Püramiidiks nimetatakse hulktahukat, mille üks tahkudest on hulknurk ja kõik teised tahud on ühise tipuga kolmnurgad.

Neid kolmnurki, mis moodustavad püramiidi, nimetatakse külgmised näod, ja ülejäänud hulknurk on alus püramiidid.

Püramiidi põhjas asub geomeetriline kujund – n-nurk. Sel juhul nimetatakse ka püramiidi n-süsinik.

Nimetatakse kolmnurkpüramiidi, mille kõik servad on võrdsed tetraeeder.

Püramiidi servi, mis ei kuulu alusele, nimetatakse külgmine, ja nende ühine punkt on tipp püramiidid. Püramiidi teisi servi nimetatakse tavaliselt aluse pooled.

Püramiidi nimetatakse õige, kui selle põhjas on korrapärane hulknurk ja kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed.

Kaugust püramiidi tipust aluse tasapinnani nimetatakse kõrgus püramiidid. Võime öelda, et püramiidi kõrgus on põhjaga risti olev segment, mille otsad on püramiidi tipus ja aluse tasapinnal.

Iga püramiidi puhul kehtivad järgmised valemid:

1) S täis = S pool + S põhi, Kus

S total – püramiidi kogupindala;

S pool – külgpinna pindala, s.o. püramiidi kõigi külgpindade pindalade summa;

S main – püramiidi aluse pindala.

2) V = 1/3 S alus N, Kus

V – püramiidi ruumala;

H – püramiidi kõrgus.

Sest tavaline püramiid esineb:

S pool = 1/2 P peamist h, Kus

P main – püramiidi aluse ümbermõõt;

h on apoteemi pikkus, st püramiidi tipust alla lastud külgpinna kõrgus.

Püramiidi kahe tasandi - aluse tasapinna ja alusega paralleelse lõiketasandi - vahele jäävat osa nimetatakse nn. kärbitud püramiid.

Nimetatakse püramiidi alust ja püramiidi läbilõiget paralleeltasandil põhjustel kärbitud püramiid. Ülejäänud nägusid nimetatakse külgmine. Aluste tasandite vahelist kaugust nimetatakse kõrgus kärbitud püramiid. Nimetatakse servi, mis ei kuulu aluste hulka külgmine.

Lisaks kärbipüramiidi alus sarnased n-gonid. Kui kärbitud püramiidi alused on korrapärased hulknurgad ja kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed, siis sellist kärbitud püramiidi nimetatakse õige.

Sest meelevaldne kärbitud püramiid kehtivad järgmised valemid:

1) S täis = S pool + S 1 + S 2, Kus

S total – kogupindala;

S pool – külgpinna pindala, s.o. kärbitud püramiidi kõigi külgpindade pindalade summa, mis on trapetsikujulised;

S 1, S 2 – aluspinnad;

2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2))H, Kus

V – tüvipüramiidi ruumala;

H – kärbitud püramiidi kõrgus.

Sest tavaline kärbitud püramiid meil on ka:

S-külg = 1/2 (P 1 + P 2) h, Kus

P 1, P 2 – aluste perimeetrid;

h – apoteem (külgpinna kõrgus, mis on trapetsikujuline).

Vaatleme mitmeid kärbitud püramiidiga seotud probleeme.

Ülesanne 1.

Kolmnurkses tüvipüramiidis, mille kõrgus on 10, on ühe aluse küljed 27, 29 ja 52. Määrake tüvipüramiidi ruumala, kui teise aluse ümbermõõt on 72.

Lahendus.

Vaatleme joonisel näidatud kärbitud püramiidi ABCA 1 B 1 C 1 Joonis 1.

1. Kärbitud püramiidi ruumala saab leida valemi abil

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), kus S 1 on ühe aluse pindala, saab leida Heroni valemi abil

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

sest Ülesanne annab kolmnurga kolme külje pikkused.

Meil on: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54 (54 – 27) (54 – 29) (54 – 52)) = √ (54 27 25 2) = 270.

2. Püramiid on kärbitud, mis tähendab, et alustel asuvad sarnased hulknurgad. Meie puhul on kolmnurk ABC sarnane kolmnurgaga A 1 B 1 C 1. Lisaks võib sarnasuskoefitsiendi leida vaadeldavate kolmnurkade ümbermõõtude suhtena ja nende pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendi ruuduga. Seega on meil:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 / 72 2 = 9/4. Seega S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Niisiis, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Vastus: 1900.

2. ülesanne.

Kolmnurkses tüvipüramiidis tõmmatakse tasapind läbi ülemise aluse külje, mis on paralleelne vastaskülje servaga. Millises vahekorras jagatakse kärbitud püramiidi ruumala, kui aluste vastavad küljed on vahekorras 1:2?

Lahendus.

Vaatleme ABCA 1 B 1 C 1 - kärbitud püramiidi, mis on näidatud joonisel riis. 2.

Kuna aluste küljed on vahekorras 1:2, siis aluste pindalad on vahekorras 1:4 (kolmnurk ABC on sarnane kolmnurgaga A 1 B 1 C 1).

Siis on kärbitud püramiidi maht:

V = 1/3 h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3 h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, kus S 2 – ülemise aluse pindala, h – kõrgus.

Kuid prisma ADEA 1 B 1 C 1 ruumala on V 1 = S 2 h ja seetõttu

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Niisiis, V 2: V 1 = 3: 4.

Vastus: 3:4.

3. ülesanne.

Korrapärase nelinurkse tüvipüramiidi aluste küljed on võrdsed 2 ja 1 ning kõrgus on 3. Läbi püramiidi diagonaalide lõikepunkti tõmmatakse püramiidi alustega paralleelne tasapind, mis jagab püramiidi. kaheks osaks. Leidke nende kõigi maht.

Lahendus.

Vaatleme joonisel näidatud kärbitud püramiidi ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 riis. 3.

Tähistame O 1 O 2 = x, siis OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Vaatleme kolmnurka B 1 O 2 D 1 ja kolmnurka BO 2 D:

nurk B 1 O 2 D 1 võrdub nurgaga BO 2 D vertikaalsena;

nurk BDO 2 on võrdne nurgaga D 1 B 1 O 2 ja nurk O 2 ВD on võrdne nurgaga B 1 D 1 O 2, mis asub risti punktis B 1 D 1 || BD ja sekantsid vastavalt B₁D ja BD₁.

Seetõttu on kolmnurk B 1 O 2 D 1 sarnane kolmnurgaga BO 2 D ja külgede suhe on:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 või 1/2 = x/(x – 3), kust x = 1.

Vaatleme kolmnurka B 1 D 1 B ja kolmnurka LO 2 B: nurk B on ühine, samuti on punktis B 1 D 1 üks ühepoolsete nurkade paar || LM, mis tähendab, et kolmnurk B 1 D 1 B on sarnane kolmnurgaga LO 2 B, millest B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, st.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Siis S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Niisiis, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Vastus: 152/27; 37/27.

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Püramiid. Kärbitud püramiid

Püramiid on hulktahukas, mille üks tahk on hulknurk ( alus ) ja kõik teised tahud on kolmnurgad, millel on ühine tipp ( külgmised näod ) (joonis 15). Püramiidi nimetatakse õige , kui selle alus on korrapärane hulknurk ja püramiidi tipp on projitseeritud aluse keskmesse (joonis 16). Nimetatakse kolmnurkpüramiidi, mille kõik servad on võrdsed tetraeeder .

Külgmised ribid püramiidi külgpinna külg, mis ei kuulu alusele Kõrgus püramiid on kaugus selle tipust aluse tasapinnani. Tavalise püramiidi kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed, kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. Hariliku püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgust nimetatakse apoteem . Diagonaalne lõige nimetatakse püramiidi lõiguks tasapinnaga, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku.

Külgmine pindala püramiid on kõigi külgpindade pindalade summa. Kogupindala nimetatakse kõigi külgpindade ja aluse pindalade summaks.

Teoreemid

1. Kui püramiidis on kõik külgmised servad aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse püramiidi tipp aluse lähedale piiritletud ringi keskmesse.

2. Kui püramiidi kõik külgmised servad on võrdse pikkusega, siis projitseeritakse püramiidi tipp aluse lähedale piiritletud ringi keskmesse.

3. Kui püramiidi kõik tahud on aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse püramiidi tipp selle alusele kirjutatud ringi keskmesse.

Suvalise püramiidi ruumala arvutamiseks on õige valem:

Kus V- maht;

S alus– baaspindala;

H- püramiidi kõrgus.

Tavalise püramiidi puhul on õiged järgmised valemid:

Kus lk– baasi perimeeter;

h a– apoteem;

H- kõrgus;

S täis

S pool

S alus– baaspindala;

V– tavalise püramiidi ruumala.

Kärbitud püramiid nimetatakse püramiidi osaks, mis jääb aluse ja püramiidi põhjaga paralleelse lõiketasandi vahele (joon. 17). Tavaline kärbitud püramiid nimetatakse korrapärase püramiidi osaks, mis jääb aluse ja püramiidi põhjaga paralleelse lõiketasandi vahele.

Põhjused kärbitud püramiid – sarnased hulknurgad. Külgmised näod - trapetsid. Kõrgus kärbitud püramiidi on selle aluste vaheline kaugus. Diagonaal kärbitud püramiid on segment, mis ühendab selle tippe, mis ei asu samal pinnal. Diagonaalne lõige on kärbitud püramiidi läbilõige tasapinnast, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku.

Kärbitud püramiidi puhul kehtivad järgmised valemid:

(4)

Kus S 1 , S 2 – ülemise ja alumise aluse alad;

S täis– kogupindala;

S pool– külgpindala;

H- kõrgus;

V– kärbitud püramiidi ruumala.

Tavalise kärbitud püramiidi puhul on valem õige:

Kus lk 1 , lk 2 – aluste perimeetrid;

h a– tavalise kärbitud püramiidi apoteem.

Näide 1. Tavalise kolmnurkse püramiidi korral on kahetahuline nurk põhjas 60º. Leidke külgserva kaldenurga puutuja aluse tasapinnaga.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 18).

Püramiid on korrapärane, mis tähendab, et selle põhjas on võrdkülgne kolmnurk ja kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. Dihedraalne nurk põhjas on püramiidi külgpinna kaldenurk aluse tasapinna suhtes. Lineaarnurk on nurk a kahe risti vahel: jne. Püramiidi tipp projitseeritakse kolmnurga keskpunkti (ümberringi keskpunkt ja kolmnurga sisse kirjutatud ringjoon ABC). Külgmise serva kaldenurk (näiteks S.B.) on nurk serva enda ja selle projektsiooni vahel aluse tasapinnale. Ribi jaoks S.B. see nurk on nurk SBD. Puutuja leidmiseks peate teadma jalgu NII Ja O.B.. Laske segmendi pikkus BD võrdub 3 A. Punkt KOHTA joonelõik BD on jagatud osadeks: ja Alates leiame NII: Siit leiame:

Vastus:

Näide 2. Leidke tavalise kärbitud nelinurkse püramiidi ruumala, kui selle aluste diagonaalid on cm ja cm ning kõrgus on 4 cm.

Lahendus. Kärbitud püramiidi ruumala leidmiseks kasutame valemit (4). Aluste pindala leidmiseks peate leidma aluse ruutude küljed, teades nende diagonaale. Aluste küljed on vastavalt 2 cm ja 8 cm See tähendab aluste pindalasid ja Asendades kõik andmed valemisse, arvutame kärbitud püramiidi ruumala:

Vastus: 112 cm 3.

Näide 3. Leidke tavalise kolmnurkse tüvipüramiidi külgpinna pindala, mille aluste küljed on 10 cm ja 4 cm ning püramiidi kõrgus on 2 cm.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 19).

Selle püramiidi külgkülg on võrdhaarne trapets. Trapetsi pindala arvutamiseks peate teadma alust ja kõrgust. Alused on antud seisukorra järgi, teadmata jääb vaid kõrgus. Me leiame ta, kust A 1 E punktist risti A 1 alumise aluse tasapinnal, A 1 D– risti alates A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, kuna see on püramiidi kõrgus. Leidma DE Teeme lisajoonise, mis näitab pealtvaadet (joon. 20). Punkt KOHTA– ülemise ja alumise aluse tsentrite projektsioon. kuna (vt joon. 20) ja Teisest küljest Okei– ringi sisse kirjutatud raadius ja OM– ringi sisse kirjutatud raadius:

MK = DE.

Pythagorase teoreemi järgi alates

Külgpind:

Vastus:

Näide 4. Püramiidi põhjas asub võrdhaarne trapets, mille alused A Ja b (a> b). Iga külgpind moodustab nurga, mis on võrdne püramiidi aluse tasapinnaga j. Leidke püramiidi kogupindala.

Lahendus. Teeme joonise (joon. 21). Püramiidi kogupindala SABCD võrdne trapetsi pindala ja pindala summaga ABCD.

Kasutame väidet, et kui püramiidi kõik tahud on aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse tipp alusesse kirjutatud ringi keskmesse. Punkt KOHTA– tipuprojektsioon S püramiidi põhjas. Kolmnurk SOD on kolmnurga ortogonaalprojektsioon CSD aluse tasapinnale. Kasutades teoreemi tasapinnalise kujundi ortogonaalprojektsiooni ala kohta, saame:

Samamoodi tähendab see Seega taandus probleem trapetsi pindala leidmisele ABCD. Joonistame trapetsi ABCD eraldi (joonis 22). Punkt KOHTA– trapetsi sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Kuna trapetsi saab kirjutada ringi, siis või Pythagorase teoreemist saame

• 29.05.2016

  Võnkeahel on elektriahel, mis sisaldab induktiivpooli, kondensaatorit ja elektrienergia allikat. Kui vooluahela elemendid on ühendatud järjestikku, nimetatakse võnkeahelat järjestikuseks ja paralleelselt ühendamisel paralleelseks. Võnkeahel on lihtsaim süsteem, milles võivad tekkida vabad elektromagnetvõnked. Ahela resonantssagedus määratakse nn Thomsoni valemiga: ƒ = 1/(2π√(LC)) For ...

• 20.09.2014

  Vastuvõtja on ette nähtud signaalide vastuvõtmiseks DV vahemikus (150 kHz…300 kHz). Vastuvõtja peamine omadus on antenn, mille induktiivsus on suurem kui tavalisel magnetantennil. See võimaldab kasutada häälestuskondensaatori mahtuvust vahemikus 4...20 pF, samuti on sellisel vastuvõtjal vastuvõetav tundlikkus ja kerge võimendus RF-teel. Vastuvõtja töötab kõrvaklappidega (kõrvaklappidega), toidab...

• 24.09.2014

  See seade on mõeldud vedeliku taseme jälgimiseks paakides; niipea, kui vedelik tõuseb seatud tasemeni, hakkab seade andma pidevat helisignaali; kui vedeliku tase jõuab kriitilise tasemeni, hakkab seade kiirgama helisignaali. katkendlik signaal. Indikaator koosneb 2 generaatorist, neid juhib andurelement E. See asetatakse paaki tasemele kuni ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 on digitaalne mitmeprogrammiline taimer, mis on loodud töötama ILC3-5\7 indikaatoriga. See võimaldab loendada ja kuvada praegust aega tundides ja minutites, nädalapäeva ja juhtkanali numbrit (9 häiret). Äratuskella ahel on näidatud joonisel. Mikrolülitus on taktsagedusega. resonaator Q1 sagedusel 32768Hz. toit on negatiivne, kogu pluss läheb ...

Ruumikujundite mahu arvutamise oskus on oluline mitmete geomeetria praktiliste ülesannete lahendamisel. Üks levinumaid kujundeid on püramiid. Selles artiklis käsitleme nii täis- kui ka kärbitud püramiide.

Püramiid kui kolmemõõtmeline kujund

Kõik teavad Egiptuse püramiididest, seega on neil hea ettekujutus sellest, millist kujundit me räägime. Egiptuse kiviehitised on aga vaid hiiglasliku püramiidide klassi erijuht.

Vaadeldavaks geomeetriliseks objektiks on üldjuhul hulknurkne alus, mille iga tipp on ühendatud kindla ruumipunktiga, mis ei kuulu aluse tasapinnale. See määratlus viib jooniseni, mis koosneb ühest n-nurgast ja n kolmnurgast.

Iga püramiid koosneb n+1 tahkest, 2*n servast ja n+1 tipust. Kuna kõnealune kujund on täiuslik hulktahukas, järgivad märgitud elementide arvud Euleri võrdsust:

2*n = (n+1) + (n+1) – 2.

Alusel asuv hulknurk annab püramiidi nime, näiteks kolmnurkne, viisnurkne jne. Erinevate alustega püramiidide komplekt on näidatud alloleval fotol.

Punkti, kus n kujundi kolmnurka kohtuvad, nimetatakse püramiidi tipuks. Kui risti langetatakse sellelt alusele ja see lõikub sellega geomeetrilises keskpunktis, siis nimetatakse sellist kujundit sirgeks. Kui see tingimus ei ole täidetud, tekib kaldus püramiid.

Täpset kujundit, mille aluse moodustab võrdkülgne (võrdnurkne) n-nurk, nimetatakse regulaarseks.

Püramiidi ruumala valem

Püramiidi ruumala arvutamiseks kasutame integraalarvutust. Selleks jagame joonise, lõigates alusega paralleelsed tasapinnad lõpmatu arvu õhukesteks kihtideks. Alloleval joonisel on nelinurkne püramiid kõrgusega h ja küljepikkusega L, milles nelinurk tähistab lõigu õhukest kihti.

Iga sellise kihi pindala saab arvutada järgmise valemi abil:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Siin on A 0 aluse pindala, z on vertikaalkoordinaadi väärtus. On näha, et kui z = 0, siis valem annab väärtuse A 0 .

Püramiidi ruumala valemi saamiseks peaksite arvutama integraali kogu joonise kõrguse ulatuses, see tähendab:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Asendades sõltuvuse A(z) ja arvutades antiderivaadi, saame avaldise:

V = -A0*(h-z)3/(3*h2)| h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Oleme saanud püramiidi ruumala valemi. V väärtuse leidmiseks korrutage lihtsalt joonise kõrgus aluse pindalaga ja jagage tulemus kolmega.

Pange tähele, et saadud avaldis kehtib mis tahes tüüpi püramiidi ruumala arvutamiseks. See tähendab, et see võib olla kaldu ja selle alus võib olla suvaline n-nurk.

ja selle maht

Eelmises lõigus saadud ruumala üldvalemit saab täpsustada tavalise põhjaga püramiidi puhul. Sellise aluse pindala arvutatakse järgmise valemi abil:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Siin L on n tipuga korrapärase hulknurga külje pikkus. Sümbol pi on arv pi.

Asendades avaldise A 0 üldvalemis, saame tavalise püramiidi ruumala:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Näiteks kolmnurkse püramiidi korral annab see valem järgmise avaldise:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Tavalise nelinurkse püramiidi puhul on mahuvalem järgmine:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Tavaliste püramiidide mahtude määramine eeldab teadmisi nende aluse külje ja kujundi kõrguse kohta.

Kärbitud püramiid

Oletame, et võtsime suvalise püramiidi ja lõikasime ära osa selle tippu sisaldavast külgpinnast. Ülejäänud kujundit nimetatakse kärbitud püramiidiks. See koosneb juba kahest n-nurksest alusest ja n trapetsist, mis neid ühendavad. Kui lõiketasand oli joonise põhjaga paralleelne, siis moodustatakse samalaadsete paralleelsete alustega kärbitud püramiid. See tähendab, et ühe neist külgede pikkused saab saada, korrutades teise külje pikkused teatud koefitsiendiga k.

Ülaloleval joonisel on kujutatud kärbitud korrapärast.On näha, et selle ülemise aluse, nagu ka alumise, moodustab korrapärane kuusnurk.

Valem, mille saab tuletada ülaltoodud integraalarvutuse abil, on järgmine:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Kus A 0 ja A 1 on vastavalt alumise (suure) ja ülemise (väikese) aluse alad. Muutuja h tähistab kärbitud püramiidi kõrgust.

Cheopsi püramiidi maht

Huvitav on lahendada Egiptuse suurima püramiidi mahu määramise probleem.

1984. aastal tegid Briti egüptoloogid Mark Lehner ja Jon Goodman kindlaks Cheopsi püramiidi täpsed mõõtmed. Selle algne kõrgus oli 146,50 meetrit (praegu umbes 137 meetrit). Konstruktsiooni nelja külje keskmine pikkus oli 230 363 meetrit. Püramiidi põhi on suure täpsusega ruudukujuline.

Kasutame antud arve selle kivihiiglase mahu määramiseks. Kuna püramiid on korrapärane nelinurkne, siis kehtib selle jaoks valem:

Arvud asendades saame:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopsi püramiidi maht on ligi 2,6 miljonit m3. Võrdluseks märgime, et olümpiabasseini maht on 2,5 tuhat m 3. See tähendab, et kogu Cheopsi püramiidi täitmiseks vajate rohkem kui 1000 sellist basseini!