IKTIB ITA SFU
FOREDRAGSKURSUS I MATEMATIK
Kapitel 5 Integralregning
funktioner af en variabel
Forelæsning 21 Antiderivativ, ubestemt integral
Foredragsoversigt
Antiderivat og ubestemt integral. Egenskaber for det ubestemte integral. Tabel integration. Invariansegenskab for integrationsformler. Indsendelse af differentialtegnet. Ændring af en variabel i et ubestemt integral. Integration af dele. Faktorering af polynomier. Dekomponering af egentlige rationelle brøker til deres enkleste brøker. Integration af simple og rationelle brøker. Integration af trigonometriske funktioner og nogle irrationelle udtryk.
Begrebet antiderivat og ubestemt integral
Hvad er et integral? Er det rigtigt, at integration er det modsatte af differentiering? Lad os besvare disse og andre spørgsmål.
Definition 1 . En antiderivat af en funktion er en funktion sådan, at .
Så et antiderivat er en funktion, hvis afledte er lig med den givne funktion. Bemærk, at antiderivatet for en given funktion ikke er entydigt bestemt. For eksempel er den afledede af en funktion lig med funktionen. Derfor er funktionen et antiderivat af funktionen. Men den afledede af en funktion er også lig med funktionen. Følgelig er funktionen også en antiderivat af funktionen, ligesom funktionen er, hvor er en vilkårlig konstant.
Sætning 1 . (Generel form for antiderivater for en given funktion) Lad funktionen være en antiderivat for funktionen . Så er enhver antiderivat af en funktion repræsenteret i formen , hvor er en vilkårlig konstant. Og omvendt, for enhver funktion er en antiderivat af funktionen.
Bevis
. Den anden del af sætningen er indlysende, fordi åbenbart . Nu er det nok at bevise, at hvis afledte af to funktioner er lige store, så adskiller disse funktioner sig med en konstant. Faktisk er det nok at bevise, at hvis den afledede af en funktion (forskellen mellem de nævnte funktioner) er lig med 0, så er det en afledt af en konstant. Men dette er sandt. Lad os tage to punkter. Forskellen mellem værdierne af funktionen ved disse punkter i henhold til Lagrange-formlen for finit stigning er lig med den afledede på et mellemliggende punkt ganget med forskellen i argumenterne ( 
). Men den afledede er lig med 0 overalt, derfor er inkrementet af funktionen altid lig med 0, dvs. funktionen er lig med en konstant. Sætningen er blevet bevist.
Definition 2 . Mættet af alle antiderivater for en funktion kaldes det ubestemte integral af funktionen og er angivet med symbolet.
Så, faktisk, at beregne et ubestemt integral betyder at gøre det modsatte af at beregne den afledte. Derudover, under hensyntagen til sætning 1, er formlen til beregning af det ubestemte integral gyldig 
, (1)
hvor er en af antiderivaterne for funktionen, som kaldes sub s integreret funktion.
Vi ved allerede, at den afledede af en funktion har adskillige anvendelser. I applikationer taler vi selvfølgelig om betydningen af afledte på individuelle punkter, altså om tal. Bemærk, at et ubestemt integral er en samling af funktioner. Derfor er den direkte anvendelse af det ubestemte integral meget begrænset. I applikationer er der andre typer integraler, hvor resultatet er et tal, og teknisk set er beregningen reduceret til at finde den antiafledte funktion. Derfor er det meget vigtigt at lære, hvordan man beregner det ubestemte integral.
1. Ud fra hvilke funktioner kan man beregne
ubestemt integral
Vi ved, at vi kan beregne den afledte af en hvilken som helst elementær funktion ved at bruge tabellen over afledte af grundlæggende elementære funktioner og reglerne for beregning af afledte (afledte af en sum, forskel, produkt, kvotient, kompleks funktion).
Herfra kan du skrive en tabel over antiderivater ved at læse tabellen over afledte fra højre mod venstre. Det er også muligt at formulere regler svarende til reglerne for beregning af den afledte. Med sum, forskel og subtraktion af et numerisk sæt er reglerne for differentiering og integration identiske. Men med produktet, kvotienten og beregningen af den afledede af en kompleks funktion er situationen mere kompliceret. Når alt kommer til alt, er derivatet af f.eks. et produkt ikke lig med "produktet af derivater". Derfor tillader tabellen over antiderivater og reglerne for beregning af antiderivater ikke, at man kan finde antiderivatet af nogen elementær funktion. Der er såkaldte "kan ikke tages" integraler af elementære funktioner. For eksempel ser det ud til, at et simpelt integral ikke kan beregnes i vores forståelse, da der blandt de elementære funktioner ikke er nogen funktion, hvis afledede er lig med . En antiderivat for en kontinuerlig funktion eksisterer altid, men i dette tilfælde er den ikke blandt de elementære. Sådanne funktioner kaldes specielle. Mange af dem er nødvendige i ansøgninger, og de studeres specifikt.
Så i modsætning til at beregne den afledede af en funktion, er vi ikke forpligtet til at kunne beregne det ubestemte integral af en elementær funktion. Vi vil studere visse typer af elementære funktioner, hvorfra vi skal lære at evaluere ubestemte integraler.
Tabel over de enkleste ubestemte integraler
Lad os huske tabellen over afledte af grundlæggende elementære funktioner:
| 1) | 2) | 3) | 4)  |
| 5) | 6)  | 7) | 8)  |
9)  | 10)  | 11)  | 12)  |
På mange måder genererer den en tabel over de enkleste ubestemte integraler. Der er også andre integraler her. Alle kan nemt verificeres ved at beregne den afledede af højresiderne.
| 1) | 2) | 3)  |
| 4) | 5)  | 6)  |
7)  | 8)  | 9)  |
10)  | 11)  | 12)  |
13)  | 14)  | 15)  |
| | | næste foredrag ==> | |
| | |
Definition af antiderivat.
En antiderivat af en funktion f(x) på intervallet (a; b) er en funktion F(x), således at ligheden gælder for enhver x fra det givne interval.
Hvis vi tager i betragtning, at den afledede af konstanten C er lig med nul, så er ligheden sand 
. Funktionen f(x) har således et sæt af antiderivater F(x)+C, for en vilkårlig konstant C, og disse antiderivater adskiller sig fra hinanden med en vilkårlig konstant værdi.
Definition af et ubestemt integral.
Hele sættet af antiderivater af funktionen f(x) kaldes det ubestemte integral af denne funktion og betegnes 
.
Udtrykket hedder integrand, og f(x) – integrand funktion. Integranden repræsenterer differentialet af funktionen f(x) .
Handlingen med at finde en ukendt funktion givet dens differentiale kaldes usikker integration, fordi resultatet af integration ikke er én funktion F(x), men et sæt af dens antiderivater F(x)+C.
Ud fra derivatets egenskaber kan man formulere og bevise egenskaber ved det ubestemte integral(egenskaber af et antiderivat).
Mellemlige ligheder for den første og anden egenskab af det ubestemte integral er givet til afklaring.
For at bevise den tredje og fjerde egenskab er det nok at finde derivaterne af lighedernes højre side: 
Disse derivater er lig med integranderne, hvilket er et bevis på grund af den første egenskab. Det bruges også i de sidste overgange.
Problemet med integration er således det omvendte af problemet med differentiering, og der er en meget tæt sammenhæng mellem disse problemer:
- den første egenskab giver mulighed for at kontrollere integration. For at kontrollere rigtigheden af den udførte integration er det nok at beregne derivatet af det opnåede resultat. Hvis funktionen opnået som følge af differentiering viser sig at være lig med integranden, vil det betyde, at integrationen er udført korrekt;
- den anden egenskab af det ubestemte integral gør det muligt at finde dets antiafledte fra en kendt differential af en funktion. Den direkte beregning af ubestemte integraler er baseret på denne egenskab.
Lad os se på et eksempel.
Eksempel.
Find antiafledet af funktionen, hvis værdi er lig med en ved x = 1.
Løsning.
Det ved vi fra differentialregning 
(se bare tabellen over afledte basale elementære funktioner). Dermed, 
. Ved den anden ejendom 
. Det vil sige, at vi har mange antiderivater. For x = 1 får vi værdien. Ifølge betingelsen skal denne værdi være lig med én, derfor er C = 1. Det ønskede antiderivat vil have formen .
Eksempel.
Find det ubestemte integral 
og kontroller resultatet ved differentiering.
Løsning.
Brug af dobbeltvinkelsinusformlen fra trigonometri 
, Derfor 
Fra tabellen over afledte for trigonometriske funktioner har vi 
Det er, 
Ved den tredje egenskab af det ubestemte integral kan vi skrive 
Når vi vender os til den anden ejendom, får vi 
.
Derfor, 
Undersøgelse.
For at kontrollere resultatet differentierer vi det resulterende udtryk:
Som et resultat fik vi integranden, hvilket betyder, at integrationen blev udført korrekt. I den sidste overgang blev dobbeltvinkelsinusformlen brugt.
Hvis tabellen over derivater af grundlæggende elementære funktioner omskrives i form af differentialer, kan en tabel med antiderivater kompileres fra den ved hjælp af den anden egenskab af det ubestemte integral.
Statens budgetfaglige uddannelsesinstitution
"Nevinnomyssk Energy College"
Metodisk udvikling af en åben lektion i disciplinen "Matematik"
Lektionens emne :
Antiderivat af funktion. Ubestemt integral.
Matematiklærer:
Skrylnikova Valentina Evgenievna
Nevinnomyssk 2016.
Lektionens mål :
Pædagogisk : At danne ideer om integralregning, at forstå dens essens. Udvikle færdigheder i at finde den ubestemte integral og antiderivater, evnen til at bruge egenskaberne og metoderne til integration.
Udviklingsmæssigt: Udvikle matematisk læsefærdig tale, opmærksomhed og bevidst opfattelse af undervisningsmateriale.
Pædagogisk : At dyrke kognitiv aktivitet, intelligens og tænkning, taknemmelighed over for resultaterne af store matematikere inden for integration.
Type aktivitet : lektie
Type aktivitet : budskaber om ny viden
Metode til implementering : verbalt, visuelt, selvstændigt arbejde.
Kvalifikationskrav:
Studerende skal:
Mens du studerer emnet "Antiderivat af funktion. Ubestemt integral " studerendeat blive lært grundlæggende begreber og udsagn,har ideer om mulighederne for at anvende integralregningsværktøjer i geometriske, fysiske og andre anvendte problemstillinger.
Ved godt:
definition af antiderivativ funktion og ubestemt integral;
egenskaber og metoder til at finde integraler
formler for de enkleste integraler.
Være i stand til:
beregne antiderivater og ubestemte integraler ved hjælp af grundlæggende egenskaber og metoder til at finde.
Tværfaglige forbindelser : fysik, matematikkens historie.
Tværfaglige forbindelser : "At finde den afledede", "Beregning af legemers rumfang", "Beregning af det bestemte integral".
Tilbyde klasser :
-Visuelle hjælpemidler : portrætter af store matematikere med forståelse for integralregning
-Uddel : noter med diagrammer, kort med opgaver (på konsolideringsstadiet).
-Udstyr : tegning forsyninger, lineal.
Lektionens struktur.
1. Organisatorisk øjeblik (1 min.)
Motivation til læringsaktiviteter. (3 min.)
Præsentation af nyt materiale. (50-51 min.)
Selvstændigt arbejde (10 min)
Konsolidering af det undersøgte materiale. (5 minutter.)
Opsummering af lektionen. (2-3 min.)
Hjemmearbejde besked. (1 min.)
Lektionens fremskridt.
Organisering af tid . (1 min.)
Læreren hilser på eleverne og tjekker de fremmødte blandt tilhørerne.
Eleverne forbereder sig på arbejde. Forstanderen udfylder en rapport. Betjentene deler håndbøger ud.
Motivation til læringsaktiviteter .(3 min.)
Emnet for dagens lektion er "En antiderivat af en funktion. Ubestemt integral." Vi vil bruge viden om dette emne i de følgende lektioner, når vi skal finde bestemte integraler og områder af plane figurer. Der lægges stor vægt på integralregning i sektioner af højere matematik på videregående uddannelsesinstitutioner ved løsning af anvendte problemer.
Vores lektion i dag er en undersøgelse af nyt materiale, så det vil være af teoretisk karakter.
Formålet med lektionen: danne ideer om integralregning, forstå dens essens, udvikle færdigheder i at finde antiderivater og ubestemte integraler.
Eleverne skriver dato og emne for lektionen ned.
3. Præsentation af nyt materiale (50-51 min)
Emne : "En antiderivat af en funktion. Ubestemt integral."
Fra integralregningens historie. Om oprindelsen af udtryk og betegnelser.
Definition af et antiderivat, dets hovedegenskab, regler for at finde antiderivater.
Begrebet et ubestemt integral, dets egenskaber.
1. Historien om begrebet integral er tæt forbundet med problemerne med at finde kvadraturer. Matematikere fra det antikke Grækenland og Rom kaldte problemer om kvadraturen af en eller anden flade figur for problemer, som vi nu klassificerer som problemer til beregning af arealer.
Mange betydelige præstationer af antikke græske matematikere i løsningen af sådanne problemer er forbundet med brugen af udmattelsesmetoden foreslået af Eudoxus af Cnidus. Ved hjælp af denne metode beviste Eudoxus:
1. Arealerne af to cirkler er relateret til kvadraterne af deres diametre.
2. Rumfanget af en kegle er lig med 1/3 af volumenet af en cylinder med samme højde og bund.
Eudoxus-metoden blev forbedret af Archimedes, og følgende ting blev bevist:
1. Afledning af formlen for arealet af en cirkel.
2. Kuglens rumfang er lig med 2/3 af cylinderens rumfang.
Alle præstationer blev bevist af store matematikere ved hjælp af integraler.
Symbolintroduceret af Leibniz i 1675. Dette tegn er en modifikation af det latinske bogstav S. Selve ordet "integral "opfundet af Bernoulli i 1690. Det kommer fra det latinske integro, som oversættes som at bringe til en tidligere tilstand, genoprette. Faktisk er operationen af integration det omvendte af operationen af differentiering, dvs. for at kontrollere rigtigheden af at finde integralet, er det nødvendigt at differentiere svaret og opnå integrandfunktionen. Med andre ord løser integralregning problemet: givet den afledede eller differentiale af en ukendt funktion, er det nødvendigt at bestemme denne funktion. Ud fra dette kan vi drage en konklusion, som vi vil skrive ned i form af en definition.
2. Definition 1 : Funktion F(x) Hedder antiderivat til funktion f(x) på et givet interval, hvis for nogenxfra dette hulF’(x) = f(x).
Eksempel: Antiderivat for funktionf( x)= x 3 på hele tallinjen erF( x)= x 4 /4 fordi (x 4 /4)’= x.
Den vigtigste egenskab ved antiderivater
Hvis F(x) – antiderivat af funktionenf(x), derefter funktionen F(x)+ C, Hvor C– en vilkårlig konstant, også en antiderivat af funktionenf(x).
Geometrisk fortolkning
grafer af alle antiderivater af en given funktion f ( x ) opnås fra grafen for ethvert antiderivat ved parallelle translationer langs akseny.
Tre regler for at finde antiderivater
Regel #1: Hvis F er et antiderivat for en funktion f, og G er et antiderivat for g, så er F+G et antiderivat for f+g.
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g
Regel #2: Hvis F er en antiderivat af f, og k er en konstant, så er funktionen kF en antiderivat af kf.
(kF)' = kF' = kf
Regel #3:
Hvis F er en antiderivat af f, og k og b er konstanter (
), derefter funktionen
- antiderivat for f(kx+b).
3. Lad os vende tilbage til sætning 1 og udlede en ny definition.
Definition 2 : Udtrykket F(x) + C, hvor C er en vilkårlig konstant, kaldes det ubestemte integral og betegnes med symbolet
Fra definitionen har vi:
(1)
Ubestemt integral af en funktion f(x) er således mængden af alle antiafledte funktioner for f(x).
I lighed (1) funktionen f(x) kaldesintegrand funktion , og udtrykket f(x)dx–integrand , variabel x –integrationsvariabel , sigt C -integrationskonstant .
Integration er den omvendte operation af differentiering. For at kontrollere, om integrationen blev udført korrekt, er det nok at differentiere resultatet og opnå integrandfunktionen.
Ubestemt integral
Sættet af alle antiderivater af en given funktionf( x) kaldes hendeubestemt integral og er udpeget :
HvorC– vilkårlig konstant.
Egenskaber for det ubestemte integral.
Baseret på definitionen af et antiderivat er det let at bevise følgendeegenskaber ved det ubestemte integral
Differentialet af det ubestemte integral er lig med integranden
Det ubestemte integral af differentialet for en funktion er lig med denne funktion plus en vilkårlig konstant
Det ubestemte integral af den algebraiske sum af to eller flere funktioner er lig med den algebraiske sum af deres integraler
Konstantfaktoren kan tages ud af integraltegnet, altså hvis a=konst, så
Tabel over simple integraler.
Eleverne nedskriver navnene på store matematikere og deres præstationer inden for integralregning.
Eleverne nedskriver information om integralets historie.
Eleverne optager forelæsningen ved hjælp af uddelingskopier og forklaringer fra læreren. Når man beviser egenskaberne af antiderivater og integraler, anvendes viden om emnet differentiering.
Løsningseksempler til at finde det ubestemte integral.
Selvstændigt arbejde
Mulighed 1
4. Konsolidering af det undersøgte materiale (12 min)
På stadiet med konsolidering af det undersøgte materiale tilbydes spillet "Find din soulmate". Alle tilstedeværende inviteres til at dele sig i otte undergrupper. Hver undergruppe får et kort, hvorpå der står enten "funktion" eller "antiafledt" og den tilsvarende opgave, dvs.
Hvis ordet "funktion" er skrevet på dit kort, skal du bruge tabellen over simple integraler til at finde integralet af denne funktion.
Hvis der står "antiderivativ", så skal du finde selve funktionen ved hjælp af differentieringsoperationen.
Find din "anden halvdel" på tavlen. Vedhæft derefter dit svar med en magnet. Efter et komplet sæt vil vi sikre os, at alle matches er korrekte. Hvordan? Vend svarene om på bagsiden, hvor søgeordet "Integral" dannes - lektionens emne.
Følg instruktionerne i spillets regler.
Differentialregningens hovedopgave er at finde differentialet for en given funktion eller dens afledte. Integralregning løser det omvendte problem: givet en differential, og følgelig den afledede af en ukendt funktion F(x), du skal definere denne funktion. Med andre ord at have udtrykket
eller i overensstemmelse hermed
,
Hvor f(x)– kendt funktion, skal finde funktionen F(x). Påkrævet funktion F(x) det kaldes antiderivative funktion i forhold til funktion f(x). For nemheds skyld vil vi antage, at lighed (1) gælder på et eller andet endeligt eller uendeligt interval.
Definition: Antiafledt funktion for en given funktion f(x) på et givet interval kaldes en sådan funktion F(x), hvis afledte er lig med f(x) eller hvis forskel er lig med f(x)dx på det pågældende interval.
For eksempel vil en af antiderivatfunktionerne for en funktion være , fordi 
. Den antiderivative funktion er ikke unik, da osv., og derfor funktionerne 
og så videre. er også antiderivater for funktionen. Følgelig har denne funktion et uendeligt antal antiderivater.
I vores eksempel adskilte hver to antiderivater sig fra hinanden med en konstant term. Lad os vise, at dette også vil finde sted i det generelle tilfælde.
Sætning: To forskellige antiderivater af samme funktion defineret på et bestemt interval adskiller sig fra hinanden på dette interval med et konstant led.
Bevis: Faktisk lad f(x)– en eller anden funktion defineret på intervallet 
, Og F 1 (x), F 2 (x)– dens primitiver, dvs.
Og 
.
Herfra 
.
| y=F 1 (x) |
| y=F 2 (x) |
| F 1 (x) |
| F2(x) |
| MED |
| M 2 |
| M 1 |
| x |
| α |
| x |
| α |
| Y |
| Ris. 1. |
Men hvis to funktioner har de samme afledte, så adskiller disse funktioner sig fra hinanden med et konstant led. Derfor,
F 1 (x) - F 2 (x) = C,
Hvor MED– konstant værdi. Sætningen er blevet bevist.
Overvej en geometrisk illustration. Hvis y = F 1 (x) og Y = F 2 (x)
Antiderivater med samme funktion f(x), tangenter derefter til deres grafer i punkter med en fælles abscisse x parallelt med hinanden (fig. 1):
tgα = = f(x).
I dette tilfælde, afstanden mellem disse kurver langs aksen OU forbliver konstant: F 2 (x) – F 1 (x) = C, de der. disse kurver er på en måde "parallelle" med hinanden.
Følge: Tilføjelse til enhver antiderivatfunktion f(x), defineret på intervallet , alle mulige konstanter MED, vi får alle antiderivater for funktionen f(x).
Faktisk, hvis F(x) der er en antiderivatfunktion for f(x), derefter funktionen F(x)+C, Hvor MED- enhver konstant vil også være en antiderivat af funktionen f(x), fordi .
På den anden side har vi bevist, at alle antiderivater af funktionen f(x) kan hentes fra en funktion F(x) ved at tilføje en korrekt valgt konstant term MED.
Derfor udtrykket F(x) + C, Hvor 
, (2)
Hvor F(x)– ethvert antiderivat for en funktion f(x), udtømmer hele sættet af antiderivater for en given funktion f(x).
I det følgende antager vi, medmindre andet er udtrykkeligt anført, at den pågældende funktion f(x) defineret og kontinuert på et eller andet endeligt eller uendeligt interval .
Lad os nu introducere grundbegrebet integralregning - begrebet et ubestemt integral.
Definition: Generelt udtryk for alle antiderivater af en given kontinuert funktion f(x) kaldet det ubestemte integral af funktionen f(x) eller fra differentialudtrykket f(x)dx og er angivet med symbolet 
.
I dette tilfælde funktionen f(x) kaldes integranden og udtrykket f(x)dx kaldes en integrand.
Ifølge definitionen af det ubestemte integral kan vi skrive
, (3)
| C 4 |
| C 3 |
| C 2 |
| C 1 |
| x |
| Y |
| Ris. 2. |
, konstant MED kan tage enhver værdi og kaldes derfor en vilkårlig konstant. Eksempel. Som vi har set, er et af antiderivaterne funktionen for en funktion. Derfor 
.
Geometrisk ubestemt integral y=F(x)+C repræsenterer en familie af "parallelle" kurver (fig. 2).
Vi har set, at den afledte har talrige anvendelser: den afledte er bevægelseshastigheden (eller mere generelt hastigheden af enhver proces); afledt er hældningen af tangenten til funktionens graf; ved hjælp af den afledede kan du undersøge en funktion for monotonicitet og ekstrema; derivatet hjælper med at løse optimeringsproblemer.
Men i det virkelige liv er vi også nødt til at løse omvendte problemer: For eksempel, sammen med problemet med at finde hastigheden i henhold til en kendt bevægelseslov, støder vi også på problemet med at genoprette bevægelsesloven i henhold til en kendt hastighed. Lad os overveje et af disse problemer.
Eksempel 1. Et materialepunkt bevæger sig i en ret linje, dets hastighed på tidspunktet t er givet ved formlen u = tg. Find bevægelsesloven.
Løsning. Lad s = s(t) være den ønskede bevægelseslov. Det er kendt, at s"(t) = u"(t). Det betyder, at du skal vælge for at løse problemet fungere s = s(t), hvis afledte er lig med tg. Det er ikke svært at gætte det
Lad os straks bemærke, at eksemplet er løst korrekt, men ufuldstændigt. Vi fandt ud af, at problemet faktisk har uendeligt mange løsninger: enhver funktion af formen 
en vilkårlig konstant kan tjene som en bevægelseslov, da
For at gøre opgaven mere specifik, var vi nødt til at rette den indledende situation: Angiv koordinaten for et bevægende punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t=0. Hvis f.eks. s(0) = s 0, så får vi fra ligheden s(0) = 0 + C, dvs. S 0 = C. Nu er bevægelsesloven entydigt defineret:
I matematik får gensidigt omvendte operationer forskellige navne, og specielle notationer opfindes: for eksempel at kvadrere (x 2) og tage kvadratroden af sinus (sinх) og arcsine(arcsin x) osv. Processen med at finde den afledede af en given funktion kaldes differentiering, og den inverse operation, dvs. processen med at finde en funktion ud fra en given afledt - integration.
Selve begrebet "afledt" kan retfærdiggøres "i hverdagen": funktionen y - f(x) "føder" en ny funktion y"= f"(x). Funktionen y = f(x) fungerer som en "forælder", men matematikere kalder det naturligvis ikke en "forælder" eller "producent"; de siger, at dette, i forhold til funktionen y"=f"(x), er det primære billede, eller i kort, antiderivatet.
Definition 1. Funktionen y = F(x) kaldes antiderivat for funktionen y = f(x) på et givet interval X, hvis ligheden F"(x)=f(x) gælder for alle x fra X.
I praksis er intervallet X normalt ikke specificeret, men underforstået (som det naturlige definitionsdomæne for funktionen).
Her er nogle eksempler:
1) Funktionen y = x 2 er antiafledt for funktionen y = 2x, da for alle x er ligheden (x 2)" = 2x sand.
2) funktionen y - x 3 er antiafledt for funktionen y-3x 2, da for alle x er ligheden (x 3)" = 3x 2 sand.
3) Funktionen y-sinх er antiderivativ for funktionen y = cosx, da for alle x er ligheden (sinx)" = cosx sand.
4) Funktionen er antiderivativ for en funktion på intervallet, da for alle x > 0 er ligheden sand
Generelt er det, når man kender formlerne til at finde derivater, ikke svært at udarbejde en tabel med formler til at finde antiderivater.
Vi håber, du forstår, hvordan denne tabel er kompileret: den afledede af funktionen, som er skrevet i anden kolonne, er lig med den funktion, der er skrevet i den tilsvarende række i den første kolonne (tjek det, vær ikke doven, det er meget nyttigt). For eksempel, for funktionen y = x 5, er antiderivatet, som du vil fastslå, funktionen (se den fjerde række i tabellen).
Bemærkninger: 1. Nedenfor vil vi bevise sætningen, at hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så har funktionen y = f(x) uendeligt mange antiderivater, og de har alle formen y = F(x ) + C. Derfor ville det være mere korrekt at tilføje udtrykket C overalt i tabellens anden kolonne, hvor C er et vilkårligt reelt tal.
2. For korthedens skyld siger de nogle gange i stedet for sætningen "funktionen y = F(x) er en antiafledning af funktionen y = f(x)", at F(x) er en antiafledt af f(x) ."
2. Regler for at finde antiderivater
Ved søgning af antiderivater, såvel som ved søgning af derivater, bruges ikke kun formler (de er anført i tabellen på s. 196), men også nogle regler. De er direkte relateret til de tilsvarende regler for beregning af derivater.
Vi ved, at den afledte sum er lig med summen af dens afledte. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.
Regel 1. Antiderivatet af en sum er lig med summen af antiderivaterne.
Vi henleder din opmærksomhed på den noget "lethed" i denne formulering. Faktisk bør man formulere sætningen: hvis funktionerne y = f(x) og y = g(x) har antiderivater på intervallet X, henholdsvis y-F(x) og y-G(x), så er summen af funktionerne y = f(x)+g(x) har en antiderivativ på intervallet X, og denne antiderivativ er funktionen y = F(x)+G(x). Men normalt, når regler formuleres (ikke sætninger), er der kun nøgleord tilbage - dette er mere bekvemt for at anvende reglerne i praksis
Eksempel 2. Find antiafledet for funktionen y = 2x + cos x.
Løsning. Antiderivatet for 2x er x"; antiderivatet for cox er sin x. Det betyder, at antiderivatet for funktionen y = 2x + cos x vil være funktionen y = x 2 + sin x (og generelt enhver funktion af formen Y = x 1 + sinx + C).
Vi ved, at konstantfaktoren kan tages ud af den afledte fortegn. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.
Regel 2. Den konstante faktor kan tages ud af tegnet for antiderivatet.
Eksempel 3.
Løsning. a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Det betyder, at for funktionen y = 5 sin x vil den antiafledte funktion være funktionen y = -5 cos x.
b) Antiderivatet for cos x er sin x; Det betyder, at antiderivatet af en funktion er funktionen
c) Antiderivatet for x 3 er antiderivatet for x, antiderivatet for funktionen y = 1 er funktionen y = x. Ved at bruge den første og anden regel for at finde antiderivater finder vi, at antiderivaten for funktionen y = 12x 3 + 8x-1 er funktionen
Kommentar. Som det er kendt, er derivatet af et produkt ikke lig med produktet af derivater (reglen for at differentiere et produkt er mere kompleks), og derivatet af en kvotient er ikke lig med kvotienten af derivater. Derfor er der ingen regler for at finde produktets antiderivat eller antiderivatet af kvotienten af to funktioner. Vær forsigtig!
Lad os få en anden regel for at finde antiderivater. Vi ved, at den afledede af funktionen y = f(kx+m) beregnes af formlen
Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.
Regel 3. Hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så er den antiafledede for funktionen y=f(kx+m) funktionen
Ja,
Det betyder, at det er en antiderivat for funktionen y = f(kx+m).
Betydningen af den tredje regel er som følger. Hvis du ved, at antiafledningen af funktionen y = f(x) er funktionen y = F(x), og du skal finde antiafledningen af funktionen y = f(kx+m), så fortsæt således: tag den samme funktion F, men i stedet for argumentet x, erstatte udtrykket kx+m; desuden, glem ikke at skrive "korrektionsfaktor" før funktionstegnet
Eksempel 4. Find antiderivater for givne funktioner:
Løsning, a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Det betyder, at for funktionen y = sin2x vil antiderivatet være funktionen
b) Antiderivatet for cos x er sin x; Det betyder, at antiderivatet af en funktion er funktionen
c) Antiderivatet for x 7 betyder, at for funktionen y = (4-5x) 7 vil antiderivatet være funktionen
3. Ubestemt integral
Vi har allerede bemærket ovenfor, at problemet med at finde en antiderivat for en given funktion y = f(x) har mere end én løsning. Lad os diskutere dette spørgsmål mere detaljeret.
Bevis. 1. Lad y = F(x) være antiafledet for funktionen y = f(x) på intervallet X. Det betyder, at for alle x fra X gælder ligheden x"(x) = f(x). Lad os find den afledede af enhver funktion på formen y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Altså (F(x)+C) = f(x). Det betyder, at y = F(x) + C er en antiderivat for funktionen y = f(x).
Vi har således bevist, at hvis funktionen y = f(x) har en antiafledning y=F(x), så har funktionen (f = f(x) uendeligt mange antiderivater, f.eks. enhver funktion af formen y = F(x)+C er et antiderivat.
2. Lad os nu bevise, at den angivne type funktioner udtømmer hele sættet af antiderivater.
Lad y=F 1 (x) og y=F(x) være to antiderivater for funktionen Y = f(x) på intervallet X. Det betyder, at for alle x fra intervallet X gælder følgende relationer: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Lad os betragte funktionen y = F 1 (x) -.F(x) og finde dens afledede: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Det er kendt, at hvis den afledede af en funktion på et interval X er identisk lig nul, så er funktionen konstant på intervallet X (se sætning 3 fra § 35). Det betyder, at F 1 (x) - F (x) = C, dvs. Fx) = F(x)+C.
Sætningen er blevet bevist.
Eksempel 5. Loven om hastighedsændring med tiden er givet: v = -5sin2t. Find bevægelsesloven s = s(t), hvis det er kendt, at på tidspunktet t=0 var punktets koordinat lig med tallet 1,5 (dvs. s(t) = 1,5).
Løsning. Da hastighed er en afledt af koordinaten som funktion af tid, skal vi først finde den antiafledede af hastigheden, dvs. antiderivat for funktionen v = -5sin2t. En af sådanne antiderivater er funktionen , og sættet af alle antiderivater har formen:
For at finde den specifikke værdi af konstanten C, bruger vi startbetingelserne, ifølge hvilke s(0) = 1,5. Ved at erstatte værdierne t=0, S = 1,5 i formel (1), får vi:
Ved at erstatte den fundne værdi af C i formel (1), opnår vi den bevægelseslov, der interesserer os:
Definition 2. Hvis en funktion y = f(x) har en antiderivat y = F(x) på et interval X, så er mængden af alle antiderivater, dvs. sættet af funktioner på formen y = F(x) + C kaldes det ubestemte integral af funktionen y = f(x) og betegnes med:
(læs: "ubestemt integral ef fra x de x").
I det næste afsnit vil vi finde ud af, hvad den skjulte betydning af denne betegnelse er.
Baseret på tabellen over tilgængelige antiderivater i dette afsnit vil vi kompilere en tabel over de vigtigste ubestemte integraler:
Ud fra ovenstående tre regler for at finde antiderivater kan vi formulere de tilsvarende integrationsregler.
Regel 1. Integralet af summen af funktioner er lig med summen af integralerne af disse funktioner:
Regel 2. Konstantfaktoren kan tages ud af integraletegnet:
Regel 3. Hvis
Eksempel 6. Find ubestemte integraler:
Løsning, a) Ved at bruge den første og anden integrationsregler får vi:
Lad os nu bruge 3. og 4. integrationsformler:
Som et resultat får vi:
b) Ved at bruge den tredje regel for integration og formel 8 får vi:
c) For direkte at finde et givet integral har vi hverken den tilsvarende formel eller den tilsvarende regel. I sådanne tilfælde hjælper tidligere udførte identiske transformationer af udtrykket indeholdt under integraltegn nogle gange.
Lad os bruge den trigonometriske formel til at reducere graden:
Så finder vi sekventielt:
A.G. Mordkovich Algebra 10 klasse
Kalendertematisk planlægning i matematik, video i matematik online, Matematik i skolen