Videnskabelig og praktisk konference
Kommunal uddannelsesinstitution "sekundær" helhedsskole nr. 23"
by Vologda
afsnit: naturvidenskab
design og forskningsarbejde
TYPER AF SYMMETRI
Arbejdet blev udført af en elev i 8. klasse
Kreneva Margarita
Leder: højere matematiklærer
år 2014
Projektets struktur:
1. Introduktion.
2. Mål og mål for projektet.
3. Typer af symmetri:
3.1. Central symmetri;
3.2. Aksial symmetri;
3.3. Spejlsymmetri (symmetri om et plan);
3.4. Rotationssymmetri;
3.5. Bærbar symmetri.
4 konklusioner.
Symmetri er den idé, gennem hvilken mennesket i århundreder har forsøgt at forstå og skabe orden, skønhed og perfektion.
G. Weil
Introduktion.
Emnet for mit arbejde blev valgt efter at have studeret afsnittet "Aksial og central symmetri" i kurset "8. klasses geometri". Jeg var meget interesseret i dette emne. Jeg ville vide: hvilke typer symmetri findes, hvordan de adskiller sig fra hinanden, hvad er principperne for at konstruere symmetriske figurer i hver type.
Målet med arbejdet : Introduktion til forskellige typer symmetri.
Opgaver:
Studer litteraturen om dette spørgsmål.
Opsummere og systematisere det undersøgte materiale.
Forbered en præsentation.
I oldtiden blev ordet "SYMMETRI" brugt til at betyde "harmoni", "skønhed". Oversat fra græsk betyder dette ord "proportionalitet, proportionalitet, ensartethed i arrangementet af dele af noget iflg. modsatte sider fra et punkt, en linje eller et plan.
Der er to grupper af symmetrier.
Den første gruppe omfatter symmetri af positioner, former, strukturer. Dette er symmetrien, der kan ses direkte. Det kan kaldes geometrisk symmetri.
Den anden gruppe karakteriserer symmetri fysiske fænomener og naturens love. Denne symmetri er selve kernen naturvidenskabeligt billede verden: det kan kaldes fysisk symmetri.
Jeg stopper med at studeregeometrisk symmetri .
Til gengæld er der også flere typer geometrisk symmetri: central, aksial, spejl (symmetri i forhold til planet), radial (eller roterende), bærbar og andre. I dag vil jeg se på 5 typer symmetri.
Central symmetri
To punkter A og A 1 kaldes symmetriske i forhold til punkt O, hvis de ligger på en ret linje, der går gennem punkt O og er placeret langs forskellige sider i samme afstand fra den. Punkt O kaldes symmetriens centrum.
Figuren siges at være symmetrisk om punktetOM , hvis der for hvert punkt på figuren er et punkt symmetrisk til det i forhold til punktetOM hører også til denne figur. PrikOM kaldes en figurs symmetricenter, siges figuren at have central symmetri.
Eksempler på figurer med central symmetri er en cirkel og et parallelogram.
Figurerne vist på sliden er symmetriske i forhold til et bestemt punkt
2. Aksial symmetri
To pointx Og Y kaldes symmetriske om en ret linjet , hvis denne linje går gennem midten af segmentet XY og er vinkelret på det. Det skal også siges, at hvert punkt er en ret linjet betragtes som symmetrisk i forhold til sig selv.
Liget – symmetriakse.
Figuren siges at være symmetrisk om en ret linjet, hvis der for hvert punkt på figuren er et punkt symmetrisk til det i forhold til den rette linjet hører også til denne figur.
Ligetkaldes en figurs symmetriakse, siges figuren at have aksial symmetri.
En uudviklet vinkel, en ligebenet vinkel og en vinkel har aksial symmetri. ligesidet trekant og rektangel og rombe,breve (se oplæg).
Spejlsymmetri (symmetri om et plan)
To punkter P 1 Og P siges at være symmetriske i forhold til planet, og hvis de ligger på en lige linje, vinkelret på planet a, og er i samme afstand fra den
Spejlsymmetri velkendt af enhver person. Det forbinder ethvert objekt og dets reflektion ind fladt spejl. De siger, at en figur er spejlsymmetrisk til en anden.
På et fly var en figur med utallige symmetriakser en cirkel. I rummet har en bold utallige symmetriplaner.
Men hvis en cirkel er en af slagsen, så er der i den tredimensionelle verden hele linjen legemer med et uendeligt antal symmetriplaner: en lige cylinder med en cirkel i bunden, en kegle med en cirkulær base, en kugle.
Det er let at fastslå, at hver symmetrisk plan figur kan justeres med sig selv ved hjælp af et spejl. Det er overraskende, at sådan komplekse figurer, ligesom en femtakket stjerne eller en ligesidet femkant, er også symmetriske. Da dette følger af antallet af akser, er de kendetegnet ved høj symmetri. Og omvendt: det er ikke så let at forstå, hvorfor sådan en tilsyneladende korrekte tal, ligesom et skråt parallelogram, er asymmetrisk.
4. P rotationssymmetri (eller radial symmetri)
Rotationssymmetri - dette er symmetri, bevarelsen af et objekts formnår man drejer rundt om en bestemt akse gennem en vinkel lig med 360°/n(eller et multiplum af denne værdi), hvorn= 2, 3, 4, … Den angivne akse kaldes roterende aksen- orden.
Pån=2 alle punkter på figuren er roteret gennem en vinkel på 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) omkring aksen, mens figurens form er bevaret, dvs. hvert punkt på figuren går til et punkt i den samme figur (figuren forvandler sig til sig selv). Aksen kaldes andenordens akse.
Figur 2 viser en tredjeordens akse, figur 3 - 4. orden, figur 4 - 5. orden.
Et objekt kan have mere end én rotationsakse: Fig. 1 - 3 rotationsakser, Fig. 2 - 4 akser, Fig. 3 - 5 akser, Fig. 4 – kun 1 akse
De velkendte bogstaver "I" og "F" har rotationssymmetri. Hvis du drejer bogstavet "I" 180° omkring en akse vinkelret på bogstavets plan og passerer gennem dets centrum, vil bogstavet flugte med sig selv. Med andre ord er bogstavet "I" symmetrisk med hensyn til en rotation på 180°, 180°= 360°: 2,n=2, hvilket betyder, at den har andenordens symmetri.
Bemærk, at bogstavet "F" også har andenordens rotationssymmetri.
Derudover har bogstavet et symmetricentrum, og bogstavet F har en symmetriakse
Lad os vende tilbage til eksempler fra livet: et glas, et kegleformet pund is, et stykke tråd, et rør.
Hvis vi ser nærmere på disse kroppe, vil vi bemærke, at de alle på den ene eller anden måde består af en cirkel, gennem uendeligt sæt hvis symmetriakser går gennem utallige symmetriplaner. De fleste af disse legemer (de kaldes rotationslegemer) har naturligvis også et symmetricentrum (centret af en cirkel), hvorigennem mindst én rotationssymmetriakse passerer.
For eksempel er iskuglens akse tydeligt synlig. Den løber fra midten af cirklen (stikker ud af isen!) til den skarpe ende af tragtkeglen. Vi opfatter helheden af symmetrielementer i en krop som en slags symmetrimål. Bolden er uden tvivl, hvad angår symmetri, en uovertruffen legemliggørelse af perfektion, et ideal. De gamle grækere opfattede det som den mest perfekte krop, og cirklen, naturligvis, som den mest perfekte flade figur.
For at beskrive symmetrien af et bestemt objekt er det nødvendigt at angive alle rotationsakserne og deres rækkefølge såvel som alle symmetriplaner.
Overvej for eksempel et geometrisk legeme bestående af to identiske regulære firkantede pyramider.
Den har en roterende akse af 4. orden (akse AB), fire roterende akser af 2. orden (akser CE,DF, MP, NQ), fem symmetriplaner (planerCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).
5 . Bærbar symmetri
En anden type symmetri ertransportabel Med symmetri.
Der tales om en sådan symmetri, når man flytter en figur langs en lige linje til en afstand "a" eller en afstand, der er et multiplum af denne værdi, falder sammen med sig selv Den rette linje, langs hvilken overførslen sker, kaldes overførselsaksen, og afstanden "a" kaldes det elementære overførsels-, periode- eller symmetritrin.
EN
Et periodisk gentaget mønster på en lang strimmel kaldes en kant. I praksis findes border i forskellige former (vægmaling, støbejern, gipsbasrelieffer eller keramik). Borders bruges af malere og kunstnere, når de indretter et rum. For at lave disse ornamenter laves en stencil. Vi flytter stencilen, vender den om eller ej, sporer omridset, gentager mønsteret, og vi får et ornament (visuel demonstration).
Kanten er let at bygge ved at bruge en stencil (startelementet), flytte eller vende den og gentage mønsteret. Figuren viser fem typer stencils:EN ) asymmetrisk;b, c ) med én symmetriakse: vandret eller lodret;G ) centralt symmetrisk;d ) med to symmetriakser: lodret og vandret.
For at konstruere grænser bruges følgende transformationer:
EN
) parallel overførsel;b
) symmetri om den lodrette akse;V
) central symmetri;G
) symmetri om den vandrette akse.
Du kan bygge stikkontakter på samme måde. For at gøre dette er cirklen opdelt in lige store sektorer, i en af dem laves et prøvemønster, og sidstnævnte gentages derefter sekventielt i de resterende dele af cirklen, idet mønsteret roteres hver gang med en vinkel på 360°/n .
Et tydeligt eksempel på brugen af aksial og bærbar symmetri er hegnet vist på fotografiet.
Konklusion: Det er der altså forskellige slags symmetrier, symmetriske punkter i hver af disse typer symmetri er konstrueret i henhold til visse love. I livet møder vi én type symmetri overalt, og ofte i de genstande, der omgiver os, kan flere typer symmetri noteres på én gang. Dette skaber orden, skønhed og perfektion i verden omkring os.
LITTERATUR:
Vejledning til elementær matematik. M.Ya. Vygodsky. – Forlaget "Nauka". – Moskva 1971 – 416 sider.
Moderne ordbog fremmede ord. - M.: Russisk sprog, 1993.
Historien om matematik i skolenIX - xklasser. G.I. Glaser. – Forlaget "Prosveshcheniye". – Moskva 1983 – 351 sider.
Visuel geometri 5. – 6. klassetrin. HVIS. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – Forlaget "Drofa", Moskva 2005. – 189 sider
Encyklopædi for børn. Biologi. S. Ismailova. – Avanta+ Publishing House. – Moskva 1997 – 704 sider.
Urmantsev Yu.A. Naturens symmetri og symmetriens natur - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/
Lad g være en fast linje (fig. 191). Lad os tage et vilkårligt punkt X og slippe den vinkelrette AXE til den lige linje g. På fortsættelsen af vinkelret ud over punkt A lægger vi segmentet AX til side", lig med segmentetÅh. Punkt X" siges at være symmetrisk med punkt X i forhold til lige linje g.
Hvis et punkt X ligger på en linje g, så er det punkt, der er symmetrisk til det, selve punktet X. Det er klart, at det punkt, der er symmetrisk til punktet X" er et punkt X.
Transformationen af en figur F til en figur F", hvor hvert af dens punkter X går til et punkt X", symmetrisk i forhold til en given ret linje g, kaldes en symmetritransformation i forhold til en ret linje g. I dette tilfælde kaldes tallene F og F" symmetriske i forhold til den rette linje g (fig. 192).
Hvis en symmetritransformation i forhold til en linje g tager en figur F ind i sig selv, så kaldes denne figur symmetrisk i forhold til en linje g, og linjen g kaldes figurens symmetriakse.
For eksempel er rette linjer, der går gennem skæringspunktet for diagonalerne i et rektangel parallelt med dets sider, rektanglets symmetriakser (fig. 193). De rette linjer, hvorpå diagonalerne af en rombe ligger, er dens symmetriakser (fig. 194).
Sætning 9.3. Transformationen af symmetri om en ret linje er en bevægelse.
Bevis. Lad os tage denne lige linje som y-aksen Cartesisk system koordinater (fig. 195). Lad et vilkårligt punkt A (x; y) i figuren F gå til punktet A" (x"; y") på figuren F". Fra definitionen af symmetri med hensyn til en ret linje følger det, at punkterne A og A" har lige ordinater, og abscissen adskiller sig kun i fortegn:
x"= -x.
Lad os tage to vilkårlige punkter A(x 1; y 1) og B (x 2; y 2) - De vil flytte til punkterne A" (- x 1, y 1) og B" (-x 2; y 2).
AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 - y 1) 2.
Heraf er det klart, at AB = A "B". Og det betyder, at transformationen af symmetri om en ret linje er bevægelse. Sætningen er blevet bevist.
symmetri arkitektonisk facadebygning
Symmetri er et begreb, der afspejler den i naturen eksisterende orden, proportionalitet og proportionalitet mellem elementerne i ethvert system eller naturobjekt, orden, balance i systemet, stabilitet, dvs. et element af harmoni.
Årtusinder gik, før menneskeheden i løbet af sine sociale og produktionsmæssige aktiviteter indså behovet for i visse begreber at udtrykke de to tendenser, den havde etableret primært i naturen: tilstedeværelsen af streng orden, proportionalitet, balance og krænkelse af dem. Folk har længe været opmærksomme på den korrekte form af krystaller, den geometriske stringens af strukturen af honningkager, rækkefølgen og repeterbarheden af arrangementet af grene og blade på træer, kronblade, blomster, plantefrø og afspejlet denne orden i deres praktiske aktiviteter, tænkning og kunst.
Genstande og fænomener i den levende natur har symmetri. Det glæder ikke kun øjet og inspirerer digtere fra alle tider og folk, men giver levende organismer mulighed for bedre at tilpasse sig deres miljø og simpelthen overleve.
I den levende natur udviser langt de fleste levende organismer forskellige typer symmetrier (form, lighed, relativ placering). Desuden kan organismer med forskellige anatomiske strukturer have den samme type ekstern symmetri.
Symmetriprincippet siger, at hvis rummet er homogent, ændrer overførslen af et system som helhed i rummet ikke systemets egenskaber. Hvis alle retninger i rummet er ækvivalente, så tillader symmetriprincippet rotationen af systemet som helhed i rummet. Princippet om symmetri respekteres, hvis tidens oprindelse ændres. I overensstemmelse med princippet er det muligt at lave en overgang til et andet referencesystem, der bevæger sig i forhold til dette system med konstant hastighed. Den livløse verden er meget symmetrisk. Ofte symmetri overtrædelser i kvantefysik elementære partikler- dette er en manifestation af en endnu dybere symmetri. Asymmetri er et strukturdannende og kreativt livsprincip. I levende celler er funktionelt signifikante biomolekyler asymmetriske: proteiner består af venstredrejende aminosyrer (L-form) og nukleinsyrer De indeholder, udover heterocykliske baser, højredrejende kulhydrater - sukkerarter (D-form), derudover selve DNA - grundlaget for arvelighed er en højrehåndet dobbelthelix.
Symmetriprincipperne ligger til grund for relativitetsteorien, kvantemekanik, fysikere solid, nukleare og kernefysik, partikelfysik. Disse principper kommer tydeligst til udtryk i naturlovenes invariansegenskaber. Dette handler ikke kun om fysiske love, men også andre, for eksempel biologiske. Et eksempel på en biologisk fredningslov er arveloven. Det er baseret på invarians biologiske egenskaber i forhold til overgangen fra en generation til en anden. Det er helt indlysende, at uden bevaringslove (fysiske, biologiske og andre) kunne vores verden simpelthen ikke eksistere.
Symmetri udtrykker således bevarelsen af noget på trods af nogle ændringer eller bevarelsen af noget på trods af en ændring. Symmetri forudsætter uforanderligheden ikke kun af selve objektet, men også af enhver af dets egenskaber i forhold til transformationer udført på objektet. Visse objekters uforanderlighed kan observeres i forhold til forskellige operationer - rotationer, translationer, gensidig udskiftning af dele, refleksioner osv.
Lad os overveje typerne af symmetri i matematik:
- * central (i forhold til punktet)
- * aksial (relativt lige)
- * spejl (i forhold til flyet)
- 1. Central symmetri (bilag 1)
En figur siges at være symmetrisk i forhold til punkt O, hvis der for hvert punkt på figuren også hører et punkt symmetrisk i forhold til punkt O til denne figur. Punkt O kaldes figurens symmetricentrum.
Konceptet om et symmetricenter blev først mødt i det 16. århundrede. I en af Clavius' sætninger, som siger: "hvis et parallelepipedum skæres af et plan, der passerer gennem midten, så deles det i to, og omvendt, hvis et parallelepipedum skæres i to, så passerer planet gennem midten." Legendre, der først introducerede elementær geometri elementer af symmetrilæren, viser det højre parallelepipedum der er 3 symmetriplan vinkelret på kanterne, og terningen har 9 symmetriplaner, hvoraf 3 er vinkelrette på kanterne, og de øvrige 6 går gennem fladernes diagonaler.
Eksempler på figurer, der har central symmetri, er cirklen og parallelogrammet.
I algebra, når man studerer lige og ulige funktioner, overvejes deres grafer. Når den er konstrueret, er grafen for en lige funktion symmetrisk i forhold til ordinataksen, og grafen for en ulige funktion er symmetrisk i forhold til oprindelsen, dvs. punkt O. Så nej selv funktion har central symmetri, og den lige funktion er aksial.
2. Aksial symmetri (bilag 2)
En figur kaldes symmetrisk i forhold til linje a, hvis der for hvert punkt i figuren også hører et punkt symmetrisk i forhold til linje a til denne figur. Den rette linje a kaldes figurens symmetriakse. Figuren siges også at have aksial symmetri.
I mere i snæver forstand symmetriaksen kaldes symmetriaksen af anden orden og taler om "aksial symmetri", som kan defineres som følger: en figur (eller krop) har aksial symmetri om en bestemt akse, hvis hvert af dets punkter E svarer til et punkt F, der hører til samme figur, således at segmentet EF er vinkelret på aksen, skærer den og i skæringspunktet er delt i to.
Jeg vil give eksempler på figurer, der har aksial symmetri. En uudviklet vinkel har én symmetriakse - den rette linje, hvorpå vinklens halveringslinje er placeret. En ligebenet (men ikke ligesidet) trekant har også en symmetriakse, og en ligesidet trekant har tre symmetriakser. Et rektangel og en rombe, som ikke er kvadrater, har hver to symmetriakser, og et kvadrat har fire symmetriakser. En cirkel har et uendeligt antal af dem - enhver ret linje, der går gennem dens centrum, er en symmetriakse.
Der er figurer, der ikke har en enkelt symmetriakse. Sådanne figurer inkluderer et parallelogram, forskelligt fra et rektangel, og en skala-trekant.
3. Spejlsymmetri (bilag 3)
Spejlsymmetri (symmetri i forhold til et plan) er en afbildning af rummet på sig selv, hvor ethvert punkt M går ind i et punkt M1, der er symmetrisk til det i forhold til dette plan.
Spejlsymmetri er velkendt for enhver person fra daglig observation. Som navnet selv indikerer, forbinder spejlsymmetri ethvert objekt og dets refleksion i et plant spejl. En figur (eller krop) siges at være spejlsymmetrisk til en anden, hvis de tilsammen danner en spejlsymmetrisk figur (eller krop).
Billardspillere har længe været fortrolige med refleksionens handling. Deres "spejle" er siderne af spillefeltet, og rollen som en lysstråle spilles af kuglernes baner. Efter at have ramt siden nær hjørnet, ruller bolden mod den side, der er placeret i en ret vinkel, og efter at være blevet reflekteret fra den, bevæger den sig tilbage parallelt med retningen af det første slag.
Det skal bemærkes, at to symmetriske figurer eller to symmetriske dele af en figur med alle deres ligheder, lighed af volumener og overfladearealer, i almindelig sag, er ulige, dvs. de kan ikke kombineres med hinanden. Det er forskellige figurer, de kan ikke erstattes med hinanden, for eksempel den rigtige handske, støvle osv. ikke egnet til venstre arm eller ben. Elementer kan have en, to, tre osv. symmetriplaner. For eksempel er en lige pyramide, hvis basis er en ligebenet trekant, symmetrisk om et plan P. Et prisme med samme base har to symmetriplaner. Den rigtige sekskantet prisme der er syv af dem. Rotationslegemer: kugle, torus, cylinder, kegle osv. har uendeligt antal symmetriplaner.
De gamle grækere troede, at universet var symmetrisk, simpelthen fordi symmetri er smukt. Ud fra overvejelser om symmetri lavede de en række gæt. Således Pythagoras (5. århundrede f.Kr.), betragter sfæren som den mest symmetriske og perfekt form, lavede en konklusion om Jordens sfæricitet og dens bevægelse langs sfæren. Samtidig mente han, at Jorden bevæger sig langs sfæren af en vis "central ild". Ifølge Pythagoras skulle de seks planeter kendt på det tidspunkt, såvel som Månen, Solen og stjernerne, kredse om den samme "ild".
Siden oldtiden har mennesket udviklet ideer om skønhed. Alle kreationer af naturen er smukke. Mennesker er smukke på deres egen måde, dyr og planter er fantastiske. Synet af en ædelsten eller en saltkrystal glæder øjet; det er svært ikke at beundre et snefnug eller en sommerfugl. Men hvorfor sker dette? Det forekommer os, at udseendet af objekter er korrekt og fuldstændigt, hvis højre og venstre halvdel ser ens ud, som i et spejlbillede.
Tilsyneladende var kunstfolk de første til at tænke på essensen af skønhed. Gamle billedhuggere, der studerede strukturen menneskelige legeme, tilbage i det 5. århundrede f.Kr. Begrebet "symmetri" begyndte at blive brugt. Dette ord har græsk oprindelse og betyder harmoni, proportionalitet og lighed i arrangementet af komponenterne. Platon hævdede, at kun det, der er symmetrisk og proportionalt, kan være smukt.
I geometri og matematik betragtes tre typer symmetri: aksial symmetri (i forhold til en ret linje), central (i forhold til et punkt) og spejlsymmetri (i forhold til et plan).
Hvis hvert af punkterne på et objekt har sin egen nøjagtige afbildning inden i sig i forhold til dets centrum, er der central symmetri. Eksempler på dette er: geometriske legemer som en cylinder, kugle, korrekt prisme etc.
Den aksiale symmetri af punkter i forhold til en ret linje sørger for, at denne lige linje skærer midten af det segment, der forbinder punkterne, og er vinkelret på det. Eksempler på halveringslinjen for en uudviklet vinkel ligebenet trekant, enhver ret linje trukket gennem midten af cirklen osv. Hvis aksial symmetri er karakteristisk, kan definitionen af spejlpunkter visualiseres ved blot at bøje den langs aksen og lægge lige halvdele "ansigt til ansigt". De ønskede punkter vil røre hinanden.
På spejlsymmetri punkterne på et objekt er placeret lige meget i forhold til det plan, der passerer gennem dets centrum.
Naturen er klog og rationel, derfor har næsten alle dens kreationer en harmonisk struktur. Det gælder både levende væsener og livløse genstande. Strukturen af de fleste livsformer er karakteriseret ved en af tre typer symmetri: bilateral, radial eller sfærisk.
Oftest kan aksial observeres i planter, der udvikler sig vinkelret på jordoverfladen. I dette tilfælde skyldes symmetri at rotere identiske elementer rundt fælles akse, beliggende i centrum. Vinklen og frekvensen af deres placering kan være anderledes. Eksempler er træer: gran, ahorn og andre. Hos nogle dyr forekommer også aksial symmetri, men det er mindre almindeligt. Naturligvis er naturen sjældent præget af matematisk præcision, men ligheden mellem elementerne i en organisme er stadig slående.
Biologer overvejer ofte ikke aksial symmetri, men bilateral (bilateral) symmetri. Et eksempel på dette er vingerne på en sommerfugl eller guldsmede, planteblade, blomsterblade osv. I hvert tilfælde er højre og venstre del af det levende objekt ens og er spejlbilleder af hinanden.
Sfærisk symmetri er karakteristisk for frugterne af mange planter, nogle fisk, bløddyr og vira. Eksempler på radial symmetri er nogle typer orme og pighuder.
I menneskelige øjne er asymmetri oftest forbundet med uregelmæssighed eller mindreværd. Derfor kan symmetri og harmoni spores i de fleste kreationer af menneskelige hænder.
Definition. Symmetri (betyder "proportionalitet") er geometriske objekters egenskab til at kombinere med sig selv under visse transformationer. Under symmetri forstå enhver rigtighed i indre struktur kroppe eller figurer.
Symmetri om et punkt- dette er central symmetri (fig. 23 nedenfor), og symmetri om en ret linje- dette er aksial symmetri (fig. 24 nedenfor).
Symmetri om et punkt antager, at der er noget på begge sider af et punkt med lige store afstande, såsom andre punkter eller sted punkter (lige linjer, buede linjer, geometriske former).
Hvis du forbinder symmetriske punkter (punkter på en geometrisk figur) med en lige linje gennem et symmetripunkt, så vil de symmetriske punkter ligge i enderne af den rette linje, og symmetripunktet vil være dens midterste. Hvis du fikserer symmetripunktet og roterer den rette linje, så vil de symmetriske punkter beskrive kurver, hvor hvert punkt også vil være symmetrisk med punktet på den anden buede linje.
Symmetri om en lige linje(symmetriakse) antager, at langs en vinkelret trukket gennem hvert punkt på symmetriaksen, er to symmetriske punkter placeret i samme afstand fra den. De samme geometriske figurer kan placeres i forhold til symmetriaksen (lige linie) som i forhold til symmetripunktet.
Et eksempel ville være et ark notesbog, der er foldet på midten, hvis der tegnes en lige linje langs foldelinjen (symmetriaksen). Hvert punkt på den ene halvdel af arket vil have et symmetrisk punkt på den anden halvdel af arket, hvis de er placeret i samme afstand fra foldelinjen og vinkelret på aksen.
Linjen med aksial symmetri, som i figur 24, er lodret, og arkets vandrette kanter er vinkelrette på den. Det vil sige, at symmetriaksen fungerer som en vinkelret på midtpunkterne af de vandrette lige linjer, der afgrænser arket. Symmetriske punkter (R og F, C og D) er placeret i samme afstand fra den aksiale linje - vinkelret på linjerne, der forbinder disse punkter. Følgelig er alle punkter af vinkelret (symmetriakse) trukket gennem midten af segmentet lige langt fra dets ender; eller ethvert punkt vinkelret (symmetriakse) på midten af et segment er lige langt fra enderne af dette segment.
6.7.3. Aksial symmetri
Points EN Og A 1 er symmetriske i forhold til linie m, da linie m er vinkelret på segmentet AA 1 og går gennem dens midte.
m– symmetriakse.
Rektangel ABCD har to symmetriakser: lige m Og l.
Hvis tegningen er bøjet i en lige linje m eller i en lige linje l, så vil begge dele af tegningen falde sammen.
Firkant ABCD har fire symmetriakser: lige m, l, k Og s.
Hvis firkanten er bøjet langs en af de lige linjer: m, l, k eller s, så vil begge sider af firkanten falde sammen.
En cirkel med centrum i punktet O og radius OA har et uendeligt antal symmetriakser. Disse er lige linjer: m, m 1, m 2, m 3 .
Dyrke motion. Konstruer punkt A 1, symmetrisk punkt A(-4; 2) i forhold til Ox-aksen.
Konstruer punkt A 2 symmetrisk til punkt A(-4; 2) i forhold til Oy-aksen.
Punkt A 1 (-4; -2) er symmetrisk med punkt A (-4; 2) i forhold til Ox-aksen, da Ox-aksen er vinkelret på segmentet AA 1 og passerer gennem dets midte.
For punkter, der er symmetriske om Ox-aksen, falder abscissen sammen, og ordinaterne er modsatte tal.
Punkt A 2 (4; -2) er symmetrisk med punktet A (-4; 2) i forhold til Oy-aksen, da Oy-aksen er vinkelret på segmentet AA 2 og passerer gennem dets midte.
For punkter, der er symmetriske om Oy-aksen, falder ordinaterne sammen, og abscissen er modsatte tal.
www.mathematics-repetition.com
wiki.eduVdom.com
Brugerværktøjer
Webstedsværktøjer
Sidepanel
Geometri:
Kontaktpersoner
Centrale og aksiale symmetrier
Central symmetri
To punkter A og A 1 kaldes symmetriske i forhold til punktet O, hvis O er midten af segmentet AA 1 (fig. 1). Punkt O betragtes som symmetrisk i forhold til sig selv.
Eksempel central symmetri
En figur siges at være symmetrisk i forhold til punkt O, hvis der for hvert punkt på figuren også hører et punkt symmetrisk i forhold til punkt O til denne figur. Punkt O kaldes figurens symmetricentrum. Figuren siges også at have central symmetri.
Eksempler på figurer med central symmetri er en cirkel og et parallelogram (fig. 2).
En cirkels symmetricentrum er cirklens centrum, og symmetricentret for et parallelogram er skæringspunktet for dets diagonaler. En ret linje har også central symmetri, men i modsætning til en cirkel og et parallelogram, som kun har et symmetricentrum (punkt O i fig. 2), har en ret linje et uendeligt antal af dem - ethvert punkt på den rette linje er dens symmetriens centrum.
Aksial symmetri
To punkter A og A 1 kaldes symmetriske med hensyn til linje a, hvis denne linje går gennem midten af segment AA 1 og er vinkelret på det (fig. 3). Hvert punkt på en linje a betragtes som symmetrisk i forhold til sig selv.
En figur kaldes symmetrisk med hensyn til linje a, hvis der for hvert punkt i figuren også hører et punkt symmetrisk med hensyn til linje a til denne figur. Den rette linje a kaldes figurens symmetriakse.
Eksempler på sådanne figurer og deres symmetriakser er vist i figur 4.
Bemærk, at for en cirkel er enhver ret linje, der går gennem dens centrum, en symmetriakse.
Sammenligning af symmetrier
Centrale og aksiale symmetrier
Hvor mange symmetriakser har figuren vist på figuren?
wiki.eduvdom.com
Lektion "Aksial og central symmetri"
Kort beskrivelse af dokumentet:
Symmetri er nok interessant emne i geometri, da netop dette begreb meget ofte støder på ikke kun i menneskets liv, men også i naturen.
Den første del af videopræsentationen "Aksial og central symmetri" giver definitionen af symmetrien af to punkter i forhold til en ret linje på et plan. Betingelsen for deres symmetri er muligheden for at tegne et segment gennem dem, gennem hvilket en given lige linje vil passere. Påkrævet stand En sådan symmetri er vinkelretheden af et segment og en lige linje.
Den næste del af video tutorial giver klart eksempel definition, som er vist i form af en tegning, hvor flere punkter er symmetriske om en ret linje, og ethvert punkt på denne rette linje er symmetrisk i forhold til sig selv.
Efter at have modtaget indledende begreber om symmetri, opfordres eleverne til at kompleks definition en figur, der er symmetrisk om en ret linje. Definitionen tilbydes i form af en tekstregel, og er også ledsaget af en voiceover fra taleren. Denne del afsluttes med eksempler på symmetriske og asymmetriske figurer i forhold til en ret linje. Interessant nok er der geometriske figurer, der har flere symmetriakser - alle er tydeligt præsenteret i form af tegninger, hvor akserne er fremhævet i en separat farve. Du kan gøre det foreslåede materiale lettere at forstå på denne måde: et objekt eller en figur er symmetrisk, hvis den falder præcist sammen, når de to halvdele foldes om sin akse.
Ud over aksial symmetri er der symmetri omkring et punkt. Det er dette koncept, der er dedikeret næste del videopræsentationer. Først gives en definition af to punkters symmetri i forhold til et tredje, derefter gives et eksempel i form af en figur, som viser et symmetrisk og asymmetrisk punkterpar. Denne del af lektionen afsluttes med eksempler. geometriske former, som har eller ikke har et symmetricenter.
I slutningen af lektionen inviteres eleverne til at sætte sig mest ind i slående eksempler symmetrier, der kan findes i den omgivende verden. Forståelse og evne til at opbygge symmetriske figurer er simpelthen nødvendigt i livet for mennesker, der er engageret i de mest forskellige erhverv. I sin kerne er symmetri grundlaget for alt menneskelig civilisation, da 9 ud af 10 objekter omkring en person har en eller anden type symmetri. Uden symmetri ville opførelsen af mange store arkitektoniske strukturer ikke have været mulig, det ville ikke have været muligt at opnå imponerende industrielle kapaciteter, og så videre. I naturen er symmetri også et meget almindeligt fænomen, og hvis i livløse genstande Det er næsten umuligt at finde det, men den levende verden vrimler bogstaveligt talt med det - næsten al flora og fauna, med sjældne undtagelser, har enten aksial eller central symmetri.
Fast skoleprogram er udviklet på en sådan måde, at det kan forstås af enhver elev, der er optaget i timen. En videopræsentation gør denne proces flere gange nemmere, da den samtidig påvirker flere centre for udvikling af information, giver materiale i flere farver, og derved tvinger eleverne til at koncentrere deres opmærksomhed om det vigtigste i lektionen. I modsætning til den sædvanlige måde at undervise på i skolerne, hvor ikke alle lærere har mulighed eller lyst til at besvare elevernes opklarende spørgsmål, kan en videolektion nemt spole tilbage til det ønskede sted for at lytte til taleren igen og læse. nødvendige oplysninger igen, indtil det er fuldt ud forstået. I betragtning af den enkle præsentation af materialet, kan en videopræsentation ikke kun bruges under skoleaktiviteter, men også derhjemme, som uafhængig metode uddannelse.
urokimatematiki.ru
Præsentation "Bevægelser. Aksial symmetri"
Dokumenter i arkivet:
Dokumentets navn 8.
Beskrivelse af præsentationen ved individuelle slides:
Central symmetri er et eksempel på bevægelse
Definition: Aksial symmetri med a-aksen er en afbildning af rummet på sig selv, hvor ethvert punkt K går ind i et punkt K1 symmetrisk til det i forhold til a-aksen
1) Oxyz - rektangulært system koordinater Oz - symmetriakse 2) M(x; y; z) og M1(x1; y1; z1), symmetriske om Oz-aksen Formlerne vil også være sande, hvis punktet M ⊂ Oz Aksial symmetri er bevægelsen Z X Y M( x; y; z) M1(x1; y1; z1) O
Bevis: Opgave 1, med aksial symmetri, er en ret linje, der danner en vinkel φ med symmetriaksen, afbildet på en ret linje, der også danner en vinkel φ med symmetriaksen Løsning: med aksial symmetri, en ret linje, der danner en vinklen φ med symmetriaksen afbildes på en ret linje, og danner også en vinkel med symmetriaksen symmetriakse vinkel φ A F E N m l a φ φ
Givet: 2) △ABD - rektangulær, ifølge Pythagoras sætning: 1) DD1 ⏊ (A1C1D1), 3) △BDD2 - rektangulær, ifølge Pythagoras sætning: Opgave 2 Find: BD2 Løsning:
Kort beskrivelse af dokumentet:
Præsentation "Bevægelser. Aksial symmetri" repræsenterer visuelt materiale at forklare hovedbestemmelserne i dette emne i en skolematematiklektion. I denne præsentation betragtes aksial symmetri som en anden type bevægelse. Under oplægget bliver eleverne mindet om det undersøgte begreb central symmetri, en definition af aksial symmetri gives, påstanden om, at aksial symmetri er bevægelse bevises, og løsningen på to problemer, hvor det er nødvendigt at operere med begrebet aksial symmetri er beskrevet.
Rotationssymmetri er en bevægelse, så det er udfordrende at repræsentere den på en tavle. Klarere, forståelige konstruktioner kan laves vha elektroniske midler. Takket være dette er strukturerne tydeligt synlige fra ethvert skrivebord i klasseværelset. På tegningerne er det muligt at fremhæve konstruktionsdetaljer i farver og fokusere opmærksomheden på funktionerne i operationen. Animationseffekter bruges til samme formål. Ved hjælp af præsentationsværktøjer er det nemmere for læreren at nå læringsmål, så præsentation bruges til at øge effektiviteten af lektionen.
Demonstrationen begynder med at minde eleverne om den type bevægelse, de har lært - central symmetri. Et eksempel på anvendelsen af operationen er den symmetriske visning af en tegnet pære. Et punkt er markeret på det plan i forhold til hvilket hvert punkt i billedet bliver symmetrisk. Det viste billede er således inverteret. I dette tilfælde er alle afstande mellem objektets punkter bevaret med central symmetri.
Det andet slide introducerer begrebet aksial symmetri. Figuren viser en trekant, hver af dens toppunkter omdannes til et symmetrisk toppunkt af trekanten i forhold til en bestemt akse. Definitionen af aksial symmetri er fremhævet i boksen. Det bemærkes, at med det bliver hvert punkt på objektet symmetrisk.
Dernæst i et rektangulært koordinatsystem betragtes aksial symmetri, egenskaberne for koordinaterne for et objekt vist ved hjælp af aksial symmetri, og det er også bevist, at med denne kortlægning bevares afstande, hvilket er et tegn på bevægelse. På højre side af rutsjebanen er et rektangulært koordinatsystem Oxyz. Oz-aksen tages som symmetriaksen. Et punkt M er markeret i rummet, som med passende kortlægning bliver til M 1. Figuren viser, at med aksial symmetri bevarer spidsen sin anvendelse.
Det bemærkes, at den aritmetiske middelværdi af abscissen og ordinaten af denne afbildning med aksial symmetri er lig med nul, det vil sige (x+ x 1)/2=0; (y+y 1)/2=0. Ellers indikerer dette, at x=-x 1 ; y=-y1; z=z1. Reglen gælder også, hvis punkt M er markeret på selve Oz-aksen.
For at overveje om afstandene mellem punkter er bevaret med aksial symmetri, beskrives en operation på punkt A og B. Vist i forhold til Oz-aksen går de beskrevne punkter ind i A1 og B1. For at bestemme afstanden mellem punkter bruger vi en formel, hvor afstanden beregnes af koordinater. Det bemærkes, at AB=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), og for de viste punkter A 1 B 1 =√(-x 2 +x1)2+(-y2+y1)2+(z2-z1)2). Under hensyntagen til egenskaberne ved kvadrering, kan det bemærkes, at AB = A 1 B 1. Dette tyder på, at der holdes afstande mellem punkter - hovedfunktion bevægelser. Dette betyder, at aksial symmetri er bevægelse.
Slide 5 diskuterer løsningen på opgave 1. I den er det nødvendigt at bevise udsagnet om, at en ret linje, der går i en vinkel φ til symmetriaksen, danner den samme vinkel φ med den. Til opgaven gives et billede, hvorpå symmetriaksen er tegnet, samt en ret linje m, der danner en vinkel φ med symmetriaksen, og i forhold til dens akse er dens visning en ret linje l. Beviset for udsagnet begynder med konstruktionen af yderligere punkter. Det bemærkes, at den rette linie m skærer symmetriaksen ved A. Hvis vi markerer punktet F≠A på denne rette linje og dropper en vinkelret fra den til symmetriaksen, får vi skæringen af vinkelret med symmetriaksen ved punkt E. Med aksial symmetri går segmentet FE ind i segmentet NE. Som et resultat af denne konstruktion blev de retvinklede trekanter ΔAEF og ΔAEN opnået. Disse trekanter er ens, da AE er deres fælles side, og FE = NE er ens i konstruktion. Derfor er vinklen ∠EAN=∠EAF. Det følger heraf, at den viste rette linje også danner en vinkel φ med symmetriaksen. Problemet er løst.
Det sidste slide diskuterer løsningen på opgave 2, hvor du får en terning ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 med side a. Det er kendt, at efter symmetri om aksen, der indeholder kanten B 1 D 1, går punkt D ind i D 1. Problemet kræver at finde BD 2. Der laves en konstruktion til problemet. Figuren viser en terning, hvorfra det kan ses, at symmetriaksen er diagonalen af terningfladen B 1 D 1. Segmentet dannet ved bevægelsen af punktet D er vinkelret på det fladeplan, som symmetriaksen hører til. Da afstandene mellem punkter opretholdes under bevægelse, så er DD 1 = D 1 D 2 =a, det vil sige afstanden DD 2 =2a. Fra retvinklet trekantΔABD af Pythagoras sætning følger, at BD=√(AB 2 +AD 2)=a√2. Fra den retvinklede trekant ΔВDD 2 følger den af Pythagoras sætning BD 2 =√(DD 2 2 +ВD 2) = а√6. Problemet er løst.
Præsentation "Bevægelser. Aksial symmetri" bruges til at øge effektiviteten skoletime matematik. Denne visualiseringsmetode vil også hjælpe læreren med at implementere fjernundervisning. Materialet kan tilbydes til selvstændig overvejelse af elever, der ikke har mestret lektionens emne godt nok.
Hvorfor hustruen rejste og ikke ansøger om skilsmisse Praktisk forum om ægte kærlighed Konen ansøger om skilsmisse Hjælp! Min kone ansøger om skilsmisse. Hjælp! Besked af MIRON4IK » 23. okt 2009, 16:22 Besked af raz » 23. okt. 2009, 19:17 Besked af MIRON4IK » 23. okt. 2009, 22:21 Besked af edon » […]