ಪ್ರಮೇಯ 1.ಎರಡು, ಮೂರು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು, ಅಂದರೆ.

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಎರಡು ಪದಗಳಿಗೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಅವಕಾಶ. ನಂತರ f(x)=b+b(x)ಮತ್ತು g(x)=c+в(x), ಎಲ್ಲಿ ಬಿಮತ್ತು ವಿ- ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ,

f(x) + g(x)=(b + c) + (b(x) + c(x)).

ಏಕೆಂದರೆ ಬಿ+ಸಿಇದೆ ನಿರಂತರ, ಎ b(x) + c(x)- ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಎರಡು, ಮೂರು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಕಾರ್ಯಗಳು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು:

ಪುರಾವೆ. ಇರಲಿ ಬಿಡಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, f(x)=b+b(x)ಮತ್ತು g(x)=c+в(x)ಮತ್ತು

fg = (b + b) (c + c) = bc + (bc + cb + bc).

ಕೆಲಸ ಕ್ರಿ.ಪೂಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ. ಕಾರ್ಯ bв + c b + bvಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಅನಂತವಾದ ಪ್ರಮಾಣವಿದೆ. ಅದಕ್ಕೇ.

ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಕಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಫಲಿತಾಂಶ 2.ಪದವಿ ಮಿತಿ ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಮಿತಿ:

ಉದಾಹರಣೆ..

ಪ್ರಮೇಯ 3.ಛೇದದ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ಮಿತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಪುರಾವೆ. ಇರಲಿ ಬಿಡಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, f(x)=b+b(x)ಮತ್ತು g(x)=c+в(x), ಎಲ್ಲಿ ಬಿ, ಸಿ- ಅಪರಿಮಿತ. ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ

ಒಂದು ಭಾಗವು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂಶವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸಿ 2 ?0.

3. ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಲ್ಲಿ x>1ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವು 1 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು 0 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ರಿಂದ, ಅಂದರೆ. ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ x> 1, ನಂತರ.

ಪ್ರಮೇಯ 4.ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ f(x), u(x)ಮತ್ತು v(x), ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಯು (x)?f(x)? v(x). ಕಾರ್ಯಗಳು ವೇಳೆ u(x)ಮತ್ತು v(x)ನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ x>a(ಅಥವಾ x>?), ನಂತರ ಕಾರ್ಯ f(x)ಅದೇ ಮಿತಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಅರ್ಥವು ಚಿತ್ರದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 4 ರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ: Piskunov N. S. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಂಪುಟ 1 - ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1985.

ಪ್ರಮೇಯ 5.ನಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ x>a(ಅಥವಾ x>?) ಕಾರ್ಯ y=f(x)ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ವೈ?0ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ ಬಿ, ನಂತರ ಈ ಮಿತಿಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು: ಬಿ?0.

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ ಬಿ<0 , ನಂತರ |y - b|?|b|ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಯಾವಾಗ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವುದಿಲ್ಲ x>a. ಆದರೆ ನಂತರ ವೈಮಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ ಬಿನಲ್ಲಿ x>a, ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 6.ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಿದ್ದರೆ f(x)ಮತ್ತು g(x)ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ Xಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು f(x)? g(x)ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ b?c.

ಪುರಾವೆ.ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ f(x)-g(x) ?0, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 5 ಮೂಲಕ, ಅಥವಾ.

ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

1. ಎರಡು, ಮೂರು, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಲಿಮ್ (ಯು 1 + ಯು 2 + ... + ಯು ಎನ್) = ಲಿಮ್ ಯು 1 + ಲಿಮ್ ಯು 2 + ... + ಲಿಮ್ ಯು ಎನ್

2. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

lim (u 1 × u 2 × … × u n) = lim u 1 × lim u 2 × … × lim u n

3. ಛೇದದ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅಂಶದ ಮಿತಿಯು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಲಿಮ್ ವಿ ¹ 0 .

3. ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವೇಳೆ u = u (x), z = z (x), v = v (x)ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಯು £ z £ v ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ u(x)ಮತ್ತು v(x)ನಲ್ಲಿ X ® ಎ (ಅಥವಾ X ® ¥ ) ಅದೇ ಮಿತಿಗೆ ಒಲವು ಬಿ, ಅದು z = z(x)ನಲ್ಲಿ X ® ಎ (ಅಥವಾ X ® ¥) ಅದೇ ಮಿತಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ.

ಎಂಬ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಬಂಧದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಮೇಯ 4 ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರಥಮ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ . (2.1)

(2.1) ನಿಂದ ಅನಂತಸೂಚಕಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ Xಮತ್ತು ಪಾಪ x: ಪಾಪ x ~x.

ವೈ

y = sinx

X

y = x

ಅಕ್ಕಿ. 2.3

ಇದನ್ನು ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 2.3 ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ y = xಮತ್ತು y = sinx. ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ Xಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳ (ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು) ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ x = 0ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. (ಇದು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ Xಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಪಾಪ x).

ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡನೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆನೋಟ:
(2.2)

ಸಂಖ್ಯೆ ಇ- ಅಭಾಗಲಬ್ಧ (ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಪ) ಮತ್ತು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗ ಇ = 2.71828…; ನಾಟಕಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಸೇವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆಧಾರವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ln x = ಲಾಗ್ ಇ x. ಕಾರ್ಯ y = e xಎಂದು ಕರೆದರು ಘಾತೀಯಕಾರ್ಯ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಕ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್) ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ: . ನೀವು ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು:

ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆ.ಕಾರ್ಯ y = f(x) ಎಒಂದು ವೇಳೆ:

1.ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಹಂತದಲ್ಲಿ;

2.ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. . ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಬಹುದು. ವಾದ ಬಿಡಿ x 0ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ Dxಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ x = x 0 + Dx. IN ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ Dу = f(х 0 + Dх) – f(х 0).

ಕಾರ್ಯ f(x)ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x 0, ಇದನ್ನು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ವಾದದ ಅನಂತವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ.

(2.3) ಅಥವಾ (2.3`)

ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಇಲ್ಲಿದೆ: ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯವು ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿಯೂ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆಮತ್ತು ನಾವು ಮಿತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಖ್ಯವಾದ ಅನುಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ನಿರಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ
ಅಥವಾ, ಅದೇ ಏನು, . ಆದರೆ ಆದ್ದರಿಂದ (2.4), ಅಂದರೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧ (2.4) ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ - ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಮಿತಿ(ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು (ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು) ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು): .

ಉದಾಹರಣೆ:

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ f(x)ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ (ಎ, ಬಿ), ಎಲ್ಲಿ ಎ< b , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಒಳಗೆ ಅಥವಾ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬ್ರೇಕಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್.ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ ಬಿ 1, ಬಿ 2ಮತ್ತು f(a)ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನ, ಅವಧಿ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತದ ಬಿಂದು. ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ನೆಗೆಯುವುದನ್ನು, ಯಾವಾಗ ಬಿ 1 ¹ ಬಿ 2(ಜಂಪ್ ಆಗಿದೆ ಬಿ 2 - ಬಿ 1) ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಂತರ,ಯಾವಾಗ b 1 = b 2. ಮೊದಲ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲದ ಸ್ಥಗಿತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಛಿದ್ರ. ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆ - "ಅನಂತ" ಅಂತರ: ).

ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು).

1. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(x)ಕೆಲವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ , ನಂತರ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಇದೆ x = x 1ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ f(x 1) ³f(x) , ಎಲ್ಲಿ X- ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪಾಯಿಂಟ್, ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಇರುತ್ತದೆ x 2ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆf(x 2) ≤ f(x).

ವೈ 1

ವೈ 2

ವೈ 3

X

ಎ

ಮೀ

ಎಂ

ವಿ

ಅಕ್ಕಿ. 2.4

f(x)ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ. ಅಂಜೂರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ನಾವು ವಿವರಿಸೋಣ. 2.4, ಇದು ಮೂರು ನಿರಂತರ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯಗಳು y 1, y 2ಮತ್ತು 3 ನಲ್ಲಿ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಕಾರ್ಯ 1 ನಲ್ಲಿಒಮ್ಮೆ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎಂಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೀಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು. ಕಾರ್ಯ 2 ನಲ್ಲಿಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಇದು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯ 3 ನಲ್ಲಿಮೇಲೆ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೀಅರ್ಥಗಳು. ಆದರೆ ಒಂದು ಸಲವಾದರೂಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ!

(ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿ (ಎ, ಬಿ)ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ: y = x- ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಎ, ಬಿ)ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ ಎಮತ್ತು ಬಿ!)

ನಲ್ಲಿ

ನಲ್ಲಿ 2

ಎ

ವಿ

X

ನಲ್ಲಿ 1

ಅಕ್ಕಿ. 2.5

X

2. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(x)ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ x = ಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ.(ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಓಹ್ಈ ವಿಭಾಗದೊಳಗೆ; x = ಸಿ- ಅಂತಹ ಒಂದು ಬಿಂದು). ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ. 2.5: ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು 1 ನಲ್ಲಿಮತ್ತು 2 ನಲ್ಲಿಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಅವುಗಳ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳು (ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು) ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ 1 ನಲ್ಲಿಅಕ್ಷವನ್ನು ದಾಟುತ್ತದೆ ಓಹ್ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ 2 ನಲ್ಲಿ- ಮೂರು ಬಾರಿ, ಆದರೆ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ - ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ.

3. ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(x)ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ f(a) = Aಮತ್ತು f(b) = Bಸಂಖ್ಯೆ ಏನೇ ಇರಲಿಮೀ , ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ ಎಮತ್ತು IN, ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ x = ಸಿ, ನಡುವೆ ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಏನು f(c) = ಮೀ (ಪ್ರಮೇಯ 2 ಪ್ರಮೇಯ 3 ರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ).

ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮಿತಿಗಳು IX

§ 212. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ನಲ್ಲಿ = f (X ) ಮಿತಿ ಇದೆ f (X ) ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವಾಗ X -> π / 2 ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಲ್ಲಿ = ಟಿಜಿ X (ಚಿತ್ರ 303) ಅಥವಾ ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಬೆಳೆಯಿರಿ (ಜೊತೆ X < π / 2), ಅಥವಾ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ (ಜೊತೆ X > π / 2).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಬಿ , ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ಅವಕಾಶ

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಚಿತ್ರ 304 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಾದವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ X ವಿಧಾನ 0, ಉಳಿದ ಋಣಾತ್ಮಕ, ಅನುಗುಣವಾದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು 1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗ X ವಿಧಾನ 0, ಉಳಿದ ಧನಾತ್ಮಕ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು -2 ಗೆ ಒಲವು. ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ X = 0 ಕಾರ್ಯವು 0 ಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಲವು ತೋರುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ X 0 ಗೆ, ಸಂ. ಅದಕ್ಕೇ ಈ ಕಾರ್ಯನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ X -> 0.

ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ಈ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಊಹೆ f (X ) ಈ ಮಿತಿಯು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ f (X ) ಹಂತದಲ್ಲಿ x = a . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ 305 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಮಿತಿ f (X ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೇ X = 0 ಕಾರ್ಯವು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, in ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ

f (X ) =/= f (0).

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ y = f (X ) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

f (X ) = f (ಎ ),

ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರಹಂತದಲ್ಲಿ x = a . ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯ f (X ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಫೋಟಕಹಂತದಲ್ಲಿ x = a ."

ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು(ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y = x n , ನಲ್ಲಿ = ಪಾಪ X , ನಲ್ಲಿ = ಟಿಜಿ X , ನಲ್ಲಿ = ಕಂದು 2 X + ಟಿಜಿ X ಇತ್ಯಾದಿ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿ = f (X ) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ [a, b ] ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿ = ಟಿಜಿ X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ[- π / 4 , π / 4], ಕಾರ್ಯಗಳು ನಲ್ಲಿ = ಪಾಪ X ಮತ್ತು ವೈ = cos X ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಪುರಾವೆಯಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಿದ (ಸಹ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೆ) ಹೋಲುತ್ತವೆ.

1. ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ಮಿತಿಯು ಈ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

c = c .

2. ನಿರಂತರ ಅಂಶವನ್ನು ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

[ ಕೆ f (X )] = ಕೆ f (X ).

3. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮೇಲೆ ಮಿತಿ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ(ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು) ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ನಡುವೆ:

[ f (X ) ± ಜಿ (X )] = f (X ) ± ಜಿ (X ).

4. ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

[ f (X ) ಜಿ (X )] = f (X ) ಜಿ (X ).

5. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು, ವಿಭಾಜಕದ ಮಿತಿ ಹೊರತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ:

ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಹಲವಾರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಹುಡುಕಿ

ನಲ್ಲಿ X -> 3 ಈ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಅಂಶದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಇಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ. ಆದಾಗ್ಯೂ ನೀಡಿದ ಭಾಗಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು:

(ದಯವಿಟ್ಟು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯ ಲಕ್ಷಣ. ನಾವು ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ f (X ), ನಂತರ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ f (X ) ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ x = a . ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು X . ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿಜವಾಗಿ ಊಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ X -> 0, ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅವರು ಕೇವಲ ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬಗ್ಗೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿಮಿತಿ. ಈ ವಿಭಾಗದ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ನಂತರ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ.)

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅನಂತ ಮಿತಿಗಳುಕೌಚಿ ಮತ್ತು ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅನಂತದಲ್ಲಿ (ಎರಡು-ಬದಿಯ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ). ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು; ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮುಖ ಮಾನದಂಡ; ಮಿತಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ; ಅಪರಿಮಿತ ಸಣ್ಣ, ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಕಾರ್ಯ y = f (X)ಒಂದು ಕಾನೂನು (ನಿಯಮ) ಅದರ ಪ್ರಕಾರ X ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು x Y ಸೆಟ್‌ನ ಒಂದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಂಶ y ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಅಂಶ x ∈ ಎಕ್ಸ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಕಾರ್ಯ ವಾದಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್.
ಅಂಶ ವೈ ∈ ವೈಎಂದು ಕರೆದರು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಅಥವಾ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್.

ಸೆಟ್ X ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್.
ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ y ∈ ವೈ, ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್.

ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನಿಂದ), ಒಂದು ವೇಳೆ M ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇರುತ್ತದೆ:
.
ಸಂಖ್ಯಾ ಕಾರ್ಯಎಂದು ಕರೆದರು ಸೀಮಿತ, ಎಂ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೀಗೆ:
.

ಮೇಲಿನ ಅಂಚುಅಥವಾ ನಿಖರವಾದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯಮೇಲಿನಿಂದ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ s ಆಗಿದೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು s′: ಅನ್ನು ಮೀರುವ ವಾದವಿದೆ.
ಮೇಲಿನ ಅಂಚುಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು:
.

ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಚುಅಥವಾ ನಿಖರವಾದ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿ ನೈಜ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು i ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಒಂದು ವಾದವಿದೆ, ಅದರ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು i′: ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ.
ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು:
.

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ

ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಬಹುಶಃ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ವಿಷಯವಿದ್ದರೆ, ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ x ಗಾಗಿ, ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ
.
ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
.

ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಡ ಮಿತಿ (ಎಡ-ಬದಿಯ ಮಿತಿ):
.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬಲ ಮಿತಿ (ಬಲಗೈ ಮಿತಿ):
.
ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
; .

ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು

ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
.
.
.
ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
; ; .

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೂರದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯ ಏಕೀಕೃತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು:
.
ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಿಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ
; ;
.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಪಂಕ್ಚರ್ ಆಗಿದೆ:
; ; .

ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮಿತಿಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ (ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತದಲ್ಲಿ). f (X) x → x ನಂತೆ 0 ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾರಿಗಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಎಂ > 0 δ M ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ > 0 , M ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ δ M ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ - ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ: , ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
.
ರಾಕ್ಷಸ ಅಂತಿಮ ಮಿತಿಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
.

ನೀವು ಕೆಲವು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅನಂತ ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.
.

ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ನೀಡಬಹುದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಮಿತಿ, ಸೀಮಿತ (ಎರಡು-ಬದಿಯ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ) ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೂರದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:
.

ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ಸೆಟ್ X: ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.
ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಹಂತದಲ್ಲಿ:
,
ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು x ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ 0 :
,
ಇದರ ಅಂಶಗಳು X ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿವೆ: ,
.

ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
.

ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಎಡ-ಬದಿಯ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು X ಸೆಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ 0 , ನಂತರ ನಾವು ಎಡ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಬಲಗೈಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು X ಸೆಟ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ
ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಕೌಚಿ ಮತ್ತು ಹೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಪುರಾವೆ

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಮುಂದೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಂದುವಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ: . ಇದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಫಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ . ನೆರೆಹೊರೆಯು ಎರಡು ಬದಿಯ ಮಿತಿಗೆ ಎರಡು ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗೆ ಒಂದು ಬದಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಫ್ (X)ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ (ಅಥವಾ ವಿವರಿಸದೆ ಮಾಡಿ). 1, x 2, x 3, ... x n, ನಂತರ ಈ ಬದಲಾವಣೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು X 0 .

ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯಿದ್ದರೆ, x ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುತ್ತದೆ 0 , ಅದರ ಮೇಲೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ (X)ಸೀಮಿತ:
.

ಕಾರ್ಯವು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ಇರಲಿ 0 ಸೀಮಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮಿತಿ:
.
ನಂತರ, ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ c ಗೆ x ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರುತ್ತದೆ 0 , ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ,
, ಒಂದು ವೇಳೆ;
, ವೇಳೆ .

ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, , ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ .

x ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ 0
,
ಅದು .

ವೇಳೆ , ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ
,
ಅದು .
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ
,
ನಂತರ ವೇಳೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು;
ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಮತ್ತು .

ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ 0 :
,
ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ (ಅಥವಾ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅನಂತ) ಸಮಾನ ಮಿತಿಗಳು:
, ಅದು
.

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
"ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು."

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ. ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು ಇರಲಿ:
ಮತ್ತು .
ಮತ್ತು ಸಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ
;
;
;
, ವೇಳೆ .

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಆಗ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
"ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಗಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಕೌಚಿ ಮಾನದಂಡ

ಪ್ರಮೇಯ
ಪರಿಮಿತ ಅಥವಾ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ 0 , ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ε ಗೆ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ > 0 ಬಿಂದು x ನ ಅಂತಹ ಪಂಕ್ಚರ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇತ್ತು 0 , ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ
ಕಾರ್ಯವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿ. ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ.
ಅಂತಿಮ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೂರದ ಅಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ: . ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಿತಿಗಳು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಅಥವಾ ಏಕಪಕ್ಷೀಯವಾಗಿರಬಹುದು.
ನಂತರ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದಿದ್ದಾಗ ಅಥವಾ ಮಿತಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬಿಂದುವಿನ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆ ಇರಬೇಕು:
.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಾದಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:
.
ಕೆಳಗಿನವು ಈ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ
ಜಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಇರಲಿ (ಟಿ) t → t ಎಂದು 0 , ಮತ್ತು ಇದು x ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 :
.
ಇಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಟಿ 0 ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರಬಹುದು: .
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ಅವಕಾಶ (X)ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ 0 .
ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ f (ಜಿ(ಟಿ)), ಮತ್ತು ಇದು f ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (x0):
.

ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
"ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ".

ಅಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬೌಂಡ್ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಲು, ಅದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ
,
ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯವಿದೆ.

"ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯ, ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯನಲ್ಲಿ.

ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ
.

ಕಾರ್ಯವು , ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ , ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ:
,
ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ:
, ಮತ್ತು (ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ), ನಂತರ
.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
"ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು".

ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
, .

ಅಪರಿಮಿತ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ (ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು:
.
ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:
.

ಅನಂತರ ಮತ್ತು ಅನಂತಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂಪರ್ಕ ಉತ್ತಮ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳುಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಬಹುದು:
, ,
, .

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸೂತ್ರಗಳು, ಲಿಂಕ್ ಮಾಡುವ ಅನಂತ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು
"ಪಾಯಿಂಟ್ಸ್ ಅಟ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು."

ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಕೆಲವು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಎಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಅಂತಹ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇದ್ದರೆ:
.
ಅದರಂತೆ, ಫಾರ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯ:
.
ಫಾರ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ:
.
ಫಾರ್ ಹೆಚ್ಚಿಸದ:
.

ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಸಹ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯವು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕತಾನತೆಯ, ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಾಗದಿದ್ದರೆ.

ಪ್ರಮೇಯ
ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿರಲಿ.
ಇದನ್ನು M ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮಿತಿಗೊಳಿಸಿದರೆ: ನಂತರ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ .
ಇದು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೀ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ: ನಂತರ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ .

a ಮತ್ತು b ಅಂಕಗಳು ಅನಂತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಅಂದರೆ .
ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು.

ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿರಲಿ. ನಂತರ a ಮತ್ತು b ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿವೆ:
;
.

ಹೆಚ್ಚಾಗದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಇದೇ ಪ್ರಮೇಯ.

ಅಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗದಿರಲಿ. ನಂತರ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳಿವೆ:
;
.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ
"ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು".

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್. ಸರಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 2003.
ಸಿಎಂ ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 1983.