ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರ

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಯಾವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಬಿಂದುಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವಿಭಾಗವು 2 ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ನಾವು ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಗಡಿಯನ್ನು ಅದರ ಅಂತ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅದರ ಆರಂಭದಿಂದ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯದವರೆಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಅದರ ಅಂತ್ಯ ಎಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಹುದ್ದೆ: ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ: $\ಓವರ್‌ಲೈನ್(AB)$ – (ಇಲ್ಲಿ $A$ ಅದರ ಆರಂಭ, ಮತ್ತು $B$ ಇದರ ಅಂತ್ಯ).

ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ: $\overline(a)$ (Fig. 1).

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ವೆಕ್ಟರ್ $\ಓವರ್‌ಲೈನ್ (a)$ ನ ಉದ್ದವು $a$ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: $|\overline(a)|$

ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯಂತಹ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ನಾವು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ: 1. ಅವು ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್; 1. ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2).

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು ನಮೂದಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ $m$ ಮತ್ತು $n$ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು $\overline(i)$ ಮತ್ತು $\overline(j)$ ಕ್ರಮವಾಗಿ $Ox$ ಮತ್ತು $Oy$ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ:

$\overline(c)=(m,n)$

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ವೆಕ್ಟರ್ $\ಓವರ್‌ಲೈನ್(α)$ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ $(x,y)$. ಹುಡುಕಿ: ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ.

ನಾವು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ $xOy$ ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ. ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲದಿಂದ ನಾವು $\overline(OA)=\overline(a)$ ಅನ್ನು ಬದಿಗಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ. $Ox$ ಮತ್ತು $Oy$ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ $OA_1$ ಮತ್ತು $OA_2$ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 3).

ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ $\ಓವರ್‌ಲೈನ್(OA)$ ಬಿಂದು $A$ ಗೆ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು $(x,y)$ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

$=x$, $[OA_2]=y$

ಈಗ ನಾವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉದ್ದವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

ಉತ್ತರ: $\sqrt(x^2+y^2)$.

ತೀರ್ಮಾನ:ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ $X$ ಮತ್ತು $Y$ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: ಕ್ರಮವಾಗಿ $(-1.5)$ ಮತ್ತು $(7.3)$.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ $\overline(XY)$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ($ X$) ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ($Y$) ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

Yandex.RTB R-A-339285-1

ವೆಕ್ಟರ್ a → ನ ಉದ್ದವನ್ನು a → ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೇತವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್‌ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು O x y ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ a → ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು a x ಅನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಿ; ಆಯ್. ಒಂದು x ಮತ್ತು a y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ a → ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು (ಮಾಡ್ಯುಲಸ್) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ನಾವು ಮೂಲದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ O A → = a → ಅನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ A ಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳು A x ಮತ್ತು A y ಆಗಿ. ಈಗ ಕರ್ಣ O A ಯೊಂದಿಗೆ O A x A A y ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ O A 2 = O A x 2 + O A y 2 ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿಂದ O A = O A x 2 + O A y 2 . ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಆಯತಾಕಾರದ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು O A x 2 = a x 2 ಮತ್ತು O A y 2 = a y 2 , ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ, O A ನ ಉದ್ದವು O A → ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ O A → = O A x 2 + O A y 2.

ಇದರಿಂದ ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ a → = a x ; a y ಅನುಗುಣವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: a → = a x 2 + a y 2 .

ವೆಕ್ಟರ್ a → ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದರೆ ಸಮನ್ವಯ ವಾಹಕಗಳು a → = a x · i → + a y · j →, ನಂತರ ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು a → = a x 2 + a y 2, in ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಗುಣಾಂಕಗಳು a x ಮತ್ತು a y ವೆಕ್ಟರ್ a → in ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ a → = 7 ; ಇ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಆಯತಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಪರಿಹಾರ

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

ಉತ್ತರ: a → = 49 + ಇ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ a → = a x ; ಒಂದು ವೈ; ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಕ್ಸಿಜ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಒಂದು z, ವಿಮಾನದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕರಣದ ಸೂತ್ರದಂತೆಯೇ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ)

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (OA ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ), ಆದ್ದರಿಂದ O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು O A x = a x ; O A y = a y; O A z = a z; , ಮತ್ತು OA ಉದ್ದವು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ a → = a x ; ಒಂದು ವೈ; a z a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , ಇಲ್ಲಿ i → , j → , k → ಇವುಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ.

ಪರಿಹಾರ

ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಘಟನೆ a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು a → = 4, - 3, 5. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: a → = 5 2 .

ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದ

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಒಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗ. ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ A (a x ; a y) ಮತ್ತು B (b x ; b y), ಆದ್ದರಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ A B → ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (b x - a x ; b y - a y) ಅಂದರೆ ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು: A B → = (b x - a x) 2 + (ಬಿ ವೈ - ಎ ವೈ) 2

ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ A (a x ; a y ; a z) ಮತ್ತು B (b x ; b y ; b z) ಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ A B → ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ A 1, 3, B - 3, 1 ರಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ A B → ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

ಎರಡನೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

ಉತ್ತರ: A B → = 20 - 2 3 .

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಎ (0, 1, 2) ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಬಿ → ಉದ್ದವು 30 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ; ಬಿ (5 , 2 , λ 2) .

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್ A B → ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

ನಂತರ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು 30 ಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ λ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 ಮತ್ತು λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

ಉತ್ತರ: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಅಯ್ಯೋ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು A B → , A C → ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು (ಅಥವಾ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್) ನೀಡಲಿ, ಮತ್ತು ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್ B C → ಅಥವಾ C B → ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು △ ಎ ಬಿ ಸಿ ಮತ್ತು ಬದಿಯ ಬಿ ಸಿ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

A B → ಮತ್ತು A C → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 3 ಮತ್ತು 7 ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು π 3 ಆಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ಸಿ → ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ಸಿ → ನ ಉದ್ದವು ತ್ರಿಕೋನದ ಬಿ ಸಿ ಬದಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ △ ಎ ಬಿ ಸಿ . ತ್ರಿಕೋನದ A B ಮತ್ತು A C ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ತಿಳಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅವು ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 ಹೀಗೆ, B C → = 37 .

ಉತ್ತರ: ಬಿ ಸಿ → = 37 .

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು a → = a x 2 + a y 2 ಅಥವಾ a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 ಅಥವಾ A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು .

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ವಾಹಕಗಳು. ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದರೇನು, ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹೇಗೆ ಗುಣಿಸುವುದು, ಹಾಗೆಯೇ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಎರಡು ವಾಹಕಗಳು.

ಎಂದಿನಂತೆ, ಅತ್ಯಂತ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ವಲ್ಪ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗ:

ಇಲ್ಲಿ A ಬಿಂದುವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವು ಅದರ ಅಂತ್ಯವಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಅದರ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಆರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಅವರು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಉದ್ದಮತ್ತು ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶನ.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ಅವರು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ: ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್:

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದರೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು , ಹಾಗೆಯೇ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಕೊಲಿನಿಯರ್.

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಶೀರ್ಷಿಕೆ="k>0) ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಹ ದಿಕ್ಕಿನ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ">, и направленный в !} ಎದುರು ಭಾಗ, ವೇಳೆ , ಮತ್ತು ಇದರ ಉದ್ದವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಗೆ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿಮತ್ತು, ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಆರಂಭವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬೇಕು. ಮೊತ್ತ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಆರಂಭವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ:

ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತ್ರಿಕೋನ ನಿಯಮ.

ಮೂಲಕ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮ, ನೀವು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಮುಂದೂಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕು. ಮೊತ್ತ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ:

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ:

ಇದರಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮ: ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಲು, ನೀವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ಲಾಟ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್‌ನ ಅಂತ್ಯವು ಮೈನ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ):

ಹುಡುಕಲು ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನ, ನೀವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ವಾಹಕಗಳು ಇರುವ ಕಿರಣಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಈ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು:

ನಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಬ್ಯಾಂಕ್ ತೆರೆಯಿರಿಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು , ತದನಂತರ ವೀಡಿಯೊ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

1 . ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27709)

ಒಂದು ಆಯತದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 6 ಮತ್ತು 8 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು .

2. ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27710)

ಒಂದು ಆಯತದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 6 ಮತ್ತು 8 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು . (ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ).

3. ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27711)

ಒಂದು ಆಯತದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ ಓ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು .

4. ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27712)

ಒಂದು ಆಯತದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 6 ಮತ್ತು 8 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣಗಳು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಓ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು . (ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ).

5 . ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27713)

ರೋಂಬಸ್ನ ಕರ್ಣಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

6. ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27714)

ರೋಂಬಸ್ನ ಕರ್ಣಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ + ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

7.ಟಾಸ್ಕ್ 4 (ಸಂ. 27715)

ರೋಂಬಸ್ನ ಕರ್ಣಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ - .(ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ).

8.ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂಖ್ಯೆ 27716)

ರೋಂಬಸ್ನ ಕರ್ಣಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ - .

9 . ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27717)

ರೋಂಬಸ್ನ ಕರ್ಣಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಓಮತ್ತು 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ + ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

10. ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27718)

ರೋಂಬಸ್ನ ಕರ್ಣಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಓಮತ್ತು 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ - .(ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ).

11.ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27719)

ರೋಂಬಸ್ನ ಕರ್ಣಗಳು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಓಮತ್ತು 12 ಮತ್ತು 16 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು (ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸುವುದು).

12 ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂಖ್ಯೆ 27720)

ಎಬಿಸಿಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ + ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

13. ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27721)

ಪಕ್ಷಗಳು ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ 3 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ - (ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸುವುದು).

14 ಕಾರ್ಯ 4 (ಸಂ. 27722)

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಎಬಿಸಿ 3 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು . (ಹಿಂದಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ).

ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್ ಬಹುಶಃ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ತರಬೇತುದಾರನನ್ನು ಬಳಸಲು " ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯ", ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ
ಫೈರ್‌ಫಾಕ್ಸ್

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು, ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಯಾವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸೋಣ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಹುದ್ದೆ: ಎರಡು ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ: $\ಓವರ್‌ಲೈನ್(AB)$ – (ಇಲ್ಲಿ $A$ ಅದರ ಆರಂಭ, ಮತ್ತು $B$ ಇದರ ಅಂತ್ಯ).

ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರದಲ್ಲಿ: $\overline(a)$ (Fig. 1).

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ವೆಕ್ಟರ್ $\ಓವರ್‌ಲೈನ್ (a)$ ನ ಉದ್ದವು $a$ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: $|\overline(a)|$

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು ನಮೂದಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು, ಇಲ್ಲಿ $m$ ಮತ್ತು $n$ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು $\overline (i )$ ಮತ್ತು $\overline(j)$ ಕ್ರಮವಾಗಿ $Ox$ ಮತ್ತು $Oy$ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

$\overline(c)=(m,n)$

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಉದಾಹರಣೆ 1

$=x$, $[OA_2]=y$

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

ಉತ್ತರ: $\sqrt(x^2+y^2)$.

ಮಾದರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 2

ನಮ್ಮ ಶಾಲಾ ದಿನಗಳಿಂದಲೂ ಅದು ಏನು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಜೋಡಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ . ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ನಾವು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ವಿಭಾಗದ ನಿರ್ದೇಶನ . ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದು ಏನೆಂದು ಅಳೆಯುವುದು ಸರಳವಾದದ್ದು. ಅಥವಾ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಾವು ಈಗ ಈ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಗತ್ಯ:

- ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (x, y);
- ವೆಕ್ಟರ್;
- ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನ.

ಸೂಚನೆಗಳು:

ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರಬರೆಯೋಣ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ r²= x²+y². ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು r²ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ (x1;y1), ಅಂತಿಮ ಬಿಂದು (x2;y2). ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ Xಮತ್ತು ವೈನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ (X)ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ x=x2-x1, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ (y)ಕ್ರಮವಾಗಿ y=y2-y1.
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ x²+y². ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆರ್). ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವಿಭಾಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದು.
ಗಮನ!ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮುಂದಿನ ನೋಟ: r²= x²+y²+ z², ಎಲ್ಲಿ - (z)ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಕ್ಷ.