Tabel over antiderivater ("integraler"). Tabel over integraler. Tabellformede ubestemte integraler. (De enkleste integraler og integraler med en parameter). Formler til integration efter dele. Newton-Leibniz formel.

Tabel over antiderivater ("integraler"). Tabellformede ubestemte integraler. (De enkleste integraler og integraler med en parameter).
Integral af en effektfunktion.	Integral af en effektfunktion.
Et integral, der reduceres til integralet af en potensfunktion, hvis x drives under differentialtegnet.
	Integral af en eksponentiel, hvor a er et konstant tal.
Integral af en kompleks eksponentiel funktion.	Integral af en eksponentiel funktion.
Et integral lig med den naturlige logaritme.	Integral: "Lang logaritme".
	Integral: "Lang logaritme".
Integral: "Høj logaritme".	Et integral, hvor x i tælleren er placeret under differentialtegnet (konstanten under tegnet kan enten adderes eller trækkes fra), svarer i sidste ende til et integral, der er lig med den naturlige logaritme.
Integral: "Høj logaritme".
Cosinus integral.	Sinus integral.
Integral lig med tangent.	Integral lig med cotangens.
Integral lig med både arcsine og arccosine
Et integral lig med både arcsine og arccosine.	Et integral lig med både arctangens og arccotangens.
Integral lig med cosecant.	Integral lig med sekant.
Integral lig med lysbue.	Integral lig med arccosecant.
Integral lig med lysbue.	Integral lig med lysbue.
Integral lig med den hyperbolske sinus.	Integral lig med hyperbolsk cosinus.
Integral lig med den hyperbolske sinus, hvor sinhx er den hyperbolske sinus i den engelske version.	Integral lig med den hyperbolske cosinus, hvor sinhx er den hyperbolske sinus i den engelske version.
Integral lig med den hyperbolske tangens.	Integral lig med den hyperbolske cotangens.
Integral lig med den hyperbolske sekant.	Integral lig med den hyperbolske cosecant.

Formler til integration efter dele. Integrationsregler.

Formler til integration efter dele. Newton-Leibniz formel. Regler for integration.
Integrering af et produkt (funktion) med en konstant:
Integration af summen af ​​funktioner:
ubestemte integraler:
Formel til integration af dele bestemte integraler:
Newton-Leibniz formel bestemte integraler:	Hvor F(a),F(b) er værdierne af antiderivaterne i henholdsvis punkt b og a.

Tabel over derivater. Afledte i tabelform. Afledt af produktet. Afledt af kvotienten. Afledt af en kompleks funktion.

Hvis x er en uafhængig variabel, så:

Tabel over derivater. Tabelderivater."tabelderivater" - ja, desværre er det præcis sådan, de søges efter på internettet
	Afledt af en potensfunktion
	Afledt af eksponenten
Afledt af en kompleks eksponentiel funktion	Afledt af eksponentiel funktion
Afledt af en logaritmisk funktion	Afledt af den naturlige logaritme
	Afledt af den naturlige logaritme af en funktion
Afledt af sinus	Afledt af cosinus
Afledt af cosecant	Afledt af en sekant
Afledt af arcsine	Afledt af arc cosinus
Afledt af arcsine	Afledt af arc cosinus
Tangent derivat	Derivat af cotangens
Afledt af arctangens	Afledt af lysbue-cotangens
Afledt af arctangens	Afledt af lysbue-cotangens
Afledt af lysbue	Afledt af arccosecant
Afledt af lysbue	Afledt af arccosecant
Afledt af den hyperbolske sinus Afledt af hyperbolsk sinus i den engelske version	Derivat af hyperbolsk cosinus Afledt af hyperbolsk cosinus i engelsk version
Afledt af hyperbolsk tangent	Derivat af hyperbolsk cotangens
Afledt af den hyperbolske sekant	Derivat af den hyperbolske cosecant

Regler for differentiering. Afledt af produktet. Afledt af kvotienten. Afledt af en kompleks funktion.
Afledt af et produkt (funktion) med en konstant:
Afledt af sum (funktioner):
Afledt af produkt (funktioner):
Afledt af kvotienten (af funktioner):
Afledt af en kompleks funktion:

Egenskaber for logaritmer. Grundlæggende formler for logaritmer. Decimal (lg) og naturlige logaritmer (ln).

Grundlæggende logaritmisk identitet
Lad os vise, hvordan enhver funktion af formen a b kan gøres eksponentiel. Da en funktion af formen e x kaldes eksponentiel, så
Enhver funktion af formen a b kan repræsenteres som en potens af ti

Naturlig logaritme ln (logaritme til grundtal e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylor-serien. Taylor-seriens udvidelse af en funktion.

Det viser sig, at flertallet praktisk stødt på matematiske funktioner kan repræsenteres med enhver nøjagtighed i nærheden af ​​et bestemt punkt i form af potensrækker, der indeholder potenser af en variabel i stigende rækkefølge. For eksempel i nærheden af ​​punktet x=1:

Ved brug af serier kaldet Taylors rækker blandede funktioner indeholdende f.eks. algebraiske, trigonometriske og eksponentielle funktioner kan udtrykkes som rent algebraiske funktioner. Ved hjælp af serier kan du ofte hurtigt udføre differentiering og integration.

Taylor-serien i nærheden af ​​punkt a har formen:

1) , hvor f(x) er en funktion, der har afledte af alle ordener ved x = a. R n - det resterende led i Taylor-serien bestemmes af udtrykket

2)

Seriens k-te koefficient (ved x k) bestemmes af formlen

3) Et særligt tilfælde af Taylor-serien er Maclaurin (=McLaren)-serien (udvidelsen sker omkring punktet a=0)

ved a=0

medlemmer af serien bestemmes af formlen

Betingelser for brug af Taylor-serien.

1. For at funktionen f(x) kan udvides til en Taylor-række på intervallet (-R;R), er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at det resterende led i Taylor (Maclaurin (=McLaren)) formlen for denne funktion har en tendens til nul som k →∞ på det specificerede interval (-R;R).

2. Det er nødvendigt, at der er afledte for en given funktion på det punkt, i nærheden af ​​hvilket vi skal konstruere Taylor-rækken.

Egenskaber for Taylor-serien.

Hvis f er en analytisk funktion, så konvergerer dens Taylor-serie på et hvilket som helst punkt a i definitionsdomænet for f til f i et eller andet område af a.

Der er uendeligt differentierbare funktioner, hvis Taylor-række konvergerer, men på samme tid adskiller sig fra funktionen i ethvert kvarter af a. For eksempel:

Taylor-serier bruges i approksimation (approximation er en videnskabelig metode, der består i at erstatte nogle objekter med andre, i en eller anden forstand tæt på de oprindelige, men enklere) af en funktion med polynomier. Især linearisering ((fra lineær - lineær), en af ​​metoderne til omtrentlig repræsentation af lukkede ikke-lineære systemer, hvor studiet af et ikke-lineært system erstattes af analysen af ​​et lineært system, i en vis forstand svarende til det originale. .) ligninger opstår ved at udvide til en Taylor-række og afskære alle led over første orden.

Således kan næsten enhver funktion repræsenteres som et polynomium med en given nøjagtighed.

Eksempler på nogle almindelige udvidelser af potensfunktioner i Maclaurin-serien (=McLaren, Taylor i nærheden af ​​punkt 0) og Taylor i nærheden af ​​punkt 1. De første udvidelsesled af hovedfunktionerne i Taylor- og McLaren-serien.

Eksempler på nogle almindelige udvidelser af potensfunktioner i Maclaurin-serien (=McLaren, Taylor i nærheden af ​​punkt 0)

Eksempler på nogle almindelige Taylor-serieudvidelser i nærheden af ​​punkt 1

Komplekse integraler

Denne artikel afslutter emnet for ubestemte integraler og inkluderer integraler, som jeg finder ret komplekse. Lektionen blev oprettet efter gentagne anmodninger fra besøgende, der udtrykte deres ønske om, at vanskeligere eksempler blev analyseret på webstedet.

Det forudsættes, at læseren af ​​denne tekst er velforberedt og ved, hvordan man anvender grundlæggende integrationsteknikker. Dummies og folk, der ikke er særlig sikre på integraler, bør henvise til den allerførste lektion - Ubestemt integral. Eksempler på løsninger, hvor du kan mestre emnet næsten fra bunden. Mere erfarne studerende kan blive fortrolige med teknikker og metoder til integration, som endnu ikke er stødt på i mine artikler.

Hvilke integraler vil blive overvejet?

Først vil vi overveje integraler med rødder, til hvilken løsning vi successivt bruger variabel udskiftning Og integration af dele. Det vil sige, at i et eksempel kombineres to teknikker på én gang. Og endnu mere.

Så vil vi stifte bekendtskab med interessant og originalt metode til at reducere integralen til sig selv. En hel del integraler løses på denne måde.

Det tredje nummer af programmet vil være integraler af komplekse fraktioner, som fløj forbi kassen i tidligere artikler.

For det fjerde vil yderligere integraler fra trigonometriske funktioner blive analyseret. Der er især metoder, der undgår tidskrævende universel trigonometrisk substitution.

(2) I integrandfunktionen dividerer vi tælleren med nævneren led for led.

(3) Vi bruger linearitetsegenskaben for det ubestemte integral. I det sidste integral med det samme sæt funktionen under differentialtegnet.

(4) Vi tager de resterende integraler. Bemærk, at du i en logaritme kan bruge parenteser i stedet for et modul, da .

(5) Vi udfører en omvendt udskiftning, der udtrykker "te" fra den direkte udskiftning:

Masochistiske studerende kan differentiere svaret og få den originale integrand, som jeg lige har gjort. Nej, nej, jeg foretog kontrollen i den rigtige forstand =)

Som du kan se, var vi i løbet af løsningen nødt til at bruge mere end to løsningsmetoder, så for at håndtere sådanne integraler har du brug for selvsikre integrationsevner og en del erfaring.

I praksis er kvadratroden selvfølgelig mere almindelig, her er tre eksempler på at løse det selv:

Eksempel 2

Find det ubestemte integral

Eksempel 3

Find det ubestemte integral

Eksempel 4

Find det ubestemte integral

Disse eksempler er af samme type, så den komplette løsning i slutningen af ​​artiklen vil kun være for eksempel 2; eksempel 3-4 har de samme svar. Hvilken erstatning man skal bruge i begyndelsen af ​​beslutninger, synes jeg, er indlysende. Hvorfor valgte jeg eksempler af samme type? Findes ofte i deres rolle. Oftere, måske bare sådan noget .

Men ikke altid, når der under arctangens, sinus, cosinus, eksponentiel og andre funktioner er en rod af en lineær funktion, skal du bruge flere metoder på én gang. I en række tilfælde er det muligt at "komme let af", det vil sige umiddelbart efter udskiftningen opnås et simpelt integral, som nemt kan tages. Den nemmeste af opgaverne foreslået ovenfor er eksempel 4, hvor der efter udskiftning opnås et relativt simpelt integral.

Ved at reducere integralen til sig selv

En finurlig og smuk metode. Lad os tage et kig på klassikerne i genren:

Eksempel 5

Find det ubestemte integral

Under roden er et kvadratisk binomial, og forsøg på at integrere dette eksempel kan give tekanden hovedpine i timevis. Et sådant integral tages i dele og reduceres til sig selv. I princippet er det ikke svært. Hvis du ved hvordan.

Lad os betegne det pågældende integral med et latinsk bogstav og begynde løsningen:

Lad os integrere efter dele:

(1) Forbered integrand-funktionen til term-for-term division.

(2) Vi deler integrandfunktionsleddet efter led. Det er måske ikke klart for alle, men jeg vil beskrive det mere detaljeret:

(3) Vi bruger linearitetsegenskaben for det ubestemte integral.

(4) Tag det sidste integral ("lang" logaritme).

Lad os nu se på begyndelsen af ​​løsningen:

Og til slutningen:

Hvad skete der? Som et resultat af vores manipulationer blev integralet reduceret til sig selv!

Lad os sætte lighedstegn mellem begyndelsen og slutningen:

Flyt til venstre side med et skift af tegn:

Og vi flytter de to til højre side. Som resultat:

Konstanten skulle strengt taget have været tilføjet tidligere, men jeg tilføjede den til sidst. Jeg anbefaler stærkt at læse, hvad stringens er her:

Bemærk: Mere strengt ser den sidste fase af løsningen sådan ud:

Dermed:

Konstanten kan omdesignes af . Hvorfor kan det omdesignes? For han accepterer det stadig nogen værdier, og i denne forstand er der ingen forskel mellem konstanter og.
Som resultat:

Et lignende trick med konstant renotation er meget brugt i differentialligninger. Og der vil jeg være streng. Og her tillader jeg kun sådan en frihed for ikke at forvirre dig med unødvendige ting og for at fokusere opmærksomheden netop på selve integrationsmetoden.

Eksempel 6

Find det ubestemte integral

Et andet typisk integral til uafhængig løsning. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen. Der vil være forskel på svaret i det foregående eksempel!

Hvis der under kvadratroden er et kvadrattrinomium, så kommer løsningen under alle omstændigheder ned til to analyserede eksempler.

Overvej for eksempel integralet . Alt du skal gøre er først vælg en komplet firkant:
.
Dernæst udføres en lineær udskiftning, som gør "uden konsekvenser":
, hvilket resulterer i integralet . Noget velkendt, ikke?

Eller dette eksempel med et kvadratisk binomial:
Vælg en komplet firkant:
Og efter lineær udskiftning opnår vi integralet, som også løses ved hjælp af den allerede diskuterede algoritme.

Lad os se på to mere typiske eksempler på, hvordan man reducerer et integral til sig selv:
– integral af eksponentialet ganget med sinus;
– integral af eksponentialet ganget med cosinus.

I de anførte integraler efter dele bliver du nødt til at integrere to gange:

Eksempel 7

Find det ubestemte integral

Integranden er eksponentialet ganget med sinus.

Vi integrerer i dele to gange og reducerer integralet til sig selv:

Som et resultat af dobbelt integration af dele blev integralet reduceret til sig selv. Vi sidestiller begyndelsen og slutningen af ​​løsningen:

Vi flytter det til venstre side med et tegnskifte og udtrykker vores integral:

Parat. Samtidig er det tilrådeligt at rede højre side, dvs. tag eksponenten ud af parentes, og placer sinus og cosinus i parentes i en "smuk" rækkefølge.

Lad os nu gå tilbage til begyndelsen af ​​eksemplet, eller mere præcist, til integration efter dele:

Vi betegnede eksponenten som. Spørgsmålet opstår: er det eksponenten, der altid skal betegnes med ? Ikke nødvendigt. Faktisk i det betragtede integral grundlæggende betyder ikke noget, hvad mener vi med , vi kunne være gået den anden vej:

Hvorfor er dette muligt? Fordi det eksponentielle bliver til sig selv (både under differentiering og integration), bliver sinus og cosinus gensidigt til hinanden (igen, både under differentiering og integration).

Det vil sige, at vi også kan betegne en trigonometrisk funktion. Men i det betragtede eksempel er dette mindre rationelt, da brøker vises. Hvis du ønsker det, kan du prøve at løse dette eksempel ved hjælp af den anden metode, svarene skal matche.

Eksempel 8

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Inden du beslutter dig, tænk på, hvad der er mere fordelagtigt i dette tilfælde at betegne som en eksponentiel eller en trigonometrisk funktion? Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Og, selvfølgelig, glem ikke, at de fleste af svarene i denne lektion er ret nemme at kontrollere ved differentiering!

De overvejede eksempler var ikke de mest komplekse. I praksis er integraler mere almindelige, hvor konstanten er både i eksponenten og i argumentet for den trigonometriske funktion, for eksempel: . Mange mennesker vil blive forvirrede i sådan et integral, og jeg bliver ofte selv forvirret. Faktum er, at der er stor sandsynlighed for, at der dukker brøker op i løsningen, og det er meget nemt at miste noget ved skødesløshed. Derudover er der stor sandsynlighed for en fejl i fortegnene; bemærk, at eksponenten har et minustegn, og det medfører yderligere vanskeligheder.

På den sidste fase er resultatet ofte noget som dette:

Selv i slutningen af ​​løsningen skal du være ekstremt forsigtig og forstå brøkerne korrekt:

Integration af komplekse brøker

Vi nærmer os langsomt lektionens ækvator og begynder at overveje integraler af brøker. Igen, ikke alle af dem er super komplekse, det er bare, at eksemplerne af den ene eller anden grund var lidt "off topic" i andre artikler.

Fortsætter temaet rødder

Eksempel 9

Find det ubestemte integral

I nævneren under roden er der et kvadratisk trinomium plus et "vedhæng" i form af et "X" uden for roden. Et integral af denne type kan løses ved hjælp af en standardsubstitution.

Vi beslutter:

Udskiftningen her er enkel:

Lad os se på livet efter udskiftning:

(1) Efter substitution reducerer vi termerne under roden til en fællesnævner.
(2) Vi tager det ud under roden.
(3) Tælleren og nævneren reduceres med . På samme tid, under roden, omarrangerede jeg vilkårene i en passende rækkefølge. Med en vis erfaring kan trin (1), (2) springes over ved at udføre de kommenterede handlinger mundtligt.
(4) Det resulterende integral, som du husker fra lektionen Integrering af nogle brøker, bliver besluttet komplet kvadratisk ekstraktionsmetode. Vælg en komplet firkant.
(5) Ved integration opnår vi en almindelig "lang" logaritme.
(6) Vi udfører den omvendte udskiftning. Hvis først , så tilbage: .
(7) Den endelige handling er rettet mod at rette resultatet: Under roden bringer vi igen vilkårene til en fællesnævner og tager dem ud under roden.

Eksempel 10

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Her tilføjes en konstant til det enlige "X", og erstatningen er næsten den samme:

Det eneste du skal gøre yderligere er at udtrykke "x" fra den udskiftning, der udføres:

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Nogle gange i et sådant integral kan der være et kvadratisk binomial under roden, dette ændrer ikke løsningsmetoden, det vil være endnu enklere. Mærk forskellen:

Eksempel 11

Find det ubestemte integral

Eksempel 12

Find det ubestemte integral

Korte løsninger og svar i slutningen af ​​lektionen. Det skal bemærkes, at eksempel 11 er nøjagtigt binomialt integral, hvis løsningsmetode blev diskuteret i klassen Integraler af irrationelle funktioner.

Integral af et uopløseligt polynomium af 2. grad i potensen

(polynomium i nævneren)

En mere sjælden type integral, men ikke desto mindre stødt på i praktiske eksempler.

Eksempel 13

Find det ubestemte integral

Men lad os vende tilbage til eksemplet med lykketal 13 (helt ærligt, jeg gættede ikke rigtigt). Dette integral er også et af dem, der kan være ret frustrerende, hvis du ikke ved, hvordan du løser.

Løsningen starter med en kunstig transformation:

Jeg tror, ​​at alle allerede forstår, hvordan man dividerer tælleren med nævneren, led for led.

Det resulterende integral er taget i dele:

For et integral af formen ( – naturligt tal) udleder vi tilbagevendende reduktionsformel:
, Hvor – integral af en grad lavere.

Lad os verificere gyldigheden af ​​denne formel for det løste integral.
I dette tilfælde: , , bruger vi formlen:

Som du kan se, er svarene de samme.

Eksempel 14

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Prøveopløsningen bruger ovenstående formel to gange i træk.

Hvis under graden er udelelige kvadrattrinomial, så reduceres løsningen til et binomium ved at isolere det perfekte kvadrat, for eksempel:

Hvad hvis der er et ekstra polynomium i tælleren? I dette tilfælde bruges metoden med ubestemte koefficienter, og integrandfunktionen udvides til en sum af fraktioner. Men i min praksis er der sådan et eksempel aldrig mødt, så jeg savnede denne sag i artiklen Integraler af brøk-rationelle funktioner, jeg springer det over nu. Hvis du stadig støder på sådan en integral, så se på lærebogen - alt er enkelt der. Jeg tror ikke, det er tilrådeligt at inkludere materiale (selv simple), sandsynligheden for at støde på, som har en tendens til nul.

Integrering af komplekse trigonometriske funktioner

Adjektivet "kompleks" for de fleste eksempler er igen stort set betinget. Lad os starte med tangenter og cotangenter i høje potenser. Med hensyn til de anvendte løsningsmetoder er tangent og cotangens næsten det samme, så jeg vil tale mere om tangent, hvilket antyder, at den demonstrerede metode til løsning af integralet også er gyldig for cotangens.

I ovenstående lektion kiggede vi på universel trigonometrisk substitution til løsning af en bestemt type integraler af trigonometriske funktioner. Ulempen ved universel trigonometrisk substitution er, at dens anvendelse ofte resulterer i besværlige integraler med vanskelige beregninger. Og i nogle tilfælde kan universel trigonometrisk substitution undgås!

Lad os overveje et andet kanonisk eksempel, integralet af en divideret med sinus:

Eksempel 17

Find det ubestemte integral

Her kan du bruge universel trigonometrisk substitution og få svaret, men der er en mere rationel måde. Jeg vil give den komplette løsning med kommentarer til hvert trin:

(1) Vi bruger den trigonometriske formel for sinus af en dobbelt vinkel.
(2) Vi udfører en kunstig transformation: Divider i nævneren og gange med .
(3) Ved hjælp af den velkendte formel i nævneren omdanner vi brøken til en tangent.
(4) Vi bringer funktionen under differentialtegnet.
(5) Tag integralet.

Et par enkle eksempler, som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 18

Find det ubestemte integral

Bemærk: Det allerførste trin bør være at bruge reduktionsformlen og udfør omhyggeligt handlinger svarende til det foregående eksempel.

Eksempel 19

Find det ubestemte integral

Nå, dette er et meget simpelt eksempel.

Fuldstændige løsninger og svar i slutningen af ​​lektionen.

Jeg tror nu, at ingen vil have problemer med integraler:
og så videre.

Hvad er ideen med metoden? Ideen er at bruge transformationer og trigonometriske formler til kun at organisere tangenter og tangentafledte i integranden. Det vil sige, vi taler om at erstatte: . I eksempel 17-19 brugte vi faktisk denne erstatning, men integralerne var så enkle, at vi klarede os med en ækvivalent handling - at indordne funktionen under differentialtegnet.

Lignende ræsonnement, som jeg allerede har nævnt, kan udføres for cotangenten.

Der er også en formel forudsætning for at anvende ovenstående erstatning:

Summen af ​​potenserne af cosinus og sinus er et negativt heltal LIGE tal, For eksempel:

for integralet – et negativt heltal LIGE tal.

! Bemærk : hvis integranden KUN indeholder en sinus eller KUN en cosinus, så tages integralet også for en negativ ulige grad (de simpleste tilfælde er i eksempel nr. 17, 18).

Lad os se på et par mere meningsfulde opgaver baseret på denne regel:

Eksempel 20

Find det ubestemte integral

Summen af ​​potenserne af sinus og cosinus: 2 – 6 = –4 er et negativt heltal LIGE tal, hvilket betyder, at integralet kan reduceres til tangenter og dets afledede:

(1) Lad os omdanne nævneren.
(2) Ved at bruge den velkendte formel får vi .
(3) Lad os omdanne nævneren.
(4) Vi bruger formlen .
(5) Vi bringer funktionen under differentialtegnet.
(6) Vi udfører udskiftning. Mere erfarne elever udfører måske ikke udskiftningen, men det er stadig bedre at erstatte tangenten med ét bogstav - der er mindre risiko for at blive forvirret.

Eksempel 21

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.

Hold da op, mesterskabsrunderne er ved at begynde =)

Ofte indeholder integranden en "hodgepodge":

Eksempel 22

Find det ubestemte integral

Dette integral indeholder til at begynde med en tangent, som umiddelbart leder til en allerede kendt tanke:

Jeg vil forlade den kunstige transformation i begyndelsen og de resterende trin uden kommentarer, da alt allerede er blevet diskuteret ovenfor.

Et par kreative eksempler til din egen løsning:

Eksempel 23

Find det ubestemte integral

Eksempel 24

Find det ubestemte integral

Ja, i dem kan du selvfølgelig sænke potenserne af sinus og cosinus og bruge en universel trigonometrisk substitution, men løsningen vil være meget mere effektiv og kortere, hvis den udføres gennem tangenter. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen

Integration af dele. Eksempler på løsninger

Hej igen. I dag i lektionen lærer vi, hvordan man integrerer efter dele. Metoden til integration af dele er en af ​​hjørnestenene i integralregning. Under prøver eller eksamener bliver eleverne næsten altid bedt om at løse følgende typer integraler: den enkleste integral (se artiklen) eller et integral ved at erstatte en variabel (se artiklen) eller integralet er bare tændt integration af dele metode.

Som altid bør du have ved hånden: Tabel over integraler Og Derivater tabel. Hvis du stadig ikke har dem, så besøg venligst lagerrummet på min hjemmeside: Matematiske formler og tabeller . Jeg bliver ikke træt af at gentage - det er bedre at printe alt ud. Jeg vil forsøge at præsentere alt materialet konsekvent, enkelt og klart; der er ingen særlige vanskeligheder med at integrere delene.

Hvilket problem løser metoden med integration af dele? Metoden til integration af dele løser et meget vigtigt problem; det giver dig mulighed for at integrere nogle funktioner, der ikke er i tabellen, arbejde funktioner, og i nogle tilfælde – endda kvotienter. Som vi husker, er der ingen praktisk formel: . Men der er denne: – formel for integration af dele personligt. Jeg ved, jeg ved, du er den eneste - vi vil arbejde med hende gennem hele lektionen (det er nemmere nu).

Og straks listen til studiet. Integralerne af følgende typer er taget af dele:

1) , , – logaritme, logaritme ganget med et eller andet polynomium.

2) ,er en eksponentiel funktion ganget med et eller andet polynomium. Dette inkluderer også integraler som - en eksponentiel funktion ganget med et polynomium, men i praksis er dette 97 procent, under integralet er der et pænt bogstav "e". ... artiklen viser sig at være noget lyrisk, åh ja ... foråret er kommet.

3) , , er trigonometriske funktioner ganget med et eller andet polynomium.

4) , – omvendte trigonometriske funktioner ("buer"), "buer" ganget med et eller andet polynomium.

Nogle brøker er også taget i dele; vi vil også overveje de tilsvarende eksempler i detaljer.

Integraler af logaritmer

Eksempel 1

Klassisk. Fra tid til anden kan dette integral findes i tabeller, men det er ikke tilrådeligt at bruge et færdigt svar, da læreren har forårsvitaminmangel og vil bande tungt. Fordi det pågældende integral på ingen måde er tabelformet - det er taget i dele. Vi beslutter:

Vi afbryder løsningen for mellemliggende forklaringer.

Vi bruger formlen for integration af dele:

Formlen anvendes fra venstre mod højre

Vi ser på venstre side:. Det er klart, at i vores eksempel (og i alle de andre, som vi vil overveje), skal noget betegnes som , og noget som .

I integraler af den pågældende type er logaritmen altid angivet.

Teknisk set er designet af løsningen implementeret som følger; vi skriver i kolonnen:

Det vil sige, vi betegnede logaritmen med og med - den resterende del integrant udtryk.

Næste trin: find differentialet:

En differential er næsten det samme som en afledt; vi har allerede diskuteret, hvordan man finder den i tidligere lektioner.

Nu finder vi funktionen. For at finde funktionen skal du integrere højre side lavere ligestilling:

Nu åbner vi vores løsning og konstruerer højre side af formlen: .
Forresten, her er et eksempel på den endelige løsning med nogle bemærkninger:

Den eneste pointe i arbejdet er, at jeg straks byttede og , da det er kutyme at skrive faktoren før logaritmen.

Som du kan se, reducerede anvendelsen af ​​formlen for integration efter dele i det væsentlige vores løsning til to simple integraler.

Bemærk venligst, at i nogle tilfælde lige efter anvendelse af formlen udføres en forenkling nødvendigvis under det resterende integral - i det undersøgte eksempel reducerede vi integranden til "x".

Lad os tjekke. For at gøre dette skal du tage den afledte af svaret:

Den oprindelige integrandfunktion er opnået, hvilket betyder, at integralet er løst korrekt.

Under testen brugte vi produktdifferentieringsreglen: . Og dette er ikke tilfældigt.

Formel til integration af dele og formel – det er to indbyrdes omvendte regler.

Eksempel 2

Find det ubestemte integral.

Integranden er produktet af en logaritme og et polynomium.
Lad os bestemme.

Jeg vil endnu en gang i detaljer beskrive proceduren for anvendelse af reglen; i fremtiden vil eksempler blive præsenteret mere kort, og hvis du har vanskeligheder med at løse det på egen hånd, skal du gå tilbage til de to første eksempler i lektionen .

Som allerede nævnt er det nødvendigt at angive logaritmen (det faktum, at det er en potens, betyder ikke noget). Vi betegner med den resterende del integrant udtryk.

Vi skriver i spalten:

Først finder vi differentialet:

Her bruger vi reglen til at differentiere en kompleks funktion . Det er ikke tilfældigt, at i den allerførste lektion af emnet Ubestemt integral. Eksempler på løsninger Jeg fokuserede på det faktum, at for at mestre integraler er det nødvendigt at "få fingrene i" derivater. Du bliver nødt til at håndtere derivater mere end én gang.

Nu finder vi funktionen, til denne integrerer vi højre side lavere ligestilling:

Til integration brugte vi den enkleste tabelformel

Nu er alt klar til at anvende formlen . Åbn med en stjerne og "konstruer" løsningen i overensstemmelse med højre side:

Under integralet har vi igen et polynomium for logaritmen! Derfor afbrydes løsningen igen, og reglen om delintegrering anvendes en anden gang. Glem ikke, at i lignende situationer er logaritmen altid angivet.

Det ville være godt, hvis du nu vidste, hvordan du finder de enkleste integraler og afledte mundtligt.

(1) Bliv ikke forvirret over skiltene! Meget ofte tabes minus her, bemærk også at minus refererer til til alle beslag , og disse beslag skal udvides korrekt.

(2) Åbn beslagene. Vi forenkler det sidste integral.

(3) Vi tager det sidste integral.

(4) "Combing" svaret.

Behovet for at anvende reglen om integration af dele to gange (eller endda tre gange) opstår ikke meget sjældent.

Og nu et par eksempler til din egen løsning:

Eksempel 3

Find det ubestemte integral.

Dette eksempel løses ved at ændre variablen (eller erstatte den under differentialtegnet)! Hvorfor ikke - du kan prøve at tage det i dele, det vil vise sig at være en sjov ting.

Eksempel 4

Find det ubestemte integral.

Men dette integral er integreret af dele (den lovede brøk).

Dette er eksempler, som du kan løse på egen hånd, løsninger og svar i slutningen af ​​lektionen.

Det ser ud til, at integranderne i eksempel 3 og 4 ligner hinanden, men løsningsmetoderne er forskellige! Dette er den største vanskelighed ved at mestre integraler - hvis du vælger den forkerte metode til at løse et integral, så kan du pille ved det i timevis, som med et rigtigt puslespil. Derfor, jo mere du løser forskellige integraler, jo bedre, jo nemmere bliver test og eksamen. Derudover vil der på andet år være differentialligninger, og uden erfaring med at løse integraler og afledte er der ikke noget at gøre der.

Med hensyn til logaritmer er det nok mere end nok. Som en side kan jeg også huske, at ingeniørstuderende bruger logaritmer til at kalde kvindelige bryster =). Forresten er det nyttigt at kende graferne for de vigtigste elementære funktioner udenad: sinus, cosinus, arctangens, eksponent, polynomier af tredje, fjerde grad osv. Nej, selvfølgelig, et kondom på kloden
Jeg vil ikke strække det, men nu vil du huske meget fra afsnittet Diagrammer og funktioner =).

Integraler af en eksponentiel ganget med et polynomium

Generel regel:

Eksempel 5

Find det ubestemte integral.

Ved hjælp af en velkendt algoritme integrerer vi efter dele:

Hvis du har problemer med integralet, skal du vende tilbage til artiklen Variabel ændringsmetode i ubestemt integral .

Det eneste andet du kan gøre er at justere svaret:

Men hvis din beregningsteknik ikke er særlig god, så er den mest rentable mulighed at lade det være et svar eller endda

Det vil sige, at eksemplet anses for løst, når det sidste integral tages. Det vil ikke være en fejl; det er en anden sag, at læreren kan bede dig om at forenkle svaret.

Eksempel 6

Find det ubestemte integral.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Dette integral er integreret to gange af dele. Der skal lægges særlig vægt på tegnene - det er let at blive forvirret i dem, vi husker også, at dette er en kompleks funktion.

Mere er der ikke at sige om udstilleren. Jeg kan kun tilføje, at den eksponentielle og den naturlige logaritme er gensidigt omvendte funktioner, dette er mig om emnet underholdende grafer for højere matematik =) Stop, stop, bare rolig, forelæseren er ædru.

Integraler af trigonometriske funktioner ganget med et polynomium

Generel regel: for betegner altid et polynomium

Eksempel 7

Find det ubestemte integral.

Lad os integrere efter dele:

Hmmm...og der er ikke noget at kommentere.

Eksempel 8

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel for dig at løse selv

Eksempel 9

Find det ubestemte integral

Et andet eksempel med en brøk. Som i de to foregående eksempler betegner for et polynomium.

Lad os integrere efter dele:

Hvis du har problemer eller misforståelser med at finde integralet, anbefaler jeg, at du deltager i lektionen Integraler af trigonometriske funktioner .

Eksempel 10

Find det ubestemte integral

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.

Tip: Før du bruger metoden integration efter dele, bør du anvende en trigonometrisk formel, der gør produktet af to trigonometriske funktioner til én funktion. Formlen kan også bruges, når du anvender metoden til integration af dele, alt efter hvad der passer dig bedst.

Det er nok alt i dette afsnit. Af en eller anden grund huskede jeg en linje fra fysik- og matematiksalmen "Og sinusgrafen løber bølge efter bølge langs abscisseaksen"...

Integraler af inverse trigonometriske funktioner.
Integraler af inverse trigonometriske funktioner ganget med et polynomium

Generel regel: betegner altid den omvendte trigonometriske funktion.

Lad mig minde dig om, at de omvendte trigonometriske funktioner inkluderer arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. For korthedens skyld vil jeg kalde dem "buer"