ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಪರಿಚಯ.

ಈ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಕೈಗಾರಿಕಾ ಮತ್ತು ಸಿವಿಲ್ ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. "ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಒಂದೇ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾಹಿತಿ; "ಪ್ರಮಾಣಿತ" ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು; ಪರೀಕ್ಷಾ ಆಯ್ಕೆಗಳು.

ಪ್ರತಿ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳಿವೆ. ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳ ಈ ರಚನೆಯು ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಹಾಯದಿಂದ ವಿಭಾಗದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪಾಂಡಿತ್ಯಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

§1. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಯಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ಉತ್ಪನ್ನ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಇದು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ರಚನೆಯು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ: ಪರ್ಯಾಯ ಚಲನೆಯ ವೇಗದ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮಸ್ಯೆ.

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಅವುಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾದ ಅದೇ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ.ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, x0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y=f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ (ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ) ಆಗಿದೆ.
ನಲ್ಲಿ
.

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥ.

s=s(t) ಒಂದು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ
ಟಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

y=f(x) ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ
ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಹಂತದಲ್ಲಿ =2:

1) ನಾವು ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡೋಣ = 2 ಹೆಚ್ಚಳ
. ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು.

2) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ =2:

3) ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ನಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

.

ಹೀಗಾಗಿ,
.

§ 2. ಕೆಲವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕೆಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಕಲಿಯಬೇಕು: y=x,y= ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ = .

y=x ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಆ. (x)′=1.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಅವಕಾಶ
ನಂತರ

ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ
n=1,2,3 ಜೊತೆಗೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

. (1)

ಈ ಸೂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ n ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (1), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

;

.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

.

.

ಈ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪದ ಕಾರ್ಯದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ

ನಲ್ಲಿ
.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (1), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

.

y=sin x ಮತ್ತು y=cos x ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು.

y=sinx ಎಂದು ಬಿಡಿ.

∆x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

∆x→0 ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದು, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

y=cosx ಎಂದು ಬಿಡಿ.

∆x→0 ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

;
. (2)

§3. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ1 . u=u(x) ಮತ್ತು v=v(x) ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು x ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. : (u+v)"=u"+v".(3 )

ಪುರಾವೆ: y=f(x)=u(x)+v(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ನ ∆x ಹೆಚ್ಚಳವು u ಮತ್ತು v ಕಾರ್ಯಗಳ ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ಇಂಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಂತರ y ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=---=∆u+∆v.

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಆದ್ದರಿಂದ, (u+v)"=u"+v".

ಪ್ರಮೇಯ2. u=u(x) ಮತ್ತು v=v(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಎಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

ಪುರಾವೆ: y=uv ಆಗಿರಲಿ, ಇಲ್ಲಿ u ಮತ್ತು v ಗಳು x ನ ಕೆಲವು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು x ಗೆ ∆x ನ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ನೀಡೋಣ; ನಂತರ ನೀವು ∆u ನ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ, v ∆v ಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು y ∆y ಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.

ನಾವು y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ಅಥವಾ

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

ಆದ್ದರಿಂದ, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

ಇಲ್ಲಿಂದ

∆x→0 ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವುದು ಮತ್ತು u ಮತ್ತು v ∆x ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ

ಪ್ರಮೇಯ 3. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಛೇದವು ಭಾಜಕದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶವು ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ, ಅಂದರೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ
ಅದು
(5)

ಪ್ರಮೇಯ 4.ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. y=C ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ C=const, ನಂತರ y"=0.

ಪ್ರಮೇಯ 5.ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ. y=Cu(x), ಅಲ್ಲಿ С=const ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ y"=Cu"(x).

ಉದಾಹರಣೆ 1.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

.

ಈ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
, ಅಲ್ಲಿ=x,v=cosx. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಷನ್ ​​ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ (4), ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

.

ಉದಾಹರಣೆ 2.

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ (5).

ಇಲ್ಲಿ
;
.

ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

ಅನುಪಾತವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.

ಎಲ್ಲಿಂದ ಬಂತು? ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು? ಏಕೈಕ ಮಿತಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು. ಇದು ಮ್ಯಾಜಿಕ್‌ನಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಇದು ಕೈಯ ಚಾಕಚಕ್ಯತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಂಚನೆ ಇಲ್ಲ. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾನು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ಅರಿವಿನ ಅಭ್ಯಾಸದ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ತೊಂದರೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ನೀವು ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: .

ಪರಿಹಾರತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ, ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: ಏಣಿಯು ಹಲಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಕೆಲವು(ನಿರ್ದಿಷ್ಟ) ಬಿಂದು ಸೇರಿದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ ಇರುವ ಕಾರ್ಯ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ (ಸಹಜವಾಗಿ, ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿo/o -ನಾನು)ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸಿ:

ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ 0:0 ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ತಂತ್ರದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ :

ಅಂತಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ.

ನೀವು ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗುಣಮಟ್ಟವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆನಂದಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪ್ರಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ, ಆದರೆ ವಿನ್ಯಾಸದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರದ ಬದಲಿಗೆ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕಲ್ಪನೆ.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ನಿರಂಕುಶಸೇರಿದ ಬಿಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಕಾರ್ಯ (ಮಧ್ಯಂತರ) ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಮೀಸಲಾತಿ ಇಲ್ಲದೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ವಿನ್ಯಾಸದ ಸರಳತೆಯು ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ (ಮತ್ತು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ) ಉಂಟಾಗಬಹುದಾದ ಗೊಂದಲದಿಂದ ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, "X" ಅಕ್ಷರವು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ! ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ: - ಪುರಾತನ ಪ್ರತಿಮೆ, ಮತ್ತು - ಜೀವಂತ ಸಂದರ್ಶಕ, ವಸ್ತುಸಂಗ್ರಹಾಲಯದ ಕಾರಿಡಾರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚುರುಕಾಗಿ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದರೆ, "x" ಎಂಬುದು "ಸ್ಥಿರದಂತಿದೆ."

ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ನಿವಾರಣೆಯ ಕುರಿತು ನಾನು ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ:

(1) ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ .

(2) ಆವರಣದಲ್ಲಿ, ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

(3) ಛೇದದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಲಾಭ ಪಡೆಯಲು ಕೃತಕವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ "x" ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ , ಹಾಗೆಯೇ ಅಪರಿಮಿತಎದ್ದು ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ:

ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ:

ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಟೇಬಲ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯೋಜನೆಯ ಅಂದಾಜು ಮಾದರಿ (ಮೊದಲ ವಿಧಾನ).

ಉದಾಹರಣೆ 3:ಪರಿಹಾರ : ಕೆಲವು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ , ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ . ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸಿ:

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ :


ಅಂದಿನಿಂದ ಅ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಕಾರ್ಯ ಡೊಮೇನ್ , ಅದು ಮತ್ತು
ಉತ್ತರ : ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

ಉದಾಹರಣೆ 4

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇತರ ಹಲವಾರು ಕೋಷ್ಟಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಶಾಲೆಯ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಅಥವಾ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Fichtenholtz ನ 1 ನೇ ಸಂಪುಟ. ಪುಸ್ತಕಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನಕಲಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ - ಅವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕೂಡ ರಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4:ಪರಿಹಾರ , ಅವರಿಗೆ ಸೇರಿದ , ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಉತ್ತರ : a-priory

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ , ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಮೊದಲ ವಿನ್ಯಾಸ ಶೈಲಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಗೆ ಸೇರಿದ ಕೆಲವು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ:

ಪ್ರಾಯಶಃ ಕೆಲವು ಓದುಗರು ಇನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾದ ತತ್ವವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು (ಸಂಖ್ಯೆ) ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: , ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಿ"X" ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕು. ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಬದಲಾಗಿ"iksa": . ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ.

ಕಂಪೈಲ್ಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ತಕ್ಷಣವೇ ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ? ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಮಿತಿಗೆ ಸುಗಮಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.

ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಟರ್ಕಿ ಜೀರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ, ಹುರಿದ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ .

ಉತ್ತರ: a-priory.

ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು:

ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಉಪಯುಕ್ತ ಮತ್ತು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ಉದ್ದೇಶಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ "ತ್ವರಿತ" ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 6:ಪರಿಹಾರ : ಕೆಲವು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ , ಅವರಿಗೆ ಸೇರಿದ , ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ . ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ:


ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:


ಹೀಗೆ:
ಏಕೆಂದರೆ ಹಾಗೆ ನೀವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು
ಉತ್ತರ : a-priory.

ಶೈಲಿ #2 ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಏನಾಗಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಕ್ಷಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಮೂಲಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮ:

ಪರಿಹಾರ: ಗೆ ಸೇರಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸಿ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:


(1) ಬಳಕೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರ .

(2) ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

(3) ಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪದಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಪದದಿಂದ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

(4) ಸೈನ್‌ನ ವಿಚಿತ್ರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ನಾವು "ಮೈನಸ್" ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕೊಸೈನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

(5) ಬಳಕೆಗಾಗಿ ನಾವು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕೃತಕ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ನಿವಾರಣೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾಗಿ ಮಾಡೋಣ.

ಉತ್ತರ: a-priory

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆ ಮಿತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ + ಪ್ಯಾಕೇಜಿಂಗ್ನ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಶಿಷ್ಟತೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿನ್ಯಾಸದ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ, ನನ್ನ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ಅನಿಸಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, "X-ಶೂನ್ಯ" ದೊಂದಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ 1 ಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಉದಾಹರಣೆ 8:ಪರಿಹಾರ : ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ , ಅವರಿಗೆ ಸೇರಿದ , ಅದರಲ್ಲಿ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸಿ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ:

ಉತ್ತರ : a-priory

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಪರೂಪದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್ ಏನಾಗಿರಬೇಕು? ಸಂಖ್ಯೆ

ಉತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಪರಿಹಾರ: ಸ್ಪಷ್ಟತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೂತ್ರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ.

ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ನಾವು ಅಪರೂಪದ ಸ್ಪರ್ಶ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮೊದಲ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿ:

ಉತ್ತರ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ.

"ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ" ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆ ಅಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ - ವಿನ್ಯಾಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸಾಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 10

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಂತವಾಗಬಹುದು), ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ್ದೇನೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಗ್ಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪಾಠ.

ಗ್ರಾಫ್‌ನ "ಜಂಕ್ಷನ್" ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಭಾಗವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಯಾಟ್‌ಡಾಗ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ (x-ಆಕ್ಸಿಸ್) ಹೊಂದಿದೆ. ಕರ್ವ್, ಆದರೆ ಮೂಲಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು! ಆಸಕ್ತರು ಇದೀಗ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

©2015-2019 ಸೈಟ್
ಎಲ್ಲಾ ಹಕ್ಕುಗಳು ಅವರ ಲೇಖಕರಿಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಈ ಸೈಟ್ ಕರ್ತೃತ್ವವನ್ನು ಕ್ಲೈಮ್ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಉಚಿತ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.
ಪುಟ ರಚನೆ ದಿನಾಂಕ: 2017-06-11

ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯ

“ಮತಿ” - ರಷ್ಯನ್ ರಾಜ್ಯ

ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆ.ಇ. ಟಿಸಿಯೋಲ್ಕೊವ್ಸ್ಕಿ

"ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ" ವಿಭಾಗ

ಕೋರ್ಸ್ ನಿಯೋಜನೆ ಆಯ್ಕೆಗಳು

ಕೋರ್ಸ್ ನಿಯೋಜನೆಗಾಗಿ ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು

"ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು. ಉತ್ಪನ್ನಗಳು"

ಕುಲಕೋವಾ ಆರ್.ಡಿ.

ಟೈಟರೆಂಕೊ ವಿ.ಐ.

ಮಾಸ್ಕೋ 1999

ಟಿಪ್ಪಣಿ

ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು ಮೊದಲ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ" ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಪ್ರತಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗದ ನಂತರ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ: ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳು, ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, L'Hopital ನ ನಿಯಮ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನ್ವಯ.

ವಿಷಯವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ವಿಷಯಗಳ ಕೋರ್ಸ್‌ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಅಧ್ಯಾಪಕರು ಮತ್ತು ವಿಶೇಷತೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು.

1. ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳು

ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕೆಲವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನೀವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ

ಪೂರ್ವಭಾವಿಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು

ಗರಿಷ್ಠ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಛೇದದಲ್ಲಿ 0 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ

.

ನಂತರ x=a ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
;

4.
, x=0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.

5. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ

, ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ಪದವಿಯೊಂದಿಗೆ ಪದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

; ಮತ್ತು, x ಅನ್ನು 0 ಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮಿತಿಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹೊಸ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

6.
; ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ
, ನಲ್ಲಿ
, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.

7.
. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಮಿತಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ
ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಮಿತಿಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ
ಮತ್ತು ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

; (1)

. (2)

8.
.

ಅಂತಹ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು 1 ನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ (1) ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಂಶವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ
, ಮತ್ತು ಛೇದವು
, ನಂತರ.

9.
ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಎಲ್ಲಿ
, ಎ
, ಎಲ್ಲಿ
;

, ಎ
, ನಂತರ ಅಂತಿಮವಾಗಿ
. ಇಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

2. ಉತ್ಪನ್ನ

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
ಎರಡನೆಯದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಅಂತಿಮ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

, ಅಥವಾ
.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಇಳಿಜಾರು
ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ
.

ಉತ್ಪನ್ನವು ಪಾಯಿಂಟ್ x ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಭೂತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸೂತ್ರಗಳು:

3. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು

ನಂತರ ಅವಕಾಶ:

7) ವೇಳೆ, ಅಂದರೆ
, ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ನಂತರ
(ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮ).

4. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ Eq ನಿಂದ.
, ನಂತರ ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು:

a) ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್

ಬಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ
x ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಿದೆ,

.

ಸಿ) ಬದಲಿ x ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ

.

ಉದಾಹರಣೆ:

5. ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ x ನ ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಂತೆ.

a) x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ
, ನಾವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ;

ಬಿ) ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ .

ಉದಾಹರಣೆ:
.

6. ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡೋಣ
,

ನಂತರ
, ಅಥವಾ

ಉದಾಹರಣೆ:

7. ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ

ಅವಕಾಶ
ಮತ್ತು
, ಎಲ್ಲಿ - ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದಿಂದ OX ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ .

ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣ
ಹಂತದಲ್ಲಿ
ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

, ಎಲ್ಲಿ - ಉತ್ಪನ್ನ ನಲ್ಲಿ
.

ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

.

ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ
ಮತ್ತು
ಅವರ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ
. ಈ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ

.

8. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಒಂದು ವೇಳೆ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ
, ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನ ಇದನ್ನು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಅಥವಾ
, ಅಥವಾ .

ಯಾವುದೇ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನ
; n ನೇ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನ:

.

ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ, ನೀವು ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ n ನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

9. ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

- ಸಮೀಕರಣವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ , x ನ ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯಂತೆ.

ಎ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ
;

b) ಸಮಾನತೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ
,

ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು
ವೇರಿಯಬಲ್ x ಮೂಲಕ, ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ x ನ ಕಾರ್ಯವಿದೆ:

;

ಸಿ) ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಮೂಲಕ
, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಇತ್ಯಾದಿ

10. ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಹುಡುಕಿ
ಒಂದು ವೇಳೆ
.

11. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್
ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ. ವಾದದ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ:
.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವಾದದ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಎಲ್ಲಿ
.

ಇಂಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ವೇಳೆ
ವಾದವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ
ಮತ್ತು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
.

ಅಂತೆಯೇ:
.

.

ಒಂದು ವೇಳೆ
ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, ನಂತರ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

12. L'Hopital ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಿತಿಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿಗಳು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ

ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ
ಈ ಎರಡೂ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ
ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಇದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರುವುದರಿಂದ
ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ, ನಂತರ ಈ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎಲ್'ಹಾಪಿಟಲ್ ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ನಿಯಮ),

ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:

, ವೇಳೆ
ಮತ್ತು
.

=
.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಇದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
ಮತ್ತು
, ಅಂದರೆ
.

=

=
.

L'Hopital ನ ನಿಯಮವು ಪ್ರಕಾರದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು
. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು
, ಎಲ್ಲಿ
- ಅನಂತ, ಮತ್ತು
- ನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು
(ಪ್ರಕಾರ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ
) ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು

(ಪ್ರಕಾರದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ) ಅಥವಾ ಜಾತಿಗಳಿಗೆ (ಪ್ರಕಾರ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ) ತದನಂತರ ಲ್ಯಾಪಿಟಲ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು
, ಎಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
- ನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು
(ಪ್ರಕಾರ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ
) ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು
, ನಂತರ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿ ಮಾದರಿ . ಒಂದು ವೇಳೆ
, ಅದು
.

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರಕಾರದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (
), ಇದು ಉದಾಹರಣೆ 12 ರಂತೆಯೇ ಬಹಿರಂಗವಾಗಿದೆ).

ಏಕೆಂದರೆ
, ನಂತರ ನಾವು ವಿಧದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

.

L'Hopital ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರಕಾರದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು
. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ
, ಎಲ್ಲಿ
ಯಾವಾಗ
ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನಂತವಾಗಿದೆ
- ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು, ಮತ್ತು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ
- ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಮಿತಿ ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ
ಮೊದಲ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಅಪರಿಮಿತ ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮೊದಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ಅದು
, ನಂತರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
, ತದನಂತರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ . ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ
ಒಂದು ರೀತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯಾಗಿದೆ
, ಇದು ಉದಾಹರಣೆ 12 ರಂತೆಯೇ ತೆರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ).

5.

(L'Hopital ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ)=

=
.

ಈ ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಅಂಶವು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಂಶವು 0 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ:

ತದನಂತರ
.

=
;

.

7.
;

=
;

.

8.
;

=
;

.

ಕೋರ್ಸ್ ಕೆಲಸವು 21 ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ 1-4 - ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ;

ಸಂಖ್ಯೆ 5-10 - ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

ಸಂಖ್ಯೆ 11 - ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ;

#12 - ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯ;

#13 - ಹುಡುಕಿ ಡಿ 2 ವೈ;

#14 - ಹುಡುಕಿ ವೈ ( ಎನ್ ) ;

ಸಂಖ್ಯೆ 15 - ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ X 0 ;

ಸಂಖ್ಯೆ 16 - ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ;

#17 - ಹುಡುಕಿ
;

#18 - ಹುಡುಕಿ ;

#19 - ಹುಡುಕಿ ;

ಸಂಖ್ಯೆ 20-21 – L'Hopital ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಆಯ್ಕೆ 1

№1.
.

№2.
.

№3.
.

№4.
.

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

№5.
.

ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು?
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅರ್ಥ

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಕುರಿತು ನನ್ನ ಲೇಖಕರ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ಲೇಖನದ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ನಿಯೋಜನೆಯಿಂದ ಅನೇಕರು ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತರಾಗುತ್ತಾರೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದು ಶಾಲೆಯಿಂದಲೂ: ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥ. ಮುಂದೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಅವರು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು.

ಆದರೆ ನನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿದೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ, ಮತ್ತು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಪರಿಮಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳು. ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಅದು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಜ್ಞಾನದ ಗ್ರಾನೈಟ್ನ ಯುವ ಗ್ರಾಹಕರ ಗಮನಾರ್ಹ ಭಾಗವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿಮಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಇದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಬುದ್ಧಿವಂತ ಮೆದುಳು ಹಲವಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಈ ಸಾಮಾನುಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ತೊಡೆದುಹಾಕಿದ್ದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮಾಸ್ಟರ್ / ಅವರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಅದೇ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅರ್ಥವು ಮೊದಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಕಲಿಯಿರಿ, ಸೇರಿದಂತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ, ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಮೂಲಭೂತ ಪಾಠಗಳ ಮೂಲಕ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ, ಮತ್ತು ಬಹುಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾಸ್ಟರ್ಅವರ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಾರವನ್ನು ಸಹ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳದೆ.

ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ ಈ ಪುಟದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಕಾಯಬಹುದು. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನೇಕ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪಾಠವು ಸಾಕಷ್ಟು ತಡವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿರುವುದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ - ನಾನು ವಿವರಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ/ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದುಕಾರ್ಯಗಳು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವರು ಬಹಳ ಸಮಯದವರೆಗೆ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ಗಳು”, ನಾನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಮೊದಲೇ ಹಾಕಲು ನಿರ್ಧರಿಸುವವರೆಗೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಿಯ ಟೀಪಾಟ್‌ಗಳು, ಹಸಿದ ಪ್ರಾಣಿಗಳಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾರವನ್ನು ಹೀರಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಶುದ್ಧತ್ವವು ರುಚಿಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ, ಗರಿಷ್ಠ, ಕನಿಷ್ಠ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಅನೇಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಕೆಲವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಾನು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇನೆ. ನಾವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಲುಪಬಹುದಾದ ನಗರಕ್ಕೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಬಾಗಿದ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತಿರಸ್ಕರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನೇರ ಹೆದ್ದಾರಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೇರ-ಸಾಲಿನ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಸಹ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ: ನೀವು ಸುಗಮ ಹೆದ್ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ನಗರಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಅಥವಾ ಗುಡ್ಡಗಾಡು ಹೆದ್ದಾರಿಯಲ್ಲಿ - ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಕ್ಕೆ, ಮೇಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ. ಮತ್ತೊಂದು ರಸ್ತೆಯು ಹತ್ತುವಿಕೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ರಸ್ತೆಯು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ವಿಪರೀತ ಉತ್ಸಾಹಿಗಳು ಕಡಿದಾದ ಬಂಡೆ ಮತ್ತು ಕಡಿದಾದ ಆರೋಹಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಮರಿಯ ಮೂಲಕ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಆದರೆ ನಿಮ್ಮ ಆದ್ಯತೆಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ, ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅದರ ಸ್ಥಳಾಕೃತಿಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯು ಕಾಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನೀವು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೃದುವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹರ್ಷಚಿತ್ತದಿಂದ ಫಿನ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಕೀ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೇಲೆ ಮುಗ್ಗರಿಸು. ನ್ಯಾವಿಗೇಟರ್ ಅಥವಾ ಉಪಗ್ರಹ ಚಿತ್ರವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಡೇಟಾವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾರ್ಗದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು.

ಕೆಲವು ರಸ್ತೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ (ಬದಿಯ ನೋಟ):

ಒಂದು ವೇಳೆ, ನಾನು ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಪ್ರಯಾಣ ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ ನಿರಂತರಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ.

ಈ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳೇನು?

ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯ ಹೆಚ್ಚುಹಿಂದಿನದು. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಕೆಳಗೆ ಮೇಲಕ್ಕೆ(ನಾವು ಬೆಟ್ಟವನ್ನು ಏರುತ್ತೇವೆ). ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ- ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯ ಕಡಿಮೆಹಿಂದಿನ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಗೆ(ನಾವು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೆಳಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ).

ವಿಶೇಷ ಅಂಶಗಳತ್ತ ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ. ನಾವು ತಲುಪುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಮೌಲ್ಯವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವ (ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು) ಮಾರ್ಗದ ಅಂತಹ ವಿಭಾಗ. ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ, ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (ಕಡಿಮೆ).

ನಾವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಪರಿಭಾಷೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ, ಆದರೆ ಇದೀಗ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡೋಣ: ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ವಿಭಿನ್ನ ವೇಗದಲ್ಲಿ. ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣನ್ನು ಸೆಳೆಯುವ ಮೊದಲ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚು ತಂಪಾಗಿದೆ, ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕಿಂತ . ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಸ್ತೆಯ ಕಡಿದಾದ ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಕಾರ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ

ಕಲ್ಪನೆ ಹೀಗಿದೆ: ಸ್ವಲ್ಪ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ("ಡೆಲ್ಟಾ x" ಓದಿ), ಅದನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ, ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ "ಅದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು" ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

1) ಎಡಭಾಗದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೋಡೋಣ: ದೂರವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಏರುತ್ತೇವೆ (ಹಸಿರು ರೇಖೆ). ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ, ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಹೆಚ್ಚಳವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ). ನಮ್ಮ ರಸ್ತೆಯ ಕಡಿದಾದ ಅಳತೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಏರಿಕೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ .

ಗಮನ! ಹುದ್ದೆಗಳೆಂದರೆ ಒಂದುಚಿಹ್ನೆ, ಅಂದರೆ, ನೀವು "ಎಕ್ಸ್" ನಿಂದ "ಡೆಲ್ಟಾ" ಅನ್ನು "ಹರಿದು ಹಾಕಲು" ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಕಾಮೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸೋಣ. ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ 20 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿರೋಣ (ಎಡ ಕಪ್ಪು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ). ಮೀಟರ್‌ಗಳ ಅಂತರವನ್ನು (ಎಡ ಕೆಂಪು ರೇಖೆ) ಕ್ರಮಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು 60 ಮೀಟರ್ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಇರುತ್ತದೆ ಮೀಟರ್ (ಹಸಿರು ರೇಖೆ) ಮತ್ತು: . ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್‌ನಲ್ಲಿರಸ್ತೆಯ ಈ ವಿಭಾಗ ಎತ್ತರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಸರಾಸರಿ 4 ಮೀಟರ್ ಮೂಲಕ... ನಿಮ್ಮ ಕ್ಲೈಂಬಿಂಗ್ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಮರೆತಿರುವಿರಾ? =) ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ಮಿತ ಸಂಬಂಧವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಸರಾಸರಿ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೆಳವಣಿಗೆ) ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ : ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

2) ಈಗ ಬಲಬದಿಯ ಕಪ್ಪು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದೇ ದೂರಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಏರಿಕೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಕ್ರಮೇಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಳ (ಕ್ರಿಮ್ಸನ್ ಲೈನ್) ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅನುಪಾತವು ತುಂಬಾ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ ದರಇದೆ . ಅಂದರೆ, ಇಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಗದ ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್‌ಗೆ ಇವೆ ಸರಾಸರಿಅರ್ಧ ಮೀಟರ್ ಏರಿಕೆ.

3) ಪರ್ವತದ ಮೇಲೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಾಹಸ. ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿರುವ ಮೇಲಿನ ಕಪ್ಪು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದು 50 ಮೀಟರ್ ಮಾರ್ಕ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ದೂರವನ್ನು ಜಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ - 30 ಮೀಟರ್ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ. ಚಳುವಳಿ ನಡೆಸುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಗೆ(ಅಕ್ಷದ "ಕೌಂಟರ್" ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ), ನಂತರ ಅಂತಿಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ (ಎತ್ತರ) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಮೀಟರ್ (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂದು ವಿಭಾಗ). ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಇಳಿಕೆಯ ದರವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು: , ಅಂದರೆ, ಈ ವಿಭಾಗದ ಪಥದ ಪ್ರತಿ ಮೀಟರ್ಗೆ, ಎತ್ತರವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಸರಾಸರಿ 2 ಮೀಟರ್ ಮೂಲಕ. ಐದನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಬಟ್ಟೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಈಗ ನಾವು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳೋಣ: "ಅಳತೆ ಮಾನದಂಡ" ದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ? ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ, 10 ಮೀಟರ್ ತುಂಬಾ ಒರಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮ ಡಜನ್ ಹಮ್ಮೋಕ್‌ಗಳು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉಬ್ಬುಗಳು ಏನೇ ಇರಲಿ, ಕೆಳಗೆ ಆಳವಾದ ಕಮರಿ ಇರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮೀಟರ್‌ಗಳ ನಂತರ ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿದಾದ ಏರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹತ್ತು ಮೀಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅನುಪಾತದ ಮೂಲಕ ಮಾರ್ಗದ ಅಂತಹ ವಿಭಾಗಗಳ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ .

ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಲಾಗಿದೆ: ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯ, ನಾವು ರಸ್ತೆಯ ಸ್ಥಳಾಕೃತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗಳು ನಿಜ:

– ಯಾರಿಗಾದರೂಎತ್ತುವ ಅಂಕಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏರಿಕೆಯ ಗಡಿಯೊಳಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ) ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಅನುಗುಣವಾದ ಎತ್ತರದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

- ಹಾಗೆಯೇ, ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂಇಳಿಜಾರಿನ ಬಿಂದುವು ಈ ಇಳಿಜಾರಿನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

- ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ: . ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ ಎತ್ತರ ಹೆಚ್ಚಳ () ಸುಗಮ ಮಾರ್ಗದ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಇತರ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ, ಅದರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನೀವು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೀರಿ. ವಿಧಿಯು ನಮ್ಮನ್ನು ಎತ್ತರದ ಹದ್ದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೆಟ್ಟದ ತುದಿಗೆ ಅಥವಾ ಕ್ರೋಕಿಂಗ್ ಕಪ್ಪೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಂದರದ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ತಂದಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನೀವು ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಹೆಜ್ಜೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಎತ್ತರದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ನಾವು ಅದ್ಭುತ ಅವಕಾಶಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ: , ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಮಾಡಲು ಅಪರಿಮಿತ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮತ್ತೊಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ರಸ್ತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವೇಳಾಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವೇ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯ, ಇದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತಿದ್ದರುಎಲ್ಲಾ ಸಮತಟ್ಟಾದ ವಿಭಾಗಗಳು, ಆರೋಹಣಗಳು, ಅವರೋಹಣಗಳು, ಶಿಖರಗಳು, ಕಣಿವೆಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬೆಳವಣಿಗೆ/ಕಡಿತದ ದರದ ಬಗ್ಗೆ?

ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು? ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ದಯವಿಟ್ಟು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ ಮತ್ತು ಬೇಗನೆ ಅಲ್ಲ - ವಸ್ತುವು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ! ಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಏನಾದರೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಿಸದಿದ್ದರೆ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಲೇಖನಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಬಹುದು. ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ (ಸಲಹೆಯು "ತಾಂತ್ರಿಕ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ, ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತವು ಮಹತ್ವದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ).

ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಏನು ಬಂದಿದ್ದೇವೆ? ಮತ್ತು ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಇತರ ಕಾರ್ಯ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯ(ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನ).

ಉತ್ಪನ್ನವು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರಕಾರ್ಯಗಳು ಹೇಗೆ? ಲೇಖನದ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕೆಂಪು ದಾರದಂತೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ:

1) ವೇಳೆ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ . ಮತ್ತು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಇದೆ ಮಧ್ಯಂತರ(ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದರೂ), ಕಾರ್ಯವು ಬೆಳೆಯುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ "ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ" ಹೋಗುತ್ತದೆ.

2) ವೇಳೆ , ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ . ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಹಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರವಿದೆ (ಗ್ರಾಫ್ "ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ" ಹೋಗುತ್ತದೆ).

3) ವೇಳೆ , ನಂತರ ಅನಂತ ಹತ್ತಿರಒಂದು ಹಂತದ ಬಳಿ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ವೇಗವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ.

ಸ್ವಲ್ಪ ಶಬ್ದಾರ್ಥ. "ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸು" ಎಂಬ ಕ್ರಿಯಾಪದವು ವಿಶಾಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಏನು? ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುವುದು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅದರ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ "ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ". ಮೂಲಕ, "ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ" ಪದದ ಅರ್ಥವೇನು? ಕಾರ್ಯ ಸಂಭವಿಸಿದಕಾರ್ಯದಿಂದ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥದಿಂದ ಪದಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ :
ಸಮಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ವೇಗದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕಾರ್ಯವು ದೇಹದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ: . "ದೇಹ ಚಲನೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಇಲ್ಲ ಉತ್ಪನ್ನ"ದೇಹದ ವೇಗ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ದೇಹದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ: . "ದೇಹದ ಚಲನೆ" ಮತ್ತು "ದೇಹದ ವೇಗ" ಎಂಬ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಉತ್ಪನ್ನ"ದೇಹದ ವೇಗವರ್ಧನೆ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ xOyಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ y=f(x). ಬಿಂದುವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸೋಣ M(x 0 ; f (x 0)). ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ x 0ಹೆಚ್ಚಳ Δх. ನಾವು ಹೊಸ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x 0 +Δx. ಇದು ಬಿಂದುವಿನ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಎನ್, ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ f (x 0 +Δx) ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿತು. ಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಎಂಮತ್ತು ಎನ್ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಎಂ.ಎನ್, ಇದು ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ φ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಓಹ್. ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ φ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಎಂಪಿಎನ್.

ಅವಕಾಶ Δхಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸೆಕೆಂಟ್ ಎಂ.ಎನ್ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಎಂಟಿ, ಮತ್ತು ಕೋನ φ ಕೋಣವಾಗುತ್ತದೆ α . ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ α ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ φ :

ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ, ಎರಡನೆಯದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಓಹ್:

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಮತ್ತು y= ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ x 2, ವಾದದ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ 4 , ಮತ್ತು ಹೊಸ - 4,01 .

ಪರಿಹಾರ.

ಹೊಸ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯ x=x 0 +Δx. ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ: 4.01=4+Δх, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳ Δх=4.01-4=0.01. ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ y=x2, ಅದು Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

ಉತ್ತರ: ವಾದ ಹೆಚ್ಚಳ Δх=0.01; ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ Δу=0,0801.

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ y=f(x)ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0, ವೇಳೆ f "(x 0) = 1.

ಪರಿಹಾರ.

ಸ್ಪರ್ಶದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯ x 0ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ). ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,ಏಕೆಂದರೆ tg45°=1.

ಉತ್ತರ: ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ 45°.

3. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ y=xn.

ವ್ಯತ್ಯಾಸಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪದವಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದಂತೆಯೇ: (x n)" = nx n-1.

ಇವು ಸೂತ್ರಗಳು.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಮೌಖಿಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉಚ್ಚರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ:

1. ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. X ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

4. ಪದವಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತಾಂಕದ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಘಾತವು ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ.

5. ಒಂದು ಮೂಲದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ಸಮಾನ ಬೇರುಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

6. x ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು x ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

7. ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

8. ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

9. ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಚೌಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

10. ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಸೈನ್‌ನ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಕಲಿಸುತ್ತೇವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು.

1. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಜೊತೆಗೆ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.

3. "ve" ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾದ "y" ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂಶವು "y ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು "ve" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ "y ಅನ್ನು ve ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ" ಮತ್ತು ಛೇದವು "ve ವರ್ಗವಾಗಿದೆ".

4. ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ 3.

ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕಲಿಯೋಣ!

ಪುಟ 1 ರಲ್ಲಿ 1 1