Til det enkle spørgsmål "Hvordan finder man højden af en trapez?" Der er flere svar, alt sammen fordi der kan gives forskellige startværdier. Derfor vil formlerne være forskellige.
Disse formler kan huskes, men de er ikke svære at udlede. Du skal blot anvende tidligere lærte teoremer.
Notationer brugt i formler
I alle de matematiske notationer nedenfor er disse aflæsninger af bogstaverne korrekte.
I kildedata: alle sider
For at finde højden af en trapez i det generelle tilfælde skal du bruge følgende formel:
n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Nummer 1.
Ikke den korteste, men findes også ret sjældent i problemer. Normalt kan du bruge andre data.
Formlen, der fortæller dig, hvordan du finder højden af en ligebenet trapez i samme situation, er meget kortere:
n = √(c2-(a-c)2/4). Nummer 2.
Problemet giver: laterale sider og vinkler ved den nederste base
Det antages, at vinklen α støder op til siden med betegnelsen "c", henholdsvis, vinklen β er til siden d. Så vil formlen for, hvordan man finder højden af en trapezform, være i generel form:
n = c * sin α = d * sin β. Nummer 3.
Hvis figuren er ligebenet, kan du bruge denne mulighed:
n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Nummer 4.
Kendt: diagonaler og vinkler mellem dem
Typisk er disse data ledsaget af andre kendte mængder. For eksempel baserne eller midterlinjen. Hvis årsagerne er givet, så for at besvare spørgsmålet om, hvordan man finder højden af en trapez, vil følgende formel være nyttig:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + b) eller n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + b). Nummer 5.
Dette er for figurens generelle udseende. Hvis en ligebenet er givet, vil notationen ændre sig sådan:
n = (d 1 2 * sin γ) / (a + b) eller n = (d 1 2 * sin δ) / (a + b). Nummer 6.
Når problemet omhandler midterlinjen af en trapez, bliver formlerne for at finde dens højde som følger:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m eller n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Nummer 5a.
n = (d 1 2 * sin γ) / 2m eller n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Nummer 6a.
Blandt de kendte mængder: område med baser eller midterlinje
Disse er måske de korteste og enkleste formler til at finde højden af en trapez. For et vilkårligt tal vil det være sådan her:
n = 2S / (a+b). Nummer 7.
Det er det samme, men med en kendt midterlinje:
n = S/m. Nummer 7a.
Mærkeligt nok, men for en ligebenet trapez vil formlerne se ens ud.
Opgaver
nr. 1. For at bestemme vinklerne ved den nederste base af trapez.
Tilstand. Givet en ligebenet trapez, hvis side er 5 cm. Dens baser er 6 og 12 cm. Du skal finde sinus af en spids vinkel.
Løsning. For nemheds skyld bør du indtaste en betegnelse. Lad det nederste venstre toppunkt være A, alle resten i retning med uret: B, C, D. Således vil den nederste base blive betegnet AD, den øverste - BC.
Det er nødvendigt at tegne højder fra hjørnerne B og C. De punkter, der angiver enderne af højderne, vil blive betegnet henholdsvis H 1 og H 2. Da alle vinklerne i figuren BCH 1 H 2 er rette vinkler, er det et rektangel. Det betyder, at segmentet H 1 H 2 er 6 cm.
Nu skal vi overveje to trekanter. De er ens, fordi de er rektangulære med de samme hypotenuser og lodrette ben. Det følger heraf, at deres mindre ben er lige store. Derfor kan de defineres som kvotienten af forskellen. Sidstnævnte opnås ved at trække den øverste fra den nederste base. Det vil blive divideret med 2. Det vil sige, at 12 - 6 skal divideres med 2. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).
Fra Pythagoras sætning skal du nu finde højden af trapez. Det er nødvendigt at finde sinus af en vinkel. VN1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).
Ved at bruge viden om, hvordan sinus for en spids vinkel findes i en trekant med ret vinkel, kan vi skrive følgende udtryk: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.
Svar. Den nødvendige sinus er 0,8.
nr. 2. At finde højden af et trapez ved hjælp af en kendt tangent.
Tilstand. For en ligebenet trapez skal du beregne højden. Det er kendt, at dens baser er 15 og 28 cm. Tangensen af den spidse vinkel er givet: 11/13.
Løsning. Betegnelsen af toppunkter er den samme som i den foregående opgave. Igen skal du tegne to højder fra de øverste hjørner. Analogt med løsningen på det første problem skal du finde AN 1 = N 2 D, som er defineret som forskellen på 28 og 15 divideret med to. Efter beregninger viser det sig: 6,5 cm.
Da tangenten er forholdet mellem to ben, kan vi skrive følgende lighed: tan α = AH 1 / VN 1 . Desuden er dette forhold lig med 11/13 (i henhold til betingelsen). Da AN 1 er kendt, kan højden beregnes: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Simple beregninger giver et resultat på 5,5 cm.
Svar. Den nødvendige højde er 5,5 cm.
nr. 3. For at beregne højden ved hjælp af kendte diagonaler.
Tilstand. Man ved om trapezet, at dets diagonaler er 13 og 3 cm. Du skal finde ud af dens højde, hvis summen af baserne er 14 cm.
Løsning. Lad betegnelsen på figuren være den samme som før. Lad os antage, at AC er den mindre diagonal. Fra toppunktet C skal du tegne den ønskede højde og betegne den CH.
Nu skal du lave noget ekstra konstruktion. Fra hjørne C skal du tegne en lige linje parallelt med den større diagonal og finde punktet for dens skæringspunkt med fortsættelsen af side AD. Dette bliver D 1. Resultatet er en ny trapez, indeni hvilken en trekant ASD 1 er tegnet. Det er det, der skal til for at løse problemet yderligere.
Den ønskede højde vil også være i trekanten. Derfor kan du bruge formlerne undersøgt i et andet emne. Højden af en trekant er defineret som produktet af tallet 2 og arealet divideret med den side, hvortil den er tegnet. Og siden viser sig at være lig med summen af baserne af den oprindelige trapez. Dette kommer fra den regel, som den ekstra konstruktion blev lavet efter.
I den betragtede trekant er alle sider kendt. For nemheds skyld introducerer vi notationen x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.
Nu kan du beregne arealet ved hjælp af Herons sætning. Halvperimeteren vil være lig med p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Så vil formlen for området efter at have erstattet værdierne se sådan ud: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).
Svar. Højden er 6√10 / 7 cm.
nr. 4. For at finde højden på siderne.
Tilstand. Givet en trapez, hvoraf tre sider er 10 cm, og den fjerde er 24 cm. Du skal finde ud af dens højde.
Løsning. Da figuren er ligebenet, skal du bruge formel nummer 2. Du skal blot erstatte alle værdierne i den og tælle. Det vil se sådan ud:
n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).
Svar. n = √51 cm.
Vinkler af en ligebenet trapez. Hej! Denne artikel vil fokusere på at løse problemer med trapez. Denne gruppe af opgaver er en del af eksamen, problemerne er enkle. Vi vil beregne vinklerne på trapez, base og højde. At løse en række problemer kommer ned til at løse, som man siger: hvor er vi uden Pythagoras sætning?
Vi vil arbejde med en ligebenet trapez. Den har lige sider og vinkler ved baserne. Der er en artikel om trapez på bloggen.
Lad os bemærke en lille og vigtig nuance, som vi ikke vil beskrive i detaljer i processen med at løse selve opgaverne. Se, hvis vi får to baser, så er den større base med højderne sænket til den opdelt i tre segmenter - en er lig med den mindre base (disse er de modsatte sider af rektanglet), de to andre er lig med hver andet (disse er benene i lige retvinklede trekanter):
Et simpelt eksempel: givet to baser af en ligebenet trapezoid 25 og 65. Den større base er opdelt i segmenter som følger:
*Og videre! Bogstavsymboler er ikke inkluderet i opgaverne. Dette blev gjort bevidst for ikke at overbelaste løsningen med algebraiske justeringer. Jeg er enig i, at dette er matematisk analfabet, men målet er at få pointen igennem. Og du kan altid selv lave betegnelserne for hjørner og andre elementer og skrive en matematisk korrekt løsning ned.
Lad os overveje opgaverne:
27439. Baserne af et ligebenet trapez er 51 og 65. Siderne er 25. Find sinus for trapezets spidse vinkel.
For at finde vinklen skal du konstruere højderne. I skitsen betegner vi dataene i mængdetilstanden. Den nederste base er 65, med højder er den opdelt i segmenter 7, 51 og 7:
I en retvinklet trekant kender vi hypotenusen og benet, vi kan finde det andet ben (højden af trapezet) og derefter beregne vinklens sinus.
Ifølge Pythagoras sætning er det angivne ben lig med:
Dermed:
Svar: 0,96
27440. Baserne af en ligebenet trapez er 43 og 73. Cosinus af en spids vinkel af en trapez er 5/7. Find siden.
Lad os konstruere højderne og notere dataene i størrelsesforholdet; den nederste base er opdelt i segmenterne 15, 43 og 15:
27441. Den største base af en ligebenet trapez er 34. Siden er 14. Sinus for en spids vinkel er (2√10)/7. Find den mindre base.
Lad os bygge højder. For at finde den mindre base skal vi finde, hvad segmentet, der er benet i den rigtige trekant, er lig med (angivet med blåt):
Vi kan beregne højden af trapezet og derefter finde benet:
Ved hjælp af Pythagoras sætning beregner vi benet:
Så den mindre base er:
27442. Baserne af en ligebenet trapez er 7 og 51. Tangensen af en spids vinkel er 5/11. Find højden af trapez.
Lad os konstruere højderne og markere dataene i størrelsestilstanden. Den nederste base er opdelt i segmenter:
Hvad skal man gøre? Vi udtrykker tangenten til den vinkel, vi kender ved bunden, i en retvinklet trekant:
27443. Den mindre base af en ligebenet trapez er 23. Højden af trapez er 39. Tangensen af en spids vinkel er 13/8. Find en større base.
Vi bygger højderne og beregner, hvad benet er lig med:
Således vil den større base være lig med:
27444. Baserne af et ligebenet trapez er 17 og 87. Højden af trapezet er 14. Find tangenten til den spidse vinkel.
Vi bygger højder og markerer kendte værdier på skitsen. Den nederste base er opdelt i segmenter 35, 17, 35:
Ved definition af tangent:
77152. Baserne af et ligebenet trapez er 6 og 12. Sinus for en spids vinkel i et trapez er 0,8. Find siden.
Lad os bygge en skitse, konstruere højder og markere kendte værdier, den større base er opdelt i segmenter 3, 6 og 3:
Lad os udtrykke hypotenusen, betegnet som x, gennem cosinus:
Fra den trigonometriske hovedidentitet finder vi cosα
Dermed:
27818. Hvad er den største vinkel for en ligebenet trapez, hvis man ved, at forskellen mellem de modsatte vinkler er 50 0? Giv dit svar i grader.
Fra geometrikurset ved vi, at hvis vi har to parallelle linjer og en transversal, er summen af de indre ensidede vinkler lig med 180 0. I vores tilfælde er det
Betingelsen siger, at forskellen mellem modsatte vinkler er 50 0, dvs
Instruktioner
Hvis længderne af begge baser (b og c) og de samme laterale sider (a) per definition er kendt, kan en retvinklet trekant bruges til at beregne værdien af en af dens spidse vinkler (γ). For at gøre dette skal du sænke højden fra ethvert hjørne, der støder op til den korte base. En retvinklet trekant vil blive dannet af en højde (), en side (hypotenuse) og et segment af den lange base mellem højden og den nærmeste side (det andet ben). Længden af dette segment kan findes ved at trække længden af den mindste fra længden af den større base og dividere resultatet i halvdelen: (c-b)/2.
Efter at have opnået længderne af to tilstødende sider af en retvinklet trekant, fortsæt med at beregne vinklen mellem dem. Forholdet mellem længden af hypotenusen (a) og længden af benet ((c-b)/2) giver cosinusværdien af denne vinkel (cos(γ)), og arccosinusfunktionen vil hjælpe med at konvertere den til vinkel i grader: γ=arccos(2*a/(c-b)). På denne måde får du værdien af en af de spidse vinkler, og da den er ligebenet, vil den anden spidse vinkel have samme værdi. Summen af alle vinkler skal være 360°, hvilket betyder, at summen af to vinkler vil være lig med forskellen mellem denne og det dobbelte af den spidse vinkel. Da begge stumpe vinkler også vil være ens, for at finde værdien af hver af dem (α), skal denne forskel deles i halvdelen: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* a/(c-b)). Nu har du beregninger af alle vinklerne af en ligebenet trapez, givet de kendte længder af dens sider.
Hvis længderne af siderne af figuren er ukendte, men dens højde (h) er givet, skal du fortsætte i henhold til samme skema. I dette tilfælde, i en retvinklet trekant bestående af , en side og et kort segment af en lang base, vil du kende længden af to ben. Deres forhold bestemmer tangenten af den vinkel, du har brug for, og denne trigonometriske funktion har også sin egen antipode, som konverterer tangentværdien til vinkelværdien - arctangent. Transformér formlerne for spidse og stumpe vinkler opnået i det foregående trin i overensstemmelse hermed: γ = arctg(2*h/(c-b)) og α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).
For at løse dette problem ved hjælp af vektoralgebrametoder skal du kende følgende begreber: geometrisk vektorsum og skalarprodukt af vektorer, og du bør også huske egenskaben af summen af indvendige vinkler af en firkant.
Du får brug for
- - papir;
- - pen;
- - lineal.
Instruktioner
En vektor er et rettet segment, det vil sige en størrelse, der anses for at være fuldt specificeret, hvis dens længde og retning (vinkel) til en given akse er givet. Vektorens position er ikke længere begrænset af noget. To vektorer med længder og samme retning betragtes som lige store. Derfor, når du bruger koordinater, er vektorer repræsenteret af radiusvektorer for punkterne i dens ende (originalen er ved koordinaternes oprindelse).
Per definition: den resulterende vektor af en geometrisk sum af vektorer er en vektor, der starter fra begyndelsen af den første og har slutningen af den anden, forudsat at slutningen af den første kombineres med begyndelsen af den anden. Dette kan fortsættes yderligere ved at opbygge en kæde af lignende placerede vektorer.
Tegn den givne ABCD med vektorerne a, b, c og d i fig. 1. Naturligvis er den resulterende vektor med dette arrangement d=a+ b+c.
I dette tilfælde er det skalære produkt mere bekvemt baseret på vektorerne a og d. Punktprodukt, angivet med (a, d)= |a||d|cosф1. Her er φ1 vinklen mellem vektorerne a og d.
Punktproduktet af vektorer givet ved koordinater er defineret ved følgende:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, derefter
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).