Denne lektion er den første i en serie af videoer om integration. I den vil vi analysere, hvad en antiderivat af en funktion er, og også studere de elementære metoder til at beregne netop disse antiderivater.
Faktisk er der ikke noget kompliceret her: i det væsentlige kommer det hele til begrebet afledt, som du allerede burde være bekendt med :)
Jeg vil straks bemærke, at da dette er den allerførste lektion i vores nyt emne, vil der ikke være nogen i dag komplekse beregninger og formler, men det, vi skal studere i dag, vil danne grundlag for meget mere komplekse beregninger og konstruktioner, når der skal beregnes komplekse integraler og firkanter.
Når vi begynder at studere især integration og integraler, antager vi desuden implicit, at den studerende allerede i det mindste er bekendt med begreberne afledte og har mindst grundlæggende færdigheder i at beregne dem. Uden en klar forståelse af dette er der absolut intet at gøre ved integration.
Her ligger dog et af de mest almindelige og snigende problemer. Faktum er, at mange elever, når de begynder at beregne deres første antiderivater, forveksler dem med afledte. Som følge heraf i eksamener og selvstændigt arbejde der begås dumme og stødende fejl.
Derfor vil jeg nu ikke give en klar definition af et antiderivat. Til gengæld foreslår jeg, at du ser, hvordan det udregnes ved hjælp af et simpelt konkret eksempel.
Hvad er et antiderivat, og hvordan beregnes det?
Vi kender denne formel:
\[((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Denne afledte beregnes ganske enkelt:
\[(f)"\venstre(x \højre)=((\venstre(((x)^(3)) \højre))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Lad os se nøje på det resulterende udtryk og udtrykke $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\venstre(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Men vi kan skrive det på denne måde, ifølge definitionen af en afledt:
\[((x)^(2))=((\venstre(\frac(((x)^(3)))(3) \højre))^(\prime ))\]
Og nu opmærksomhed: Det, vi lige har skrevet ned, er definitionen af et antiderivat. Men for at skrive det korrekt, skal du skrive følgende:
Lad os skrive følgende udtryk på samme måde:
Hvis vi generaliserer denne regel, kan vi udlede følgende formel:
\[((x)^(n))\til \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Nu kan vi formulere en klar definition.
En antiderivat af en funktion er en funktion, hvis afledede er lig med den oprindelige funktion.
Spørgsmål om antiderivatfunktionen
Det virker som en ret simpel og forståelig definition. Men efter at have hørt det, vil den opmærksomme studerende straks have flere spørgsmål:
- Lad os sige, okay, denne formel er korrekt. Men i dette tilfælde, med $n=1$, har vi problemer: "nul" vises i nævneren, og vi kan ikke dividere med "nul".
- Formlen er begrænset til kun grader. Hvordan man beregner antiderivatet, for eksempel af sinus, cosinus og enhver anden trigonometri, samt konstanter.
- Eksistentielt spørgsmål: er det altid muligt at finde et antiderivat? Hvis ja, hvad så med antiderivatet af summen, forskellen, produktet osv.?
På sidste spørgsmål Jeg svarer med det samme. Desværre er antiderivatet, i modsætning til derivatet, ikke altid overvejet. Ikke sådan noget universel formel, hvorved vi fra enhver indledende konstruktion vil opnå en funktion, der vil være lig med denne lignende konstruktion. Hvad angår kræfter og konstanter, vil vi tale om det nu.
Løsning af problemer med strømfunktioner
\[((x)^(-1))\til \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Som vi ser, denne formel for $((x)^(-1))$ virker ikke. Spørgsmålet opstår: hvad virker så? Kan vi ikke tælle $((x)^(-1))$? Selvfølgelig kan vi det. Lad os lige huske dette først:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Lad os nu tænke: den afledede af hvilken funktion er lig med $\frac(1)(x)$. Det er klart, at enhver studerende, der har studeret dette emne i det mindste lidt, vil huske, at dette udtryk er lig med den afledte af den naturlige logaritme:
\[((\venstre(\ln x \højre))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Derfor kan vi trygt skrive følgende:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\til \ln x\]
Du skal kende denne formel, ligesom den afledede af en potensfunktion.
Så hvad ved vi indtil videre:
- For en potensfunktion - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- For en konstant - $=const\til \cdot x$
- Et særligt tilfælde af en potensfunktion er $\frac(1)(x)\to \ln x$
Og hvis vi begynder at gange og dividere de enkleste funktioner, hvordan kan vi så beregne antiderivatet af et produkt eller en kvotient. Desværre fungerer analogier med derivatet af et produkt eller en kvotient ikke her. Nogen standard formel eksisterer ikke. I nogle tilfælde er der vanskelige specialformler - dem vil vi stifte bekendtskab med i fremtidige videolektioner.
Husk dog: generel formel, eksisterer der ikke en lignende formel til beregning af den afledte af en kvotient og et produkt.
Løsning af reelle problemer
Opgave nr. 1
Lad os hver især magt funktioner Lad os beregne separat:
\[((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)\]
Vender vi tilbage til vores udtryk, skriver vi den generelle konstruktion:
Opgave nr. 2
Som jeg allerede har sagt, prototyper af værker og privat "lige igennem" tages ikke i betragtning. Men her kan du gøre på følgende måde:
Vi opdelte brøken i summen af to brøker.
Lad os regne ud:
Den gode nyhed er, at ved at kende formlerne til beregning af antiderivater, er du allerede i stand til at beregne mere komplekse designs. Lad os dog gå videre og udvide vores viden lidt mere. Faktum er, at mange konstruktioner og udtryk, som ved første øjekast ikke har noget at gøre med $((x)^(n))$, kan repræsenteres som en potens med rationel indikator, nemlig:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Alle disse teknikker kan og bør kombineres. Magt udtryk Kan
- multiplicere (grader adderes);
- dividere (grader trækkes fra);
- gange med en konstant;
- etc.
Løsning af magtudtryk med rationel eksponent
Eksempel #1
Lad os beregne hver rod separat:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\til \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\til \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
I alt kan hele vores byggeri skrives som følger:
Eksempel nr. 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\venstre(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\venstre(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Derfor får vi:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\til \frac(((x)^(-3+1)))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
I alt kan vi, samle alt i ét udtryk, skrive:
Eksempel nr. 3
Til at begynde med bemærker vi, at vi allerede har beregnet $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\til \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Lad os omskrive:
Jeg håber ikke, jeg vil overraske nogen, hvis jeg siger, at det, vi lige har studeret, bare er det mest simple beregninger primitive, de mest elementære strukturer. Lad os nu se lidt mere komplekse eksempler, hvor du ud over de tabelformede antiderivater også skal huske skolepensum, nemlig forkortede multiplikationsformler.
Løsning af mere komplekse eksempler
Opgave nr. 1
Lad os huske formlen for den kvadratiske forskel:
\[((\venstre(a-b \højre))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Lad os omskrive vores funktion:
Vi skal nu finde prototypen af en sådan funktion:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\til \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\til \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Lad os sætte alt sammen til et fælles design:
Opgave nr. 2
I dette tilfælde skal vi udvide differensterningen. Lad os huske:
\[((\venstre(a-b \højre))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Tager vi dette i betragtning, kan vi skrive det sådan her:
Lad os omdanne vores funktion lidt:
Vi tæller som altid - for hvert semester separat:
\[((x)^(-3))\til \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\til \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\til \ln x\]
Lad os skrive den resulterende konstruktion:
Opgave nr. 3
Øverst har vi kvadratet af summen, lad os udvide det:
\[\frac(((\venstre(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\venstre(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\til \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Lad os skrive den endelige løsning:
Nu opmærksomhed! Meget vigtig ting, som den er forbundet med løveandel fejl og misforståelser. Faktum er, at indtil nu, når vi tæller antiderivater ved hjælp af derivater og bringer transformationer, har vi ikke tænkt på, hvad derivatet af en konstant er lig med. Men den afledede af en konstant er lig med "nul". Det betyder, at du kan skrive følgende muligheder:
- $((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Dette er meget vigtigt at forstå: hvis den afledede af en funktion altid er den samme, så har den samme funktion et uendeligt antal antiderivater. Vi kan simpelthen tilføje ethvert konstant tal til vores antiderivater og få nye.
Det er ikke tilfældigt, at der i forklaringen af de problemer, vi lige har løst, stod skrevet "Skriv ned generel form primitiver." De der. Det er allerede på forhånd antaget, at der ikke er én af dem, men en hel mængde. Men faktisk adskiller de sig kun i den konstante $C$ i slutningen. Derfor vil vi i vores opgaver rette det, vi ikke har fuldført.
Endnu en gang omskriver vi vores konstruktioner:
I sådanne tilfælde skal du tilføje, at $C$ er en konstant - $C=const$.
I vores anden funktion får vi følgende konstruktion:
Og den sidste:
Og nu fik vi virkelig, hvad der krævedes af os i den oprindelige tilstand af problemet.
Løsning af problemer med at finde antiderivater med et givet punkt
Nu hvor vi ved om konstanter og det særlige ved at skrive antiderivater, er det ret logisk næste type problemer, når det fra sættet af alle antiderivater er påkrævet at finde én enkelt, der ville passere igennem givet point. Hvad er denne opgave?
Faktum er, at alle antiderivater af en given funktion kun adskiller sig ved, at de forskydes lodret med et vist tal. Og det betyder, at uanset hvilket punkt på koordinatplan vi tog det ikke, et antiderivat vil helt sikkert passere, og desuden kun et.
Så de problemer, som vi nu vil løse, er formuleret som følger: ikke bare finde antiderivatet, ved at kende formlen for den oprindelige funktion, men vælg præcis den, der passerer gennem det givne punkt, hvis koordinater vil blive givet i problemet udmelding.
Eksempel #1
Først, lad os blot tælle hvert udtryk:
\[((x)^(4))\til \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\til \frac(((x)^(4)))(4)\]
Nu erstatter vi disse udtryk i vores konstruktion:
Denne funktion skal passere gennem punktet $M\left(-1;4 \right)$. Hvad betyder det, at den passerer gennem et punkt? Det betyder, at hvis vi i stedet for $x$ sætter $-1$ overalt, og i stedet for $F\left(x \right)$ sætter vi $-4$, så skulle vi få den rigtige numerisk lighed. Lad os gøre det:
Vi ser, at vi har en ligning for $C$, så lad os prøve at løse den:
Lad os skrive selve løsningen ned, vi ledte efter:
Eksempel nr. 2
Først og fremmest er det nødvendigt at afsløre kvadratet af forskellen ved hjælp af den forkortede multiplikationsformel:
\[((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)\]
Den oprindelige konstruktion vil blive skrevet som følger:
Lad os nu finde $C$: erstatte koordinaterne for punktet $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Vi udtrykker $C$:
Det er tilbage at vise det endelige udtryk:
Løsning af trigonometriske problemer
Som sidste akkord Ud over det, vi lige har diskuteret, foreslår jeg at overveje yderligere to komplekse opgaver, som indeholder trigonometri. I dem skal du på samme måde finde antiderivater for alle funktioner, og vælg derefter fra dette sæt den eneste, der passerer gennem punktet $M$ på koordinatplanet.
Når jeg ser fremad, vil jeg gerne bemærke, at den teknik, som vi nu vil bruge til at finde antiderivater af trigonometriske funktioner, faktisk er en universel teknik til selvtestning.
Opgave nr. 1
Lad os huske følgende formel:
\[((\venstre(\tekst(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Ud fra dette kan vi skrive:
Lad os erstatte koordinaterne for punktet $M$ i vores udtryk:
\[-1=\tekst(tg)\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(4))+C\]
Lad os omskrive udtrykket under hensyntagen til dette faktum:
Opgave nr. 2
Dette bliver lidt sværere. Nu vil du se hvorfor.
Lad os huske denne formel:
\[((\venstre(\tekst(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
For at slippe af med "minus" skal du gøre følgende:
\[((\venstre(-\tekst(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Her er vores design
Lad os erstatte koordinaterne for punktet $M$:
I alt skriver vi den endelige konstruktion ned:
Det var alt, jeg ville fortælle dig om i dag. Vi studerede selve termen antiderivater, hvordan man tæller dem fra elementære funktioner, samt hvordan man finder et antiderivat, der passerer gennem et bestemt punkt på koordinatplanet.
Jeg håber, at denne lektion i det mindste vil hjælpe dig lidt med at forstå dette komplekst emne. Under alle omstændigheder er det på antiderivater, der konstrueres ubestemte og ubestemte integraler, så det er absolut nødvendigt at beregne dem. Det var alt for mig. Vi ses!
Fremkomsten af begrebet integral skyldtes behovet for at finde antiderivatet af en funktion fra dets afledte, samt at bestemme mængden af arbejde, areal komplekse figurer, den tilbagelagte afstand med parametre angivet af kurver beskrevet af ikke-lineære formler.
og at arbejde er lig med produktet af kraft og afstand. Hvis al bevægelse sker med konstant hastighed eller afstanden overvindes med anvendelsen af den samme kraft, så er alt klart, du skal bare gange dem. Hvad er integralet af en konstant? af formen y=kx+c.
Men styrken kan ændre sig gennem hele arbejdet, og i en form for naturlig afhængighed. Samme situation opstår ved beregning af den tilbagelagte strækning, hvis hastigheden ikke er konstant.
Så det er klart, hvorfor integralet er nødvendigt. At definere det som summen af produkter af værdierne af en funktion med en uendelig lille stigning af argumentet beskriver fuldstændigt hovedbetydning dette koncept som arealet af en figur, afgrænset øverst af funktionens linje og ved kanterne af definitionens grænser.
Jean Gaston Darboux, en fransk matematiker, forklarede i anden halvdel af det 19. århundrede meget klart, hvad et integral er. Han gjorde det så klart, at det generelt ikke ville være svært for selv et skolebarn at forstå dette spørgsmål. juniorklasser Gymnasium.
Lad os sige, at der er en funktion af en hvilken som helst kompleks form. Ordinataksen, hvorpå værdierne af argumentet er plottet, er opdelt i små intervaller, ideelt set er de uendelige, men da uendelighedsbegrebet er ret abstrakt, er det nok at forestille sig små segmenter, hvis værdi normalt angives græsk brevΔ (delta).
Funktionen viste sig at være "hakket" i små klodser.
Hver argumentværdi svarer til et punkt på ordinataksen, hvorpå de tilsvarende funktionsværdier er plottet. Men da det valgte område har to grænser, vil der også være to funktionsværdier, større og mindre.
Summen af produkter med større værdier med stigningen Δ kaldes en stor sum Darboux, og betegnes som S. Derfor danner mindre værdier i et begrænset område, ganget med Δ, tilsammen en lille Darboux-sum s. Selve webstedet ligner rektangulær trapez, da krumningen af funktionslinjen med en infinitesimal stigning kan negligeres. Den nemmeste måde at finde området på er sådan her geometrisk figur- dette er at tilføje produkterne af de større og mindre funktionsværdier med Δ-tilvæksten og dividere med to, det vil sige definere det som det aritmetiske middelværdi.
Dette er, hvad Darboux-integralet er:
s=Σf(x) A - lille mængde;
S= Σf(x+Δ)Δ er en stor mængde.
Så hvad er et integral? Arealet begrænset af funktionens linje og definitionens grænser vil være lig med:
∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c
Det vil sige, at den aritmetiske middelværdi af store og små Darboux sums.s er en konstant værdi, der nulstilles under differentiering.
Baseret på det geometriske udtryk for dette koncept bliver det klart fysisk betydning integral. skitseret af hastighedsfunktionen, og begrænset af tidsintervallet langs x-aksen, vil være længden af den tilbagelagte distance.
L = ∫f(x)dx på intervallet fra t1 til t2,
f(x) er en funktion af hastighed, det vil sige formlen, hvormed den ændrer sig over tid;
L - vejlængde;
t1 - starttidspunkt for rejsen;
t2 er sluttidspunktet for rejsen.
Nøjagtig det samme princip bruges til at bestemme mængden af arbejde, kun afstanden vil blive plottet langs abscissen, og mængden af kraft, der påføres på hvert specifikt punkt, vil blive plottet langs ordinaten.
Lad os overveje bevægelsen af et punkt langs en lige linje. Lad det tage tid t fra begyndelsen af bevægelsen har punktet tilbagelagt en afstand s(t). Derefter øjeblikkelig hastighed v(t) lig med den afledede af funktionen s(t), det er v(t) = s"(t).
I praksis forekommer det omvendt problem: ved en given punktbevægelseshastighed v(t) finde den vej hun gik s(t), altså find sådan en funktion s(t), hvis afledte er lig med v(t). Fungere s(t), sådan at s"(t) = v(t), kaldes antiderivatet af funktionen v(t).
For eksempel hvis v(t) = at, Hvor EN– givet nummer, derefter funktionen
s(t) = (at 2) / 2v(t), fordi
s"(t) = ((at 2) / 2) " = at = v(t).
Fungere F(x) kaldet antiderivatet af funktionen f(x) på et eller andet interval, hvis for alle x fra dette hul F"(x) = f(x).
For eksempel funktionen F(x) = sin x er antiderivatet af funktionen f(x) = cos x, fordi (sin x)" = cos x; fungere F(x) = x 4/4 er antiderivatet af funktionen f(x) = x 3, fordi (x 4 /4)" = x 3.
Lad os overveje problemet.
Opgave.
Bevis at funktionerne x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 er antiderivater af samme funktion f(x) = x 2.
Løsning.
1) Lad os betegne F 1 (x) = x 3 /3, derefter F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).
2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).
3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).
Generelt er enhver funktion x 3 /3 + C, hvor C er en konstant, en antiderivat af funktionen x 2. Dette følger af, at den afledede af konstanten er nul. Dette eksempel viser, at for givet funktion dets antiderivat er bestemt tvetydigt.
Lad F 1 (x) og F 2 (x) være to antiderivater med samme funktion f(x).
Så F 1 "(x) = f(x) og F" 2 (x) = f(x).
Afledten af deres forskel g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) er lig med nul, da g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.
Hvis g"(x) = 0 på et bestemt interval, så er tangenten til grafen for funktionen y = g(x) i hvert punkt i dette interval parallel med Ox-aksen. Derfor er grafen for funktionen y = g(x) er en ret linje parallel med Ox-aksen, dvs. g(x) = C, hvor C er en eller anden konstant. – F 2 (x) det følger, at F 1 (x) = F 2 (x) + S.
Så hvis funktionen F(x) er en antiderivat af funktionen f(x) på et bestemt interval, så skrives alle antiderivater af funktionen f(x) på formen F(x) + C, hvor C er en vilkårlig konstant.
Lad os betragte graferne for alle antiderivater af en given funktion f(x). Hvis F(x) er en af antiderivaterne af funktionen f(x), så fås enhver antiderivat af denne funktion ved at tilføje en konstant til F(x): F(x) + C. Grafer for funktioner y = F( x) + C fås fra grafen y = F(x) ved forskydning langs Oy-aksen. Ved at vælge C kan du sikre dig, at grafen for antiderivatet går gennem et givet punkt.
Lad os være opmærksomme på reglerne for at finde antiderivater.
Husk, at operationen med at finde den afledede for en given funktion kaldes differentiering. Den omvendte operation med at finde antiderivatet for en given funktion kaldes integration(fra latinske ord "gendan").
Tabel over antiderivater for nogle funktioner kan den kompileres ved hjælp af en tabel med afledte værdier. For eksempel at vide det (cos x)" = -sin x, vi får (-cos x)" = sin x, hvoraf det følger, at alle antiderivater fungerer synd x er skrevet i skemaet -cos x + C, Hvor MED– konstant.
Lad os se på nogle af betydningerne af antiderivater.
1) Fungere: x p, p ≠ -1. Antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.
2) Fungere: 1/x, x > 0. Antiderivat: ln x + C.
3) Fungere: x p, p ≠ -1. Antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.
4) Fungere: e x. Antiderivat: e x + C.
5) Fungere: synd x. Antiderivat: -cos x + C.
6) Fungere: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivat: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.
7) Fungere: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) ln (kx + b)+ C.
8) Fungere: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) e kx + b + C.
9) Fungere: sin (kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (-1/k) cos (kx + b).
10)
Fungere: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) sin (kx + b). 
Integrationsregler kan fås vha differentieringsregler. Lad os se på nogle regler.
Lade F(x) Og G(x)– antiderivater af funktioner hhv f(x) Og g(x) med et eller andet interval. Derefter:
1) fungere F(x) ± G(x) er antiderivatet af funktionen f(x) ± g(x);
2) fungere аF(x) er antiderivatet af funktionen af(x).
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.
Arealberegningen er grundlæggende for arealteori. Spørgsmålet opstår om dens placering, når figuren har uregelmæssig form eller det er nødvendigt at ty til at beregne det gennem et integral.
Denne artikel taler om beregning af areal buet trapez i geometrisk forstand. Dette gør det muligt at identificere forholdet mellem integralet og arealet af en buet trapez. Hvis en funktion f (x) er givet, og den er kontinuert i intervallet [ a ; b ] , ændres tegnet foran udtrykket ikke.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1
En figur betegnet som G, afgrænset af linjer med formen y = f(x), y = 0, x = a og x = b, kaldes buet trapez. Det tager betegnelsen S(G).
Lad os se på figuren nedenfor.
For at beregne en buet trapez skal du opdele segmentet [a; b] for antallet n af dele x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n med punkter defineret ved a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и øvre dele Darboux anses for at være indgående P og udgående Q polygonale former for G. Overvej figuren nedenfor.
Herfra har vi, at P ⊂ G ⊂ Q, og med en stigning i antallet af partitionspunkter n, får vi en ulighed på formen S - s< ε , где ε является малым positivt tal, s og S er øvre og nedre Dabroux-summer fra intervallet [a; b]. Ellers vil det blive skrevet som lim λ → 0 S - s = 0 . Det betyder, at når der henvises til begrebet bestemt integral Darboux, får vi at lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f (x) d x .
Fra den sidste lighed får vi, at et bestemt integral af formen ∫ a b f (x) d x er arealet af en kurvelineær trapez for en given kontinuerlig funktion af formen y = f (x) . Det er, hvad det er geometrisk betydning bestemt integral.
Når vi beregner ∫ a b f (x) d x, får vi arealet af den ønskede figur, som er begrænset af linjerne y = f (x), y = 0, x = a og x = b.
Kommentar: Når funktionen y = f (x) er ikke-positiv fra intervallet [ a ; b ], så finder vi, at arealet af et krumt trapez er beregnet ud fra formlen S (G) = - ∫ a b f (x) d x.
Eksempel 1
Beregn arealet af figuren, som er begrænset af givne linjer på formen y = 2 · e x 3, y = 0, x = - 2, x = 3.
Løsning
For at løse det er det først nødvendigt at konstruere en figur på et plan, hvor der er en linje y = 0, der falder sammen med O x, med linjer på formen x = - 2 og x = 3, parallelt med aksen o y, hvor kurven y = 2 e x 3 er konstrueret vha geometriske transformationer graf for funktionen y = e x. Lad os bygge en graf.
Dette viser, at det er nødvendigt at finde arealet af en buet trapez. Idet vi husker den geometriske betydning af integralet, finder vi, at det ønskede areal vil blive udtrykt af et bestemt integral, som skal løses. Det betyder, at det er nødvendigt at anvende formlen S (G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x . Dette ubestemte integral er beregnet ud fra Newton-Leibniz formlen
S (G) = ∫ - 2 3 2 e x 3 d x = 6 e x 3 - 2 3 = 6 e 3 3 - 6 e - 2 3 = 6 e - e - 2 3
Svar: S (G) = 6 e - e - 2 3
Kommentar: For at finde arealet af en buet trapez er det ikke altid muligt at konstruere en figur. Derefter udføres opløsningen som følger. Givet en kendt funktion f (x), der er ikke-negativ eller ikke-positiv på intervallet [ a ; b ] , anvendes en formel på formen S G = ∫ a b f (x) d x eller S G = - ∫ a b f (x) d x.
Eksempel 2
Beregn arealet afgrænset af linjer med formen y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), y = 0, x = - 2, x = 4.
Løsning
For at konstruere denne figur finder vi, at y = 0 falder sammen med O x, og x = - 2 og x = 4 er parallelle med O y. Grafen for funktionen y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 er en parabel, hvor koordinaterne for punktet (- 1 ; 3) er dets toppunkt med grene pegende opad. For at finde skæringspunkterne for parablen med O x, skal du beregne:
1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2 , x 2 = - 2 - 36 2 = - 4
Det betyder, at parablen skærer oh i punkterne (4; 0) og (2; 0). Heraf får vi, at figuren betegnet som G vil antage formen vist i figuren nedenfor.
Denne figur er ikke en buet trapez, fordi en funktion af formen y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) skifter fortegn på intervallet [ - 2 ; 4]. Figuren G kan repræsenteres som en forening af to krumlinjede trapezoider G = G 1 ∪ G 2, baseret på egenskaben for arealadditivitet, har vi, at S (G) = S (G 1) + S (G 2). Overvej grafen nedenfor.
Segment [-2; 4 ] betragtes som et ikke-negativt område af parablen, så får vi ud fra dette, at arealet vil have formen S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Segment [-2; 2 ] er ikke-positiv for en funktion af formen y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), hvilket betyder, at vi baseret på den geometriske betydning af det bestemte integral opnår, at S (G 1) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Det er nødvendigt at foretage beregninger ved hjælp af Newton-Leibniz formlen. Så vil det bestemte integral have formen:
S (G) = S (G 1) + S (G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 + 2 2 - 8 2 - - 2 3 3 + (- 2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9
Det er værd at bemærke, at det ikke er korrekt at finde arealet efter princippet S (G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4
Da det resulterende tal er negativt og repræsenterer forskellen S (G 2) - S (G 1).
Svar: S (G) = S (G 1) + S (G 2) = 124 9
Hvis tallene er begrænset af linjer på formen y = c, y = d, x = 0 og x = g (y), og funktionen er lig med x = g (y), og er kontinuert og har et konstant fortegn på intervallet [ c; d ], så kaldes de krumlinjede tarpezium i nedenstående figur.
∫ c d g (y) d y er, at dens værdi er arealet af et krumt trapez for en kontinuerlig og ikke-negativ funktion af formen x = g (y) placeret på intervallet [ c ; d].
Eksempel 3
Beregn figuren, som er begrænset af ordinataksen og linjerne x = 4 ln y y + 3, y = 1, y = 4.
Løsning
At tegne en graf af x = 4 ln y y + 3 er ikke let. Derfor er det nødvendigt at løse uden tegning. Husk, at funktionen er defineret for alle positive værdier y. Lad os overveje de funktionsværdier, der er tilgængelige på intervallet [1; 4]. Det ved vi fra elementære funktioners egenskaber logaritmisk funktion stiger i hele definitionsområdet. Så ikke segmentet [1; 4 ] er ikke-negativ. Det betyder, at ln y ≥ 0. Det eksisterende udtryk ln y y, defineret på det samme segment, er ikke-negativt. Vi kan konkludere, at funktionen x = 4 ln y y + 3 er positiv på intervallet lig med [ 1 ; 4]. Vi finder, at tallet på dette interval er positivt. Derefter skal dens areal beregnes ved hjælp af formlen S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y .
Der skal laves en beregning ubestemt integral. For at gøre dette skal du finde antiderivat af funktion x = 4 ln y y + 3 og anvend Newton-Leibniz formlen. Det forstår vi
∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d (ln y) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + C = 2 ln 2 + y + ⇒ S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 4 - (2 ln 2 1 + 3 1) = 8 ln 2 2 + 9
Overvej tegningen nedenfor.
Svar: S (G) = 8 ln 2 2 + 9
Resultater
I denne artikel identificerede vi den geometriske betydning af et bestemt integral og studerede forholdet til arealet af en buet trapezoid. Det følger heraf, at vi har mulighed for at beregne arealet af komplekse figurer ved at beregne integralet for en buet trapez. I afsnittet om at finde områder og figurer, der begrænsede linjer y = f (x), x = g (y), disse eksempler diskuteres i detaljer.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter