كانت المشاكل المتعلقة بالتقدم الحسابي موجودة بالفعل في العصور القديمة. لقد حضروا وطالبوا بالحل لأن لديهم حاجة عملية.

لذلك، في واحدة من البرديات مصر القديمة"، والتي لها محتوى رياضي - بردية ريند (القرن التاسع عشر قبل الميلاد) - تحتوي على المهمة التالية: تقسيم عشرة مكيال من الخبز على عشرة أشخاص، على أن يكون الفرق بين كل منهم ثمن المكيال".

وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء هناك نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. وهكذا، فإن Hypsicles الإسكندرية (القرن الثاني)، والتي بلغت الكثير مهام مثيرة للاهتماموالذي أضاف الكتاب الرابع عشر إلى كتاب العناصر لإقليدس، صاغ فكرة: “في المتتابعة الحسابية، التي رقم زوجيالأعضاء، مجموع أعضاء النصف الثاني أكثر من المبلغأعضاء الأول على مربع نصف عدد الأعضاء."

يتم الإشارة إلى التسلسل بواسطة. تسمى أرقام التسلسل أعضائها وعادة ما يتم الإشارة إليها بأحرف ذات مؤشرات تشير إلى ذلك رقم سريهذا العضو (a1، a2، a3 ... يقرأ: "الأول"، "الثاني"، "الثالث" وهكذا).

يمكن أن يكون التسلسل لا نهائيًا أو محدودًا.

ما هذا التقدم الحسابي؟ ونعني به الذي تم الحصول عليه بإضافة الحد السابق (ن) بنفس الرقم د، وهو فرق التتابع.

إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، فإن هذا التقدم يعتبر متزايدا.

يسمى التقدم الحسابي محدودًا إذا تم أخذ حدوده القليلة الأولى في الاعتبار. في جدا كميات كبيرةأعضاء انها بالفعل تقدم لا نهاية له.

يتم تعريف أي تقدم حسابي بالصيغة التالية:

an =kn+b، بينما b وk عبارة عن بعض الأرقام.

العبارة المعاكسة صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء التسلسل صيغة مماثلة، فهذا هو بالضبط تقدم حسابي له الخصائص:

1. كل حد من المتتابعة هو الوسط الحسابي للحد السابق واللاحق.
2. العكس: إذا كان كل حد ابتداء من الثاني هو الوسط الحسابي للحد السابق والحد اللاحق، أي. إذا تم استيفاء الشرط، ثم تسلسل معين- التقدم الحسابي. هذه المساواة هي أيضًا علامة على التقدم، ولهذا تسمى عادة خاصية مميزةالتقدم.
   وبنفس الطريقة، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: فالمتتابعة تكون تقدمًا حسابيًا فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من حدود المتتابعة، بدءًا من الحد الثاني.

يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام من التقدم الحسابي بالصيغة an + am = ak + al، إذا كانت n + m = k + l (m، n، k هي أرقام متتالية).

في التقدم الحسابي، يمكن العثور على أي حد ضروري (Nth) باستخدام الصيغة التالية:

على سبيل المثال: الحد الأول (أ1) في المتتابعة الحسابية معطى ويساوي ثلاثة، والفرق (د) يساوي أربعة. أنت بحاجة إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ45 = 1+4(45-1)=177

الصيغة an = ak + d(n - k) تسمح لنا بتحديد الفصل الدراسي التاسعمتوالية حسابية خلال أي حد من حدوده بشرط أن يكون معلوما.

مجموع شروط التقدم الحسابي (يعني مصطلحات n الأولى تقدم محدود) يتم حسابها على النحو التالي:

القص = (أ1+أن) ن/2.

إذا كان الحد الأول معروفًا أيضًا، فستكون هناك صيغة أخرى ملائمة للحساب:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

يتم حساب مجموع التقدم الحسابي الذي يحتوي على n من الحدود على النحو التالي:

يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على ظروف المشكلات والبيانات الأولية.

المتسلسلة الطبيعية لأية أرقام، مثل 1،2،3،...،ن،...- أبسط مثالالتقدم الحسابي.

بالإضافة إلى التقدم الحسابي، هناك أيضًا تقدم هندسي له خصائصه وخصائصه.

مجموع التقدم الحسابي.

مجموع التقدم الحسابي هو شيء بسيط. سواء في المعنى أو في الصيغة. ولكن هناك كل أنواع المهام حول هذا الموضوع. من الأساسية إلى الصلبة تماما.

أولا، دعونا نفهم معنى وصيغة المبلغ. ومن ثم سنقرر. من أجل متعتك الخاصة.) معنى المبلغ بسيط مثل مو. للعثور على مجموع التقدم الحسابي، تحتاج فقط إلى إضافة جميع حدوده بعناية. إذا كانت هذه المصطلحات قليلة، فيمكنك الإضافة بدون أي صيغ. ولكن إذا كان هناك الكثير، أو الكثير... فالإضافة مزعجة.) في هذه الحالة، تأتي الصيغة للإنقاذ.

صيغة المبلغ بسيطة:

دعونا نتعرف على نوع الحروف المضمنة في الصيغة. وهذا سوف يوضح الأمور كثيرا.

س ن - مجموع التقدم الحسابي. نتيجة الإضافة الجميعالأعضاء، مع أولاًبواسطة آخر.هذا مهم. يضيفون بالضبط الجميعالأعضاء على التوالي، دون تخطي أو تخطي. وعلى وجه التحديد، بدءا من أولاً.في مسائل مثل إيجاد مجموع الحدين الثالث والثامن، أو مجموع الحدود من الخامس إلى العشرين - التطبيق المباشرالصيغ سوف تكون مخيبة للآمال.)

أ 1 - أولاًعضو في التقدم . كل شيء واضح هنا، الأمر بسيط أولاًرقم الصف.

ن- آخرعضو في التقدم . العدد الأخير من السلسلة. اسم ليس مألوفًا جدًا، لكن عند تطبيقه على المبلغ فهو مناسب جدًا. ثم سوف ترى بنفسك.

ن - رقم العضو الأخير. من المهم أن نفهم أن هذا الرقم موجود في الصيغة يتزامن مع عدد المصطلحات المضافة.

دعونا نحدد المفهوم آخرعضو ن. سؤال صعب: أي عضو سيكون الأخيرإذا أعطيت لا نهاية لهاالتقدم الحسابي؟)

للإجابة بثقة، عليك أن تفهم المعنى الأساسي للتقدم الحسابي و... اقرأ المهمة بعناية!)

في مهمة إيجاد مجموع التقدم الحسابي، يظهر الحد الأخير دائمًا (بشكل مباشر أو غير مباشر)، والتي ينبغي أن تكون محدودة.خلاف ذلك، مبلغ نهائي محدد ببساطة غير موجود.بالنسبة للحل، لا يهم ما إذا كان التقدم معطى: محدود أو لانهائي. لا يهم كيف يتم تقديمها: سلسلة من الأرقام، أو صيغة للحد n.

الشيء الأكثر أهمية هو أن نفهم أن الصيغة تعمل من الحد الأول للتقدم إلى الحد ذو الرقم ن.في الواقع، يبدو الاسم الكامل للصيغة كما يلي: مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي.عدد هؤلاء الأعضاء الأوائل ، أي. ن، يتم تحديده فقط من خلال المهمة. في إحدى المهام، غالبًا ما يتم تشفير كل هذه المعلومات القيمة، نعم... ولكن لا يهم، في الأمثلة أدناه نكشف عن هذه الأسرار.)

أمثلة على المهام على مجموع التقدم الحسابي.

أولاً، معلومات مفيدة:

الصعوبة الرئيسية في المهام التي تنطوي على مجموع التقدم الحسابي هي التعريف الصحيحعناصر الصيغة.

يقوم كتاب المهام بتشفير هذه العناصر نفسها باستخدام خيال لا حدود له.) الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخوف. فهم جوهر العناصر، يكفي فك رموزها ببساطة. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة بالتفصيل. لنبدأ بمهمة تعتمد على GIA حقيقي.

1. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط: a n = 2n-3.5. أوجد مجموع حدوده العشرة الأولى.

أحسنت. سهل.) لتحديد المبلغ باستخدام الصيغة، ما الذي نحتاج إلى معرفته؟ العضو الأول أ 1،الفصل الأخير ننعم رقم العضو الأخير ن.

أين يمكنني الحصول على رقم العضو الأخير؟ ن؟ نعم، هناك، بشرط! تقول: أوجد المبلغ أول 10 أعضاء.حسنًا، ما هو الرقم الذي سيكون معه؟ آخر،العضو العاشر؟) لن تصدق، رقمه هو العاشر!) لذلك بدلاً من نسوف نعوض في الصيغة 10، وبدلا من ذلك ن- عشرة. وأكرر أن عدد العضو الأخير يتطابق مع عدد الأعضاء.

يبقى أن نحدد أ 1و 10. يمكن حساب ذلك بسهولة باستخدام صيغة الحد n، الواردة في بيان المشكلة. لا أعرف كيف تفعل هذا؟ احضروا الدرس السابق فبدونه لا سبيل.

أ 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2·10 - 3.5 =16.5

س ن = س 10.

لقد اكتشفنا معنى جميع عناصر الصيغة لمجموع التقدم الحسابي. كل ما تبقى هو استبدالهم والعد:

هذا كل شيء. الجواب: 75.

مهمة أخرى تعتمد على GIA. أكثر تعقيدًا بعض الشيء:

2. بالنظر إلى المتوالية الحسابية (a n) التي يكون الفرق فيها 3.7؛ 1 =2.3. أوجد مجموع حدوده الخمسة عشر الأولى.

نكتب على الفور صيغة المجموع:

تتيح لنا هذه الصيغة إيجاد قيمة أي حد من خلال رقمه. نحن نبحث عن بديل بسيط:

أ 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

كل ما تبقى هو استبدال جميع العناصر في صيغة مجموع التقدم الحسابي وحساب الإجابة:

الجواب: 423.

بالمناسبة، إذا كان في صيغة المبلغ بدلا من ننحن ببساطة نعوض بصيغة الحد n ونحصل على:

دعونا نحضر مماثلة، نحصل عليها صيغة جديدةمجموع شروط التقدم الحسابي:

كما ترون، فإن المصطلح n غير مطلوب هنا ن. في بعض المشاكل، تساعد هذه الصيغة كثيرًا، نعم... يمكنك تذكر هذه الصيغة. هل من الممكن في اللحظة المناسبةفمن السهل عرضه، كما هو الحال هنا. بعد كل شيء، عليك دائمًا أن تتذكر صيغة المجموع وصيغة الحد النوني.)

الآن المهمة في شكل تشفير قصير):

3. أوجد مجموع كل الإيجابيات أرقام مزدوجة، مضاعفات الثلاثة.

رائع! لا عضوك الأول ولا الأخير ولا التقدم على الإطلاق... كيف تعيش!؟

سيتعين عليك التفكير برأسك وسحب جميع عناصر مجموع التقدم الحسابي من الحالة. نحن نعرف ما هي الأعداد المكونة من رقمين. وهي تتكون من رقمين.) ما هو الرقم المكون من رقمين أولاً؟ 10، على الأرجح.) أ آخررقم مزدوج؟ 99 بالطبع! والأرقام الثلاثة ستتبعه..

مضاعفات الثلاثة... حسنًا... هذه أرقام تقبل القسمة على ثلاثة، هنا! العشرة لا تقبل القسمة على ثلاثة، 11 لا تقبل القسمة... 12... لا تقبل القسمة! لذلك، هناك شيء آخذ في الظهور. يمكنك بالفعل كتابة سلسلة وفقًا لشروط المشكلة:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

هل ستكون هذه المتسلسلة متوالية حسابية؟ بالتأكيد! ويختلف كل مصطلح عن الذي قبله بثلاثة فقط. إذا أضفت 2 أو 4 إلى حد ما، على سبيل المثال، النتيجة، أي. الرقم الجديد لم يعد يقبل القسمة على 3. يمكنك على الفور تحديد الفرق في التقدم الحسابي: د = 3.سيكون في متناول اليدين!)

لذا، يمكننا تدوين بعض معلمات التقدم بأمان:

ماذا سيكون الرقم؟ نآخر عضو؟ أي شخص يعتقد أن 99 مخطئ للغاية... الأرقام دائمًا تكون متتالية، لكن أعضاؤنا يقفزون فوق الثلاثة. أنها لا تتطابق.

هناك حلان هنا. إحدى الطرق هي للمجتهدين للغاية. يمكنك تدوين التقدم وسلسلة الأرقام بأكملها وحساب عدد الأعضاء بإصبعك.) الطريقة الثانية للمفكرين. عليك أن تتذكر صيغة الحد n. إذا طبقنا الصيغة على مشكلتنا، نجد أن 99 هو الحد الثلاثون للتقدم. أولئك. ن = 30.

دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الحسابي:

نحن ننظر ونبتهج.) لقد أخرجنا من بيان المشكلة كل ما هو ضروري لحساب المبلغ:

أ 1= 12.

30= 99.

س ن = س 30.

كل ما تبقى هو الحساب الأولي. نستبدل الأرقام في الصيغة ونحسب:

الجواب: 1665

نوع آخر من الألغاز الشائعة:

4. بالنظر إلى التقدم الحسابي:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

أوجد مجموع الحدود من عشرين إلى أربعة وثلاثين.

ننظر إلى صيغة المبلغ و... نشعر بالانزعاج.) دعني أذكرك، الصيغة تحسب المبلغ من الأولعضو. وفي المشكلة تحتاج إلى حساب المبلغ منذ العشرين..الصيغة لن تعمل.

يمكنك، بالطبع، كتابة التقدم بأكمله في سلسلة، وإضافة مصطلحات من 20 إلى 34. لكن... إنه أمر غبي إلى حد ما ويستغرق وقتًا طويلاً، أليس كذلك؟)

هناك المزيد حل أنيق. دعونا نقسم سلسلتنا إلى قسمين. الجزء الأول سيكون من الفصل الأول إلى التاسع عشر.الجزء الثاني - من العشرين إلى الرابعة والثلاثين.ومن الواضح أنه إذا حسبنا مجموع مصطلحات الجزء الأول ق1-19لنضفها مع مجموع حدود الجزء الثاني ق 20-34فنحصل على مجموع التقدم من الفصل الأول إلى الرابع والثلاثين ق1-34. مثله:

ق1-19 + ق 20-34 = ق1-34

من هذا يمكننا أن نرى أن العثور على المبلغ ق 20-34يستطيع طرح بسيط

ق 20-34 = ق1-34 - ق1-19

ويعتبر كلا المبلغين على الجانب الأيمن من الأولعضو، أي. تنطبق تماما عليهم الصيغة القياسيةالمبالغ. دعونا نبدأ؟

نستخرج معلمات التقدم من بيان المشكلة:

د = 1.5.

أ 1= -21,5.

لحساب مجموع أول 19 وأول 34 حدًا، سنحتاج إلى الحدين 19 و34. نحسبها باستخدام صيغة الحد النوني، كما في المسألة الثانية:

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

لم يبق شيء. من مجموع 34 حدًا اطرح مجموع 19 حدًا:

ق 20-34 = ق 1-34 - ق 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

الجواب: 262.5

ملاحظة هامة! هناك خدعة مفيدة جدًا في حل هذه المشكلة. بدلا من الحساب المباشر ما تحتاجه (س20-34)،لقد عدنا شيء يبدو أنه ليس هناك حاجة إليه - س 1-19.وبعد ذلك قرروا ق 20-34، والتخلص من ما هو غير ضروري من النتيجة الكاملة. هذا النوع من "الخدعة بأذنيك" غالبًا ما ينقذك من المشاكل الشريرة.)

في هذا الدرس، نظرنا إلى المسائل التي يكفي لفهم معنى مجموع التقدم الحسابي. حسنًا، أنت بحاجة إلى معرفة بعض الصيغ.)

نصيحة عملية:

عند حل أي مشكلة تتضمن مجموع التقدم الحسابي، أوصي بكتابة الصيغتين الرئيسيتين من هذا الموضوع على الفور.

صيغة الحد التاسع :

ستخبرك هذه الصيغ على الفور بما يجب البحث عنه وفي أي اتجاه يجب التفكير فيه لحل المشكلة. يساعد.

والآن مهام الحل المستقل.

5. أوجد مجموع الأعداد المكونة من رقمين والتي لا تقبل القسمة على ثلاثة.

رائع؟) التلميح مخفي في ملاحظة المشكلة رقم 4. حسنًا، المشكلة رقم 3 ستساعدك.

6. يُعطى التقدم الحسابي بالشرط: a 1 = -5.5؛ ن+1 = ن +0.5. أوجد مجموع حدوده الـ 24 الأولى.

غير عادي؟) هذا صيغة التكرار. يمكنك أن تقرأ عنها في الدرس السابق. لا تتجاهل الرابط، فمثل هذه المشكلات غالبًا ما توجد في أكاديمية الدولة للعلوم.

7. قام فاسيا بتوفير المال لقضاء العطلة. بقدر 4550 روبل! وقررت أن أمنح الشخص المفضل لدي (نفسي) بضعة أيام من السعادة). عش بشكل جميل دون حرمان نفسك من أي شيء. أنفق 500 روبل في اليوم الأول، وفي كل يوم لاحق أنفق 50 روبل أكثر من اليوم السابق! حتى نفاد المال. كم عدد أيام السعادة التي عاشها فاسيا؟

هل الأمر صعب؟) هل سيساعد؟ صيغة إضافيةمن المهمة 2

الأجوبة (في حالة الفوضى): 7، 3240، 6.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يتعامل بعض الناس مع كلمة "التقدم" بحذر شديد مصطلح معقدمن الأقسام الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزال موجودا). وفهم الجوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "الحصول على الجوهر") التسلسل الحسابيليس الأمر بهذه الصعوبة بمجرد فهم بعض المفاهيم الأساسية.

تسلسل الأرقام الرياضية

عادة ما يسمى التسلسل الرقمي بسلسلة من الأرقام، كل منها له رقم خاص به.

1 هو العضو الأول في التسلسل؛

و2 هو الحد الثاني من المتتابعة؛

و7 هو العضو السابع في التسلسل؛

و n هو العضو n في التسلسل؛

ومع ذلك، ليست أي مجموعة عشوائية من الأرقام والأرقام تهمنا. وسوف نركز اهتمامنا على المتتابعة العددية التي ترتبط فيها قيمة الحد النوني بعدده الترتيبي بعلاقة يمكن صياغتها رياضيا بشكل واضح. بعبارة أخرى: القيمة العدديةالرقم n هو بعض وظائف n.

a هي قيمة عضو في التسلسل العددي؛

n هو رقمه التسلسلي؛

f(n) هي دالة، حيث الرقم الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.

تعريف

عادةً ما يُطلق على التقدم الحسابي اسم التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد لاحق أكبر (أقل) من الحد السابق بنفس الرقم. صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية هي كما يلي:

أ ن - قيمة العضو الحالي في التقدم الحسابي؛

ن+1 - صيغة الرقم التالي؛

د - الفرق (عدد معين).

من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d>0)، فإن كل عضو لاحق في السلسلة قيد النظر سيكون أكبر من العضو السابق وسيتزايد مثل هذا التقدم الحسابي.

في الرسم البياني أدناه، من السهل معرفة السبب تسلسل رقمييسمى "زيادة".

وفي الحالات التي يكون فيها الفرق سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

قيمة العضو المحددة

في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة أي حد تعسفي n للتقدم الحسابي. ويمكن القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء المتوالية الحسابية بشكل تسلسلي، بدءاً من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك، فإن هذا المسار ليس مقبولًا دائمًا، على سبيل المثال، إذا كان من الضروري العثور على قيمة الحد خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سوف تستغرق الحسابات التقليدية الكثير من الوقت. ومع ذلك، يمكن دراسة تقدم حسابي محدد باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للحد النوني: يمكن تحديد قيمة أي حد من المتوالية الحسابية على أنها مجموع الحد الأول من المتتابعة مع فرق المتتابعة مضروبًا في عدد الحد المطلوب مختزلًا بمقدار واحد.

الصيغة عالمية لزيادة وخفض التقدم.

مثال لحساب قيمة مصطلح معين

دعونا نحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة الحد النوني للتقدم الحسابي.

الحالة: يوجد تقدم حسابي مع المعلمات:

الحد الأول من التسلسل هو 3؛

الفرق في سلسلة الأرقام هو 1.2.

المهمة: تحتاج إلى إيجاد قيمة 214 مصطلحًا

الحل: لتحديد قيمة حد معين، نستخدم الصيغة:

أ(ن) = أ1 + د(ن-1)

باستبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير، لدينا:

أ(214) = أ1 + د(ن-1)

أ(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

الإجابة: الحد 214 من المتتابعة يساوي 258.6.

مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - الحل بأكمله لا يستغرق أكثر من سطرين.

مجموع عدد معين من المصطلحات

في كثير من الأحيان، في سلسلة حسابية معينة، من الضروري تحديد مجموع قيم بعض قطاعاتها. للقيام بذلك، ليست هناك حاجة أيضًا لحساب قيم كل مصطلح ثم جمعها. تنطبق هذه الطريقة إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. وفي حالات أخرى، يكون من الملائم أكثر استخدام الصيغة التالية.

مجموع حدود المتتابعة الحسابية من 1 إلى n يساوي مجموع الحدين الأول والنوني مضروبًا في عدد الحد n مقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة الحد n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة، نحصل على:

مثال للحساب

على سبيل المثال، دعونا نحل مشكلة بالشروط التالية:

الحد الأول من المتتابعة هو صفر؛

الفرق هو 0.5.

تتطلب المشكلة تحديد مجموع حدود المتسلسلة من 56 إلى 101.

حل. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مقدار التقدم:

ق(ن) = (2∙أ1 + د∙(ن-1))∙ن/2

أولاً، نحدد مجموع قيم 101 حدًا للتقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:

ق 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

من الواضح أنه من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101، من الضروري طرح S 55 من S 101.

ق 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

وبالتالي فإن مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:

ق 101 - ق 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5

مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي

في نهاية المقال، نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - عداد التاكسي (عداد سيارة الأجرة). دعونا نفكر في هذا المثال.

تبلغ تكلفة ركوب سيارة الأجرة (التي تشمل مسافة 3 كيلومترات) 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.

1. دعونا نتخلص من أول 3 كيلومترات، والتي يتم تضمين سعرها في تكلفة الهبوط.

30 - 3 = 27 كم.

2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.

رقم العضو - عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منها الثلاثة الأولى).

قيمة العضو هو المبلغ.

الحد الأول في هذه المسألة سيكون مساوياً لـ 1 = 50 روبل.

فرق التقدم د = 22 ص.

الرقم الذي يهمنا هو قيمة الحد (27+1) من المتتابعة الحسابية - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر السابع والعشرين هي 27.999... = 28 كم.

أ 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل عشوائي على صيغ تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام سلاسل الأرقام المختلفة بنجاح في الإحصاء والمجالات التطبيقية الأخرى في الرياضيات.

نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي

يتميز التقدم الهندسي بمعدلات تغيير أكبر مقارنة بالتقدم الحسابي. وليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة، على سبيل المثال، مرض أثناء الوباء، يقولون إن العملية تتطور في تقدم هندسي.

يختلف الحد N من سلسلة الأرقام الهندسية عن الحد السابق من حيث أنه مضروب في بعض الأرقام الثابتة - المقام، على سبيل المثال، الحد الأول هو 1، والمقام يساوي 2، ثم:

ن=1: 1 ∙ 2 = 2

ن=2: 2 ∙ 2 = 4

ن=3: 4 ∙ 2 = 8

ن=4: 8 ∙ 2 = 16

ن=5: 16 ∙ 2 = 32،

ب ن - قيمة الحد الحالي للتقدم الهندسي؛

ب ن+1 - صيغة الحد التالي من التقدم الهندسي؛

q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).

إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم، فإن التقدم الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:

كما هو الحال في الحساب، فإن التقدم الهندسي له صيغة لقيمة حد عشوائي. أي حد نوني من المتتابعة الهندسية يساوي حاصل ضرب الحد الأول ومقام المتتابعة إلى أس n مخصومًا بواحد:

مثال. لدينا تقدم هندسي حيث الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. دعونا نجد الحد الخامس من التقدم

ب 5 = ب 1 ∙ ف (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من المصطلحات باستخدام صيغة خاصة. مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي يساوي الفرق بين منتج الحد n للتقدم ومقامه والحد الأول للتقدم، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:

إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه، فإن قيمة مجموع حدود n الأولى من سلسلة الأرقام قيد النظر سوف تأخذ الشكل:

مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالحد الأول الذي يساوي 1. والمقام مضبوط على 3. فلنوجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3280

التقدم الحسابيتسمية تسلسل من الأرقام (شروط التقدم)

وفيه يختلف كل مصطلح لاحق عن الذي قبله بمصطلح جديد، وهو ما يسمى أيضا اختلاف الخطوة أو التقدم.

وبالتالي، من خلال تحديد خطوة التقدم وحدها الأول، يمكنك العثور على أي عنصر من عناصرها باستخدام الصيغة

خصائص التقدم الحسابي

1) كل عضو في المتوالية الحسابية، بدءاً من الرقم الثاني، هو الوسط الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين في المتوالية

والعكس صحيح أيضا. إذا كان المتوسط ​​الحسابي للحدود الفردية (الزوجية) المتجاورة للتقدم يساوي الحد الذي يقع بينهما، فإن هذا التسلسل من الأرقام هو تقدم حسابي. باستخدام هذه العبارة، من السهل جدًا التحقق من أي تسلسل.

أيضًا، من خلال خاصية التقدم الحسابي، يمكن تعميم الصيغة المذكورة أعلاه على ما يلي

من السهل التحقق من ذلك إذا كتبت المصطلحات على يمين علامة المساواة

غالبًا ما يتم استخدامه عمليًا لتبسيط العمليات الحسابية في المشكلات.

2) يتم حساب مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة

تذكر جيدًا صيغة مجموع التقدم الحسابي؛ فهي لا غنى عنها في العمليات الحسابية وغالبًا ما توجد في مواقف الحياة البسيطة.

3) إذا كنت لا تحتاج إلى العثور على المبلغ بالكامل، بل على جزء من التسلسل بدءًا من الحد k الخاص به، فستكون صيغة المجموع التالية مفيدة لك

4) من الأمور العملية المهمة إيجاد مجموع n من الحدود للتقدم الحسابي بدءًا من الرقم k. للقيام بذلك، استخدم الصيغة

بهذا نختتم المادة النظرية وننتقل إلى حل المشكلات الشائعة في الممارسة العملية.

مثال 1. أوجد الحد الأربعين من المتتابعة الحسابية 4;7;...

حل:

وفقا للحالة التي لدينا

دعونا نحدد خطوة التقدم

باستخدام الصيغة المعروفة، نجد الحد الأربعين من التقدم

مثال 2.

حل:

يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال الحدين الثالث والسابع. أوجد الحد الأول للتقدم ومجموع العشرة.

دعونا نكتب العناصر المحددة للتقدم باستخدام الصيغ

نطرح الأولى من المعادلة الثانية، ونتيجة لذلك نجد خطوة التقدم

نعوض بالقيمة التي تم العثور عليها في أي من المعادلات لإيجاد الحد الأول من التقدم الحسابي

نحسب مجموع الحدود العشرة الأولى للتقدم

وبدون استخدام حسابات معقدة، وجدنا جميع الكميات المطلوبة.

حل:

مثال 3. يتم إعطاء التقدم الحسابي من خلال المقام وأحد حدوده. أوجد الحد الأول من المتتابعة ومجموع حدوده الخمسين بدءًا من 50 ومجموع أول 100 حد.

دعونا نكتب صيغة العنصر المائة من التقدم

والعثور على أول واحد

بناءً على الأول نجد الحد الخمسين من التقدم

العثور على مجموع جزء من التقدم

ومجموع الـ 100 الأولى

مبلغ التقدم هو 250.

مثال 4.

أوجد عدد حدود المتوالية الحسابية إذا:

حل:

a3-a1=8، a2+a4=14، القص=111.

لنكتب المعادلات بدلالة الحد الأول وخطوة التقدم ونحددها

نقوم باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في صيغة المجموع لتحديد عدد المصطلحات في المجموع

نقوم بالتبسيط

وحل المعادلة التربيعية

ومن بين القيمتين اللتين تم العثور عليهما، فإن الرقم 8 فقط هو الذي يناسب ظروف المشكلة. وبالتالي، فإن مجموع الحدود الثمانية الأولى للتقدم هو 111.

مثال 5.

حل المعادلة

1+3+5+...+س=307.

الحل: هذه المعادلة هي مجموع التقدم الحسابي. دعونا نكتب الحد الأول ونجد الفرق في التقدم

حسنًا، أيها الأصدقاء، إذا كنتم تقرأون هذا النص، فإن الحد الأقصى الداخلي يخبرني أنك لا تعرف بعد ما هو التقدم الحسابي، لكنك حقًا (لا، هكذا: SOOOOO!) تريد أن تعرف. لذلك، لن أعذبك بمقدمات طويلة وسأدخل في صلب الموضوع مباشرة.

أولا، بضعة أمثلة. دعونا نلقي نظرة على عدة مجموعات من الأرقام:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ما هو القاسم المشترك بين كل هذه المجموعات؟ للوهلة الأولى، لا شيء. ولكن في الواقع هناك شيء ما. وهي: ويختلف كل عنصر تالٍ عن العنصر السابق بنفس الرقم.

القاضي لنفسك. المجموعة الأولى هي ببساطة أرقام متتالية، وكل رقم تالٍ هو أكثر من الرقم السابق بواحد. في الحالة الثانية، الفرق بين الأعداد المتجاورة هو بالفعل خمسة، لكن هذا الفرق لا يزال ثابتًا. وفي الحالة الثالثة، هناك جذور تماما. ومع ذلك، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، و $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، أي. وفي هذه الحالة، كل عنصر تالي يزيد بمقدار $\sqrt(2)$ (ولا تخف من أن هذا الرقم غير منطقي).

لذلك: تسمى كل هذه التسلسلات بالتقدم الحسابي. دعونا نعطي تعريفا صارما:

تعريف. تسمى سلسلة الأرقام التي يختلف فيها كل رقم تالٍ عن الرقم السابق بنفس المقدار تمامًا بالتقدم الحسابي. يُطلق على المقدار الذي تختلف به الأرقام اسم فرق التقدم ويُشار إليه غالبًا بالحرف $d$.

تدوين: $\left(((a)_(n)) \right)$ هو التقدم نفسه، $d$ هو الفرق بينه.

وبعض الملاحظات المهمة فقط. أولاً، يتم أخذ التقدم بعين الاعتبار فقط أمرتسلسل الأرقام: يُسمح بقراءتها بدقة بالترتيب الذي كتبت به - ولا شيء غير ذلك. لا يمكن إعادة ترتيب الأرقام أو تبديلها.

ثانيًا، يمكن أن يكون التسلسل نفسه إما منتهيًا أو لا نهائيًا. على سبيل المثال، المجموعة (1، 2، 3) من الواضح أنها متتابعة حسابية منتهية. ولكن إذا كتبت شيئًا بالروح (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - فهذا بالفعل تقدم لا نهائي. يبدو أن علامة القطع بعد الرقم أربعة تشير إلى أن هناك عددًا لا بأس به من الأرقام القادمة. كثيرة لا حصر لها، على سبيل المثال:)

أود أيضًا أن أشير إلى أن التقدم يمكن أن يتزايد أو يتناقص. لقد رأينا بالفعل عددًا متزايدًا - نفس المجموعة (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). فيما يلي أمثلة على التقدم المتناقص:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

حسنًا، حسنًا: قد يبدو المثال الأخير معقدًا للغاية. لكن الباقي، أعتقد أنك تفهمه. ولذلك نقدم تعريفات جديدة:

تعريف. تسمى المتوالية الحسابية :

1. تزداد إذا كان كل عنصر تالٍ أكبر من العنصر السابق؛
2. يتناقص إذا كان، على العكس من ذلك، كل عنصر لاحق أقل من العنصر السابق.

بالإضافة إلى ذلك، هناك ما يسمى بالتسلسلات "الثابتة" - وهي تتكون من نفس الرقم المتكرر. على سبيل المثال، (3؛ 3؛ 3؛ ...).

يبقى سؤال واحد فقط: كيف نميز التقدم المتزايد عن التقدم المتناقص؟ لحسن الحظ، كل شيء هنا يعتمد فقط على علامة الرقم $d$، أي. اختلافات التقدم:

1. إذا كان $d \gt 0$، فإن التقدم يزداد؛
2. إذا كان $d \lt 0$، فمن الواضح أن التقدم يتناقص؛
3. أخيرًا، هناك الحالة $d=0$ - في هذه الحالة يتم تقليل التقدم بأكمله إلى تسلسل ثابت من الأرقام المتطابقة: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...)، إلخ.

دعونا نحاول حساب الفرق $d$ للتقدمات المتناقصة الثلاثة المذكورة أعلاه. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي عنصرين متجاورين (على سبيل المثال، الأول والثاني) وطرح الرقم الموجود على اليسار من الرقم الموجود على اليمين. سوف يبدو مثل هذا:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

وكما نرى، تبين أن الفرق في الحالات الثلاث كان سلبيًا. والآن بعد أن اكتشفنا التعاريف بشكل أو بآخر، فقد حان الوقت لمعرفة كيفية وصف التقدمات وما هي خصائصها.

شروط التقدم وصيغة التكرار

نظرًا لأنه لا يمكن تبديل عناصر تسلسلاتنا، فيمكن ترقيمها:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) ))،... \يمين\)\]

تسمى العناصر الفردية لهذه المجموعة بأعضاء التقدم. ويشار إليهم برقم: العضو الأول، العضو الثاني، وما إلى ذلك.

بالإضافة إلى ذلك، كما نعلم بالفعل، ترتبط المصطلحات المجاورة للتقدم بالصيغة:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

باختصار، للعثور على الحد $n$th للتقدم، تحتاج إلى معرفة الحد $n-1$th والفرق $d$. تسمى هذه الصيغة متكررة، لأنه بمساعدتها يمكنك العثور على أي رقم فقط من خلال معرفة الرقم السابق (وفي الواقع، كل الأرقام السابقة). هذا غير مريح للغاية، لذلك هناك صيغة أكثر دقة تقلل أي حسابات إلى الحد الأول والفرق:

\[((أ)_(ن))=((أ)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

ربما تكون قد صادفت هذه الصيغة بالفعل. إنهم يحبون تقديمها في جميع أنواع الكتب المرجعية وكتب المشكلات. وفي أي كتاب مدرسي معقول للرياضيات، فهو من أوائل الكتب.

ومع ذلك، أقترح عليك ممارسة قليلا.

المهمة رقم 1. اكتب الحدود الثلاثة الأولى للتقدم الحسابي $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

حل. لذلك، نحن نعرف الحد الأول $((a)_(1))=8$ والفرق في التقدم $d=-5$. لنستخدم الصيغة المعطاة للتو ونستبدل $n=1$ و$n=2$ و$n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3؛ \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \النهاية(محاذاة)\]

الجواب: (8؛ 3؛ −2)

هذا كل شيء! يرجى ملاحظة: تقدمنا ​​آخذ في التناقص.

بالطبع، $n=1$ لا يمكن استبداله - فالحد الأول معروف لنا بالفعل. ومع ذلك، بالتعويض بالوحدة، أصبحنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل حتى في الحد الأول. في حالات أخرى، جاء كل شيء إلى حساب عادي.

المهمة رقم 2. اكتب الحدود الثلاثة الأولى للمتوالية الحسابية إذا كان حدها السابع يساوي −40 وحدها السابع عشر يساوي −50.

حل. لنكتب حالة المشكلة بمصطلحات مألوفة:

\[((أ)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \يمين.\]

لقد وضعت علامة النظام لأنه يجب تلبية هذه المتطلبات في وقت واحد. الآن دعونا نلاحظ أنه إذا طرحنا الأولى من المعادلة الثانية (لدينا الحق في القيام بذلك، حيث أن لدينا نظام)، نحصل على هذا:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((أ)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&د=-1. \\ \النهاية(محاذاة)\]

هذا هو مدى سهولة العثور على فرق التقدم! كل ما تبقى هو استبدال الرقم الموجود في أي من معادلات النظام. على سبيل المثال، في الأول:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((أ)_(1))=-40+6=-34. \\ \النهاية(مصفوفة)\]

والآن بعد معرفة الحد الأول والفرق، يبقى إيجاد الحدين الثاني والثالث:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((أ)_(3))=((أ)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \النهاية(محاذاة)\]

مستعد! تم حل المشكلة.

الإجابة: (−34؛ −35؛ −36)

لاحظ خاصية التقدم المثيرة للاهتمام التي اكتشفناها: إذا أخذنا الحدين $n$th و $m$th وطرحناهما من بعضهما البعض، فسنحصل على فرق التقدم مضروبًا في الرقم $n-m$:

\[((أ)_(ن))-((أ)_(م))=d\cdot \left(n-m \right)\]

خاصية بسيطة ولكنها مفيدة للغاية تحتاج بالتأكيد إلى معرفتها - بمساعدتها يمكنك تسريع حل العديد من مشكلات التقدم بشكل كبير. وفيما يلي مثال واضح على ذلك:

المهمة رقم 3. الحد الخامس من المتتابعة الحسابية هو 8.4، والحد العاشر هو 14.4. أوجد الحد الخامس عشر من هذا التقدم.

حل. بما أن $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، وعلينا إيجاد $((a)_(15))$، نلاحظ ما يلي:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((أ)_(10))-((أ)_(5))=5د. \\ \النهاية(محاذاة)\]

لكن حسب الشرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، وبالتالي $5d=6$، ومنه لدينا:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((أ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \النهاية(محاذاة)\]

الجواب: 20.4

هذا كل شيء! لم نكن بحاجة إلى إنشاء أي أنظمة من المعادلات وحساب الحد الأول والفرق، فقد تم حل كل شيء في سطرين فقط.

الآن دعونا نلقي نظرة على نوع آخر من المشاكل - البحث عن المصطلحات السلبية والإيجابية للتقدم. ولا يخفى على أحد أنه إذا زاد التقدم، وكان حده الأول سلبيا، فسوف تظهر فيه شروط إيجابية عاجلا أم آجلا. والعكس صحيح: شروط التقدم المتناقص ستصبح سلبية عاجلاً أم آجلاً.

في الوقت نفسه، ليس من الممكن دائمًا العثور على هذه اللحظة "وجهاً لوجه" من خلال المرور عبر العناصر بالتسلسل. في كثير من الأحيان، تتم كتابة المسائل بطريقة تجعل الحسابات تستغرق عدة أوراق من دون معرفة الصيغ، مما يؤدي ببساطة إلى النوم بينما نجد الإجابة. لذلك، دعونا نحاول حل هذه المشاكل بطريقة أسرع.

المهمة رقم 4. كم عدد الحدود السلبية الموجودة في التقدم الحسابي −38.5؛ -35.8؛ ...؟

حل. لذا، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، حيث نجد الفرق على الفور:

لاحظ أن الفرق إيجابي، وبالتالي يزداد التقدم. الحد الأول سالب، لذا في مرحلة ما سنعثر على أرقام موجبة. والسؤال الوحيد هو متى سيحدث هذا.

دعنا نحاول معرفة المدة التي تظل فيها سلبية المصطلحات (أي حتى الرقم الطبيعي $n$):

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \صحيح. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412؛ \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \النهاية(محاذاة)\]

السطر الأخير يحتاج إلى بعض التوضيح. لذلك نحن نعلم أن $n \lt 15\frac(7)(27)$. من ناحية أخرى، نحن راضون فقط عن القيم الصحيحة للرقم (علاوة على ذلك: $n\in \mathbb(N)$)، لذا فإن أكبر عدد مسموح به هو بالضبط $n=15$، وليس 16 بأي حال من الأحوال .

المهمة رقم 5. في التقدم الحسابي $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. أوجد رقم الحد الموجب الأول لهذا التقدم.

ستكون هذه هي نفس المشكلة تمامًا مثل المشكلة السابقة، لكننا لا نعرف $((a)_(1))$. لكن المصطلحين المتجاورين معروفان: $((a)_(5))$ و$((a)_(6))$، لذلك يمكننا بسهولة العثور على الفرق بين التقدم:

بالإضافة إلى ذلك، دعونا نحاول التعبير عن الحد الخامس من خلال الأول والفرق باستخدام الصيغة القياسية:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((أ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((أ)_(1))=-150-12=-162. \\ \النهاية(محاذاة)\]

الآن ننتقل إلى القياس مع المهمة السابقة. دعنا نكتشف عند أي نقطة في تسلسلنا ستظهر الأرقام الإيجابية:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \النهاية(محاذاة)\]

الحد الأدنى لحل هذه المتباينة هو الرقم 56.

يرجى ملاحظة: في المهمة الأخيرة، انتهى كل شيء إلى عدم المساواة الصارمة، وبالتالي فإن الخيار $n=55$ لن يناسبنا.

الآن بعد أن تعلمنا كيفية حل المشكلات البسيطة، فلننتقل إلى المشكلات الأكثر تعقيدًا. ولكن أولا، دعونا ندرس خاصية أخرى مفيدة للغاية للتقدم الحسابي، والتي ستوفر لنا الكثير من الوقت والخلايا غير المتكافئة في المستقبل :).

المتوسط ​​الحسابي والمسافات البادئة المتساوية

دعونا نفكر في عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي المتزايد $\left(((a)_(n)) \right)$. دعونا نحاول وضع علامة عليها على خط الأعداد:

شروط التقدم الحسابي على خط الأعداد

لقد حددت على وجه التحديد المصطلحات التعسفية $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$، وليس بعض $((a)_(1)) ,\ ((أ)_(2))،\ ((أ)_(3))$، إلخ. لأن القاعدة التي سأخبرك بها الآن تعمل بنفس الطريقة مع أي "قطاعات".

والقاعدة بسيطة جدا. دعونا نتذكر الصيغة المتكررة ونكتبها لجميع المصطلحات المحددة:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \النهاية(محاذاة)\]

ومع ذلك، يمكن إعادة كتابة هذه المساواة بشكل مختلف:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((أ)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((أ)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \النهاية(محاذاة)\]

وماذا في ذلك؟ وحقيقة أن الحدين $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ يقعان على نفس المسافة من $((a)_(n)) $ . وهذه المسافة تساوي $d$. يمكن قول الشيء نفسه عن المصطلحين $((a)_(n-2))$ و$((a)_(n+2))$ - تمت إزالتهما أيضًا من $((a)_(n) )$ على نفس المسافة تساوي $2d$. يمكننا أن نستمر إلى ما لا نهاية، ولكن المعنى موضح بشكل جيد من خلال الصورة

تقع شروط التقدم على نفس المسافة من المركز

ماذا يعني هذا بالنسبة لنا؟ هذا يعني أنه يمكن العثور على $((a)_(n))$ إذا كانت الأرقام المجاورة معروفة:

\[((أ)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

لقد استنتجنا عبارة ممتازة: كل حد من المتتابعة الحسابية يساوي الوسط الحسابي للحد المجاور له! علاوة على ذلك: يمكننا التراجع عن $((a)_(n))$ إلى اليسار واليمين ليس بخطوة واحدة، ولكن بخطوات $k$ - وستظل الصيغة صحيحة:

\[((أ)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

أولئك. يمكننا بسهولة العثور على بعض $((a)_(150))$ إذا كنا نعرف $((a)_(100))$ و$((a)_(200))$، لأن $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذه الحقيقة لا تعطينا أي شيء مفيد. ومع ذلك، في الممارسة العملية، يتم تصميم العديد من المسائل خصيصًا لاستخدام الوسط الحسابي. ألق نظرة:

المهمة رقم 6. ابحث عن جميع قيم $x$ التي تكون الأرقام $-6((x)^(2))$ و$x+1$ و$14+4((x)^(2))$ عبارة عن حدود متتالية تقدم حسابي (بالترتيب المشار إليه).

حل. نظرًا لأن هذه الأرقام أعضاء في تقدم، فإن شرط المتوسط ​​الحسابي يكون مستوفيًا لها: يمكن التعبير عن العنصر المركزي $x+1$ بدلالة العناصر المجاورة:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2))))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \النهاية(محاذاة)\]

والنتيجة هي معادلة تربيعية كلاسيكية. جذورها: $x=2$ و $x=-3$ هي الإجابات.

الجواب: −3؛ 2.

المهمة رقم 7. ابحث عن قيم $$ التي تشكل الأرقام $-1;4-3;(()^(2))+1$ تقدمًا حسابيًا (بهذا الترتيب).

حل. دعونا مرة أخرى نعبر عن الحد الأوسط من خلال الوسط الحسابي للمصطلحات المجاورة:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \يمين.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \النهاية(محاذاة)\]

المعادلة التربيعية مرة أخرى. ومرة أخرى هناك جذرين: $x=6$ و $x=1$.

الجواب: 1؛ 6.

إذا توصلت أثناء حل المشكلة إلى بعض الأرقام الوحشية، أو لم تكن متأكدًا تمامًا من صحة الإجابات التي تم العثور عليها، فهناك تقنية رائعة تسمح لك بالتحقق: هل قمنا بحل المشكلة بشكل صحيح؟

لنفترض أننا حصلنا في المسألة رقم 6 على الإجابتين −3 و2. كيف يمكننا التحقق من صحة هذه الإجابات؟ دعونا فقط نوصلهم إلى حالتهم الأصلية ونرى ما سيحدث. اسمحوا لي أن أذكرك أن لدينا ثلاثة أرقام ($-6(()^(2))$ و$+1$ و$14+4(()^(2))$)، والتي يجب أن تشكل تقدمًا حسابيًا. لنستبدل $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(محاذاة)\]

لقد حصلنا على الأرقام −54؛ -2؛ 50 التي تختلف بمقدار 52 هي بلا شك تقدم حسابي. يحدث نفس الشيء لـ $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(محاذاة)\]

مرة أخرى تقدم ولكن بفارق 27. وهكذا تم حل المشكلة بشكل صحيح. يمكن لأولئك الذين يرغبون التحقق من المشكلة الثانية بأنفسهم، لكنني سأقول على الفور: كل شيء على ما يرام هناك أيضًا.

بشكل عام، أثناء حل المشكلات الأخيرة، صادفنا حقيقة أخرى مثيرة للاهتمام يجب أيضًا تذكرها:

إذا كانت ثلاثة أرقام بحيث يكون الثاني هو الوسط الحسابي للأول والأخير، فإن هذه الأرقام تشكل تقدمًا حسابيًا.

في المستقبل، سيسمح لنا فهم هذا البيان "ببناء" التقدمات الضرورية حرفيًا بناءً على ظروف المشكلة. ولكن قبل أن ننخرط في مثل هذا "البناء"، يجب أن ننتبه إلى حقيقة أخرى، والتي تتبع مباشرة مما تمت مناقشته بالفعل.

تجميع العناصر وجمعها

دعنا نعود إلى محور الأعداد مرة أخرى. دعونا نلاحظ هناك العديد من أعضاء التقدم، بينهم، ربما. يستحق الكثير من الأعضاء الآخرين:

هناك 6 عناصر محددة على خط الأعداد

دعونا نحاول التعبير عن "الذيل الأيسر" من خلال $((a)_(n))$ و$d$، و"الذيل الأيمن" من خلال $((a)_(k))$ و$d$. الأمر بسيط جدًا:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((أ)_(ك-1))=((أ)_(ك))-د; \\ & ((أ)_(ك-2))=((أ)_(ك))-2د. \\ \النهاية(محاذاة)\]

لاحظ الآن أن المبالغ التالية متساوية:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((أ)_(ن+1))+((أ)_(ك-1))=((أ)_(ن))+د+((أ)_(ك))-د= س؛ \\ & ((أ)_(ن+2))+((أ)_(ك-2))=((أ)_(ن))+2d+((أ)_(ك))-2d= س. \end(محاذاة)\]

ببساطة، إذا أخذنا في الاعتبار عنصرين من عناصر التقدم، وهما في المجموع يساويان بعض الأرقام $S$، ثم نبدأ في التحرك من هذه العناصر في اتجاهين متعاكسين (باتجاه بعضهما البعض أو العكس بالعكس للابتعاد)، ثم مجموع العناصر التي سنعثر عليها ستكون متساوية أيضًا$س$. ويمكن تمثيل ذلك بشكل واضح بيانيا:

المسافات البادئة المتساوية تعطي كميات متساوية

إن فهم هذه الحقيقة سيسمح لنا بحل المشكلات ذات المستوى الأعلى من التعقيد بشكل أساسي من تلك التي ذكرناها أعلاه. على سبيل المثال، هذه:

المهمة رقم 8. أوجد الفرق في متوالية حسابية يكون فيها الحد الأول 66، وحاصل ضرب الحدين الثاني والثاني عشر هو أصغر ما يمكن.

حل. دعونا نكتب كل ما نعرفه:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&د=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(محاذاة)\]

لذلك، نحن لا نعرف فرق التقدم $d$. في الواقع، سيتم بناء الحل بأكمله حول الفرق، حيث يمكن إعادة كتابة المنتج $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ كما يلي:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(محاذاة)\]

بالنسبة لأولئك الموجودين في الخزان: أخذت المضاعف الإجمالي 11 من الشريحة الثانية. وبالتالي، فإن المنتج المطلوب هو دالة تربيعية بالنسبة للمتغير $d$. لذلك، فكر في الدالة $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - سيكون رسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى، لأن إذا قمنا بفك الأقواس نحصل على:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( د)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

كما ترون، معامل الحد الأعلى هو 11 - وهذا رقم موجب، لذلك نحن نتعامل حقًا مع قطع مكافئ له فروع تصاعدية:

الرسم البياني للدالة التربيعية - القطع المكافئ

يرجى ملاحظة: يأخذ هذا القطع المكافئ أدنى قيمة له عند رأسه مع الإحداثي الإحداثي $((d)_(0))$. بالطبع، يمكننا حساب هذا الإحداثي المحوري باستخدام المخطط القياسي (توجد الصيغة $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$)، ولكن سيكون من المعقول أكثر ملاحظة ذلك أن الرأس المطلوب يقع على تماثل محور القطع المكافئ، وبالتالي فإن النقطة $((d)_(0))$ تكون على مسافة متساوية من جذور المعادلة $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((د)_(1))=-66;\quad ((د)_(2))=-6. \\ \النهاية(محاذاة)\]

لهذا السبب لم أكن في عجلة من أمري لفتح الأقواس: في شكلها الأصلي، كان من السهل جدًا العثور على الجذور. ولذلك فإن الإحداثي السيني يساوي الوسط الحسابي للأرقام −66 و −6:

\[((د)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

ماذا يعطينا الرقم المكتشف؟ باستخدامه، يأخذ المنتج المطلوب أصغر قيمة (بالمناسبة، لم نحسب أبدًا $((y)_(\min ))$ - هذا غير مطلوب منا). وفي الوقت نفسه، هذا الرقم هو الفرق من التقدم الأصلي، أي. وجدنا الجواب :)

الجواب: -36

المهمة رقم 9. بين الأرقام $-\frac(1)(2)$ و$-\frac(1)(6)$، أدخل ثلاثة أرقام بحيث تشكل مع هذه الأرقام تقدمًا حسابيًا.

حل. في الأساس، نحتاج إلى عمل سلسلة من خمسة أرقام، مع معرفة الرقم الأول والأخير بالفعل. دعنا نشير إلى الأرقام المفقودة بالمتغيرات $x$ و $y$ و $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

لاحظ أن الرقم $y$ هو "الوسط" في تسلسلنا - فهو على مسافة متساوية من الأرقام $x$ و$z$، ومن الأرقام $-\frac(1)(2)$ و$-\frac (1)(6)$. وإذا لم نتمكن حاليًا من الحصول على $y$ من الأرقام $x$ و$z$، فإن الوضع يختلف مع نهايات التقدم. لنتذكر الوسط الحسابي:

الآن، بعد أن عرفنا $y$، سنجد الأعداد المتبقية. لاحظ أن $x$ يقع بين الأرقام $-\frac(1)(2)$ و$y=-\frac(1)(3)$ التي وجدناها للتو. لهذا السبب

وباستخدام نفس المنطق نجد العدد المتبقي:

مستعد! لقد وجدنا جميع الأرقام الثلاثة. لنكتبها في الإجابة بالترتيب الذي يجب إدراجها به بين الأرقام الأصلية.

الإجابة: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

المهمة رقم 10. بين الرقمين 2 و42، أدخل عدة أرقام تشكل مع هذه الأرقام تقدمًا حسابيًا، إذا كنت تعلم أن مجموع الأرقام الأولى والثانية والأخيرة من الأرقام المدرجة هو 56.

حل. هناك مشكلة أكثر تعقيدًا، ومع ذلك، يتم حلها وفقًا لنفس مخطط المشكلات السابقة - من خلال الوسط الحسابي. المشكلة هي أننا لا نعرف بالضبط عدد الأرقام التي يجب إدخالها. لذلك، لنفترض على وجه اليقين أنه بعد إدخال كل شيء سيكون هناك بالضبط أرقام $n$، أولها 2، وآخرها 42. في هذه الحالة، يمكن تمثيل التقدم الحسابي المطلوب بالشكل:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( أ)_(ن-1));42 \يمين\)\]

\[((أ)_(2))+((أ)_(3))+((أ)_(n-1))=56\]

ومع ذلك، لاحظ أن الأرقام $((a)_(2))$ و$((a)_(n-1))$ يتم الحصول عليها من الرقمين 2 و42 عند الحواف بخطوة واحدة تجاه بعضها البعض، أي. . إلى وسط التسلسل. وهذا يعني ذلك

\[((أ)_(2))+((أ)_(n-1))=2+42=44\]

ولكن بعد ذلك يمكن إعادة كتابة التعبير المكتوب أعلاه على النحو التالي:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((أ)_(3))=56; \\ & ((أ)_(3))=56-44=12. \\ \النهاية(محاذاة)\]

بمعرفة $((a)_(3))$ و$((a)_(1))$، يمكننا بسهولة العثور على الفرق بين التقدم:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow د=5. \\ \النهاية(محاذاة)\]

كل ما تبقى هو العثور على المصطلحات المتبقية:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((أ)_(2))=2+5=7; \\ & ((أ)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \النهاية(محاذاة)\]

وبالتالي، في الخطوة التاسعة، سنصل إلى الطرف الأيسر من التسلسل - الرقم 42. في المجموع، كان لا بد من إدراج 7 أرقام فقط: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37.

الجواب: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37

مشاكل كلامية مع التقدم

في الختام، أود أن أتطرق إلى مشكلتين بسيطتين نسبيًا. حسنًا، بهذه البساطة: بالنسبة لمعظم الطلاب الذين يدرسون الرياضيات في المدرسة ولم يقرؤوا ما هو مكتوب أعلاه، قد تبدو هذه المشكلات صعبة. ومع ذلك، هذه هي أنواع المشاكل التي تظهر في OGE وامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، لذلك أوصي بالتعرف عليها.

المهمة رقم 11. أنتج الفريق 62 جزءًا في شهر يناير، وفي كل شهر لاحق أنتجوا 14 جزءًا أكثر مما أنتجوه في الشهر السابق. كم عدد الأجزاء التي أنتجها الفريق في نوفمبر؟

حل. من الواضح أن عدد الأجزاء المدرجة حسب الشهر سيمثل تقدمًا حسابيًا متزايدًا. علاوة على ذلك:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

نوفمبر هو الشهر الحادي عشر من العام، لذا علينا إيجاد $((a)_(11))$:

\[((أ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ولذلك، سيتم إنتاج 202 قطعة في نوفمبر.

المهمة رقم 12. قامت ورشة تجليد الكتب بتجليد 216 كتابًا في يناير، وفي كل شهر لاحق قامت بتجليد 4 كتب أكثر من الشهر السابق. كم عدد الكتب التي قامت الورشة بتجليدها في شهر ديسمبر؟

حل. كل شيء هو نفسه:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ديسمبر هو الشهر الثاني عشر الأخير من العام، لذلك نبحث عن $((a)_(12))$:

\[((أ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

هذا هو الجواب: سيتم مجلدة 260 كتابًا في ديسمبر.

حسنًا، إذا كنت قد قرأت هذا حتى الآن، فأنا أسارع إلى تهنئتك: لقد أكملت بنجاح "دورة المقاتل الشاب" في التقدم الحسابي. يمكنك الانتقال بأمان إلى الدرس التالي، حيث سندرس صيغة مجموع التقدم، بالإضافة إلى العواقب المهمة والمفيدة للغاية منه.