Areal af en figur efter integral. Online lommeregner. Beregn det bestemte integral (arealet af en buet trapez)

Bestemt integral. Hvordan man beregner arealet af en figur

Lad os gå videre til at overveje anvendelser af integralregning. I denne lektion vil vi analysere den typiske og mest almindelige opgave – hvordan man bruger et bestemt integral til at beregne arealet af en plan figur. Til sidst, dem, der leder efter mening i højere matematik - må de finde den. Man ved aldrig. I det virkelige liv bliver du nødt til at tilnærme et dacha-plot ved hjælp af elementære funktioner og finde dets område ved hjælp af et bestemt integral.

For at mestre materialet med succes skal du:

1) Forstå det ubestemte integral i det mindste på et mellemniveau. Dummies bør derfor først læse lektionen Ikke.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz formlen og beregne det bestemte integral. Du kan etablere varme venskabelige relationer med visse integraler på siden Bestemt integral. Eksempler på løsninger.

Faktisk, for at finde arealet af en figur, behøver du ikke så meget viden om det ubestemte og bestemte integral. Opgaven "beregn arealet ved hjælp af et bestemt integral" involverer altid at konstruere en tegning, så din viden og tegnefærdigheder vil være et meget mere presserende problem. I denne henseende er det nyttigt at genopfriske din hukommelse om graferne for grundlæggende elementære funktioner og som minimum at være i stand til at konstruere en lige linje, parabel og hyperbel. Dette kan gøres (for mange er det nødvendigt) ved hjælp af metodologisk materiale og en artikel om geometriske transformationer af grafer.

Egentlig har alle været bekendt med opgaven med at finde området ved hjælp af et decideret integral siden skolen, og vi kommer ikke meget længere end til skolens læreplan. Denne artikel eksisterede måske slet ikke, men faktum er, at problemet opstår i 99 tilfælde ud af 100, når en elev lider af en hadet skole og entusiastisk mestrer et kursus i højere matematik.

Materialerne til denne workshop præsenteres enkelt, detaljeret og med et minimum af teori.

Lad os starte med en buet trapez.

Krumt trapez er en flad figur afgrænset af en akse, rette linjer og grafen for en funktion kontinuert på et interval, der ikke skifter fortegn på dette interval. Lad denne figur være placeret ikke mindre x-akse:

Derefter arealet af en buet trapez er numerisk lig med et bestemt integral. Ethvert bestemt integral (der findes) har en meget god geometrisk betydning. Ved lektionen Bestemt integral. Eksempler på løsninger Jeg sagde, at et bestemt integral er et tal. Og nu er det tid til at sige endnu et nyttigt faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det bestemte integral AREA.

Det er, det bestemte integral (hvis det findes) svarer geometrisk til arealet af en bestemt figur. Overvej for eksempel det bestemte integral. Integranden definerer en kurve på planet, der er placeret over aksen (de, der ønsker det, kan lave en tegning), og selve det bestemte integral er numerisk lig med arealet af den tilsvarende kurvelineære trapez.

Eksempel 1

Dette er en typisk opgavebeskrivelse. Det første og vigtigste punkt i beslutningen er opbygningen af en tegning. Desuden skal tegningen være konstrueret HØJRE.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rækkefølge: i første omgang det er bedre at konstruere alle lige linjer (hvis de findes) og kun Derefter– parabler, hyperbler, grafer for andre funktioner. Det er mere rentabelt at bygge grafer over funktioner punkt for punkt, kan punkt-for-punkt byggeteknikken findes i referencematerialet Grafer og egenskaber for elementære funktioner. Der kan du også finde meget nyttigt materiale til vores lektion - hvordan man hurtigt bygger en parabel.

I dette problem kan løsningen se sådan ud.
Lad os tegne tegningen (bemærk, at ligningen definerer aksen):

Jeg vil ikke skygge for den buede trapez; det er tydeligt her, hvilket område vi taler om. Løsningen fortsætter således:

På segmentet er grafen for funktionen placeret over aksen, Derfor:

Svar:

Hvem har vanskeligheder med at beregne det bestemte integral og anvende Newton-Leibniz formlen , se foredraget Bestemt integral. Eksempler på løsninger.

Når opgaven er afsluttet, er det altid nyttigt at se på tegningen og finde ud af, om svaret er rigtigt. I dette tilfælde tæller vi antallet af celler i tegningen "efter øjet" - ja, der vil være omkring 9, det ser ud til at være sandt. Det er helt klart, at hvis vi for eksempel fik svaret: 20 kvadratenheder, så er det åbenlyst, at der er begået en fejl et eller andet sted - 20 celler passer åbenbart ikke ind i den pågældende figur, højst et dusin. Hvis svaret er negativt, så blev opgaven også løst forkert.

Eksempel 2

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer , , og akse

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Hvad skal man gøre, hvis den buede trapez er placeret under akslen?

Eksempel 3

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjer og koordinatakser.

Løsning: Lad os lave en tegning:

Hvis en buet trapez er placeret under akslen(eller i det mindste ikke højere givet akse), så kan dens areal findes ved hjælp af formlen:
I dette tilfælde:

Opmærksomhed! De to typer opgaver må ikke forveksles:

1) Hvis du bliver bedt om blot at løse et bestemt integral uden nogen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du bliver bedt om at finde arealet af en figur ved hjælp af et bestemt integral, så er arealet altid positivt! Derfor optræder minus i den netop omtalte formel.

I praksis er figuren oftest placeret i både det øvre og nedre halvplan, og derfor går vi fra de simpleste skoleproblemer videre til mere meningsfulde eksempler.

Eksempel 4

Find arealet af en plan figur afgrænset af linjerne, .

Løsning: Først skal du færdiggøre tegningen. Generelt set er vi mest interesserede i linjers skæringspunkter, når vi konstruerer en tegning i arealproblemer. Lad os finde skæringspunkterne for parablen og den rette linje. Dette kan gøres på to måder. Den første metode er analytisk. Vi løser ligningen:

Det betyder, at den nedre grænse for integration er, den øvre grænse for integration er.
Hvis det er muligt, er det bedre ikke at bruge denne metode..

Det er meget mere rentabelt og hurtigere at konstruere linjer punkt for punkt, og grænserne for integration bliver tydelige "af sig selv." Punkt-for-punkt konstruktionsteknikken for forskellige grafer er beskrevet detaljeret i hjælpen Grafer og egenskaber for elementære funktioner. Ikke desto mindre skal den analytiske metode til at finde grænser stadig nogle gange bruges, hvis f.eks. grafen er stor nok, eller den detaljerede konstruktion ikke afslørede grænserne for integration (de kan være brøkdele eller irrationelle). Og vi vil også overveje et sådant eksempel.

Lad os vende tilbage til vores opgave: det er mere rationelt først at konstruere en lige linje og først derefter en parabel. Lad os lave tegningen:

Jeg gentager, at når man konstruerer punktvis, finder man oftest grænserne for integration ud "automatisk".

Og nu arbejdsformlen: Hvis der er en eller anden kontinuerlig funktion på segmentet større end eller lig med en eller anden kontinuerlig funktion , så kan arealet af figuren afgrænset af graferne for disse funktioner og linjerne , , findes ved hjælp af formlen:

Her behøver du ikke længere tænke på, hvor figuren er placeret - over aksen eller under aksen, og groft sagt, det betyder noget, hvilken graf der er HØJERE(i forhold til en anden graf), og hvilken er UNDER.

I det undersøgte eksempel er det indlysende, at parablen på segmentet er placeret over den rette linje, og derfor er det nødvendigt at trække fra

Den færdige løsning kan se sådan ud:

Den ønskede figur er begrænset af en parabel over og en lige linje nedenunder.
På segmentet ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Faktisk er skoleformlen for arealet af en buet trapez i det nederste halvplan (se simpelt eksempel nr. 3) et specialtilfælde af formlen . Da aksen er specificeret af ligningen, og grafen for funktionen er placeret ikke højereøkser altså

Og nu et par eksempler til din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Find arealet af figuren afgrænset af linjerne, .

Når man løser problemer, der involverer beregning af areal ved hjælp af et bestemt integral, sker der nogle gange en sjov hændelse. Tegningen var udført korrekt, beregningerne var korrekte, men på grund af skødesløshed... området med den forkerte figur blev fundet, det er præcis sådan, din ydmyge tjener skruede sammen flere gange. Her er en sag fra det virkelige liv:

Eksempel 7

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne , , , .

Løsning: Først, lad os lave en tegning:

...Eh, tegningen blev lort, men alt ser ud til at være læseligt.

Figuren, hvis område vi skal finde, er skraveret blå(se nøje på tilstanden - hvor er tallet begrænset!). Men i praksis, på grund af uopmærksomhed, opstår der ofte en "fejl", som du skal bruge for at finde området af en figur, der er skraveret i grønt!

Dette eksempel er også nyttigt, fordi det beregner arealet af en figur ved hjælp af to bestemte integraler. Virkelig:

1) På segmentet over aksen er der en graf over en ret linje;

2) På segmentet over aksen er der en graf over en hyperbel.

Det er helt indlysende, at områderne kan (og bør) tilføjes, derfor:

Svar:

Lad os gå videre til en anden meningsfuld opgave.

Eksempel 8

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer,
Lad os præsentere ligningerne i "skole" form og lave en punkt-for-punkt tegning:

Af tegningen fremgår det tydeligt, at vores øvre grænse er "god": .
Men hvad er den nedre grænse?! Det er klart, at dette ikke er et heltal, men hvad er det? Måske ? Men hvor er garantien for, at tegningen er lavet med perfekt nøjagtighed, det kan godt vise sig, at... Eller roden. Hvad hvis vi byggede grafen forkert?

I sådanne tilfælde skal du bruge ekstra tid og afklare grænserne for integration analytisk.

Lad os finde skæringspunkterne for en ret linje og en parabel.
For at gøre dette løser vi ligningen:

,

Virkelig,.

Den yderligere løsning er triviel, det vigtigste er ikke at blive forvirret i substitutioner og tegn; beregningerne her er ikke de enkleste.

På segmentet , ifølge den tilsvarende formel:

Svar:

Nå, for at afslutte lektionen, lad os se på to mere vanskelige opgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet af figuren afgrænset af linjerne, ,

Løsning: Lad os afbilde denne figur på tegningen.

For fanden, jeg glemte at underskrive tidsplanen, og undskyld, jeg ville ikke lave billedet om. Ikke en tegnedag, kort sagt, i dag er dagen =)

For punkt-for-punkt konstruktion er det nødvendigt at kende udseendet af en sinusoid (og generelt er det nyttigt at vide grafer over alle elementære funktioner), samt nogle sinusværdier, de kan findes i trigonometrisk tabel. I nogle tilfælde (som i dette tilfælde) er det muligt at konstruere en skematisk tegning, hvorpå graferne og grænserne for integration skal vises grundlæggende korrekt.

Der er ingen problemer med grænserne for integration her; de følger direkte af betingelsen: "x" skifter fra nul til "pi". Lad os tage en yderligere beslutning:

På segmentet er grafen for funktionen placeret over aksen, derfor:

Vi begynder at overveje den faktiske proces med at beregne dobbeltintegralet og stifte bekendtskab med dens geometriske betydning.

Dobbeltintegralet er numerisk lig med arealet af planfiguren (integrationsområdet). Dette er den enkleste form for dobbeltintegral, når funktionen af to variable er lig med én: .

Lad os først se på problemet i generel form. Nu vil du blive ret overrasket over, hvor simpelt alt egentlig er! Lad os beregne arealet af en flad figur afgrænset af linjer. For nøjagtighedens skyld antager vi, at på segmentet . Arealet af denne figur er numerisk lig med:

Lad os afbilde området på tegningen:

Lad os vælge den første måde at krydse området på:

Dermed:

Og umiddelbart en vigtig teknisk teknik: itererede integraler kan beregnes separat. Først det indre integral, så det ydre integral. Jeg anbefaler stærkt denne metode til begyndere i faget.

1) Lad os beregne det interne integral, og integrationen udføres over variablen "y":

Det ubestemte integral her er det enkleste, og så bruges den banale Newton-Leibniz formel, med den eneste forskel, at grænserne for integration er ikke tal, men funktioner. Først erstattede vi den øvre grænse med "y" (antiafledt funktion), derefter den nedre grænse

2) Resultatet opnået i første afsnit skal erstattes med det eksterne integral:

En mere kompakt repræsentation af hele løsningen ser sådan ud:

Den resulterende formel er præcis arbejdsformlen til at beregne arealet af en plan figur ved hjælp af det "almindelige" bestemte integral! Se lektionen Beregning af areal ved hjælp af et bestemt integral, der er hun ved hvert skridt!

Det er, problem med at beregne areal ved hjælp af dobbeltintegral ikke meget anderledes fra problemet med at finde området ved hjælp af et bestemt integral! Faktisk er det det samme!

Derfor bør der ikke opstå vanskeligheder! Jeg vil ikke se på ret mange eksempler, da du faktisk gentagne gange er stødt på denne opgave.

Eksempel 9

Løsning: Lad os afbilde området på tegningen:

Lad os vælge følgende rækkefølge af krydsning af området:

Her og længere vil jeg ikke dvæle ved, hvordan man gennemser området, da meget detaljerede forklaringer blev givet i første afsnit.

Dermed:

Som jeg allerede har bemærket, er det bedre for begyndere at beregne itererede integraler separat, og jeg vil holde mig til den samme metode:

1) Først, ved hjælp af Newton-Leibniz-formlen, beskæftiger vi os med det interne integral:

2) Resultatet opnået i det første trin erstattes med det eksterne integral:

Punkt 2 er faktisk at finde arealet af en plan figur ved hjælp af et bestemt integral.

Svar:

Det er sådan en dum og naiv opgave.

Et interessant eksempel på en uafhængig løsning:

Eksempel 10

Brug et dobbeltintegral til at beregne arealet af en plan figur afgrænset af linjerne , ,

Et omtrentligt eksempel på en endelig løsning i slutningen af lektionen.

I eksempel 9-10 er det meget mere rentabelt at bruge den første metode til at krydse området, nysgerrige læsere kan i øvrigt ændre rækkefølgen af gennemkørslen og beregne arealerne ved hjælp af den anden metode. Hvis du ikke laver en fejl, så får du naturligvis de samme arealværdier.

Men i nogle tilfælde er den anden metode til at krydse området mere effektiv, og i slutningen af den unge nørds kursus, lad os se på et par flere eksempler om dette emne:

Eksempel 11

Brug et dobbeltintegral til at beregne arealet af en plan figur afgrænset af linjer,

Løsning: Vi glæder os til to parabler med en særhed, der ligger på siden. Der er ingen grund til at smile; lignende ting forekommer ret ofte i flere integraler.

Hvad er den nemmeste måde at lave en tegning på?

Lad os forestille os en parabel i form af to funktioner:
– den øverste gren og – den nederste gren.

På samme måde kan du forestille dig en parabel i form af øvre og nedre grene.

Dernæst punktvis plotning af grafer, hvilket resulterer i en sådan bizar figur:

Vi beregner arealet af figuren ved hjælp af dobbeltintegralet i henhold til formlen:

Hvad sker der, hvis vi vælger den første måde at krydse området på? For det første skal dette område opdeles i to dele. Og for det andet vil vi observere dette triste billede: . Integraler er selvfølgelig ikke af et superkompliceret niveau, men... der er et gammelt matematisk ordsprog: dem, der er tæt på deres rødder, behøver ikke en test.

Derfor, ud fra den misforståelse, der er givet i betingelsen, udtrykker vi de omvendte funktioner:

Inverse funktioner i dette eksempel har den fordel, at de specificerer hele parablen på én gang uden blade, agern, grene og rødder.

Ifølge den anden metode vil arealgennemløbet være som følger:

Dermed:

Som de siger, mærk forskellen.

1) Vi beskæftiger os med det interne integral:

Vi erstatter resultatet med det ydre integral:

Integration over variablen "y" bør ikke være forvirrende; hvis der var et bogstav "zy", ville det være fantastisk at integrere over det. Selvom der læste andet afsnit af lektionen Sådan beregnes volumenet af et rotationslegeme, oplever han ikke længere den mindste besværlighed med integration efter "Y"-metoden.

Vær også opmærksom på det første trin: integranden er lige, og integrationsintervallet er symmetrisk omkring nul. Derfor kan segmentet halveres, og resultatet kan fordobles. Denne teknik kommenteres i detaljer i lektionen. Effektive metoder til beregning af det bestemte integral.

Hvad skal tilføjes…. Alle!

Svar:

For at teste din integrationsteknik kan du prøve at beregne . Svaret burde være nøjagtigt det samme.

Eksempel 12

Brug et dobbeltintegral til at beregne arealet af en plan figur afgrænset af linjer

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Det er interessant at bemærke, at hvis du forsøger at bruge den første metode til at krydse området, skal figuren ikke længere opdeles i to, men i tre dele! Og følgelig får vi tre par gentagne integraler. Nogle gange sker det.

Masterklassen er slut, og det er tid til at gå videre til stormesterniveauet - Hvordan beregner man dobbeltintegral? Eksempler på løsninger. Jeg vil prøve ikke at være så manisk i den anden artikel =)

Jeg ønsker dig succes!

Løsninger og svar:

Eksempel 2:Løsning: Lad os skildre området på tegningen:

Lad os vælge følgende rækkefølge af krydsning af området:

Dermed:
Lad os gå videre til inverse funktioner:

Dermed:
Svar:

Eksempel 4:Løsning: Lad os gå videre til direkte funktioner:

Lad os lave tegningen:

Lad os ændre rækkefølgen af at krydse området:

Svar:

Lad os gå videre til at overveje anvendelser af integralregning. I denne lektion vil vi analysere den typiske og mest almindelige opgave beregning af arealet af en plan figur ved hjælp af et bestemt integral. Lad endelig alle dem, der søger mening i højere matematik, finde den. Man ved aldrig. I det virkelige liv bliver du nødt til at tilnærme et dacha-plot ved hjælp af elementære funktioner og finde dets område ved hjælp af et bestemt integral.

For at mestre materialet med succes skal du:

1) Forstå det ubestemte integral i det mindste på et mellemniveau. Dummies bør derfor først læse lektionen Ikke.

2) Kunne anvende Newton-Leibniz formlen og beregne det bestemte integral. Du kan etablere varme venskabelige relationer med visse integraler på siden Bestemt integral. Eksempler på løsninger. Opgaven "beregn arealet ved hjælp af et bestemt integral" involverer altid at konstruere en tegning, så din viden og tegnefærdigheder vil også være et relevant emne. Du skal som minimum kunne konstruere en lige linje, parabel og hyperbel.

Lad os starte med en buet trapez. En buet trapez er en flad figur afgrænset af grafen for en funktion y = f(x), akse OKSE og linjer x = -en; x = b.

Arealet af en buet trapez er numerisk lig med et bestemt integral

Ethvert bestemt integral (der findes) har en meget god geometrisk betydning. Ved lektionen Bestemt integral. Eksempler på løsninger vi sagde, at et bestemt integral er et tal. Og nu er det tid til at sige endnu et nyttigt faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det bestemte integral AREA. Det er, det bestemte integral (hvis det findes) svarer geometrisk til arealet af en bestemt figur. Overvej det bestemte integral

Integrand

definerer en kurve på planet (den kan tegnes, hvis det ønskes), og selve det bestemte integral er numerisk lig med arealet af den tilsvarende kurvelineære trapez.

Eksempel 1

, , , .

Dette er en typisk opgavebeskrivelse. Det vigtigste punkt i beslutningen er opbygningen af tegningen. Desuden skal tegningen være konstrueret HØJRE.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rækkefølge: i første omgang det er bedre at konstruere alle lige linjer (hvis de findes) og kun Derefter– parabler, hyperbler, grafer for andre funktioner. Punkt-for-punkt byggeteknikken kan findes i referencematerialet Grafer og egenskaber for elementære funktioner. Der kan du også finde meget nyttigt materiale til vores lektion - hvordan man hurtigt bygger en parabel.

I dette problem kan løsningen se sådan ud.

Lad os tegne tegningen (bemærk, at ligningen y= 0 angiver aksen OKSE):

Vi vil ikke skygge for den buede trapez; her er det tydeligt, hvilket område vi taler om. Løsningen fortsætter således:

På segmentet [-2; 1] funktionsgraf y = x 2 + 2 placeret over aksenOKSE, Derfor:

Svar: .

Hvem har vanskeligheder med at beregne det bestemte integral og anvende Newton-Leibniz formlen

henvises til foredrag Bestemt integral. Eksempler på løsninger. Når opgaven er afsluttet, er det altid nyttigt at se på tegningen og finde ud af, om svaret er rigtigt. I dette tilfælde tæller vi antallet af celler i tegningen "efter øjet" - ja, der vil være omkring 9, det ser ud til at være sandt. Det er helt klart, at hvis vi for eksempel fik svaret: 20 kvadratenheder, så er det åbenlyst, at der er begået en fejl et eller andet sted - 20 celler passer åbenbart ikke ind i den pågældende figur, højst et dusin. Hvis svaret er negativt, så blev opgaven også løst forkert.

Eksempel 2

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer xy = 4, x = 2, x= 4 og akse OKSE.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen.

Hvad skal man gøre, hvis den buede trapez er placeret under akslenOKSE?

Eksempel 3

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer y = e-x, x= 1 og koordinatakser.

Løsning: Lad os lave en tegning:

Hvis en buet trapez helt placeret under aksen OKSE , så kan dens areal findes ved hjælp af formlen:

I dette tilfælde:

Opmærksomhed! De to typer opgaver må ikke forveksles:

1) Hvis du bliver bedt om blot at løse et bestemt integral uden nogen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du bliver bedt om at finde arealet af en figur ved hjælp af et bestemt integral, så er arealet altid positivt! Derfor optræder minus i den netop omtalte formel.

I praksis er figuren oftest placeret i både det øvre og nedre halvplan, og derfor går vi fra de simpleste skoleproblemer videre til mere meningsfulde eksempler.

Eksempel 4

Find arealet af en plan figur afgrænset af linjer y = 2x – x 2 , y = -x.

Løsning: Først skal du lave en tegning. Når vi konstruerer en tegning i arealproblemer, er vi mest interesserede i linjers skæringspunkter. Lad os finde skæringspunkterne for parablen y = 2x – x 2 og lige y = -x. Dette kan gøres på to måder. Den første metode er analytisk. Vi løser ligningen:

Det betyder, at den nedre grænse for integration -en= 0, øvre grænse for integration b= 3. Det er ofte mere rentabelt og hurtigere at konstruere linjer punkt for punkt, og grænserne for integration bliver tydelige "af sig selv." Ikke desto mindre skal den analytiske metode til at finde grænser stadig nogle gange bruges, hvis f.eks. grafen er stor nok, eller den detaljerede konstruktion ikke afslørede grænserne for integration (de kan være brøkdele eller irrationelle). Lad os vende tilbage til vores opgave: det er mere rationelt først at konstruere en lige linje og først derefter en parabel. Lad os lave tegningen:

Lad os gentage, at når man konstruerer punktvis, bestemmes grænserne for integration oftest "automatisk".

Og nu arbejdsformlen:

Hvis på segmentet [ -en; b] en eller anden kontinuerlig funktion f(x) større end eller lig med en eller anden kontinuerlig funktion g(x), så kan arealet af den tilsvarende figur findes ved hjælp af formlen:

Her behøver du ikke længere tænke på, hvor figuren er placeret – over aksen eller under aksen, men det betyder noget, hvilken graf der er HØJERE(i forhold til en anden graf), og hvilken er UNDER.

I det undersøgte eksempel er det indlysende, at parablen på segmentet er placeret over den rette linje, og derfor fra 2 x – x 2 skal trækkes fra - x.

Den færdige løsning kan se sådan ud:

Den ønskede figur er begrænset af en parabel y = 2x – x 2 ovenpå og lige y = -x under.

På segment 2 x – x 2 ≥ -x. Ifølge den tilsvarende formel:

Svar: .

Faktisk er skoleformlen for arealet af en buet trapez i det nederste halvplan (se eksempel nr. 3) et specialtilfælde af formlen

Fordi aksen OKSE givet af ligningen y= 0, og grafen for funktionen g(x) placeret under aksen OKSE, At

Og nu et par eksempler til din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Find arealet af en figur afgrænset af linjer

Eksempel 7

Lad os først lave en tegning:

Figuren, hvis område vi skal finde, er skraveret blå(se nøje på tilstanden - hvor er tallet begrænset!). Men i praksis, på grund af uopmærksomhed, beslutter folk ofte, at de skal finde det område af figuren, der er skraveret i grønt!

Dette eksempel er også nyttigt, fordi det beregner arealet af en figur ved hjælp af to bestemte integraler. Virkelig:

1) På segmentet [-1; 1] over aksen OKSE grafen er placeret lige y = x+1;

2) På et segment over aksen OKSE grafen for en hyperbel er lokaliseret y = (2/x).

Det er helt indlysende, at områderne kan (og bør) tilføjes, derfor:

Svar:

Eksempel 8

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer

Lad os præsentere ligningerne i "skole"-form

og lav en punkt-for-punkt tegning:

Fra tegningen er det tydeligt, at vores øvre grænse er "god": b = 1.

Men hvad er den nedre grænse?! Det er klart, at dette ikke er et heltal, men hvad er det?

Måske, -en=(-1/3)? Men hvor er garantien for, at tegningen er lavet med perfekt nøjagtighed, det kan det godt vise sig -en=(-1/4). Hvad hvis vi byggede grafen forkert?

I sådanne tilfælde skal du bruge ekstra tid og afklare grænserne for integration analytisk.

Lad os finde skæringspunkterne for graferne

For at gøre dette løser vi ligningen:

Derfor, -en=(-1/3).

Den videre løsning er triviel. Det vigtigste er ikke at blive forvirret i udskiftninger og tegn. Beregningerne her er ikke de enkleste. På segmentet

, ,

efter den tilsvarende formel:

Svar:

For at afslutte lektionen, lad os se på to mere vanskelige opgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer

Løsning: Lad os afbilde denne figur på tegningen.

For at konstruere en punkt-for-punkt-tegning skal du kende udseendet af en sinusoid. Generelt er det nyttigt at kende graferne for alle elementære funktioner samt nogle sinusværdier. De kan findes i værditabellen trigonometriske funktioner. I nogle tilfælde (for eksempel i dette tilfælde) er det muligt at konstruere en skematisk tegning, hvorpå graferne og grænserne for integration skal vises grundlæggende korrekt.

Der er ingen problemer med grænserne for integration her; de følger direkte af betingelsen:

– “x” skifter fra nul til “pi”. Lad os tage en yderligere beslutning:

På et segment, grafen for en funktion y= synd 3 x placeret over aksen OKSE, Derfor:

(1) Du kan se, hvordan sinus og cosinus er integreret i ulige potenser i lektionen Integraler af trigonometriske funktioner. Vi kniber den ene sinus af.

(2) Vi bruger den trigonometriske hovedidentitet i formularen

(3) Lad os ændre variablen t=cos x, så: er placeret over aksen, derfor:

Bemærk: bemærk, hvordan integralet af tangentkuben tages; en følge af den grundlæggende trigonometriske identitet er brugt her

Opgave 1(om at beregne arealet af en buet trapez).

I det kartesiske rektangulære koordinatsystem xOy er der givet en figur (se figur) afgrænset af x-aksen, rette linjer x = a, x = b (a af en buet trapez. Det er påkrævet at beregne arealet af en krumliniet) trapez.
Løsning. Geometri giver os opskrifter til at beregne arealer af polygoner og nogle dele af en cirkel (sektor, segment). Ved hjælp af geometriske overvejelser kan vi kun finde en omtrentlig værdi af det krævede areal, og ræsonnere som følger.

Lad os opdele segmentet [a; b] (grundlag af en buet trapez) i n lige store dele; denne opdeling udføres ved hjælp af punkterne x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Lad os tegne lige linjer gennem disse punkter parallelt med y-aksen. Derefter vil den givne kurvelineære trapez være opdelt i n dele, i n smalle søjler. Arealet af hele trapezoidet er lig med summen af søjlernes areal.

Lad os betragte den k-te kolonne separat, dvs. en buet trapez, hvis basis er et segment. Lad os erstatte det med et rektangel med samme base og højde lig f(x k) (se figur). Arealet af rektanglet er lig med $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, hvor $\Delta x_k $ er længden af segmentet; Det er naturligt at betragte det resulterende produkt som en omtrentlig værdi af arealet af den kth kolonne.

Hvis vi nu gør det samme med alle de andre søjler, kommer vi til følgende resultat: arealet S af en given kurvelineær trapez er omtrent lig med arealet S n af en trinformet figur bestående af n rektangler (se figur):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Her antager vi for ensartetheden af notationen, at a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - længden af segmentet, $\Delta x_1 $ - længden af segmentet osv.; i dette tilfælde, som vi blev enige om ovenfor, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Så $S \approx S_n $, og denne omtrentlige lighed er mere nøjagtig, jo større n.
Per definition antages det, at det krævede område af en krumt trapez er lig med grænsen for sekvensen (S n):
$$ S = \lim_(n \til \infty) S_n $$

Opgave 2(om at flytte et punkt)
Et materialepunkt bevæger sig i en lige linje. Hastighedens afhængighed af tid er udtrykt ved formlen v = v(t). Find bevægelsen af et punkt over en periode [a; b].
Løsning. Hvis bevægelsen var ensartet, så ville problemet være løst meget enkelt: s = vt, dvs. s = v(b-a). For ujævn bevægelse skal du bruge de samme ideer, som løsningen på det forrige problem var baseret på.
1) Opdel tidsintervallet [a; b] i n lige store dele.
2) Betragt et tidsrum og antag, at hastigheden i dette tidsrum var konstant, den samme som på tidspunktet t k. Så vi antager, at v = v(t k).
3) Lad os finde den omtrentlige værdi af punktets bevægelse over en periode; vi betegner denne omtrentlige værdi som s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Find den omtrentlige værdi af forskydning s:
$s \ca. S_n $ hvor
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Den nødvendige forskydning er lig med grænsen for sekvensen (S n):
$$ s = \lim_(n \til \infty) S_n $$

Lad os opsummere. Løsninger på forskellige problemer blev reduceret til den samme matematiske model. Mange problemer fra forskellige områder af videnskab og teknologi fører til den samme model i løsningsprocessen. Det betyder, at denne matematiske model skal studeres specielt.

Begrebet et bestemt integral

Lad os give en matematisk beskrivelse af modellen, der blev bygget i de tre betragtede problemer for funktionen y = f(x), kontinuert (men ikke nødvendigvis ikke-negativ, som det blev antaget i de betragtede problemer) på intervallet [a; b]:
1) opdele segmentet [a; b] i n lige store dele;
2) lav summen $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) beregn $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

I løbet af matematisk analyse blev det bevist, at denne grænse eksisterer i tilfælde af en kontinuerlig (eller stykkevis kontinuerlig) funktion. Han kaldes et vist integral af funktionen y = f(x) over segmentet [a; b] og betegnet som følger:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Tallene a og b kaldes integrationsgrænserne (henholdsvis nedre og øvre).

Lad os vende tilbage til de opgaver, der er diskuteret ovenfor. Definitionen af området givet i opgave 1 kan nu omskrives som følger:
$S = \int\grænser_a^b f(x) dx $
her er S arealet af den buede trapez, vist i figuren ovenfor. Dette er geometrisk betydning af et bestemt integral.

Definitionen af forskydningen s af et punkt, der bevæger sig i en ret linje med en hastighed v = v(t) over tidsperioden fra t = a til t = b, givet i opgave 2, kan omskrives som følger:

Newton - Leibniz formel

Lad os først besvare spørgsmålet: hvad er forbindelsen mellem det bestemte integral og antiderivatet?

Svaret findes i opgave 2. På den ene side beregnes forskydningen s af et punkt, der bevæger sig i en ret linje med en hastighed v = v(t) i tidsrummet fra t = a til t = b vha. formlen
$S = \int\grænser_a^b v(t) dt $

På den anden side er koordinaten for et bevægende punkt en antiafledt for hastighed - lad os betegne det s(t); det betyder, at forskydningen s er udtrykt ved formlen s = s(b) - s(a). Som et resultat får vi:
$S = \int\grænser_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
hvor s(t) er antiderivatet af v(t).

Følgende teorem blev bevist i løbet af matematisk analyse.
Sætning. Hvis funktionen y = f(x) er kontinuert i intervallet [a; b], så er formlen gyldig
$S = \int\grænser_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
hvor F(x) er antiderivatet af f(x).

Den givne formel kaldes normalt Newton-Leibniz formel til ære for den engelske fysiker Isaac Newton (1643-1727) og den tyske filosof Gottfried Leibniz (1646-1716), som modtog det uafhængigt af hinanden og næsten samtidigt.

I praksis bruger de i stedet for at skrive F(b) - F(a) notationen $\venstre. F(x)\right|_a^b $ (kaldes det nogle gange dobbelt substitution) og omskriv derfor Newton-Leibniz formlen i denne form:
$S = \int\grænser_a^b f(x) dx = \venstre. F(x)\højre|_a^b $

Når du beregner et bestemt integral, skal du først finde antiderivatet og derefter udføre en dobbeltsubstitution.

Baseret på Newton-Leibniz formlen kan vi opnå to egenskaber af det bestemte integral.

Ejendom 1. Integralet af summen af funktioner er lig med summen af integralerne:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Ejendom 2. Konstantfaktoren kan tages ud af integraletegnet:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Beregning af arealer af plane figurer ved hjælp af et bestemt integral

Ved hjælp af integralet kan du beregne arealer ikke kun af buede trapezoider, men også af plane figurer af en mere kompleks type, for eksempel den, der er vist på figuren. Figuren P er begrænset af rette linjer x = a, x = b og grafer for kontinuerte funktioner y = f(x), y = g(x), og på segmentet [a; b] uligheden $g(x) \leq f(x) $ gælder. For at beregne arealet S af en sådan figur går vi frem som følger:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\grænser_a^b f(x) dx - \int\grænser_a^b g(x) dx = $
$= \int\grænser_a^b (f(x)-g(x))dx $

Så arealet S af en figur afgrænset af rette linjer x = a, x = b og grafer for funktionerne y = f(x), y = g(x), kontinuert på segmentet og sådan, at for enhver x fra segmentet [en; b] uligheden $g(x) \leq f(x) $ er opfyldt, beregnet ved formlen
$S = \int\grænser_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabel over ubestemte integraler (antiderivater) af nogle funktioner

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

EN)

Løsning.

Det første og vigtigste punkt i beslutningen er opbygningen af tegningen.

Lad os lave tegningen:

Ligningen y=0 indstiller "x"-aksen;

- x=-2 Og x=1 - lige, parallelt med aksen OU;

- y=x 2 +2 - en parabel, hvis grene er rettet opad, med toppunktet i punktet (0;2).

Kommentar. For at konstruere en parabel er det nok at finde punkterne for dens skæringspunkt med koordinatakserne, dvs. sætte x=0 find skæringspunktet med aksen OU og løser den tilsvarende andengradsligning, find skæringspunktet med aksen Åh .

En parabels toppunkt kan findes ved hjælp af formlerne:

Du kan også bygge linjer punkt for punkt.

På intervallet [-2;1] grafen for funktionen y=x2+2 befinde sig over aksen Okse , Derfor:

Svar: S =9 kvm enheder

Når opgaven er afsluttet, er det altid nyttigt at se på tegningen og finde ud af, om svaret er rigtigt. I dette tilfælde tæller vi "med øjet" antallet af celler i tegningen - ja, der vil være omkring 9, det ser ud til at være sandt. Det er helt klart, at hvis vi for eksempel fik svaret: 20 kvadratenheder, så er det åbenlyst, at der er begået en fejl et eller andet sted - 20 celler passer åbenbart ikke ind i den pågældende figur, højst et dusin. Hvis svaret er negativt, så blev opgaven også løst forkert.

Hvad skal man gøre, hvis den buede trapez er placeret under akslen Åh?

b) Beregn arealet af en figur afgrænset af linjer y=-e x , x=1 og koordinatakser.

Løsning.

Lad os lave en tegning.

Hvis en buet trapez helt placeret under aksen Åh , så kan dens areal findes ved hjælp af formlen:

Svar: S=(e-1) sq. units" 1,72 sq. units

Opmærksomhed! De to typer opgaver må ikke forveksles:

1) Hvis du bliver bedt om blot at løse et bestemt integral uden nogen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du bliver bedt om at finde arealet af en figur ved hjælp af et bestemt integral, så er arealet altid positivt! Derfor optræder minus i den netop omtalte formel.

I praksis er figuren oftest placeret i både det øvre og nedre halvplan.

Med) Find arealet af en plan figur afgrænset af linjer y=2x-x2, y=-x.

Løsning.

Først skal du færdiggøre tegningen. Generelt set er vi mest interesserede i linjers skæringspunkter, når vi konstruerer en tegning i arealproblemer. Lad os finde skæringspunkterne for parablen og lige Dette kan gøres på to måder. Den første metode er analytisk.

Vi løser ligningen:

Det betyder, at den nedre grænse for integration a=0 , øvre grænse for integration b=3 .

Vi bygger de givne linjer: 1. Parabel - toppunkt i punkt (1;1); akseskæring Åh - point (0;0) og (0;2). 2. Ret linje - halveringslinje af 2. og 4. koordinatvinkel. Og nu OBS! Hvis på segmentet [ a;b] en eller anden kontinuerlig funktion f(x) større end eller lig med en eller anden kontinuerlig funktion g(x), så kan arealet af den tilsvarende figur findes ved hjælp af formlen: .

Og det er lige meget, hvor figuren er placeret - over aksen eller under aksen, men det afgørende er, hvilken graf der er HØJERE (i forhold til en anden graf), og hvilken der er UNDER. I det undersøgte eksempel er det indlysende, at parablen på segmentet er placeret over den rette linje, og derfor er det nødvendigt at trække fra

Du kan konstruere linjer punkt for punkt, og grænserne for integration bliver tydelige "af sig selv." Ikke desto mindre skal den analytiske metode til at finde grænser stadig nogle gange bruges, hvis f.eks. grafen er stor nok, eller den detaljerede konstruktion ikke afslørede grænserne for integration (de kan være brøkdele eller irrationelle).

Den ønskede figur er begrænset af en parabel over og en lige linje nedenunder.

På segmentet , ifølge den tilsvarende formel:

Svar: S =4,5 kvm enheder