symmetri arkitektonisk facadebygning

Symmetri er et begreb, der afspejler den i naturen eksisterende orden, proportionalitet og proportionalitet mellem elementerne i ethvert system eller naturobjekt, orden, balance i systemet, stabilitet, dvs. et element af harmoni.

Årtusinder gik, før menneskeheden i løbet af sine sociale og produktionsmæssige aktiviteter indså behovet for i visse begreber at udtrykke de to tendenser, den havde etableret primært i naturen: tilstedeværelsen af ​​streng orden, proportionalitet, balance og krænkelse af dem. Folk har længe været opmærksomme på den korrekte form af krystaller, den geometriske stringens af strukturen af ​​honningkager, rækkefølgen og repeterbarheden af ​​arrangementet af grene og blade på træer, kronblade, blomster, plantefrø og afspejlet denne orden i deres praktiske aktiviteter, tænkning og kunst.

Genstande og fænomener i den levende natur har symmetri. Det glæder ikke kun øjet og inspirerer digtere fra alle tider og folk, men giver levende organismer mulighed for bedre at tilpasse sig deres miljø og simpelthen overleve.

I den levende natur udstiller langt de fleste levende organismer forskellige slags symmetrier (form, lighed, relativ placering). Desuden kan organismer med forskellige anatomiske strukturer have den samme type ekstern symmetri.

Symmetriprincippet siger, at hvis rummet er homogent, ændrer overførslen af ​​et system som helhed i rummet ikke systemets egenskaber. Hvis alle retninger i rummet er ækvivalente, så tillader symmetriprincippet rotationen af ​​systemet som helhed i rummet. Princippet om symmetri respekteres, hvis tidens oprindelse ændres. I overensstemmelse med princippet er det muligt at lave en overgang til et andet referencesystem, der bevæger sig i forhold til dette system med konstant hastighed. Den livløse verden er meget symmetrisk. Ofte symmetri overtrædelser i kvantefysik elementære partikler- dette er en manifestation af en endnu dybere symmetri. Asymmetri er et strukturdannende og kreativt livsprincip. I levende celler er funktionelt signifikante biomolekyler asymmetriske: proteiner består af venstredrejende aminosyrer (L-form) og nukleinsyrer De indeholder, udover heterocykliske baser, højredrejende kulhydrater - sukkerarter (D-form), derudover selve DNA - grundlaget for arvelighed er en højrehåndet dobbelthelix.

Symmetriprincipperne ligger til grund for relativitetsteorien, kvantemekanik, fysikere solid, nukleare og kernefysik, partikelfysik. Disse principper kommer tydeligst til udtryk i naturlovenes invariansegenskaber. Dette handler ikke kun om fysiske love, men også andre, for eksempel biologiske. Et eksempel på en biologisk fredningslov er arveloven. Det er baseret på invarians biologiske egenskaber i forhold til overgangen fra en generation til en anden. Det er helt indlysende, at uden bevaringslove (fysiske, biologiske og andre) kunne vores verden simpelthen ikke eksistere.

Symmetri udtrykker således bevarelsen af ​​noget på trods af nogle ændringer eller bevarelsen af ​​noget på trods af en ændring. Symmetri forudsætter uforanderligheden ikke kun af selve objektet, men også af enhver af dets egenskaber i forhold til transformationer udført på objektet. Visse objekters uforanderlighed kan observeres i forhold til forskellige operationer - rotationer, translationer, gensidig udskiftning af dele, refleksioner osv.

Lad os overveje typerne af symmetri i matematik:

• * central (i forhold til punktet)
• * aksial (relativt lige)
• * spejl (i forhold til flyet)
• 1. Central symmetri (bilag 1)

En figur siges at være symmetrisk i forhold til punkt O, hvis der for hvert punkt på figuren også hører et punkt symmetrisk i forhold til punkt O til denne figur. Punkt O kaldes figurens symmetricentrum.

Konceptet om et symmetricenter blev først mødt i det 16. århundrede. I en af ​​Clavius' sætninger, som siger: "hvis et parallelepipedum skæres af et plan, der passerer gennem midten, så deles det i to, og omvendt, hvis et parallelepipedum skæres i to, så passerer planet gennem midten." Legendre, der først introducerede elementær geometri elementer af symmetrilæren, viser det højre parallelepipedum der er 3 symmetriplan vinkelret på kanterne, og terningen har 9 symmetriplaner, hvoraf 3 er vinkelrette på kanterne, og de øvrige 6 går gennem fladernes diagonaler.

Eksempler på figurer, der har central symmetri, er cirklen og parallelogrammet.

I algebra, når man studerer lige og ulige funktioner, overvejes deres grafer. Når den er konstrueret, er grafen for en lige funktion symmetrisk i forhold til ordinataksen, og grafen for en ulige funktion er symmetrisk i forhold til oprindelsen, dvs. punkt O. Dette betyder Ikke selv funktion har central symmetri, og den lige funktion er aksial.

2. Aksial symmetri (bilag 2)

En figur kaldes symmetrisk i forhold til linje a, hvis der for hvert punkt i figuren også hører et punkt symmetrisk i forhold til linje a til denne figur. Den rette linje a kaldes figurens symmetriakse. Figuren siges også at have aksial symmetri.

I mere i snæver forstand symmetriaksen kaldes symmetriaksen af ​​anden orden og taler om "aksial symmetri", som kan defineres som følger: en figur (eller krop) har aksial symmetri om en bestemt akse, hvis hvert af dets punkter E svarer til et punkt F, der tilhører samme figur, således at segmentet EF er vinkelret på aksen, skærer den og i skæringspunktet er delt i to.

Jeg vil give eksempler på figurer, der har aksial symmetri. En uudviklet vinkel har én symmetriakse - den rette linje, hvorpå vinklens halveringslinje er placeret. En ligebenet (men ikke ligesidet) trekant har også en symmetriakse, og ligesidet trekant-- tre symmetriakser. Et rektangel og en rombe, som ikke er kvadrater, har hver to symmetriakser, og et kvadrat har fire symmetriakser. En cirkel har et uendeligt antal af dem - enhver ret linje, der går gennem dens centrum, er en symmetriakse.

Der er figurer, der ikke har en enkelt symmetriakse. Sådanne figurer inkluderer et parallelogram, forskelligt fra et rektangel, og en skala-trekant.

3. Spejlsymmetri (bilag 3)

Spejlsymmetri (symmetri i forhold til et plan) er en afbildning af rummet på sig selv, hvor ethvert punkt M går ind i et punkt M1, der er symmetrisk til det i forhold til dette plan.

Spejlsymmetri er velkendt for enhver person fra daglig observation. Som navnet selv viser, spejlsymmetri forbinder ethvert objekt og dets reflektion ind fladt spejl. En figur (eller krop) siges at være spejlsymmetrisk til en anden, hvis de tilsammen danner en spejlsymmetrisk figur (eller krop).

Billardspillere har længe været fortrolige med refleksionens handling. Deres "spejle" er siderne af spillefeltet, og rollen som en lysstråle spilles af kuglernes baner. Efter at have ramt siden nær hjørnet, ruller bolden mod den side, der er placeret i en ret vinkel, og efter at være blevet reflekteret fra den, bevæger den sig tilbage parallelt med retningen af ​​det første slag.

Det skal bemærkes, at to symmetriske figurer eller to symmetriske dele af en figur med alle deres ligheder, lighed af volumener og overfladearealer, i almindelig sag, er ulige, dvs. de kan ikke kombineres med hinanden. Det er forskellige figurer, de kan ikke erstattes med hinanden, for eksempel den rigtige handske, støvle osv. ikke egnet til venstre arm eller ben. Elementer kan have en, to, tre osv. symmetriplaner. For eksempel er en lige pyramide, hvis basis er en ligebenet trekant, symmetrisk om et plan P. Et prisme med samme base har to symmetriplaner. Den rigtige sekskantet prisme der er syv af dem. Rotationslegemer: kugle, torus, cylinder, kegle osv. har uendeligt antal symmetriplaner.

De gamle grækere troede, at universet var symmetrisk, simpelthen fordi symmetri er smukt. Ud fra overvejelser om symmetri lavede de en række gæt. Således Pythagoras (5. århundrede f.Kr.), betragter sfæren som den mest symmetriske og perfekt form, lavede en konklusion om Jordens sfæricitet og dens bevægelse langs sfæren. Samtidig mente han, at Jorden bevæger sig langs sfæren af ​​en vis "central ild". Ifølge Pythagoras skulle de seks planeter kendt på det tidspunkt, såvel som Månen, Solen og stjernerne, kredse om den samme "ild".

Formålet med lektionen:

• dannelse af begrebet "symmetriske punkter";
• lære børn at konstruere punkter, der er symmetriske i forhold til data;
• lære at konstruere segmenter, der er symmetriske i forhold til data;
• konsolidering af det lærte (dannelse af beregningsevner, division af et flercifret tal med et enkeltcifret tal).

På standen "til lektionen"-kort:

1. Organisatorisk øjeblik

Vær hilset.

Læreren gør opmærksom på standen:

Børn, lad os starte lektionen med at planlægge vores arbejde.

I dag i matematik lektion vil vi tage en rejse ind i 3 riger: riget af aritmetik, algebra og geometri. Lad os starte lektionen med det vigtigste for os i dag, med geometri. Jeg vil fortælle dig et eventyr, men "Et eventyr er en løgn, men der er et hint i det - en lektion for gode kammerater."

": En filosof ved navn Buridan havde et æsel. En gang, da han gik i lang tid, satte filosoffen to ens armfulde hø foran æslet. Han placerede en bænk og til venstre for bænken og til højre for den , i samme afstand anbragte han helt ens armfulde hø.

Figur 1 på tavlen:

Æslet gik fra den ene armfuld hø til den anden, men besluttede sig stadig ikke for hvilken armfuld han skulle starte med. Og til sidst døde han af sult."

Hvorfor besluttede æslet ikke, hvilken armfuld hø der skulle starte med?

Hvad kan du sige om disse favnefulde hø?

(Armfulde hø er nøjagtig de samme, de var i samme afstand fra bænken, hvilket betyder, at de er symmetriske).

2. Lad os lave lidt research.

Tag et ark papir (hvert barn har et ark farvet papir på deres skrivebord), fold det på midten. Gennembor den med benet på et kompas. Udvide.

Hvad fik du? (2 symmetriske punkter).

Hvordan kan du være sikker på, at de virkelig er symmetriske? (lad os folde arket, prikkerne matcher)

3. På bordet:

Tror du, at disse punkter er symmetriske? (Ingen). Hvorfor? Hvordan kan vi være sikre på dette?

Figur 3:

Er disse punkter A og B symmetriske?

Hvordan kan vi bevise dette?

(Mål afstanden fra den lige linje til punkterne)

Lad os vende tilbage til vores stykker farvet papir.

Mål afstanden fra foldelinjen (symmetriaksen) først til det ene og derefter til det andet punkt (men forbind dem først med et segment).

Hvad kan du sige om disse afstande?

(Det samme)

Find midten af ​​dit segment.

Hvor er det?

(Er skæringspunktet for segment AB med symmetriaksen)

4. Vær opmærksom på hjørnerne, dannet som et resultat af skæringen af ​​segment AB med symmetriaksen. (Vi finder ud af ved hjælp af en firkant, hvert barn arbejder på sin egen arbejdsplads, man studerer ved tavlen).

Børns konklusion: segment AB er vinkelret på symmetriaksen.

Uden at vide det har vi nu opdaget en matematisk regel:

Hvis punkterne A og B er symmetriske om en ret linje eller symmetriakse, er det segment, der forbinder disse punkter, i en ret vinkel eller vinkelret på denne rette linje. (Ordet "vinkelret" er skrevet separat på stativet). Vi siger ordet "vinkelret" højt i kor.

5. Lad os være opmærksomme på, hvordan denne regel er skrevet i vores lærebog.

Arbejd efter lærebogen.

Find symmetriske punkter i forhold til den rette linje. Vil punkt A og B være symmetriske omkring denne linje?

6. Arbejder på nyt materiale.

Lad os lære, hvordan man konstruerer punkter, der er symmetriske i forhold til data i forhold til en lige linje.

Læreren underviser i ræsonnement.

For at konstruere et punkt, der er symmetrisk til punkt A, skal du flytte dette punkt fra den lige linje til samme afstand til højre.

7. Vi vil lære at konstruere segmenter, der er symmetriske med data i forhold til en ret linje. Arbejd efter lærebogen.

Eleverne ræsonnerer ved tavlen.

8. Mundtlig tælling.

Det er her, vi vil afslutte vores ophold i "Geometry" Kingdom og vil lave en lille matematisk opvarmning ved at besøge "Aritmetic" Kingdom.

Mens alle arbejder mundtligt, arbejder to elever på individuelle bestyrelser.

A) Udfør division med verifikation:

B) Efter at have indsat de nødvendige tal, løser du eksemplet og kontrollerer:

Verbal optælling.

1. Levetiden for en birk er 250 år, og en eg er 4 gange længere. Hvor længe lever et egetræ?
2. En papegøje lever i gennemsnit 150 år, og en elefant er 3 gange mindre. Hvor mange år lever en elefant?
3. Bjørnen inviterede gæster til ham: et pindsvin, en ræv og et egern. Og som gave gav de ham en sennepsgryde, en gaffel og en ske. Hvad gav pindsvinet bjørnen?

Vi kan besvare dette spørgsmål, hvis vi udfører disse programmer.

• Sennep - 7
• Gaffel - 8
• ske - 6

(pindsvinet gav en ske)

4) Beregn. Find et andet eksempel.

• 810: 90
• 360: 60
• 420: 7
• 560: 80

5) Find et mønster og hjælp med at skrive det nødvendige antal ned:

3	9	81
2		16

5	10	20
6		24

9. Lad os nu hvile lidt.

Lad os lytte til Beethovens Moonlight Sonata. Et minuts klassisk musik. Eleverne lægger hovedet på skrivebordet, lukker øjnene og lytter til musik.

10. Rejs ind i algebraens rige.

Gæt ligningens rødder og tjek:

Eleverne løser opgaver på tavlen og i notesbøger. De forklarer, hvordan de gættede det.

11. "Blitz-turnering" .

a) Asya købte 5 bagels for a rubler og 2 brød for b rubler. Hvor meget koster hele købet?

Lad os tjekke. Lad os dele vores meninger.

12. Opsummerende.

Så vi har afsluttet vores rejse ind i matematikkens rige.

Hvad var det vigtigste for dig i lektionen?

Hvem kunne lide vores lektion?

Det var en fornøjelse at arbejde sammen med dig

Tak for lektionen.

Bevægelseskoncept

Lad os først undersøge begrebet bevægelse.

Definition 1

En kortlægning af et fly kaldes en bevægelse af flyet, hvis kortlægningen bevarer afstande.

Der er flere teoremer relateret til dette koncept.

Sætning 2

Trekanten bliver, når den bevæger sig, til en lige stor trekant.

Sætning 3

Enhver figur, når den bevæger sig, forvandles til en figur svarende til den.

Aksial og central symmetri er eksempler på bevægelse. Lad os se på dem mere detaljeret.

Aksial symmetri

Definition 2

Punkterne $A$ og $A_1$ kaldes symmetriske i forhold til linjen $a$, hvis denne linje er vinkelret på stykket $(AA)_1$ og går gennem dets centrum (fig. 1).

Billede 1.

Lad os overveje aksial symmetri ved hjælp af et eksempelproblem.

Eksempel 1

Byg symmetrisk trekant Til givet trekant om ethvert aspekt af det.

Løsning.

Lad os få en trekant $ABC$. Vi vil konstruere dens symmetri med hensyn til siden $BC$. Siden $BC$ med aksial symmetri vil forvandle sig til sig selv (følger af definitionen). Punkt $A$ vil gå til punkt $A_1$ på følgende måde: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Trekant $ABC$ vil forvandles til trekant $A_1BC$ (fig. 2).

Figur 2.

Definition 3

En figur kaldes symmetrisk med hensyn til den rette linie $a$, hvis hvert symmetrisk punkt i denne figur er indeholdt i den samme figur (fig. 3).

Figur 3.

Figur $3$ viser et rektangel. Den har aksial symmetri med hensyn til hver af dens diametre, såvel som med hensyn til to lige linjer, der passerer gennem centrene modsatte sider givet rektangel.

Central symmetri

Definition 4

Punkter $X$ og $X_1$ kaldes symmetriske i forhold til punktet $O$, hvis punktet $O$ er midten af ​​segmentet $(XX)_1$ (fig. 4).

Figur 4.

Lad os overveje central symmetri ved hjælp af et eksempelproblem.

Eksempel 2

Konstruer en symmetrisk trekant for en given trekant ved enhver af dens toppunkter.

Løsning.

Lad os få en trekant $ABC$. Vi vil konstruere dens symmetri i forhold til toppunktet $A$. Toppunktet $A$ med central symmetri vil forvandle sig til sig selv (følger af definitionen). Punkt $B$ vil gå til punkt $B_1$ som følger: $(BA=AB)_1$, og punkt $C$ vil gå til punkt $C_1$ som følger: $(CA=AC)_1$. Trekant $ABC$ vil forvandles til trekant $(AB)_1C_1$ (fig. 5).

Figur 5.

Definition 5

En figur er symmetrisk i forhold til punktet $O$, hvis hvert symmetrisk punkt i denne figur er indeholdt i den samme figur (fig. 6).

Figur 6.

Figur $6$ viser et parallelogram. Den har central symmetri omkring skæringspunktet mellem dens diagonaler.

Eksempel opgave.

Eksempel 3

Lad os få et segment $AB$. Konstruer dens symmetri med hensyn til linjen $l$, som ikke skærer det givne segment, og med hensyn til punktet $C$, der ligger på linjen $l$.

Løsning.

Lad os skematisk afbilde problemets tilstand.

Figur 7.

Lad os først afbilde aksial symmetri med hensyn til den rette linie $l$. Da aksial symmetri er en bevægelse, vil segmentet $AB$ ved sætning $1$ blive afbildet på segmentet $A"B"$ svarende til det. For at konstruere det, vil vi gøre følgende: tegne lige linjer $m\ og\n$ gennem punkterne $A\ og\B$, vinkelret på den rette linje $l$. Lad $m\cap l=X,\n\cap l=Y$. Dernæst tegner vi segmenterne $A"X=AX$ og $B"Y=BY$.

Figur 8.

Lad os nu afbilde den centrale symmetri med hensyn til punktet $C$. Fordi central symmetri er en bevægelse, så vil segmentet $AB$ ved sætning $1$ blive afbildet på segmentet $A""B""$ svarende til det. For at konstruere det, vil vi gøre følgende: Tegn linjerne $AC\ og\ BC$. Dernæst tegner vi segmenterne $A^("")C=AC$ og $B^("")C=BC$.

Figur 9.

Du får brug for

• - egenskaber af symmetriske punkter;
• - egenskaber af symmetriske figurer;
• - lineal;
• - firkantet;
• - kompas;
• - blyant;
• - papir;
• - en computer med et grafikredigeringsprogram.

Instruktioner

Tegn en lige linje a, som vil være symmetriaksen. Hvis dens koordinater ikke er specificeret, tegnes den vilkårligt. På den ene side af denne lige linje sted vilkårligt punkt A. det er nødvendigt at finde et symmetrisk punkt.

Nyttige råd

Symmetriegenskaber bruges konstant i AutoCAD. For at gøre dette skal du bruge indstillingen Mirror. Til bygning ligebenet trekant eller ligebenet trapez det er nok at tegne den nederste base og vinklen mellem den og siden. Afspejle dem ved hjælp af den givne kommando og forlænge sider til den krævede værdi. I tilfælde af en trekant vil dette være punktet for deres skæringspunkt, og for en trapez - indstillet værdi.

Du møder konstant symmetri i grafiske redaktører når du bruger muligheden "vend lodret/vandret". I dette tilfælde anses symmetriaksen for at være en ret linje svarende til en af ​​de lodrette eller vandrette sider af billedrammen.

Kilder:

• hvordan man tegner central symmetri

At konstruere et tværsnit af en kegle er ikke sådan vanskelig opgave. Det vigtigste er at følge en streng rækkefølge af handlinger. Derefter denne opgave vil være let at gøre og vil ikke kræve meget arbejde fra dig.

Du får brug for

• - papir;
• - pen;
• - cirkel;
• - lineal.

Instruktioner

Når du besvarer dette spørgsmål, skal du først beslutte, hvilke parametre der definerer afsnittet.
Lad dette være den rette skæringslinje af planet l med planet og punktet O, som er skæringspunktet med dets snit.

Konstruktionen er illustreret i fig. 1. Det første trin i at konstruere en sektion er gennem midten af ​​sektionen af ​​dens diameter, forlænget til l vinkelret på denne linje. Resultatet er punkt L. Tegn derefter en ret linje LW gennem punkt O, og konstruer to styrekegler, der ligger i hovedsektionen O2M og O2C. I skæringspunktet mellem disse guider ligger punktet Q, samt det allerede viste punkt W. Det er de to første punkter i det ønskede snit.

Tegn nu en vinkelret MS ved bunden af ​​keglen BB1 og konstruer generatorerne vinkelret snit O2B og O2B1. I dette afsnit, gennem punkt O, tegne en ret linje RG parallelt med BB1. Т.R og Т.G er yderligere to punkter i det ønskede afsnit. Hvis kuglens tværsnit var kendt, kunne den bygges allerede på dette stadium. Dette er dog slet ikke en ellipse, men noget elliptisk, der har symmetri i forhold til segmentet QW. Derfor bør du bygge så mange snitpunkter som muligt for senere at forbinde dem med en glat kurve for at opnå den mest pålidelige skitse.

Konstruer et vilkårligt snitpunkt. For at gøre dette skal du tegne en vilkårlig diameter AN ved bunden af ​​keglen og konstruere de tilsvarende guider O2A og O2N. Gennem t.O tegnes en lige linje, der går gennem PQ og WG, indtil den skærer de nykonstruerede guider i punkterne P og E. Dette er yderligere to punkter i det ønskede afsnit. Hvis du fortsætter på samme måde, kan du finde så mange point, du vil.

Det er sandt, at proceduren for at opnå dem kan forenkles lidt ved hjælp af symmetri med hensyn til QW. For at gøre dette kan du tegne lige linjer SS' i planet for den ønskede sektion, parallelt med RG, indtil de skærer keglens overflade. Konstruktionen afsluttes ved at afrunde den konstruerede polylinje fra akkorder. Det er nok at konstruere halvdelen af ​​den ønskede sektion på grund af den allerede nævnte symmetri med hensyn til QW.

Video om emnet

Tip 3: Sådan laver du en graf trigonometrisk funktion

Du skal tegne tidsplan trigonometrisk funktioner? Mestre algoritmen for handlinger ved at bruge eksemplet med at konstruere en sinusoid. For at løse problemet skal du bruge forskningsmetoden.

Du får brug for

• - lineal;
• - blyant;
• - kendskab til det grundlæggende i trigonometri.

Instruktioner

Video om emnet

Bemærk

Hvis de to halvakser af en enkelt-stribe hyperboloid er ens, kan figuren fås ved at rotere en hyperbel med halvakser, hvoraf den ene er ovenstående, og den anden, forskellig fra de to lige store, omkring imaginær akse.

Nyttige råd

Når man undersøger denne figur i forhold til Oxz- og Oyz-akserne, er det klart, at dets hovedafsnit er hyperbler. Og når man skærer dette rumlig figur rotation af Oxy-planet, dets tværsnit er en ellipse. Halsellipsen af ​​en enkelt-stribe hyperboloid passerer gennem koordinaternes oprindelse, fordi z=0.

Halsellipsen beskrives med ligningen x²/a² +y²/b²=1, og de andre ellipser er sammensat af ligningen x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Kilder:

• Ellipsoider, paraboloider, hyperboloider. Retlineære generatorer

Formen af ​​en femtakket stjerne har været meget brugt af mennesket siden oldtiden. Vi anser dens form for smuk, fordi vi ubevidst genkender dens forhold i det gyldne snit, dvs. skønheden i den femtakkede stjerne er matematisk begrundet. Euklid var den første, der beskrev konstruktionen af ​​en femtakket stjerne i sine elementer. Lad os slutte os til hans erfaring.

Du får brug for

• lineal;
• blyant;
• kompas;
• vinkelmåler.

Instruktioner

Konstruktionen af ​​en stjerne kommer ned til konstruktionen og den efterfølgende forbindelse af dens hjørner til hinanden sekventielt gennem en. For at bygge den rigtige skal du opdele cirklen i fem.
Byg vilkårlig kreds ved hjælp af et kompas. Marker dens centrum med punktet O.

Marker punkt A og brug en lineal til at tegne linjestykke OA. Nu skal du dele segmentet OA i to, for at gøre dette, fra punkt A, tegner du en bue med radius OA, indtil den skærer cirklen i to punkter M og N. Konstruer segmentet MN. Punktet E hvor MN skærer OA vil halvere segment OA.

Gendan den vinkelrette OD til radius OA og forbind punkterne D og E. Lav et hak B på OA fra punkt E med radius ED.

Brug nu linjestykket DB til at markere cirklen med fem lige dele. Mærk toppunkterne på den regulære femkant sekventielt med tal fra 1 til 5. Forbind punkterne i næste sekvens: 1 med 3, 2 med 4, 3 med 5, 4 med 1, 5 med 2. Her er den korrekte femtakkede stjerne, i regulær femkant. Det er præcis den måde, jeg byggede det på

TREKANTER.

§ 17. SYMMETRI RELATIVT TIL HØJRE LIGE.

1. Figurer, der er symmetriske til hinanden.

Lad os tegne en figur på et ark papir med blæk og med en blyant udenfor - en vilkårlig lige linje. Derefter, uden at lade blækket tørre, bøjer vi papirarket langs denne lige linje, så den ene del af arket overlapper den anden. Denne anden del af arket vil således producere et aftryk af denne figur.

Hvis du så retter papirarket ud igen, så kommer der to figurer på det, som kaldes symmetrisk i forhold til en given linje (fig. 128).

To figurer kaldes symmetriske med hensyn til en bestemt ret linje, hvis de, når de bøjer tegneplanet langs denne rette linje, er justeret.

Den rette linje, som disse figurer er symmetriske i forhold til, kaldes deres symmetriakse.

Af definitionen af ​​symmetriske figurer følger det, at alle symmetriske figurer er ens.

Du kan få symmetriske figurer uden at bruge bøjning af flyet, men med hjælp geometrisk konstruktion. Lad det være nødvendigt at konstruere et punkt C" symmetrisk til et givet punkt C i forhold til den rette linje AB. Lad os slippe en vinkelret fra punkt C
CD til lige linje AB, og som dens fortsættelse vil vi lægge segmentet DC" = DC. Hvis vi bøjer tegneplanet langs AB, så vil punkt C flugte med punkt C": punkt C og C" er symmetriske (fig. 129) ).

Antag nu, at vi skal konstruere et segment C "D", symmetrisk dette segment CD i forhold til lige AB. Lad os bygge punkterne C" og D", symmetrisk til punkterne C og D. Hvis vi bøjer tegneplanet langs AB, så vil punkterne C og D falde sammen med henholdsvis punkterne C" og D" (tegning 130). Derfor vil segmenterne CD og C "D" flugte, de vil være symmetrisk.

Lad os nu konstruere en figur symmetrisk givet polygon ABCDE i forhold til denne symmetriakse MN (fig. 131).

For at løse dette problem, lad os droppe perpendikulerne A EN, IN b, MED Med, D d og E e til symmetriaksen MN. Derefter, på forlængelserne af disse perpendikulære, plotter vi segmenterne
EN A" = A EN, b B" = B b, Med C" = Cs; d D"" =D d Og e E" = E e.

Polygonen A"B"C"D"E" vil være symmetrisk med polygonen ABCDE. Faktisk, hvis du bøjer tegningen langs en ret linje MN, vil de tilsvarende hjørner af begge polygoner flugte, og derfor vil polygonerne selv justere Dette beviser, at polygonerne ABCDE og A" B"C"D"E" er symmetriske omkring den rette linie MN.

2. Figurer bestående af symmetriske dele.

Ofte fundet geometriske figurer, som er opdelt med en ret linje i to symmetriske dele. Sådanne figurer kaldes symmetrisk.

Så for eksempel er en vinkel en symmetrisk figur, og vinklens halveringslinje er dens symmetriakse, da den ene del af vinklen, når den bøjes langs den, kombineres med den anden (fig. 132).

I en cirkel er symmetriaksen dens diameter, da når man bøjer langs den, kombineres en halvcirkel med en anden (fig. 133). Figurerne på tegningerne 134, a, b er nøjagtigt symmetriske.

Symmetriske figurer findes ofte i natur, konstruktion og smykker. Billederne placeret på tegning 135 og 136 er symmetriske.

Det skal bemærkes, at symmetriske figurer kun i nogle tilfælde kan kombineres ved blot at bevæge sig langs et plan. For at kombinere symmetriske figurer er det som regel nødvendigt at dreje en af ​​dem med den modsatte side,