ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು, ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಯಾವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಬಿಂದುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವಿಭಾಗವು 2 ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ನಾವು ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಗಡಿಯನ್ನು ಅದರ ಅಂತ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅದರ ಆರಂಭದಿಂದ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯದವರೆಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಆ ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಅದರ ಅಂತ್ಯ ಎಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆ: ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ: $\ಓವರ್‌ಲೈನ್(AB)$ – (ಇಲ್ಲಿ $A$ ಅದರ ಆರಂಭ, ಮತ್ತು $B$ ಇದರ ಅಂತ್ಯ).

ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ: $\overline(a)$ (Fig. 1).

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ವೆಕ್ಟರ್ $\ಓವರ್‌ಲೈನ್ (a)$ ನ ಉದ್ದವು $a$ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: $|\overline(a)|$

ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ನಾವು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ: 1. ಅವು ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್; 1. ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು ನಮೂದಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ $m$ ಮತ್ತು $n$ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $\overline (i )$ ಮತ್ತು $\overline(j)$ ಕ್ರಮವಾಗಿ $Ox$ ಮತ್ತು $Oy$ ಅಕ್ಷದ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ:

$\overline(c)=(m,n)$

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $(x,y)$ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ $\overline(α)$. ಹುಡುಕಿ: ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ $xOy$ ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲದಿಂದ $\overline(OA)=\overline(a)$ ಅನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡೋಣ. $Ox$ ಮತ್ತು $Oy$ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ $OA_1$ ಮತ್ತು $OA_2$ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 3).

ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ $\ಓವರ್‌ಲೈನ್(OA)$ ಬಿಂದು $A$ ಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು $(x,y)$ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

$=x$, $[OA_2]=y$

ಈಗ ನಾವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉದ್ದವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

ಉತ್ತರ: $\sqrt(x^2+y^2)$.

ತೀರ್ಮಾನ:ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ $X$ ಮತ್ತು $Y$ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ಕ್ರಮವಾಗಿ $(-1.5)$ ಮತ್ತು $(7.3)$.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ $\overline(XY)$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದು($Y$) ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ($X$). ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾನು ಈ ವಿಶಾಲವಾದ ಮತ್ತು ಬಹುನಿರೀಕ್ಷಿತ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ನನ್ನ ಕೈಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ . ಮೊದಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಬಗ್ಗೆ ಈ ವಿಭಾಗ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ…. ಖಂಡಿತವಾಗಿ ನೀವು ಈಗ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮೇಯಗಳು, ಅವುಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು, ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಾಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ. ಏನನ್ನು ಮರೆಮಾಡಬೇಕು, ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಮಾಣದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರೀತಿಪಾತ್ರವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ವಿಷಯ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು, ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಕರ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ಕಾಣಿಸಬಹುದು. ವಿಶೇಷಣ "ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ" ಅರ್ಥವೇನು? ಎರಡು ಕ್ಲಿಚ್ ಮಾಡಿದ ಗಣಿತದ ನುಡಿಗಟ್ಟುಗಳು ತಕ್ಷಣವೇ ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ: "ಗ್ರಾಫಿಕಲ್ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನ" ಮತ್ತು " ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಪರಿಹಾರಗಳು". ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನ , ಸಹಜವಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕಅದೇ ವಿಧಾನಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿಮೂಲಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸರಳ ಮತ್ತು ಪಾರದರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಕು. ಅಗತ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳು- ಮತ್ತು ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ! ಇಲ್ಲ, ಸಹಜವಾಗಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಲ್ಲದೆ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಜೊತೆಗೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ನಾನು ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಸದಾಗಿ ತೆರೆಯಲಾದ ಪಾಠಗಳ ಕೋರ್ಸ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಂತೆ ನಟಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ. ನನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾದುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾನು ನನ್ನ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಹಾಯ ಬೇಕಾದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

1) ಯಾವುದೇ ತಮಾಷೆಯಿಲ್ಲ, ಹಲವಾರು ತಲೆಮಾರುಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಷಯ: ರೇಖಾಗಣಿತದ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ, ಲೇಖಕರು - ಎಲ್.ಎಸ್. ಅಟನಾಸ್ಯನ್ ಮತ್ತು ಕಂಪನಿ. ಈ ಶಾಲೆಯ ಲಾಕರ್ ರೂಮ್ ಹ್ಯಾಂಗರ್ ಈಗಾಗಲೇ 20 (!) ಮರುಮುದ್ರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗಿದೆ, ಇದು ಮಿತಿಯಲ್ಲ.

2) 2 ಸಂಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಲೇಖಕರು ಎಲ್.ಎಸ್. ಅಟನಸ್ಯಾನ್, ಬಾಜಿಲೆವ್ ವಿ.ಟಿ.. ಇದು ಸಾಹಿತ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆ, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮೊದಲ ಸಂಪುಟ. ಅಪರೂಪವಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ನನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಗೆ ಬೀಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ಅಮೂಲ್ಯ ನೆರವು ನೀಡಲಿದೆ.

ಎರಡೂ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಚಿತವಾಗಿ ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ನನ್ನ ಆರ್ಕೈವ್ ಅನ್ನು ರೆಡಿಮೇಡ್ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು, ಅದನ್ನು ಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ.

ಪರಿಕರಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ಮತ್ತೆ ನನ್ನ ಸ್ವಂತ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ - ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಜೀವನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯವನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಓದುಗರಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳುಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು: ಪಾಯಿಂಟ್, ಲೈನ್, ಪ್ಲೇನ್, ತ್ರಿಕೋನ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ, ಸಮಾನಾಂತರ, ಘನ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಪುನರಾವರ್ತಕಗಳಿಗೆ ನಮಸ್ಕಾರ)

ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ: ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ವೆಕ್ಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಮುಂದೆ ಓದಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಲೇಖನ ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಅಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ. ಇದು ಅತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಮಸ್ಯೆ- ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗದ ವಿಭಾಗ. ಮೇಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನೀವು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಜೊತೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಇದು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. ಕೆಳಗಿನ ಲೇಖನಗಳು ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ: ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನದ ಸಮೀಕರಣ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳು. ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಉಚಿತ ವೆಕ್ಟರ್

ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಶಾಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ. ವೆಕ್ಟರ್ಎಂದು ಕರೆದರು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ್ದಾರೆಅದರ ಆರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗ:

IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿವಿಭಾಗದ ಆರಂಭವು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯವು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶನಅತ್ಯಗತ್ಯ, ನೀವು ಬಾಣವನ್ನು ವಿಭಾಗದ ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಗೆ ಸರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ಮತ್ತು ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ವೆಕ್ಟರ್. ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಭೌತಿಕ ದೇಹ: ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ, ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನ ಬಾಗಿಲುಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನ ಬಾಗಿಲುಗಳನ್ನು ಬಿಡುವುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳು.

ವಿಮಾನ ಅಥವಾ ಜಾಗದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್. ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ, ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

!!! ಸೂಚನೆ: ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ, ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಅವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು - ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ವಸ್ತುವಿನ ಸಾರವು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಎರಡಕ್ಕೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆಗಳು:ಪದನಾಮದಲ್ಲಿ ಬಾಣವಿಲ್ಲದ ಕೋಲನ್ನು ಅನೇಕರು ತಕ್ಷಣವೇ ಗಮನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಾಣವೂ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದರು! ನಿಜ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಬಾಣದಿಂದ ಬರೆಯಬಹುದು: , ಆದರೆ ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ನಾನು ಬಳಸುವ ಪ್ರವೇಶ. ಏಕೆ? ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಅಭ್ಯಾಸವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು; ಶಾಲೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ನನ್ನ ಶೂಟರ್‌ಗಳು ತುಂಬಾ ವಿಭಿನ್ನ ಗಾತ್ರದ ಮತ್ತು ಶಾಗ್ಗಿಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರು. IN ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವರು ಕ್ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಬರವಣಿಗೆಗೆ ತಲೆಕೆಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರ: , ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಅದು ಸ್ಟೈಲಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ಮತ್ತು ಈಗ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ:

1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡು ದೊಡ್ಡ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರ ಅಗತ್ಯವಾಗಿವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಆರಂಭದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಅಕ್ಷರವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

2) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಣ್ಣ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಮರುವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಬಹುದು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರ.

ಉದ್ದಅಥವಾ ಘಟಕಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ.

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ,

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನಾವು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ (ಅಥವಾ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ, ಯಾರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ.

ಅವರು ಇದ್ದರು ಮೂಲ ಮಾಹಿತಿವೆಕ್ಟರ್ ಬಗ್ಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಉಚಿತ ವೆಕ್ಟರ್.

ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ - ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯೋಜಿಸಬಹುದು:

ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ನಾವು ಒಗ್ಗಿಕೊಂಡಿರುತ್ತೇವೆ (ಸಮಾನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗುವುದು), ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅವು ಒಂದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಉಚಿತ ವೆಕ್ಟರ್. ಏಕೆ ಉಚಿತ? ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಅಥವಾ ಆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿಮಾನ ಅಥವಾ ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ "ಲಗತ್ತಿಸಬಹುದು". ಇದು ತುಂಬಾ ತಂಪಾದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವಾಗಿದೆ! ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ - ಅದನ್ನು "ಕ್ಲೋನ್" ಮಾಡಬಹುದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಸಮಯ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅಂತಹ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಹೇಳುತ್ತಾನೆ: ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಉಪನ್ಯಾಸಕನು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಗ್ಗೆ ಡ್ಯಾಮ್ ಕೊಡುತ್ತಾನೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದು ಕೇವಲ ಹಾಸ್ಯದ ಪ್ರಾಸವಲ್ಲ, ಎಲ್ಲವೂ ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಿಯಾಗಿದೆ - ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅಲ್ಲಿಯೂ ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಹಿಗ್ಗು ಮಾಡಲು ಹೊರದಬ್ಬಬೇಡಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೇ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಲುತ್ತಿದ್ದಾರೆ =)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉಚಿತ ವೆಕ್ಟರ್- ಇದು ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಒಂದೇ ನಿರ್ದೇಶನದ ವಿಭಾಗಗಳು. ಶಾಲೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್: "ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ..." ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗ, ಇದನ್ನು ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಟ್ಟಲಾಗಿದೆ.

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಉಚಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಷಯಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪಾಯಿಂಟ್. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂಗು ಅಥವಾ ಹಣೆಯ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಬಲದ ನೇರ ಹೊಡೆತ, ನನ್ನ ಮೂರ್ಖ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮುಕ್ತವಲ್ಲದವಾಹಕಗಳು vyshmat ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ (ಅಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬೇಡಿ :)).

ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳು. ವಾಹಕಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿ

IN ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಸೇರ್ಪಡೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮ, ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಇತ್ಯಾದಿ.ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿತವಾದ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ.

ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮ

ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು:

ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಉಚಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡುತ್ತೇವೆ ಅಂತ್ಯವೆಕ್ಟರ್:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ನಿಯಮದ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಸೇರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ: ಕೆಲವು ದೇಹವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ನಿರ್ಗಮನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಆಗಮನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಾರ್ಗದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಇದೇ ನಿಯಮವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರು ಹೇಳಿದಂತೆ, ದೇಹವು ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ತುಂಬಾ ಒಲವು ತೋರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಸ್ವಯಂಪೈಲಟ್ನಲ್ಲಿ - ಮೊತ್ತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ.

ಮೂಲಕ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮುಂದೂಡಿದರೆ ಆರಂಭಿಸಿದರುವೆಕ್ಟರ್, ನಂತರ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮವಾಹಕಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಬಗ್ಗೆ. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ವಾಹಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಅವರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, "ಕೊಲಿನಿಯರ್" ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ವಾಹಕಗಳ ಬಾಣಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಬಾಣಗಳು ಕಡೆಗೆ ತೋರಿಸಿದರೆ ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳು, ನಂತರ ವಾಹಕಗಳು ಇರುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳು.

ಹುದ್ದೆಗಳು:ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಹಭಾಗಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: , ವಿವರಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯ: (ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶಿತವಾಗಿವೆ) ಅಥವಾ (ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ).

ಕೆಲಸಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದರ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮವು ಚಿತ್ರದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ:

ಅದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ:

1) ನಿರ್ದೇಶನ. ಗುಣಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆವಿರುದ್ಧವಾಗಿ.

2) ಉದ್ದ. ಗುಣಕವು ಒಳಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ , ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಗುಣಕ ವೇಳೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆಸಮಯದಲ್ಲಿ.

3) ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ರಿವರ್ಸ್ ಕೂಡ ನಿಜ: ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗೆ: ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ(ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ವೆಕ್ಟರ್.

4) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶಿತವಾಗಿವೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶನ ಸಹ. ಮೊದಲ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಎರಡನೇ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಯಾವ ವಾಹಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ?

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅದೇ ಉದ್ದ . ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲಿಟಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೇಳಿದರೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅನಗತ್ಯ)

ಉಚಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಸಮಾನ ವಾಹಕಗಳು- ಇದು ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮೊದಲ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದಿಂದ ನಾವು ಮುಂದೂಡುತ್ತೇವೆ ಏಕವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು:

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ = ಲಂಬವಾಗಿರುವ. ನೀವು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಪದಗಳಿಗೆ ಒಗ್ಗಿಕೊಳ್ಳಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಏಕರೂಪತೆಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ.

ಹುದ್ದೆ:ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: .

ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮನ್ವಯ ವಾಹಕಗಳುಅಥವಾ orts. ಈ ವಾಹಕಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಆಧಾರದಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ. ಯಾವ ಆಧಾರವು ಅನೇಕರಿಗೆ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ವಿವರವಾದ ಮಾಹಿತಿಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ (ಅಲ್ಲದ) ಅವಲಂಬನೆ. ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಮೂಲವು ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ - ಇದು ಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಶ್ರೀಮಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಜೀವನವು ಕುದಿಯುವ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿದೆ.

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಆಧಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ಸಮತಲದ ಆಧಾರ: "ಆರ್ಥೋ" - ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, "ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣವು ಘಟಕ ಎಂದರ್ಥ, ಅಂದರೆ. ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆ:ಆಧಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರೊಳಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: . ಸಮನ್ವಯ ವಾಹಕಗಳು ಅದನ್ನು ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿದೆಮರುಹೊಂದಿಸಿ.

ಯಾವುದಾದರುಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
, ಎಲ್ಲಿ - ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುವಿ ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ. ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸ್ವತಃ ಎಂದು ಕರೆದರು ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಭಜನೆಆಧಾರದ ಮೂಲಕ .

ಭೋಜನ ಬಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮೊದಲ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: . ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಕೊಳೆಯುವಾಗ, ಈಗ ಚರ್ಚಿಸಿದವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:
1) ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮ: ಮತ್ತು ;
2) ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವಾಹಕಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ:

ಈಗ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಯೋಜಿಸಿ. ಅವನ ಕೊಳೆತವು "ಅವನನ್ನು ಪಟ್ಟುಬಿಡದೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ" ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅದು, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ - ವೆಕ್ಟರ್ "ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಒಯ್ಯುತ್ತದೆ." ಈ ಆಸ್ತಿ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಮೂಲ (ಉಚಿತ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ರೂಪಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ತಮಾಷೆಯಾಗಿದೆ; ಒಂದನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಮೇಲಿನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಏನೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ! ನಿಜ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಶಿಕ್ಷಕರು ಸಹ ಸ್ವಂತಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ "ಕ್ರೆಡಿಟ್" ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತಾರೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಬೇಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಹ ದಿಕ್ಕಿನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಬೇಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ನೀವು ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:


ಮತ್ತು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು, ಈ ರೀತಿ ಇವೆ: (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವುಗಳು ತಮ್ಮ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ).

ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ: , . ಅಂದಹಾಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಕಲನ ಎಂದರೇನು, ಮತ್ತು ನಾನು ವ್ಯವಕಲನ ನಿಯಮದ ಬಗ್ಗೆ ಏಕೆ ಮಾತನಾಡಲಿಲ್ಲ? ಎಲ್ಲೋ ಒಳಗೆ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ, ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ನನಗೆ ನೆನಪಿಲ್ಲ, ವ್ಯವಕಲನ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೇನೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಜೊತೆಗೆ. ಹೀಗಾಗಿ, "ಡಿ" ಮತ್ತು "ಇ" ವಾಹಕಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: , . ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ತಮ ಹಳೆಯ ಸೇರ್ಪಡೆ ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡಿ.

ರೂಪದ ವಿಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಘಟನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ort ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ(ಅಂದರೆ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ). ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬರೆಯಲು ಇದು ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವಲ್ಲ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮುಂದಿನ ಆಯ್ಕೆ:

ಅಥವಾ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ:

ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: ಮತ್ತು

ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. IN ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳುಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾನು ಮಾತನಾಡಬೇಕೆ ಎಂದು ಅನುಮಾನಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ನಾನು ಹೇಗಾದರೂ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ: ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿದೆಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಾಹಕಗಳು.

ನಾವು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ಇಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ! ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ನನ್ನನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇನೆ, ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾನು ಮೂಲದಿಂದ ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡುತ್ತೇನೆ:

ಯಾವುದಾದರುವೆಕ್ಟರ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಮಾಡಬಹುದು ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ:
, ಈ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ (ಸಂಖ್ಯೆ) ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ.

ಚಿತ್ರದಿಂದ ಉದಾಹರಣೆ: . ವೆಕ್ಟರ್ ನಿಯಮಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು: (ಕೆಂಪು ಬಾಣ), (ಹಸಿರು ಬಾಣ) ಮತ್ತು (ರಾಸ್ಪ್ಬೆರಿ ಬಾಣ). ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಹಲವಾರು ಸೇರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂರು, ವೆಕ್ಟರ್: . ಮೊತ್ತ ವೆಕ್ಟರ್ ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತನಿರ್ಗಮನ (ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಆರಂಭ) ಮತ್ತು ಆಗಮನದ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯ) ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿಯೂ ಸಹ ಮುಕ್ತವಾಗಿವೆ; ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಹಾಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಭಜನೆಯು "ಅದರೊಂದಿಗೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ" ಎಂದು ನೀವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

ಬರವಣಿಗೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಫ್ಲಾಟ್ ಕೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಒಂದೋ .

ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಒಂದು (ಅಥವಾ ಎರಡು) ಕಾಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮನ್ವಯ ವಾಹಕಗಳು, ನಂತರ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
ವೆಕ್ಟರ್ (ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ) - ಬರೆಯೋಣ;
ವೆಕ್ಟರ್ (ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ) - ಬರೆಯೋಣ;
ವೆಕ್ಟರ್ (ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿ ) - ಬರೆಯೋಣ.

ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ:

ಅದು ಬಹುಶಃ ಎಲ್ಲಾ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜ್ಞಾನ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕ. ಬಹಳಷ್ಟು ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಇರಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಡಮ್ಮೀಸ್ ಮರು-ಓದಲು ಮತ್ತು ಗ್ರಹಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಈ ಮಾಹಿತಿಮತ್ತೆ. ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಓದುಗರಿಗೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೂಲ ಪಾಠಫಾರ್ ಉತ್ತಮ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆವಸ್ತು. ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿ, ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರ, ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಭಜನೆ - ಇವುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಭವಿಷ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾನು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ - ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಲೊಕ್ವಿಯಮ್ ಅನ್ನು ರವಾನಿಸಲು ಸೈಟ್ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಗಮನಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ - ಹಾನಿಗೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಶೈಲಿಪ್ರಸ್ತುತಿ, ಆದರೆ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಪ್ಲಸ್. ವಿವರವಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ದಯವಿಟ್ಟು ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ಅಟನಾಸ್ಯನ್ ಅವರಿಗೆ ನಮಸ್ಕರಿಸಿ.

ಮತ್ತು ನಾವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ:

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು.
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳು

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಕಂಠಪಾಠ ಮಾಡಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನೆನಪಿಲ್ಲ, ಅವರು ತಮ್ಮನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ =) ಇದು ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸರಳವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳುವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಆಧರಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಖರ್ಚು ಮಾಡಲು ಕಿರಿಕಿರಿಯುಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಮಯಪ್ಯಾದೆಗಳನ್ನು ತಿನ್ನುವುದಕ್ಕಾಗಿ. ನಿಮ್ಮ ಅಂಗಿಯ ಮೇಲಿನ ಗುಂಡಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಅನೇಕ ವಿಷಯಗಳು ನಿಮಗೆ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ.

ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಸಮಾನಾಂತರ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ವಿಮಾನ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕಾಗಿ. ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳು ... ನೀವೇ ನೋಡುತ್ತೀರಿ ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ.

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಸಮತಲದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

ಅದು, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದನೀವು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಾರಂಭ.

ವ್ಯಾಯಾಮ:ಅದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ವಿಮಾನದ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು . ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ:ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಮೂದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

ಸೌಂದರ್ಯಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ:

ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್‌ನ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಒಗ್ಗಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ.

ಉತ್ತರ:

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ (ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ), ಆದರೆ ಡಮ್ಮೀಸ್ಗಾಗಿ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನಾನು ಸೋಮಾರಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು- ಇವುಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. 5 ನೇ -6 ನೇ ತರಗತಿಯಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹಾಕಬೇಕೆಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು- ಇದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಧಾರದ ಪ್ರಕಾರ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಉಚಿತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಚಲಿಸಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ನೀವು ಅಕ್ಷಗಳು ಅಥವಾ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿದೆ; ನಿಮಗೆ ಆಧಾರ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮತಲದ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಧಾರ.

ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ದಾಖಲೆಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ: , ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅರ್ಥಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ, ಮತ್ತು ನೀವು ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೆಂಗಸರೇ, ನಮ್ಮ ಕೈಗಳನ್ನು ತುಂಬೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

a) ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು .
ಬಿ) ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು . ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು .
ಸಿ) ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು .
ಡಿ) ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಬಹುಶಃ ಅದು ಸಾಕು. ಇವುಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ನಿರ್ಧಾರ, ಅವರನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಅದು ಫಲ ನೀಡುತ್ತದೆ ;-). ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯ?ಪ್ರವೀಣ "ಎರಡು ಪ್ಲಸ್ ಎರಡು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ" ತಪ್ಪು ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅತ್ಯಂತ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರುವುದು ಮುಖ್ಯ. ನಾನು ಎಲ್ಲೋ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದರೆ ತಕ್ಷಣ ಕ್ಷಮೆಯಾಚಿಸುತ್ತೇನೆ =)

ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಉದ್ದ, ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲದ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು

ಸೂಚನೆ: ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಸರಿಯಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ: ಮತ್ತು , ಆದರೆ ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಪರಿಹಾರ:ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

ಉತ್ತರ:

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾನು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ

ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗ - ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನೀವು ಅಳತೆಗೆ ಸೆಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ: 1 ಘಟಕ. = 1 ಸೆಂ (ಎರಡು ನೋಟ್ಬುಕ್ ಕೋಶಗಳು), ನಂತರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ನಿಯಮಿತ ಆಡಳಿತಗಾರನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಹೌದು, ಪರಿಹಾರವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ಹೆಚ್ಚು ಇವೆ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳುನಾನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ:

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: "ಘಟಕಗಳು". ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಏನೆಂದು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ, ಮಿಲಿಮೀಟರ್, ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್, ಮೀಟರ್ ಅಥವಾ ಕಿಲೋಮೀಟರ್. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಣಿತದ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆ: "ಘಟಕಗಳು" - "ಘಟಕಗಳು" ಎಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ ಶಾಲೆಯ ವಸ್ತು, ಇದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:

ಗಮನ ಕೊಡಿ ಪ್ರಮುಖ ತಾಂತ್ರಿಕ ತಂತ್ರ – ಮೂಲದಿಂದ ಗುಣಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ಗಣಿತದ ಶೈಲಿಯು ಮೂಲದಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ (ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ). ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: . ಸಹಜವಾಗಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡುವುದು ತಪ್ಪಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಆದರೆ ಇದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಒಂದು ನ್ಯೂನತೆ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರ ಕಡೆಯಿಂದ ಕ್ವಿಬ್ಲಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಗುರುತರವಾದ ವಾದವಾಗಿದೆ.

ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಆಗಾಗ್ಗೆ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ . ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಹೌದು, ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹೀಗೆ: . ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದೇ? . ಹೀಗೆ: . ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯು ಬೆಸವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರನೇ ಬಾರಿಗೆ 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂಬತ್ತರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ: . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ:
ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ:ಮೂಲ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ನಾವು ಮೂಲದಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ - ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಭಾಗಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ: 4, 9, 16, 25, 36, 49, ಇತ್ಯಾದಿ.

ನಿರ್ಧಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳುಬೇರುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಶಿಕ್ಷಕರ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿಮ್ಮ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ದರ್ಜೆಯ ಮತ್ತು ಅನಗತ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಮೂಲದಿಂದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ವರ್ಗದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ:

ಡಿಗ್ರಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಯಮಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ನೀಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಅಥವಾ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು, ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಯಾವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಬಿಂದುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವಿಭಾಗವು 2 ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ನಾವು ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಗಡಿಯನ್ನು ಅದರ ಅಂತ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅದರ ಆರಂಭದಿಂದ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯದವರೆಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದು, ಆ ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಅದರ ಅಂತ್ಯ ಎಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆ: ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ: $\ಓವರ್‌ಲೈನ್(AB)$ – (ಇಲ್ಲಿ $A$ ಅದರ ಆರಂಭ, ಮತ್ತು $B$ ಇದರ ಅಂತ್ಯ).

ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ: $\overline(a)$ (Fig. 1).

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ವೆಕ್ಟರ್ $\ಓವರ್‌ಲೈನ್ (a)$ ನ ಉದ್ದವು $a$ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: $|\overline(a)|$

ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ನಾವು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ: 1. ಅವು ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್; 1. ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು ನಮೂದಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ $m$ ಮತ್ತು $n$ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $\overline (i )$ ಮತ್ತು $\overline(j)$ ಕ್ರಮವಾಗಿ $Ox$ ಮತ್ತು $Oy$ ಅಕ್ಷದ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ:

$\overline(c)=(m,n)$

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: $(x,y)$ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ $\overline(α)$. ಹುಡುಕಿ: ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ $xOy$ ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲದಿಂದ $\overline(OA)=\overline(a)$ ಅನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡೋಣ. $Ox$ ಮತ್ತು $Oy$ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ $OA_1$ ಮತ್ತು $OA_2$ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 3).

ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ $\ಓವರ್‌ಲೈನ್(OA)$ ಬಿಂದು $A$ ಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು $(x,y)$ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

$=x$, $[OA_2]=y$

ಈಗ ನಾವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉದ್ದವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

ಉತ್ತರ: $\sqrt(x^2+y^2)$.

ತೀರ್ಮಾನ:ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ $X$ ಮತ್ತು $Y$ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ಕ್ರಮವಾಗಿ $(-1.5)$ ಮತ್ತು $(7.3)$.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ $\overline(XY)$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ($ X$) ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ($Y$) ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವಾಹಕಗಳ ಮೊತ್ತ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ. ಆತ್ಮೀಯ ಸ್ನೇಹಿತರೆ, ಹಿಂದಿನ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪು ಇದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಪಕ(ತಿಳಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರ) ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳನ್ನು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇವೆ.

ವಾಹಕಗಳ ವಿಷಯದ ಸುತ್ತಲಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಂಶಗಳು:

ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

*ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ!

ಅಂದರೆ, ನಾವು ಬಳಸಿದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ವರ್ಗಾವಣೆನಮಗೆ ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸರಿಸಿ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನ ವಾಹಕಗಳು ಇರಬಹುದು.

ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಕೇತ

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ, ಮೊದಲು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಆರಂಭವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಕ್ಷರ.

ಮತ್ತೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆ(ಬಂಡವಾಳ):

ಬಾಣಗಳಿಲ್ಲದ ಪದನಾಮವು ಸಹ ಸಾಧ್ಯ:

AB ಮತ್ತು BC ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ವೆಕ್ಟರ್ AC ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇದನ್ನು AB + BC = AC ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮ.

ಅಂದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ - ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ (1) ಮತ್ತು (2) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ (1) ನ ಅಂತ್ಯವು ವೆಕ್ಟರ್ (2) ನ ಆರಂಭದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭವು ವೆಕ್ಟರ್ (1) ನ ಆರಂಭದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವು ವೆಕ್ಟರ್ (2) ನ ಅಂತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಸಮಾನಾಂತರ ಭಾಷಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಈ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಚಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಆರಂಭವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರ ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸರಿಸೋಣ ಬಿ, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಾನವಾದ ಒಂದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ:

ಹಲವಾರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಅದೇ ತತ್ವದಿಂದ:

* * *

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮ

ಈ ನಿಯಮವು ಮೇಲಿನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಜೊತೆ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರಂಭಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಬಿಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಆರಂಭವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎ, ಮತ್ತು ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಅದು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಮುಖ ಮಾಹಿತಿಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯ.

ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದದ ವೆಕ್ಟರ್, ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಮಾಹಿತಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ ವಿರುದ್ಧ ವೆಕ್ಟರ್ b, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂತಿಮ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು:

ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ

ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ:

ನಂತರ c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

ಒಂದು ವೇಳೆ

ನಂತರ c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅದರ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರ:

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಆಯತ ABCD ಯ ಎರಡು ಬದಿಗಳು 6 ಮತ್ತು 8 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕರ್ಣಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. AO ಮತ್ತು BO ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

AO-VO ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

ಅಂದರೆ, ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ AO ಮತ್ತು VO ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಬಿ. ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದ ಎಂಟು.

ರೋಂಬಸ್ನ ಕರ್ಣಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ AB + AD ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

AD ಮತ್ತು AB BC ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಕ್ರಿ.ಶ. ಆದ್ದರಿಂದ AB +AD =AB +BC =AC

AC ಎಂಬುದು ರೋಂಬಸ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಎಸಿ, ಇದು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರೋಂಬಸ್ ABCD ಯ ಕರ್ಣಗಳು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಓಮತ್ತು 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ AO + BO ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

AO ಮತ್ತು VO VO ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ವೆಕ್ಟರ್ OD ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ

AD ಎಂಬುದು ರೋಂಬಸ್‌ನ ಬದಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ AOD. ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ:

ರೋಂಬಸ್ ABCD ಯ ಕರ್ಣಗಳು ಪಾಯಿಂಟ್ O ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ AO - BO ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

AO-VO ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

AB ಎಂಬುದು ರೋಂಬಸ್‌ನ ಒಂದು ಬದಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ AOB ಯಲ್ಲಿ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AB ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಕಾಲುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ:

ಬದಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆ ತ್ರಿಕೋನ ABC 3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

AB-AC ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

CBಯು ಮೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮಬಾಹು ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಗಳು 3 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಷರತ್ತು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

27663. ವೆಕ್ಟರ್ a (6;8) ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

27664. ವೆಕ್ಟರ್ AB ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವೆಕ್ಟರ್. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (x, y), ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ವತಃ: =(x, y).

ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರ.

ಯಾವಾಗ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಪ್ರಸಿದ್ಧ ಜೊತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು A(x 1;y 1)ಮತ್ತು ಬಿ(X 2 ; ವೈ 2 ) ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:

= (x 2 - x 1; y 2 - ವೈ 1).

ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರ.

ಯಾವಾಗ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಪ್ರಸಿದ್ಧ ಜೊತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಎ (x 1;y 1;z 1 ) ಮತ್ತು ಬಿ (X 2 ; ವೈ 2 ; z 2 ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು:

= (X 2 - X 1 ; ವೈ 2 - ವೈ 1 ; z 2 - z 1 ).

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಸಮಗ್ರ ವಿವರಣೆವೆಕ್ಟರ್, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ. (ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿ 3).

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

1. ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ವಾಹಕಗಳುವಿ ಏಕೀಕೃತ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಹೊಂದಿವೆ ಸಮಾನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

2. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವಾಹಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾದ. ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

3. ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದದ ಚೌಕ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಚೌಕ ಮಾಡಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

4. ಶಸ್ತ್ರಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರಮೇಲೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

5. ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

6. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.