Generel information om lige prisme
Den laterale overflade af et prisme (mere præcist, det laterale overfladeareal) kaldes sum områder af sidefladerne. Prismets samlede overflade er lig med summen af sidefladen og arealerne af baserne.
Sætning 19.1. Sidefladen af et lige prisme er lig med produktet af basens omkreds og prismets højde, dvs. længden af sidekanten.
Bevis. Sidefladerne af et lige prisme er rektangler. Basen af disse rektangler er siderne af polygonen, der ligger ved bunden af prismet, og højderne er lig med længden af sidekanterne. Det følger heraf, at prismets sideflade er lig med
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
hvor a 1 og n er længderne af basiskanterne, p er omkredsen af prismets basis, og I er længden af sidekanterne. Sætningen er blevet bevist.
Praktisk opgave
Problem (22) . I et skrå prisme udføres det afsnit, vinkelret på sideribbene og skærer alle sideribbene. Find prismets sideflade, hvis sektionens omkreds er lig med p og sidekanterne er lig med l.
Løsning. Planet for det tegnede snit deler prismet i to dele (fig. 411). Lad os udsætte en af dem for parallel translation ved at kombinere prismets baser. I dette tilfælde får vi et lige prisme, hvis basis er tværsnittet af det originale prisme, og sidekanterne er lig med l. Dette prisme har samme sideflade som det originale. Således er sidefladen af det oprindelige prisme lig med pl.
Resumé af det dækkede emne
Lad os nu prøve at opsummere det emne, vi dækkede om prismer, og huske hvilke egenskaber et prisme har.
Prisme egenskaber
For det første har et prisme alle sine baser som lige store polygoner;
For det andet er alle dets sideflader i et prisme parallellogrammer;
For det tredje, i en så mangefacetteret figur som et prisme, er alle sidekanter lige store;
Det skal også huskes, at polyedre såsom prismer kan være lige eller skrå.
Hvilket prisme kaldes et lige prisme?
Hvis sidekanten af et prisme er placeret vinkelret på dets baseplan, kaldes et sådant prisme et lige.
Det ville ikke være overflødigt at huske, at sidefladerne af et lige prisme er rektangler.
Hvilken type prisme kaldes skrå?
Men hvis sidekanten af et prisme ikke er placeret vinkelret på dets baseplan, så kan vi roligt sige, at det er et skrå prisme.
Hvilket prisme kaldes korrekt?
Hvis en regulær polygon ligger i bunden af et lige prisme, så er et sådant prisme regulært.
Lad os nu huske de egenskaber, som et almindeligt prisme har.
Egenskaber ved et regulært prisme
For det første tjener regulære polygoner altid som basis for et regulært prisme;
For det andet, hvis vi betragter sidefladerne af et regulært prisme, er de altid lige store rektangler;
For det tredje, hvis du sammenligner størrelserne på sideribberne, så er de i en almindelig prisme altid ens.
For det fjerde er et korrekt prisme altid lige;
For det femte, hvis sidefladerne i et regulært prisme har form af kvadrater, kaldes en sådan figur normalt en semi-regulær polygon.
Prismetværsnit
Lad os nu se på tværsnittet af prismet:
Lektier
Lad os nu prøve at konsolidere det emne, vi har lært, ved at løse problemer.
Lad os tegne et skrånende trekantet prisme, afstanden mellem dets kanter vil være lig med: 3 cm, 4 cm og 5 cm, og sideoverfladen af dette prisme vil være lig med 60 cm2. Med disse parametre, find sidekanten af dette prisme.
Ved du, at geometriske figurer konstant omgiver os, ikke kun i geometritimerne, men også i hverdagen er der genstande, der ligner en eller anden geometrisk figur.
Ethvert hjem, skole eller arbejde har en computer, hvis systemenhed er formet som et lige prisme.
Hvis du tager en simpel blyant op, vil du se, at hoveddelen af blyanten er et prisme.
Når vi går langs den centrale gade i byen, ser vi, at der under vores fødder ligger en flise, der har form som et sekskantet prisme.
A. V. Pogorelov, Geometri for klasse 7-11, Lærebog for uddannelsesinstitutioner
Forskellige prismer er forskellige fra hinanden. Samtidig har de meget til fælles. For at finde arealet af prismets base skal du forstå, hvilken type det har.
Generel teori
Et prisme er ethvert polyeder, hvis sider har form af et parallelogram. Desuden kan dens base være et hvilket som helst polyeder - fra en trekant til en n-gon. Desuden er prismets baser altid lig med hinanden. Hvad der ikke gør sig gældende for sidefladerne er, at de kan variere betydeligt i størrelse.
Når man løser problemer, støder man ikke kun på arealet af prismebunden. Det kan kræve viden om sidefladen, det vil sige alle de flader, der ikke er baser. Den komplette overflade vil være foreningen af alle de ansigter, der udgør prismet.
Nogle gange involverer problemer højden. Det er vinkelret på baserne. Diagonalen af et polyeder er et segment, der parvis forbinder to spidser, der ikke hører til den samme flade.
Det skal bemærkes, at grundarealet af et lige eller skrå prisme ikke afhænger af vinklen mellem dem og sidefladerne. Hvis de har de samme figurer på top- og bundfladen, vil deres områder være lige store.
Trekantet prisme
Den har i bunden en figur med tre spidser, det vil sige en trekant. Det kan som bekendt være anderledes. Hvis det er tilfældet, er det nok at huske, at dets område er bestemt af halvdelen af produktet af benene.
Den matematiske notation ser således ud: S = ½ av.
For at finde ud af området af basen generelt er formlerne nyttige: Heron og den, hvor halvdelen af siden tages af højden, der er trukket til den.
Den første formel skal skrives som følger: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Denne notation indeholder en semi-perimeter (p), det vil sige summen af tre sider divideret med to.
For det andet: S = ½ n a * a.
Hvis du vil finde ud af arealet af bunden af et trekantet prisme, som er regelmæssigt, viser trekanten sig at være ligesidet. Der er en formel for det: S = ¼ a 2 * √3.
Firkantet prisme
Dens base er en hvilken som helst af de kendte firkanter. Det kan være et rektangel eller kvadratisk, parallelepipedum eller rombe. I hvert tilfælde skal du bruge din egen formel for at beregne arealet af bunden af prismet.
Hvis grundfladen er et rektangel, så bestemmes dens areal som følger: S = ab, hvor a, b er rektanglets sider.
Når det kommer til et firkantet prisme, beregnes arealet af bunden af et regulært prisme ved hjælp af formlen for et kvadrat. For det er ham, der ligger i fundamentet. S = a 2.
I det tilfælde, hvor basen er et parallelepipedum, vil følgende lighed være nødvendig: S = a * n a. Det sker, at siden af et parallelepipedum og en af vinklerne er givet. Derefter, for at beregne højden, skal du bruge en ekstra formel: n a = b * sin A. Desuden er vinkel A støder op til siden "b", og højden n er modsat denne vinkel.
Hvis der er en rombe i bunden af prismet, skal du for at bestemme dets areal have brug for den samme formel som for et parallelogram (da det er et særligt tilfælde af det). Men du kan også bruge dette: S = ½ d 1 d 2. Her er d 1 og d 2 to diagonaler af romben.
Regelmæssigt femkantet prisme
Dette tilfælde involverer opdeling af polygonen i trekanter, hvis områder er lettere at finde ud af. Selvom det sker, at figurer kan have et andet antal hjørner.
Da bunden af prismet er en regulær femkant, kan den opdeles i fem ligesidede trekanter. Så er arealet af bunden af prismet lig med arealet af en sådan trekant (formlen kan ses ovenfor), ganget med fem.
Regelmæssigt sekskantet prisme
Ved at bruge princippet beskrevet for et femkantet prisme er det muligt at opdele basens sekskant i 6 ligesidede trekanter. Formlen for basisarealet af et sådant prisme ligner den forrige. Kun det skal ganges med seks.
Formlen vil se sådan ud: S = 3/2 a 2 * √3.
Opgaver
Nr. 1. Givet en regulær lige linje er dens diagonal 22 cm, højden af polyederet er 14 cm. Beregn arealet af bunden af prismet og hele overfladen.
Løsning. Prismets bund er en firkant, men dens side er ukendt. Du kan finde dens værdi fra kvadratets diagonal (x), som er relateret til prismets diagonal (d) og dets højde (h). x 2 = d 2 - n 2. På den anden side er dette segment "x" hypotenusen i en trekant, hvis ben er lig med siden af kvadratet. Det vil sige, x 2 = a 2 + a 2. Således viser det sig, at a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Erstat tallet 22 i stedet for d, og erstat "n" med dets værdi - 14, det viser sig, at siden af firkanten er 12 cm. Find nu bare arealet af basen: 12 * 12 = 144 cm 2.
For at finde ud af arealet af hele overfladen skal du tilføje to gange basisarealet og firdoble sidearealet. Sidstnævnte kan let findes ved hjælp af formlen for et rektangel: gange højden af polyederet og siden af basen. Det vil sige 14 og 12, dette tal vil være lig med 168 cm 2. Prismets samlede overfladeareal viser sig at være 960 cm 2.
Svar. Arealet af bunden af prismet er 144 cm 2. Hele overfladen er 960 cm 2.
Nr. 2. Givet Ved basen er der en trekant med en side på 6 cm. I dette tilfælde er diagonalen på sidefladen 10 cm.
Løsning. Da prismet er regelmæssigt, er dets base en ligesidet trekant. Derfor viser dens areal sig at være lig med 6 i anden, ganget med ¼ og kvadratroden af 3. En simpel beregning fører til resultatet: 9√3 cm 2. Dette er arealet af en base af prismet.
Alle sideflader er ens og er rektangler med sider på 6 og 10 cm For at beregne deres arealer skal du bare gange disse tal. Gang dem derefter med tre, fordi prismet har præcis så mange sideflader. Så viser området af sårets laterale overflade at være 180 cm 2.
Svar. Områder: base - 9√3 cm 2, lateral overflade af prismet - 180 cm 2.
Prisme elementer
| Navn | Definition | Betegnelser på tegningen | Tegning |
| Grunde | To flader, der er kongruente polygoner, der ligger i parallelle planer. | ENBCDE , KLMNP | |
| Sideflader | Alle kanter undtagen bunden. Hver sideflade er nødvendigvis et parallelogram. | ENBLK , BCML , CDNM , DEPN , EENKP | |
| Side overflade | Sammenflettede sideflader. | ||
| Fuld overflade | Kombination af baser og sideflade. | ||
| Side ribben | Fælles sider af sidefladerne. | ENK , BL , CM , DN , EP | |
| Højde | Et segment, der forbinder baserne af et prisme og vinkelret på dem. | KR | |
| Diagonal | Et segment, der forbinder to hjørner af et prisme, som ikke hører til den samme flade. | BP | |
| Diagonalt plan | Et plan, der går gennem sidekanten af prismet og diagonalen af basen. | ||
| Diagonalt snit | Skæringspunktet mellem et prisme og et diagonalplan. Et parallelogram er dannet i tværsnittet, inklusive dets specielle tilfælde - rombe, rektangel, firkant. | EBLP | |
| Vinkelret snit | Skæringspunktet mellem et prisme og et plan vinkelret på dets sidekant. |
Prisme egenskaber
- 1. Prismets grundflader er lige store polygoner.
- 2. Prismets sideflader er parallellogrammer.
- 3. Prismets sidekanter er parallelle og lige store.
- 4. Prismevolumen lig med produktet af dens højde og arealet af dens base:
- 5. Prismets samlede overfladeareal er lig med summen af arealet af dets laterale overflade og to gange arealet af basen.
Typer af prismer
Der er prismer lige Og tilbøjelig.
Lige prisme- et prisme, hvor alle sidekanter er vinkelrette på bunden.
Sidefladeareal prismets lige linje er lig med produktet af basens omkreds og højden.Skrå prisme- et prisme, hvor mindst en sidekant ikke er vinkelret på bunden.
Sidefladeareal af et skrå prisme er lig med produktet af den vinkelrette sektions omkreds og længden af sidekanten. Volumen af et skrå prisme lig med produktet af det vinkelrette tværsnitsareal og sidekanten.Korrekt prisme- et lige prisme, hvis basis er en regulær polygon.
Egenskaber ved et regulært prisme
- 1. Grundlaget for et regulært prisme er regulære polygoner.
- 2. Sidefladerne af et regulært prisme er lige store rektangler.
- 3. Sidekanterne af et regulært prisme er lige store.
se også
Links
| Polyeder | |
|---|---|
| Korrekt (platoniske faste stoffer) |
|
| Regelmæssig ikke-konveks | Stellet polyeder (Stelleret oktaeder, Stellet dodecahedron, Stellet icosahedron, Stellet icosidodecahedron) |
| Konveks | |
| Formler, teoremer, teorier | |
| Andet | |
Wikimedia Foundation. 2010.
Se, hvad "Prism (matematik)" er i andre ordbøger:
- (begyndelse) "Matematik i ni bøger" (kinesisk trad. 九章算術 ... Wikipedia
En gren af matematikken, der beskæftiger sig med studiet af forskellige figurers egenskaber (punkter, linjer, vinkler, todimensionelle og tredimensionelle objekter), deres størrelser og relative positioner. For at lette undervisningen er geometri opdelt i planimetri og stereometri. I … … Colliers Encyclopedia
Zemlyakov, Alexander Nikolaevich Fil:Zemlyakov.jpg Alexander Nikolaevich Zemlyakov (17. april 1950 (19500417), Bologoye 1. januar 2005, Chernogolovka) matematiker, fremragende sovjetisk og russisk lærer, forfatter til pædagogisk pædagogisk ... ... Wikipedia
Alexander Nikolaevich Zemlyakov (17. april 1950 (19500417), Bologoye 1. januar 2005, Chernogolovka) matematiker, fremragende sovjetisk og russisk lærer, forfatter til pædagogisk litteratur. Biografi Uddannet i 1967 med en guldmedalje... ... Wikipedia
Dodekaeder Et regulært polyeder eller platonisk fast stof er et konveks polyeder, der består af identiske regulære polygoner og har rumlig symmetri ... Wikipedia
Dette udtryk har andre betydninger, se Pyramidatsu (betydninger). Der er sat spørgsmålstegn ved pålideligheden af dette afsnit af artiklen. Du skal verificere nøjagtigheden af de fakta, der er angivet i dette afsnit. Der kan være forklaringer på diskussionssiden... Wikipedia
I rumlig geometri, når man løser problemer med prismer, opstår problemet ofte med at beregne arealet af siderne eller flader, der danner disse volumetriske figurer. Denne artikel er afsat til spørgsmålet om at bestemme arealet af prismebunden og dens laterale overflade.
Prisme figur
Før du går videre til at overveje formler for basisarealet og overfladen af et prisme af en eller anden type, bør du forstå, hvilken slags figur vi taler om.
Et prisme i geometri er en rumlig figur, der består af to parallelle polygoner, der er ens med hinanden, og flere firkanter eller parallelogrammer. Antallet af sidstnævnte er altid lig med antallet af hjørner af en polygon. For eksempel, hvis en figur er dannet af to parallelle n-goner, vil antallet af parallelogrammer være n.
Parallelogrammerne, der forbinder n-goner, kaldes prismets laterale sider, og deres samlede areal er arealet af figurens laterale overflade. Selve n-gonerne kaldes baser.
Billedet ovenfor viser et eksempel på et prisme lavet af papir. Det gule rektangel er dens øverste base. Figuren står på en anden lignende base. De røde og grønne rektangler er sidefladerne.
Hvilke typer prismer findes der?
Der findes flere typer prismer. De adskiller sig alle fra hinanden på kun to parametre:
- typen af n-gon, der danner basen;
- vinklen mellem n-gon og sidefladerne.
For eksempel, hvis baserne er trekanter, kaldes prismet trekantet, hvis det er firkantet, som i den foregående figur, kaldes figuren et firkantet prisme, og så videre. Derudover kan en n-gon være konveks eller konkav, så tilføjes denne egenskab også til prismets navn.
Vinklen mellem sidefladerne og basen kan enten være lige, spids eller stump. I det første tilfælde taler de om et rektangulært prisme, i det andet - om et skråt eller skråt.
Regulære prismer er klassificeret som en speciel type figurer. De har den højeste symmetri blandt andre prismer. Det vil kun være regulært, hvis det er rektangulært, og dets base er en regulær n-gon. Figuren nedenfor viser et sæt regulære prismer, hvor antallet af sider af en n-gon varierer fra tre til otte.
Prisme overflade
Overfladen af figuren af vilkårlig type under overvejelse forstås som sættet af alle punkter, der hører til prismets flader. Det er praktisk at studere overfladen af et prisme ved at undersøge dets udvikling. Nedenfor er et eksempel på en sådan udvikling for et trekantet prisme.
Det kan ses, at hele overfladen er dannet af to trekanter og tre rektangler.
I tilfælde af et generelt prisme vil dets overflade bestå af to n-gonale baser og n firkanter.
Lad os overveje mere detaljeret spørgsmålet om beregning af overfladearealet af prismer af forskellige typer.
Grundarealet af et regulært prisme
Måske er det enkleste problem, når man arbejder med prismer, problemet med at finde arealet af bunden af den almindelige figur. Da den er dannet af en n-gon, hvis vinkler og sidelængder alle er ens, kan den altid opdeles i identiske trekanter, hvis vinkler og sider er kendte. Det samlede areal af trekanter vil være arealet af n-gon.
En anden måde at bestemme delen af overfladearealet af et prisme (base) er at bruge en velkendt formel. Det ser sådan ud:
S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)
Det vil sige, at arealet S n af en n-gon er entydigt bestemt baseret på viden om længden af dens side a. Nogle vanskeligheder ved beregning ved hjælp af formlen kan være beregningen af cotangensen, især når n>4 (for n≤4 er cotangensværdierne tabeldata). Det anbefales at bruge en lommeregner til at bestemme denne trigonometriske funktion.
Når du udgør et geometrisk problem, skal du være forsigtig, da du muligvis skal finde arealet af bunden af prismet. Derefter skal værdien opnået fra formlen ganges med to.
Basisareal af et trekantet prisme
Ved at bruge eksemplet med et trekantet prisme, lad os se på, hvordan du kan finde arealet af bunden af denne figur.
Lad os først overveje et simpelt tilfælde - et almindeligt prisme. Arealet af basen beregnes ved hjælp af formlen givet i afsnittet ovenfor, du skal erstatte n=3 i det. Vi får:
S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2
Det er tilbage at erstatte de specifikke værdier af længden af side a af den ligesidede trekant i udtrykket for at opnå arealet af en base.
Antag nu, at der er et prisme, hvis basis er en vilkårlig trekant. Dens to sider a og b og vinklen mellem dem α er kendt. Denne figur er vist nedenfor.
Hvordan finder man i dette tilfælde arealet af bunden af et trekantet prisme? Det er nødvendigt at huske, at arealet af enhver trekant er lig med halvdelen af produktet af siden og højden sænket til denne side. På figuren er højden h tegnet til side b. Længden h svarer til produktet af sinus af vinklen alfa og længden af siden a. Så er arealet af hele trekanten:
S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)
Dette er basisarealet af det viste trekantede prisme.
Side overflade
Vi så på, hvordan man finder arealet af bunden af et prisme. Sidefladen af denne figur består altid af parallelogrammer. For lige prismer bliver parallelogrammer til rektangler, så deres samlede areal er let at beregne:
S = ∑ i=1 n (a i *b)
Her er b længden af sidekanten, a i er længden af siden af det i-te rektangel, som falder sammen med længden af siden af n-gonen. I tilfælde af et regulært n-gonalt prisme får vi et simpelt udtryk:
Hvis prismet er skråtstillet, skal man for at bestemme arealet af dets laterale overflade lave et vinkelret snit, beregne dets omkreds P sr og gange det med længden af den laterale kant.
Billedet ovenfor viser, hvordan dette snit skal laves til et skrå femkantet prisme.
Der er et par mere simple prismeproblemer, som du kan løse. Overvej et ret prisme med en retvinklet trekant ved sin base. Spørgsmålet er rejst om at finde volumen eller overfladeareal. Prisme volumen formel:
Formel for prismeoverfladeareal (generel):
*For et lige prisme består sidefladen af rektangler og er lig med produktet af basens omkreds og prismets højde. Du skal huske formlen for arealet af en trekant. I dette tilfælde har vi en retvinklet trekant - dens areal er lig med halvdelen af produktet af benene. Lad os overveje opgaverne:
Grundlaget for et retvinklet trekantet prisme er en retvinklet trekant med ben 10 og 15, sidekanten er 5. Find prismets rumfang.
Basisarealet er arealet af en retvinklet trekant. Det er lig med halvdelen af arealet af et rektangel med siderne 10 og 15).
Således er det nødvendige volumen lig med:
Svar: 375
Grundlaget for et retvinklet trekantet prisme er en retvinklet trekant med ben 20 og 8. Prismets rumfang er 400. Find dets sidekant.
Opgaven er det modsatte af den forrige.
Prismevolumen:
Grundarealet er arealet af en retvinklet trekant:
Dermed
Svar: 5
Grundlaget for et retvinklet trekantet prisme er en retvinklet trekant med ben 5 og 12, prismets højde er 8. Find dets overfladeareal.
Overfladearealet af et prisme er summen af arealerne af alle flader - disse er to baser med lige areal og en sideflade.
For at finde områderne af alle flader er det nødvendigt at finde den tredje side af prismets basis (hypotenusen i den retvinklede trekant).
Ifølge Pythagoras sætning:
Nu kan vi finde basisarealet og sidefladearealet. Basens areal er:
Arealet af prismets laterale overflade med basens omkreds er lig med:
*Du kan undvære formlen og blot tilføje områderne af tre rektangler: