ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗದ ವಿಭಾಗ: ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

M 1, M 2, M 3 ಅಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರಲಿ. λ(λ≠-1) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ M 1 M 2 ವಿಭಾಗವನ್ನು M ಬಿಂದು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.
ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ M 1 ಮತ್ತು M 2 ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿರಲಿ: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M(x, y, z ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:
ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಎಂ 1 ಎಂ 2 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ , ಅಂದರೆ, λ=1 ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು (*) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

(**)

ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕೆಳಗಿನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ:

1. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2).
2. ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. D(x, y, z) ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ - ಅದರ ಮಧ್ಯದ ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳು.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು M(x 0 , y 0 , z 0) BC ಯ ಮಧ್ಯದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ (**) ಮತ್ತು M(7/2, ½, 4). ಪಾಯಿಂಟ್ D ಮಧ್ಯದ AM ಅನ್ನು λ=2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು (*), ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ C(4,1) ಯಿಂದ λ=1/4 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. B (8,5) ವೇಳೆ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ (*), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು x=3, y=0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. AB ವಿಭಾಗವನ್ನು C (3, -1) ಮತ್ತು D (1,4) ಅಂಕಗಳಿಂದ ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ C AD ಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (**) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಎಲ್ಲಿಂದ x 1 = 5, y 1 = -6. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಇದೇ ರೀತಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ: x 2 = -1, y 2 = 9.

M(x;y) ಬಿಂದುವು M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2), ಮತ್ತು ಅನುಪಾತ λ = M 1 M/MM 2 ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ M ವಿಭಾಗವು M 1 M 2 ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ M ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಎಂ 1 ಎಂ 2 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2

86. ಏಕರೂಪದ ರಾಡ್‌ನ A(3; -5) ಮತ್ತು 6(-1; 1) ತುದಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

87. ಏಕರೂಪದ ರಾಡ್ನ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವು ಪಾಯಿಂಟ್ M (1; 4) ನಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ P (-2; 2) ನಲ್ಲಿದೆ. ಈ ರಾಡ್ನ ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯ ಪಾಯಿಂಟ್ Q ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ

88. A(1; -3), 6(3; -5) ಮತ್ತು C(-5; 7) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

89. A(3; - 1) ಮತ್ತು B(2; 1) ಎಂಬ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ:

1) ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಬಿಂದು B ಗೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ;

2) ಪಾಯಿಂಟ್ N ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಪಾಯಿಂಟ್ A ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ B ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

90. M(2; -1), N(-1; 4) ಮತ್ತು P(-2; 2) ಬಿಂದುಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಅದರ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

91. ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ A(3; -5), B(5; -3), C(- 1; 3). ನಾಲ್ಕನೇ ಶೃಂಗ ಡಿ, ಬಿ ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

92. ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ A(-3; 5), B(1; 7) ಮತ್ತು ಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದು M(1; 1). ಎರಡು ಇತರ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.

93. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ABCD ಯ A(2; 3), 6(4; -1) ಮತ್ತು C(0; 5) ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ನಾಲ್ಕನೇ ಶೃಂಗ ಡಿ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

94. A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. B ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಅದರ ಮಧ್ಯದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

95. ಎ (1;-3) ಮತ್ತು ಬಿ (4; 3) ಅಂಕಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

96. A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. B ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಬದಿಯ AC ಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

97. A(3; -5), B(-3; 3) ಮತ್ತು C(-1; -2) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಶೃಂಗ A ಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

98. A(- 1; -1), B(3; 5), C(-4; 1) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಬದಿಯ BC ಯ ಮುಂದುವರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

99. A(3; -5), B(1; - 3), C(2; -2) ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. B ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

100. ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ A(1; -1), B(3; 3) ಮತ್ತು C(4; 5), ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇತರ ಎರಡರಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

101. ವಿಭಾಗದ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಿ (2; 2) ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ (1; 5) ಮೂಲಕ ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

102. ನೇರ ರೇಖೆಯು M 1 (-12; -13) ಮತ್ತು M 2 (- 2; -5) ಅಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ 3 ಆಗಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

103. ನೇರ ರೇಖೆಯು M (2; -3) ಮತ್ತು N (-6; 5) ಅಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಆರ್ಡಿನೇಟ್ -5 ಆಗಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

104. ಎ (7; -3) ಮತ್ತು ಬಿ (23;. -6) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಈ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

105. ಎ (5; 2) ಮತ್ತು ಬಿ (-4; -7) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಈ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

106. ಚತುರ್ಭುಜ A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) ಮತ್ತು D(5; 8) ನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಕರ್ಣೀಯ AC ಕರ್ಣ BD ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅನುಪಾತವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

107. ಚತುರ್ಭುಜ A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) ಮತ್ತು D(6; 10) ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಕರ್ಣಗಳ AC ಮತ್ತು BD ಯ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

108. ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ಲೇಟ್ A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ಮತ್ತು C(x 3; y 3) ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ,

ಸೂಚನೆ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವು ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ.

109. ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ ಛೇದನದ ಬಿಂದು M ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು ಬಿಂದುಗಳು A (2; -3) ಮತ್ತು B (-5; 1), ಮೂರನೇ ಶೃಂಗವು C ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ . ಎಂ ಮತ್ತು ಸಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

110. ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ಲೇಟ್ A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ಮತ್ತು C(x 3; y 3) ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದರೆ, ಹೊಸ ಏಕರೂಪದ ತ್ರಿಕೋನ ಫಲಕವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಫಲಕಗಳ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಸೂಚನೆ. ಸಮಸ್ಯೆ 108 ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ.

111. ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ತಟ್ಟೆಯು 12 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಚದರ ಕಟ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕಟ್ನ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಚೌಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ, ಅಕ್ಷಗಳು

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ಲೇಟ್ನ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 4). ಈ ಫಲಕದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

112. ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಪ್ಲೇಟ್ a ಮತ್ತು b ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಆಯತದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಕಟೌಟ್ ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕತ್ತರಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತವೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಪ್ಲೇಟ್ನ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 5). ಈ ಫಲಕದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

113. ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಪ್ಲೇಟ್ 2a ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕತ್ತರಿಸುವ ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಪ್ಲೇಟ್ನ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 6). ಫಲಕದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

114. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) ಮತ್ತು C(x 3; y 3) m, n ಮತ್ತು p ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೂರು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

115. ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು A (4; 2), B (7; -2) ಮತ್ತು C (1; 6) ಏಕರೂಪದ ತಂತಿಯಿಂದ ಮಾಡಿದ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ; ಅದು ಮುಖ್ಯ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ

ಈ ಸಾಲಿನ M, AB ವಿಭಾಗವನ್ನು X ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವಾಗ (ಅಂದರೆ ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ

AB), ನಂತರ ವಾಹಕಗಳು AM ಮತ್ತು MB ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 2) ಮತ್ತು ಅನುಪಾತ (1) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ವಿಭಾಗದ ಹೊರಗೆ ಇರುವಾಗ

AB, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ AM ಮತ್ತು MB ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (Fig. 3) ಮತ್ತು ಅನುಪಾತ (1) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಿಂದು M ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಲಿನ ಮೂಲಕ ಸಾಗಿದಾಗ ಸಂಬಂಧ (1) ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ಬಿಂದು A ಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದಾಗ, ಅನುಪಾತ (1) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಒಂದು ವೇಳೆ M ಬಿಂದುವು A ಯಿಂದ B ವರೆಗಿನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ AB ವಿಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಸಾಗಿದರೆ, ಅನುಪಾತ (1) ನಿರಂತರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, M ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ , ನಂತರ ಭಾಗ (1) ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಿಂದುವಿನ ಮತ್ತಷ್ಟು ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ (ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ, A B ಯ ಬಲಕ್ಕೆ), ಸಂಬಂಧ (1) ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Z ಸಾಕಷ್ಟು B ಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅನುಪಾತವು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ.

ರಿಂದ , ನಂತರ (§ 4 ರ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ 8 ರ ಗುಣದಿಂದ) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ, ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವಾಗ (ನಮ್ಮ ಚಿತ್ರ 3 ರಲ್ಲಿ, ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ), ನೇರವಾಗಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ (ಅದರ ಅಂಶವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಅನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ) , ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಪಾತ , - ಒಲವು -1.

ಈಗ M ಎರಡು ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗಳ "ಎಡ" ಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ, ಅದರಲ್ಲಿ A ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, AB ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅರ್ಧ-ರೇಖೆಗೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ಯಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತೆ, ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನುಪಾತವು -1 ರಿಂದ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ M ಎಡದಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ A ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ (Fig. 3, b), ಅನುಪಾತ (I), ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉಳಿದಿರುವಾಗ, ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ M ಬಿಂದು A ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದಾಗ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ M ಸ್ಥಾನವು -1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅನುಪಾತವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, AB ವಿಭಾಗದ ಹೊರಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅನುಪಾತವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, AM ಮತ್ತು MB ವಿಭಾಗಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ.

ಈಗ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ ಮತ್ತು O ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ B ಮೂಲಕ ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ M by . ನಂತರ

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ವಿಭಜಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ.

ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ: ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ O x y ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು A (x A, y A) ಮತ್ತು B (x B, y B) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು λ (ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ A B ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ C ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ C: x C ಮತ್ತು y C ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ಸ್ವಲ್ಪ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸೋಣ: "ಬಿಂದು ಸಿ ವಿಭಾಗ A B ಅನ್ನು λ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ". ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು C ಪಾಯಿಂಟ್ A B ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ). ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, A C ಮತ್ತು C B ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತವು λ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆ. ಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ A ವಿಭಾಗದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ B ಎಂಬುದು ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ C ವಿಭಾಗ BA A ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀಡಿದರೆ, ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ: .

ಸರಿ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸತ್ಯವೆಂದರೆ λ = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, C ಬಿಂದು A B ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಬಳಸಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು A, B ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ C ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ, ಹಾಗೆಯೇ A C → ಮತ್ತು C B → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಪಾಯಿಂಟ್ C λ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಭಾಗ A B ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸಮಾನತೆಗಳು ನಿಜ: O A → = (x A, y A) ಮತ್ತು O B → = (x B, y B).

ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ: ಅವರು ಪಾಯಿಂಟ್ C ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಪಾಯಿಂಟ್ C λ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎ ಬಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಮಾನತೆ A C = λ · C B ನಿಜ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು A C → ಮತ್ತು C B → ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ λ > 0, ನಂತರ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: A C → = λ · C B → .

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ: C B → = O B → - O C → .

A C → = λ · (O B → - O C →) .

ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು O C → = O A → + A C → ಎಂದು O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕು.

O A → ಮತ್ತು O B → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಅಗತ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ.

O A → = (x A , y A) ಮತ್ತು O B → = (x B , y B), ನಂತರ O A → + λ · O B → = (x A + λ · x B, y A + λ · y B).

ಹೀಗಾಗಿ, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ A B ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ C ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು λ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ: x C = x A + λ · x B 1 + λ ಮತ್ತು y C = y A + λ · y B 1 + λ .

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ: ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ O x y z, ನೀಡಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅಂಕಗಳು A (x A, y A, z A) ಮತ್ತು B (x B, y B, z B).

ಪಾಯಿಂಟ್ C λ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ A B ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ C ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಅದೇ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ:

O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ಅಂದರೆ:

O A → = (x A , y A , z A) ಮತ್ತು O B → = (x B , y B , z B) , ಆದ್ದರಿಂದ

O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 + λ)

ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ C, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ A B ವಿಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ λ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 + λ)

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ: ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿ ಎ ಬಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಐದರಿಂದ ಮೂರರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4) ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, λ = 5 3. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

ಉತ್ತರ: ಸಿ (- 3 2, 13 8, - 5 2)

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾ: A B C ತ್ರಿಕೋನದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)

ಪರಿಹಾರ

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಮಧ್ಯದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ (ಇದು M ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ 1 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ M ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

A D ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ A B C. ಪಾಯಿಂಟ್ M ಎಂಬುದು ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, M (x M, y M, z M) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. M, ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿ, ವಿಭಾಗ A D ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ 1 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. λ = 2.

ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎ ಡಿ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿ ಬಿ ಸಿ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3

ಉತ್ತರ: (1 3, 0, 7 3)

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು C ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು:

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),

ಅಲ್ಲಿ (xA; yA) ಮತ್ತು (xB; yB) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ AB ನ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ; ಸಂಖ್ಯೆ λ = AC/CB - ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ C ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಅನುಪಾತ, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (xC; yC).

AB ವಿಭಾಗವನ್ನು C ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಿಂದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ λ = 1 ಮತ್ತು xC ಮತ್ತು yC ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ λ ಎಂಬುದು ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಳತೆಯ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.

1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅದರ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ

ಉದಾಹರಣೆ 1.

A(-2; 3) ಮತ್ತು B(6; -9) ಅಂಕಗಳು AB ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಬಿಂದು C ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಇದು AB ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು xA = -2 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; xB = 6; yA = 3 ಮತ್ತು yB = -9. ನಾವು C(xC; yC) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.

ಹೀಗಾಗಿ, AB ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದು C, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (-2; 3) (ಚಿತ್ರ 1).
2. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಅದರ ಮಧ್ಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 2.

AB ವಿಭಾಗದ ಒಂದು ತುದಿಯು ಪಾಯಿಂಟ್ A, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (-3; -5), ಮತ್ತು ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ಪಾಯಿಂಟ್ C(3; -2) ಆಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದ ಎರಡನೇ ತುದಿಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ - ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, xA = -3 ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ; yA = -5; xC = 3 ಮತ್ತು yC = -2.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

3 = (-3 + xB)/2 ಮತ್ತು

2 = (-5 + uV)/2.

xB ಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತು yB ಗಾಗಿ ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: xB = 9 ಮತ್ತು yB = 1, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ B ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ (9; 1) ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. (ಚಿತ್ರ 2).

3. ಅದರ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಉದಾಹರಣೆ 3.

ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು D(1; 3), E(-1; -2) ಮತ್ತು F(4; -1) ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನದ A, B ಮತ್ತು C ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

D ಬಿಂದುವು AB ಬದಿಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಬಿಂದು E BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು F ಬಿಂದು AC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 3). ನೀವು ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನಾವು A(xA; yA), B(xB; yB) ಮತ್ತು C(xC; yC) ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು xC = (xA + xB) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು D, E ಮತ್ತು F ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. /2, yC = (yA + уВ)/2 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,

(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸೋಣ:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(yA + yC = -2.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; уВ = 2; уС = -6.

A(6; 4), B(-4; 2) ಮತ್ತು C(2; -6) ಅಂಕಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಗತ್ಯ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ.

4. ಈ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಉದಾಹರಣೆ 4.

ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು 3:5 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ C ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ B ಗೆ ಎಣಿಕೆ). AB ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳು A(2; 3) ಮತ್ತು B(10; 11) ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು xA = 2 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; xB = 10; yA = 3; уВ = 11; λ = AC/SV = 3/5. C(xC; yC) ಹುಡುಕಿ (ಚಿತ್ರ 4).

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 ಮತ್ತು yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು C ( 5; 6)

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: AC = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ವಿಭಾಗದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಿ ವರೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ: ಬಿಂದು ಬಿ ಯಿಂದ ಎ ಬಿಂದುವಿಗೆ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 5.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು 2: 3: 5 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಬಿಂದುವಿನಿಂದ B ಗೆ ಎಣಿಕೆ), ಅದರ ತುದಿಗಳು A (-11; 1) ಮತ್ತು B (9; 11) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಭಾಗದ ವಿಭಾಗ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

A ನಿಂದ B ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು C ಮತ್ತು D ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. C(xC; yC) ಮತ್ತು D(xD; yD) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, AC ಆಗಿದ್ದರೆ: CD: DB = 2: 3: 5.

ಪಾಯಿಂಟ್ C AB ವಿಭಾಗವನ್ನು λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 ಮತ್ತು yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಿ (-7; 3).

ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿ ಎಬಿ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. ಇದರರ್ಥ D ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (-1; 6).

5. ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಈ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ

ಉದಾಹರಣೆ 6.

ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳು ಎ (-8; -5) ಮತ್ತು ಬಿ (10; 4) ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ C ಮತ್ತು D ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ xA = -8 ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ; xB = 10; yA = -5; yB = 4 ಮತ್ತು n = 3. C(xC; yC) ಮತ್ತು D(xD; yD) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ಚಿತ್ರ 5).

ಪಾಯಿಂಟ್ C ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದು AB ವಿಭಾಗವನ್ನು λ = 1/2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು A ಯಿಂದ ಬಿಂದು ಬಿ ವರೆಗೆ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 ಮತ್ತು yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಿ (-2; -2).

CB ವಿಭಾಗದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು 1: 1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. ಹೀಗಾಗಿ, D(4; 1).

ವಿಭಾಗದ ಅಂಕಗಳು C (-2; -2) ಮತ್ತು D (4; 1).

ಗಮನಿಸಿ: AB ವಿಭಾಗವನ್ನು 2: 1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಾಯಿಂಟ್ D ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. + λyB) / (1 + λ).

ಉದಾಹರಣೆ 7.

A(5; -6) ಮತ್ತು B(-5; 9) ಅಂಕಗಳು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಐದು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

A ಯಿಂದ B ವರೆಗಿನ ಅನುಕ್ರಮ ವಿಭಾಗದ ಬಿಂದುಗಳು C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) ಮತ್ತು F(xF; yF) ಆಗಿರಲಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು xA = 5 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆ; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 ಮತ್ತು n = 5.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು C ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು AB ವಿಭಾಗವನ್ನು λ = 1/4 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ:

xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 ಮತ್ತು yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, ನಾವು C ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ (3; -3).

ಬಿಂದು D ಯಿಂದ AB ವಿಭಾಗದ ವಿಭಾಗವನ್ನು 2: 3 (ಅಂದರೆ λ = 2/3) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 ಮತ್ತು yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, ಆದ್ದರಿಂದ D (10)

ಪಾಯಿಂಟ್ E ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದು AB ವಿಭಾಗವನ್ನು λ = 2/3 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ:

XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 ಮತ್ತು yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. ಹೀಗೆ ಹೀಗಾಗಿ, ಇ(-1; 3).

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಫ್ ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು λ = 4/1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 ಮತ್ತು yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F (-3; 6).

ವಿಭಾಗದ ಅಂಕಗಳು ಸಿ (-2; -2); ಡಿ(4; 1); ಇ(-1; 3) ಮತ್ತು ಎಫ್(-3; 6).

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ? ವಿಭಾಗ ವಿಭಜನೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು, ನೋಂದಾಯಿಸಿ.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.