ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್

ಉದಾಹರಣೆ 13.13

n ನ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಗುಂಪು ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: 17, 20, 38 ಮತ್ತು 50?

ಪರಿಹಾರ

ಎ. ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ 17 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ (p t, ಇಲ್ಲಿ t 1).

ಬಿ. ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಸಿ. ಮತ್ತು 19 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಡಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ , ಮತ್ತು 5 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಒಂದು ಗುಂಪು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಹಲವಾರು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು - . ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - ಈ - . ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು ಗುಂಪು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಮೊದಲು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.

ಗುಂಪು G ವೇಳೆ =< Z n* , x > ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ನಂತರ ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ((n))

ಮೂರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

1. ಅಂಶ a ಮತ್ತು ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, a ಎಂಬುದು G ಯ ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು? ಇದು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭದ ಕೆಲಸವಲ್ಲ.

ಎ. ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು - ಈ ಕಾರ್ಯವು n ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಬಿ. ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು .

2. ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು? ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪಿಗೆ ಹಂತ 1.b ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು.

3. ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ G ಯನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವನ್ನು ಹೇಗೆ ಆರಿಸುವುದು? ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, n ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಕೆದಾರರಿಂದ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ . ಬಳಕೆದಾರರು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪು. ಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು 5-6 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪು ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವು ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ g ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸೆಟ್ Zn* ಅನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 13.14

ಗುಂಪು ಎರಡು ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು . ನೀವು ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು - ಇವು 3 ಮತ್ತು 7. ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು Z 10* ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ರಚಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

g = 3 -> g 1 mod 10 = 3 g 2 mod 10 = 9 g 3 mod 10 = 7 g 4 mod 10 = 1 g = 7 -> g 1 mod 10 = 7 g 2 mod 10 = 9 g 3 mod 10 = 3 ಗ್ರಾಂ 4 ಮೋಡ್ 10 = 1

ಗುಂಪು ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಆವರ್ತಕ ಏಕೆಂದರೆ p ಅವಿಭಾಜ್ಯ.

ಗುಂಪು ಜಿ =< Z n * , x >ಇದು ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಜಿ =< Z p * , x >ಯಾವಾಗಲೂ ಆವರ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಕಲ್ಪನೆ. ಗುಂಪು ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಈಗ y = a x (mod n) ನಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಅಂದರೆ y ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುವುದು. ಮೇಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ Z p* ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಬೇಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಈ ರೀತಿಯ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲೇ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಉಳಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೋಷ್ಟಕ 13.4 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ Z 7* ಗಾಗಿ. ಈ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳು ಅಥವಾ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 13.4. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ G = ಗಾಗಿ

ವೈ	1	2	3	4	5	6
x = L 3 y	6	2	1	4	5	3
x = L 5 y	6	4	5	2	1	3

ಇತರರಿಗೆ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುವುದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳುಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ನೆಲೆಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಆಗಮನದ ಮೊದಲು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬೇಸ್ 10 ಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆ 13.15

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಎ.

ಬಿ.

ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಟೇಬಲ್ 13.4 ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್.

EPFL ಮತ್ತು ಲೀಪ್‌ಜಿಗ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಸಂಶೋಧಕರ ತಂಡವು ಗಾತ್ರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. 768 ಬಿಟ್. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅವರಿಗೆ 200 ಕೋರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಫೆಬ್ರವರಿ 2015 ರಿಂದ ಸಮಯ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಡಿಜಿಟಲ್ ಜರಡಿ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಹೀಗಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮೈಸೇಶನ್ ಅಪವರ್ತನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಾಖಲೆಯು 768 ಬಿಟ್‌ಗಳು

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾಳಿನ ನವೀಕರಣದ ನಂತರ dyndns ಹೋಸ್ಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಉಚಿತ TLS ಅನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ! ಇದು ತುಂಬಾ ತಂಪಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಹ್ಯಾಮ್ಸ್ಟರ್‌ಗಳು ಈಗ ಪ್ರಮಾಣಪತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಸೈಡ್ ಚಾನೆಲ್ ದಾಳಿಗಳ ವಿರುದ್ಧ ರಕ್ಷಣೆ

ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಕೀಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಫ್ಯಾನ್ ಮೂಲಕ ರಿಮೋಟ್ ಆಗಿ ಹಿಂಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ರಹಸ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇನ್‌ಪುಟ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರದ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗುತ್ತಿವೆ. ಡೇಟಾ ಸೈಡ್ ಚಾನೆಲ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಡೇಟಾವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿಸುವ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳಿಗೆ ಜರ್ಮನ್ನರು ಕನಿಷ್ಟ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. , ಅದನ್ನು ಓದಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ನನಗೂ ಅಷ್ಟೆ, ಮುಂದಿನ ಬಾರಿ ಭೇಟಿಯಾಗೋಣ!

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳಿವೆ. ನೀವು ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನೀವು ಎರಡನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 16 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಎರಡನ್ನು ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು 64 ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಎರಡನ್ನು ಆರನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮೇಜಿನಿಂದ ನೋಡಬಹುದು.

ಮತ್ತು ಈಗ - ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

x ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಧಾರವು x ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು a ಏರಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ.

ಪದನಾಮ: ಲಾಗ್ a x = b, ಅಲ್ಲಿ a ಬೇಸ್, x ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್, b ಎಂಬುದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ನಿಜವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 3 = 8 ⇒ ಲಾಗ್ 2 8 = 3 (8 ರ ಮೂಲ 2 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೂರು ಏಕೆಂದರೆ 2 3 = 8). ಅದೇ ಯಶಸ್ಸಿನ ದಾಖಲೆಯೊಂದಿಗೆ 2 64 = 6, ರಿಂದ 2 6 = 64.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆಲೆಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮ್ಮ ಕೋಷ್ಟಕಕ್ಕೆ ಹೊಸ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸೋಣ:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ಲಾಗ್ 2 2 = 1	ಲಾಗ್ 2 4 = 2	ಲಾಗ್ 2 8 = 3	ಲಾಗ್ 2 16 = 4	ಲಾಗ್ 2 32 = 5	ಲಾಗ್ 2 64 = 6

ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 5 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೋ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತರ್ಕವು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೆಂದು ತೋರಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಹಾಗೆ ಬಿಡುವುದು ಉತ್ತಮ: ಲಾಗ್ 2 5, ಲಾಗ್ 3 8, ಲಾಗ್ 5 100.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎನ್ನುವುದು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರ (ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್) ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅನೇಕ ಜನರು ಆಧಾರ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ವಾದ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕಿರಿಕಿರಿ ತಪ್ಪುಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ:

ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಇಲ್ಲ. ನೆನಪಿಡಿ: ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದು ಶಕ್ತಿ, ವಾದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು. ಇದು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿದ ಬೇಸ್ ಆಗಿದೆ - ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ! ನಾನು ನನ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಈ ಅದ್ಭುತ ನಿಯಮವನ್ನು ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ - ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಗೊಂದಲ ಉಂಟಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ - ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಎಣಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ. "ಲಾಗ್" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು. ಮೊದಲಿಗೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಗತಿಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ:

1. ವಾದ ಮತ್ತು ಆಧಾರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದಿಂದ ಪದವಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
2. ಬೇಸ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, "ಎರಡನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಬ್ಬನನ್ನು ಯಾವ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಬೇಕು" ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಅರ್ಥಹೀನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಪದವಿ ಇಲ್ಲ!

ಅಂತಹ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ(ODZ). ಲಾಗರಿದಮ್ನ ODZ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ (ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯ) ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು: ಲಾಗ್ 2 0.5 = -1, ಏಕೆಂದರೆ 0.5 = 2 -1.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈಗ ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ VA ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಲೇಖಕರು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ಬಂದಾಗ, DL ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದ ಬಲವಾದ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು.

ಈಗ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಇದು ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1. ಬೇಸ್ a ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಅನ್ನು ಒಂದು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ ಬೇಸ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ, ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ;
2. ವೇರಿಯೇಬಲ್ b ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: x = a b ;
3. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ b ಉತ್ತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಷ್ಟೇ! ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ತಿರುಗಿದರೆ, ಇದು ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇಸ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ: ಇದು ದೋಷದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: ನೀವು ತಕ್ಷಣ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಕಡಿಮೆ ದೋಷಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಯೋಜನೆಯು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: ಲಾಗ್ 5 25

1. ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಐದು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
ಲಾಗ್ 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ: 2.

ಕಾರ್ಯ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

ಕಾರ್ಯ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: ಲಾಗ್ 4 64

1. ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಎರಡರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
   ಲಾಗ್ 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ: 3.

ಕಾರ್ಯ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: ಲಾಗ್ 16 1

1. ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಎರಡರ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:
   ಲಾಗ್ 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ: 0.

ಕಾರ್ಯ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: ಲಾಗ್ 7 14

1. ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಏಳು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸೋಣ: 7 = 7 1 ; 7 1 ರಿಂದ 14 ಅನ್ನು ಏಳು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ< 14 < 7 2 ;
2. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ ಅದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ;
3. ಉತ್ತರವು ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಯಿಲ್ಲ: ಲಾಗ್ 7 14.

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಟಿಪ್ಪಣಿ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಅದನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕನಿಷ್ಟ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: 8; 48; 81; 35; 14

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ನಿಖರವಾದ ಪದವಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಗುಣಕವಿದೆ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿವೆ: 3 ಮತ್ತು 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ನಿಖರವಾದ ಪದವಿ;
35 = 7 · 5 - ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲ;
14 = 7 · 2 - ಮತ್ತೆ ನಿಖರವಾದ ಪದವಿ ಅಲ್ಲ;

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ತಮ್ಮ ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್

ಕೆಲವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅವುಗಳು ವಿಶೇಷ ಹೆಸರು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

x ನ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ 10 ಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. x ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು 10 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿ. ಹುದ್ದೆ: lg x.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - ಇತ್ಯಾದಿ.

ಇಂದಿನಿಂದ, ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ "LG 0.01 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ" ನಂತಹ ನುಡಿಗಟ್ಟು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಾಗ, ಇದು ಮುದ್ರಣದೋಷವಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿಯಿರಿ. ಇದು ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಲಾಗ್ x = ಲಾಗ್ 10 x

ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೂ ನಿಜ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್

ತನ್ನದೇ ಆದ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇದೆ. ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು ದಶಮಾಂಶಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

x ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ e ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಸಲು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. x ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕಾದ ಶಕ್ತಿ. ಹುದ್ದೆ: ln x.

ಅನೇಕರು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ: ಇ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು? ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ; ಅದರ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾನು ಮೊದಲ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತೇನೆ:
ಇ = 2.718281828459...

ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನು ಮತ್ತು ಅದು ಏಕೆ ಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾವು ವಿವರವಾಗಿ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ:
ln x = ಲಾಗ್ ಇ x

ಹೀಗೆ ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ಇತ್ಯಾದಿ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ln 2 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ: ln 1 = 0.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್(DLOG) - ಕಾರ್ಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಜಿ Xಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಜಿ .

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಫ್ಲಾಪಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಶೇಷ ಉಂಗುರದ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ಲಾಪಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮರ್ಥ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಕ್ಕೆ ಜಿಮತ್ತು ಎಪರಿಹಾರ Xಸಮೀಕರಣಗಳು ಜಿ X = ಎ ಎಂದು ಕರೆದರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಅಂಶ ಎಆಧಾರಿತ ಜಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಜಿಶೇಷ ರಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮೀ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಆಧಾರಿತ ಜಿ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಎಆಧಾರಿತ ಜಿಇದ್ದರೆ ಇರುವುದು ಖಾತ್ರಿಯಾಗಿದೆ ಜಿಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಆಗಿದೆ ಮೀ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು X, ತೃಪ್ತಿಕರ ಸಮೀಕರಣ (1). ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದು ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮೀರದಂತೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೇಲಿನಿಂದ ಪರಿಹಾರ ಹುಡುಕಾಟ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸ್ಥೂಲವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ - ಸಮಗ್ರ ಹುಡುಕಾಟ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೀಡಿದ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಜಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಂಪಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಶ್ನೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪರಿಗಣನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲೋದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ಹೋಲಿಕೆ ನೀಡಲಿ

ನಾವು ಬ್ರೂಟ್ ಫೋರ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನಾವು ವಿಭಜನೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು 17 ರಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 3 ≡27 - 17 ರಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಶೇಷವು 10 ಆಗಿದೆ).

3 1 ≡ 3	3 2 ≡ 9	3 3 ≡ 10	3 4 ≡ 13	3 5 ≡ 5	3 6 ≡ 15	3 7 ≡ 11	3 8 ≡ 16
3 9 ≡ 14	3 10 ≡ 8	3 11 ≡ 7	3 12 ≡ 4	3 13 ≡ 12	3 14 ≡ 2	3 15 ≡ 6	3 16 ≡ 1

ಈಗ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹೋಲಿಕೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ x=4, 3 4 ≡13 ರಿಂದ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ವಿವೇಚನಾರಹಿತ ಶಕ್ತಿ ವಿಧಾನವು ತುಂಬಾ ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಗದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ

ಲೇಖನವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿದೆ. ಬುಚ್‌ಮನ್‌ಜೆ., ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ಎಂ.ಜೆ., ಟೆಸ್ಕೆ ಇ. ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕುರಿತು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಿಧಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪುಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ, ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ, ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಹುಪದೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಹುಪದೀಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನರ್ಹತೆಯನ್ನು ಇದು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸ್ಕೀಮ್‌ಗಳು ಡಿಫಿ-ಹೆಲ್‌ಮ್ಯಾನ್ ಪಬ್ಲಿಕ್ ಕೀ ಜನರೇಷನ್ ಸ್ಕೀಮ್, ಎಲ್-ಗಾಮಲ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಮತ್ತು ಮೆಸೇಜ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಮಿಷನ್‌ಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಸ್ಸೆ-ಒಮುರಾ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಸಿಸ್ಟಮ್.

ಲಿಂಕ್‌ಗಳು

• ವಾಸಿಲೆಂಕೊ ಒ.ಎನ್.ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು. - ಮಾಸ್ಕೋ: MTsNMO, 2003. - 328 ಪು. - ISBN 5-94057-103-4
• ಕೊಬ್ಲಿಟ್ಜ್ ಎನ್.ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಕೋರ್ಸ್. - ಮಾಸ್ಕೋ: TVPb, 2001. - 254 ಪು. - ISBN 5-85484-014-6
• ಓಡ್ಲಿಜ್ಕೊ A. M.ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ // LNCS. - 1984. - T. 209. - P. 224-316.
• ಬುಚ್ಮನ್ ಜೆ., ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ಎಂ.ಜೆ., ಟೆಸ್ಕೆ ಇ.ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ // ಗಣನೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. - 1997. - T. 66. - ಸಂಖ್ಯೆ 220. - P. 1663-1687.
• ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಲೇಖನ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್
• ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ವಿಮರ್ಶೆ (ಇಂಗ್ಲಿಷನಲ್ಲಿ)
• ನೆಚೇವ್ ವಿ.ಐ.ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಮೇಲೆ // ಗಣಿತ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. - 1994. - ವಿ. 2. - ಟಿ. 55. - ಪಿ. 91-101.

ವಿಕಿಮೀಡಿಯಾ ಫೌಂಡೇಶನ್. 2010.

ಇತರ ನಿಘಂಟುಗಳಲ್ಲಿ "ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್" ಏನೆಂದು ನೋಡಿ:

ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್- ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿವೆ d; g ಎಂದರೆ gr = d ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕ r ಇರುತ್ತದೆ; r ಅನ್ನು d ನಿಂದ ಬೇಸ್ g ಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಷಯಗಳು ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ EN ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ... ತಾಂತ್ರಿಕ ಅನುವಾದಕರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ

ಪೋಲಿಗ್‌ನ ಹೆಲ್‌ಮ್ಯಾನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ (ಸಿಲ್ವರ್ ಪೋಲಿಗ್‌ನ ಹೆಲ್‌ಮ್ಯಾನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ರಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿದಮ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಅದು... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

- (ಇಂಗ್ಲಿಷ್: ಬೇಬಿ ಸ್ಟೆಪ್ ದೈತ್ಯ ಹೆಜ್ಜೆ; ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಹಂತಗಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿದಮ್‌ಗೆ ಡಿಟರ್ಮಿನಿಸ್ಟಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ರಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

ಯೋಜನೆ:

ಪರಿಚಯ

• 1 ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ
• 2 ಉದಾಹರಣೆ
• 3 ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು
  • 3.1 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ
  • 3.2 ಅವಶೇಷಗಳ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಪ್ರೈಮ್
    • 3.2.1 ಘಾತೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು
    • 3.2.2 ಸಬ್ ಎಕ್ಸ್‌ಪೋನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು
  • 3.3 ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ
  • 3.4 ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ
• 4 ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು

ಪರಿಚಯ

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್(DLOG) - ಕಾರ್ಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಜಿ Xಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಜಿ .

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಶೇಷ ಉಂಗುರ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮರ್ಥ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

ಕೊಟ್ಟಿದ್ದಕ್ಕೆ ಜಿಮತ್ತು ಎಪರಿಹಾರ Xಸಮೀಕರಣಗಳು ಜಿ X = ಎ ಎಂದು ಕರೆದರು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಅಂಶ ಎಆಧಾರಿತ ಜಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಜಿಶೇಷ ರಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮೀ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಆಧಾರಿತ ಜಿ. ಸಂಖ್ಯೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಎಆಧಾರಿತ ಜಿಇದ್ದರೆ ಇರುವುದು ಖಾತ್ರಿಯಾಗಿದೆ ಜಿಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲ ಮಾಡ್ಯೂಲೋ ಆಗಿದೆ ಮೀ.

1. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆ

ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಗುಣಾಕಾರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಇರಲಿ ಜಿಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು X, ತೃಪ್ತಿಕರ ಸಮೀಕರಣ (1). ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದು ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮೀರದಂತೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಮೇಲಿನಿಂದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸ್ಥೂಲವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ - ಒಂದು ಸಮಗ್ರ ಹುಡುಕಾಟ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೀಡಿದ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಜಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಂಪಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಶ್ನೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣ (1) ಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪರಿಗಣನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

2. ಉದಾಹರಣೆ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರಿಂಗ್ ಮಾಡ್ಯೂಲೋದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ.

ಹೋಲಿಕೆ ನೀಡಲಿ

ನಾವು ಬ್ರೂಟ್ ಫೋರ್ಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನಾವು ವಿಭಜನೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು 17 ರಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 3 ≡27 - 17 ರಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಶೇಷವು 10 ಆಗಿದೆ).

ಈಗ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹೋಲಿಕೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ x=4, 3 4 ≡13 ರಿಂದ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ವಿವೇಚನಾರಹಿತ ಶಕ್ತಿ ವಿಧಾನವು ತುಂಬಾ ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಗದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ.

3. ಪರಿಹಾರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು

3.1. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ

J. ಬುಚ್‌ಮನ್, M. J. ಜಾಕೋಬ್ಸನ್ ಮತ್ತು E. ಟೆಸ್ಕೆ ಅವರ ಲೇಖನವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಿಧಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಬಳಕೆಗೆ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪುಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ, ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

3.2. ಅವಶೇಷಗಳ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಪ್ರೈಮ್

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಎಲ್ಲಿ ಪ- ಸರಳ, ಬಿಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಪ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಗುಂಪಿನ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (2) ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಬಿ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಪ್ರಾಚೀನ ಬೇರುಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು φ( ಪ− 1), ಇಲ್ಲಿ φ ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ (2) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗಿಂತ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಅಂತ್ಯ

ಶೇಷ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಇತರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಉಪವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದೀಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇಲ್ಲ.

3.2.1. ಘಾತೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು

3.2.2. ಸಬ್ ಎಕ್ಸ್‌ಪೋನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು

ಈ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸಾಮೀಪ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಸಿ 1 ಗೆ ಮತ್ತು ಡಿ- 0 ಗೆ.

ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಉತ್ತಮ ನಿಯತಾಂಕಗಳೆಂದರೆ, .

ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು , . ನಿರಂತರ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಸಿ 1 ಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಮೀರಿಸುತ್ತದೆ.

3.3. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ

ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ GF(q), ಎಲ್ಲಿ q = ಪ ಎನ್ , ಪ- ಸರಳ.

3.4. ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ

ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಗುಂಪು ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೀಪ- ಈ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮೀ, ಏನು

ನೀಡಿದ ಅಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ಪಮತ್ತು ಎ.

1990 ರವರೆಗೆ, ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ರಚನಾತ್ಮಕ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ಇರಲಿಲ್ಲ. ತರುವಾಯ, ಆಲ್‌ಫ್ರೆಡ್ ಜೆ. ಮೆನೆಜಸ್, ಟಟ್ಸುಕಿ ಒಕಾಮೊಟೊ ಮತ್ತು ಸ್ಕಾಟ್ ಎ. ವ್ಯಾನ್ಸ್‌ಟೋನ್ ಅವರು ವೇಲ್ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಾಗಿ ಜಿಎಫ್(q), ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತದೆ ಜಿಎಫ್(q ಕೆ) . ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮಾಹಿತಿಯು ಪದವಿ ವೇಳೆ ಮಾತ್ರ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಕೆಸಣ್ಣ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸೂಪರ್‌ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಕಡಿತವು ಎಂದಿಗೂ ಸಬ್‌ಎಕ್ಸ್‌ಪೋನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

4. ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಕೀಲಿ ಗುಪ್ತ ಲಿಪಿ ಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಹಿಂದಿನ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅತ್ಯಂತ ಆಧುನಿಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದು ಅಪವರ್ತನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವೇಗವಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು.

ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಧ್ಯತೆಯು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬಹುಪದದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಹುಪದೀಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನರ್ಹತೆಯನ್ನು ಇದು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ.