من الأسس الصحيحة للرقم أ، فإن الانتقال إلى الأسس العقلانية يوحي بنفسه. أدناه سنحدد الدرجة ذات الأس العقلاني، وسنفعل ذلك بطريقة يتم فيها الحفاظ على جميع خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح. وهذا ضروري لأن الأعداد الصحيحة هي جزء من الأعداد النسبية.

ومن المعروف أن مجموعة الأعداد النسبية تتكون من أعداد صحيحة وكسور، ويمكن تمثيل كل كسر على أنه كسر عادي موجب أو سالب. لقد قمنا بتعريف الدرجة ذات الأس الصحيح في الفقرة السابقة، لذلك، لكي نكتمل تعريف الدرجة ذات الأس الكسرى، نحتاج إلى إعطاء معنى لدرجة الرقم أمع مؤشر كسور م / ن، أين مهو عدد صحيح، و ن- طبيعي. دعونا نفعل هذا.

دعونا نفكر في درجة ذات أس كسري للنموذج. لكي تظل خاصية القدرة على القوة صالحة، يجب أن تكون المساواة قائمة . إذا أخذنا في الاعتبار المساواة الناتجة وكيفية تحديد الجذر النوني للدرجة، فمن المنطقي أن نقبل، بشرط أن يكون المعطى م, نو أالتعبير منطقي.

من السهل التحقق من صحة جميع خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح (تم ذلك في قسم خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح).

المنطق أعلاه يسمح لنا بعمل ما يلي خاتمة: إذا أعطيت م, نو أالتعبير منطقي، ثم قوة العدد أمع مؤشر كسور م / نيسمى الجذر نالدرجة ال أإلى حد ما م.

تقربنا هذه العبارة من تعريف الدرجة ذات الأس الكسري. كل ما تبقى هو وصف ماذا م, نو أالتعبير منطقي. اعتمادا على القيود المفروضة على م, نو أهناك طريقتان رئيسيتان.

1. أسهل طريقة هي فرض قيود على أ، بعد أن قبلت أ≥0للإيجابية مو أ>0للسلبية م(منذ متى م ≥0درجة 0 مغير محدد). ثم نحصل على التعريف التالي للدرجة ذات الأس الكسرى.

تعريف.

قوة الرقم الإيجابي أمع مؤشر كسور م / ن ، أين م- كله، و ن– عدد طبيعي يسمى الجذر ن-الرقم أإلى حد ما م، إنه، .

يتم أيضًا تحديد القوة الكسرية للصفر مع التحذير الوحيد الذي يجب أن يكون المؤشر موجبًا.

تعريف.

قوة الصفر مع الأس الموجب الكسرى م / ن ، أين مهو عدد صحيح موجب، و ن- العدد الطبيعي، كما هو محدد .
عندما لا يتم تحديد الدرجة، أي أن درجة الرقم صفر مع الأس السالب الكسري لا معنى لها.

تجدر الإشارة إلى أنه مع هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسري، هناك تحذير واحد: بالنسبة لبعض السالبة أوبعض مو نالتعبير منطقي، لكننا تجاهلنا هذه الحالات بإدخال الشرط أ≥0. على سبيل المثال، الإدخالات منطقية أو ، والتعريف الوارد أعلاه يجبرنا على القول بأن القوى ذات أس كسري للنموذج لا معنى له، لأن القاعدة لا ينبغي أن تكون سلبية.

2. طريقة أخرى لتحديد الدرجة باستخدام الأس الكسري م / نيتكون من النظر بشكل منفصل في الأسس الزوجية والفردية للجذر. يتطلب هذا النهج شرطًا إضافيًا: قوة العدد أ، الذي يكون أسه كسرًا عاديًا قابلاً للاختزال، يعتبر قوة للرقم أ، مؤشرها هو الكسر المقابل غير القابل للاختزال (سيتم شرح أهمية هذا الشرط أدناه). وهذا هو، إذا م / نهو كسر غير قابل للاختزال، ثم لأي عدد طبيعي كيتم استبدال الدرجة مبدئيًا بـ .

حتى نوإيجابية مالتعبير منطقي لأي غير سلبي أ(الجذر الزوجي لعدد سالب ليس له معنى)، بالنسبة للسالب مرقم أيجب أن يظل مختلفًا عن الصفر (وإلا سيكون هناك قسمة على صفر). وللغريب نوإيجابية مرقم أيمكن أن يكون أي (يتم تعريف الجذر الفردي لأي رقم حقيقي)، وللسالب مرقم أيجب أن يكون غير الصفر (حتى لا يكون هناك قسمة على صفر).

يقودنا المنطق أعلاه إلى هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسرى.

تعريف.

يترك م / ن- جزء غير قابل للاختزال، م- كله، و ن– عدد طبيعي . بالنسبة لأي جزء قابل للاختزال، يتم استبدال الدرجة بـ . قوة العدد أمع الأس الكسري غير القابل للاختزال م / ن- هذا ل

او اي رقم حقيقي أ، إيجابية كاملة موطبيعية غريبة ن، على سبيل المثال، ;

o أي عدد حقيقي غير الصفر أ، عدد صحيح سلبي موغريب ن، على سبيل المثال، ;

o أي رقم غير سالب أ، إيجابية كاملة موحتى ن، على سبيل المثال، ;

او اي ايجابية أ، عدد صحيح سلبي موحتى ن، على سبيل المثال، ;

o وفي حالات أخرى لا يتم تحديد الدرجة بمؤشر كسري، فمثلا لا يتم تحديد الدرجات .a نحن لا نعلق أي معنى على الإدخال؛ فنحن نحدد قوة الرقم صفر للأسس الكسرية الموجبة م / نكيف ، بالنسبة للأسس الكسرية السالبة، لم يتم تحديد قوة الرقم صفر.

وفي ختام هذه الفقرة، دعونا نلفت الانتباه إلى أنه يمكن كتابة الأس الكسرى على شكل كسر عشري أو رقم مختلط، على سبيل المثال، . لحساب قيم التعبيرات من هذا النوع، تحتاج إلى كتابة الأس على شكل كسر عادي، ثم استخدام تعريف الأس مع الأس الكسري. للأمثلة المذكورة أعلاه لدينا و

يحتوي درس الفيديو "الأس ذو الأس العقلاني" على مادة تعليمية مرئية لتدريس درس حول هذا الموضوع. يحتوي درس الفيديو على معلومات حول مفهوم الدرجة ذات الأس العقلاني، وخصائص هذه الدرجات، بالإضافة إلى أمثلة تصف استخدام المواد التعليمية لحل المشكلات العملية. الغرض من هذا الدرس المرئي هو عرض المادة التعليمية بشكل واضح وواضح وتسهيل تطويرها وحفظها لدى الطلاب وتنمية القدرة على حل المشكلات باستخدام المفاهيم المستفادة.

تتمثل المزايا الرئيسية لدرس الفيديو في القدرة على إجراء التحويلات والحسابات بشكل مرئي، والقدرة على استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة لتحسين كفاءة التعلم. تساعد المرافقة الصوتية على تطوير الكلام الرياضي الصحيح، وتجعل من الممكن أيضًا استبدال شرح المعلم، وتحريره للقيام بعمل فردي.

يبدأ درس الفيديو بتقديم الموضوع. عند ربط دراسة موضوع جديد بمادة تمت دراستها مسبقًا، يُقترح أن نتذكر أن n √a يُشار إليه بخلاف ذلك بـ 1/n لـ n الطبيعي وa الموجب. يتم عرض تمثيل n-root على الشاشة. بعد ذلك، يُقترح النظر في ما يعنيه التعبير m/n، حيث يكون a رقمًا موجبًا، وm/n عبارة عن كسر ما. تعريف الدرجة ذات الأس العقلاني كما هو موضح في m/n = n √a m، مظلل في إطار. من الملاحظ أن n يمكن أن يكون عددًا طبيعيًا، وm يمكن أن يكون عددًا صحيحًا.

وبعد تعريف الدرجة بالأس الكسرى يظهر معناها من خلال الأمثلة: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. ويعرض أيضًا مثالًا يتم فيه تحويل القوة الممثلة برقم عشري إلى كسر ليتم تمثيله كجذر: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 و مثال بقوة سلبية: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

يتم الإشارة بشكل منفصل إلى ميزة خاصة للحالة الخاصة عندما يكون أساس الدرجة صفرًا. تجدر الإشارة إلى أن هذه الدرجة تكون منطقية فقط مع وجود أس كسري موجب. وفي هذه الحالة تكون قيمته صفر: 0 m/n =0.

هناك ميزة أخرى للدرجة ذات الأس العقلاني - أنه لا يمكن اعتبار الدرجة ذات الأس الكسرى ذات الأس الكسرى. يتم إعطاء أمثلة على التدوين غير الصحيح للدرجات: (-9) -3/7، (-3) -1/3، 0 -1/5.

بعد ذلك، في درس الفيديو، نناقش خصائص الدرجة ذات الأس النسبي. تجدر الإشارة إلى أن خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح ستكون صالحة أيضًا للدرجة ذات الأس العقلاني. يُقترح التذكير بقائمة الخصائص الصالحة أيضًا في هذه الحالة:

1. عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، فإن أسسها تكون مجمعة: a p a q =a p+q.
2. يتم تقليل تقسيم الدرجات ذات الأساس نفسه إلى درجة ذات أساس معين والفرق في الأسس: a p:a q =a p-q.
3. إذا رفعنا الدرجة إلى قوة معينة، فسننتهي بدرجة ذات أساس معين وحاصل ضرب الأسس: (a p) q =a pq.

كل هذه الخصائص صالحة للقوى ذات الأسس المنطقية p، q والقاعدة الإيجابية a>0. كما تظل تحويلات الدرجات عند فتح الأقواس صحيحة:

1. (ab) p =a p b p - عند رفع ناتج رقمين إلى قوة ما بأس عقلاني، يتم تقليل حاصل ضرب رقمين، كل منهما مرفوع إلى قوة معينة.
2. (a/b) p =a p /b p - رفع الكسر إلى قوة ذات أس نسبي يتم تقليله إلى الكسر الذي يكون بسطه ومقامه مرفوعًا إلى قوة معينة.

يناقش الفيديو التعليمي حل الأمثلة التي تستخدم الخصائص المدروسة للقوى ذات الأس العقلاني. يطلب منك المثال الأول إيجاد قيمة تعبير يحتوي على متغيرات x بقوة كسرية: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). على الرغم من تعقيد التعبير، باستخدام خصائص القوى، يمكن حله بكل بساطة. يبدأ حل المشكلة بتبسيط التعبير، الذي يستخدم قاعدة رفع قوة ذات أس كسري إلى قوة، وكذلك ضرب القوى ذات الأساس نفسه. بعد استبدال القيمة المعطاة x=8 في التعبير المبسط x 1/3 +48، من السهل الحصول على القيمة - 50.

في المثال الثاني، تحتاج إلى تبسيط الكسر الذي يحتوي بسطه ومقامه على قوى ذات أس كسري. باستخدام خصائص الدرجة، نستخرج من الفرق العامل × 1/3، والذي يتم بعد ذلك تخفيضه في البسط والمقام، وباستخدام صيغة فرق المربعات، يتم تحليل البسط، مما يعطي المزيد من التخفيضات للمتطابقات العوامل في البسط والمقام. نتيجة هذه التحولات هي الكسر القصير × 1/4 +3.

يمكن استخدام درس الفيديو "الأس ذو الأس العقلاني" بدلاً من قيام المعلم بشرح موضوع الدرس الجديد. يحتوي هذا الدليل أيضًا على معلومات كاملة كافية للطالب للدراسة بشكل مستقل. يمكن أن تكون المادة مفيدة أيضًا للتعلم عن بعد.

مبو "سيدورسكايا"

مدرسة ثانوية"

تطوير خطة الدرس المفتوح

في الجبر في الصف الحادي عشر حول هذا الموضوع:

تم إعدادها وتنفيذها

مدرس الرياضيات

إسخاكوفا إي.ف.

ملخص درس مفتوح في الجبر للصف الحادي عشر.

موضوع : "درجة ذات أس عقلاني."

نوع الدرس : تعلم مواد جديدة

أهداف الدرس:

تعريف الطلاب بمفهوم الدرجة ذات الأس الكسرى وخصائصها الأساسية بناء على مادة سبق دراستها (الدرجة ذات الأس الصحيح).

تطوير المهارات الحسابية والقدرة على تحويل ومقارنة الأرقام مع الأسس العقلانية.

تنمية المعرفة الرياضية والاهتمام بالرياضيات لدى الطلاب.

معدات : بطاقات المهام، عرض تقديمي للطلاب حسب الدرجة مع مؤشر عدد صحيح، عرض للمعلم حسب الدرجة مع مؤشر منطقي، كمبيوتر محمول، جهاز عرض متعدد الوسائط، شاشة.

تقدم الدرس:

اللحظة التنظيمية.

التحقق من إتقان الموضوع الذي يتم تناوله باستخدام بطاقات المهام الفردية.

المهمة رقم 1.

=2;

ب) =س + 5؛

حل نظام المعادلات غير المنطقية: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

المهمة رقم 2.

حل المعادلة غير المنطقية: = - 3;

ب) = س - 2؛

حل نظام المعادلات غير المنطقية: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

توصيل موضوع الدرس وأهدافه.

موضوع درسنا اليوم هو " القوة مع الأس العقلاني».

شرح المادة الجديدة باستخدام مثال المادة التي سبق دراستها.

أنت بالفعل على دراية بمفهوم الدرجة ذات الأس الصحيح. من سيساعدني على تذكرهم؟

التكرار باستخدام العرض " الدرجة مع الأس الصحيح».

بالنسبة لأي أرقام a وb وأي أعداد صحيحة m وn، تكون المساواة صحيحة:

أ م * أ ن = أ م+ن ;

أ م: أ ن = أ م-ن (أ ≠ 0)؛

(أ م) ن = ا مين ;

(أ ب) ن =أ ن * ب ن ;

(أ/ب) ن = أ ن /ب ن (ب ≠ 0) ؛

أ 1 = أ ;

أ 0 = 1(أ ≠ 0) سنقوم اليوم بتعميم مفهوم قوة الرقم وإعطاء معنى للتعبيرات التي لها أس كسري. دعونا نقدمتعريف

الدرجات ذات الأس العقلاني (عرض تقديمي "الدرجة ذات الأس العقلاني"): > قوة أ 0 مع الأس العقلاني = ص م ، أين ن هو عدد صحيح، و ن > - طبيعي ( م .

1) اتصل بالرقم = لذلك، بحكم التعريف حصلنا على ذلك .

م

دعونا نحاول تطبيق هذا التعريف عند إكمال المهمة.

المثال رقم 1

أقدم التعبير كجذر لعدد: أ) ب) .

في)

II التعبير عن التعبير كقوة ذات أس عقلاني:

أقدم التعبير كجذر لعدد: 2 أ) ب) 5 .

يتم تعريف قوة 0 فقط للأسس الإيجابية.

0 ص= 0 لأي ص> 0.

وباستخدام هذا التعريف، منازلستكمل #428 و #429.

دعونا نبين الآن أنه مع تعريف الدرجة ذات الأس العقلاني الموضح أعلاه، يتم الحفاظ على الخصائص الأساسية للدرجات، والتي تنطبق على أي أسس.

بالنسبة لأي أعداد نسبية r وs وأي أرقام موجبة a وb، فإن المساواة التالية تكون:

1 0 . أ ص أ ق =أ ص + ق ;

مثال: *

2 0 . أ ص: أ ق = أ ص-س؛

مثال: :

3 0 . (أ ص ) ق = أ رس ;

مثال: ( -2/3

4 0 . ( أب) ص = أ ص ب ص ; 5 0 . ( = .

مثال: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

مثال على استخدام عدة خصائص في وقت واحد: * : .

دقيقة التربية البدنية.

نضع الأقلام على المكتب، ونعدل ظهورنا، والآن نتقدم للأمام، ونريد أن نلمس اللوحة. لقد رفعناه الآن وانحنى يمينًا ويسارًا وإلى الأمام وإلى الخلف. لقد أريتني يديك، والآن أرني كيف يمكن لأصابعك أن ترقص.

العمل على المادة

دعونا نلاحظ خاصيتين أخريين للدرجات ذات الأسس المنطقية:

6 0 . يترك r هو رقم عقلاني و 0< a < b . Тогда

أ ص < b صفي ص> 0,

أ ص < b صفي ص< 0.

7 0 . لأي أرقام عقلانيةصو قمن عدم المساواة ص> قويترتب على ذلك

أ ص>أ صل> 1،

أ ص < а صعند 0< а < 1.

مثال: قارن بين الأرقام:

و ; 2 300 و3 200 .

ملخص الدرس:

اليوم في الدرس، تذكرنا خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح، وتعلمنا التعريف والخصائص الأساسية للدرجة ذات الأس العقلاني، وفحصنا تطبيق هذه المادة النظرية عمليًا عند أداء التمارين. أود أن ألفت انتباهكم إلى أن موضوع "الدرجة ذات الأس العقلاني" إلزامي في مهام امتحان الدولة الموحدة. عند تحضير الواجب المنزلي (رقم 428 ورقم 429

القوة مع الأس العقلاني

خاسيانوفا تي جي،

مدرس الرياضيات

ستكون المواد المقدمة مفيدة لمعلمي الرياضيات عند دراسة موضوع "الأس ذو الأس العقلاني".

الغرض من المادة المقدمة: الكشف عن تجربتي في إجراء درس حول موضوع "الدرجة ذات الأس العقلاني" لبرنامج عمل تخصص "الرياضيات".

تتوافق منهجية إجراء الدرس مع نوعه - درس في دراسة المعرفة الجديدة وتعزيزها في البداية. تم تحديث المعرفة والمهارات الأساسية على أساس الخبرة المكتسبة سابقًا؛ الحفظ الأساسي وتوحيد وتطبيق المعلومات الجديدة. تم توحيد وتطبيق المواد الجديدة في شكل حل المشكلات التي اختبرتها بدرجات متفاوتة من التعقيد، مما أعطى نتيجة إيجابية في إتقان الموضوع.

في بداية الدرس قمت بتحديد الأهداف التالية للطلاب: تربوية، تنموية، تربوية. خلال الدرس، استخدمت أساليب مختلفة للنشاط: أمامي، فردي، زوج، مستقل، اختبار. تم التمييز بين المهام وجعل من الممكن تحديد درجة اكتساب المعرفة في كل مرحلة من مراحل الدرس. يتوافق حجم المهام وتعقيدها مع الخصائص العمرية للطلاب. من تجربتي، تتيح لك الواجبات المنزلية، على غرار المشكلات التي تم حلها في الفصل الدراسي، دمج المعرفة والمهارات المكتسبة بشكل موثوق. في نهاية الدرس، تم إجراء التفكير وتقييم عمل الطلاب الفرديين.

تم تحقيق الأهداف. درس الطلاب مفهوم وخصائص الدرجة ذات الأس العقلاني، وتعلموا استخدام هذه الخصائص عند حل المشكلات العملية. بالنسبة للعمل المستقل، يتم الإعلان عن الدرجات في الدرس التالي.

أعتقد أن المنهجية التي أستخدمها في تدريس الرياضيات يمكن استخدامها من قبل معلمي الرياضيات.

موضوع الدرس: القوة ذات الأس العقلاني

الهدف من الدرس:

التعرف على مستوى إتقان الطلاب لمجموعة من المعارف والمهارات، وعلى أساسها تطبيق حلول معينة لتحسين العملية التعليمية.

أهداف الدرس:

التعليمية:لتشكيل معرفة جديدة بين الطلاب حول المفاهيم الأساسية والقواعد والقوانين لتحديد الدرجات بمؤشر عقلاني، والقدرة على تطبيق المعرفة بشكل مستقل في الظروف القياسية، في الظروف المعدلة وغير القياسية؛

تطوير:التفكير المنطقي وتحقيق القدرات الإبداعية؛

رفع:تطوير الاهتمام بالرياضيات، وتجديد مفرداتك بمصطلحات جديدة، والحصول على معلومات إضافية حول العالم من حولك. تنمية الصبر والمثابرة والقدرة على التغلب على الصعوبات.

لحظة تنظيمية

تحديث المعرفة المرجعية

عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، تُضاف الأسس، لكن الأساس يبقى كما هو:

على سبيل المثال،

2. عند قسمة الدرجات على نفس الأساسات يتم طرح أسس الدرجات، ولكن يبقى الأساس كما هو:

على سبيل المثال،

3. عند رفع درجة إلى قوة، يتم ضرب الأسس، ولكن الأساس يبقى كما هو:

على سبيل المثال،

4. درجة المنتج تساوي منتج درجات العوامل:

على سبيل المثال،

5. درجة حاصل القسمة تساوي حاصل قسمة درجات المقسوم والمقسوم عليه:

على سبيل المثال،

تمارين مع الحلول

ابحث عن معنى العبارة:

حل:

في هذه الحالة، لا يمكن تطبيق أي من خصائص الدرجة ذات الأس الطبيعي بشكل صريح، حيث أن جميع الدرجات لها أسس مختلفة. لنكتب بعض القوى بشكل مختلف:

(درجة المنتج تساوي منتج درجات العوامل)؛

(عند ضرب الأس مع نفس الأساس، يتم إضافة الأسس، ولكن الأساس يبقى كما هو؛ وعند رفع درجة إلى قوة، يتم ضرب الأسس، ولكن الأساس يبقى كما هو).

ثم نحصل على:

في هذا المثال، تم استخدام الخصائص الأربعة الأولى لدرجة ذات أس طبيعي.

الجذر التربيعي الحسابي
هو عدد غير سالب مربعه يساويأ,
. في
- تعبير
لم يتم تعريفها، لأن لا يوجد عدد حقيقي مربعه يساوي عددا سالباأ.

الإملاء الرياضي(8-10 دقائق)

خيار

ثانيا. خيار

1. أوجد قيمة التعبير

أ)

ب)

1. أوجد قيمة التعبير

أ)

ب)

2. احسب

أ)

ب)

في)

2. احسب

أ)

ب)

الخامس)

الاختبار الذاتي(على اللوح):

مصفوفة الاستجابة:

№ الخيار/المهمة

المشكلة 1

المشكلة 2

الخيار 1

أ) 2

ب) 2

أ) 0.5

ب)

الخامس)

الخيار 2

أ) 1.5

ب)

أ)

ب)

ج) 4

ثانيا. تكوين المعرفة الجديدة

دعونا نفكر في معنى التعبير وأين - رقم موجب- العدد الكسري والعدد الصحيح، n الطبيعي (n›1)

التعريف: قوة a›0 ذات الأس العقلانيص = , لذلك، بحكم التعريف حصلنا على ذلك-جميع، ن-طبيعي ( ن›1) يتم الاتصال بالرقم.

لذا:

على سبيل المثال:

ملحوظات:

1. لأي رقم موجب وأي رقم r عقلاني بشكل إيجابي.

2. متى
القوة العقلانية لعددألم يتم تحديدها.

التعبيرات مثل
لا معنى له.

3. إذا رقم موجب كسري هو
.

لو كسور رقم سلبي إذن -لا معنى له.

على سبيل المثال: - لا معنى له.

دعونا نفكر في خصائص الدرجة ذات الأس العقلاني.

دع >0، ب>0؛ ص، ق - أي أرقام عقلانية. إذن فإن الدرجة التي لها أي أس عقلاني لها الخصائص التالية:

1.
2.
3.
4.
5.

ثالثا. توحيد. تكوين مهارات وقدرات جديدة.

تعمل بطاقات المهام في مجموعات صغيرة على شكل اختبار.

مستوى الدخول

الدرجة وخصائصها. الدليل الشامل (2019)

لماذا هناك حاجة إلى درجات؟ أين ستحتاجهم؟ لماذا يجب أن تأخذ الوقت الكافي لدراستها؟

لمعرفة كل شيء عن الدرجات العلمية، وما هي الحاجة إليها، وكيفية استخدام معرفتك في الحياة اليومية، اقرأ هذا المقال.

وبطبيعة الحال، فإن معرفة الدرجات العلمية ستقربك من اجتياز امتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة بنجاح ومن دخول جامعة أحلامك.

هيا بنا... (دعنا نذهب!)

ملاحظة هامة! إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك، اضغط على CTRL+F5 (في نظام Windows) أو Cmd+R (في نظام Mac).

مستوى الدخول

الأس هو عملية رياضية مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء باللغة البشرية باستخدام أمثلة بسيطة جدًا. احرص. الأمثلة أولية، ولكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالإضافة.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: نحن ثمانية. كل شخص لديه زجاجتين من الكولا. كم الكولا هناك؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بشكل مختلف: . علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسالى. يلاحظون أولاً بعض الأنماط، ثم يكتشفون طريقة "لعدها" بشكل أسرع. وفي حالتنا، لاحظوا أن كل واحد من الأشخاص الثمانية لديه نفس العدد من زجاجات الكولا، وتوصلوا إلى تقنية تسمى الضرب. أوافق، فهو يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك، لحساب أسرع وأسهل وبدون أخطاء، عليك فقط أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأكثر صعوبة ومع وجود أخطاء! لكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وأخرى أجمل:

ما هي حيل العد الذكية الأخرى التي ابتكرها علماء الرياضيات الكسالى؟ يمين - رفع رقم إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات، يقول علماء الرياضيات أنك بحاجة إلى رفع هذا الرقم إلى القوة الخامسة. على سبيل المثال، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس خمسة يساوي... وهم يحلون مثل هذه المشاكل في رؤوسهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

كل ما عليك فعله هو تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأرقام. صدقني، هذا سيجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة لماذا سميت بالدرجة الثانية؟ مربعالأرقام والثالثة مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ سؤال جيد جدا. الآن سيكون لديك المربعات والمكعبات.

مثال واقعي رقم 1

لنبدأ بالمربع أو القوة الثانية للرقم.

تخيل حوض سباحة مربعًا بقياس متر في متر واحد. حمام السباحة في داشا الخاص بك. الجو حار وأريد حقًا السباحة. لكن...البركة ليس لها قاع! تحتاج إلى تغطية الجزء السفلي من حوض السباحة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ من أجل تحديد ذلك، عليك أن تعرف المنطقة السفلية للمسبح.

يمكنك ببساطة أن تحسب من خلال الإشارة بإصبعك أن قاع حوض السباحة يتكون من مكعبات متر بمتر. إذا كان لديك بلاط بطول متر في متر واحد، فستحتاج إلى قطع. إنه أمر سهل... ولكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ من المرجح أن يكون حجم البلاط سمًا سمًا وبعد ذلك سيتم تعذيبك عن طريق "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتضاعف. لذلك، على جانب واحد من الجزء السفلي من حوض السباحة، سنضع البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا البلاط. اضرب في وستحصل على البلاط ().

هل لاحظت أنه لتحديد مساحة قاع حوض السباحة قمنا بضرب نفس العدد في نفسه؟ ماذا يعني ذلك؟ وبما أننا نضرب نفس العدد، فيمكننا استخدام تقنية "الضرب الأسي". (بالطبع، عندما يكون لديك رقمان فقط، فلا تزال بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهما، فإن رفعهما إلى قوة يكون أسهل بكثير، كما أن الأخطاء في العمليات الحسابية أقل أيضًا بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، هذا مهم جدًا).
إذن، ثلاثين مرفوعًا للقوة الثانية سيكون (). أو يمكننا القول أن ثلاثين تربيع سيكون كذلك. بمعنى آخر، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لأي رقم على شكل مربع. والعكس صحيح، إذا رأيت مربعًا، فهو دائمًا القوة الثانية لعدد ما. المربع هو صورة للقوة الثانية للرقم.

مثال واقعي رقم 2

إليك مهمة لك: احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية أو... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج عبارة عن مربع ذو جانب، فيمكنك تربيع ثمانية. سوف تحصل على الخلايا. () لذا؟

مثال واقعي رقم 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة للرقم. نفس المسبح. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا المسبح. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة، يتم قياس الأحجام والسوائل بالمتر المكعب. وهو أمر غير متوقع، أليس كذلك؟) ارسم بركة: حجم القاع متر وعمق متر، وحاول حساب عدد المكعبات التي يبلغ قياسها مترًا في متر. تتناسب مع حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة... اثنان وعشرون، ثلاثة وعشرون... كم عدد ما حصلت عليه؟ لم تضيع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ هذا كل شيء! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم حمام السباحة، تحتاج إلى مضاعفة طوله وعرضه وارتفاعه ببعضها البعض. في حالتنا، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات... أسهل، أليس كذلك؟

تخيل الآن مدى كسل ومكر علماء الرياضيات إذا قاموا بتبسيط هذا الأمر أيضًا. لقد خفضنا كل شيء إلى إجراء واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساوون وأن نفس العدد مضروب في نفسه... ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك الاستفادة من الدرجة. لذا، فإن ما عددته بإصبعك ذات مرة، يقومون به في إجراء واحد: ثلاثة مكعبات يساوي. ويكتب هكذا : .

كل ما تبقى هو تذكر جدول الدرجات. ما لم تكن بالطبع كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت تحب العمل الجاد وارتكاب الأخطاء، فيمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا، لإقناعك أخيرًا بأن الدرجات العلمية تم اختراعها من قبل المنهكين والأشخاص الماكرين لحل مشاكل حياتهم، وليس لخلق مشاكل لك، إليك بعض الأمثلة الأخرى من الحياة.

مثال واقعي رقم 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تكسبه، تكسب مليونًا آخر. أي أن كل مليون منكم يتضاعف في بداية كل عام. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت تجلس الآن وتقوم "بالعد بإصبعك"، فأنت شخص مجتهد للغاية و... غبي. ولكن على الأرجح سوف تعطي إجابة في بضع ثوان، لأنك ذكي! إذن، في السنة الأولى - اثنان في اثنين... في السنة الثانية - ماذا حدث، في اثنين آخرين، في السنة الثالثة... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرات. إذن اثنان أس خمسة يساوي مليونًا! الآن تخيل أن لديك منافسة والشخص الذي يستطيع العد بشكل أسرع سيحصل على هذه الملايين... من الجدير أن نتذكر قوى الأرقام، ألا تعتقد ذلك؟

مثال واقعي رقم 5

لديك مليون. وفي بداية كل عام، تكسب اثنين إضافيين مقابل كل مليون. عظيم أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ دعونا نحسب. السنة الأولى - اضرب، ثم النتيجة بأخرى... إنه أمر ممل بالفعل، لأنك فهمت كل شيء بالفعل: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن، إلى القوة الرابعة يساوي مليونًا. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة أس أربعة هو أو.

الآن أنت تعلم أنه من خلال رفع الرقم إلى قوة ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعونا نلقي نظرة أخرى على ما يمكنك فعله بالدرجات العلمية وما تحتاج إلى معرفته عنها.

مصطلحات ومفاهيم... حتى لا نلتبس

لذلك، أولا، دعونا نحدد المفاهيم. هل تعتقد ما هو الأس؟ الأمر بسيط جدًا - إنه الرقم الموجود "في أعلى" قوة الرقم. ليست علمية، ولكنها واضحة وسهلة التذكر.

حسنا، في نفس الوقت، ماذا مثل هذا الأساس درجة؟ والأبسط من ذلك هو الرقم الموجود أدناه في القاعدة.

هنا رسم لحسن التدبير.

حسنًا، بشكل عام، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل... الدرجة ذات الأساس "" والأس "" تقرأ على أنها "إلى الدرجة" وتكتب على النحو التالي:

قوة الرقم مع الأس الطبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأعداد الطبيعية هي تلك الأعداد التي تستخدم في العد عند سرد الأشياء: واحد، اثنان، ثلاثة... عندما نعد الأشياء، لا نقول: "ناقص خمسة"، "ناقص ستة"، "ناقص سبعة". كما أننا لا نقول: «الثلث»، أو «صفر نقطة خمسة». هذه ليست أرقاما طبيعية. ما هي هذه الأرقام في نظرك؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة"، و"ناقص ستة"، و"ناقص سبعة". أعداد كاملة.بشكل عام، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية، والأرقام المقابلة للأعداد الطبيعية (أي، المأخوذة بعلامة الطرح)، والعدد. من السهل فهم الصفر - فهو يحدث عندما لا يكون هناك شيء. ماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للإشارة إلى الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أرقام عقلانية. كيف نشأت، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين، اكتشف أسلافنا أنهم يفتقرون إلى الأرقام الطبيعية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى ذلك أرقام عقلانية... مثير للاهتمام، أليس كذلك؟

هناك أيضًا أرقام غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار، إنه كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها، فستحصل على رقم غير نسبي.

سيرة ذاتية:

دعونا نحدد مفهوم الدرجة التي أسها عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. تربيع الرقم يعني ضربه في نفسه:
3. تكعيب الرقم يعني ضربه في نفسه ثلاث مرات:

تعريف.رفع العدد إلى قوة طبيعية يعني ضرب العدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجات

ومن أين أتت هذه العقارات؟ سأريكم الآن.

دعونا نرى: ما هو و ?

حسب التعريف:

كم عدد المضاعفات الموجودة في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا مضاعفات إلى العوامل، وكانت النتيجة مضاعفات.

لكن بحكم التعريف، هذه قوة عدد ذات أس، أي: وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال: تبسيط التعبير.

حل:

مثال:بسّط التعبير.

حل:ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب!
ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

2. هذا كل شيء القوة رقم

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي:

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟

ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟

في صلاحيات مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها قوى الأعداد الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟ مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. ولكن إذا تضاعفنا، فإنه يعمل.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تمكنت؟

وإليك الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى، أتمنى أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

مثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة للممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات! نحصل على:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل هذا؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين.

ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟

دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذا، قمنا بضرب العدد في، وحصلنا على نفس النتيجة - . ما هو الرقم الذي يجب أن تضرب فيه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

دعونا نكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).

من ناحية، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مدى ضرب الصفر في حد ذاته، فستظل تحصل على الصفر، فمن الواضح. لكن من ناحية أخرى، مثل أي عدد أس صفر، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما مدى صحة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التدخل ورفضوا رفع الصفر إلى الأس صفر. وهذا هو، الآن لا يمكننا القسمة على الصفر فحسب، بل نرفعه أيضا إلى قوة الصفر.

دعونا نمضي قدما. بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية والأعداد، تتضمن الأعداد الصحيحة أيضًا أرقامًا سالبة. لفهم ما هي القوة السالبة، دعونا نفعل كما في المرة السابقة: ضرب عدد عادي في نفس الرقم إلى قوة سالبة:

من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:

الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك، دعونا صياغة القاعدة:

الرقم الذي له قوة سالبة هو مقلوب نفس الرقم الذي له قوة موجبة. ولكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنك لا تستطيع القسمة على).

دعونا نلخص:

I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. إذا، ثم.

ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا أسًا سالبًا هو معكوس نفس العدد أسًا موجبًا: .

مهام الحل المستقل:

حسنًا، كالعادة، أمثلة للحلول المستقلة:

تحليل المشاكل للحل المستقل:

أعلم، أعلم أن الأرقام مخيفة، ولكن في امتحان الدولة الموحدة، عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! قم بحل هذه الأمثلة أو تحليل حلولها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.

الآن دعونا نفكر أرقام عقلانية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.

لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:

لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":

ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.

أي أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .

اتضح ذلك. ومن الواضح أن هذه الحالة الخاصة يمكن توسيعها: .

الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

دعونا نتذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو عدد موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص حتى الجذور من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أنه لا يمكن رفع هذه الأرقام إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل العدد على شكل كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.

واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، لكن هذين مجرد سجلين مختلفين لنفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة، يمكنك كتابتها. لكن إذا كتبنا المؤشر بشكل مختلف، فسنقع في مشكلة مرة أخرى: (أي أننا حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.

لذلك إذا:

• — عدد طبيعي
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:

5 أمثلة للممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء

بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث تكون أعداد صحيحة (أي أن الأرقام غير المنطقية هي جميع الأرقام الحقيقية باستثناء الأرقام العقلانية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛

...العدد إلى القوة صفر- يبدو أن هذا رقم مضروب في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة هي مجرد "رقم فارغ" معين. ، أي رقم؛

...درجة عدد صحيح سلبي- يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يُضرب في نفسه، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))

على سبيل المثال:

قرر بنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة لرفع قوة إلى قوة:

انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

اتضح أن:

إجابة: .

2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

المستوى المتقدم

تحديد الدرجة

الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)

رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:

الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

بناء إلى درجة الصفر:

التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنك لا تستطيع القسمة على).

مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. إذا، ثم.

أمثلة:

القوة مع الأس العقلاني

• — عدد طبيعي
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

خصائص الدرجات

ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

حسب التعريف:

لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:

لكن بحكم التعريف فهي قوة عدد لها أس، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

حل : .

مثال : تبسيط التعبير.

حل : ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب. ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعونا نعيد تجميع هذا العمل على النحو التالي:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية.

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأمر مؤشردرجات. ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟ في صلاحيات طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها قوى الأعداد الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟

مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. لكن إذا ضربنا في () نحصل على - .

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. ويمكن صياغة القواعد البسيطة التالية:

1. حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
2. تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
3. الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
4. صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تمكنت؟ وهنا الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا عليك معرفة أيهما أقل: أم؟ وإذا تذكرنا ذلك، يتبين أن ذلك يعني أن الأساس أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة الثانية: النتيجة ستكون سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل أن ننظر إلى القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.

حساب التعبيرات:

الحلول :

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات!

نحصل على:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة 3، ولكن كيف؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن اتضح مثل هذا:

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين. ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!ولا يمكنك استبداله بتغيير عيب واحد فقط لا نحبه!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

والآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:

حسنًا، الآن دعونا نفتح الأقواس. كم عدد الحروف هناك في المجموع؟ مرات بالمضاعفات - بماذا يذكرك هذا؟ وهذا ليس أكثر من تعريف للعملية الضرب: لم يكن هناك سوى مضاعفات هناك. وهذا هو، بحكم التعريف، قوة الرقم مع الأس:

مثال:

درجة مع الأس غير عقلاني

بالإضافة إلى معلومات حول درجات المستوى المتوسط، سنقوم بتحليل الدرجة ذات الأس غير العقلاني. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، باستثناء - بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث و هي أعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير النسبية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأعداد النسبية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛ الرقم أس صفر هو كما لو كان رقمًا مضروبًا في نفسه مرات، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى عدد معين "رقم فارغ"، أي رقم؛ الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح - يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يتم ضربه بنفسه، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). إنه بالأحرى كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا. لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

فماذا نفعل إذا رأينا أسًا غير نسبي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه!

على سبيل المثال:

قرر بنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
2. نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
3. لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغ الأساسية

درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

القوة مع الأس العقلاني

الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.

درجة مع الأس غير عقلاني

الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.

خصائص الدرجات

مميزات الدرجات.

• تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
• تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
• الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك الكلمة...

كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.

ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

وبالتوفيق في امتحاناتك!