ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯಿದೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯಕಾರ್ಯಗಳು. ಇದು ಯಾವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ? ಲಾಭವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು, ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು, ಸಲಕರಣೆಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಹೊರೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ... ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜೀವನದ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಇವುಗಳು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.
ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರ X ನಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಇದು ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್ ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರ X ಸ್ವತಃ ಒಂದು ವಿಭಾಗ, ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರಬಹುದು 
, ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರ.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ y=f(x) .
ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.
ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ - ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ವಿವರಣೆಗಳು.
ಮುಖ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.
ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯ 
ಅದು ಯಾರಿಗಾದರೂ 
ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ.
ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ y=f(x) ಮಧ್ಯಂತರ X ಅನ್ನು ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 
ಅದು ಯಾರಿಗಾದರೂ ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ.
ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತವಾಗಿವೆ: ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು- ಇವುಗಳು ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.
ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ನಮಗೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಫರ್ಮಟ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು (ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಮಧ್ಯಂತರ X ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಅಲ್ಲದೆ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಈ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಉತ್ತರಿಸೋಣ: "ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವೇ"? ಇಲ್ಲ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಧ್ಯಂತರ X ನ ಗಡಿಗಳು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಗಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ X ಮಧ್ಯಂತರವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಅನಂತ ಮತ್ತು ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಹೇಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಬಹಳಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ
ಮೊದಲ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ದೊಡ್ಡ (ಗರಿಷ್ಠ y) ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ (ನಿಮಿಷ y) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು, ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ ಇದೆ [-6;6] .
ಎರಡನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಗೆ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಬಲ ಗಡಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ.
ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗದ [-3;2] ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ಗಳಾಗಿವೆ.
ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ನಾಲ್ಕನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಒಳಗೆ ಇರುವ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ (ಗರಿಷ್ಠ y) ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ (ನಿಮಿಷ y) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ (-6;6) .
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ
ಏಳನೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯ(ಗರಿಷ್ಠ y) abscissa x=1 ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಬಲ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ನಿಮಿಷ y) ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ y=3 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ.
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಚಿಕ್ಕ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ. ಬಲದಿಂದ x=2 ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ (ನೇರ ರೇಖೆ x=2 ಆಗಿದೆ ಲಂಬವಾದ ಲಕ್ಷಣ), ಮತ್ತು abscissa ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ y=3 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 8 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.
ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.
- ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ.
- ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಅಂಕಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಇನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಾದದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳುಭಾಗಶಃ-ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ). ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ.
- ವಿಭಾಗದೊಳಗೆ ಬೀಳುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಬರದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ತೆರಳಿ.
- ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ), ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ), ಹಾಗೆಯೇ x=a ಮತ್ತು x=b ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
- ಕಾರ್ಯದ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ, ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ಅವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.
ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
- ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ;
- ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-4;-1] .
ಪರಿಹಾರ.
ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಂದರೆ . ಎರಡೂ ವಿಭಾಗಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಡೊಮೇನ್‌ನೊಳಗೆ ಬರುತ್ತವೆ.
ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: 
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಿಭಾಗಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು [-4;-1].
ನಾವು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ಒಂದು ನಿಜವಾದ ಮೂಲ x=2 ಆಗಿದೆ. ಈ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವು ಮೊದಲ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ x=1, x=2 ಮತ್ತು x=4: 
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯ 
x=1, ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ 
- x=2 ನಲ್ಲಿ.
ಎರಡನೆಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ [-4;-1] (ಇದು ಒಂದೇ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ): 
ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹೆಲಿಕಾಪ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಸುತ್ತ ಆಕರ್ಷಕ ಹಾರಾಟವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ (ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್), ದೀರ್ಘ-ಶ್ರೇಣಿಯ ಫಿರಂಗಿಯಿಂದ ಕೆಲವು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಗುಂಡು ಹಾರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ನಿಯಂತ್ರಣ ಹೊಡೆತಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವಿಶೇಷ ಅಂಕಗಳು. ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳು. ಯಾವ ನಿಯಮಗಳಿಂದ? ನಾವು ಈ ಬಗ್ಗೆ ಮುಂದೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ ವೈ = f(X) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ [ ಎ, ಬಿ] , ನಂತರ ಅದು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತಲುಪುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಮೌಲ್ಯಗಳು . ಇದು ಎರಡೂ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳು, ಅಥವಾ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳು , ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ [ ಎ, ಬಿ], ನೀವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲದರಲ್ಲೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳುಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ, ತದನಂತರ ಅವುಗಳಿಂದ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಆರಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ f(X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ ಎ, ಬಿ] . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು [ ಎ, ಬಿ] .
ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವಳ ಉತ್ಪನ್ನಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ನಂತರ ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಬೇಕು ( f(ಎ) ಮತ್ತು f(ಬಿ)) ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯ [ಎ, ಬಿ] .
ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು ಚಿಕ್ಕ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು .
ನಾವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-1, 2]
.
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ () ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ: ಮತ್ತು . ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿಲ್ಲ [-1, 2]. ಈ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು: , , . ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಚಿಕ್ಕ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯ(ಕೆಳಗಿನ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ), -7 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಿಭಾಗದ ಬಲ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಹಂತದಲ್ಲಿ , ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠ(ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಸಹ ಕೆಂಪು), 9 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ.
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಧ್ಯಂತರವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಲ್ಲ (ಆದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಧ್ಯಂತರ; ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ: ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಭಾಗದ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ), ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠವಾಗಿರಬಾರದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ]-∞, +∞[ ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (ಮುಚ್ಚಿದ, ತೆರೆದ ಅಥವಾ ಅನಂತ), ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-1, 3] .
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ:
.
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು ನಮಗೆ ಒಂದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು: . ಇದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ [-1, 3] . ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ. ತೀರ್ಮಾನ: -5/13 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ
ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡದ ಶಿಕ್ಷಕರಿದ್ದಾರೆ, ಅದು ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಅಥವಾ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ, ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಶಿಕ್ಷಕರಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯೋಚಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲು ಇಷ್ಟಪಡುವವರು ಇದ್ದಾರೆ (ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 6. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ .
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ :
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: . ಇದು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ: ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯ, ಸಮಾನ ಇ², ಹಂತದಲ್ಲಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ .
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಏಕೈಕ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ತೀರ್ಮಾನ: ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯ, ಸಮಾನ , ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ .
ಅನ್ವಯಿಕ ವಿಪರೀತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ (ಗರಿಷ್ಠ) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ನಿಯಮದಂತೆ, ಕನಿಷ್ಠ (ಗರಿಷ್ಠ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಆಸಕ್ತಿಯು ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ತೊಂದರೆ- ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಿದ್ಯಮಾನ ಅಥವಾ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಕಲನ.
ಉದಾಹರಣೆ 8. 4 ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಜಲಾಶಯ, ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಚದರ ಬೇಸ್ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೆರೆಯಿರಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಟಿನ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ತೊಟ್ಟಿಯ ಆಯಾಮಗಳು ಏನಾಗಿರಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊತ್ತವಸ್ತು?
ಪರಿಹಾರ. ಅವಕಾಶ X- ಬೇಸ್ ಸೈಡ್, ಗಂ- ಟ್ಯಾಂಕ್ ಎತ್ತರ, ಎಸ್- ಕವರ್ ಇಲ್ಲದೆ ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ, ವಿ- ಅದರ ಪರಿಮಾಣ. ತೊಟ್ಟಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಎಸ್ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ನಾವು , ಎಲ್ಲಿಂದ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಕಂಡುಬಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಗಂಫಾರ್ಮುಲಾದಲ್ಲಿ ಎಸ್:
ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಪರೀಕ್ಷಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ]0, +∞[ , ಮತ್ತು ಎಲ್ಲೆಡೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸಬಹುದು
.
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೊನ್ನೆ () ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಆದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಾರದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಏಕೈಕ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ (). ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ 
. ಇದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಏಕೈಕ ವಿಪರೀತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತೊಟ್ಟಿಯ ತಳಭಾಗವು 2 ಮೀ ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಎತ್ತರವು ಇರಬೇಕು.
ಉದಾಹರಣೆ 9.ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎರೈಲ್ವೇ ಲೈನ್ ಮೇಲೆ ಇದೆ, ಬಿಂದುವಿಗೆ ಜೊತೆಗೆ, ಅದರಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಲ್, ಸರಕು ಸಾಗಣೆ ಮಾಡಬೇಕು. ರೈಲು ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ ದೂರಕ್ಕೆ ತೂಕದ ಘಟಕವನ್ನು ಸಾಗಿಸುವ ವೆಚ್ಚವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆದ್ದಾರಿಯ ಮೂಲಕ ಅದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಹಂತಕ್ಕೆ ಎಂಸಾಲುಗಳು ರೈಲ್ವೆನಿಂದ ಸರಕು ಸಾಗಿಸಲು ಹೆದ್ದಾರಿ ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು ಎವಿ ಜೊತೆಗೆಅತ್ಯಂತ ಆರ್ಥಿಕವಾಗಿತ್ತು (ವಿಭಾಗ ಎಬಿರೈಲ್ವೇ ನೇರ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ)?
ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
- ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
- ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಂತ 3 ರಿಂದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ
- ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.
ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
- $f"(x)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
- $f"(x)=0$ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
- ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.
- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಹಂತ 3 ರಲ್ಲಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
- ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಣಗಳ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ: ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಬಾಣವನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.
ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ:
| ಕಾರ್ಯ | ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ |
| $ಸಿ $ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-ಸಿಂಕ್ಸ್ $ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(ಸಿನ್^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $ಸಿನ್^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು
1. ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ರತಿ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
$f(x)=4x∙cosx$ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5 ∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. ಉತ್ಪನ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯಆಂತರಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ $y=2x-ln(x+11)+4$
1. ಕಾರ್ಯದ ODZ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: $x+11>0; x>-11$
2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
3. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
$(2x+21)/(x+11)=0$
ಅಂಶವಾದರೆ ಒಂದು ಭಾಗವು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ
$2x+21=0; x≠-11$
4. ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಬಲಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶೂನ್ಯ.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಚಿಹ್ನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ $-10.5$ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: $-10.5$
$[-5;1]$ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ $y=6x^5-90x^3-5$ ಕಾರ್ಯದ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
1. $y′=30x^4-270x^2$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
2. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
$30x^4-270x^2=0$
ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ $30x^2$
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. ಸೇರಿರುವ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ನೀಡಿದ ವಿಭಾಗ $[-5;1]$
ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು $x=0$ ಮತ್ತು $x=-3$ ನಮಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತವೆ
4. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹಂತ 3 ರಿಂದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ