ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು? ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ.

ಈ ಲೇಖನವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. A B ರೂಪದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಅಥವಾ ಘಾತೀಯತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅಥವಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, ನಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ 2 0, 5 ln 3, ನಂತರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವ ನಿಯಮಗಳಿವೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ:

• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಛೇದಕಗಳಂತೆ ಕಳೆಯುವಾಗ, ಕೇವಲ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: a d ± c d = a ± c d, ಮೌಲ್ಯಗಳು a, c ಮತ್ತು d ≠ 0 ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು.
• ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ತದನಂತರ ಅದೇ ಘಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಅಥವಾ ಕಳೆಯಿರಿ. ಅಕ್ಷರಶಃ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a b ± c d = a · p ± c · r s, ಇಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು b · p = d · r = s . ಯಾವಾಗ p = d ಮತ್ತು r = b, ನಂತರ a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಛೇದಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ನಂತರ ನಾವು b · c d = a · c b · d ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ.
• ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಎರಡನೇ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: a b: c d = a b · d c.

ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ತಾರ್ಕಿಕತೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಅವಲಂಬಿಸಬೇಕಾದ ಕೆಳಗಿನ ಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳಿವೆ:

• ಸ್ಲಾಶ್ ಎಂದರೆ ವಿಭಜನೆಯ ಚಿಹ್ನೆ;
• ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಿಕೆಯು ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಆಸ್ತಿಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್;
• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯ ಅನ್ವಯ.

ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ರೂಪದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ನಂತರವೇ ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಒಂದೇ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

8 2, 7 ಮತ್ತು 1 2, 7 ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಅಂಶವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಪರಿಹಾರ

ನಂತರ ನಾವು 8 + 1 2, 7 ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸೇರ್ಪಡೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

ಉತ್ತರ: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ. ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

ಉದಾಹರಣೆ 2

1 - 2 3 · ಲಾಗ್ 2 3 · ಲಾಗ್ 2 5 + 1 ಫಾರ್ಮ್ 2 3 3 · ಲಾಗ್ 2 3 · ಲಾಗ್ 2 5 + 1 ರ ಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯೋಣ.

ಸಮಾನ ಛೇದಗಳನ್ನು ನೀಡಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದೇ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದರ್ಥ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1 - 2 3 ಲಾಗ್ 2 3 ಲಾಗ್ 2 5 + 1 - 2 3 3 ಲಾಗ್ 2 3 ಲಾಗ್ 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 ಲಾಗ್ 2 3 ಲಾಗ್ 2 5 + 1

ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿತ. ಇದು ಇಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿತವನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೇರಿಸಲಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದಾಗಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು 2 3 5 + 1 ಮತ್ತು 1 2 ಸೇರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವು ಛೇದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಾವು 2 · 3 5 + 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವಾಗ, ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಅದು 2 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು 3 5 + 1 ಆಗಿದೆ. ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ರೂಪ 4 2 · 3 5 + 1 ಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 1 2 ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಡಿತವು 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

ಉತ್ತರ: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂಕಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಛೇದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಲಾಭದಾಯಕವಲ್ಲ. ಮೊದಲು ನೀವು ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 4

1 6 · 2 1 5 ಮತ್ತು 1 4 · 2 3 5 ರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು 12 · 2 3 5 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು 2 + 1 6 ಮತ್ತು 2 · 5 3 · 2 + 1 ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಅಂಕಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಛೇದವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ನೀವು ಕಡಿತವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ನಂತರ 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

ಪರಸ್ಪರ ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಒಂದರ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

ನಂತರ ಅವರು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

ಉತ್ತರ: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅಂತಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3 ರ ಮೂಲವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು 3 1 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಈ ನಮೂದು 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 ರೂಪದ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು

ಮೊದಲ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ನಿಯಮಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಛೇದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಾಗ ವ್ಯವಕಲನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

A, C ಮತ್ತು D (D ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ) ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆ A D ± C D = A ± C D ಅದರ ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ODZ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಂತರ A, C, D ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು a 0 , c 0 ಮತ್ತು d 0. A D ± C D ರೂಪದ ಪರ್ಯಾಯವು 0 d 0 ± c 0 d 0 ರೂಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಸೇರ್ಪಡೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು 0 ± c 0 d 0 ರೂಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ A ± C D ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು 0 ± c 0 d 0 ರೂಪದ ಅದೇ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ODZ, A ± C D ಮತ್ತು A D ± C D ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಆಯ್ದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು A D ± C D = A ± C D ರೂಪದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ನೀವು ಒಂದೇ ಛೇದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ನೀವು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಅಥವಾ ಕಳೆಯಬೇಕು. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಇದು ಗಮನಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 3 x 1 3 + 1 ಮತ್ತು x 1 3 + 1 2 ಅಥವಾ 1 2 sin 2 α ಮತ್ತು sin a cos a. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಒಂದೇ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸರಳೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

ಪರಿಹಾರ

1. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಒಂದೇ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು. ನಂತರ ನಾವು x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ನಂತರ ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ನಾವು x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
2. ಛೇದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಛೇದವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   ಸೇರ್ಪಡೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ಅಂಶವನ್ನು ಮಡಚಬಹುದು, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (l g x + 2) 2 ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಗುಣಾಕಾರ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ. ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ x - 1 x - 1 + x x + 1 ರೂಪದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ನೀವು ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು.

ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಛೇದವನ್ನು ಅದರ ನಂತರದ ಕಡಿತದೊಂದಿಗೆ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

ಆದ್ದರಿಂದ x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಅವಶ್ಯಕ.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

ಎರಡನೆಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು x - 1 ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

ಉತ್ತರ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿತವು ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸೇರಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವಾಗ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕಾಗಿ ನೋಡಬೇಕು, ಇದು ಛೇದಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆ ಕಾಣುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

ಪರಿಹಾರ

1. ಛೇದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು 3 x 7 + 2 · 2 ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ x 7 + 2 · 2 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವಾಗಿ ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಗುಣಿಸುವಾಗ, ನಾವು x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. ಛೇದಗಳನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅನಗತ್ಯ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x 4 ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ln(x + 1) ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ. ನಂತರ ನಾವು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - ಪಾಪ x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - ಪಾಪ x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - ಪಾಪ x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಚೌಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ರೂಪ 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹೋಗಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. x) 2. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ನಾವು cos x - x · cos x + x 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

ಉತ್ತರ:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - ಪಾಪ x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - ಪಾಪ x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಅಂಶವನ್ನು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನೀವು ಕಡಿತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 8

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 ಮತ್ತು 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ಪಾಪ (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 ಪಾಪ (2 x - x)

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು ಭಾಗವನ್ನು x 2 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ನಂತರ ನಾವು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ಪಾಪ (2 x - x)

ಉತ್ತರ: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ಪಾಪ (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · ಪಾಪ (2 · x - x) .

ವಿಭಾಗ

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಭಾಗವು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಎರಡನೇ ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಿದಾಗ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿ x + 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 ಪಾಪ (2 · x - x) , ನಂತರ x + 2 · x x ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ಪಾಪ (2 x - x)

ಘಾತ

ಘಾತೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾವು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿ ಇದ್ದರೆ, ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು A ಮತ್ತು C, ಅಲ್ಲಿ C ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ODZ ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೈಜ r ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ A C r ಸಮಾನತೆ A C r = A r C r ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಗಣಿಸಿ:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ವಿಧಾನ

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಹಲವಾರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ, ಗುಣಿಸಿ, ಭಾಗಿಸಿ, ನಂತರ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಳೆಯಿರಿ. ಆವರಣಗಳಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಒಂದೇ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ 1 - x cos x ಮತ್ತು 1 c o s x, ಆದರೆ ವ್ಯವಕಲನಗಳನ್ನು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಮೊದಲು, ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. ಎಲ್ಲಾ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು 1 - x cos x - x + 1 cos x · x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನೀವು ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

ಉತ್ತರ: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

) ಮತ್ತು ಛೇದದಿಂದ ಛೇದ (ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಛೇದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ).

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಸೂತ್ರ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದೇ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು. ನೀವು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಮತ್ತಷ್ಟು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು.

ಇದು ತೋರುತ್ತಿರುವಷ್ಟು ಭಯಾನಕವಲ್ಲ. ಸಂಕಲನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು (ಮಿಶ್ರ):

• ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ;
• ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು;
• ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ;
• ನೀವು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸೂಚನೆ!ಮಿಶ್ರ ಭಾಗವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಮಿಶ್ರ ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಗುಣಿಸಬೇಕು.

ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಎರಡನೆಯ ಮಾರ್ಗ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಎರಡನೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ!ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡಬೇಕು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಶೇಷವಿಲ್ಲದೆ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಹುಮಹಡಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು.

ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು-ಅಂತಸ್ತಿನ (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆ:

ಅಂತಹ ಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು, 2 ಅಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ಸೂಚನೆ!ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ವಿಭಜನೆಯ ಕ್ರಮವು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ, ಇಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗುವುದು ಸುಲಭ.

ಸೂಚನೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಒಂದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಭಾಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ತಲೆಕೆಳಗಾದದ್ದು:

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಲು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಲಹೆಗಳು:

1. ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ಗಮನ. ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ, ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡಿ. ಮಾನಸಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕಳೆದುಹೋಗುವುದಕ್ಕಿಂತ ನಿಮ್ಮ ಡ್ರಾಫ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ.

2. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ.

3. ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದವರೆಗೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

4. ನಾವು 2 ಅಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹು-ಹಂತದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.

5. ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಘಟಕವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ಭಾಗವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತಿರುಗಿಸಿ.

ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮಗುವಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರಿಗೆ ತೊಂದರೆಗಳಿವೆ. "ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು" ಎಂಬ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಮಗು ಮೂರ್ಖತನಕ್ಕೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಅಥವಾ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ.

ಅದನ್ನು ಮಗುವಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ. ನಾವು ಮೂರು ಸೇಬುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದನ್ನು 4 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿ. ಕತ್ತರಿಸಿದ ಸೇಬಿನಿಂದ ಒಂದು ಸ್ಲೈಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಮೂರನ್ನು ಎರಡು ಸಂಪೂರ್ಣ ಹಣ್ಣುಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ. ನಾವು ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ¼ ಸೇಬು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ 2 ¾ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೂರು ಸೇಬುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 2 ¾ ಸೇಬುಗಳನ್ನು ¼ ನಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಲೈಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ, ನಾವು 2 2/4 ಸೇಬುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ:

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಯಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ:

ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲವೂ ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಛೇದಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನೋಡೋಣ:
3 2/7+6 1/3

ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

7 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಇದು 21. ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳನ್ನು 21 ಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು 3 ರಿಂದ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು 7 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
6/21+7/21, ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದೇ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
ಸಂಕಲನದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈಗಾಗಲೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು:
2 1/3+3 2/3
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
5 3/3, ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, 3/3 ಒಂದು, ಅಂದರೆ 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಹೇಳಲಾದ ಎಲ್ಲದರಿಂದ, ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿಯಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

• ನೀವು ಭಾಗಶಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾದರೆ, ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಸಾಕು.

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ:

"m" ಅಕ್ಷರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ:

4 5/11-2 8/11, ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲ ಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಎರವಲು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ,
3 5/11+11/11=3 ಸಂಪೂರ್ಣ 16/11, ಮೊದಲ ಭಾಗದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ:
3 16/11-2 8/11=1 ಸಂಪೂರ್ಣ 8/11

• ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ, ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ, ಇಡೀ ಭಾಗವನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಛೇದದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇಡೀ ಭಾಗದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಉಳಿದವು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

19/4=4 ¾, ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: 4*4+3=19, ಛೇದ 4 ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿದೆ.

ಸಾರಾಂಶ:

ನೀವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬೇಕು, ಪರಿಹಾರವು ಸರಿಯಾಗಿರಲು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ನೋಡಿ. ಕಠಿಣ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗಬೇಡಿ. ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಯೋಜಿಸಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಶಾಲೆಯ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಗೊಂದಲವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ನೀವು ಸ್ಥಿರತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು. ಅವಸರ ಮಾಡದೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿವರವಾದ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳು

ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅದು ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಅಥವಾ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿರಬಹುದು, ನೀವು ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

• ಒಂದೇ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು (ಛೇದವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶ), ನೀವು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಬೇಕು.
• ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಎರಡನೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು (ಅದೇ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ) ಕಳೆಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಬೇಕು.
• ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಅಥವಾ ಕಳೆಯಲು, ನೀವು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
• ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ.
• ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಅಭ್ಯಾಸ

ನಿಯಮ 1, ಉದಾಹರಣೆ 1:

3/4 +1/4 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ನಿಯಮ 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಒಂದೇ ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 3/4 + 1/4 = 4/4. ಒಂದು ಭಾಗವು ಒಂದೇ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

ನಿಯಮ 2, ಉದಾಹರಣೆ 1:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 3/4 - 1/4

ನಿಯಮ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೀವು 3 ರಿಂದ 1 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಬೇಕು. ನಾವು 2/4 ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು 2 ಮತ್ತು 4 ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 1/2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

ನಿಯಮ 3, ಉದಾಹರಣೆ 1

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 3/4 + 1/6

ಪರಿಹಾರ: 3 ನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವು ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಛೇದಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, 4 ಮತ್ತು 6 ಎರಡರಿಂದಲೂ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆ 12. ನಾವು 12 ಅನ್ನು ಛೇದವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. 12 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಬರೆಯಿರಿ 3 ಅಂಶದಲ್ಲಿ *3 ಮತ್ತು + ಚಿಹ್ನೆ. ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಛೇದದಿಂದ 12 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, 2 ಅನ್ನು 1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಅಂಶದಲ್ಲಿ 2 * 1 ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 12 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 3*3+2*1=11 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 11/12.

ಉತ್ತರ: 11/12

ನಿಯಮ 3, ಉದಾಹರಣೆ 2:

3/4 - 1/6 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಒಂದೇ ಹಂತಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ + ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಿಗೆ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

ಉತ್ತರ: 7/12

ನಿಯಮ 4, ಉದಾಹರಣೆ 1:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 3/4 * 1/4

ನಾಲ್ಕನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಮೊದಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಛೇದದಿಂದ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. 3*1/4*4 = 3/16.

ಉತ್ತರ: 3/16

ನಿಯಮ 4, ಉದಾಹರಣೆ 2:

2/5 * 10/4 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಭಾಗದ ಛೇದ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯ ಛೇದವನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

4 ರಿಂದ 2 ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. 5 ರಿಂದ 10 ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಾವು 1 * 2/2 = 1*1 = 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: 2/5 * 10/4 = 1

ನಿಯಮ 5, ಉದಾಹರಣೆ 1:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: 3/4: 5/6

5 ನೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ತತ್ತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 9/10 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: 9/10.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಭಾಗಶಃ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಛೇದವು ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

15/3x+5 = 3 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ನೀವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅಂದರೆ. ಛೇದದ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಾರದು. ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, OA (ಅನುಮತಿಸಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯ ಶ್ರೇಣಿ) ಇದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ 3x+5 ≠ 0.
ಆದ್ದರಿಂದ: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

x = 5/3 ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ODZ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಂತರ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 15/(3x+5) = 3/1. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ನೀವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು (3x+5)*1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮ:

1. 15/(3x+5) ಅನ್ನು (3x+5)*1 = 15*(3x+5) ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.
2. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಿ: 45x + 75 = 9x +15
5. X ಗಳನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ: 36x = – 50
6. x ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: x = -50/36.
7. ನಾವು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: -50/36 = -25/18

ಉತ್ತರ: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಭಾಗಶಃ ಅಸಮಾನತೆಗಳು

(3x-5)/(2-x)≥0 ಪ್ರಕಾರದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಅನುಕ್ರಮ:

• ನಾವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಸೊನ್ನೆಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
• ಮೌಲ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಎರಡು ರೀತಿಯ ವಲಯಗಳಿವೆ - ತುಂಬಿದ ಮತ್ತು ಖಾಲಿ. ತುಂಬಿದ ವೃತ್ತ ಎಂದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಪರಿಹಾರದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಖಾಲಿ ವಲಯವು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹಾರ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
• ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, 2 ನೇ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ವೃತ್ತವಿರುತ್ತದೆ.

• ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಎರಡರ ನಂತರ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ 5/3 ರಿಂದ 2 ರವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು X ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1. ಮೌಲ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮೈನಸ್ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. 5/3 ವರೆಗಿನ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು 5/3 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಮೈನಸ್.

• x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಲ್ಲ (ಎಲ್ಲೆಡೆ ಮೈನಸಸ್‌ಗಳಿವೆ), ಈ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ x = Ø (ಖಾಲಿ ಸೆಟ್).

ಉತ್ತರ: x = Ø

ಭಿನ್ನರಾಶಿ- ಒಂದು ಘಟಕದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: a/b

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ (ಎ)- ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಘಟಕವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಷೇರುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಛೇದ (ಬಿ)- ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೇಖೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಘಟಕವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

2. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು

3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

3.1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

3.2. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು

3.3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

3.4. ಭಾಗಿಸುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು

4. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

5. ದಶಮಾಂಶಗಳು

6. ದಶಮಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

6.1. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

6.2. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು

6.3. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

6.4. ದಶಮಾಂಶ ವಿಭಾಗ

#1. ಒಂದು ಭಾಗದ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ

ಒಂದು ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

3/7=3*3/7*3=9/21, ಅಂದರೆ 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿ ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ನೀಡಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಜಾಹೀರಾತು = ಕ್ರಿ.ಪೂ, ನಂತರ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು a/b =c /d ಅನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3/5 ಮತ್ತು 9/15 ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 3*15=5*9, ಅಂದರೆ 45=45

ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದುಹೊಸ ಭಾಗವು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಣ್ಣ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ 3, 5 ಮತ್ತು 15 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ).

ತಗ್ಗಿಸಲಾಗದ ಭಾಗರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ 3/4 ​ ​ , ಅಲ್ಲಿ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಪರಸ್ಪರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದಂತೆ ಮಾಡುವುದು.

2. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು

ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರಲು, ನೀವು ಹೀಗೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:

1) ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ;

2) ಕಾಣೆಯಾದವುಗಳಿಂದ ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ

ಎರಡನೇ ಛೇದದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಅಂಶಗಳು;

3) ಮೊದಲ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ.

ಛೇದಗಳನ್ನು ಸರಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

ಎರಡನೇ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶ 5 ರಿಂದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ.

ಮೊದಲ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಅಂಶಗಳಾದ 3 ಮತ್ತು 2 ರ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ.

=, 90 - ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ.

3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

3.1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

ಎ) ಛೇದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಛೇದವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

ಬಿ) ವಿಭಿನ್ನ ಛೇದಗಳಿಗೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು

ಎ) ಛೇದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶದಿಂದ ಎರಡನೇ ಭಾಗದ ಅಂಶವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಛೇದವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಿ:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

ಬಿ) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ) ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3.3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

a/b*c/d=a*c/b*d,

ಅಂದರೆ, ಅವು ಅಂಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. ಭಾಗಿಸುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

a/b:c/d=a*d/b*c,

ಅಂದರೆ, a/b ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದರ ವಿಲೋಮ ಭಾಗದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, d/c ಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಒಂದು ವೇಳೆ a*b=1,ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಖ್ಯೆಸಂಖ್ಯೆಗೆ a.

ಉದಾಹರಣೆ: 9 ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಸ್ಪರ 1/9 ​ ​ , 9*1/9 ರಿಂದ = 1 , ಸಂಖ್ಯೆ 5 ಕ್ಕೆ - ವಿಲೋಮ ಸಂಖ್ಯೆ 1/5 ​ ​ , ಏಕೆಂದರೆ 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. ದಶಮಾಂಶಗಳು

ದಶಮಾಂಶಇದು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಛೇದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ ಎನ್​ ​ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ತಪ್ಪಾದವುಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 10^nಅಥವಾ ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

10 ರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಯ ಭಾಜಕವಾಗಿರುವ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚೇಂಜರ್, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆ 10 ರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಕ್ತಿಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: 5 100 ರ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. ದಶಮಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

6.1. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಸ್ಪರರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಅಂಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವಿದೆ, ತದನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

6.2 ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು

ಇದನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

6.3. ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಅಲ್ಪವಿರಾಮಗಳಿಗೆ (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ) ಗಮನ ಕೊಡದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ಸಾಕು, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವು ಎರಡೂ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಇರುವಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟಾಗಿ.

2.7 ಅನ್ನು 1.3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . ನಾವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಒಂದು ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ; 1+1=2 1 + 1 = 2 ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಲ್ಪವಿರಾಮದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬೇಕಾದ ಕಡಿಮೆ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕಾಣೆಯಾದ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮುಂದೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

10, 100, 1000 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದು 1, 2, 3 ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಚಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 1.47\cdot 10,000 = 14,700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4 ದಶಮಾಂಶ ವಿಭಾಗ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಡೀ ಭಾಗದ ವಿಭಜನೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಅಲ್ಪವಿರಾಮವನ್ನು ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿವಿಡೆಂಡ್‌ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವು ಭಾಜಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರವು ಶೂನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ದಶಮಾಂಶದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನಾವು 2.576 ಅನ್ನು 1.12 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಭಾಗದ ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕವನ್ನು 100 ರಿಂದ ಗುಣಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ಇರುವಷ್ಟು ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಡಿವಿಡೆಂಡ್ ಮತ್ತು ವಿಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ (ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು). ನಂತರ ನೀವು 257.6 ಭಾಗವನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 112 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ:

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ಅಂತಿಮ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .