Hvad er arealet af enhver firkant. Formler til beregning af arealet af en vilkårlig firkant

Hvis du tegner flere segmenter sekventielt på et plan, så hver næste begynder på det sted, hvor den forrige sluttede, får du en brudt linje. Disse segmenter kaldes links, og deres skæringspunkter kaldes knudepunkter. Når slutningen af det sidste segment krydser startpunktet for det første, vil du få en lukket stiplet linje, der deler flyet i to dele. En af dem er endelig, og den anden er uendelig.

En simpel lukket linje sammen med den del af planet, der er indesluttet i den (den der er endelig) kaldes en polygon. Segmenterne er sider, og vinklerne, de danner, er hjørner. Antallet af sider af enhver polygon er lig med antallet af dens hjørner. En figur, der har tre sider, kaldes en trekant, og fire kaldes en firkant. En polygon er numerisk karakteriseret ved en værdi såsom areal, som viser størrelsen af figuren. Hvordan finder man arealet af en firkant? Dette læres af grenen af matematik - geometri.

For at finde arealet af en firkant skal du vide, hvilken type det er - konveks eller ikke-konveks? det hele ligger forholdsvis lige (og det indeholder nødvendigvis nogle af dets sider) på den ene side. Derudover er der sådanne typer firkanter som et parallelogram med par af lige og parallelle modsatte sider (dens varianter: et rektangel med rette vinkler, en rombe med lige sider, en firkant med alle rette vinkler og fire lige sider), en trapezoid med to parallelle modstående sider og en deltoid med to par tilstødende sider, der er lige store.

Arealet af enhver polygon findes ved hjælp af en generel metode, som er at opdele det i trekanter, for hver, beregne arealet af en vilkårlig trekant og tilføje resultaterne. Enhver konveks firkant er opdelt i to trekanter, en ikke-konveks firkant er opdelt i to eller tre i dette tilfælde kan den være sammensat af summen og forskellen af resultaterne. Arealet af enhver trekant beregnes som halvdelen af produktet af basen (a) og højden (ħ) trukket til basen. Formlen, der bruges i dette tilfælde til beregning, er skrevet som: S = ½. en. ħ.

Hvordan finder man arealet af en firkant, såsom et parallelogram? Du skal kende længden af grundfladen (a), længden af siden (ƀ) og finde sinus af vinklen α dannet af grundfladen og siden (sinα), formlen for beregningen vil se sådan ud: S = a. ƀ. sinα. Da sinus af vinklen α er produktet af bunden af et parallelogram og dets højde (ħ = ƀ) - en linje vinkelret på grundfladen, beregnes dens areal ved at gange dens base med højden: S = a. ħ. Denne formel er også velegnet til at beregne arealet af en rombe og et rektangel. Da sidesiden ƀ af et rektangel falder sammen med højden ħ, beregnes dets areal ved hjælp af formlen S = a. ƀ. fordi a = ƀ, vil være lig med kvadratet på dens side: S = a. a = a². beregnes som halvdelen af summen af dens sider ganget med højden (den tegnes vinkelret på bunden af trapezet): S = ½. (a + ƀ). ħ.

Hvordan finder man arealet af en firkant, hvis længderne af dens sider er ukendte, men dens diagonaler (e) og (f), såvel som sinus af vinklen α, er kendt? I dette tilfælde beregnes arealet som halvdelen af produktet af dets diagonaler (linjerne, der forbinder polygonens hjørner) ganget med sinus af vinklen α. Formlen kan skrives som følger: S = ½. (e.f). sinα. Især vil det i dette tilfælde være lig med halvdelen af produktet af diagonalerne (linjer, der forbinder modsatte hjørner af romben): S = ½. (e. f).

Hvordan man finder arealet af en firkant, der ikke er et parallelogram eller trapez, kaldes det normalt en vilkårlig firkant. Arealet af en sådan figur er udtrykt gennem dens halvperimeter (P er summen af to sider med et fælles toppunkt), siderne a, ƀ, c, d og summen af to modsatte vinkler (α + β): S = √[(P - a) . (Ρ - ƀ). (Ρ-c). (Ρ - d) - a. ƀ. c. d. cos² ½ (α + β)].

Hvis en φ = 180°, skal du bruge formlen fra Brahmagupta (indisk astronom og matematiker, der levede i det 6.-7. århundrede e.Kr.) for at beregne dets areal: S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ). (Ρ-c). (Ρ - d)]. Hvis en firkant er beskrevet af en cirkel, så (a + c = ƀ + d), og dens areal beregnes: S = √[ a. ƀ. c. d]. sin ½ (α + β). Hvis en firkant samtidig er omgivet af en cirkel og indskrevet i en anden cirkel, så bruges følgende formel til at beregne arealet: S = √.

Areal af en geometrisk figur- en numerisk karakteristik af en geometrisk figur, der viser størrelsen af denne figur (en del af overfladen begrænset af den lukkede kontur af denne figur). Størrelsen af området er udtrykt ved antallet af kvadratenheder indeholdt i det.

Formler for trekantareal

Formel for arealet af en trekant ved side og højde
Areal af en trekant lig med halvdelen af produktet af længden af en side af en trekant og længden af højden trukket til denne side
Formel for arealet af en trekant baseret på tre sider og radius af den omskrevne cirkel
Formel for arealet af en trekant baseret på tre sider og radius af den indskrevne cirkel
Areal af en trekant er lig med produktet af trekantens halvperimeter og radius af den indskrevne cirkel.

Formler for kvadratisk areal

Formel for arealet af en firkant ved sidelængde
Firkantet område lig med kvadratet af længden af dens side.
Formel for arealet af en firkant langs den diagonale længde
Firkantet område lig med halvdelen af kvadratet af længden af dens diagonal.
S= 1 2
2

Formel for rektangelareal

Arealet af et rektangel

Parallelogram område formler

Formel for arealet af et parallelogram baseret på sidelængde og højde
Arealet af et parallelogram
Formel for arealet af et parallelogram baseret på to sider og vinklen mellem dem
Arealet af et parallelogram er lig med produktet af længderne af dens sider ganget med sinus af vinklen mellem dem.
a b sin α

Formler for området af en rombe

Formel for arealet af en rombe baseret på sidelængde og højde
Område af en rombe lig med produktet af længden af dens side og længden af højden sænket til denne side.
Formel for arealet af en rombe baseret på sidelængde og vinkel
Område af en rombe er lig med produktet af kvadratet af længden af dens side og sinus af vinklen mellem siderne af romben.
Formel for arealet af en rhombus baseret på længden af dens diagonaler
Område af en rombe lig med halvdelen af produktet af længderne af dens diagonaler.

Trapezområdeformler

Herons formel for trapez
Hvor S er arealet af trapezet,
- længder af trapezets baser,
- længder af siderne af trapezoidet,

Første niveau

Arealet af en trekant og firkant. Eksempler på problemløsning (2019)

Bestemmelse af areal

Hvad er areal? Mærkeligt spørgsmål – ikke? I det almindelige liv er vi vant til, at alle mulige flade figurer (såsom overfladen af et bord, en stol, gulvet i vores lejligheder osv.) ikke kun har længde og bredde, men også nogle andre egenskaber, som vi, uden at tænke, kalder vi det område. Lad os nu tænke over det: hvad er et område overhovedet?

Lad os starte med det enkleste. Grundlaget er, at:

Med andre ord betragter vi arealet af en firkant med en side på en meter for at være en "meter område."

Se omhyggeligt på billedet og sørg for, at det virkelig er tegnet der - "kvadratmeter"! Og husk betegnelsen.

Nu er her et vanskeligt spørgsmål: hvad er det? Areal af en firkant med side? Men nej!

Se: en firkant med en side.

Og for at få kvadratmeter (det vil sige), skal vi for eksempel tegne sådan:

Hvordan får man, siger, ? Nå, for eksempel sådan her:

Og generelt, hvis vi tager et rektangel, hvis sider er lig med meter og meter, så i dette rektangel:

Passer præcis til kvadratmeter. Se omhyggeligt: Vi har "lag", som hver især er præcis kvadratmeter.

Det betyder, at et rektangel på størrelse x indeholder i alt kvadratmeter. Dette tal, hvor mange kvadratmeter der passer i et rektangel, er dets firkant.

Hvad hvis figuren slet ikke er et rektangel, men en form for abrakadabra?

Jeg vil overraske dig - der er sådanne forfærdelige abrakadabraer, som det er absolut umuligt at bestemme, hvor mange kvadratmeter der er. Endda cirka! Desværre er det umuligt at tegne sådanne figurer.

Men de findes! De ligner for eksempel en "kam" med meget fine tænder.

Og så, for normale figurer, kan du intuitivt (det vil sige for dig selv) antage, at arealet af en figur er antallet af kvadratenheder (meter, centimeter osv.), der "passer" i denne figur A mere strengt, "rigtigt" definitionsområde, se følgende teoriniveauer.

Og forestil dig bare, matematikere har lært at udtrykke områder for mange figurer gennem nogle lineære (dem, der kan måles med en lineal) elementer af figurerne. Disse udtryk kaldes "arealformler". Der er ret mange af disse formler - matematikere har prøvet i lang tid. Prøv først at huske de enkleste og mest basale formler og derefter de mere komplekse.

Områdeformler

Firkant

Rektangel

retvinklet trekant

Trekant (gratis)

Der er flere arealformler for en trekant.

Grundformel

Anden grundformel

Tredje formel

Hvilken formel skal du vælge til dit problem? De vigtigste er formlerne 1 og 2. Den tredje formel skal anvendes, hvis alt er givet til dig: tre sider og radius af den indskrevne cirkel. Men det sker ikke, vel? Derfor vi bruger formel 3 snarere det modsatte, for at finde radius af den indskrevne cirkel. Så skal du finde arealet ved hjælp af en af formlerne 1, 2 eller 4, og derefter radius: .

Nå, formel 4 giver dig mulighed for at finde arealet på begge sider ved hjælp af langvarig aritmetik. Og lav ikke fejl i regnestykket, når du anvender Herons formel!

Vilkårlig firkant

For en vilkårlig firkant er der ikke mere, men for "gode" firkanter er der andre formler.

Parallelogram

Grundformel

Anden formel

Rhombus

En rombe har diagonaler, der er vinkelrette, så grundlæggende for ham bliver det formel:

Anden formel

Og den ekstra formel bliver

Trapez

Grundformel

Anden formel

"Svære spørgsmål om området"

Udover problemer, der blot beder dig om at finde området, er der også alle mulige spørgsmål. Nå, for eksempel:

Lad os besvare dette spørgsmål på to måder. Den første metode er formel: vi bruger formlen for arealet af en firkant. Så det var det, hvilket betyder, at området er steget flere gange!

I tilfælde af firkanter er der en anden måde at "røre" og blive overbevist direkte om dette tal.

Lad os tegne:

Hvis du ikke har en firkant, så er der kun tilbage at erstatte nye værdier i formlerne - og bliv ikke overrasket, hvis tallene pludselig viser sig at være ret store.

OMRÅDE MED TREKANT OG QUADAGON. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

retvinklet trekant

Firkantet er en figur bestående af fire hjørner, hvoraf tre ikke ligger på samme linje, og segmenter, der forbinder dem.

Der er mange firkanter. Disse omfatter parallelogrammer, firkanter, romber og trapezoider. Find kan findes ved siderne, let beregnet ved diagonaler. I en vilkårlig firkant kan du også bruge alle elementerne til at udlede formlen for firkantens areal. Lad os først se på formlen for arealet af en firkant i forhold til dens diagonal. For at bruge det skal du bruge længderne af diagonalerne og størrelsen på den spidse vinkel mellem dem. Når du kender de nødvendige data, kan du udføre et eksempel på beregning af arealet af en firkant ved hjælp af følgende formel:

Halvdelen af produktet af diagonalerne og sinus af den spidse vinkel mellem dem er arealet af firkanten. Lad os overveje et eksempel på beregning af arealet af en firkant ved hjælp af diagonalen.

Lad en firkant med to diagonaler d1 =5 cm;d2 =4cm gives. Den spidse vinkel mellem dem er α = 30°. Formlen for arealet af en firkant med hensyn til dens diagonaler kan let anvendes til kendte forhold. Lad os erstatte dataene:

Ved at bruge eksemplet med at beregne arealet af en firkant ved hjælp af diagonaler forstår vi, at formlen ligner meget beregningen.

Areal af en firkant langs siderne

Når længderne af siderne af en figur er kendt, kan du anvende formlen for arealet af en firkant langs siderne. For at anvende disse beregninger skal du finde figurens halvperimeter. Vi husker, at omkredsen er summen af længderne af alle sider. En semiperimeter er en halv omkreds. I vores rektangel med siderne a, b, c, d vil semi-perimeterformlen se sådan ud:
Når vi kender siderne, udleder vi formlen. Arealet af en firkant er roden af produktet af forskellen mellem halvperimeteren og længden af hver side:

Lad os se på et eksempel på beregning af arealet af en firkant ved hjælp af dens sider. Givet en vilkårlig firkant med siderne a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 6 cm Lad os først finde halvperimeteren:

brug den fundne værdi til at beregne arealet:

Arealet af en firkant givet ved koordinater

Formlen for arealet af en firkant med koordinater bruges til at beregne arealet af figurer, der er placeret i koordinatsystemet. I dette tilfælde skal du først beregne længderne af de krævede sider. Afhængigt af typen af firkant kan formlen i sig selv ændre sig. Lad os se på et eksempel på beregning af arealet af en firkant ved hjælp af et kvadrat, der ligger i XY-koordinatsystemet.

Givet et kvadrat ABCD placeret i et XY koordinatsystem. Find arealet af figuren, hvis koordinaterne for hjørnerne er A (2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Vi ved, at alle sider af figuren er ens, og formlen for arealet af en firkant findes ved formlen:
Lad os finde en af siderne, for eksempel AB:
Lad os erstatte værdierne i formlen:
Vi ved, at alle sider er ens. Vi erstatter værdien i formlen til beregning af arealet:

Denne online-beregner hjælper med at beregne, bestemme og beregne arealet af en grund online. Det præsenterede program kan korrekt foreslå, hvordan man beregner arealet af jordlodder med uregelmæssig form.

Vigtig! Det vigtige område skal passe omtrent ind i cirklen. Ellers bliver beregningerne ikke helt nøjagtige.

Vi angiver alle data i meter

A B, D A, C D, B C— Størrelsen af hver side af grunden.

Ifølge de indtastede data udfører vores program online beregninger og bestemmer arealet af jord i kvadratmeter, acres, acres og hektar.

Metode til at bestemme størrelsen af et plot manuelt

For korrekt at beregne arealet af plots behøver du ikke bruge komplekse værktøjer. Vi tager træpløkker eller metalstænger og installerer dem i hjørnerne af vores websted. Dernæst, ved hjælp af et målebånd, bestemmer du bredden og længden af plottet. Som regel er det nok at måle en bredde og en længde for rektangulære eller ligesidede områder. For eksempel har vi følgende data: bredde – 20 meter og længde – 40 meter.

Dernæst går vi videre til at beregne arealet af plottet. Hvis områdets form er korrekt, kan du bruge den geometriske formel til at bestemme arealet (S) af et rektangel. Ifølge denne formel skal du gange bredden (20) med længden (40), det vil sige produktet af længderne af de to sider. I vores tilfælde S=800 m².

Efter at vi har bestemt vores areal, kan vi bestemme antallet af hektar på grunden. Ifølge almindeligt anerkendte data er hundrede kvadratmeter 100 m². Dernæst vil vi ved hjælp af simpel aritmetik dividere vores parameter S med 100. Det færdige resultat vil være lig med størrelsen af plottet i acres. For vores eksempel er dette resultat 8. Således finder vi, at arealet af grunden er otte acres.

I det tilfælde, hvor landarealet er meget stort, er det bedst at udføre alle målinger i andre enheder - i hektar. Ifølge almindeligt anerkendte måleenheder - 1 Ha = 100 acres. For eksempel, hvis vores landområde ifølge de opnåede målinger er 10.000 m², er dets areal i dette tilfælde lig med 1 hektar eller 100 acres.

Hvis din grund er af uregelmæssig form, afhænger antallet af hektar direkte af området. Det er af denne grund, at du ved hjælp af en online-beregner korrekt kan beregne S-parameteren for plottet og derefter dividere resultatet med 100. Således vil du modtage beregninger i hundrede kvadratmeter. Denne metode gør det muligt at måle plots af komplekse former, hvilket er meget praktisk.

Samlet information

Beregning af arealet af jordlodder er baseret på klassiske beregninger, som udføres i henhold til almindeligt accepterede geodætiske formler.

Der er flere metoder tilgængelige til at beregne arealet af jord - mekanisk (beregnet i henhold til planen ved hjælp af målepaletter), grafisk (bestemt af projektet) og analytisk (ved hjælp af områdeformlen baseret på målte grænselinjer).

I dag anses den mest nøjagtige metode fortjent for at være analytisk. Ved hjælp af denne metode opstår der normalt fejl i beregninger på grund af fejl i terrænet af de målte linjer. Denne metode er også ret kompliceret, hvis grænserne er buede, eller antallet af vinkler på plottet er mere end ti.

Den grafiske metode er lidt nemmere at beregne. Det bruges bedst, når webstedets grænser præsenteres i form af en brudt linje med et lille antal drejninger.

Og den mest tilgængelige og enkle metode, og den mest populære, men samtidig den største fejl er den mekaniske metode. Ved hjælp af denne metode kan du nemt og hurtigt beregne arealet af land med enkel eller kompleks form.

Blandt de alvorlige ulemper ved den mekaniske eller grafiske metode skelnes følgende: Ud over fejl ved måling af arealet tilføjes der under beregninger en fejl på grund af deformation af papiret eller en fejl ved udarbejdelse af planer.