المتوالية الهندسية هي متوالية عددية حدها الأول يختلف عن الصفر، وكل حد لاحق يساوي الحد السابق مضروبا في نفس لا يساوي الصفررقم.
مفهوم التقدم الهندسي
يُشار إلى التقدم الهندسي بـ b1، b2، b3، …، bn، ….
نسبة أي حد من الخطأ الهندسي إلى حده السابق تساوي نفس العدد، أي b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( ن+1)/مليار = … . وهذا يتبع مباشرة من التعريف التقدم الحسابي. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي. عادةً ما يُشار إلى مقام التقدم الهندسي بالحرف q.
مجموع المتتابعة الهندسية اللانهائية لـ |q|<1
إحدى طرق تحديد المتوالية الهندسية هي تحديد حدها الأول b1 ومقام الخطأ الهندسي q. على سبيل المثال، ب1=4، س=-2. يحدد هذان الشرطان التقدم الهندسي 4، -8، 16، -32، ….
إذا كانت q>0 (q لا تساوي 1)، فإن التقدم يكون تسلسل رتيب. على سبيل المثال، المتتابعة 2، 4،8،16،32، ... هي متوالية متزايدة بشكل رتيب (b1=2، q=2).
إذا كان المقام في الخطأ الهندسي هو q=1، فإن جميع حدود المتوالية الهندسية ستكون متساوية مع بعضها البعض. في مثل هذه الحالات، يقال إن التقدم هو تسلسل ثابت.
لكي تكون المتوالية العددية (bn) متتابعة هندسية، يجب أن يكون كل عضو من أعضائها، بدءاً من الثاني، هو الوسط الهندسي للأعضاء المجاورة. أي أنه من الضروري تحقيق المعادلة التالية
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2)، لأي n>0، حيث ينتمي n إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N.
الآن لنضع (Xn) - التقدم الهندسي. مقام التقدم الهندسي q، و |q|∞).
إذا كنا نشير الآن بـ S إلى مجموع المتوالية الهندسية اللانهائية، فسيكون لدينا الصيغة التالية:
ق=x1/(1-ف).
دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط:
أوجد مجموع المتتابعة الهندسية اللانهائية 2، -2/3، 2/9، - 2/27، ….
للعثور على S، نستخدم صيغة مجموع التقدم الحسابي اللانهائي. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
إذا كان لكل عدد طبيعي ن تطابق عدد حقيقي ن ، ثم يقولون أنه أعطى تسلسل رقمي :
أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , ن , . . . .
لذا، فإن التسلسل الرقمي هو دالة للوسيطة الطبيعية.
رقم أ 1 مُسَمًّى أول عضو في التسلسل رقم أ 2 — الحد الثاني من المتتابعة ، رقم أ 3 — ثالث وهكذا. رقم ن مُسَمًّى الفصل الدراسي التاسعتسلسلات ، وعدد طبيعي ن — رقمه .
من عضوين متجاورين ن و ن +1 عضو التسلسل ن +1 مُسَمًّى تالي (نسبة إلى ن )، أ ن — سابق (نسبة إلى ن +1 ).
لتحديد تسلسل، تحتاج إلى تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو في التسلسل بأي رقم.
في كثير من الأحيان يتم تحديد التسلسل باستخدام صيغ المصطلح n ، وهي صيغة تسمح لك بتحديد عضو في التسلسل من خلال رقمه.
على سبيل المثال،
تسلسل إيجابي أرقام غريبةيمكن أن تعطى بواسطة الصيغة
ن= 2ن- 1,
وتسلسل التناوب 1 و -1 - صيغة
بن = (-1)ن +1 . ◄
يمكن تحديد التسلسل صيغة متكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في المتوالية، ابتداءً من البعض، مروراً بالعضو السابق (واحد أو أكثر).
على سبيل المثال،
لو أ 1 = 1 ، أ ن +1 = ن + 5
أ 1 = 1,
أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
لو أ 1= 1, 2 = 1, ن +2 = ن + ن +1 , ثم الأعضاء السبعة الأوائل تسلسل رقميتثبيت على النحو التالي:
أ 1 = 1,
2 = 1,
أ 3 = أ 1 + 2 = 1 + 1 = 2,
أ 4 = 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,
5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,
أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,
أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄
يمكن أن تكون تسلسلات أخير و لا نهاية لها .
يسمى التسلسل ذروة إذا كان لديها الرقم النهائيأعضاء. يسمى التسلسل لا نهاية لها إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.
على سبيل المثال،
تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
أخير.
تسلسل الأعداد الأولية:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
لا نهاية لها. ◄
يسمى التسلسل زيادة إذا كان كل عضو من أعضائه ابتداء من الثاني أكبر من الذي قبله.
يسمى التسلسل متناقص إذا كان كل عضو من أعضائه ابتداء من الثاني أقل من سابقه.
على سبيل المثال،
2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . - تسلسل متزايد؛
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . - تسلسل تنازلي. ◄
يسمى التسلسل الذي لا تنخفض عناصره مع زيادة العدد، أو على العكس من ذلك، لا تزيد تسلسل رتيب .
التسلسلات الرتيبة، على وجه الخصوص، هي تسلسلات متزايدة وتسلسلات متناقصة.
التقدم الحسابي
التقدم الحسابي هو تسلسل يكون فيه كل عضو، بدءًا من الثاني، مساويًا للعضو السابق، والذي يضاف إليه نفس الرقم.
أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , ن, . . .
هو تقدم حسابي إن وجد عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:
ن +1 = ن + د,
أين د - عدد معين .
وبالتالي، فإن الفرق بين الحدود اللاحقة والسابقة لتقدم حسابي معين يكون دائمًا ثابتًا:
2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = ن +1 - ن = د.
رقم د مُسَمًّى اختلاف التقدم الحسابي.
لتحديد التقدم الحسابي، يكفي الإشارة إلى الحد الأول والفرق.
على سبيل المثال،
لو أ 1 = 3, د = 4 ، فنجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة كما يلي:
أ 1 =3,
2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,
أ 3 = 2 + د= 7 + 4 = 11,
أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,
أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄
للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والفرق د ها ن
ن = أ 1 + (ن- 1)د.
على سبيل المثال،
أوجد الحد الثلاثين للمتتابعة الحسابية
1, 4, 7, 10, . . .
أ 1 =1, د = 3,
30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄
ن-1 = أ 1 + (ن- 2)د،
ن= أ 1 + (ن- 1)د،
ن +1 = أ 1 + اختصار الثاني,
ثم من الواضح
| ن=
| ن-1 + ن+1
|
| 2
|
كل عضو في المتوالية الحسابية، ابتداء من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.
الأرقام a وb وc هي حدود متتالية لبعض التقدم الحسابي إذا وفقط إذا كان أحدها يساوي الوسط الحسابي للاثنين الآخرين.
على سبيل المثال،
ن = 2ن- 7 ، هو التقدم الحسابي.
دعونا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:
ن = 2ن- 7,
ن-1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,
ن+1 = 2(ن+ 1) - 7 = 2ن- 5.
لذلك،
| ن+1 + ن-1
| =
| 2ن- 5 + 2ن- 9
| = 2ن- 7 = ن,
|
| 2
| 2
|
◄
لاحظ أن ن يمكن العثور على الحد العاشر للتقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة ك
ن = ك + (ن- ك)د.
على سبيل المثال،
ل أ 5 يمكن كتابتها
5 = أ 1 + 4د,
5 = 2 + 3د,
5 = أ 3 + 2د,
5 = أ 4 + د. ◄
ن = ن ك + دينار كويتي,
ن = ن+ك - دينار كويتي,
ثم من الواضح
| ن=
| أ ن-ك
+أ ن + ك
|
| 2
|
أي عضو في المتوالية الحسابية، ابتداء من الثاني، يساوي نصف مجموع أعضاء هذه المتوالية الحسابية المتباعدة عنه بشكل متساو.
بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأي تقدم حسابي، فإن المساواة التالية تحمل:
أ م + أ ن = أ ك + أ ل,
م + ن = ك + ل.
على سبيل المثال،
في التقدم الحسابي
1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;
2) 28 = 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28؛
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;
4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن
أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,
أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄
س ن= أ 1 + أ 2 + أ 3 + . . .+ ن,
أولاً ن شروط التقدم الحسابي تساوي منتج نصف مجموع الحدود المتطرفة وعدد الحدود:
من هنا، على وجه الخصوص، يترتب على ذلك أنه إذا كنت بحاجة إلى جمع الحدود
ك, ك +1 , . . . , ن,
ثم تحتفظ الصيغة السابقة ببنيتها:
على سبيل المثال،
في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
إذا تم إعطاء تقدم حسابي، ثم الكميات أ 1 , ن, د, نوس ن متصلة بواسطة صيغتين:
لذلك، إذا معاني ثلاثةمن هذه الكميات، ثم يتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.
التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. في هذه الحالة:
- لو د > 0 ، فهو في ازدياد؛
- لو د < 0 ، فهو يتناقص؛
- لو د = 0 ، فإن التسلسل سيكون ثابتا.
التقدم الهندسي
التقدم الهندسي هو تسلسل يكون فيه كل عضو بدءًا من الثاني يساوي العضو السابق مضروبًا في نفس العدد.
ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .
هو تقدم هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:
ب ن +1 = ب ن · س,
أين س ≠ 0 - عدد معين .
وبالتالي، فإن نسبة الحد اللاحق لمتوالية هندسية معينة إلى الحد السابق هي رقم ثابت:
ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = س.
رقم س مُسَمًّى مقام التقدم الهندسي.
لتحديد المتوالية الهندسية، يكفي الإشارة إلى حدها الأول ومقامها.
على سبيل المثال،
لو ب 1 = 1, س = -3 ، فنجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة كما يلي:
ب 1 = 1,
ب 2 = ب 1 · س = 1 · (-3) = -3,
ب 3 = ب 2 · س= -3 · (-3) = 9,
ب 4 = ب 3 · س= 9 · (-3) = -27,
ب 5 = ب 4 · س= -27 · (-3) = 81. ◄
ب 1 والقاسم س ها ن يمكن العثور على الحد العاشر باستخدام الصيغة:
ب ن = ب 1 · Qn -1 .
على سبيل المثال،
أوجد الحد السابع للمتتالية الهندسية 1, 2, 4, . . .
ب 1 = 1, س = 2,
ب 7 = ب 1 · س 6 = 1 2 6 = 64. ◄
ب ن-1 = ب 1 · Qn -2 ,
ب ن = ب 1 · Qn -1 ,
ب ن +1 = ب 1 · Qn,
ثم من الواضح
ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,
فكل عضو في المتوالية الهندسية ابتداء من الثاني يساوي الوسط الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقة واللاحقة.
وبما أن العكس صحيح أيضاً، فإن العبارة التالية تقول:
الأرقام a وb وc هي حدود متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدها يساوي المنتجوالرقمان الآخران، أي أن أحد الرقمين هو الوسط الهندسي للرقمين الآخرين.
على سبيل المثال،
دعونا نثبت أن التسلسل المعطاة بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعونا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:
ب ن= -3 2 ن,
ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,
ب ن +1 = -3 2 ن +1 .
لذلك،
ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) · (-3 · 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,
مما يثبت القول المطلوب. ◄
لاحظ أن ن يمكن العثور على الحد الرابع للتقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي عضو سابق ب ك ، وهو ما يكفي لاستخدام الصيغة
ب ن = ب ك · Qn - ك.
على سبيل المثال،
ل ب 5 يمكن كتابتها
ب 5 = ب 1 · س 4 ,
ب 5 = ب 2 · س 3,
ب 5 = ب 3 · س 2,
ب 5 = ب 4 · س. ◄
ب ن = ب ك · Qn - ك,
ب ن = ب ن - ك · س ك,
ثم من الواضح
ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك
فمربع أي حد من المتوالية الهندسية، بدءًا من الثاني، يساوي حاصل ضرب الحدود المتساوية لهذا المتوالية.
بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأي تقدم هندسي، تكون المساواة صحيحة:
ب م· ب ن= ب ك· ب ل,
م+ ن= ك+ ل.
على سبيل المثال،
في التقدم الهندسي
1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;
2) 1024 = ب 11 = ب 6 · س 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;
4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن
ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,
ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄
س ن= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن
أولاً ن أعضاء التقدم الهندسي مع القاسم س ≠ 0 تحسب بواسطة الصيغة:
ومتى س = 1 - حسب الصيغة
س ن= ملحوظة: 1
لاحظ أنه إذا كنت بحاجة إلى جمع الشروط
ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,
ثم يتم استخدام الصيغة:
| س ن- س ك -1 = ب ك + ب ك +1 + . . . + ب ن = ب ك · | 1 - Qn -
ك +1
| . |
| 1 - س
|
على سبيل المثال،
في التقدم الهندسي 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
إذا تم إعطاء تقدم هندسي، ثم الكميات ب 1 , ب ن, س, نو س ن متصلة بواسطة صيغتين:
لذلك، إذا تم إعطاء قيم أي ثلاث من هذه الكميات، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.
للحصول على متوالية هندسية مع الفصل الأول ب 1 والقاسم س يحدث ما يلي خصائص الرتابة :
- ويتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:
ب 1 > 0 و س> 1;
ب 1 < 0 و 0 < س< 1;
- يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:
ب 1 > 0 و 0 < س< 1;
ب 1 < 0 و س> 1.
لو س< 0 ، فإن المتتابعة الهندسية تتناوب: حدودها مع أرقام غريبةلها نفس إشارة الحد الأول، والمصطلحات ذات الأعداد الزوجية لها الإشارة المعاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.
المنتج الأول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي باستخدام الصيغة:
ب= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .
على سبيل المثال،
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي
تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي يسمى متوالية هندسية لا نهائية معامل مقامها أقل 1 ، إنه
|س| < 1 .
لاحظ أن المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي قد لا تكون متوالية متناقصة. يناسب هذه المناسبة
1 < س< 0 .
مع هذا المقام، فإن التسلسل يتناوب. على سبيل المثال،
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي قم بتسمية الرقم الذي يقترب منه مجموع الأعداد الأولى بلا حدود ن أعضاء التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة
| س= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . = | ب 1
| . |
| 1 - س
|
على سبيل المثال،
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
العلاقة بين المتوالية الحسابية والهندسية
ترتبط التقدمات الحسابية والهندسية ارتباطًا وثيقًا. دعونا ننظر إلى مثالين فقط.
أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، الذي - التي
ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .
على سبيل المثال،
1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق 2 و
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - التقدم الهندسي مع القاسم 7 2 . ◄
ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - التقدم الهندسي مع القاسم س ، الذي - التي
سجل أ ب 1, سجل أ ب 2, سجل أ ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق سجل أس .
على سبيل المثال،
2, 12, 72, . . . - التقدم الهندسي مع القاسم 6 و
إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق إل جي 6 . ◄
يمكن حل بعض المسائل في الفيزياء والرياضيات باستخدام الخصائص سلسلة أرقام. إن أبسط تسلسلين رقميين يتم تدريسهما في المدارس هما الجبرية والهندسية. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة فاحصة على مسألة كيفية العثور على مجموع تقدم محدودالتناقص الهندسي.
التقدم الهندسي
هذه الكلمات تعني السلسلة التالية أرقام حقيقية، التي عناصرها أحقق التعبير:
هنا i هو رقم العنصر في الصف، r هو رقم ثابت، وهو ما يسمى القاسم.
يوضح هذا التعريف أنه من خلال معرفة أي عضو في التقدم ومقامه، يمكنك استعادة سلسلة الأرقام بأكملها. على سبيل المثال، إذا كان العنصر العاشر معروفًا، فإن قسمته على r تحصل على العنصر التاسع، ثم بتقسيمه مرة أخرى يحصل على العنصر الثامن وهكذا. هؤلاء تفكير بسيطاسمح لنا بكتابة تعبير صالح لسلسلة الأرقام قيد النظر:
مثال على التقدم بمقام 2 سيكون السلسلة التالية:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
إذا كان المقام يساوي -2، فسيتم الحصول على سلسلة مختلفة تمامًا:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
المتوالية الهندسية أسرع بكثير من المتوالية الجبرية، أي أن حدودها تتزايد بسرعة وتتناقص بسرعة.
مجموع شروط التقدم
لحل مشاكل عمليةغالبًا ما يتعين عليك حساب مجموع عدة عناصر من التسلسل الرقمي المعني. في هذه الحالة الصيغة التالية صالحة:
S i = أ 1 *(ص ط -1)/(ص-1)
يمكن ملاحظة أنه لحساب مجموع حدود i، فأنت بحاجة إلى معرفة رقمين فقط: a 1 وr، وهو أمر منطقي، لأنهما يحددان التسلسل بأكمله بشكل فريد.
المتوالية المتناقصة ومجموع حدودها
الآن دعونا نفكر حالة خاصة. سنفترض أن معامل المقام r لا يتجاوز واحدًا، أي -1 من المثير للاهتمام أخذ المتوالية الهندسية المتناقصة بعين الاعتبار، لأن المجموع اللانهائي لحدودها يميل إلى عدد حقيقي محدود. لنحصل على صيغة المجموع. من السهل القيام بذلك إذا قمت بكتابة التعبير عن S i الوارد في الفقرة السابقة. لدينا: S i = أ 1 *(ص ط -1)/(ص-1) دعونا نفكر في الحالة عندما يكون i->∞. بما أن معامل المقام أقل من 1، فإن رفعه إلى قوة لا نهائية سيعطينا صفرًا. يمكن التحقق من ذلك باستخدام مثال r=0.5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. ونتيجة لذلك، فإن مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة اللانهائية سوف يأخذ الشكل: تُستخدم هذه الصيغة غالبًا في الممارسة العملية، على سبيل المثال، لحساب مساحات الأشكال. كما أنها تستخدم لحل مفارقة زينون إيليا مع السلحفاة وأخيل. ومن الواضح، مع الأخذ في الاعتبار المبلغ تقدم لا نهاية لهالزيادة الهندسية (r>1) ستؤدي إلى النتيجة S ∞ = +∞. دعونا نوضح كيفية تطبيق الصيغ المذكورة أعلاه باستخدام مثال لحل المشكلة. ومن المعروف أن مجموع المتتابعة الهندسية اللانهائية هو 11. علاوة على ذلك، فإن حدها السابع أقل بـ 6 مرات من الحد الثالث. ما هو العنصر الأول في هذه السلسلة العددية؟ أولاً، دعونا نكتب تعبيرين لتحديد العنصرين السابع والثالث. نحصل على: بتقسيم التعبير الأول على الثاني والتعبير عن المقام نحصل على: أ 7 /أ 3 = ص 4 => ص = 4 √(أ 7 /أ 3) بما أن النسبة بين الحدين السابع والثالث موجودة في بيان المشكلة، فيمكنك استبدالها والعثور على r : ص = 4 √(أ 7 /أ 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894 لقد حسبنا r حتى خمس منازل عشرية. وبما أن القيمة الناتجة أقل من واحد، فإن التقدم يتناقص، مما يبرر استخدام الصيغة لمجموعها اللانهائي. لنكتب تعبير الحد الأول بدلالة المجموع S ∞: نستبدل القيم المعروفة في هذه الصيغة ونحصل على الإجابة: أ 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166. زينون إيليا هو فيلسوف يوناني مشهور عاش في القرن الخامس قبل الميلاد. ه. وقد وصل عدد من أوجهها أو مفارقاتها إلى يومنا هذا، حيث تمت صياغة مشكلة الكبير اللامتناهي والصغير اللامتناهي في الرياضيات. إحدى مفارقات زينو الشهيرة هي المنافسة بين أخيل والسلحفاة. اعتقد زينو أنه إذا أعطى أخيل بعض الأفضلية للسلحفاة في المسافة، فلن يتمكن أبدًا من اللحاق بها. على سبيل المثال، لنفترض أن أخيل يركض أسرع بعشر مرات من حيوان يزحف، وهو مثلاً على بعد 100 متر أمامه. عندما ركض المحارب مسافة 100 متر، زحفت السلحفاة مسافة 10 أمتار. وبعد أن ركضت مسافة 10 أمتار مرة أخرى، رأى أخيل أن السلحفاة تزحف مسافة متر واحد آخر. يمكنك الجدال بهذه الطريقة إلى ما لا نهاية، فالمسافة بين المتنافسين ستنخفض بالفعل، لكن السلحفاة ستكون دائمًا في المقدمة. قاد زينو إلى استنتاج مفاده أن الحركة غير موجودة، وأن كل الحركات المحيطة بالأشياء هي وهم. وبطبيعة الحال، كان الفيلسوف اليوناني القديم مخطئا. يكمن حل المفارقة في حقيقة أن مجموعًا لا حصر له من الأجزاء المتناقصة باستمرار يميل إلى عدد محدود. في الحالة أعلاه، بالنسبة للمسافة التي ركضها أخيل، نحصل على: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... وبتطبيق صيغة مجموع المتوالية الهندسية اللانهائية نحصل على: ق ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 متر توضح هذه النتيجة أن أخيل سيلحق بالسلحفاة عندما يزحف مسافة 11.111 مترًا فقط. لم يعرف اليونانيون القدماء كيفية التعامل مع الكميات اللانهائية في الرياضيات. ومع ذلك، يمكن حل هذه المفارقة إذا انتبهنا ليس إلى العدد اللانهائي من الفجوات التي يجب على أخيل التغلب عليها، ولكن إلى العدد المحدود من الخطوات التي يحتاجها العداء للوصول إلى هدفه. مواد إضافية الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف التاسع
يا رفاق، اليوم سوف نتعرف على نوع آخر من التقدم. مثال. 1,2,4,8,16... متتابعة هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحدًا، و$q=2$. مثال. 8،8،8،8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ثمانية، مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة، التقدم الهندسي له خصائص الرتابة. تمامًا كما هو الحال في المتوالية الحسابية، إذا كان عدد العناصر في المتوالية الهندسية محدودًا، فإن المتتابعة تسمى متوالية هندسية منتهية. $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$. دعونا نعود إلى الأمثلة لدينا. مثال. 1،2،4،8،16... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحد، مثال. 16,8,4,2,1,1/2… متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ستة عشر، و $q=\frac(1)(2)$. مثال. 8,8,8,8... متتابعة هندسية حيث الحد الأول يساوي ثمانية، و$q=1$. مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة، و$q=-1$. مثال. بالنظر إلى التقدم الهندسي $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $. حل. مثال. الفرق بين الحدين السابع والخامس من المتتابعة الهندسية هو 192، ومجموع الحدين الخامس والسادس من المتتابعة الهندسية هو 192. أوجد الحد العاشر من هذه المتتابعة. حل. دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$. $S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. $S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود. حل. مثال. حل. $S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$. التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل عضو مساويًا لمنتج العضوين المتجاورين في التسلسل. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود، لا يتم استيفاء هذا الشرط للفصلين الأول والأخير. معامل أي حد من المتوالية الهندسية يساوي المتوسط الهندسي للحدين المتجاورين. حل. الدرس حول هذا الموضوع "التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي" (الجبر، الصف العاشر)
الهدف من الدرس:تعريف الطلاب بنوع جديد من التسلسل - وهو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. معدات:جهاز عرض، شاشة. نوع الدرس:الدرس - التعلم موضوع جديد. تقدم الدرس أنا
. منظمة. لحظة. اذكر موضوع الدرس والغرض منه. ثانيا
. تحديث معارف الطلاب. في الصف التاسع، درست المتتابعات الحسابية والهندسية. أسئلة 1. تعريف التقدم الحسابي. (المتتابعة الحسابية هي متوالية يكون فيها كل عضو ابتداء من الثاني مساوياً للعضو السابق مضافاً إلى نفس العدد). 2. الصيغة نالحد الرابع من المتوالية الحسابية ( 3. صيغة مجموع الأول نشروط التقدم الحسابي. ( 4. تعريف التقدم الهندسي. (المتتابعة الهندسية هي سلسلة من الأعداد غير الصفرية، كل حد منها ابتداء من الثاني يساوي الحد السابق مضروبا في نفس العدد). 5. الصيغة نالحد الرابع من المتوالية الهندسية ( 6. صيغة مجموع الأول نأعضاء التقدم الهندسي. ( 7. ما هي الصيغ الأخرى التي تعرفها؟ ( 5. للتقدم الهندسي 6. للتقدم الهندسي 7. أضعافا مضاعفة ب
3
= 8
و ب
5
= 2
. يجد ب
4
. (4) 8. أضعافا مضاعفة ب
3
= 8
و ب
5
= 2
. يجد ب
1
و
س
. 9. أضعافا مضاعفة ب
3
= 8
و ب
5
= 2
. يجد س
5
. (62) ثالثا
. تعلم موضوع جديد(مظاهرة العرض). لنفترض مربعًا طول ضلعه 1. لنرسم مربعًا آخر طول ضلعه نصف حجم المربع الأول، ثم مربعًا آخر طول ضلعه نصف الثاني، ثم المربع الذي يليه، وما إلى ذلك. في كل مرة يكون جانب المربع الجديد مساوياً لنصف المربع السابق. ونتيجة لذلك، حصلنا على سلسلة من جوانب المربعات والأهم من ذلك، أنه كلما قمنا ببناء مثل هذه المربعات، كلما كان جانب المربع أصغر. على سبيل المثال, أولئك. ومع زيادة العدد n، تقترب شروط التقدم من الصفر. باستخدام هذا الرقم، يمكنك التفكير في تسلسل آخر. على سبيل المثال، تسلسل مساحات المربعات: دعونا ننظر إلى مثال آخر. مثلث متساوي الأضلاعمع جانب يساوي 1 سم. لنقم بإنشاء المثلث التالي الذي تكون رءوسه عند منتصف أضلاع المثلث الأول، وفقًا لنظرية حول خط الوسطمثلث - ضلع الثاني يساوي نصف ضلع الأول، وضلع الثالث يساوي نصف ضلع الثاني، وما إلى ذلك. مرة أخرى نحصل على سلسلة من أطوال أضلاع المثلثات. إذا اعتبرنا تقدمًا هندسيًا بمقام سلبي. ثم، مرة أخرى، بأعداد متزايدة نشروط التقدم تقترب من الصفر. دعونا ننتبه إلى قواسم هذه المتتابعات. في كل مكان كانت القواسم أقل من 1 في القيمة المطلقة. يمكننا أن نستنتج أن التقدم الهندسي سوف يتناقص بشكل لا نهائي إذا كان معامل مقامه أقل من 1. تعريف:
يقال إن المتوالية الهندسية تتناقص بشكل لا نهائي إذا كان معامل مقامها أقل من واحد. باستخدام التعريف، يمكنك أن تقرر ما إذا كان التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي أم لا. مهمة هل التسلسل عبارة عن تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي إذا تم إعطاؤه بالصيغة: حل: هذا التقدم الهندسي يتناقص بلا حدود. ب)هذا التسلسل ليس تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي. خذ بعين الاعتبار مربعًا طول ضلعه يساوي 1. اقسمه إلى نصفين، أي نصفين إلى نصفين، وما إلى ذلك. تشكل مساحات جميع المستطيلات الناتجة متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي: مجموع مساحات جميع المستطيلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة سيكون مساوياً لمساحة المربع الأول ويساوي 1.
مهمة العثور على الفصل الأول من التقدم
مفارقة زينون الشهيرة مع أخيل السريع والسلحفاة البطيئة
درس وعرض حول موضوع: "التسلسلات الرقمية. التقدم الهندسي"
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
القوى والجذور الوظائف والرسوم البيانية
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.التقدم الهندسي
تعريف. التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد، بدءًا من الثاني، يساوي حاصل ضرب الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة يسمى متوالية هندسية.
دعونا نحدد التسلسل بشكل متكرر: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
حيث b و q عبارة عن أرقام محددة. الرقم q يسمى مقام التقدم.
و $س=1$.
و $س=-1$.
إذا كان $b_(1)>0$، $q>1$،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $b_(1)>0$، $0 يُشار إلى التسلسل عادةً بالشكل: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$.
لاحظ أنه إذا كانت المتتابعة متوالية هندسية، فإن متوالية مربعات الحدود تكون متوالية هندسية أيضًا. في التسلسل الثاني، الحد الأول يساوي $b_(1)^2$، والمقام يساوي $q^2$.صيغة الحد n من التقدم الهندسي
يمكن أيضًا تحديد التقدم الهندسي في شكل تحليلي. دعونا نرى كيفية القيام بذلك:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
نلاحظ بسهولة النمط: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
صيغتنا تسمى "صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي".
و $س=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
أ) من المعروف أن $b_(1)=6, q=3$. ابحث عن $b_(5)$.
ب) من المعروف أن $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. ابحث عن ن.
ج) من المعروف أن $q=-2, b_(6)=96$. ابحث عن $b_(1)$.
د) من المعروف أن $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. ابحث عن س.
أ) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$، بما أن $2^7=128 => n-1=7; ن = 8 دولار.
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
نحن نعلم أن: $b_(7)-b_(5)=192$ و$b_(5)+b_(6)=192$.
ونعرف أيضًا: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
ثم:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
لقد حصلنا على نظام المعادلات:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
معادلة معادلاتنا نحصل على:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$ف^2-1=ف+1$.
$q^2-q-2=0$.
حصلنا على حلين س: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
عوض بالتسلسل في المعادلة الثانية:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $b_(1)=4, q=2$.
لنجد الحد العاشر: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.مجموع التقدم الهندسي المحدود
دعونا نحصل على تقدم هندسي محدود. دعونا، كما هو الحال في المتوالية الحسابية، نحسب مجموع حدودها.
دعونا نقدم التسمية لمجموع مصطلحاتها: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
في الحالة عندما يكون $q=1$. جميع حدود المتوالية الهندسية تساوي الحد الأول، فمن الواضح أن $S_(n)=n*b_(1)$.
دعونا الآن ننظر في الحالة $q≠1$.
دعونا نضرب المبلغ أعلاه بـ q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
ملحوظة:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
مثال.
أوجد مجموع الحدود السبعة الأولى لمتتالية هندسية حدها الأول 4 ومقامها 3.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
أوجد الحد الخامس من المتوالية الهندسية المعروفة: $b_(1)=-3$; $b_(ن)=-3072$; $S_(ن)=-4095$.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$ف^(ن-1)=1024$.
$س^(ن)=1024q$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
1365 ف - 1365 = 1024 ف - 1 دولار.
341 دولارًا = 1364 دولارًا.
$س=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.خاصية مميزة للتقدم الهندسي
يا رفاق، تم إعطاء تقدم هندسي. دعونا نلقي نظرة على أعضائها الثلاثة المتتاليين: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
نحن نعلم أن:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
ثم:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
إذا كان التقدم محدودًا، فإن هذه المساواة تنطبق على جميع الحدود باستثناء الأول والأخير.
إذا لم يكن معروفًا مسبقًا ما هو شكل التسلسل، ولكن من المعروف أن: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
ومن ثم يمكننا أن نقول بأمان أن هذا تقدم هندسي.
دعونا نلقي نظرة على هذه الهوية: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ يسمى المتوسط أرقام هندسيةأ و ب.
مثال.
ابحث عن x بحيث يكون $x+2; 2x+2; 3x+3$ عبارة عن ثلاث فترات متتالية من التقدم الهندسي.
دعونا نستخدم الخاصية المميزة:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و$x_(2)=-1$.
دعونا نستبدل حلولنا بالتسلسل في التعبير الأصلي:
مع $x=2$، حصلنا على التسلسل: 4;6;9 – تقدم هندسي مع $q=1.5$.
بالنسبة إلى $x=-1$، نحصل على التسلسل: 1;0;0.
الجواب: $x=2.$مشاكل لحلها بشكل مستقل
1. أوجد الحد الأول الثامن من المتتابعة الهندسية 16;-8;4;-2….
2. أوجد الحد العاشر من المتتابعة الهندسية 11،22،44….
3. من المعروف أن $b_(1)=5, q=3$. ابحث عن $b_(7)$.
4. من المعروف أن $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. ابحث عن ن.
5. أوجد مجموع أول 11 حدًا من المتوالية الهندسية 3;12;48….
6. ابحث عن x بحيث يكون $3x+4; 2x+4; x+5$ عبارة عن ثلاثة فترات متتالية من المتوالية الهندسية. 
)
أو 
)
)
)
، أين 
; 
; 
; 
, 
)
العثور على الحد الخامس. 
يجد نالعضو ال. 
تشكيل متوالية هندسية مع المقام .
. ومرة أخرى، إذا نتزداد إلى أجل غير مسمى، ثم تقترب المساحة من الصفر إلى أقرب ما تريد.
في 
.
.
; 
.. سوف نجد س
.
; 
; 
; 
.
