Firkant geometrisk figur - numerisk karakteristik en geometrisk figur, der viser størrelsen af denne figur (en del af overfladen begrænset af den lukkede kontur af denne figur). Størrelsen af området er udtrykt ved antallet af kvadratenheder indeholdt i det.
Formler for trekantareal
- Formel for arealet af en trekant ved side og højde
Areal af en trekant lig med halvdelen af produktet af længden af en side af en trekant og længden af højden trukket til denne side - Formel for arealet af en trekant baseret på tre sider og radius af den omskrevne cirkel
- Formel for arealet af en trekant baseret på tre sider og radius af den indskrevne cirkel
Areal af en trekant er lig med produktet af trekantens halvomkreds og radius af den indskrevne cirkel. hvor S er arealet af trekanten,
- længden af trekantens sider,
- højden af trekanten,
- vinklen mellem siderne og,
- radius af den indskrevne cirkel,
R - radius af den omskrevne cirkel,
Formler for kvadratisk areal
- Formel for arealet af en firkant ved sidelængde
Firkantet område lig med kvadratet af længden af dens side. - Formel for arealet af en firkant langs den diagonale længde
Firkantet område lig med halvdelen af kvadratet af længden af dens diagonal.S= 1 2 2 hvor S er arealet af kvadratet,
- længden af siden af firkanten,
- længden af firkantens diagonal.
Formel for rektangelareal
- Arealet af et rektangel lig med produktet af længderne af dens to tilstødende sider
hvor S er arealet af rektanglet,
- længder af rektanglets sider.
Parallelogram område formler
- Formel for arealet af et parallelogram baseret på sidelængde og højde
Arealet af et parallelogram - Formel for arealet af et parallelogram baseret på to sider og vinklen mellem dem
Arealet af et parallelogram er lig med produktet af længderne af dens sider ganget med sinus af vinklen mellem dem.a b sin α
hvor S er arealet af parallelogrammet,
- længden af parallelogrammets sider,
- længden af parallelogramhøjden,
- vinklen mellem siderne af parallelogrammet.
Formler for området af en rombe
- Formel for arealet af en rombe baseret på sidelængde og højde
Område af en rombe er lig med produktet af længden af dens side og længden af højden sænket til denne side. - Formel for arealet af en rombe baseret på sidelængde og vinkel
Område af en rombe er lig med produktet af kvadratet af længden af dens side og sinus af vinklen mellem siderne af romben. - Formel for arealet af en rombe baseret på længden af dens diagonaler
Område af en rombe lig med halvdelen af produktet af længderne af dens diagonaler. hvor S er arealet af romben,
- længden af siden af romben,
- længden af rhombus højde,
- vinklen mellem siderne af romben,
1, 2 - længder af diagonaler.
Trapezområdeformler
- Herons formel for trapez
Hvor S er arealet af trapezet,
- længder af trapezets baser,
- længder af siderne af trapezoidet,
Alle formler for arealet af flyvefigurer
Arealet af en ligebenet trapez
1. Formel for arealet af en ligebenet trapez ved hjælp af sider og vinkler
a - nederste base
b - øvre base
c - lig sider
α - vinkel ved den nederste base
Formel for arealet af en ligebenet trapez gennem siderne, (S):
Formel for arealet af et ligebenet trapez ved hjælp af sider og vinkler, (S):
2. Formel for arealet af en ligebenet trapez i form af radius af den indskrevne cirkel
R - radius af den indskrevne cirkel
D - diameteren af den indskrevne cirkel
O - centrum af den indskrevne cirkel
H- trapezhøjde
α, β - trapezvinkler
Formel for arealet af en ligebenet trapez i form af radius af den indskrevne cirkel, (S):
FAIR, for en indskrevet cirkel i en ligebenet trapez:
3. Formel for arealet af en ligebenet trapez gennem diagonalerne og vinklen mellem dem
d er diagonalen af trapez
α,β- vinkler mellem diagonaler
Formel for arealet af en ligebenet trapez gennem diagonalerne og vinklen mellem dem, (S):
4. Formel for arealet af en ligebenet trapezoid igennem midterlinie, side og hjørne ved bunden
c- side
m - midterlinje af trapez
α, β - vinkler ved bunden
Formel for arealet af et ligebenet trapez ved hjælp af midterlinjen, side- og basisvinklen,
(S): 
5. Formel for arealet af en ligebenet trapez ved hjælp af baser og højde
a - nederste base
b - øvre base
h - højde af trapez
Formel for arealet af et ligebenet trapez ved hjælp af baser og højde, (S):
Areal af en trekant baseret på en side og to vinkler, formel.
a, b, c - sider af trekanten
α, β, γ - modsatte vinkler
Areal af en trekant gennem en side og to vinkler (S):
Formel for arealet af en regulær polygon
a - side af polygonen
n - antal sider
Arealet af en regulær polygon, (S):
Formel (Heron) for arealet af en trekant gennem halvperimeteren (S):
Arealet af en ligesidet trekant er:
Formler til beregning af arealet af en ligesidet trekant.
a - side af trekanten
h – højde
Hvordan beregner man arealet af en ligebenet trekant?
b - base af trekanten
a - lige sider
h – højde
3. Formel for arealet af en trapez ved hjælp af fire sider
a - nederste base
b - øvre base
c, d - sider
Radius af den omskrevne cirkel af et trapez langs siderne og diagonalerne
a - laterale sider af trapez
c - nederste bund
b - øvre base
d - diagonal
h - højde
Trapez circumradius formel, (R)
find omkredsen af en ligebenet trekant ved hjælp af siderne
Når du kender siderne af en ligebenet trekant, kan du bruge formlen til at finde radius af den omskrevne cirkel omkring denne trekant.
a, b - sider af trekanten
Circumradius af en ligebenet trekant (R):
Radius af den indskrevne cirkel i en sekskant
a - side af sekskanten
Radius af den indskrevne cirkel i en sekskant, (r):
Radius af den indskrevne cirkel i en rombe
r - radius af den indskrevne cirkel
en - side af romben
D, d - diagonaler
h - højde af rhombus
Radius af den indskrevne cirkel i en ligesidet trapez
c - nederste bund
b - øvre base
a - sider
h - højde
Radius af den indskrevne cirkel i en retvinklet trekant
a, b - trekantens ben
c - hypotenusen
Radius af den indskrevne cirkel i en ligebenet trekant
a, b - sider af trekanten
Bevis, at arealet af en indskrevet firkant er
\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),
hvor p er halvperimeteren og a, b, c og d er firkantens sider.
Bevis, at arealet af en firkant indskrevet i en cirkel er lig med
1/2 (ab + cb) · sin α, hvor a, b, c og d er firkantens sider og α er vinklen mellem siderne a og b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Læs mere på FB.ru:
Firkant vilkårlig firkant(Fig. 1.13) kan udtrykkes gennem sine sider a, b, c og summen af et par modsatte vinkler:
hvor p er halvperimeteren af firkanten.
Arealet af en firkant indskrevet i en cirkel () (fig. 1.14, a) beregnes ved hjælp af Brahmaguptas formel
og beskrevet (fig. 1.14, b) () - ifølge formlen
Hvis firkanten er indskrevet og beskrevet på samme tid (fig. 1.14, c), så bliver formlen meget enkel:
Picks formel
For at estimere arealet af en polygon på ternet papir er det nok at tælle, hvor mange celler denne polygon dækker (vi tager arealet af en celle som én). Mere præcist, hvis S er arealet af polygonen, er antallet af celler, der ligger helt inde i polygonen, og er antallet af celler, der har mindst ét fælles punkt med polygonens indre.
Nedenfor vil vi kun overveje sådanne polygoner, hvis toppunkter ligger ved knudepunkterne ternet papir– i dem, hvor gitterlinjerne skærer hinanden. Det viser sig, at for sådanne polygoner kan du angive følgende formel:
hvor er arealet, r er antallet af noder, der ligger strengt inde i polygonen.
Denne formel kaldes "Pick-formlen" - efter matematikeren, der opdagede den i 1899.
For at løse geometriproblemer skal du kende formler - såsom arealet af en trekant eller arealet af et parallelogram - samt simple teknikker, som vi vil tale om.
Lad os først lære formlerne for figurernes områder. Vi har specielt samlet dem i et praktisk bord. Print, lær og anvend!
Selvfølgelig er ikke alle geometriformler i vores tabel. For eksempel at løse problemer i geometri og stereometri i anden del profil Unified State Examination I matematik bruges andre formler for arealet af en trekant også. Vi vil helt sikkert fortælle dig om dem.
Hvad skal du gøre, hvis du ikke skal finde arealet af en trapez eller trekant, men arealet af nogle kompleks figur? Spise universelle metoder! Vi vil vise dem ved hjælp af eksempler fra FIPI-opgavebanken.
1. Hvordan finder man arealet af en ikke-standardfigur? For eksempel en vilkårlig firkant? En simpel teknik - lad os opdele denne figur i dem, vi ved alt om, og finde dens areal - som summen af arealerne af disse figurer.
Lad os dele denne firkant vandret linje i to trekanter fælles fodslag, svarende til . Højderne af disse trekanter er lig med og . Så er arealet af firkanten lig med summen af arealerne af de to trekanter: .
Svar: .
2. I nogle tilfælde kan arealet af en figur repræsenteres som forskellen på nogle områder.
Det er ikke så let at beregne, hvad basis og højde af denne trekant er lig med! Men vi kan sige, at dens areal er lig med forskellen mellem arealerne af en firkant med side og tre rektangulære trekanter. Kan du se dem på billedet? Vi får: .
Svar: .
3. Nogle gange skal du i en opgave finde arealet af ikke hele figuren, men en del af den. Normalt taler vi om arealet af en sektor - del af en cirkel Find arealet af en sektor af en cirkel med en radius, hvis buelængde er lig med .
På dette billede ser vi en del af en cirkel. Arealet af hele cirklen er lig med . Det er tilbage at finde ud af, hvilken del af cirklen der er afbildet. Da længden af hele cirklen er ens (da), og længden af buen af en given sektor er ens, derfor er længden af buen en faktor mindre end længden af hele cirklen. Vinklen, ved hvilken denne bue hviler, er også flere gange mindre end fuld cirkel(det vil sige grader). Det betyder, at arealet af sektoren vil være flere gange mindre end arealet af hele cirklen.