الوضع والوسيط للمتغير العشوائي. الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية

بالإضافة إلى التوقع الرياضي والتشتت، تستخدم نظرية الاحتمالات عددًا من الخصائص العددية التي تعكس سمات معينة للتوزيع.

تعريف. أزياء مو(X) متغير عشوائي X هي القيمة الأكثر احتمالا(الذي الاحتمال ص زأو كثافة الاحتمال

إذا وصلت الكثافة الاحتمالية أو الاحتمالية إلى الحد الأقصى ليس عند نقطة واحدة، بل عند عدة نقاط، فسيتم استدعاء التوزيع الوسائط المتعددة(الشكل 3.13).

موضة طحلب)،عند أي احتمال ع(أو يتم استدعاء كثافة الاحتمال (p(x) تصل إلى الحد الأقصى العالمي المعنى على الأرجحالمتغير العشوائي (في الشكل 3.13 هذا هو مو (X) 2).

تعريف. الوسيط Ме(Х) للمتغير العشوائي المستمر X هو قيمته, من أجل ذلك

أولئك. احتمال المتغير العشوائي Xسوف تأخذ قيمة أقل من المتوسط الفراء)أو أكبر منه هو نفسه ويساوي 1/2. خط مستقيم عمودي هندسيا X = الفراء) ، مروراً بنقطة بها حد كبير يساوي الفراء) ، يقسم مساحة شكل اليود لمنحنى التوزيع إلى جزأين متساويين (الشكل 3.14). من الواضح، عند هذه النقطة X = الفراء)دالة التوزيع تساوي 1/2، أي. ف(أنا(X))= 1/2 (الشكل 3.15).

ملحوظة خاصية مهمةمتوسط ​​المتغير العشوائي: توقع رياضي القيمة المطلقةإن انحراف المتغير العشوائي X عن القيمة الثابتة C يكون في حده الأدنى إذن, عندما يكون هذا الثابت C مساوياً للوسيط Me(X) = m، أي.

(الخاصية مشابهة لخاصية (3.10") مربع الحد الأدنى لانحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي).

س مثال 3.15. أوجد المنوال والمتوسط ​​والتوقع الرياضي لمتغير عشوائي X سكثافة الاحتمال f(x) = 3x 2 لـ xx.

حل.يظهر منحنى التوزيع في الشكل. 3.16. من الواضح أن كثافة الاحتمال φ(x) هي الحد الأقصى عند X= مو(س) = 1.

متوسط الفراء) = ب نجد من الشرط (3.28):

أين

لنحسب التوقع الرياضي باستخدام الصيغة (3.25):

الترتيب المتبادل للنقاط م(X)>أنا(X) و طحلب) بترتيب تصاعدي للإحداثي السيني كما هو موضح في الشكل. 3.16. ؟

جنبا إلى جنب مع الخصائص العددية المذكورة أعلاه، يتم استخدام مفهوم الكميات والنقاط المئوية لوصف متغير عشوائي.

تعريف. المستوى الكمي y-الكمية )

تسمى هذه القيمة x q للمتغير العشوائي , حيث تأخذ دالة التوزيع الخاصة بها قيمة مساوية لـ د، أي.

حصلت بعض الكميات على اسم خاص. ومن الواضح أن ما ورد أعلاه قدم متوسط المتغير العشوائي هو كمية من المستوى 0.5، أي. أنا(X) = × 05. تمت تسمية الكميات dg 0 2 5 وx 075 على التوالي أدنى و الربع العلوي ك

يرتبط المفهوم ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الكم نقطة مئوية.تحت نقطة YuOuHo-نوي الكمية ضمنية س س (( , أولئك. مثل هذه القيمة لمتغير عشوائي X، فيه

0 مثال 3.16. بناءً على البيانات الواردة في المثال 3.15، أوجد الكمية × 03 ونقطة 30% للمتغير العشوائي X.

حل. وفقا للصيغة (3.23) دالة التوزيع

نجد الكمية 0 s من المعادلة (3.29)، أي. × 3 دولار =0.3، حيث L "oz -0.67. لنجد نقطة 30% للمتغير العشوائي X، أو الكمية × 0 7، من مكافئ. س 7 دولار = 0.7، من حيث × 0 7 «0.89. ؟

من بين الخصائص العددية للمتغير العشوائي معنى خاصلديك لحظات - الأولية والمركزية.

تعريف. لحظة البدايةيسمى الترتيب k للمتغير العشوائي X بالتوقع الرياضي الدرجة العاشرةهذه القيمة :

تعريف. لحظة مركزيةالترتيب k للمتغير العشوائي X هو التوقع الرياضي لدرجة k لانحراف المتغير العشوائي X عن توقعه الرياضي:

صيغ لحساب اللحظات للمتغيرات العشوائية المنفصلة (أخذ القيم × 1 مع الاحتمالات p،) والمستمرة (مع كثافة الاحتمالية cp(x)) موضحة في الجدول. 3.1.

الجدول 3.1

من السهل ملاحظة ذلك عندما ك = 1 اللحظة الأولية الأولى لمتغير عشوائي Xهو توقعها الرياضي، أي. ح س = م[س) = أ،في ل= 2 ثانية لحظة مركزية - التشتت، أي. ص2= ت)(س).

يمكن التعبير عن اللحظات المركزية p A من خلال اللحظات الأولية ولكن من خلال الصيغ:

إلخ.

على سبيل المثال، ج3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (أثناء الاشتقاق أخذنا في الاعتبار ذلك أ = م (س)= V، هي قيمة غير عشوائية). ؟

وقد لوحظ أعلاه أن التوقع الرياضي م (س)،أو اللحظة الأولية الأولى، تميز متوسط ​​القيمة أو الموضع، مركز توزيع متغير عشوائي Xعلى محور العدد تشتت أوه)،أو اللحظة المركزية الثانية ص 2، - s t s - جذع تشتت التوزيع Xنسبياً م (س).للمزيد وصف تفصيليالتوزيعات بمثابة لحظات من الطلبات العليا.

النقطة المركزية الثالثةتعمل p 3 على تحديد عدم تناسق (التواء) التوزيع. لديها البعد مكعب عشوائي. للحصول على كمية بلا أبعاد، يتم قسمتها على o 3، حيث a هو المتوسط الانحراف المعياريمتغير عشوائي X.القيمة الناتجة أمُسَمًّى معامل عدم التماثل لمتغير عشوائي.

إذا كان التوزيع متماثلا بالنسبة للتوقع الرياضي، فإن معامل عدم التماثل A = 0.

في الشكل. يوضح الشكل 3.17 منحنيين للتوزيع: I وII. المنحنى I له عدم تناسق إيجابي (الجانب الأيمن) (L > 0)، والمنحنى II له عدم تناسق سلبي (الجانب الأيسر) (L

النقطة المركزية الرابعة تعمل الصفحة 4 على تحديد درجة الانحدار (الحدة أو التسطيح) للتوزيع.

من بين الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية، من الضروري أولاً ملاحظة تلك التي تميز موضع المتغير العشوائي على المحور العددي، أي. تشير إلى بعض القيمة المتوسطة التقريبية التي يتم حولها تجميع جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي.

القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي هي رقم معين، كما لو كان "ممثله" ويحل محله في حسابات تقريبية تقريبًا. عندما نقول: "متوسط ​​مدة تشغيل المصباح 100 ساعة" أو "متوسط ​​نقطة الارتطام مزاح بالنسبة للهدف بمقدار 2 متر إلى اليمين"، فإننا نشير إلى خاصية عددية معينة لمتغير عشوائي يصف موقعه على المحور العددي، أي. "خصائص الموقف".

من خصائص الموضع في نظرية الاحتمالات دور حيوييلعب التوقع الرياضي لمتغير عشوائي، والذي يسمى أحيانًا ببساطة متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي.

لنفكر في متغير عشوائي منفصل له قيم محتملة مع احتمالات. نحتاج إلى أن نوصف برقم ما موضع قيم المتغير العشوائي على المحور السيني، مع الأخذ في الاعتبار أن هذه القيم لها احتمالات مختلفة. ولهذا الغرض، من الطبيعي استخدام ما يسمى "المتوسط ​​المرجح" للقيم، ويجب أن تؤخذ كل قيمة أثناء المتوسط ​​في الاعتبار مع "وزن" يتناسب مع احتمالية هذه القيمة. وهكذا نقوم بحساب متوسط ​​المتغير العشوائي والذي سنرمز له بالرمز التالي:

أو بالنظر إلى ذلك،

. (5.6.1)

ويسمى هذا المتوسط ​​المرجح بالتوقع الرياضي للمتغير العشوائي. وهكذا، قدمنا ​​​​في الاعتبار واحدة من أهم المفاهيمنظرية الاحتمالات - مفهوم التوقع الرياضي.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالات هذه القيم.

لاحظ أنه في الصيغة أعلاه، تعريف التوقع الرياضي صالح، بالمعنى الدقيق للكلمة، فقط للمتغيرات العشوائية المنفصلة؛ وفيما يلي سنعمم هذا المفهوم على حالة الكميات المستمرة.

ولكي يصبح مفهوم التوقع الرياضي أكثر وضوحا، دعونا ننتقل إلى التفسير الميكانيكي لتوزيع المتغير العشوائي المنفصل. يجب أن تكون هناك نقاط ذات حدود حدودية على محور الإحداثي السيني، حيث تتركز الجماهير، على التوالي، و . ومن ثم، فمن الواضح أن التوقع الرياضي الذي تحدده الصيغة (5.6.1) ليس أكثر من مجرد حد لمركز ثقل نظام معين من النقاط المادية.

يرتبط التوقع الرياضي للمتغير العشوائي باعتماد خاص مع الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي عند عدد كبيرالتجارب. وهذا الاعتماد هو من نفس نوع الاعتماد بين التكرار والاحتمال، أي: مع عدد كبير من التجارب، يقترب الوسط الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي (يتقارب في الاحتمالية) من توقعه الرياضي. ومن وجود علاقة بين التكرار والاحتمال يمكن استنتاج وجود علاقة مماثلة بين الوسط الحسابي والتوقع الرياضي.

في الواقع، فكر في متغير عشوائي منفصل يتميز بسلسلة التوزيع:

أين .

دعونا نجري تجارب مستقلة، في كل منها تأخذ الكمية قيمة معينة. لنفترض أن القيمة ظهرت مرة واحدة، والقيمة ظهرت مرة واحدة، والقيمة ظهرت مرة واحدة. بوضوح،

دعونا نحسب الوسط الحسابي للقيم المرصودة للكمية، والتي نشير إليها، على عكس التوقع الرياضي، بما يلي:

ولكن لا يوجد شيء أكثر من تكرار (أو احتمالية إحصائية) لحدث ما؛ يمكن تعيين هذا التردد . ثم

,

أولئك. الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي يساوي مجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي وتكرارات هذه القيم.

ومع زيادة عدد التجارب، فإن الترددات سوف تقترب (تتقارب في الاحتمالية) من الاحتمالات المقابلة. وبالتالي فإن الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي سوف يقترب (يتقارب في الاحتمالية) من توقعه الرياضي مع زيادة عدد التجارب.

تشكل العلاقة بين الوسط الحسابي والتوقع الرياضي المذكورة أعلاه محتوى أحد أشكال القانون أعداد كبيرة. وسنقدم دليلاً صارمًا على هذا القانون في الفصل 13.

نحن نعلم بالفعل أن جميع أشكال قانون الأعداد الكبيرة تنص على حقيقة أن بعض المتوسطات تكون مستقرة على مدى عدد كبير من التجارب. هنا نحن نتحدث عنهعلى ثبات الوسط الحسابي من خلال سلسلة من المشاهدات بنفس الكمية. مع عدد قليل من التجارب، يكون المتوسط ​​الحسابي لنتائجها عشوائيًا؛ مع زيادة كافية في عدد التجارب، تصبح "غير عشوائية تقريبًا" وتقترب من التثبيت قيمة ثابتة- التوقع الرياضي.

يمكن بسهولة التحقق من استقرار المتوسطات على عدد كبير من التجارب تجريبيا. على سبيل المثال، عند وزن الجسم في المختبر مقاييس دقيقةونتيجة الوزن نحصل على قيمة جديدة في كل مرة؛ لتقليل خطأ الملاحظة، نقوم بوزن الجسم عدة مرات ونستخدم الوسط الحسابي للقيم التي تم الحصول عليها. من السهل أن نرى أنه مع زيادة أخرى في عدد التجارب (الوزن)، يتفاعل الوسط الحسابي مع هذه الزيادة بشكل أقل وأقل، ومع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب، يتوقف عمليا عن التغيير.

تتوافق الصيغة (5.6.1) للتوقع الرياضي مع حالة المتغير العشوائي المنفصل. ل قيمة مستمرةوبطبيعة الحال، لا يتم التعبير عن التوقع الرياضي كمجموع، بل كتكامل:

, (5.6.2)

أين هي كثافة التوزيع للكمية.

يتم الحصول على الصيغة (5.6.2) من الصيغة (5.6.1) إذا قمنا باستبدالها القيم الفرديةالمعلمة المتغيرة باستمرار x، الاحتمالات المقابلة هي عنصر الاحتمال، المبلغ النهائي- أساسي. في المستقبل، سوف نستخدم غالبًا هذه الطريقة لتوسيع الصيغ المشتقة للكميات غير المتصلة إلى حالة الكميات المستمرة.

في التفسير الميكانيكي، يحتفظ التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر بنفس المعنى - حدود مركز الثقل في حالة توزيع الكتلة على طول الحدود بشكل مستمر، بكثافة . هذا التفسير غالبا ما يسمح بإيجاد التوقع الرياضي دون حساب التكامل (5.6.2)، من الاعتبارات الميكانيكية البسيطة.

أعلاه قدمنا ​​تدوينًا للتوقع الرياضي للكمية. في عدد من الحالات، عندما يتم تضمين كمية في الصيغ كرقم محدد، يكون من الملائم أكثر الإشارة إليها بحرف واحد. في هذه الحالات، سوف نشير إلى التوقع الرياضي للقيمة من خلال:

سيتم استخدام الرموز والتوقعات الرياضية بالتوازي في المستقبل، اعتمادًا على ملاءمة تسجيل معين للصيغ. ولنتفق أيضًا، إذا لزم الأمر، على اختصار عبارة "التوقع الرياضي" بالحرفين m.o.

وتجدر الإشارة إلى أن أهم خاصية للموقف - التوقع الرياضي - لا توجد لجميع المتغيرات العشوائية. من الممكن تكوين أمثلة على هذه المتغيرات العشوائية التي لا يوجد لها توقع رياضي، حيث أن المجموع المقابل أو التكامل يتباعد.

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، متغير عشوائي متقطع مع سلسلة التوزيع:

ومن السهل التحقق من ذلك، أي. سلسلة التوزيع منطقية؛ ومع ذلك المبلغ في في هذه الحالةتتباعد وبالتالي لا يوجد توقع رياضي للقيمة. ومع ذلك، فإن مثل هذه الحالات ليست ذات أهمية كبيرة للممارسة. عادة ما تكون المتغيرات العشوائية التي نتعامل معها منطقة محدودة القيم الممكنةوبالطبع، لديك توقعات رياضية.

أعلاه أعطينا الصيغتين (5.6.1) و (5.6.2)، معبرتين عن التوقع الرياضي، على التوالي، لمتغير عشوائي متقطع ومستمر.

إذا كانت الكمية تنتمي إلى الكميات نوع مختلط، ثم يتم التعبير عن توقعها الرياضي بصيغة النموذج:

, (5.6.3)

حيث يمتد المجموع إلى جميع النقاط التي تكون فيها دالة التوزيع غير متصلة، ويمتد التكامل إلى جميع المناطق التي تكون فيها دالة التوزيع متصلة.

بالإضافة إلى أهم خصائص الموقف - التوقع الرياضي - في الممارسة العملية، يتم أحيانًا استخدام خصائص أخرى للموقف، على وجه الخصوص، المنوال والوسيط للمتغير العشوائي.

نمط المتغير العشوائي هو قيمته الأكثر احتمالا. مصطلح "القيمة الأكثر احتمالا" بالمعنى الدقيق للكلمة ينطبق فقط على الكميات غير المتصلة؛ بالنسبة للكمية المستمرة، يكون الوضع هو القيمة التي تكون فيها كثافة الاحتمال الحد الأقصى. دعونا نتفق على الإشارة إلى الوضع بالحرف . في الشكل. يوضح 5.6.1 و5.6.2 الوضع للمتغيرات العشوائية المتقطعة والمستمرة، على التوالي.

إذا كان لمضلع التوزيع (منحنى التوزيع) أكثر من حد أقصى واحد، فإن التوزيع يسمى "متعدد الوسائط" (الشكل 5.6.3 و5.6.4).

في بعض الأحيان توجد توزيعات تحتوي على حد أدنى في المنتصف وليس حد أقصى (الشكل 5.6.5 و5.6.6). تسمى هذه التوزيعات "مضادة للوسائط". مثال على التوزيع المضاد للوسائط هو التوزيع الذي تم الحصول عليه في المثال 5، رقم 5.1.

في حالة عامةلا يتطابق الوضع والتوقع الرياضي للمتغير العشوائي. في الحالة الخاصة، عندما يكون التوزيع متماثلًا ومشروطًا (أي له نمط) ويوجد توقع رياضي، فإنه يتزامن مع نمط ومركز تماثل التوزيع.

غالبًا ما يتم استخدام خاصية موضعية أخرى - ما يسمى بمتوسط ​​المتغير العشوائي. تُستخدم هذه الخاصية عادة فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة، على الرغم من أنه يمكن تعريفها رسميًا للمتغير غير المستمر.

الوسيط للمتغير العشوائي هو قيمته

أولئك. ومن المرجح أيضًا أن يكون المتغير العشوائي أقل من أو أكبر من . هندسيًا، الوسيط هو حدود النقطة التي تنقسم عندها المساحة المحددة بمنحنى التوزيع إلى النصف (الشكل 5.6.7).

التوقع الرياضي. التوقع الرياضيمتغير عشوائي منفصل X، يستضيف الرقم النهائيقيم Xأنامع الاحتمالات صأنا، ويسمى المبلغ:

التوقع الرياضيمتغير عشوائي مستمر Xويسمى تكامل منتج قيمه Xعلى كثافة التوزيع الاحتمالي و(س):

(6ب)

التكامل غير الصحيح (6 ب) من المفترض أن تكون متقاربة تمامًا (في خلاف ذلكيقولون أن التوقع الرياضي م(X) غير موجود). يتميز التوقع الرياضي متوسط ​​القيمةمتغير عشوائي X. ويتطابق بعده مع بعد المتغير العشوائي.

خصائص التوقع الرياضي:

تشتت. التباينمتغير عشوائي Xالرقم يسمى:

التباين هو خاصية التشتتقيم متغيرة عشوائية Xنسبة إلى متوسط ​​قيمته م(X). بعد التباين يساوي مربع أبعاد المتغير العشوائي. بناءً على تعريفات التباين (8) والتوقع الرياضي (5) للمتغير العشوائي المنفصل و(6) للمتغير العشوائي المستمر، نحصل على تعبيرات مماثلة للتباين:

(9)

هنا م = م(X).

خصائص التشتت:

الانحراف المعياري:

(11)

منذ البعد المتوسط انحراف مربعكما هو الحال في المتغير العشوائي، فإنه يستخدم في كثير من الأحيان كمقياس للتشتت أكثر من التباين.

لحظات التوزيع. إن مفاهيم التوقع الرياضي والتشتت هي حالات خاصة لأكثر من ذلك مفهوم عامللخصائص العددية للمتغيرات العشوائية - لحظات التوزيع. يتم تقديم لحظات توزيع المتغير العشوائي كتوقعات رياضية لبعض الدوال البسيطة للمتغير العشوائي. إذن، لحظة النظام كنسبة إلى النقطة X 0 يسمى التوقع الرياضي م(X–X 0 )ك. لحظات حول الأصل X= 0 يتم استدعاؤها اللحظات الأولية ويتم تعيينها:

(12)

اللحظة الأولية للترتيب الأول هي مركز توزيع المتغير العشوائي قيد النظر:

(13)

لحظات حول مركز التوزيع X= ميتم استدعاؤها النقاط المركزيةويتم تعيينها:

(14)

من (7) يترتب على ذلك أن اللحظة المركزية من الدرجة الأولى تكون دائمًا يساوي الصفر:

العزوم المركزية لا تعتمد على أصل قيم المتغير العشوائي، إذ عند إزاحتها قيمة ثابتة معيتغير مركز التوزيع بنفس القيمة معولا يتغير الانحراف عن المركز: X – م = (X – مع) – (م – مع).
الآن أصبح من الواضح ذلك تشتت- هذا اللحظة المركزية من الدرجة الثانية:

عدم التماثل. اللحظة المركزية من الدرجة الثالثة:

(17)

يخدم للتقييم عدم تناسق التوزيع. إذا كان التوزيع متماثلا حول هذه النقطة X= مفإن العزم المركزي للرتبة الثالثة سيكون مساويًا للصفر (مثل كل العزوم المركزية للرتب الفردية). لذلك، إذا كانت العزم المركزي من الدرجة الثالثة مختلفًا عن الصفر، فلا يمكن أن يكون التوزيع متماثلًا. يتم تقييم حجم عدم التماثل باستخدام الأبعاد معامل عدم التماثل:

(18)

تشير علامة معامل عدم التماثل (18) إلى عدم تناسق الجانب الأيمن أو الأيسر (الشكل 2).

أرز. 2. أنواع عدم تناسق التوزيع.

إفراط. اللحظة المركزية من الدرجة الرابعة:

(19)

يعمل على تقييم ما يسمى إفراط، الذي يحدد درجة الانحدار (الوضوح) لمنحنى التوزيع بالقرب من مركز التوزيع بالنسبة للمنحنى التوزيع الطبيعي. نظرًا لأنه بالنسبة للتوزيع الطبيعي، فإن القيمة المأخوذة للتفرطح هي:

(20)

في الشكل. 3 يظهر أمثلة على منحنيات التوزيع مع معاني مختلفةإفراط. للتوزيع الطبيعي ه= 0. المنحنيات التي تبلغ ذروتها أكثر من المعتاد يكون لها تتفلح إيجابي، وتلك التي تكون ذات قمة مسطحة أكثر يكون لها تتفلح سلبي.

أرز. 3. منحنيات التوزيع مع بدرجات متفاوتةالبرودة (الزائدة).

لحظات الترتيب العالي في التطبيقات الهندسية الإحصائيات الرياضيةعادة لا تستخدم.

موضة منفصلةالمتغير العشوائي هو قيمته الأكثر احتمالا. موضة مستمرالمتغير العشوائي هو قيمته التي تكون فيها كثافة الاحتمال القصوى (الشكل 2). إذا كان لمنحنى التوزيع حد أقصى واحد، فسيتم استدعاء التوزيع com.unimodal. إذا كان لمنحنى التوزيع أكثر من حد أقصى واحد، فسيتم استدعاء التوزيع الوسائط المتعددة. في بعض الأحيان توجد توزيعات تحتوي منحنياتها على حد أدنى وليس حد أقصى. تسمى هذه التوزيعات مضاد للوسائط. في الحالة العامة، لا يتطابق الوضع والتوقع الرياضي للمتغير العشوائي. وفي حالة خاصة، ل مشروط، أي. وجود نمط، توزيع متماثل، وبشرط وجود توقع رياضي، فإن الأخير يتزامن مع نمط ومركز تناظر التوزيع.

متوسط متغير عشوائي X- وهذا هو معناها مه، والتي تقوم عليها المساواة: أي. فمن المحتمل أيضا أن المتغير العشوائي Xسيكون أقل أو أكثر مه. هندسيا متوسطهي النقطة التي تنقسم عندها المنطقة الواقعة تحت منحنى التوزيع إلى النصف (الشكل 2). في حالة التوزيع النموذجي المتماثل، يكون الوسيط والوضع والتوقع الرياضي متماثلين.