ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವೆಕ್ಟರ್ ಎ (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕ್ಯಾಂಡ್) ಮತ್ತು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ (ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕ್ಯಾಂಡ್) ನ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ (ಉತ್ಪನ್ನ) ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ:

1) ಅದರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. 155), ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

3) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ c ಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪದಗಳಿಗಿಂತ) ಇದರಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ ಬಲಗೈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ (§ 110).

ಹುದ್ದೆ: ಅಥವಾ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸೇರ್ಪಡೆ. ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಕೃತಿಯನ್ನು (ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ) ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಶೂನ್ಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವುದು ಸಹಜ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಈ ಒಪ್ಪಂದವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಟೀಕೆ 1. "ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ" ಎಂಬ ಪದದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ; cf. § 104, ಟಿಪ್ಪಣಿ 1).

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಬಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ಚಿತ್ರ 156).

1. ಮುಖ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ (ಚದರ) ಪ್ರದೇಶವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವು ಅಕ್ಷವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೆಕ್ಟರ್ k ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆ; ಮತ್ತು ಇವೆರಡೂ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು k ಅಥವಾ -k ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಈ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ವಾಹಕಗಳು k ಬಲಗೈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಎಡಗೈ).

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಂತೆ, ವೆಕ್ಟರ್ k ಅಥವಾ -k ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು -k ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಬಲಗೈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಎಡಗೈಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ). ಆದ್ದರಿಂದ,

ಉದಾಹರಣೆ 3. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 80 ಮತ್ತು 50 ಸೆಂ.ಮೀ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 30 ° ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಮೀಟರ್ ಅನ್ನು ಉದ್ದದ ಘಟಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ a

ಪರಿಹಾರ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಉದ್ದದ ಘಟಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವು 2000 ಸೆಂ.ಮೀ.ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಮತ್ತು 4 ರ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ಅಂಶಗಳ ಉದ್ದದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಉದ್ದದ ಘಟಕದ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ.ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಹಲವಾರು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಲದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ O ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಬಲದ ಕ್ಷಣವನ್ನು A ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಕ್ಷಣದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಬಲವು O ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಲವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂತರದಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹವು ಸಮತೋಲನದಲ್ಲಿರಲು, ದೇಹಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಬಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಾಹಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಶಕ್ತಿಗಳ ಕ್ಷಣಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಸಹ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಬಲಗಳು ಒಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಪಡೆಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರ್ದೇಶನಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಂತಹ ಬದಲಿ ಅಸಾಧ್ಯ. ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ನಿಖರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ.

7.1. ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಮೂರು ನಾನ್-ಕೊಪ್ಲಾನರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ c ಯ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ a ನಿಂದ ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್ b ಗೆ ಕಡಿಮೆ ತಿರುವು ಕಂಡುಬಂದರೆ ಬಲಗೈ ತ್ರಿವಳಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಡಗೈ ತ್ರಿವಳಿ (ಚಿತ್ರ 16 ನೋಡಿ).

ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು:

1. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ a ಮತ್ತು b, ಅಂದರೆ c ^ a ಮತ್ತು c ^ ಬಿ ;

2. ಎ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಬಿಬದಿಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ (ಚಿತ್ರ 17 ನೋಡಿ), ಅಂದರೆ.

3. ವಾಹಕಗಳು a, b ಮತ್ತು c ಬಲಗೈ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು x b ಅಥವಾ [a,b] ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಾನು ನೇರವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತೇನೆ, ಜಮತ್ತು ಕೆ(ಚಿತ್ರ 18 ನೋಡಿ):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ i xj =k.

1) ಕೆ ^ ಐ, ಕೆ ^ ಜೆ ;

2) |ಕೆ |=1, ಆದರೆ | ನಾನು x ಜೆ| = |i | |ಜೆ | ಪಾಪ(90°)=1;

3) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು i, j ಮತ್ತು ಕೆಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 16 ನೋಡಿ).

7.2 ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು xb =(b xa) (Fig. 19 ನೋಡಿ).

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a xb ಮತ್ತು b xa ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಒಂದೇ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ), ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಟ್ರಿಪಲ್ಸ್ a, b, a xb ಮತ್ತು a, b, b x a ವಿರುದ್ಧ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ). ಅದು axb = -(ಬಿ xa).

2. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

l >0 ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ (ಎ xb) ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ( ಎಲ್ a)x ಬಿ a ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಿ(ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a, ಎಲ್ಆದರೆ ಅದೇ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು). ಇದರರ್ಥ ವಾಹಕಗಳು ಎಲ್(ಎ xb) ಮತ್ತು ( ಎಲ್ a)x ಬಿಕೊಲಿನಿಯರ್. ಅವರ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅವು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಅದಕ್ಕೇ ಎಲ್(ಎ xb)= ಎಲ್ಒಂದು xb. ಇದು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಲ್<0.

3. ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು a ಮತ್ತು ಬಿಅವುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ a ||b<=>ಮತ್ತು xb =0.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, i *i =j *j =k *k =0 .

4. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(a+b) xc = a xc + ಬಿ xs.

ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೇ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

7.3 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ i, ಜಮತ್ತು ಕೆ:

ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗದ ದಿಕ್ಕು ಬಾಣದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು a =a x i +a y ನೀಡಲಿ ಜ+a z ಕೆಮತ್ತು b =b x i+ಬಿ ವೈ ಜ+b z ಕೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ):

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವು (7.1) ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ (7.2) ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ.

7.4. ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಎಮತ್ತು ಬಿ |ಎ xb | =|ಎ | * |b |sin g, ಅಂದರೆ S ಜೋಡಿಗಳು = |a x b |. ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, D S =1/2|a x b |.

ಒಂದು ಹಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಬಲದ ಕ್ಷಣದ ನಿರ್ಣಯ

A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಲವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ ಎಫ್ =ಎಬಿಹೋಗಲಿ ಬಿಡು ಬಗ್ಗೆ- ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ (ಚಿತ್ರ 20 ನೋಡಿ).

ಎಂದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ ಬಲದ ಕ್ಷಣ ಎಫ್ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಗ್ಗೆವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂ,ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಬಗ್ಗೆಮತ್ತು:

1) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ O, A, B;

2) ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ತೋಳಿನ ಬಲದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

3) OA ಮತ್ತು A B ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, M = OA x F.

ರೇಖೀಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ವೇಗ vಕೋನೀಯ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ ತಿರುಗುವ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ದೇಹದ ಬಿಂದು M ಡಬ್ಲ್ಯೂಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ, ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ v =w xr, ಅಲ್ಲಿ r =OM, ಅಲ್ಲಿ O ಅಕ್ಷದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 21 ನೋಡಿ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (x 1 , x 2 , ... , x n) n ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆದೇಶದ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ n-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x i (i = ) - ಘಟಕಗಳು,ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು,

ಉದಾಹರಣೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಟೋಮೊಬೈಲ್ ಸ್ಥಾವರವು 50 ಕಾರುಗಳು, 100 ಟ್ರಕ್‌ಗಳು, 10 ಬಸ್‌ಗಳು, ಕಾರುಗಳಿಗೆ 50 ಸೆಟ್ ಬಿಡಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಶಿಫ್ಟ್‌ಗೆ ಟ್ರಕ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಬಸ್‌ಗಳಿಗೆ 150 ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಈ ಸಸ್ಯದ ಉತ್ಪಾದನಾ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. (50, 100 , 10, 50, 150), ಐದು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಂಕೇತ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬೋಲ್ಡ್ ಲೋವರ್ಕೇಸ್ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಾರ್ ಅಥವಾ ಬಾಣದ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾ. ಎಅಥವಾ. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಘಟಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (3, 2, 5, 0, 1)ಮತ್ತು (2, 3, 5, 0, 1) ವಿವಿಧ ವಾಹಕಗಳು.
ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.ಕೆಲಸ X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದλ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

ಮೊತ್ತX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ಮತ್ತು ವೈ= (y 1 , y 2 , ... ,y n) ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್.ಎನ್ -ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆರ್ n ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ n-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆರ್ಥಿಕ ವಿವರಣೆ. ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಆರ್ಥಿಕ ವಿವರಣೆ: ಸರಕುಗಳ ಜಾಗ (ಸರಕುಗಳು) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಕುಗಳುನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟವಾದ ಕೆಲವು ಸರಕು ಅಥವಾ ಸೇವೆಯನ್ನು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಲಭ್ಯವಿರುವ ಸರಕುಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ n ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ; ಗ್ರಾಹಕರು ಖರೀದಿಸಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಪ್ರಮಾಣವು ಸರಕುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

ಇಲ್ಲಿ x i ಎನ್ನುವುದು ಗ್ರಾಹಕರು ಖರೀದಿಸಿದ i-th ಸರಕುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸರಕುಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಭಜನೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಖರೀದಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸರಕುಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಸರಕುಗಳ ಜಾಗದ ವಾಹಕಗಳು ಸಿ = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ. ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇ 1 , ಇ 2 , ... , ಇ m n- ಆಯಾಮದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆλ 1, λ 2, ..., λ ಮೀ , ಇದರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆλ 1 ಇ 1 + λ 2 ಇ 2 +... + λ ಮೀ ಇಮೀ = 0; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ವಾಹಕಗಳ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಮಾನತೆ ಸಾಧ್ಯ . ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ ಆರ್ 3, ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಲು, ಅವು ಕೋಲಿನಿಯರ್ (ಸಮಾನಾಂತರ) ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3 . ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಲು, ಅವು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಆಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ (ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ).

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್‌ಗಳು. ಕೊಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ a, b, cಎಂದು ಕರೆದರು ಬಲ, ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲದಿಂದ ವೀಕ್ಷಕರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ತುದಿಗಳನ್ನು ಬೈಪಾಸ್ ಮಾಡಿದರೆ a, b, cನೀಡಿರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ a, b, c -ಮೂರು ಬಿಟ್ಟರು. ಎಲ್ಲಾ ಬಲ (ಅಥವಾ ಎಡ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅದೇ ಆಧಾರಿತ.

ಆಧಾರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಟ್ರೋಕಾ ಇ 1, ಇ 2 , ಇ 3 ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆರ್ 3 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರದ, ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು ಸ್ವತಃ ಇ 1, ಇ 2 , ಇ 3 - ಮೂಲಭೂತ. ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎ= x 1 ಇ 1+x2 ಇ 2 + x 3 ಇ 3, (1.1)

ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿರುವ (1.1) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು x 1 , x 2 , x 3 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳುಎಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಇ 1, ಇ 2 , ಇ 3 ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎ(x 1, x 2, x 3).

ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರ. ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಇ 1, ಇ 2 , ಇ 3 ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಉದ್ದವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಆಧಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್, ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x 1 , x 2 , x 3 - ಆಯತಾಕಾರದ.ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದು i, j, k.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಆರ್ 3 ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸರಿಯಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ (0, i, j, k}.

ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲಾಕೃತಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲಾಕೃತಿ ಎವೆಕ್ಟರ್ ಗೆ ಬಿವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿ, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ ಸಿವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು b,ಅಂದರೆ
ಸಿ= |ಎ||ಬಿ|ಪಾಪ( ಎ^ಬಿ).

2. ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿಪ್ರತಿ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ.

3. ವಾಹಕಗಳು a, ಬಿಮತ್ತು ಸಿ, ಸೂಚಿಸಿದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸಿಪದನಾಮವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ c =[ab] ಅಥವಾ
c = a × ಬಿ.

ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಕೋಲಿನಿಯರ್, ನಂತರ ಪಾಪ( a^b) = 0 ಮತ್ತು [ ab] = 0, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, [ aa] = 0. ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು: [ ij]=ಕೆ, [jk] = i, [ಕಿ]=ಜ.

ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ i, j, kನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎ(a 1 , a 2 , a 3), ಬಿ(b 1, b 2, b 3), ನಂತರ

ಮಿಶ್ರ ಕೆಲಸ. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿ,ನಂತರ ಅಂತಹ ಮೂರು ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿಶ್ರ ಕೆಲಸಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ ಬಿ ಸಿ

ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ a, bಮತ್ತು ಸಿಆಧಾರದಲ್ಲಿ i, j, kಅವರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ
ಎ(a 1 , a 2 , a 3), ಬಿ(ಬಿ 1, ಬಿ 2, ಬಿ 3), ಸಿ(c 1, c 2, c 3), ನಂತರ

.

ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ, ಮೂರು ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳು ಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸೂಚಿಸಿದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ; ಅದು ಮೂರು ಆಗಿದ್ದರೆ a, b, c -ಬಿಟ್ಟು, ನಂತರ ಎ ಬಿ ಸಿ<0 и V = - ಎ ಬಿ ಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿ =|ಎ ಬಿ ಸಿ|.

ಮೊದಲ ಅಧ್ಯಾಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಜೊತೆಗಿನ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೋಡರೆಕ್ಷನಲ್ ಎ,ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಓ. ಚಿಹ್ನೆ ಆರ್=ಓಂಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, a, AB ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು|ಎ|, | ಎಬಿ|ವಾಹಕಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಮತ್ತು ಎಬಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.2. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ= 2ಮೀ+4ಎನ್ಮತ್ತು ಬಿ= m-n, ಎಲ್ಲಿ ಮೀಮತ್ತು n-ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮೀಮತ್ತು ಎನ್ 120 o ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: cos φ = ab/ab ab =(2ಮೀ+4ಎನ್) (m-n) = 2ಮೀ 2 - 4ಎನ್ 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; ಎ 2 = (2ಮೀ+4ಎನ್) (2ಮೀ+4ಎನ್) =
= 4ಮೀ 2 +16mn+16ಎನ್ 2 = 4+16(-0.5)+16=12, ಅಂದರೆ a = . b = ; ಬಿ 2 =
= (m-n)(m-n) = ಮೀ 2 -2mn+ಎನ್ 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, ಅಂದರೆ ಬಿ = . ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

ಉದಾಹರಣೆ 1.3.ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯುವುದು ಎಬಿ(-3,-2.6) ಮತ್ತು ಬಿ.ಸಿ.(-2,4,4), ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಎತ್ತರದ AD ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು S ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
S = 1/2 BC ಕ್ರಿ.ಶ. ನಂತರ AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| ಎಬಿ ×ಎಸಿ|. AC=AB+BC, ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಎ.ಸಿ.ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ
. .

ಉದಾಹರಣೆ 1.4 . ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎ(11,10,2) ಮತ್ತು ಬಿ(4,0,3) ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಸಿ,ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಮತ್ತು ಬಿಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಆದೇಶದ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ a, b, cಸರಿಯಾಗಿ ಇತ್ತು.

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಸಿ x, y, z ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಬಲ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ಸಿ ⊥ a, c ⊥ಬಿ, ಅದು ಸುಮಾರು= 0,cb= 0. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, c = 1 ಮತ್ತು ಎ ಬಿ ಸಿ >0.

x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು z = -4/3 x, y = -5/6 x ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ y ಮತ್ತು z ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: x 2 = 36/125, ಎಲ್ಲಿಂದ
x =± . ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು a b c > 0, ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

z ಮತ್ತು y ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: 625/6 x > 0, ಇದು x>0 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, x = , y = - , z =- .

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ (ಅಗತ್ಯವಿರುವವರಿಗೆ ತಕ್ಷಣದ ಲಿಂಕ್). ಇದು ಸರಿ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂತೋಷಕ್ಕಾಗಿ, ಜೊತೆಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಚಟ. ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕಾಡಿನೊಳಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದು ತಪ್ಪು. ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮರವಿದೆ, ಬಹುಶಃ ಪಿನೋಚ್ಚಿಯೋಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಸ್ತುವು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಅದೇ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಕಡಿಮೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ಅನೇಕರಿಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಈಗಾಗಲೇ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಾರದು. ಕಾಗುಣಿತದಂತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಸಂತೋಷವಾಗಿರುತ್ತೀರಿ =)

ವಾಹಕಗಳು ಎಲ್ಲೋ ದೂರದಲ್ಲಿ ಮಿಂಚಿದರೆ, ದಿಗಂತದಲ್ಲಿ ಮಿಂಚಿನಂತೆ, ಅದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಪಾಠದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುವಾಹಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಅಥವಾ ಮರುಪಡೆಯಲು. ಹೆಚ್ಚು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಓದುಗರು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಆಯ್ದವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು;

ಏನು ತಕ್ಷಣವೇ ನಿಮಗೆ ಸಂತೋಷವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ನಾನು ಚಿಕ್ಕವನಿದ್ದಾಗ, ನಾನು ಎರಡು ಅಥವಾ ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಕಣ್ಕಟ್ಟು ಮಾಡಬಲ್ಲೆ. ಇದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಈಗ ನೀವು ಕಣ್ಕಟ್ಟು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಕೇವಲ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಾಹಕಗಳು, ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಫ್ಲಾಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆ? ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಹುಟ್ಟಿದ್ದು ಹೀಗೆ - ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ!

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆಯೇ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು. ಇವು ನಾಶವಾಗದ ಅಕ್ಷರಗಳಾಗಲಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯೇ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ: . ಇತರ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಡ್ಡ ಹೊಂದಿರುವ ಚದರ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲು ನಾನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಒಳಗಿದ್ದರೆ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶವು NUMBER:

ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶವು VECTOR ಆಗಿದೆ: , ಅಂದರೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಲಬ್. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ. ವಿವಿಧ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಪದನಾಮಗಳು ಸಹ ಬದಲಾಗಬಹುದು, ನಾನು ಪತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ.

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಮೊದಲು ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದವಾಹಕಗಳು, ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಉದ್ದಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ; ವೆಕ್ಟರ್ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧಾರವು ಸರಿಯಾದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ತುಂಡಾಗಿ ಒಡೆಯೋಣ, ಇಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸಂಗತಿಗಳಿವೆ!

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಬಹುದು:

1) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಕೆಂಪು ಬಾಣಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೂಲ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ. ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ: – "a" ಅನ್ನು "be" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, "a" ನೊಂದಿಗೆ "ಇರು" ಅಲ್ಲ. ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶ VECTOR ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ (ರಾಸ್ಪ್ಬೆರಿ ಬಣ್ಣ) ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ .

3) ಈಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ! ನೀಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ LENGTH (ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಡುಗೆಂಪು ವೆಕ್ಟರ್) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಕಪ್ಪು ಛಾಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸೂಚನೆ : ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಾಮಮಾತ್ರದ ಉದ್ದವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ LENGTH ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಸೂತ್ರವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅರ್ಥವೇನು? ಮತ್ತು ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:

ನಾವು ಎರಡನೇ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣ (ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆ) ಅದನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು (ಕೆಂಪು ಛಾಯೆ) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

4) ಅಷ್ಟೇ ಮುಖ್ಯವಾದ ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ . ಸಹಜವಾಗಿ, ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ (ರಾಸ್ಪ್ಬೆರಿ ಬಾಣ) ಸಹ ಮೂಲ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ.

5) ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಆಧಾರದಇದು ಹೊಂದಿದೆ ಬಲದೃಷ್ಟಿಕೋನ. ಬಗ್ಗೆ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆನಾನು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಿದೆ ವಿಮಾನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾನು ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ ಬಲಗೈ. ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ತೋರುಬೆರಳುವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಬೆರಳುವೆಕ್ಟರ್ ಜೊತೆ. ಉಂಗುರ ಬೆರಳು ಮತ್ತು ಕಿರುಬೆರಳುಅದನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಅಂಗೈಗೆ ಒತ್ತಿರಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹೆಬ್ಬೆರಳು- ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಲ-ಆಧಾರಿತ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ (ಇದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿದೆ). ಈಗ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ ( ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಬೆರಳುಗಳು) ಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹೆಬ್ಬೆರಳು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಳಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೂಡ ಬಲ-ಆಧಾರಿತ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು: ಯಾವ ಆಧಾರವು ಎಡ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? ಅದೇ ಬೆರಳುಗಳಿಗೆ "ನಿಯೋಜಿಸು" ಎಡಗೈವಾಹಕಗಳು, ಮತ್ತು ಜಾಗದ ಎಡ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಎಡ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೆಬ್ಬೆರಳು ಕಡಿಮೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ). ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ನೆಲೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ "ಟ್ವಿಸ್ಟ್" ಅಥವಾ ಓರಿಯಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್. ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ದೂರದ ಅಥವಾ ಅಮೂರ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಾರದು - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನ್ನಡಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು "ನೋಡುವ ಗಾಜಿನಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ವಸ್ತುವನ್ನು ಎಳೆದರೆ", ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಅದನ್ನು "ಮೂಲ" ದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೂಲಕ, ಕನ್ನಡಿಯ ಮೇಲೆ ಮೂರು ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ ;-)

...ನೀವು ಈಗ ತಿಳಿದಿರುವುದು ಎಷ್ಟು ಒಳ್ಳೆಯದು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ-ಆಧಾರಿತಆಧಾರಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಉಪನ್ಯಾಸಕರ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಭಯಾನಕವಾಗಿವೆ =)

ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ "ಮಡಿಸುತ್ತದೆ". ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹೇಳುವಂತೆ ಅಂತಹ ಪ್ರದೇಶಗಳು, ಅವನತಿ ಹೊಂದುತ್ತವೆಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸೈನ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರದೇಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ವೇಳೆ , ನಂತರ . ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಇತರರ ಜೊತೆಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕಅದರಿಂದ ಸೈನ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು.

ಸರಿ, ಬೆಂಕಿಯನ್ನು ಬೆಳಗಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

a) ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

b) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಇಲ್ಲ, ಇದು ಮುದ್ರಣದೋಷವಲ್ಲ, ನಾನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿನ್ಯಾಸವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ!

ಎ) ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಉದ್ದವೆಕ್ಟರ್ (ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ). ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

ಉತ್ತರ:

ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿದರೆ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ - ಘಟಕಗಳು.

ಬಿ) ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಚೌಕವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉತ್ತರ:

ಉತ್ತರವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ; ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ, ಪ್ರಕಾರವಾಗಿ, ಆಯಾಮವು ಚದರ ಘಟಕಗಳು.

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಏನನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಸ್ಪಷ್ಟಉತ್ತರ ಇದು ಅಕ್ಷರಶಃ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಶಿಕ್ಷಕರಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಕ್ಷರಸ್ಥರಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ನಿಯೋಜನೆಯು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗೆ ಮರಳಲು ಉತ್ತಮ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ದೂರದ ಕ್ವಿಬಲ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ - ಉತ್ತರವು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸರಳವಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಯಂತ್ರಣದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

"en" ಎಂಬ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಯಿತು? ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದಿತ್ತು, ಆದರೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನಾನು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಪದನಾಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

DIY ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಜನಪ್ರಿಯ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವಿದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಹಿಂಸಿಸುತ್ತವೆ.

ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಜ:

1) ಮಾಹಿತಿಯ ಇತರ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಐಟಂ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇರಲಿ.

2) - ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

3) - ಸಹಾಯಕ ಅಥವಾ ಸಹಾಯಕವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನುಗಳು. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಹೊರಗೆ ಚಲಿಸಬಹುದು. ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಅಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು?

4) - ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ವಿತರಕವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನುಗಳು. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿಲ್ಲ.

ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ:ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಮ್ಮ ಚಿಕಣಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:

(1) ಸಹಾಯಕ ಕಾನೂನುಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಹೊರಗಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

(2) ನಾವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "ತಿನ್ನುತ್ತದೆ". ಉದ್ದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು.

(3) ಉಳಿದವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಬೆಂಕಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮರವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸಮಯ ಇದು:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ . ಕ್ಯಾಚ್ ಎಂದರೆ "tse" ಮತ್ತು "de" ವಾಹಕಗಳು ಸ್ವತಃ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿರುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಮತ್ತು 4 ರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೂರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

1) ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ. ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ಮಾತುಗಳಿಲ್ಲ!

(1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

(2) ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ.

(3) ಸಹಾಯಕ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಆಚೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಅನುಭವದೊಂದಿಗೆ, 2 ಮತ್ತು 3 ಹಂತಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು.

(4) ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳು ಸೊನ್ನೆಗೆ (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ನೈಸ್ ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ ಕಾರಣ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

(5) ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದದ್ದು:

2) ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಉದಾಹರಣೆ 3 ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ:

3) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಪರಿಹಾರದ 2-3 ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಿತ್ತು.

ಉತ್ತರ:

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಗಮನಹರಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನೋಡೋಣ ;-)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ

, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು "ಹಾಕುತ್ತೇವೆ" ಮತ್ತು ನಾವು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ- ಮೊದಲು "ve" ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ನಂತರ "ಡಬಲ್-ವೆ" ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು:

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಕೆಳಗಿನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:
ಎ)
b)

ಪರಿಹಾರ: ಚೆಕ್ ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್): .

ಎ) ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಹೀಗಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

b) ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉತ್ತರ: ಎ) ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ, ಬಿ)

ಇಲ್ಲಿ, ಬಹುಶಃ, ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಮಾಹಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಈ ವಿಭಾಗವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಒಂದೆರಡು ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ರೈಲಿನಂತೆ ಸಾಲುಗಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಗುರುತಿಸಲು ಕಾಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೊದಲು, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಮಿಶ್ರ ಕೆಲಸ ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಅಲ್ಲದವಾಹಕಗಳು, ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಪರಿಮಾಣ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆಧಾರವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ “+” ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವು ಬಿಟ್ಟರೆ “–” ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ. ನಮಗೆ ಅಗೋಚರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

2) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆ, ನೀವು ಊಹಿಸುವಂತೆ, ಪರಿಣಾಮಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

3) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನಾನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು NUMBER ಆಗಿದೆ: . ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ವಿನ್ಯಾಸವು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು;

ಎ-ಪ್ರಿಯರಿ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ (ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕೆಂಪು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಅಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ : ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ.

4) ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಜಾಗದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಚಿಂತಿಸಬಾರದು. ಅಂತಿಮ ಭಾಗದ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು: .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೊದಲು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು →, b →, c → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಆದೇಶದ ಟ್ರಿಪಲ್‌ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನಾವು ತಿರುಗೋಣ.

ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ a → , b → , c → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡೋಣ. ಟ್ರಿಪಲ್ a → , b → , c → ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ವೆಕ್ಟರ್ c → ನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡವಾಗಿರಬಹುದು. ಟ್ರಿಪಲ್ a → , b → , c → ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ → ನ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ a → ನಿಂದ b → ವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ತಿರುವು ಮಾಡುವ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿಕ್ಕದಾದ ತಿರುವು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ನಡೆಸಿದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ a → , b → , c → ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲ, ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿದ್ದರೆ - ಬಿಟ್ಟರು.

ಮುಂದೆ, ಎರಡು ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು a → ಮತ್ತು b → ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ನಂತರ A B → = a → ಮತ್ತು A C → = b → ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ A D → = c → ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ, ಇದು A B → ಮತ್ತು A C → ಎರಡಕ್ಕೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ A D → = c →, ನಾವು ಎರಡು ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು (ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ನೋಡಿ).

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ a → , b → , c → ಆಫ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಆದೇಶದ ಟ್ರಿಪಲ್ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡವಾಗಿರಬಹುದು.

ಮೇಲಿನಿಂದ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

a → ಮತ್ತು b → ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ:

• a → ಮತ್ತು b → ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಎ → ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ → ಎರಡಕ್ಕೂ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ a → , b → , c → ನೀಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಾಹಕಗಳ a → ಮತ್ತು b → ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: a → × b →.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ a → = (a x ; a y ; a z) ಮತ್ತು b → = (b x ; b y ; b z) ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ಅಲ್ಲಿ i → ಸಹಭಾಗಗಳು, j → , j → ಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚೌಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ i → , j → , k → , ಎರಡನೇ ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್ a → , ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ b → ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b z b x b y b

ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · ix → az b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , ನಂತರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಆಂಟಿಕಾಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ a → × b → = - b → × a → ;
2. ವಿತರಣೆ a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ಅಥವಾ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ಸಹಭಾಗಿತ್ವ λ a → × b → = λ a → × b → ಅಥವಾ a → × (λ b →) = λ a → × b →, ಇಲ್ಲಿ λ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸರಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿಯ ಪುರಾವೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ಮತ್ತು b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k z - b → × a → , ಇದು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಂಟಿಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ - ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂರು ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ.

ಮೊದಲ ವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನಿಮಗೆ a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ವಾಹಕಗಳ a → ಮತ್ತು b → ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ a → ಮತ್ತು b →, ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2

ಉತ್ತರ: 15 2 2 .

ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಅದರ ಉದ್ದ, ಇತ್ಯಾದಿ. ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ a → = (a x; a y; a z) ಮತ್ತು b → = (b x ; b y ; b z) .

ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ, ನೀವು ಬಹಳಷ್ಟು ಕಾರ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a → ಮತ್ತು b → ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ಮತ್ತು c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a → ಮತ್ತು ಬಿ → ಗಳ ಸಹಭಾಗಿತ್ವದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). ಅವರ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ, ನೀಡಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + (- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆದರೆ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 -1 - 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ಉತ್ತರ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ಉದಾಹರಣೆ 3

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ i → - j → ಮತ್ತು i → + j → + k →, ಇಲ್ಲಿ i →, j →, k → ಇವುಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀಡಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ i → - j → × i → + j → + k →.

i → - j → ಮತ್ತು i → + j → + k → ವಾಹಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ (1; - 1; 0) ಮತ್ತು (1; 1; 1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ನಂತರ ನಾವು i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - ಜೆ → + 2 ಕೆ → .

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ i → - j → × i → + j → + k → ನೀಡಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (- 1 ; - 1 ; 2) ಹೊಂದಿದೆ.

ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

ಉತ್ತರ: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ A B → ಮತ್ತು A C → ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು A B → ಮತ್ತು A C → ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (- 1 ; 2 ; 2) ಮತ್ತು (0 ; 4 ; 1) ಹೊಂದಿವೆ. A B → ಮತ್ತು A C → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ, ಇದು A B → ಮತ್ತು A C → ಎರಡಕ್ಕೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

ಉತ್ತರ: - 6 i → + j → - 4 k → . - ಲಂಬ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು.

ಮೂರನೇ ವಿಧದ ತೊಂದರೆಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿವೆ. ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ವಾಹಕಗಳು a → ಮತ್ತು b → ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 3 ಮತ್ತು 4 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

ಪರಿಹಾರ

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೂಲಕ, ನಾವು 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು a → × a → ಮತ್ತು b → × b → 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ಮತ್ತು b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, ನಂತರ 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → .

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಕಾಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ಬಿ → . .

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, a → ಮತ್ತು b → ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು π 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಉಳಿದಿರುವುದು ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುವುದು: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · ಪಾಪ (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

ಉತ್ತರ: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವು a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ (ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ) ಈ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ವಾಹಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ a → ಮತ್ತು b →, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಸೈನ್ ಮೂಲಕ ಇಡಲಾಗಿದೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಪಾಪ ∠ a →, b →.

ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಲದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

A ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, B ಬಿಂದುವಿಗೆ F → ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಬಲದ ಕ್ಷಣದಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ A B → × F → ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ