಂದವು"

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಒಂದೇ ಅಲ್ಲ; ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲ.
ನೀವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು - ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಏನನ್ನಾದರೂ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ. ಮೂಲಕ, ನಾಲ್ಕು ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ಫಲಿತಾಂಶವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಆದರೆ ಏಕೆ? ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪರಿಹಾರವಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಇನ್ನೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆದಿದ್ದೇನೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಈ ರೀತಿ ಅಲ್ಲ: ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ರೀತಿ: .

ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನೀವು ಭಾಗಶಃ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಚಿತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ನಿಖರವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲ ಅಥವಾ!

ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

ಅನೇಕ ಓದುಗರು ಬಹುಶಃ "ತಿದ್ದುಪಡಿ ವರ್ಗದಂತಹ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಏಕೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಯೋಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ, ಇದು ಅಂತಹ ಸರಳ ಶಾಲಾ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹಲವು ಪ್ರಮುಖ ತೀರ್ಮಾನಗಳಿವೆ! ಇನ್ನೊಂದು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಯಾವುದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಶ್ರಮಿಸಬೇಕು. ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸಮಯ ಮತ್ತು ನರಗಳನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಪ್ಪು ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡರೆ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸದ ಹೊರತು). ನೀವು ಸಕ್ಕರ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಮತ್ತು "ಶಾಲಾ ವಿಧಾನ" ಬಳಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ನಿಮ್ಮ ಗ್ರೇಡ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತೀರಿ "
ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ. ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾನು ಅಲ್ಲಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಗುರಿಯಾಗಿದೆ ವೇಗವಾಗಿಕ್ರೇಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳು, ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಅದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ? ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಉಲ್ಲೇಖ:ಗಣಿತದ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದರೆ "ಇದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ; ನಾವು ಕೆಲವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಇತರರ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾನು ಯಾವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು? ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಬಹುಶಃ ಈಗಾಗಲೇ ಊಹಿಸಿದ್ದೀರಿ:

ಇಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ .

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ:
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಿ: ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

1)
2)
3)

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

4 ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ).

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆ (ವ್ಯವಕಲನ) ಮೂಲಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು "ಶಾಲಾ ವಿಧಾನ" ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆ (ವ್ಯವಕಲನ) ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು. ಏಕೆ? ಇದು ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ನಾನು ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡೆ.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುವಾಗ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ (-1 ಮತ್ತು 1) ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು:

ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಟರ್ಮ್-ಬೈ-ಟರ್ಮ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಏನು ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಹಲವಾರು ಅನಾನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ; ಅಕ್ಷರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಗೌಸ್ನ ವಿಧಾನವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ.

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕ್ರೇಮರ್ ನಿಯಮವು ಅನ್ವಯಿಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕಡಿಮೆಯಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅಸಮಂಜಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

1. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡುವುದು ಎಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (1)

2. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಿ (1) ಒಗ್ಗಟ್ಟಿಗಾಗಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). ಅದು ತಿರುಗಿದರೆ , ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದರೆ , ನಂತರ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ).

ಎ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಆರ್ಎ.

ಹುಡುಕಲು ಆರ್ಎ, ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ, ಇತ್ಯಾದಿ ಆದೇಶಗಳ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಿರಿಯರನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ಅವರನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಕಿರಿಯರು.

M1=1≠0 (ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಿಂದ 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎ).

ನಾವು ಗಡಿ M1ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್. . ನಾವು ಗಡಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ M1ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕಾಲಮ್..gif" width="37" height="20 src=">. ಈಗ ನಾವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೈನರ್ ಗಡಿ M2′ಎರಡನೇ ಆದೇಶ.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: (ಮೊದಲ ಎರಡು ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ)

(ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ).

ನಾವು ಅದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ rA=2, a ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಆಗಿದೆ ಎ.

ಬಿ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಕಷ್ಟು ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ M2′ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಉಚಿತ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಗಡಿ (ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಾಲನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ).

. ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ M3′′ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೂಲ ಮೈನರ್ ಆಗಿ ಉಳಿದಿದೆ https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

ಏಕೆಂದರೆ M2′- ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೈನರ್ ಆಧಾರ ಎವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (2) , ನಂತರ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (3) , ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (2) (ಇದಕ್ಕಾಗಿ M2′ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ) ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿದೆ.

(3)

ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಉಚಿತ ಅಜ್ಞಾತಗಳಿವೆ ( x2 ಮತ್ತು x4 ) ಅದಕ್ಕೇ ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (4) ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನಾವು ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ (4) ಮೊದಲು ಮೌಲ್ಯಗಳು x2=1 , x4=0 , ಮತ್ತು ನಂತರ - x2=0 , x4=1 .

ನಲ್ಲಿ x2=1 , x4=0 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಂದಿದೆ ಒಂದೇ ವಿಷಯ ಪರಿಹಾರ (ಇದನ್ನು ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮ ಅಥವಾ ಇತರ ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು). ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅವಳ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ x1= -1 , x3=0 . ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x2 ಮತ್ತು x4 , ನಾವು ಸೇರಿಸಿದ, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (2) : .

ಈಗ ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ (4) x2=0 , x4=1 . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಕ್ರೇಮರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

.

ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (2) : .

ಪರಿಹಾರಗಳು β1 , β2 ಮತ್ತು ಮೇಕಪ್ ಮಾಡಿ ಎಫ್ಎಸ್ಆರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (2) . ನಂತರ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಇರುತ್ತದೆ

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ಇಲ್ಲಿ C1 , C2 - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು.

4. ಒಂದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ(1) . ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ 3 , ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬದಲಿಗೆ (1) ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (5) , ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (1) .

(5)

ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ x2ಮತ್ತು x4.

(6)

ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಉಚಿತವಾಗಿ ನೀಡೋಣ x2 ಮತ್ತು x4 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x2=2 , x4=1 ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹಾಕಿ (6) . ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕ ರಿಂದ M2′0) ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು (ಕ್ರಾಮರ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x1=3 , x3=3 . ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x2 ಮತ್ತು x4 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ(1)α1=(3,2,3,1).

5. ಈಗ ಅದನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ α(1) : ಇದು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

ಇದರರ್ಥ: (7)

6. ಪರೀಕ್ಷೆ.ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೀರಾ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು (1) , ನಮಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಬೇಕು (7) ಬದಲಿಯಾಗಿ (1) . ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವು ಗುರುತಾಗಿ ಬದಲಾದರೆ ( C1 ಮತ್ತು C2 ನಾಶಪಡಿಸಬೇಕು), ನಂತರ ಪರಿಹಾರವು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (7) ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಮಾತ್ರ (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

ಎಲ್ಲಿ –1=–1. ನಮಗೊಂದು ಗುರುತು ಸಿಕ್ಕಿದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (1) .

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಚೆಕ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ತೊಡಕಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ "ಭಾಗಶಃ ಚೆಕ್" ಅನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಬಹುದು: ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ (1) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (ಅಂದರೆ, ಆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ (1) , ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ (5) ) ನೀವು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ಬಹುತೇಕ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪರಿಹಾರ (1) ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ (ಆದರೆ ಅಂತಹ ಚೆಕ್ ಸರಿಯಾಗಿರುವುದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭರವಸೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ!). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ (7) ಹಾಕಿದರು C2=- 1 , C1=1, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ನ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ಅಂದರೆ –1=–1. ನಮಗೊಂದು ಗುರುತು ಸಿಕ್ಕಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (1) , ಉಚಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಮೂಲಭೂತ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು.

ಪರಿಹಾರ.ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಉದಾಹರಣೆ 1, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ ಎಮತ್ತು ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ಈಗ ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ (1) , ಇವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಮೂಲಭೂತ ಮೈನರ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ) ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಉಚಿತ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯವಸ್ಥೆ (9) ನಾವು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಮುಕ್ತ ಪದಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ಆಯ್ಕೆ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ಆಯ್ಕೆ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ಆಯ್ಕೆ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ಆಯ್ಕೆ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">