ವರ್ಗಮೂಲದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳ ತರಬೇತಿಗಾಗಿ ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್, ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಮತ್ತು ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು. ಕ್ರಿಯೆಯ ಈ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ರೆಡಿಸ್ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ಇದು ಈ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿದೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಮೊದಲು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳುಈ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಸರಿಯಾದ ರೂಪ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ಎರಡು ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ, ಏನೆಂದು ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಯಾವುದು. ನಾವು ನಿಮಗೆ ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿ - ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಟೇಲರ್ ಸರಣಿ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ, ಆದರೆ ಬಿಂದು x = 0. ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ನಮೂದುಗಳು ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ e^x, Sin(x), Cos(x) ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳು, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು , ಆದರೆ ವಾದಕ್ಕೆ ಪಾಯಿಂಟ್ 0 ನಲ್ಲಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾದದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯು TFCT ಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡು-ಬದಿಯ ಅನಂತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡು ಸರಣಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ; ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ "ಉದಾಹರಣೆ" ಮತ್ತು ನಂತರ "ಪರಿಹಾರ" ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. x0 ಅನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗೆ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಎಷ್ಟೇ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದ್ದರೂ ಪರವಾಗಿಲ್ಲ ಶುದ್ಧ ರೂಪ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ವ-ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಅನಂತ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಅಧಿಕಾರಗಳು z-a, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದೇ ಟೈಲರ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸರಣಿ, ಆದರೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಕಳೆದ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದಂತೆ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಹಂತ-ಹಂತದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕೇವಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದ, ಛೇದಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಾದವು ರೇಖೀಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ಆಗಿರುವಾಗ, ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ವಾದವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾದಾಗ ಚಿತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರದೇಶದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮುಂದಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವ ಕನಿಷ್ಠ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಇದು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾದಾಗ ಶೂನ್ಯ ಬಿಂದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೂ ಕೂಡ ಯಶಸ್ಸು ಕಾಣದೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೀವು ಪಾಯಿಂಟ್‌ವೈಸ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆಗಣನೆಯ ನಂತರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ಶಿಕ್ಷಕರು ಸರಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಪಡೆದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೈಟ್ ಸೇವೆಯ ಪ್ರಿಯ ಬಳಕೆದಾರರು, ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಹೊರಹೊಮ್ಮಬಹುದು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡುವುದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾತನಾಡಲು, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ನಿರ್ಮಾಣವು ಹೇಳಿದ್ದಕ್ಕೆ ಹೊರತಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ನೀವು ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬೇಕು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ. ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "a" ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಏಕವಚನ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಇದು ಅದರ ಭಾಗಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅನನುಭವಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ತೋರುವಷ್ಟು ಎಲ್ಲವೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು - ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ. ಕಾರ್ಯದ ಯಾವುದೇ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಆವರ್ತಕತೆ ಅಥವಾ ಅನಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ರೆಡಿಮೇಡ್ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು, ನಮ್ಮ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಡಜನ್ಗಟ್ಟಲೆ ವಿಭಿನ್ನ ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸರಣಿಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಪೇರಳೆಗಳನ್ನು ಶೆಲ್ ಮಾಡುವಷ್ಟು ಸುಲಭ, ನೀವು ಸೈಟ್‌ನ ಅನನ್ಯ ಸೇವೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ನೀವು ಸರಿಯಾದ ಲಿಖಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀವು ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೀರಿ, ಅದು ನಿಖರ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಲಿಖಿತ ರೂಪ. ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ ಸಲ್ಲಿಸಲು ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕ್ಲೀನ್ ಪ್ರತಿಗೆ ನಕಲಿಸಬಹುದು. ರಿಂಗ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಹ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದೆಂದು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಿಷಯಗಳ ದೃಷ್ಟಿ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಿರುವುದು ಮುಖ್ಯ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳುಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರು. ಈ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಗಮನಹರಿಸಿ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಲಾರೆಂಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ, ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ. ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದೇ? ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯ f(x) ಕೆಲವು ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳ ಮೊತ್ತವೇ? ಅಂದರೆ, ಯಾವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು? ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಎಫ್(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ. ಈ ಕಾರ್ಯ ಬದಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಗಿದೆ ಸರಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ- ಒಂದು ಬಹುಪದ - ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸಹ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x) ಗಾಗಿ (α - R; x 0 + R) ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ (n+1) ನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ) ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ x = α, ಇದು ನಿಜವೇ ಸೂತ್ರ:

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಬ್ರೂಕ್ ಟೇಲರ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನದರಿಂದ ಪಡೆದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುವ ನಿಯಮ:

1. ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ... ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
2. x=0 ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
3. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ತದನಂತರ ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
4. ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (-R;R), ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸೂತ್ರದ ಶೇಷ

R n (x) -> 0 ನಲ್ಲಿ n -> ಅನಂತತೆ. ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲನೆಯದು f(x) = e x ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು f (k) (x) = e x , ಅಲ್ಲಿ k ಎಲ್ಲಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ x = 0. ನಾವು f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ... ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, e x ಸರಣಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

2. f(x) = sin x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿ. ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ, ಜೊತೆಗೆ, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), ಅಲ್ಲಿ k ಯಾವುದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂದರೆ, ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, f(x) = sin x ಗಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರಬಹುದು:

3. ಈಗ f(x) = cos x ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿವೆ. ಈಗ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಟೇಲರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗಳು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ.

1. ಮೊದಲನೆಯದು f(x) = ln(1+x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಂತೆ, ನೀಡಲಾದ f(x) = ln(1+x) ಗಾಗಿ ನಾವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯ f(x) = ln(1+x) ಗಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2. ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು, ನಮ್ಮ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು f(x) = arctan x ಗಾಗಿ ಸರಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ x ಗೆ [-1;1] ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಅಷ್ಟೇ. ಈ ಲೇಖನವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಿದ ಟೇಲರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(x)ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎ, ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ನಂತರ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:

ಎಲ್ಲಿ ಆರ್ ಎನ್- ಉಳಿದ ಪದ ಅಥವಾ ಸರಣಿಯ ಶೇಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು:

, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ x ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ Xಮತ್ತು ಎ.

ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೇಳೆ ಎಕ್ಸ್ ಆರ್ ಎನ್®0 ನಲ್ಲಿ ಎನ್®¥, ನಂತರ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವು ಈ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖ ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ f(x)ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು X, ವೇಳೆ:

1) ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ;

2) ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಸರಣಿಯು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಲ್ಲಿ ಎ=0 ಎಂಬ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಬಳಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 1 f(x)= 2X.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X=0

f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2Xಎಲ್ಎನ್ 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2Xಎಲ್ಎನ್ ಎನ್ 2, f(n)( 0) = 2 0 ಎಲ್ಎನ್ ಎನ್ 2=ln ಎನ್ 2.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ -¥<X<+¥.

ಉದಾಹರಣೆ 2 X+4) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x)=ಇ X.

ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇ Xಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವರ ಮೌಲ್ಯಗಳು X=-4.

f(x)= ಇ X, f(-4) = ಇ -4 ;

f¢(x)= ಇ X, f¢(-4) = ಇ -4 ;

f¢¢(x)= ಇ X, f¢¢(-4) = ಇ -4 ;

f(n)(x)= ಇ X, f(n)( -4) = ಇ -4 .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು -¥ ಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ<X<+¥.

ಉದಾಹರಣೆ 3 . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ f(x)= ಎಲ್ಎನ್ Xಅಧಿಕಾರದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ( X- 1),

(ಅಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿರುವ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ X=1).

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸರಣಿಯು ಯಾವಾಗ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು

½ X- 1½<1. Действительно,

½ ವೇಳೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 ನಾವು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಲ್ಲಿ X=0 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (0;2].

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ (ಅಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ X=0) ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ:

(2) ,

(3) ,

(ಕೊನೆಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿ)

ಉದಾಹರಣೆ 4 . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ. ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ (1) ನಾವು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ Xಮೇಲೆ - X 2, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5 . ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (4), ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಬದಲಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ Xಸೂತ್ರದೊಳಗೆ -X, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು, ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ

(-1;1), ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡು ಸರಣಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ .

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (1)-(5) ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ( ಹಾ) ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು (1)-(5) ಪಡೆಯಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ Xವೆಚ್ಚ ಕೆ ( ಹಾ) m , ಇಲ್ಲಿ k ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ, m ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಟಿ=ಹಾಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾರವೆಂದರೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೂ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 6 . ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ X=3.

ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು X=3. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ (5):

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ -3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

ಉದಾಹರಣೆ 7 . ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧಿಕಾರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ( X-1) ಕಾರ್ಯಗಳು .

ಪರಿಹಾರ.

ನಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ , ಅಥವಾ 2< X£5.

16.1 ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು

ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್

ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ
, ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ
ಅನೇಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:

ನಂತರ ನೀವು ಈ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ
. ನಂತರ
.

ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

ನಲ್ಲಿ
:
.

ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಲ್ಲಿ
:
.

ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು ಎನ್ಒಮ್ಮೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ರೂಪದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

,

ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಟೇಲರ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ
ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ
.

ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿನಲ್ಲಿ
:

ಟೇಲರ್ (ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್) ಸರಣಿಯ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರು ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ
ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎನ್ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರು
ಮತ್ತು ಉಳಿದ
:,

.

ಉಳಿದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ
ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ:

, ಎಲ್ಲಿ
.
.

ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ
ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

1) ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ (ಟೇಲರ್) ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

2) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

3) ಈ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.

ಪ್ರಮೇಯ1 (ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ). ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ
. ಈ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು
, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ:
ನಿಗದಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಕಾರ್ಯದ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ
ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂ, ಅದು
, ನಂತರ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ
ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1 . ಪಾಯಿಂಟ್ ಸುತ್ತ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ
ಕಾರ್ಯ.

ಪರಿಹಾರ.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶ
.

ಉದಾಹರಣೆ2 . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಒಂದು ಹಂತದ ಸುತ್ತ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ
.

ಪರಿಹಾರ:

ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಇಡೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ
.

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಈ ಮಿತಿಯು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು
.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ಎ) ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

ಬಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಗಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ;

ಸಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ
.

ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ಎನ್.ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
.

ಈ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ , ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ .

ಉದಾಹರಣೆ4 . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ.

:

ಸಮ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ
, ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬೆಸ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಕಾರ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
.

ಈ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಏಕತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ5 .
.

ಪರಿಹಾರ.

ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು:
ಮತ್ತು
, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಹಿಂದಿನ ಸಾಲಿನಂತೆಯೇ, ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶ
. ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಏಕತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ
ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಮತ್ತು ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ, ಕಾರ್ಯ
- ಸಮ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣೆ.

ಉದಾಹರಣೆ6 . ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿ:
.

ಪರಿಹಾರ.

ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

ಇದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

ನಾವು ಈ ಗುಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯೋಣ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
. ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
ಘಾತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಮ್ಮುಖವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು
.

ಅಧ್ಯಯನದ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು
, ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ
ನಲ್ಲಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ7 . ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ
.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು, ನಾವು ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು), ಈ ಸರಣಿಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
,

ಅಂದರೆ, ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ
. ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ನಲ್ಲಿ

. ಈ ಸರಣಿಯು ಸಾಮರಸ್ಯದ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಲ್ಲಿ
ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.

ಲೀಬ್ನಿಜ್‌ನ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ
.

16.2 ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಅವುಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಎನ್ಸದಸ್ಯರು.

ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ-ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ;

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ
ಪರ್ಯಾಯ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲನೆಯ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಎನ್ನಿಯಮಗಳು, ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷವು ಈ ಸರಣಿಯ ಉಳಿದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ:
.

ಉದಾಹರಣೆ8 . ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
0.0001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
, ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು:

ನಾವು ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ: .

ಮೂರನೇ ಅವಧಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆ:

ನಿಗದಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಖರತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು
ಸರಣಿಯ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ ಸಾಕು, ಅಂದರೆ

.

ಹೀಗೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ9 . ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
0.001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಬರೆಯೋಣ
ಹಾಗೆ:
.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ
,

ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು
ಸರಣಿಯ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ ಸಾಕು.

ಅಥವಾ
.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಉದಾಹರಣೆ10 . ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ 0.001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಾಗಿ ಸಾಲಾಗಿ
ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ
. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೊದಲನೆಯ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ದೋಷವನ್ನು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ ಸದಸ್ಯರು. ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಅಂದರೆ 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎನ್ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ:
ಅಥವಾ
.

ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಎನ್= 6:
.

ಆದ್ದರಿಂದ,
.

ಉದಾಹರಣೆ11 . ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
0.0001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ
, ಆದರೆ ಈ ಸರಣಿಯು ಬಹಳ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು 9999 ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ! ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಿಯಮದಂತೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಇದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
.

ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ
ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅವಕಾಶ
, ನಂತರ .

ಆದ್ದರಿಂದ,
,

ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವ ಸಲುವಾಗಿ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:
.

ಸರಣಿಯ ಉಳಿದ ಭಾಗಗಳು
ಅದನ್ನು ತ್ಯಜಿಸೋಣ. ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ

ಅಥವಾ
.

ಹೀಗಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ 9999 ರ ಬದಲಿಗೆ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಾಕು.
.

ಸ್ವಯಂ ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

1. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಎಂದರೇನು?

2. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯು ಯಾವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

3. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

4. ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

5. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

6. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು?

ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:
,
ಎಲ್ಲಿ ಆರ್ ಎನ್- ಉಳಿದ ಪದ ಅಥವಾ ಸರಣಿಯ ಶೇಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು:
, ಅಲ್ಲಿ x ಸಂಖ್ಯೆಯು x ಮತ್ತು a ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.

f(x)=

ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 = ನಲ್ಲಿ
ಸಾಲು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 3 4 5 6 7
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು:

ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೇಳೆ X ಆರ್ ಎನ್→0 ನಲ್ಲಿ ಎನ್→∞, ನಂತರ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವು ಈ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ:
,
ಹೀಗಾಗಿ, f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ x ಅನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:
1) ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ;
2) ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಸರಣಿಯು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವಾಗ a = 0 ನಾವು ಎಂಬ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಬಳಿ:
,
ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ (ಪ್ರಾಥಮಿಕ) ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ:
ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು
, R=∞
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
actgx ಕಾರ್ಯವು x ನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ctg0=∞
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು


ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು
, -1
ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ f(x)= 2X.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X=0
f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2Xಎಲ್ಎನ್ 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2Xಎಲ್ಎನ್ ಎನ್ 2, f(n)( 0) = 2 0 ಎಲ್ಎನ್ ಎನ್ 2=ln ಎನ್ 2.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು -∞ ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ<X<+∞.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧಿಕಾರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ( X+4) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x)=ಇ X.
ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇ Xಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವರ ಮೌಲ್ಯಗಳು X=-4.
f(x)= ಇ X, f(-4) = ಇ -4 ;
f"(x)= ಇ X, f"(-4) = ಇ -4 ;
f""(x)= ಇ X, f""(-4) = ಇ -4 ;
…
f(n)(x)= ಇ X, f(n)( -4) = ಇ -4 .
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು -∞ ಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ<X<+∞.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ f(x)= ಎಲ್ಎನ್ Xಅಧಿಕಾರದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ( X- 1),
(ಅಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿರುವ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ X=1).
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
f(x)=lnx , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

d'Alembert's ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸರಣಿಯು ½x-1½ ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು<1 . Действительно,

½ ವೇಳೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 ನಾವು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಯಾವಾಗ x=0 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (0;2].

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ (1) ನಾವು x ಅನ್ನು -x 2 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
, -∞

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (4), ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ x ಬದಲಿಗೆ –x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ln(1+x)-ln(1-x) = -
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು, ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
. ಈ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-1;1) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡು ಸರಣಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ .
ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (1)-(5) ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ( ಹಾ) ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು (1)-(5) ಪಡೆಯಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ Xವೆಚ್ಚ ಕೆ ( ಹಾ) m , ಇಲ್ಲಿ k ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ, m ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಟಿ=ಹಾಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಪವರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾರವೆಂದರೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೂ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5a. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲು ನಾವು 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ಪ್ರಾಥಮಿಕಕ್ಕೆ:

ಭಿನ್ನರಾಶಿ 3/(1-3x) ಅನ್ನು 3x ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ವೇಳೆ |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ |x|< 1/3.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 6. x = 3 ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು X=3. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ (5):
=
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಅಥವಾ -3 ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ln(x+2) ಕಾರ್ಯದ ಅಧಿಕಾರಗಳಲ್ಲಿ (x -1) ಬರೆಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.


ಸರಣಿಯು , ಅಥವಾ -2 ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ< x < 5.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 8. f(x)=sin(πx/4) ಕಾರ್ಯವನ್ನು x =2 ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. t=x-2 ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ (3), ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು x ಬದಲಿಗೆ π / 4 t ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು -∞ ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞ಹೀಗಾಗಿ,
, (-∞

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು X, ಸೂಚಿಸಿದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ, ಮೊದಲನೆಯದು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ ಎನ್ಸದಸ್ಯರು ( ಎನ್- ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ), ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪಡೆದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯದ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಉಳಿದ rn (x) ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ:

• ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಉಳಿದವು ಮೊದಲ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಪದವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.
• ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಣಿಯು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಪದಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಉಳಿದವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: a X ).

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ln(3) ಅನ್ನು ಹತ್ತಿರದ 0.01 ಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. x=1/2 ಇರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ (ಹಿಂದಿನ ವಿಷಯದ ಉದಾಹರಣೆ 5 ನೋಡಿ):

ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಉಳಿದವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಶೇಷವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಹತ್ತಿರದ 0.0001 ಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ. 5 3 130 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ 130 ಅನ್ನು 130 = 5 3 +5 ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.



ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿಯು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಖರತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ:
, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದು.
ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅನೇಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಥವಾ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅನ್ವಯವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಸಹ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಸಾಧ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ 0 1 4 ಸಿನ್ (x) x ಅನ್ನು 10 -5 ರೊಳಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಅನುಗುಣವಾದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. "ಶಾಶ್ವತವಲ್ಲದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ" ವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ಪಾಪದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು Xಮೇಲೆ X, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಪದವನ್ನು ಪದದ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು (ಇದು ಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಲೀಬ್ನಿಜ್‌ನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು.
ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ 0 1 4 e x 2 ಅನ್ನು 0.001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
ಪರಿಹಾರ.
. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಣಿಯ ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯ ನಂತರ ನಾವು ಉಳಿದವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
0.0001<0.001. Следовательно, .