آلة حاسبة على الانترنت.
حل المتتابعة الحسابية.
نظرا: ن، د، ن
البحث عن: أ1

يعثر هذا البرنامج الرياضي على \(a_1\) للتقدم الحسابي استنادًا إلى الأرقام المحددة بواسطة المستخدم \(a_n, d\) و\(n\).
يمكن تحديد الأرقام \(a_n\) و \(d\) ليس فقط كأعداد صحيحة، ولكن أيضًا ككسور. علاوة على ذلك، يمكن إدخال الرقم الكسري على شكل كسر عشري (\(2.5\)) وعلى شكل كسر عادي (\(-5\frac(2)(7)\)).

لا يقدم البرنامج إجابة للمشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية البحث عن حل.

يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية في المدارس الثانوية عند التحضير للاختبارات والامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، وللآباء والأمهات للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر.

أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك ترغب فقط في إنجاز واجباتك المنزلية في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال حل المشكلات.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الأرقام، فنوصيك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال الأرقام
يمكن تحديد الأرقام \(a_n\) و \(d\) ليس فقط كأعداد صحيحة، ولكن أيضًا ككسور.

يمكن أن يكون الرقم \(n\) عددًا صحيحًا موجبًا فقط.
قواعد إدخال الكسور العشرية.
يمكن فصل الأعداد الصحيحة والأجزاء الكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو بفاصلة.

على سبيل المثال، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل 2.5 أو 2.5
قواعد إدخال الكسور العادية.

يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا. /
عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة:
مدخل:

النتيجة: \(-\frac(2)(3)\) &
عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة:
يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بواسطة علامة العطف:

النتيجة: \(-1\frac(2)(3)\)

أدخل الأرقام أ ن، د، ن

العثور على 1
تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.

وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

تسلسل رقمي

في الممارسة اليومية، غالبًا ما يُستخدم ترقيم الكائنات المختلفة للإشارة إلى الترتيب الذي تم ترتيبها به. على سبيل المثال، يتم ترقيم المنازل في كل شارع. في المكتبة، يتم ترقيم اشتراكات القراء ثم ترتيبها حسب الأرقام المخصصة في ملفات بطاقات خاصة.

في بنك التوفير، باستخدام رقم الحساب الشخصي للمودع، يمكنك بسهولة العثور على هذا الحساب ومعرفة الإيداع الموجود فيه. لنفترض أن الحساب رقم 1 يحتوي على إيداع بمبلغ a1 روبل، والحساب رقم 2 يحتوي على إيداع بمبلغ a2 روبل، وما إلى ذلك. تسلسل رقمي
أ 1، أ 2، أ 3، ...، ن
حيث N هو عدد كافة الحسابات. هنا، كل عدد طبيعي n من 1 إلى N يرتبط برقم a n.

درست أيضا في الرياضيات تسلسل عدد لا نهائي:
أ 1، أ 2، أ 3، ...، أ ن، ... .
يتم استدعاء الرقم 1 الحد الأول من المتتابعةرقم أ 2 - الحد الثاني من المتتابعةرقم أ 3 - الحد الثالث من المتتابعةإلخ.
يسمى الرقم n العضو n (n) في التسلسل، والعدد الطبيعي n هو رقم.

على سبيل المثال، في تسلسل مربعات الأعداد الطبيعية 1، 4، 9، 16، 25، ...، ن 2، (ن + 1) 2، ... و 1 = 1 هو الحد الأول من التسلسل؛ و n = n 2 هو الحد النوني من المتتابعة؛ a n+1 = (n + 1) 2 هو الحد (n + 1) (n زائد الأول) من المتتابعة. في كثير من الأحيان يمكن تحديد التسلسل من خلال صيغة الحد النوني له. على سبيل المثال، تحدد الصيغة \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) التسلسل \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

المتوالية العددية

ويبلغ طول السنة حوالي 365 يوما. القيمة الأكثر دقة هي \(365\frac(1)(4)\) من الأيام، لذلك يتراكم خطأ قدره يوم واحد كل أربع سنوات.

ولمراعاة هذا الخطأ، تتم إضافة يوم إلى كل سنة رابعة، وتسمى السنة الممتدة بالسنة الكبيسة.

على سبيل المثال، في الألفية الثالثة، السنوات الكبيسة هي الأعوام 2004، 2008، 2012، 2016، ....

في هذا التسلسل كل عضو ابتداء من الثاني يساوي الذي قبله مضافا إليه نفس الرقم 4. وتسمى مثل هذه التسلسلات التقدم الحسابي.

تعريف.
التسلسل الرقمي a 1، a 2، a 3، ...، a n، ... يسمى المتوالية العددية، إذا كان لجميع الطبيعية ن المساواة
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
حيث d هو عدد ما.

ويترتب على هذه الصيغة أن n+1 - a n = d. الرقم د يسمى الفرق المتوالية العددية.

من خلال تعريف التقدم الحسابي لدينا:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
أين
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \)، حيث \(n>1 \)

وهكذا فإن كل حد من المتتابعة الحسابية، ابتداء من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للحدين المتجاورين. وهذا ما يفسر اسم التقدم "الحسابي".

لاحظ أنه إذا تم إعطاء 1 وd، فيمكن حساب الحدود المتبقية للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة المتكررة a n+1 = a n + d. بهذه الطريقة، ليس من الصعب حساب الحدود القليلة الأولى للتقدم، ومع ذلك، على سبيل المثال، سيتطلب الرقم 100 بالفعل الكثير من الحسابات. عادة، يتم استخدام صيغة الحد n لهذا الغرض. حسب تعريف التقدم الحسابي
\(a_2=a_1+د، \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+د=a_1+3d \)
إلخ.
على الاطلاق،
\(a_n=a_1+(n-1)د، \)
حيث أن الحد النوني للمتوالية الحسابية يتم الحصول عليه من الحد الأول بإضافة (ن-1) ضرب الرقم د.
هذه الصيغة تسمى صيغة الحد n من التقدم الحسابي.

مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي

أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100.
لنكتب هذا المبلغ بطريقتين:
ق = ل + 2 + 3 + ... + 99 + 100،
س = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
دعونا نضيف هذه المساواة مصطلحًا تلو الآخر:
2س = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
يحتوي هذا المجموع على 100 مصطلح
ولذلك، 2S = 101 * 100، وبالتالي S = 101 * 50 = 5050.

دعونا الآن ننظر في التقدم الحسابي التعسفي
أ 1، أ 2، أ 3، ...، أ ن، ...
دع S n يكون مجموع الحدود n الأولى لهذا التقدم:
S n = أ 1 , أ 2 , أ 3 , ..., أ ن
ثم مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي يساوي
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

بما أن \(a_n=a_1+(n-1)d\)، فعند استبدال n في هذه الصيغة نحصل على صيغة أخرى للبحث مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

كتب (كتب مدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحدة واختبارات امتحان الدولة الموحدة الألعاب عبر الإنترنت والألغاز رسم الرسوم البيانية للوظائف قاموس إملائي للغة الروسية قاموس الشباب العامية كتالوج المدارس الروسية كتالوج المؤسسات التعليمية الثانوية في روسيا كتالوج الجامعات الروسية قائمة من المهام

على سبيل المثال، التسلسل \(2\); \(5\); \(8\); \(أحد عشر\)؛ \(14\)... هي متتابعة حسابية، لأن كل عنصر لاحق يختلف عن العنصر السابق بثلاثة (يمكن الحصول على العنصر السابق بإضافة ثلاثة):

في هذا التقدم، يكون الفرق \(d\) موجبًا (يساوي \(3\)) وبالتالي فإن كل حد تالٍ أكبر من الحد السابق. تسمى مثل هذه التقدمات في ازدياد.

ومع ذلك، يمكن أن يكون \(d\) أيضًا رقمًا سالبًا. على سبيل المثال، في التقدم الحسابي \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... فرق التقدم \(d\) يساوي سالب ستة.

وفي هذه الحالة، سيكون كل عنصر تالٍ أصغر من العنصر السابق. وتسمى هذه التقدمات متناقص.

تدوين التقدم الحسابي

تتم الإشارة إلى التقدم بحرف لاتيني صغير.

يتم استدعاء الأرقام التي تشكل تقدمًا أعضاء(أو العناصر).

ويشار إليها بنفس الحرف كمتتالية حسابية، ولكن بمؤشر رقمي يساوي رقم العنصر بالترتيب.

على سبيل المثال، يتكون التقدم الحسابي \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) من العناصر \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) وهكذا.

بمعنى آخر، بالنسبة للتقدم \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

حل مسائل التقدم الحسابي

من حيث المبدأ، فإن المعلومات المقدمة أعلاه كافية بالفعل لحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا (بما في ذلك تلك المقدمة في OGE).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(b_1=7; d=4\). ابحث عن \(b_5\).
حل:

إجابة: \(b_5=23\)

مثال (أوجي). معطاة الحدود الثلاثة الأولى للمتتالية الحسابية: \(62; 49; 36…\) أوجد قيمة الحد السالب الأول من هذه المتوالية..
حل:

	لقد حصلنا على العناصر الأولى من المتتابعة ونعلم أنها متوالية حسابية. أي أن كل عنصر يختلف عن جاره بنفس العدد. دعنا نكتشف أي منها عن طريق طرح العنصر السابق من العنصر التالي: \(d=49-62=-13\).
	الآن يمكننا استعادة تقدمنا ​​إلى العنصر (السلبي الأول) الذي نحتاجه.
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(-3\)

مثال (أوجي). بمعرفة عدة عناصر متتالية للمتتابعة الحسابية: \(...5; x; 10; 12.5...\) أوجد قيمة العنصر المشار إليه بالحرف \(x\).
حل:

	للعثور على \(x\)، نحتاج إلى معرفة مدى اختلاف العنصر التالي عن العنصر السابق، بمعنى آخر، اختلاف التقدم. لنجدها من عنصرين متجاورين معروفين: \(d=12.5-10=2.5\).
	والآن يمكننا بسهولة العثور على ما نبحث عنه: \(x=5+2.5=7.5\).
	مستعد. يمكنك كتابة إجابة.

إجابة: \(7,5\).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط التالية: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من هذا التقدم.
حل:

	علينا إيجاد مجموع الحدود الستة الأولى للتقدم. لكننا لا نعرف معانيها؛ فنحن نعطي العنصر الأول فقط. لذلك نقوم أولاً بحساب القيم واحدة تلو الأخرى باستخدام ما هو معطى لنا: \(ن=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(ن=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(ن=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) وبعد حساب العناصر الستة التي نحتاجها، نجد مجموعها.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	تم العثور على المبلغ المطلوب.

إجابة: \(S_6=9\).

مثال (أوجي). في التقدم الحسابي \(a_(12)=23\); \(أ_(16)=51\). أوجد الفرق في هذا التقدم.
حل:

إجابة: \(د=7\).

صيغ مهمة للتقدم الحسابي

كما ترون، يمكن حل العديد من المسائل المتعلقة بالتقدم الحسابي ببساطة عن طريق فهم الشيء الرئيسي - وهو أن التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام، ويتم الحصول على كل عنصر لاحق في هذه السلسلة عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق (الرقم اختلاف التقدم).

ومع ذلك، في بعض الأحيان تكون هناك مواقف يكون فيها اتخاذ القرار "المباشر" غير مريح للغاية. على سبيل المثال، تخيل أننا في المثال الأول لا نحتاج إلى العثور على العنصر الخامس \(b_5\)، ولكن الثلاثمائة والسادس والثمانين \(b_(386)\). هل يجب أن نضيف أربع \(385\) مرات؟ أو تخيل أنك تحتاج في المثال قبل الأخير إلى إيجاد مجموع العناصر الثلاثة والسبعين الأولى. سوف تتعب من العد..

لذلك، في مثل هذه الحالات، لا يحلون الأمور "مباشرة"، بل يستخدمون صيغًا خاصة مشتقة من التقدم الحسابي. وأهمها هي صيغة الحد n من التقدم وصيغة مجموع \(n\) الحدود الأولى.

صيغة الحد \(n\)الثالث: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، حيث \(a_1\) هو الحد الأول من التقدم؛
\(n\) – عدد العنصر المطلوب;
\(a_n\) – مدة التقدم بالرقم \(n\).

تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور بسرعة على العنصر الثلاثمائة أو العنصر المليون، بمعرفة العنصر الأول فقط والفرق في التقدم.

مثال. يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(b_1=-159\); \(د=8.2\). ابحث عن \(b_(246)\).
حل:

إجابة: \(ب_(246)=1850\).

صيغة مجموع الحدود n الأولى: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، حيث

\(a_n\) – الحد الأخير الملخص؛

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(a_n=3.4n-0.6\). أوجد مجموع الحدود \(25\) الأولى لهذا التقدم.
حل:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		لحساب مجموع أول خمسة وعشرين حدًا، علينا معرفة قيمة الحدين الأول والخامس والعشرين. يتم إعطاء تقدمنا ​​من خلال صيغة الحد n اعتمادًا على رقمه (لمزيد من التفاصيل، انظر). لنحسب العنصر الأول عن طريق استبدال \(n\) بواحد.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		والآن دعونا نوجد الحد الخامس والعشرين بالتعويض بخمسة وعشرين بدلاً من \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		حسنًا، يمكننا الآن حساب المبلغ المطلوب بسهولة.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		الجواب جاهز.

إجابة: \(س_(25)=1090\).

بالنسبة لمجموع \(n\) الحدود الأولى، يمكنك الحصول على صيغة أخرى: تحتاج فقط إلى \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) بدلاً من \(a_n\) استبدل الصيغة \(a_n=a_1+(n-1)d\). نحن نحصل:

صيغة مجموع حدود n الأولى: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، حيث

\(S_n\) – المبلغ المطلوب لعناصر \(n\) الأولى؛
\(a_1\) – الحد الأول المجمع؛
\(د\) - فرق التقدم؛
\(n\) – عدد العناصر في المجموع.

مثال. أوجد مجموع الحدود \(33\)-ex الأولى للتقدم الحسابي: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
حل:

إجابة: \(S_(33)=-231\).

مشاكل التقدم الحسابي الأكثر تعقيدًا

الآن لديك كل المعلومات التي تحتاجها لحل أي مسألة تقدم حسابي تقريبًا. دعونا ننهي الموضوع من خلال النظر في المسائل التي لا تحتاج فيها إلى تطبيق الصيغ فحسب، بل تحتاج أيضًا إلى التفكير قليلاً (قد يكون هذا مفيدًا في الرياضيات ☺)

مثال (أوجي). أوجد مجموع كل الحدود السلبية للتقدم: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
حل:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		المهمة مشابهة جدًا للمهمة السابقة. نبدأ في حل نفس الشيء: أولاً نجد \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		الآن أود استبدال \(d\) في صيغة المجموع... وهنا يظهر فارق بسيط - نحن لا نعرف \(n\). بعبارة أخرى، لا نعرف عدد الحدود التي يجب إضافتها. كيفية معرفة ذلك؟ دعونا نفكر. سوف نتوقف عن إضافة العناصر عندما نصل إلى العنصر الإيجابي الأول. أي أنك بحاجة إلى معرفة عدد هذا العنصر. كيف؟ دعونا نكتب الصيغة لحساب أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي: \(a_n=a_1+(n-1)d\) في حالتنا.
\(a_n=a_1+(n-1)د\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		نحتاج أن يصبح \(a_n\) أكبر من الصفر. دعونا نكتشف ماذا سيحدث \(n\) هذا.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		نقسم طرفي المتراجحة على \(0.3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		ننقل ناقص واحد، دون أن ننسى تغيير العلامات
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		دعونا نحسب...
\(ن>65,333…\)		...ويتضح أن العنصر الموجب الأول سيكون له الرقم \(66\). وبناء على ذلك، فإن آخر سالب له \(n=65\). فقط في حالة، دعونا التحقق من هذا.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		لذلك نحن بحاجة إلى إضافة العناصر \(65\) الأولى.
\(س_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		الجواب جاهز.

إجابة: \(S_(65)=-630.5\).

مثال (أوجي). يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). أوجد المجموع من \(26\)العنصر \(42\) شاملاً.
حل:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	في هذه المشكلة، تحتاج أيضًا إلى إيجاد مجموع العناصر، ولكن ليس بدءًا من العنصر الأول، بل من \(26\)الرقم. لمثل هذه الحالة ليس لدينا صيغة. كيف تقرر؟ من السهل - للحصول على المجموع من \(26\)إلى \(42\)، يجب عليك أولاً العثور على المجموع من \(1\)إلى \(42\)ثم طرحه منه المجموع من الأول إلى (25) (انظر الصورة).
	بالنسبة لتقدمنا ​​\(a_1=-33\)، والفرق \(d=4\) (بعد كل شيء، نضيف الأربعة إلى العنصر السابق للعثور على العنصر التالي). بمعرفة ذلك نجد مجموع عناصر \(42\)-y الأولى.
\(س_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	الآن مجموع العناصر \(25\) الأولى.
\(س_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	وأخيرًا، نحسب الإجابة.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

إجابة: \(س=1683\).

بالنسبة للتقدم الحسابي، هناك العديد من الصيغ الأخرى التي لم نأخذها في الاعتبار في هذه المقالة بسبب فائدتها العملية المنخفضة. ومع ذلك، يمكنك العثور عليها بسهولة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام يكون فيها كل رقم أكبر (أو أقل) من الرقم السابق بنفس المقدار.

غالبًا ما يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم. مؤشرات الحروف، الحد التاسع للتقدم، الفرق في التقدم - كل هذا مربك إلى حد ما، نعم... دعونا نكتشف معنى التقدم الحسابي وكل شيء سوف يتحسن على الفور.)

مفهوم التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو مفهوم بسيط وواضح للغاية. هل لديك أي شكوك؟ عبثا.) انظر لنفسك.

سأكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 2, 3, 4, 5, ...

هل يمكنك تمديد هذه السلسلة؟ ما الأرقام التي ستأتي بعد الخمسة؟ الجميع... أه... باختصار، الجميع سوف يدرك أن الأرقام 6، 7، 8، 9، إلخ ستأتي بعد ذلك.

دعونا تعقيد المهمة. أقدم لك سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ستكون قادرًا على التقاط النمط وتوسيع السلسلة والاسم السابعرقم الصف؟

إذا أدركت أن هذا الرقم هو 20، فتهانينا! لم تشعر فقط النقاط الرئيسية للتقدم الحسابي،ولكن أيضًا استخدموها بنجاح في العمل! إذا لم تكن قد اكتشفت ذلك، واصل القراءة.

والآن دعونا نترجم النقاط الرئيسية من الأحاسيس إلى الرياضيات.)

النقطة الرئيسية الأولى.

التقدم الحسابي يتعامل مع سلسلة من الأرقام.هذا محير في البداية. لقد اعتدنا على حل المعادلات ورسم الرسوم البيانية وكل ذلك... ولكن هنا نمد المتسلسلة ونوجد رقم المتسلسلة...

لا بأس. إن الأمر مجرد أن التقدم هو أول التعرف على فرع جديد من الرياضيات. يُطلق على القسم اسم "السلسلة" ويعمل بشكل خاص مع سلسلة من الأرقام والتعبيرات. اعتد عليه.)

النقطة الرئيسية الثانية.

في المتوالية الحسابية، أي رقم يختلف عن الرقم السابق بنفس المبلغ.

في المثال الأول، هذا الفرق هو واحد. ومهما كان الرقم الذي تأخذه، فهو يزيد بمقدار واحد عن الرقم السابق. في الثانية - ثلاثة. أي رقم يزيد بثلاثة عن الرقم السابق. في الواقع، هذه اللحظة هي التي تمنحنا الفرصة لفهم النمط وحساب الأرقام اللاحقة.

النقطة الرئيسية الثالثة.

هذه اللحظة ليست ملفتة للنظر، نعم... لكنها مهمة جدًا جدًا. هنا هو: كل رقم التقدم في مكانه.هناك الرقم الأول، وهناك السابع، وهناك الخامس والأربعون، الخ. إذا قمت بخلطها بشكل عشوائي، فسوف يختفي النمط. سوف يختفي التقدم الحسابي أيضًا. ما تبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام.

هذا هو بيت القصيد.

وبطبيعة الحال، تظهر مصطلحات وتسميات جديدة في موضوع جديد. تحتاج إلى معرفتهم. وإلا فلن تفهم المهمة. على سبيل المثال، سيكون عليك أن تقرر شيئًا مثل:

اكتب الحدود الستة الأولى من المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.

ملهمة؟) الحروف وبعض الفهارس... وبالمناسبة، المهمة لا يمكن أن تكون أسهل. تحتاج فقط إلى فهم معنى المصطلحات والتسميات. الآن سوف نتقن هذا الأمر ونعود إلى المهمة.

المصطلحات والتسميات.

المتوالية العدديةهي سلسلة من الأرقام يختلف كل رقم فيها عن الرقم الذي يسبقه بنفس المبلغ.

تسمى هذه الكمية . دعونا ننظر إلى هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.

فرق التقدم الحسابي.

فرق التقدم الحسابيهو المبلغ الذي أي رقم التقدم أكثرالسابق.

نقطة واحدة مهمة. يرجى الانتباه إلى الكلمة "أكثر".رياضياً، هذا يعني أن كل رقم تقدم هو بإضافةفرق التقدم الحسابي إلى الرقم السابق.

لحساب، دعنا نقول ثانيةأرقام السلسلة التي تحتاج إليها أولاًرقم يضيفهذا الاختلاف بالذات في التقدم الحسابي. للحساب الخامس- الاختلاف ضروري يضيفل الرابع،حسنًا ، إلخ.

فرق التقدم الحسابيربما إيجابي،عندها سيتبين أن كل رقم في السلسلة حقيقي أكثر من السابق.ويسمى هذا التقدم في ازدياد.على سبيل المثال:

8; 13; 18; 23; 28; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم بإضافةالرقم الموجب، +5 إلى الرقم السابق.

قد يكون الفرق سلبي،ثم سيكون كل رقم في السلسلة أقل من السابق.هذا التقدم يسمى (لن تصدقه!) متناقص.

على سبيل المثال:

8; 3; -2; -7; -12; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم أيضًا بإضافةإلى الرقم السابق، ولكن بالفعل رقم سالب، -5.

بالمناسبة، عند العمل مع التقدم، من المفيد للغاية تحديد طبيعته على الفور - سواء كان يتزايد أو يتناقص. يساعد هذا كثيرًا في اتخاذ القرار واكتشاف أخطائك وتصحيحها قبل فوات الأوان.

فرق التقدم الحسابييشار إليها عادة بالحرف د.

كيف تجد د؟ بسيط جدا. من الضروري الطرح من أي رقم في السلسلة سابقرقم. طرح او خصم. بالمناسبة، نتيجة الطرح تسمى "الفرق".)

دعونا نحدد، على سبيل المثال، دلزيادة التقدم الحسابي:

2, 5, 8, 11, 14, ...

نأخذ أي عدد نريده في المتسلسلة، مثلا 11. ونطرح منه الرقم السابقأولئك. 8:

هذا هو الجواب الصحيح. في هذه المتوالية الحسابية، الفرق هو ثلاثة.

تستطيع أخذها أي رقم التقدم،لأن لتقدم معين د-دائما نفس الشيء.على الأقل في مكان ما في بداية الصف، على الأقل في المنتصف، على الأقل في أي مكان. لا يمكنك أخذ الرقم الأول فقط. ببساطة لأن الرقم الأول لا سابقة.)

بالمناسبة، مع العلم بذلك د = 3إن العثور على الرقم السابع من هذا التقدم أمر بسيط للغاية. أضف 3 إلى الرقم الخامس - نحصل على السادس، سيكون 17. أضف ثلاثة إلى الرقم السادس، نحصل على الرقم السابع - عشرين.

دعونا نحدد دللتقدم الحسابي التنازلي:

8; 3; -2; -7; -12; .....

أذكرك أنه بغض النظر عن العلامات، يجب تحديدها دمطلوب من اي رقم يسلب السابق.اختر أي رقم تقدم، على سبيل المثال -7. رقمه السابق هو -2. ثم:

د = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

يمكن أن يكون الفرق في التقدم الحسابي أي رقم: عدد صحيح، أو كسري، أو غير منطقي، أو أي رقم.

مصطلحات وتسميات أخرى.

كل رقم في السلسلة يسمى عضو في التقدم الحسابي.

كل عضو في التقدم لديه رقم خاص به.الأرقام مرتبة بدقة، دون أي حيل. الأول، الثاني، الثالث، الرابع، الخ. على سبيل المثال، في التسلسل 2، 5، 8، 11، 14، ... اثنان هو الحد الأول، وخمسة هو الحد الثاني، وأحد عشر هو الرابع، حسنًا، أنت تفهم...) يرجى الفهم بوضوح - الأرقام نفسهايمكن أن يكون أي شيء على الإطلاق، كليًا، كسريًا، سلبيًا، أيًا كان، لكن ترقيم الأرقام- بدقة في النظام!

كيفية كتابة التقدم بشكل عام؟ لا مشكلة! كل رقم في السلسلة مكتوب على شكل حرف. للدلالة على التقدم الحسابي، عادة ما يتم استخدام الرسالة أ. تتم الإشارة إلى رقم العضو بواسطة فهرس في أسفل اليمين. نكتب مصطلحات مفصولة بفواصل (أو فواصل منقوطة)، مثل هذا:

أ 1، أ 2، أ 3، أ 4، أ 5، .....

أ 1- وهذا هو الرقم الأول، أ 3- الثالث، الخ. لا شيء يتوهم. يمكن كتابة هذه السلسلة بإيجاز على النحو التالي: (ن).

التقدم يحدث محدود ولانهائي.

ذروةالتقدم له عدد محدود من الأعضاء. خمسة، ثمانية وثلاثون، أيا كان. لكنه عدد محدود.

لانهائيالتقدم - لديه عدد لا حصر له من الأعضاء، كما قد تتخيل.)

يمكنك كتابة التقدم النهائي من خلال سلسلة مثل هذه، جميع المصطلحات ونقطة في النهاية:

أ1، أ2، أ3، أ4، أ5.

أو هكذا إذا كان الأعضاء كثيرين:

أ1، أ2، ...14، أ15.

في الإدخال القصير، سيتعين عليك أيضًا الإشارة إلى عدد الأعضاء. على سبيل المثال (لعشرين عضواً) هكذا:

(أ ن)، ن = 20

يمكن التعرف على التقدم اللانهائي من خلال علامة الحذف الموجودة في نهاية الصف، كما في الأمثلة الموجودة في هذا الدرس.

الآن يمكنك حل المهام. المهام بسيطة، وهي مخصصة فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.

أمثلة على المهام على التقدم الحسابي.

دعونا نلقي نظرة على المهمة المذكورة أعلاه بالتفصيل:

1. اكتب الحدود الستة الأولى من المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.

نترجم المهمة إلى لغة مفهومة. يتم إعطاء تقدم حسابي لانهائي. والرقم الثاني من هذا التقدم معروف: أ 2 = 5.وفرق التقدم معروف: د = -2.5.علينا إيجاد الحدود الأول والثالث والرابع والخامس والسادس من هذا التقدم.

وللتوضيح سأكتب سلسلة حسب ظروف المشكلة. الحدود الستة الأولى، حيث الحد الثاني هو خمسة:

أ 1، 5، أ 3، أ 4، أ 5، أ 6، ....

أ 3 = 2 + د

استبدال في التعبير أ 2 = 5و د = -2.5. لا تنسى الطرح!

أ 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

وتبين أن الحد الثالث أقل من الثاني. كل شيء منطقي. إذا كان العدد أكبر من الرقم السابق سلبيالقيمة، مما يعني أن الرقم نفسه سيكون أقل من الرقم السابق. التقدم آخذ في التناقص. حسنًا، لنأخذ ذلك بعين الاعتبار.) نعد الحد الرابع من المتسلسلة:

أ 4 = أ 3 + د

أ 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = أ 4 + د

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + د

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

إذن تم حساب الحدود من الثالث إلى السادس. والنتيجة هي السلسلة التالية:

أ 1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5، ....

يبقى العثور على الفصل الأول أ 1على القول الثاني المشهور. هذه خطوة في الاتجاه الآخر، إلى اليسار.) إذن، فرق التقدم الحسابي دلا ينبغي أن تضاف إلى 2، أ يبعد:

أ 1 = 2 - د

أ 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

هذا كل شيء. إجابة الواجب:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

وبشكل عابر، أود أن أشير إلى أننا حللنا هذه المهمة متكررطريق. هذه الكلمة الرهيبة تعني فقط البحث عن عضو في التقدم حسب الرقم (المجاور) السابق.سننظر في طرق أخرى للعمل مع التقدم أدناه.

يمكن استخلاص استنتاج مهم من هذه المهمة البسيطة.

يتذكر:

إذا عرفنا حدًا واحدًا على الأقل وفرق المتتابعة الحسابية، فيمكننا إيجاد أي حد من هذه المتتابعة.

هل تذكر؟ يتيح لك هذا الاستنتاج البسيط حل معظم مشكلات الدورة المدرسية حول هذا الموضوع. جميع المهام تدور حول ثلاثة معايير رئيسية: عضو التقدم الحسابي، فرق التقدم، عدد أعضاء التقدم.الجميع.

بالطبع، لم يتم إلغاء جميع الجبر السابق.) ترتبط المتباينات والمعادلات وأشياء أخرى بالتقدم. لكن وفقا للتقدم نفسه- كل شيء يدور حول ثلاث عوامل.

على سبيل المثال، دعونا نلقي نظرة على بعض المهام الشائعة حول هذا الموضوع.

2. اكتب المتتابعة الحسابية المحدودة في صورة متسلسلة إذا كان n=5، وd = 0.4، وa 1 = 3.6.

كل شيء بسيط هنا. لقد تم بالفعل إعطاء كل شيء. عليك أن تتذكر كيفية حساب أعضاء التقدم الحسابي، وعدّهم، وكتابتهم. يُنصح بعدم تفويت الكلمات الموجودة في شروط المهمة: "نهائي" و " ن = 5". حتى لا تحسب حتى يصبح وجهك أزرقًا تمامًا.) لا يوجد سوى 5 (خمسة) أعضاء في هذا التقدم:

أ 2 = أ 1 + د = 3.6 + 0.4 = 4

أ 3 = أ 2 + د = 4 + 0.4 = 4.4

أ 4 = أ 3 + د = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = أ 4 + د = 4.8 + 0.4 = 5.2

يبقى أن أكتب الجواب:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

مهمة أخرى:

3. تحديد ما إذا كان الرقم 7 سيكون عضوا في المتوالية الحسابية (أ ن)، إذا أ 1 = 4.1؛ د = 1.2.

همم... من يدري؟ كيفية تحديد شيء ما؟

كيف كيف... اكتب التقدم في شكل سلسلة وانظر ما إذا كان سيكون هناك سبعة أم لا! نحن نعد:

أ 2 = أ 1 + د = 4.1 + 1.2 = 5.3

أ 3 = أ 2 + د = 5.3 + 1.2 = 6.5

أ 4 = أ 3 + د = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

الآن أصبح من الواضح أننا في السابعة من عمرنا فقط تسللوا عبربين 6.5 و7.7! سبعة لم يندرج في سلسلة أرقامنا، وبالتالي، سبعة لن يكون عضوًا في التقدم المحدد.

الجواب: لا.

وهنا مشكلة مبنية على نسخة حقيقية من GIA:

4. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:

...; 15؛ العاشر؛ 9؛ 6؛ ...

إليكم سلسلة مكتوبة بلا نهاية ولا بداية. لا أرقام الأعضاء، لا فرق د. لا بأس. لحل المشكلة، يكفي أن نفهم معنى التقدم الحسابي. دعونا ننظر ونرى ما هو ممكن لتعرفمن هذه السلسلة؟ ما هي المعلمات الثلاثة الرئيسية؟

أرقام الأعضاء؟ لا يوجد رقم واحد هنا.

ولكن هناك ثلاثة أرقام و- انتبه! - كلمة "ثابت"في حالة. وهذا يعني أن الأرقام مرتبة بدقة، دون ثغرات. هل هناك اثنان في هذا الصف؟ المجاورةأرقام معروفة؟ نعم لدي! هذه هي 9 و 6. لذلك، يمكننا حساب الفرق في التقدم الحسابي! اطرح من ستة سابقالرقم، أي تسع:

لم يتبق سوى تفاهات. ما هو الرقم الذي سيكون الرقم السابق لـ X؟ خمسة عشر. وهذا يعني أنه يمكن العثور على X بسهولة عن طريق الجمع البسيط. أضف فرق التقدم الحسابي إلى 15:

هذا كل شئ. إجابة: س = 12

نحن نحل المشاكل التالية بأنفسنا. ملاحظة: هذه المشاكل لا تعتمد على الصيغ. فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.) نحن فقط نكتب سلسلة من الأرقام والحروف وننظر إليها ونكتشفها.

5. أوجد الحد الموجب الأول للتقدم الحسابي إذا كان a 5 = -3؛ د = 1.1.

6. من المعروف أن الرقم 5.5 هو عضو في المتتابعة الحسابية (أ ن) حيث أن 1 = 1.6؛ د = 1.3. حدد العدد n لهذا المصطلح.

7. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 4؛ أ 5 = 15.1. العثور على 3 .

8. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:

...; 15.6؛ العاشر؛ 3.4؛ ...

ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بالحرف x.

9. بدأ القطار بالتحرك من المحطة، وزادت سرعته بشكل منتظم بمقدار 30 مترًا في الدقيقة. كم ستكون سرعة القطار خلال خمس دقائق؟ اكتب إجابتك بالكيلومتر/الساعة.

10. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 5؛ أ 6 = -5. العثور على 1.

الإجابات (في حالة من الفوضى): 7.7؛ 7.5؛ 9.5؛ 9؛ 0.3؛ 4.

كل شيء على ما يرام؟ مدهش! يمكنك إتقان التقدم الحسابي على مستوى أعلى في الدروس التالية.

ألم ينجح كل شيء؟ لا مشكلة. في القسم الخاص 555، يتم حل كل هذه المشكلات قطعة قطعة.) وبالطبع، يتم وصف تقنية عملية بسيطة تسلط الضوء على الفور على حل هذه المهام بوضوح، بوضوح، في لمحة!

بالمناسبة، يوجد في لغز القطار مشكلتان غالبًا ما يتعثر الناس في حلهما. الأول يتعلق فقط بالتقدم، والثاني عام لأي مشاكل في الرياضيات، والفيزياء أيضًا. هذه هي ترجمة الأبعاد من واحد إلى آخر. ويبين كيف ينبغي حل هذه المشاكل.

في هذا الدرس نظرنا إلى المعنى الأولي للتقدم الحسابي ومعلماته الرئيسية. وهذا يكفي لحل جميع المشاكل تقريبًا حول هذا الموضوع. يضيف دإلى الأرقام، اكتب سلسلة، سيتم حل كل شيء.

يعمل حل الإصبع بشكل جيد مع الأجزاء القصيرة جدًا من الصف، كما هو موضح في الأمثلة في هذا الدرس. إذا كانت السلسلة أطول، تصبح الحسابات أكثر تعقيدا. على سبيل المثال، إذا كان في المشكلة 9 في السؤال نستبدل "خمس دقائق"على "خمسة وثلاثون دقيقة"سوف تصبح المشكلة أسوأ بكثير.)

وهناك أيضًا مهام بسيطة في جوهرها ولكنها سخيفة من حيث الحسابات، على سبيل المثال:

يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن). أوجد 121 إذا كان 1 = 3 و d = 1/6.

إذن ماذا، هل سنضيف 1/6 عدة مرات؟! هل تستطيع أن تقتل نفسك!؟

يمكنك ذلك.) إذا كنت لا تعرف صيغة بسيطة يمكنك من خلالها حل مثل هذه المهام في دقيقة واحدة. هذه الصيغة ستكون في الدرس القادم ويتم حل هذه المشكلة هناك. في دقيقة.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يشير مفهوم التسلسل الرقمي إلى أن كل رقم طبيعي يتوافق مع قيمة حقيقية معينة. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام تعسفية أو لها خصائص معينة - تقدم. وفي الحالة الأخيرة، يمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق في التسلسل باستخدام العنصر السابق.

التقدم الحسابي هو سلسلة من القيم العددية التي يختلف فيها الأعضاء المجاورون عن بعضهم البعض بنفس الرقم (جميع عناصر السلسلة، بدءًا من الثاني، لها خاصية مماثلة). هذا الرقم - الفرق بين الحدين السابق واللاحق - ثابت ويسمى فرق التقدم.

فرق التقدم: التعريف

خذ بعين الاعتبار تسلسلًا يتكون من قيم j A = a(1)، a(2)، a(3)، a(4) ... a(j)، j ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N. عملية حسابية التقدم، حسب تعريفه، هو تسلسل، فيه a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – أ(ي-1) = د. القيمة d هي الفرق المطلوب لهذا التقدم.

د = أ(ي) – أ(ي-1).

تسليط الضوء:

• تقدم متزايد، وفي هذه الحالة d > 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، ...
• انخفاض التقدم، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

تطور الفرق وعناصره التعسفية

إذا كان هناك حدين تعسفيين للتقدم معروفين (i-th، k-th)، فيمكن تحديد الفرق في تسلسل معين بناءً على العلاقة:

أ(i) = أ(ك) + (i – ك)*د، وهو ما يعني د = (أ(i) – أ(ك))/(ط-ك).

اختلاف التقدم ومدته الأولى

سيساعد هذا التعبير في تحديد قيمة غير معروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.

فرق التقدم ومجموعه

مجموع التقدم هو مجموع شروطه. لحساب القيمة الإجمالية لعناصر j الأولى، استخدم الصيغة المناسبة:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j، ولكن منذ ذلك الحين a(j) = a(1) + d(j – 1)، ثم S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2أ(1) + د(- 1))/2)*ي.

آي في ياكوفليف | مواد الرياضيات | MathUs.ru

المتوالية العددية

التقدم الحسابي هو نوع خاص من التسلسل. لذلك، قبل تعريف التقدم الحسابي (ثم الهندسي)، نحتاج إلى مناقشة المفهوم المهم للتسلسل الرقمي بإيجاز.

التبعية

تخيل جهازًا يتم عرض أرقام معينة على شاشته واحدًا تلو الآخر. لنفترض 2؛ 7؛ 13؛ 1؛ 6؛ 0; 3؛ : : : هذه المجموعة من الأرقام هي بالضبط مثال على التسلسل.

تعريف. التسلسل الرقمي عبارة عن مجموعة من الأرقام التي يمكن فيها تعيين رقم فريد لكل رقم (أي مرتبط برقم طبيعي واحد)1. الرقم n يسمى الحد n من المتتابعة.

لذلك، في المثال أعلاه، الرقم الأول هو 2، وهذا هو العضو الأول في التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بواسطة a1؛ الرقم خمسة لديه الرقم 6 هو الحد الخامس من التسلسل، والذي يمكن الإشارة إليه بـ a5. بشكل عام، يُشار إلى الحد n من التسلسل بـ (أو bn، cn، وما إلى ذلك).

الموقف المريح للغاية هو عندما يمكن تحديد الحد n من التسلسل بواسطة صيغة ما. على سبيل المثال، الصيغة an = 2n 3 تحدد التسلسل: 1; 1؛ 3؛ 5؛ 7؛ : : : الصيغة an = (1)n تحدد التسلسل: 1; 1؛ 1؛ 1؛ : : :

ليست كل مجموعة من الأرقام عبارة عن تسلسل. وبالتالي، فإن المقطع ليس تسلسلًا؛ أنه يحتوي على أرقام "كثيرة جدًا" بحيث لا يمكن إعادة ترقيمها. المجموعة R لجميع الأعداد الحقيقية ليست أيضًا تسلسلًا. تم إثبات هذه الحقائق في سياق التحليل الرياضي.

التقدم الحسابي: التعاريف الأساسية

الآن نحن على استعداد لتحديد التقدم الحسابي.

تعريف. التقدم الحسابي هو تسلسل يكون فيه كل حد (بدءًا من الثاني) يساوي مجموع الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة (يسمى فرق التقدم الحسابي).

على سبيل المثال، التسلسل 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : عبارة عن متتابعة حسابية مع الحد الأول 2 والفرق 3. التسلسل 7؛ 2؛ 3؛ 8؛ : : : عبارة عن متوالية حسابية مع الحد الأول 7 والفرق 5. التسلسل 3؛ 3؛ 3؛ : : : هي متوالية حسابية بفارق يساوي صفر.

تعريف مكافئ: يسمى التسلسل an بالتقدم الحسابي إذا كان الفرق an+1 قيمة ثابتة (مستقلة عن n).

تسمى المتوالية الحسابية تزايدية إذا كان فرقها موجباً، وتناقصية إذا كان فرقها سالباً.

1 ولكن إليك تعريفًا أكثر إيجازًا: التسلسل هو دالة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، سلسلة من الأعداد الحقيقية هي دالة f: N ! ر.

بشكل افتراضي، تعتبر التسلسلات لا نهائية، أي أنها تحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام. لكن لا أحد يزعجنا أن نأخذ في الاعتبار التسلسلات المحدودة؛ في الواقع، يمكن تسمية أي مجموعة محدودة من الأرقام بتسلسل محدود. على سبيل المثال، تسلسل النهاية هو 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5 يتكون من خمسة أرقام.

صيغة الحد n من التقدم الحسابي

من السهل أن نفهم أن التقدم الحسابي يتحدد بالكامل برقمين: الحد الأول والفرق. لذلك يطرح السؤال: كيف يمكن، بمعرفة الحد الأول والفرق، العثور على حد تعسفي للتقدم الحسابي؟

ليس من الصعب الحصول على الصيغة المطلوبة للحد التاسع من التقدم الحسابي. دع

المتوالية الحسابية مع الفرق د. لدينا:
أن+1 = أن + د (ن = 1; 2;: : :):
ونكتب على وجه الخصوص:
a2 = a1 + د؛
a3 = a2 + د = (a1 + د) + د = a1 + 2d؛
a4 = a3 + د = (a1 + 2d) + د = a1 + 3d؛
والآن أصبح من الواضح أن صيغة a هي:
و = أ1 + (ن 1)د:

المشكلة 1. في التقدم الحسابي 2؛ 5؛ 8؛ أحد عشر؛ : : : ابحث عن صيغة الحد النوني واحسب الحد المائة.

حل. ووفقا للصيغة (1) لدينا:

أن = 2 + 3(ن 1) = 3ن 1:

أ100 = 3100 1 = 299:

خاصية وعلامة التقدم الحسابي

خاصية التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي لأي

بمعنى آخر، كل عضو في المتوالية الحسابية (بدءًا من الثاني) هو الوسط الحسابي للأعضاء المجاورة له.

	دليل. لدينا:
	ن 1+ ن+1		(و د) + (و + د)

وهو ما كان مطلوبا.

وبشكل أعم، فإن التقدم الحسابي يرضي المساواة

أ ن = أ ن ك+ أ ن+ك

لأي n > 2 وأي طبيعي k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

لقد اتضح أن الصيغة (2) لا تعد شرطًا ضروريًا فحسب، بل أيضًا شرطًا كافيًا لكي تكون المتتابعة تقدمًا حسابيًا.

علامة التقدم الحسابي. إذا كانت المساواة (2) تنطبق على جميع n > 2، فإن التسلسل an هو تقدم حسابي.

دليل. لنعيد كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:

أ نا ن 1= أ ن+1أ ن:

من هذا يمكننا أن نرى أن الفرق an+1 an لا يعتمد على n، وهذا يعني بالضبط أن المتتابعة an عبارة عن تقدم حسابي.

يمكن صياغة خاصية وعلامة التقدم الحسابي في شكل عبارة واحدة؛ للراحة، سنفعل ذلك لثلاثة أرقام (هذا هو الوضع الذي يحدث غالبًا في المشكلات).

توصيف التقدم الحسابي. ثلاثة أرقام أ، ب، ج تشكل تقدمًا حسابيًا إذا وفقط إذا كان 2ب = أ + ج.

المشكلة 2. (جامعة ولاية ميشيغان، كلية الاقتصاد، 2007) تشكل ثلاثة أرقام 8x و3x2 و4 بالترتيب المشار إليه تقدمًا حسابيًا متناقصًا. ابحث عن x وأشر إلى اختلاف هذا التقدم.

حل. وبخاصية التقدم الحسابي لدينا:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; س = 5:

إذا كانت x = 1، فسنحصل على تقدم متناقص قدره 8، 2، 4 بفارق 6. إذا كانت x = 5، فسنحصل على تقدم متزايد قدره 40، 22، 4؛ هذه الحالة ليست مناسبة.

الجواب: س = 1، والفرق هو 6.

مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي

تقول الأسطورة أنه في أحد الأيام، طلب المعلم من الأطفال العثور على مجموع الأرقام من 1 إلى 100 وجلسوا بهدوء لقراءة الصحيفة. ومع ذلك، لم تمر حتى دقائق قليلة قبل أن يقول أحد الصبية أنه قد حل المشكلة. كان هذا كارل فريدريش غاوس البالغ من العمر 9 سنوات، والذي أصبح لاحقًا أحد أعظم علماء الرياضيات في التاريخ.

كانت فكرة ليتل غاوس على النحو التالي. يترك

س = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

لنكتب هذا المبلغ بترتيب عكسي:

س = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1؛

وأضف هاتين الصيغتين:

2س = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

كل حد بين قوسين يساوي 101، وبالتالي هناك 100 حد في المجمل

2س = 101100 = 10100؛

نستخدم هذه الفكرة لاشتقاق صيغة المجموع

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

يتم الحصول على تعديل مفيد للصيغة (3) إذا قمنا باستبدال صيغة الحد النوني an = a1 + (n 1)d فيها:

		2أ1 + (ن 1)د

المشكلة 3. أوجد مجموع الأعداد الموجبة المكونة من ثلاثة أرقام والقابلة للقسمة على 13.

حل. الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام هي مضاعفات العدد 13 تشكل تقدمًا حسابيًا حيث يكون الحد الأول 104 والفرق هو 13؛ المصطلح n من هذا التقدم له الشكل:

أن = 104 + 13(ن 1) = 91 + 13ن:

دعنا نتعرف على عدد المصطلحات التي يحتوي عليها تقدمنا. للقيام بذلك، دعونا نحل عدم المساواة:

6999؛ 91 + 13 ن 6 999؛

ن 690813 = 691113; ن669:

إذن، هناك 69 عضوًا في تقدمنا. باستخدام الصيغة (4) نجد المبلغ المطلوب:

س = 2104 + 68 13 69 = 37674: 2