في النسبة
يمكن تعيين مهمة العثور على أي من الأرقام الثلاثة من الرقمين الآخرين. إذا تم إعطاء a ثم N، يتم العثور عليهما عن طريق الأس. إذا كان N ثم a يُعطى عن طريق أخذ جذر الدرجة x (أو رفعه إلى الأس). الآن فكر في الحالة التي نحتاج فيها إلى إيجاد x، عند وجود a وN.
وليكن الرقم N موجباً: الرقم a يكون موجباً ولا يساوي واحداً: .
تعريف. لوغاريتم الرقم N للأساس a هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على الرقم N؛ يتم الإشارة إلى اللوغاريتم بواسطة
وهكذا، في المساواة (26.1) تم العثور على الأس على أنه لوغاريتم N للأساس a. دعامات
يملك نفس المعنى. تُسمى المساواة (26.1) أحيانًا بالهوية الرئيسية لنظرية اللوغاريتمات؛ وهو في الواقع يعبر عن تعريف مفهوم اللوغاريتم. بواسطة هذا التعريفقاعدة اللوغاريتم a تكون دائمًا موجبة ومختلفة عن الوحدة؛ الرقم اللوغاريتمي N موجب. الأرقام السالبة والصفر ليس لها لوغاريتمات. يمكن إثبات أن أي رقم له أساس معين له لوغاريتم محدد جيدًا. ولذلك تستلزم المساواة . لاحظ أن الشرط الأساسي هنا هو خلاف ذلكلن يكون هناك ما يبرر الاستنتاج، لأن المساواة صحيحة لأي قيم x و y.
مثال 1. البحث
حل. للحصول على رقم يجب عليك رفع الأساس 2 إلى القوة لذلك.
يمكنك تدوين ملاحظات عند حل مثل هذه الأمثلة بالشكل التالي:
مثال 2. ابحث عن .
حل. لدينا
في المثالين 1 و2، وجدنا بسهولة اللوغاريتم المطلوب من خلال تمثيل رقم اللوغاريتم كقوة للقاعدة مؤشر عقلاني. في حالة عامة، على سبيل المثال، وما إلى ذلك، لا يمكن القيام بذلك، لأن اللوغاريتم موجود معنى غير عقلاني. دعونا ننتبه إلى مسألة واحدة تتعلق بهذا البيان. وفي الفقرة 12 قدمنا مفهوم إمكانية تحديد أي منها درجة حقيقيةمنح رقم إيجابي. كان هذا ضروريًا لإدخال اللوغاريتمات، والتي، بشكل عام، يمكن أن تكون أرقامًا غير منطقية.
دعونا نلقي نظرة على بعض خصائص اللوغاريتمات.
الخاصية 1. إذا كان الرقم والقاعدة متساويين، فإن اللوغاريتم يساوي واحدوعلى العكس من ذلك، إذا كان اللوغاريتم يساوي واحدًا، فإن العدد والقاعدة متساويان.
دليل. دعونا من خلال تعريف اللوغاريتم لدينا ومن أين
وعلى العكس من ذلك، اسمحوا ثم حسب التعريف
الخاصية 2. لوغاريتم واحد لأي أساس يساوي صفر.
دليل. حسب تعريف اللوغاريتم ( درجة الصفرأي قاعدة موجبة تساوي واحدًا، انظر (١٠.١)). من هنا
Q.E.D.
العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا، فإن N = 1. في الواقع، لدينا.
قبل صياغة الخاصية التالية للوغاريتمات، دعونا نتفق على القول بأن الرقمين a وb يقعان على نفس الجانب من الرقم الثالث c إذا كان كلاهما أكبر من c أو أقل من c. إذا كان أحد هذين الرقمين أكبر من c، والآخر أقل من c، فسنقول إنهما يقعان معًا جوانب مختلفةمن القرية
الخاصية 3. إذا كان الرقم والقاعدة يقعان على نفس الجانب من الواحد، فإن اللوغاريتم موجب؛ إذا كان العدد والقاعدة يقعان على طرفين متقابلين للواحد، فإن اللوغاريتم يكون سالبًا.
يعتمد إثبات الخاصية 3 على أن قوة a أكبر من واحد إذا كان الأساس أكبر من واحد والأس موجب أو الأساس أقل من واحد والأس سالب. تكون القوة أقل من واحد إذا كان الأساس أكبر من واحد والأس سالبًا، أو إذا كان الأساس أقل من واحد والأس موجبًا.
هناك أربع حالات يجب أخذها بعين الاعتبار:
وسوف نقتصر على تحليل الأول منها، وسينظر القارئ في الباقي من تلقاء نفسه.
دعونا إذن في المساواة لا يمكن أن يكون الأس سالبًا ولا يساوي الصفرولذلك فهو موجب، أي كما يقتضي إثباته.
مثال 3. اكتشف أي اللوغاريتمات أدناه إيجابية وأيها سلبية:
الحل: أ) بما أن العدد 15 والأساس 12 يقعان على نفس الجانب من الواحد؛
ب) بما أن 1000 و2 يقعان على جانب واحد من الوحدة؛ وفي هذه الحالة ليس من المهم أن يكون الأساس أكبر من الرقم اللوغاريتمي؛
ج) بما أن 3.1 و 0.8 يقعان على طرفي نقيض من الوحدة؛
ز) ؛ لماذا؟
د) ؛ لماذا؟
غالبًا ما تسمى الخصائص التالية 4-6 بقواعد اللوغاريتمات: فهي تسمح، بمعرفة لوغاريتمات بعض الأرقام، بالعثور على لوغاريتمات منتجها وحاصلها ودرجة كل منها.
الخاصية 4 (قاعدة لوغاريتم المنتج). لوغاريتم منتج عدة أرقام موجبة بواسطة هذا الأساس يساوي المبلغلوغاريتمات هذه الأرقام لنفس الأساس.
دليل. دع الأرقام المعطاة تكون موجبة.
بالنسبة لوغاريتم حاصل ضربهم نكتب المساواة (26.1) التي تحدد اللوغاريتم:
من هنا سنجد
مقارنة الأسس من الأول و التعبيرات الأخيرة، نحصل على المساواة المطلوبة:
علماً بأن الشرط أساسي؛ لوغاريتم منتج اثنين أرقام سلبيةفمن المنطقي، ولكن في هذه الحالة نحصل
بشكل عام، إذا كان حاصل ضرب عدة عوامل موجبًا، فإن لوغاريتمه يساوي مجموع لوغاريتمات القيم المطلقة لهذه العوامل.
الخاصية 5 (قاعدة أخذ لوغاريتمات القسمة). لوغاريتم حاصل قسمة الأعداد الموجبة يساوي الفرق بين لوغاريتمات المقسوم والمقسوم عليه، مأخوذة من نفس الأساس. دليل. نجد باستمرار
Q.E.D.
الخاصية 6 (قاعدة لوغاريتم القوة). لوغاريتم قوة بعض الأرقام الإيجابية يساوي اللوغاريتمهذا الرقم مضروبا في الأس.
دليل. دعونا نكتب مرة أخرى الهوية الرئيسية (26.1) للرقم:
Q.E.D.
عاقبة. لوغاريتم جذر عدد موجب يساوي لوغاريتم الجذر مقسومًا على أس الجذر:
يمكن إثبات صحة هذه النتيجة الطبيعية من خلال تخيل كيفية استخدام الخاصية 6.
مثال 4. خذ اللوغاريتم للأساس a:
أ) (من المفترض أن جميع القيم ب، ج، د، ه إيجابية)؛
ب) (يفترض ذلك).
الحل، أ) من المناسب الانتقال إلى القوى الكسرية في هذا التعبير:
بناءً على التساويات (26.5)-(26.7)، يمكننا الآن أن نكتب:
نلاحظ أنه يتم إجراء عمليات أبسط على لوغاريتمات الأرقام مقارنة بالأرقام نفسها: عند ضرب الأرقام، تُضاف اللوغاريتمات الخاصة بها، وعند القسمة تُطرح، وما إلى ذلك.
ولهذا السبب يتم استخدام اللوغاريتمات في ممارسة الحوسبة (انظر الفقرة 29).
يُطلق على الإجراء العكسي للوغاريتم اسم التقوية، أي: التقوية هي الإجراء الذي يتم من خلاله العثور على الرقم نفسه من لوغاريتم معين لرقم. في الأساس، التقوية ليست أي إجراء خاص: فهي تتعلق برفع القاعدة إلى قوة ( يساوي اللوغاريتمأرقام). يمكن اعتبار مصطلح "التقوية" مرادفًا لمصطلح "التعزيز".
عند التحفيز، يجب على المرء استخدام القواعد العكسية لقواعد اللوغاريتمات: استبدال مجموع اللوغاريتمات بلوغاريتم المنتج، وفرق اللوغاريتمات بلوغاريتم الحاصل، وما إلى ذلك. على وجه الخصوص، إذا كان هناك عامل في المقدمة من علامة اللوغاريتم، ثم أثناء التقوية يجب أن يتم نقلها إلى درجات الأس تحت علامة اللوغاريتم.
مثال 5. ابحث عن N إذا كان معروفا ذلك
حل. فيما يتعلق بقاعدة التقوية المذكورة للتو، سننقل العوامل 2/3 و1/3 الموجودة أمام علامات اللوغاريتمات على الجانب الأيمن من هذه المساواة إلى أسس تحت علامات هذه اللوغاريتمات؛ نحصل عليها
الآن نستبدل فرق اللوغاريتمات بلوغاريتم الحاصل:
للحصول على الكسر الأخير في سلسلة التساويات هذه، قمنا بتحرير الكسر السابق من اللاعقلانية في المقام (البند 25).
الخاصية 7. إذا كانت القاعدة أكبر من واحد عدد أكبرله لوغاريتم أكبر (والرقم الأصغر له لوغاريتم أصغر)، إذا كانت القاعدة أقل من واحد، فإن الرقم الأكبر له لوغاريتم أصغر (والرقم الأصغر له لوغاريتم أكبر).
تمت صياغة هذه الخاصية أيضًا كقاعدة لأخذ لوغاريتمات المتباينات التي يكون طرفاها موجبًا:
عند أخذ لوغاريتمات المتباينات إلى الأساس، أكبر من واحد، يتم الحفاظ على علامة المتباينة، وعند أخذ لوغاريتم لأساس أقل من واحد، تتغير علامة المتباينة إلى العكس (انظر أيضًا الفقرة 80).
يعتمد الدليل على الخاصيتين 5 و 3. ضع في اعتبارك الحالة عندما نحصل على إذا، وبأخذ اللوغاريتمات
(a وN/M يقعان على نفس الجانب من الوحدة). من هنا
الحالة التالية، سيكتشفها القارئ بنفسه.
يتبع من تعريفه. وهكذا لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيتم تعريفه على أنه الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أللحصول على الرقم ب(اللوغاريتم موجود فقط للأرقام الموجبة).
من هذه الصيغة يتبع ذلك الحساب س = سجل ب، يعادل حل المعادلة أ س = ب.على سبيل المثال، سجل 2 8 = 3لأن 8 = 2 3 . صياغة اللوغاريتم تجعل من الممكن تبرير ذلك إذا ب=أ ج، ثم لوغاريتم الرقم بمرتكز على أيساوي مع. ومن الواضح أيضًا أن موضوع اللوغاريتمات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالموضوع صلاحيات عدد.
مع اللوغاريتمات، كما هو الحال مع أي أرقام، يمكنك القيام بذلك عمليات الإضافة، الطرحوالتحول بكل الطرق الممكنة. ولكن نظرًا لحقيقة أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فإن قواعدها الخاصة تنطبق هنا، والتي تسمى الخصائص الرئيسية.
جمع وطرح اللوغاريتمات.
لنأخذ اثنين من اللوغاريتمات لنفس الأسباب: سجل xو سجل ذ. ومن ثم يمكن إجراء عمليات الجمع والطرح:
سجل x+ سجل y= سجل a (x·y);
سجل س - سجل ص = سجل أ (س: ص).
سجل أ(س 1 . س 2 . س 3 ... س ك) = سجل x 1 + سجل x 2 + سجل x 3 + ... + سجل × ك.
من نظرية حاصل اللوغاريتميمكن الحصول على خاصية أخرى للوغاريتم. ومن المعروف أن السجل أ 1=0، لذلك
سجل أ 1 /ب= سجل أ 1 - السجل أ ب= -سجل أ ب.
وهذا يعني أن هناك مساواة:
سجل أ 1 / ب = - سجل أ ب.
لوغاريتمات رقمين متبادلينلنفس السبب سوف تختلف عن بعضها البعض فقط من خلال الإشارة. لذا:
سجل 3 9= - سجل 3 1 / 9 ; سجل 5 1/125 = - سجل 5 125.
ما هو اللوغاريتم؟
انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")
ما هو اللوغاريتم؟ كيفية حل اللوغاريتمات؟ هذه الأسئلة تربك العديد من الخريجين. تقليديا، يعتبر موضوع اللوغاريتمات معقدا وغير مفهوم ومخيف. وخاصة المعادلات مع اللوغاريتمات.
هذا ليس صحيحا على الاطلاق. قطعاً! لا تصدقني؟ بخير. الآن، في 10 - 20 دقيقة فقط يمكنك:
1. سوف تفهم ما هو اللوغاريتم.
2. تعلم حل فصل كامل المعادلات الأسية. حتى لو لم تسمع أي شيء عنهم.
3. تعلم كيفية حساب اللوغاريتمات البسيطة.
علاوة على ذلك، لهذا ستحتاج فقط إلى معرفة جدول الضرب وكيفية رفع الرقم إلى قوة...
أشعر أن لديك شكوك... حسنًا، حسنًا، حدد الوقت! دعنا نذهب!
أولاً، حل هذه المعادلة في رأسك:
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
تعليمات
اكتب المعطى التعبير اللوغاريتمي. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس له، فاكتب التعبير: ln b - اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.
عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";
عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;
من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، حاصل ضرب مشتقة المقسوم عليه في دالة المقسوم عليه، وتقسيمه كل هذا من خلال دالة المقسوم عليها. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
إذا أعطيت وظيفة معقدة، فمن الضروري مضاعفة مشتق وظيفة داخليةوالمشتق من الخارج . دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).
باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى العثور على قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) احسب قيمة الدالة نقطة معينةص"(1)=8*ه^0=8
فيديو حول الموضوع
تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الوقت بشكل كبير.
مصادر:
- مشتق من ثابت
إذن، ما الفرق؟ إير معادلة عقلانيةمن العقلاني؟ إذا كان المتغير غير المعروف تحت العلامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير عقلانية.
تعليمات
الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الطرفين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا أمر طبيعي، أول شيء عليك فعله هو التخلص من العلامة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية، ولكنها قد تؤدي في بعض الأحيان إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة هي v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين تحصل على 2x-5=4x-7. إن حل مثل هذه المعادلة ليس بالأمر الصعب؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ استبدل واحدًا في المعادلة بدلًا من قيمة x وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك 1 هو جذر خارجي، وبالتالي معادلة معينةليس له جذور.
إذن، يتم حل المعادلة غير النسبية باستخدام طريقة تربيع طرفيها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.
النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. تحرك المركبات المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. ولكن أيضًا واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة بالصيغة 2y2+y-3=0. وهذا هو المعتاد معادلة تربيعية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx=-3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور؛ من الأولى نجد أن x=1. لا تنس التحقق من الجذور.
حل الهويات بسيط للغاية. للقيام بذلك ما عليك القيام به تحولات الهويةحتى يتحقق الهدف. وهكذا، بمساعدة أبسط العمليات الحسابيةسيتم حل المهمة المطروحة.
سوف تحتاج
- - ورق؛
- - قلم.
تعليمات
أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من و الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.
في الواقع، مربع مجموع فترتين يساوي مربعالأول زائد ضعف ناتج الأول في الثاني بالإضافة إلى مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=أ^2+2اب +ب^2.
بسّط كلا الأمرين
المبادئ العامة للحل
كرر وفقا للكتاب المدرسي التحليل الرياضيأو الرياضيات العليا، وهو تكامل محدد. كما هو معروف الحل تكامل محددهناك دالة يعطي مشتقها التكامل. هذه الوظيفةويسمى مشتق مضاد. بواسطة هذا المبدأويبني التكاملات الرئيسية.تحديد من خلال شكل التكامل وأي من تكاملات الجدول يناسبها في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.
طريقة الاستبدال المتغيرة
إذا كانت الدالة integrand هي وظيفة المثلثية، التي تحتوي حجتها على كثيرات الحدود، فحاول استخدام طريقة استبدال المتغير. من أجل القيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على العلاقة بين المتغيرات الجديدة والقديمة، حدد الحدود الجديدة للتكامل. التمايز التعبير المعطىالعثور على تفاضل جديد في . لذلك سوف تحصل نظرة جديدةالتكامل السابق، قريب أو حتى مطابق لأي تكامل جدولي.حل التكاملات من النوع الثاني
إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو شكل متجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي علاقة أوستروجرادسكي-غاوس. هذا القانونيسمح لك بالانتقال من التدفق الدوار لبعض وظائف المتجهات إلى التكامل الثلاثي على انحراف مجال متجه معين.استبدال حدود التكامل
بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. أولًا، عوض بقيمة الحد الأعلى في التعبير الخاص بالمشتق العكسي. سوف تحصل على بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر تم الحصول عليه من الحد الأدنى إلى المشتق العكسي. إذا كان أحد حدود التكامل هو ما لا نهاية، فعند التعويض به في وظيفة مضادمن الضروري الذهاب إلى الحد الأقصى والعثور على ما يسعى إليه التعبير.إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل حدود التكامل هندسيًا لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم الجاري تكامله.