Vi har set, at den afledte har talrige anvendelser: den afledte er bevægelseshastigheden (eller mere generelt hastigheden af enhver proces); afledt er hældning tangent til grafen for en funktion; ved hjælp af den afledte kan du undersøge funktionen for monotonicitet og ekstrema; derivatet hjælper med at løse optimeringsproblemer.
Men i I virkeligheden Omvendte problemer skal også løses: For eksempel, sammen med problemet med at finde hastigheden i henhold til en kendt bevægelseslov, er der også problemet med at genoprette bevægelsesloven i henhold til en kendt hastighed. Lad os overveje et af disse problemer.
Eksempel 1. Bevæger sig i en lige linje materiale punkt, hastigheden af dens bevægelse på tidspunktet t er givet ved formlen u = tg. Find bevægelsesloven.
Løsning. Lad s = s(t) være den ønskede bevægelseslov. Det er kendt, at s"(t) = u"(t). Det betyder, at du skal vælge for at løse problemet fungere s = s(t), hvis afledte er lig med tg. Det er ikke svært at gætte det
Lad os straks bemærke, at eksemplet er løst korrekt, men ufuldstændigt. Vi fandt ud af, at problemet faktisk har uendeligt mange løsninger: enhver funktion af formen 
en vilkårlig konstant kan tjene som en bevægelseslov, da
For at gøre opgaven mere specifik, var vi nødt til at rette startsituationen: Angiv koordinaten for et bevægeligt punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t=0. Hvis f.eks. s(0) = s 0, så får vi fra ligheden s(0) = 0 + C, dvs. S 0 = C. Nu er bevægelsesloven entydigt defineret:
I matematik tildeles gensidige operationer forskellige navne, kom med specielle notationer: for eksempel kvadrering (x 2) og udtrækning kvadrat rod sine(sinх) og arcsine(arcsin x) osv. Processen med at finde derivatet mhp givet funktion kaldes differentiering, og den omvendte operation, dvs. processen med at finde en funktion ud fra en given afledt - integration.
Selve udtrykket "afledt" kan retfærdiggøres "i dagligdags termer": funktionen y - f(x) "frembringer til eksistens" ny funktion y"= f"(x) Funktionen y = f(x) fungerer som "forælder", men matematikere kalder det naturligvis ikke en "forælder" eller "producent", de siger, at det er ift. funktionen y"=f"(x), det primære billede eller kort sagt antiderivatet.
Definition 1. Funktionen y = F(x) kaldes antiderivat for funktionen y = f(x) på et givet interval X, hvis ligheden F"(x)=f(x) gælder for alle x fra X.
I praksis er intervallet X normalt ikke specificeret, men underforstået (som det naturlige definitionsdomæne for funktionen).
Her er nogle eksempler:
1) Funktionen y = x 2 er antiafledt for funktionen y = 2x, da for alle x er ligheden (x 2)" = 2x sand.
2) funktionen y - x 3 er antiafledt for funktionen y-3x 2, da for alle x er ligheden (x 3)" = 3x 2 sand.
3) Funktionen y-sinх er antiderivativ for funktionen y = cosx, da for alle x er ligheden (sinx)" = cosx sand.
4) Funktionen er antiderivativ for en funktion på intervallet, da for alle x > 0 er ligheden sand
Generelt er det, når man kender formlerne til at finde derivater, ikke svært at udarbejde en tabel med formler til at finde antiderivater.
Vi håber, du forstår, hvordan denne tabel er kompileret: den afledede af funktionen, som er skrevet i anden kolonne, er lig med den funktion, der er skrevet i den tilsvarende række i den første kolonne (tjek det, vær ikke doven, det er meget nyttigt). For eksempel, for funktionen y = x 5, er antiderivatet, som du vil fastslå, funktionen (se den fjerde række i tabellen).
Bemærkninger: 1. Nedenfor vil vi bevise sætningen, at hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så har funktionen y = f(x) uendeligt mange antiderivater, og de har alle formen y = F(x ) + C. Derfor ville det være mere korrekt at tilføje udtrykket C overalt i tabellens anden kolonne, hvor C er et vilkårligt reelt tal.
2. For korthedens skyld siger de nogle gange i stedet for sætningen "funktionen y = F(x) er en antiafledning af funktionen y = f(x)", at F(x) er en antiafledt af f(x) ."
2. Regler for at finde antiderivater
Ved søgning af antiderivater, såvel som ved søgning af derivater, bruges ikke kun formler (de er anført i tabellen på s. 196), men også nogle regler. De er direkte relateret til de tilsvarende regler for beregning af derivater.
Vi ved, at den afledte sum er lig med summen af dens afledte. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.
Regel 1. Antiderivatet af en sum er lig med summen af antiderivaterne.
Vi henleder din opmærksomhed på den noget "lethed" i denne formulering. Faktisk bør man formulere sætningen: hvis funktionerne y = f(x) og y = g(x) har antiderivater på intervallet X, henholdsvis y-F(x) og y-G(x), så er summen af funktionerne y = f(x)+g(x) har en antiderivativ på intervallet X, og denne antiderivativ er funktionen y = F(x)+G(x). Men normalt, når de formulerer regler (og ikke teoremer), forlader de kun søgeord- dette gør det mere bekvemt at anvende reglen i praksis
Eksempel 2. Find antiafledet for funktionen y = 2x + cos x.
Løsning. Antiderivatet for 2x er x"; antiderivatet for cox er sin x. Det betyder, at antiderivatet for funktionen y = 2x + cos x vil være funktionen y = x 2 + sin x (og generelt enhver funktion af formen Y = x 1 + sinx + C).
Vi ved det konstant faktor kan tages ud af det afledte tegn. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.
Regel 2. Den konstante faktor kan tages ud af tegnet for antiderivatet.
Eksempel 3.
Løsning. a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Det betyder, at for funktionen y = 5 sin x vil den antiafledte funktion være funktionen y = -5 cos x.
b) Antiderivatet for cos x er sin x; Det betyder, at antiderivatet af en funktion er funktionen
c) Antiderivatet for x 3 er antiderivatet for x, antiderivatet for funktionen y = 1 er funktionen y = x. Ved at bruge den første og anden regel for at finde antiderivater finder vi, at antiderivaten for funktionen y = 12x 3 + 8x-1 er funktionen
Kommentar. Som det er kendt, er derivatet af et produkt ikke lig med produktet af derivater (reglen for at differentiere et produkt er mere kompleks), og derivatet af en kvotient er ikke lig med kvotienten af derivater. Derfor er der ingen regler for at finde produktets antiderivat eller antiderivatet af kvotienten af to funktioner. Vær forsigtig!
Lad os få en anden regel for at finde antiderivater. Vi ved, at den afledede af funktionen y = f(kx+m) beregnes af formlen
Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.
Regel 3. Hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så er den antiafledede for funktionen y=f(kx+m) funktionen
Ja,
Det betyder, at det er en antiderivat for funktionen y = f(kx+m).
Betydningen af den tredje regel er som følger. Hvis du ved, at antiafledningen af funktionen y = f(x) er funktionen y = F(x), og du skal finde antiafledningen af funktionen y = f(kx+m), så fortsæt således: tag den samme funktion F, men i stedet for argumentet x, erstatte udtrykket kx+m; desuden, glem ikke at skrive "korrektionsfaktor" før funktionstegnet
Eksempel 4. Find antiderivater for givne funktioner:
Løsning, a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Det betyder, at for funktionen y = sin2x vil antiderivatet være funktionen
b) Antiderivatet for cos x er sin x; Det betyder, at antiderivatet af en funktion er funktionen
c) Antiderivatet for x 7 betyder, at for funktionen y = (4-5x) 7 vil antiderivatet være funktionen
3. Ubestemt integral
Vi har allerede bemærket ovenfor, at problemet med at finde en antiderivat for en given funktion y = f(x) har mere end én løsning. Lad os diskutere dette spørgsmål mere detaljeret.
Bevis. 1. Lad y = F(x) være antiafledet for funktionen y = f(x) på intervallet X. Det betyder, at for alle x fra X gælder ligheden x"(x) = f(x). Lad os find den afledede af enhver funktion på formen y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Altså (F(x)+C) = f(x). Det betyder, at y = F(x) + C er en antiderivat for funktionen y = f(x).
Vi har således bevist, at hvis funktionen y = f(x) har en antiafledning y=F(x), så har funktionen (f = f(x) uendeligt mange antiderivater, f.eks. enhver funktion af formen y = F(x)+C er et antiderivat.
2. Lad os nu bevise det specificeret type funktioner, er hele sættet af antiderivater opbrugt.
Lad y=F 1 (x) og y=F(x) være to antiderivater for funktionen Y = f(x) på intervallet X. Det betyder, at for alle x fra intervallet X gælder følgende relationer: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
Lad os betragte funktionen y = F 1 (x) -.F(x) og finde dens afledede: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Det er kendt, at hvis den afledede af en funktion på et interval X er identisk lig nul, så er funktionen konstant på intervallet X (se sætning 3 fra § 35). Det betyder, at F 1 (x) - F (x) = C, dvs. Fx) = F(x)+C.
Sætningen er blevet bevist.
Eksempel 5. Loven om hastighedsændring med tiden er givet: v = -5sin2t. Find bevægelsesloven s = s(t), hvis det er kendt, at på tidspunktet t=0 var punktets koordinat lig med tallet 1,5 (dvs. s(t) = 1,5).
Løsning. Da hastighed er en afledt af koordinaten som funktion af tid, skal vi først finde den antiafledede af hastigheden, dvs. antiderivat for funktionen v = -5sin2t. En af sådanne antiderivater er funktionen , og sættet af alle antiderivater har formen:
At finde specifik betydning konstant C, lad os bruge begyndelsesbetingelser, ifølge hvilken s(0) = 1,5. Ved at erstatte værdierne t=0, S = 1,5 i formel (1), får vi:
Ved at erstatte den fundne værdi af C i formel (1), opnår vi den bevægelseslov, der interesserer os:
Definition 2. Hvis en funktion y = f(x) har en antiderivat y = F(x) på et interval X, så er mængden af alle antiderivater, dvs. sættet af funktioner på formen y = F(x) + C kaldes det ubestemte integral af funktionen y = f(x) og betegnes med:
(Læs: " ubestemt integral ef fra x de x").
I næste afsnit finder vi ud af, hvad der er skjult mening den angivne betegnelse.
Baseret på tabellen over tilgængelige antiderivater i dette afsnit vil vi kompilere en tabel over de vigtigste ubestemte integraler:
Ud fra ovenstående tre regler for at finde antiderivater kan vi formulere de tilsvarende integrationsregler.
Regel 1. Integral af summen af funktioner lig med summen integraler af disse funktioner:
Regel 2. Konstantfaktoren kan tages ud af integraletegnet:
Regel 3. Hvis
Eksempel 6. Find ubestemte integraler:
Løsning, a) Ved at bruge den første og anden integrationsregler får vi:
Lad os nu bruge 3. og 4. integrationsformler:
Som et resultat får vi:
b) Ved at bruge den tredje regel for integration og formel 8 får vi:
c) For umiddelbar placering For et givet integral har vi hverken den tilsvarende formel eller den tilsvarende regel. I sådanne tilfælde præ-udført identitetstransformationer udtryk indeholdt under integraltegn.
Lad os drage fordel trigonometrisk formel Gradreduktion:
Så finder vi sekventielt:
A.G. Mordkovich Algebra 10 klasse
Kalendertematisk planlægning i matematik, video i matematik online, Matematik i skolen
Mål:
- Dannelse af begrebet antiderivat.
- Forberedelse til opfattelsen af integralet.
- Dannelse af computerfærdigheder.
- At dyrke en følelse af skønhed (evnen til at se skønhed i det usædvanlige).
Matematisk analyse er et sæt grene af matematik, der er viet til studiet af funktioner og deres generaliseringer ved metoder til differential- og integralregning.
Indtil nu har vi studeret en gren af matematisk analyse kaldet differentialregning, hvis essens er studiet af en funktion i det "små".
De der. undersøgelse af en funktion i tilstrækkeligt små kvarterer af hvert definitionspunkt. En af operationerne differentiering - at finde afledt (differentiel) og anvendelse til studiet af funktioner.
Ikke mindre vigtigt er det omvendt problem. Hvis adfærden af en funktion i nærheden af hvert punkt i dens definition er kendt, hvordan kan man så rekonstruere funktionen som helhed, dvs. gennem hele dens definition. Dette problem er genstand for undersøgelse af den såkaldte integralregning.
Integration er den omvendte handling af differentiering. Eller gendannelse af funktionen f(x) fra en given afledt f`(x). latinske ord"Integro" betyder restaurering.
Eksempel nr. 1.
Lad (x)`=3x2.
Lad os finde f(x).
Løsning:
Ud fra differentieringsreglen er det ikke svært at gætte, at f(x) = x 3, fordi (x 3)` = 3x 2
Du kan dog nemt bemærke, at f(x) ikke findes entydigt.
Som f(x) kan vi tage
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 osv.
Fordi den afledede af hver af dem er lig med 3x2. (Den afledte af en konstant er 0). Alle disse funktioner adskiller sig fra hinanden ved et konstant led. Derfor fælles beslutning opgaven kan skrives på formen f(x)= x 3 +C, hvor C er et hvilket som helst konstant reelt tal.
Enhver af de fundne funktioner f(x) kaldes PRIMODIUM for funktionen F`(x)= 3x 2
Definition.
En funktion F(x) kaldes antiderivat for en funktion f(x) på et givet interval J hvis for alle x fra dette interval F`(x)= f(x). Så funktionen F(x)=x 3 er antiderivativ for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞).
Da for alle x ~R er ligheden sand: F`(x)=(x 3)`=3x 2
Som vi allerede har bemærket, denne funktion Det har uendeligt sæt antiderivater (se eksempel nr. 1).
Eksempel nr. 2.
Funktionen F(x)=x er antiafledt for alle f(x)= 1/x i intervallet (0; +), fordi for alle x fra dette interval gælder lighed.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x
Eksempel nr. 3.
Funktionen F(x)=tg3x er en antiderivat for f(x)=3/cos3x i intervallet (-n/ 2;
P/ 2),
fordi F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x
Eksempel nr. 4.
Funktionen F(x)=3sin4x+1/x-2 er antiderivativ for f(x)=12cos4x-1/x 2 i intervallet (0;∞)
fordi F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2
Foredrag 2.
Emne: Antiderivat. Hovedegenskaben ved en antiderivatfunktion.
Når vi studerer antiderivatet, vil vi stole på følgende erklæring. Tegn for en funktions konstantitet: Hvis på intervallet J den afledede Ψ(x) af funktionen er lig med 0, så er funktionen Ψ(x) på dette interval konstant.
Dette udsagn kan demonstreres geometrisk.
Det er kendt, at Ψ`(x)=tgα, γde α er hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen Ψ(x) i punktet med abscisse x 0. Hvis Ψ`(υ)=0 på et hvilket som helst punkt i intervallet J, så tanα=0 δfor enhver tangent til grafen for funktionen Ψ(x). Det betyder, at tangenten til funktionens graf i ethvert punkt er parallel med abscisseaksen. Derfor på specificeret interval grafen for funktionen Ψ(x) falder sammen med det rette linjestykke y=C.
Så funktionen f(x)=c er konstant på intervallet J, hvis f`(x)=0 på dette interval.
Faktisk, for en vilkårlig x 1 og x 2 fra intervallet J, ved at bruge sætningen om middelværdien af en funktion, kan vi skrive:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), fordi f`(c)=0, derefter f(x 2)= f(x 1)
Sætning: (Hovedegenskaben ved den antiderivative funktion)
Hvis F(x) er en af antiderivaterne for funktionen f(x) på intervallet J, så har mængden af alle antiderivater af denne funktion formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tal.
Bevis:
Lad F`(x) = f (x), derefter (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), for x Є J.
Antag, at der findes Φ(x) - en anden antiderivat for f (x) på intervallet J, dvs. Φ`(x) = f (x),
derefter (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, for x Є J.
Det betyder, at Φ(x) - F(x) er konstant på intervallet J.
Derfor er Φ(x) - F(x) = C.
Fra hvor Φ(x)= F(x)+C.
Det betyder, at hvis F(x) er en antiafledning for en funktion f (x) på intervallet J, så har mængden af alle antiderivater af denne funktion formen: F(x)+C, hvor C er et hvilket som helst reelt tal.
Følgelig adskiller to antiderivater af en given funktion sig fra hinanden med et konstant led.
Eksempel: Find mængden af antiderivater af funktionen f (x) = cos x. Tegn grafer over de første tre.
Løsning: Sin x er en af antiderivaterne for funktionen f (x) = cos x
F(x) = Sin x+C – mængden af alle antiderivater.
Fi (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F3 (x) = Sin x+1
Geometrisk illustration: Grafen for ethvert antiderivat F(x)+C kan fås fra grafen for antiderivatet F(x) under anvendelse af parallel overførsel af r (0;c).
Eksempel: For funktionen f (x) = 2x, find en antiderivativ, hvis graf går gennem t.M (1;4)
Løsning: F(x)=x 2 +C – mængden af alle antiderivater, F(1)=4 – i henhold til problemets betingelser.
Derfor er 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3
Definition af antiderivat.
En antiderivat af en funktion f(x) på intervallet (a; b) er en funktion F(x), således at ligheden gælder for enhver x fra det givne interval.
Hvis vi tager i betragtning, at den afledede af konstanten C er lig med nul, så er ligheden sand 
. Funktionen f(x) har således et sæt af antiderivater F(x)+C, for en vilkårlig konstant C, og disse antiderivater adskiller sig fra hinanden med en vilkårlig konstant værdi.
Definition af et ubestemt integral.
Hele sættet af antiderivater af funktionen f(x) kaldes det ubestemte integral af denne funktion og betegnes 
.
Udtrykket hedder integrand, og f(x) – integrand funktion. Integranden repræsenterer differentialet af funktionen f(x) .
Handlingen med at finde en ukendt funktion givet dens differentiale kaldes usikker integration, fordi resultatet af integration ikke er én funktion F(x), men et sæt af dens antiderivater F(x)+C.
Ud fra derivatets egenskaber kan man formulere og bevise egenskaber ved det ubestemte integral(egenskaber af et antiderivat).
Mellemlige ligheder for den første og anden egenskab af det ubestemte integral er givet til afklaring.
For at bevise den tredje og fjerde egenskab er det nok at finde derivaterne af lighedernes højre side: 
Disse derivater er lig med integranderne, hvilket er et bevis på grund af den første egenskab. Det bruges også i de sidste overgange.
Problemet med integration er således det omvendte af problemet med differentiering, og der er en meget tæt sammenhæng mellem disse problemer:
- den første egenskab giver mulighed for at kontrollere integration. For at kontrollere rigtigheden af den udførte integration er det nok at beregne derivatet af det opnåede resultat. Hvis funktionen opnået som følge af differentiering viser sig at være lig med integranden, vil det betyde, at integrationen er udført korrekt;
- den anden egenskab af det ubestemte integral gør det muligt at finde dets antiafledte fra en kendt differential af en funktion. Baseret på denne ejendom direkte beregning ubestemte integraler.
Lad os se på et eksempel.
Eksempel.
Find antiafledet af funktionen, hvis værdi er lig med en ved x = 1.
Løsning.
Vi kender fra differentialregning, Hvad 
(se bare på tabellen over afledte af de grundlæggende elementære funktioner). Dermed, 
. Ved den anden ejendom 
. Det vil sige, at vi har mange antiderivater. For x = 1 får vi værdien. Ifølge betingelsen skal denne værdi være lig med én, derfor er C = 1. Det ønskede antiderivat vil have formen .
Eksempel.
Find det ubestemte integral 
og kontroller resultatet ved differentiering.
Løsning.
Ifølge sinusformlen dobbelt vinkel fra trigonometri 
, Derfor 
Tidligere, ifølge en given funktion, styret af forskellige formler og regler, fandt sin afledte. Afledten har adskillige anvendelser: det er bevægelseshastigheden (eller mere generelt hastigheden af enhver proces); vinkelkoefficienten for tangenten til grafen for funktionen; ved hjælp af den afledte kan du undersøge funktionen for monotonicitet og ekstrema; det hjælper med at løse optimeringsproblemer.
Men sammen med problemet med at finde hastigheden efter en kendt bevægelseslov, er der også et omvendt problem - problemet med at genoprette bevægelsesloven i henhold til en kendt hastighed. Lad os overveje et af disse problemer.
Eksempel 1. Et materialepunkt bevæger sig i en ret linje, dets hastighed på tidspunktet t er givet af formlen v=gt. Find bevægelsesloven.
Løsning. Lad s = s(t) være den ønskede bevægelseslov. Det er kendt, at s"(t) = v(t). Det betyder, at for at løse problemet skal du vælge en funktion s = s(t), hvis afledte er lig med gt. Det er ikke svært at gætte at \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Faktisk
\(s"(t) = \venstre(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Svar: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Lad os straks bemærke, at eksemplet er løst korrekt, men ufuldstændigt. Vi fik \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Faktisk har problemet uendeligt mange løsninger: enhver funktion af formen \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), hvor C er en vilkårlig konstant, kan tjene som en lov for bevægelse, da \(\venstre (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
For at gøre problemet mere specifikt var vi nødt til at rette op på startsituationen: Angiv koordinaten for et bevægende punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t = 0. Hvis f.eks. s(0) = s 0, så fra lighed s(t) = (gt 2)/2 + C får vi: s(0) = 0 + C, dvs. C = s 0. Nu er bevægelsesloven entydigt defineret: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
I matematik får gensidigt inverse operationer forskellige navne, specielle notationer opfindes, for eksempel: kvadratur (x 2) og kvadratrod (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) og arcsinus (arcsin x) og osv. Processen med at finde den afledede af en given funktion kaldes differentiering, og den omvendte operation, altså processen med at finde en funktion fra en given afledet, er integration.
Selve udtrykket "afledt" kan retfærdiggøres "i dagligdags termer": funktionen y = f(x) "føder" en ny funktion y" = f"(x). Funktionen y = f(x) fungerer som en "forælder", men matematikere kalder den naturligvis ikke en "forælder" eller "producent", de siger, at den er det i forhold til funktionen y" = f"( x) , primært billede eller primitivt.
Definition. Funktionen y = F(x) kaldes antiderivat for funktionen y = f(x) på intervallet X, hvis ligheden F"(x) = f(x) gælder for \(x \i X\)
I praksis er intervallet X normalt ikke specificeret, men underforstået (som det naturlige definitionsdomæne for funktionen).
Lad os give eksempler.
1) Funktionen y = x 2 er antiafledt for funktionen y = 2x, da for enhver x er ligheden (x 2)" = 2x sand
2) Funktionen y = x 3 er antiafledt for funktionen y = 3x 2, da for enhver x er ligheden (x 3)" = 3x 2 sand
3) Funktionen y = sin(x) er antiafledt for funktionen y = cos(x), da for enhver x er ligheden (sin(x))" = cos(x) sand
Når man finder antiderivater, såvel som derivater, bruges ikke kun formler, men også nogle regler. De er direkte relateret til de tilsvarende regler for beregning af derivater.
Vi ved, at den afledte sum er lig med summen af dens afledte. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.
Regel 1. Antiderivatet af en sum er lig med summen af antiderivaterne.
Vi ved, at konstantfaktoren kan tages ud af den afledte fortegn. Denne regel genererer den tilsvarende regel for at finde antiderivater.
Regel 2. Hvis F(x) er et antiderivat for f(x), så er kF(x) et antiderivat for kf(x).
Sætning 1. Hvis y = F(x) er en antiafledt for funktionen y = f(x), så er den antiafledede for funktionen y = f(kx + m) funktionen \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Sætning 2. Hvis y = F(x) er en antiafledning for funktionen y = f(x) på intervallet X, så har funktionen y = f(x) uendeligt mange antiderivater, og de har alle formen y = F(x) + C.
Integrationsmetoder
Variabel erstatningsmetode (substitutionsmetode)
Metoden til integration ved substitution involverer at indføre en ny integrationsvariabel(det vil sige substitutioner). I dette tilfælde reduceres det givne integral til et nyt integral, som er tabelformet eller kan reduceres til det. Almindelige metoder der er intet udvalg af erstatninger. Evnen til korrekt at bestemme substitution opnås gennem praksis.
Lad det være nødvendigt at beregne integralet \(\tekststil \int F(x)dx \). Lad os lave substitutionen \(x= \varphi(t) \) hvor \(\varphi(t) \) er en funktion, der har en kontinuert afledet.
Derefter \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) og baseret på invariansegenskaben af integrationsformlen for det ubestemte integral, får vi integrationsformlen ved substitution:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integration af udtryk af formen \(\tekststil \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Hvis m er ulige, m > 0, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen sin x = t.
Hvis n er ulige, n > 0, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen cos x = t.
Hvis n og m er lige, så er det mere bekvemt at foretage substitutionen tg x = t.
Integration af dele
Integration af dele - anvendelse følgende formel til integration:
\(\tekststil \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
eller:
\(\tekststil \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Tabel over ubestemte integraler (antiderivater) af nogle funktioner
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \tekst(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$En af differentieringsoperationerne er at finde den afledede (differentiel) og anvende den til studiet af funktioner.
Det omvendte problem er ikke mindre vigtigt. Hvis adfærden af en funktion i nærheden af hvert punkt i dens definition er kendt, hvordan kan man så rekonstruere funktionen som helhed, dvs. gennem hele dens definition. Dette problem er genstand for undersøgelse af den såkaldte integralregning.
Integration er den omvendte handling af differentiering. Eller gendannelse af funktionen f(x) fra en given afledt f`(x). Det latinske ord "integro" betyder restaurering.
Eksempel nr. 1.
Lad (f(x))' = 3x 2. Lad os finde f(x).
Løsning:
Ud fra differentieringsreglen er det ikke svært at gætte på, at f(x) = x 3, fordi
(x 3)’ = 3x 2 Du kan dog nemt bemærke, at f(x) ikke findes entydigt. Som f(x) kan du tage f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 osv.
Fordi den afledte af hver af dem er 3x2. (Den afledte af en konstant er 0). Alle disse funktioner adskiller sig fra hinanden ved et konstant led. Derfor kan den generelle løsning på problemet skrives som f(x) = x 3 + C, hvor C er et hvilket som helst konstant reelt tal.
Enhver af de fundne funktioner f(x) kaldes antiderivat for funktionen F`(x)= 3x 2
Definition.
En funktion F(x) kaldes antiderivat for en funktion f(x) på et givet interval J hvis for alle x fra dette interval F`(x)= f(x). Så funktionen F(x)=x 3 er antiderivativ for f(x)=3x 2 på (- ∞ ; ∞). Da for alle x ~R er ligheden sand: F`(x)=(x 3)`=3x 2
Som vi allerede har bemærket, har denne funktion et uendeligt antal antiderivater.
Eksempel nr. 2.
Funktionen er antiderivativ for alle på intervallet (0; +∞), fordi for alle h fra dette interval gælder lighed.
Opgaven med integration er at finde alle dens antiderivater for en given funktion. Når du løser dette problem vigtig rolle følgende udsagn spiller:
Et tegn på konstant funktion. Hvis F"(x) = 0 på et interval I, så er funktionen F konstant på dette interval.
Bevis.
Lad os fastsætte noget x 0 fra intervallet I. Så for ethvert tal x fra et sådant interval, i kraft af Lagrange-formlen, kan vi angive et tal c indeholdt mellem x og x 0, således at
F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x0).
Ved betingelse er F' (c) = 0, da c ∈1, derfor,
F(x) - F(x 0) = 0.
Så for alle x fra intervallet I
det vil sige funktionen F gemmer konstant værdi.
Alle antiafledte funktioner f kan skrives ved hjælp af én formel, som kaldes generel form for antiderivater til funktionen f. Følgende sætning er sand ( antiderivaternes hovedegenskab):
Sætning. Enhver antiafledt for en funktion f på intervallet I kan skrives i formen
F(x) + C, (1) hvor F (x) er en af antiderivaterne for funktionen f (x) på intervallet I, og C er en vilkårlig konstant.
Lad os forklare denne erklæring, hvor to egenskaber af antiderivatet kort formuleres:
- Uanset hvilket tal vi sætter i udtryk (1) i stedet for C, får vi antiderivatet for f på intervallet I;
- uanset hvilken antiafledning Ф for f på intervallet I tages, er det muligt at vælge et tal C således, at for alle x fra intervallet I er ligheden
Bevis.
- Ved betingelse er funktionen F antiafledt for f på intervallet I. Derfor er F"(x)= f (x) for enhver x∈1, derfor (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), dvs. F(x) + C er antiderivatet for funktionen f.
- Lad Ф (x) være en af antiderivaterne for funktionen f i samme interval I, dvs. Ф "(x) = f (х) for alle x∈I.
Derefter (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.
Herfra følger ca. styrken af funktionens konstanttegnet, at forskellen Ф(х) - F(х) er en funktion, der tager en eller anden konstant værdi C på intervallet I.
For alle x fra intervallet I er ligheden Ф(x) - F(x)=С således sand, hvilket er det, der skulle bevises. Antiderivatets hovedegenskab kan angives geometrisk betydning: graferne for vilkårlige to antiderivater for funktionen f fås fra hinanden parallel overførsel langs Oy-aksen
Spørgsmål til noter
Funktionen F(x) er en antiderivat af funktionen f(x). Find F(1), hvis f(x)=9x2 - 6x + 1 og F(-1) = 2.
Find alle antiderivater for funktionen
For funktionen (x) = cos2 * sin2x, find antiderivatet af F(x), hvis F(0) = 0.
For en funktion skal du finde en antiderivativ, hvis graf går gennem punktet