Kuidas lahendada logaritmi võrrandeid. Logaritmilised võrrandid! saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega

Näited:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Kuidas lahendada logaritmilisi võrrandeid:

Logaritmilise võrrandi lahendamisel tuleks püüda see teisendada kujule \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ja seejärel teha üleminek \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Näide:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Lahendus: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Eksam:\(10>2\) - sobib DL-le Vastus:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Väga tähtis! Seda üleminekut saab teha ainult siis, kui:

Olete kirjutanud algse võrrandi jaoks ja lõpus kontrollite, kas leitud on ODZ-s. Kui seda ei tehta, võivad need ilmuda lisajuured, mis tähendab, et see on vale otsus.

Arv (või avaldis) vasakul ja paremal on sama;

Vasakul ja paremal olevad logaritmid on "puhtad", see tähendab, et seal ei tohiks olla korrutamist, jagamist jne. – ainult üksikud logaritmid mõlemal pool võrdusmärki.

Näiteks:

Pange tähele, et võrrandeid 3 ja 4 saab hõlpsasti lahendada, rakendades logaritmide vajalikke omadusi.

Näide . Lahendage võrrand \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Lahendus :

		Kirjutame ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Vasakul logaritmi ees on koefitsient, paremal on logaritmide summa. See häirib meid. Liigume need kaks eksponendisse \(x\) vastavalt omadusele: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Esitame logaritmide summa ühe logaritmina vastavalt omadusele: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Me taandasime võrrandi kujule \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ja kirjutasime üles ODZ, mis tähendab, et saame liikuda kujule \(f(x) =g(x)\ ).
		Juhtus . Me lahendame selle ja saame juured.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Kontrollime, kas juured sobivad ODZ-le. Selleks asendame \(x>0\) \(x\) asemel \(5\) ja \(-5\). Seda operatsiooni saab teha suu kaudu.
\(5>0\), \(-5>0\)		Esimene ebavõrdsus on tõsi, teine ​​mitte. See tähendab, et \(5\) on võrrandi juur, kuid \(-5\) mitte. Kirjutame vastuse üles.

Vastus : \(5\)

Näide : lahendage võrrand \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Lahendus :

		Kirjutame ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Tüüpiline võrrand, mis on lahendatud kasutades . Asendage \(\log_2⁡x\) tähega \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Saime tavalise. Otsime selle juuri.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Vastupidise asendamise tegemine
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Teisendame parempoolsed küljed, esitades need logaritmidena: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) ja \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Nüüd on meie võrrandid \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ja saame üle minna \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Vastavuse kontrollimine ODZ juured. Selleks asenda \(4\) ja \(2\) võrratuses \(x>0\) \(x\) asemel.
\(4>0\) \(2>0\)		Mõlemad ebavõrdsused on tõesed. See tähendab, et nii \(4\) kui ka \(2\) on võrrandi juured.

Vastus : \(4\); \(2\).

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Sissejuhatus

Vaimse koormuse kasv matemaatikatundides paneb mõtlema, kuidas hoida õpilastes huvi õpitava materjali ja aktiivsuse vastu kogu tunni vältel. Sellega seoses otsitakse uusi tõhusaid õppemeetodeid ja metoodilisi võtteid, mis aktiveeriksid õpilaste mõtteid ja ärgitaksid neid iseseisvalt teadmisi omandama.

Huvi tekkimine matemaatika vastu paljudes õpilastes oleneb suurel määral selle õpetamise metoodikast, sellest, kui oskuslikult kasvatustöö struktureeritakse. Õpilaste tähelepanu õigeaegne suunamine sellele, mida matemaatika õpib. üldised omadusedümbritseva maailma objekte ja nähtusi, käsitleb mitte objekte, vaid abstraktseid abstraktseid mõisteid, võib saavutada arusaama, et matemaatika ei riku seost reaalsusega, vaid, vastupidi, võimaldab seda sügavamalt uurida, teha üldistavaid teoreetilisi järeldusi, mida praktikas laialdaselt kasutatakse.

Osalemine pedagoogiliste ideede festivalil "Avatud Tund" 2004-2005 õppeaastal, pidasin tunni-loengu teemal “Logaritmiline funktsioon” (diplomi nr 204044). Pean seda meetodit antud juhul kõige edukamaks. Õppimise tulemusena on õpilastel üksikasjalik ja lühiülevaade teemast, mis hõlbustab järgmisteks tundideks valmistumist. Eelkõige teemal "Logaritmiliste võrrandite lahendamine", mis põhineb täielikult logaritmifunktsiooni ja selle omaduste uurimisel.

Põhiliste matemaatiliste mõistete kujundamisel on oluline luua õpilastes ettekujutus igaühe tutvustamise asjakohasusest ja nende rakendamise võimalusest. Selleks on vaja, et teatud mõiste definitsiooni sõnastamisel, töötades selle loogilise struktuuri kallal, tuleks kaaluda küsimusi selle esinemise ajaloo kohta. see kontseptsioon. See lähenemine aitab õpilastel mõista, et uus kontseptsioon on tegelikkuse faktide üldistus.

Logaritmide tekkimise ajalugu on üksikasjalikult välja toodud eelmise aasta töös.

Arvestades järjepidevuse olulisust matemaatika õpetamisel keskeriõppeasutuses ja ülikoolis ning vajadust järgida ühtsed nõudedÕpilastele pean sobivaks kasutada järgmist meetodit, et tutvustada õpilastele logaritmiliste võrrandite lahendamist.

Võrrandeid, mis sisaldavad muutujat logaritmi märgi all (eriti logaritmi aluses), nimetatakse logaritmiline. Mõelgem logaritmilised võrrandid tüüp:

Nende võrrandite lahendus põhineb järgmisel teoreemil.

1. teoreem. Võrrand on samaväärne süsteemiga

(2)

Võrrandi (1) lahendamiseks piisab võrrandi lahendamisest

ja asendada oma lahendused ebavõrdsuse süsteemiga

võrrandi (1) definitsioonipiirkonna määratlemine.

Võrrandi (1) juurteks on ainult need võrrandi (3) lahendid, mis rahuldavad süsteemi (4), st. kuuluvad võrrandi (1) määratlusvaldkonda.

Logaritmvõrrandite lahendamisel võib tekkida definitsioonivaldkonna laienemine (kõrvaljuurte omandamine) või kitsenemine (juurte kadumine). Seetõttu asendades võrrandi (3) juured süsteemiga (4), s.o. lahenduse kontrollimine on vajalik.

Näide 1: Lahenda võrrand

Lahendus:

Mõlemad tähendused X vastama süsteemi tingimustele.

Vastus:

Mõelge järgmise vormi võrranditele:

Nende lahendus põhineb järgmisel teoreemil

2. teoreem: Võrrand (5) on samaväärne süsteemiga

(6)

Võrrandi (5) juurteks on ainult need võrrandi juured, mis

kuuluvad tingimustega määratud määratluspiirkonda.

Vormi (5) logaritmilist võrrandit saab lahendada mitmel viisil. Vaatame peamisi.

1. POTENTISEERIMINE (logaritmi omaduste rakendamine).

Näide 2: Lahenda võrrand

Lahendus: 2. teoreemi alusel antud võrrand on samaväärne süsteemiga:

Lahendame võrrandi:

Ainult üks juur vastab kõigile süsteemi tingimustele. Vastus:

2. LOGARITMI MÄÄRATLUSE KASUTAMINE .

Näide 3: Otsi X, Kui

Lahendus:

Tähendus X= 3 kuulub võrrandi definitsiooni valdkonda. Vastus X = 3

3. TAHANDAMINE RUUTVÕRDANDIKS.

Näide 4: Lahenda võrrand

Mõlemad tähendused X on võrrandi juured.

Vastus:

4. LOGARIFITING.

Näide 5: Lahenda võrrand

Lahendus: Võtame võrrandi mõlema poole logaritmi alusele 10 ja rakendame omadust "võimsuse logaritm".

Mõlemad juured kuuluvad logaritmilise funktsiooni lubatud väärtuste vahemikku.

Vastus: X = 0,1; X = 100

5. VÄHENDAMINE ÜHELE ALUSELE.

Näide 6: Lahenda võrrand

Kasutame valemit ja läheme kõigis terminites 2. baaslogaritmi juurde:

Siis saab see võrrand järgmise kuju:

Kuna , siis on see võrrandi juur.

Vastus: X = 16

Nagu teate, korrutades avaldisi astmetega, nende eksponendid liidetakse alati (a b *a c = a b+c). See matemaatiline seadus tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvude eksponentide tabeli. Nad olid need, kes teenisid edasine avamine logaritmid. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja tülikat korrutamist lihtsa liitmise abil lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtsas ja arusaadavas keeles.

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on avaldis järgmisel kujul: log a b=c, st mis tahes logaritm mittenegatiivne arv(st mis tahes positiivset) "b" selle baasi "a" järgi loetakse "c" astmeks, milleni tuleb baas "a" tõsta, et lõpuks saada väärtus "b". Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, peate leidma sellise võimsuse, et 2-st kuni vajaliku võimsuseni saate 8. Kui olete oma peas arvutusi teinud, saame arvu 3! Ja see on tõsi, sest 2 astmel 3 annab vastuseks 8.

Logaritmide tüübid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Seal on kolm üksikud liigid logaritmilised avaldised:

1. Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
2. Kümnend a, kus alus on 10.
3. Mis tahes arvu b logaritm aluse a>1 suhtes.

Igaüks neist on otsustatud standardsel viisil, mis sisaldab logaritmilisi teoreeme kasutades lihtsustamist, redutseerimist ja järgnevat taandada ühele logaritmile. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks peaksite nende lahendamisel meeles pidama nende omadusi ja toimingute jada.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, st need ei kuulu arutlusele ja on tõde. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu saada paarisjuurt negatiivsed arvud. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida töötama isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

• Alus "a" peab alati olema suurem kui null ja mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
• kui a > 0, siis a b >0, selgub, et ka “c” peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10 x = 100. See on väga lihtne, tuleb valida aste, tõstes arvu kümmet, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 = 100.

Nüüd kujutame ette see väljend logaritmilises vormis. Saame logaritmi 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt kokku, et leida aste, milleni on etteantud arvu saamiseks vaja sisestada logaritmi baas.

Väärtuse täpseks määramiseks teadmata kraad peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõistus ja teadmised korrutustabelist. Kuid selleks suured väärtused vajate kraadide tabelit. Seda saavad kasutada isegi need, kes ei tea kompleksist üldse midagi matemaatilised teemad. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, milleni arv a tõstetakse. Ristmikul sisaldavad lahtrid arvuväärtusi, mis on vastuseks (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja võrratused

Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seega igasugune matemaatiline numbrilised avaldised saab kirjutada logaritmilise võrrandina. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada kui 81 baasi 3 logaritm, mis võrdub neljaga (log 3 81 = 4). Sest negatiivsed jõud reeglid on samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame selle logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid sektsioone on “logaritmide” teema. Allpool vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.

Antud avaldis järgmisel kujul: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline ebavõrdsus, kuna tundmatu väärtus "x" on logaritmi märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm alus kahele on suurem kui arv kolm.

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) eeldavad ühte või mitut konkreetset vastust. arvväärtusi, samas kui ebavõrdsused määratletakse piirkonnana vastuvõetavad väärtused ja selle funktsiooni murdepunktid. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute numbrite komplekt, nagu võrrandi vastuses, vaid pigem pidev seeria või numbrite komplekt.

Põhiteoreemid logaritmide kohta

Primitiivsete logaritmi väärtuste leidmise ülesannete lahendamisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Vaatame võrrandite näiteid esmalt üksikasjalikumalt.

1. Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
2. Korrutise logaritmi saab esitada kujul järgmine valem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul eelduseks on: d, s1 ja s2 > 0; a≠1. Saate esitada selle logaritmilise valemi tõestuse koos näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (omadused kraadi ) ja siis definitsiooni järgi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mis vajas tõestamist.
3. Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Valemi kujul olev teoreem võtab kasutusele järgmine vaade: log a q b n = n/q log a b.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika põhineb looduslikel postulaatidel. Vaatame tõestust.

Olgu logi a b = t, selgub a t =b. Kui tõstame mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;

aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmide probleemide tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need on ka lisatud kohustuslik osa matemaatika eksamid. Ülikooli sisseastumiseks või läbimiseks sisseastumiseksamid matemaatikas peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks ei ole ühest plaani või skeemi lahendamiseks ja määramiseks tundmatu väärtus Sellist asja nagu logaritm pole olemas, kuid saate seda rakendada iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul. teatud reeglid. Kõigepealt peaksite välja selgitama, kas väljendit saab lihtsustada või viia selleni üldine välimus. Lihtsusta pikki logaritmilised avaldised võimalik, kui kasutate nende omadusi õigesti. Saame nendega kiiresti tuttavaks.

Logaritmivõrrandite lahendamisel tuleb kindlaks teha, mis tüüpi logaritm meil on: näidisavaldis võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et nad peavad määrama võimsuse, mille baas 10 võrdub vastavalt 100 ja 1026. Lahenduste jaoks naturaallogaritmid vaja taotleda logaritmilised identiteedid või nende omadused. Vaatame lahendust näidetega logaritmilised probleemid erinevad tüübid.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.

1. Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja laiendada suur tähtsus arvud b lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada pealtnäha keeruline ja lahendamatu avaldis. Peate lihtsalt arvutama aluse ja seejärel võtma eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.

Ühtse riigieksami ülesanded

Logaritme leidub sageli sisseastumiseksamid, eriti palju logaritmilisi ülesandeid ühtses riigieksamil ( Riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (eksami lihtsaim testiosa), vaid ka C-osas (kõige keerulisemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema “Looduslikud logaritmid” täpset ja täiuslikku tundmist.

Näited ja probleemide lahendused on võetud ametlikult Ühtse riigieksami valikud. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4, seega 2x = 17; x = 8,5.

• Parim on taandada kõik logaritmid samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
• Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on näidatud positiivsetena, seega kui logaritmimärgi all oleva avaldise astendaja võetakse kordajaks välja, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.

Sissejuhatus

Logaritmid leiutati arvutuste kiirendamiseks ja lihtsustamiseks. Logaritmi idee, st arvude väljendamise idee sama baasi astmetena, kuulub Mihhail Stiefelile. Kuid Stiefeli ajal polnud matemaatika nii arenenud ja logaritmi ideed ei arenenud. Logaritmid leiutasid hiljem samaaegselt ja üksteisest sõltumatult Šoti teadlane John Napier (1550-1617) ja šveitslane Jobst Burgi (1552-1632) avaldas teose esimesena 1614. aastal. pealkirjaga "Hämmastava logaritmitabeli kirjeldus" andis Napieri logaritmiteooria piisavalt. täielikult, on logaritmide arvutamise meetod antud kõige lihtsam, seetõttu on Napieri eelised logaritmide leiutamisel suuremad kui Bürgil. Bürgi töötas Napieriga samal ajal laudadel, kuid pikka aega hoidis neid saladuses ja avaldas alles 1620. aastal. Napier omandas logaritmi idee umbes 1594. aastal. kuigi tabelid avaldati 20 aastat hiljem. Alguses nimetas ta oma logaritme "tehislikeks arvudeks" ja alles siis tegi ettepaneku nimetada neid "kunstlikke numbreid" ühes sõnas "logaritm", mis tõlkes kreeka keelest tähendab "korrelatsiooniarvud", millest üks võeti aritmeetilisest progressioonist ja teine geomeetriline progressioon, mis on spetsiaalselt selle jaoks valitud. Esimesed venekeelsed tabelid avaldati 1703. aastal. 18. sajandi imelise õpetaja osavõtul. L. F. Magnitski. Peterburi akadeemiku Leonhard Euleri töödel oli suur tähtsus logaritmiteooria kujunemisel. Ta oli esimene, kes käsitles logaritme astmeni tõstmise pöördväärtusena. Ta võttis kasutusele terminid "logaritmibaas" ja "mantissa". lihtsam kui Napieri logaritmid . Sellepärast kümnendlogaritmid mõnikord nimetatakse brigideks. Termini "iseloomustus" võttis kasutusele Briggs.

Neil kaugetel aegadel, kui targad hakkasid esimest korda mõtlema tundmatuid koguseid sisaldavatele võrdsustele, polnud ilmselt ühtegi münti ega rahakotti. Kuid seal oli hunnikuid, aga ka potte ja korve, mis sobisid suurepäraselt hoiumälude rolli, mis mahutasid teadmata arvu esemeid. Vanasti matemaatilisi probleeme Mesopotaamia, India, Hiina, Kreeka, teadmata kogused väljendasid paabulindude arvu aias, pullide arvu karjas, vara jagamisel arvesse võetud asjade kogumit. Kirjatundjad, ametnikud ja initsiatiivid on raamatupidamise alal hästi koolitatud salateadmised Preestrid said selliste ülesannetega üsna edukalt hakkama.

Meieni jõudnud allikad näitavad, et iidsetele teadlastele kuulusid mõned üldised tehnikad tundmatute kogustega ülesannete lahendamine. Siiski ei sisalda ükski papüürus ega savitahvel nende tehnikate kirjeldust. Autorid esitasid oma arvulisi arvutusi vaid aeg-ajalt nappide kommentaaridega, nagu: "Vaata!", "Tehke seda!", "Leidsite õige." Selles mõttes on erandiks kreeka matemaatiku Diophantuse Aleksandria (III sajand) "aritmeetika" - võrrandite koostamise ülesannete kogum koos nende lahenduste süstemaatilise esitusega.

Esimene laiemalt tuntuks saanud probleemide lahendamise käsiraamat oli aga 9. sajandi Bagdadi teadlase töö. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sõna "al-jabr" selle traktaadi araabiakeelsest nimest - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restaureerimise ja opositsiooni raamat") muutus aja jooksul üldtuntud sõnaks "algebra" ja al- Khwarizmi töö ise oli lähtepunktiks võrrandite lahendamise teaduse arendamisel.

Logaritmvõrrandid ja võrratused

1. Logaritmvõrrandid

Võrrandit, mis sisaldab tundmatut logaritmimärgi all või selle aluses, nimetatakse logaritmiliseks võrrandiks.

Lihtsaim logaritmiline võrrand on vormi võrrand

logi a x = b . (1)

Väide 1. Kui a > 0, a≠ 1, võrrand (1) mis tahes reaalarvu jaoks b Sellel on ainus otsus x = a b .

Näide 1. Lahendage võrrandid:

a)logi 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Lahendus. Kasutades väidet 1, saame a) x= 2 3 või x= 8; b) x= 3 -1 või x= 1/3; c)

või x = 1.

Toome välja logaritmi põhiomadused.

P1. Põhilogaritmiline identiteet:

Kus a > 0, a≠ 1 ja b > 0.

P2. Positiivsete tegurite korrutise logaritm võrdne summaga nende tegurite logaritmid:

logi a N 1 · N 2 = log a N 1 + palk a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommenteeri. Kui N 1 · N 2 > 0, siis saab omadus P2 kuju

logi a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + palk a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Kahe positiivse arvu jagatise logaritm on võrdne dividendi ja jagaja logaritmide vahega

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommenteeri. Kui

, (mis on samaväärne N 1 N 2 > 0), siis omandab omadus P3 kuju (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Kraadi logaritm positiivne arv võrdne tootega eksponent selle arvu logaritmi kohta:

logi a N k = k logi a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Kommenteeri. Kui k - paarisarv (k = 2s), See

logi a N 2s = 2s logi a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Valem teise baasi kolimiseks:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

eriti kui N = b, saame

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Kasutades omadusi P4 ja P5, on lihtne saada järgmised omadused

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

ja kui punktis (5) c- paarisarv ( c = 2n), esineb

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Loetleme logaritmilise funktsiooni peamised omadused f (x) = log a x :

1. Logaritmilise funktsiooni määratluspiirkond on positiivsete arvude hulk.

2. Logaritmilise funktsiooni väärtuste vahemik on reaalarvude hulk.

3. Millal a > 1 logaritmiline funktsioon rangelt kasvav (0< x 1 < x 2logi a x 1 < loga x 2) ja 0 juures< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2logi a x 1 > logi a x 2).

4.log a 1 = 0 ja log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Kui a> 1, siis on logaritmiline funktsioon negatiivne, kui x(0;1) ja positiivne juures x(1;+∞) ja kui 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) ja negatiivne juures x (1;+∞).

6. Kui a> 1, siis on logaritmiline funktsioon kumer ülespoole ja kui a(0;1) - kumer allapoole.

Logaritmvõrrandite lahendamisel kasutatakse järgmisi väiteid (vt nt).